Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1. Să se evalueze un activ financiar derivat al cărui payoff este: , ( )
( )0, ( )c daca Y T c
X Tdaca Y T c
≤⎧= ⎨ >⎩
unde Y(t) este soluţia ecuaţiei: t tdY dt dBα β= +
iar , , si Y(0)cα β sunt nişte constante. Rezolvare: Integrând ecuaţia de dinamică pentru obţinem: ( )Y t
( ) (0) tY t Y t Bα β= + + de unde ( ) [ (0) , ]Y t N Y t tα β+∼
observăm că ( ) ( ) (0)z t [0,1]Y t Y t Nt
αβ− −
= ∼ a cărei funcţie de probabilitate este tabelată.
( )X t fiind preţul uni derivativ, este adevărată relaţia:
2
2( ( ) (0) )
( ) ( ) 2( ) [ ( ) / ( )] ( )2
Y t Y tcr T t Q r T t tcX t e E X T X t e e dY t
t
αβ
β π
− −−
− − − −
−∞
= × = × ∫ 1
Făcând schimbarea de variabilă ( ) (0) ( )( ) ( ) ( )Y t Y t dY tdz t d t dz t dY tt t
α ββ β− −
= = ⇒ × =
şi înlocuind în relaţia pentru ( )X t obţinem:
2 2(0) (0)
( ) ( ) ( )2 21( ) ( ) ( ) [ ]2 2
(0) .
c Y t c Y tt tz z
r T t r T t r T tcX t e e dz t e c e dz t c e N d
c Y tunde dt
α αβ β
π πα
β
− − − −
− −− − − − − −
−∞ −∞
= = × × = ×
− −=
∫ ∫ ×
1 Vezi in curs determinarea preţului unei opţiuni de tip european pornind de la ecuaţia de dinamică Black-Merton-Scholes pentru detalii suplimentare.
2. Se consideră procesele stocastice X(t) şi Y(t) ale căror ecuaţii de dinamică sunt:
dX t = αX t dt− Y t dB t
dY t = αY t dt + X t dB(t) Cerinţe:
a. Demonstraţi că procesul X2(t) + Y2(t) este determinist. b. Determinaţi procesul X(t) şi calculaţi E(X(t)).
REZOLVARE
a. Prin utilizarea lemei lui Itô, dinamica procesului X2(t) se scrie astfel:
dX2 t = 2αX2 t + Y2 t dt− 2X t Y t dB t
Procedând analog, dinamica lui Y2(t) este:
dY2 t = 2αY2 t + X2 t dt + 2Y t X t dB t
Prin însumare, obţinem:
d X2 t + Y2 t = 2α + 1 X2 t + Y2 t dt
Se observă că procesul X2(t) + Y2(t) evoluează conform unei legi în care nu intervine nici un factor stocastic, deci acest proces este unul determinist.
b. Pentru a determina procesul X(t), vom integra pe *0, t+ relaţia ce descrie dinamica acestuia. Se obţine:
X t = X 0 + α X s ds
t
0
− Y s dB s
t
0
Aplicând operatorul de speranţă matematică şi având în vedere că media necondiţionată a integralei stocastice din expresia anterioară este zero, avem:
E X t = X 0 + α E X s ds
t
0
A determina E[X(t)] revine la a rezolva o ecuaţie diferenţială de forma:
f ′ t = P t f t + Q t ,
'( ) ( ) si inmultind cu obtinem:'( ) ( ) 0 si integrand pe (0, ) rezulta:( ) (0) 0.
(0) '( ) ( ) si din '(0) (0) obtinem (0)
aici:(0)( )
'( ) [ ( )] (0)
t
t t
t
t
f t f t ee f t e f t te f t f
XDin f t f t f X f
DeXf t e
f t E X t X
α
α α
α
α
α
α
αα
α
−
− −
−
=
− =
− =
= =
=
= = .teα
=
3. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având ecuaţia de dinamică a cursului
dSt = μStdt + σStdBt
Fie un derivativ al acestei acţiuni care are la scadenţă (T) un payoff egal cu ST ST . Determinaţi preţul la
momentul t < T al derivativului. REZOLVARE
Cursul acţiunii descrie un brownian geometric. Prin utilizarea lemei lui Itô, avem:
d lnSt = μ −σ2
2 dt + σdBt
Vom apela la un artificiu ce ne permite trecerea într-un univers neutru la risc. Aplicând teorema lui
Girsanov pentru θ =μ−r
σ, avem1:
dBt∗ = dBt +
μ − r
σdt,
unde Bt
∗ este o mişcare browniană standard sub o probabilitate neutră la risc. Prin înlocuire în ecuaţia de dinamică a logaritmului cursului acţiunii-suport, obţinem:
d lnSt = r −σ2
2 dt + σdBt
∗
Prin integrare pe *t, T+ se obţine:
lnST
St= r −
σ2
2 T − t + σ BT
∗ − Bt∗
Relaţia de mai sus ne arată că lnST
St urmează, într-un univers neutru la risc, o distribuţie normală de
speranţă r −σ2
2 T − t şi varianţă σ2 T − t . Conform unei teoreme elementare de statistică probabilistică,
dacă logaritmul unei variabile este normal distribuit, atunci variabila însăşi este log-normal distribuită. Funcţia de densitate a variabilei aleatoare ce reprezintă cursul acţiunii la scadenţa T a derivativului este:
f ST =1
STσ 2π T − t e
−12 ln
STSt− r−
σ2
2 T−t
σ T−t
2
1 Acest raport, des utilizat în ingineria financiară, se numeşte preţ de piaţă al riscului.
Metoda clasică de evaluare a activelor financiare se bazează pe actualizarea speranţei matematice a
payoff-ului viitor al acestora. Fie D(t, T) preţul la momentul t al derivativului ce va genera payoff-ul ST ST la
scadenţa T. Atunci
D t, T = e−r T−t ST ST ∙
∞
0+
1
STσ 2π T − t e
−12 ln
STSt− r−
σ2
2 T−t
σ T−t
2
dST
Vom face următoarea schimbare de variabilă:
lnST
St= y ⟹ ST = Stey , iar dy =
1
STdST
Evident, limita inferioară de integrare devine −∞. Avem:
D t, T = e−r T−t St Ste32
y 1
σ 2π T − t e
−12 y− r−
σ2
2 T−t
σ T−t
2
dy
∞
−∞
Vom face acum altă schimbare de variabilă, şi anume:
z =y − r −
σ2
2 T − t
σ T − t⟹ dy = dz ∙ σ T − t
Limitele de integrare se păstrează, iar preţul derivativului îmbracă forma:
D t, T = e−r T−t ∙ St St ∙1
2π e
32 zσ T−t+ r−
σ2
2 T−t
∙ e−12
z2
dz
∞
−∞
D t, T = e12 T−t ∙ St St ∙
1
2π e−
12 z2−3zσ T−t+
94σ2 T−t +
38σ2 T−t dz
∞
−∞
D t, T = e18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St ∙
1
2π e−
12 z−
32σ T−t
2
dz
∞
−∞
Făcând schimbarea de variabilă z −3
2σ T − t = u, avem:
D t, T = e18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St ∙
1
2π e−
12
u2
du
∞
−∞
3
După cum se ştie, 1
2π e−
1
2u2
du∞
−∞= 1. În aceste condiţii, preţul derivativului este:
D t, T = e18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St
Cum demonstrăm că acest preţ este “bun”? În ipoteza în care piaţa este descrisă de modelul Black-
Scholes, preţurile instrumentelor financiare tranzacţionate pe piaţă verifică ecuaţia cu derivate parţiale Black-Merton-Scholes. În cazul derivativului nostru, avem:
∂D t, T
∂t+ rSt
∂D t, T
∂St+
1
2σ2St
2∂2D t, T
∂St2 = rD t, T
Prezentăm calculul celor trei derivate parţiale:
∂D t, T
∂t= −
1
8 4r + 3σ2 ∙ e
18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St
∂D t, T
∂St=
3
2 St ∙ e
18 T−t 4r+3σ2
∂2D t, T
∂St2 =
3
4 St
∙ e18 T−t 4r+3σ2
Un calcul elementar demonstrează faptul că evaluarea activului financiar este corectă.