NEWTON Y LEIBNIZ

PROCESO HISTORICO

BIOGRAFIA

OBRAS

PROBLEMAS

ISAAC NEWTON Matemtico, fsico, astronomo, alquimista y filsofo ingles. ( 1642-1727 ).

Alma Mater: Universidad de Cambridge.

Influencia: Obras de Euclides, Galileo, Fermat, Huygens, la Optica de Kepler, la Geometra de Descartes, la Opera mathematica de Viete, y la Arithmetica infinitorum de Wallis que le servira como introduccin a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas asi como la ctedra de Barrow.

ISAAC NEWTON Obras publicadas: De analysi (1669), Method of Fluxions (1671), De cuadratura curvarum (1676), Philosophiae naturalis principia mathematica (1687) , Opticks (1704), Arithmetica Universalis (1707).

ISAAC NEWTON Principales Descubrimientos: El Teorema Binomial, El Calculo, La Ley de la Gravitacin, La Naturaleza de los Colores.

EL TEOREMA BINOMIAL La forma de expresin de Newton es compleja y oscura. Newton obtuvo el teorema de manera indirecta de un problema de cuadraturas (calculo de reas encerradas por curvas) de la obra de Wallis.

EL TEOREMA BINOMIAL Este teorema fue desarrollado alrededor de 1676 para exponentes fraccionarios y es muy util en la teora de la probabilidad.

LAS SERIES INFINITAS Descubrio que el anlisis mediante series infinitas tenia la misma consistencia que el algebra de cantidades finitas. Las series ifinitas no son un recurso de aproximacin, si no que son formas alternativas de las funciones que representan.

LAS SERIES INFINITAS Newtn puede ser considerado como el verdadero inventor del Calculo debido a que fue capaz de explotar la relacin inversa existente entre pendiente y rea mediante su anlisis infinito.

Newtn consideraba a las variables x y y como cantidades que van fluyendo y a los fluxiones como velocidades de variacin. En su obra De quadratura curvarum, Newtn est muy cerca del concepto de limite, pero no lo aclara, razn por la que los matemticos del siglo XVIII seguian preocupados.

EL MTODO DE FLUXIONES

LOS PRINCIPIA Tratado cientfico mas admirado de todos los tiempos. Presentan los fundamentos de la Fsica y de la astronomia formulados en el lenguaje de la geometra pura. Aparece la primera exposicin del calculo de Newtn. Los algoritmos del calculo aparecen en el lema II del libro II: El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de sus generatrices multiplicados por los indices de las potencias de esos lados y por sus coeficientes de manera continua.

LOS PRINCIPIA Esto permite entender porque fueron pocos los matemticos de la epoca que llegaron a dominar el nuevo anlisis en la terminologia empleada por Newton. Newtn no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco en ver la relacin entre estas dos operaciones expresadas en el llamado teorema fundamental del calculo. Su descubrimiento consistio en un algoritmo mgeneral aplicable a todas las funciones tanto algebraicas como trascendentes. En la primera edicin de los Principia Newton reconocia que Leibniz estaba en posesin de un mtodo semejante, pero en la 3er edicin de 1726, la suprimio la referencia debido a la agria disputa entre los seguidores de ambos acerca de la independencia y prioridad del descubrimiento del calculo. Actualmente esta claro que Newton precedio a Leibniz en unos 10 aos.

GOTTFRIED W. LEIBNIZ Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 -1716) fue un filsofo, matemtico, jurista y poltico alemn, nacido en Leipzig en julio de 1646.

Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como el "ltimo genio universal". Realiz profundas e importantes contribuciones en las reas de metafsica, epistemologa, lgica, filosofa de la religin, as como a la matemtica, fsica, geologa, jurisprudencia e historia. Incluso, Denis Diderot, el ateo y materialista francs del siglo XVIII, cuyas opiniones no podran estar en mayor oposicin a las de Leibniz, no poda evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribi en su Enciclopedia, "Quizs nunca haya un hombre ledo tanto, estudiado tanto, meditado ms, y escrito ms que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la ms sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platn, el filsofo de Leipzig no cedera en nada al filsofo de Atenas".[1] De hecho el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observacin, que contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentacin de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algn rincn olvidado".

GOTTFRIED W. LEIBNIZ Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la Filosofa como en la de las Matemticas. Descubri el clculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notacin es la que se emplea desde entonces. Tambin descubri el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales.

Junto con Ren Descartes, y Baruch Spinoza es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofa se enlaza tambin con la tradicin escolstica y anticipa la lgica moderna y la filosofa analtica. Leibniz tambin hizo contribuciones a la tecnologa, y anticip nociones que aparecieron mucho ms tarde en biologa, medicina, geologa, teora de la probabilidad, psicologa, ingeniera, y ciencias de la informacin. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas est desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edicin completa de sus escritos, y por ello no es posible an hacer un recuento de sus logros.

LEIBNIZ Y EL TRIANGULO ARMNICO Leibniz en su condicin de representante gubernamental viajo mucho. En Paris (1672) se encontro con Hhuygens, quien le aconsejo si deseaba hacerse matemtico leer los tratados de Pascal. En 1673 una mision politica lo condujo a Londres donde se compro un ejemplar de las lecciones geometricae de Barrow y se convirtio en miembro de la Real Society. En 1676 viaja nuevamente a Londres, llevando su mquina calculadora, fue durante estos aos en el que el calculo diferencial iba tomando forma. Al igual que en el caso de Newtn, las series infinitas en este caso numricas jugarn un papel importante. Huygens le habia planteado el problema de calcular la suma de los inversos de los nmeros triangulares. Las semejanzas del triangulo armnico con el triangulo aritmetico de Pascal fascinaban a Leibniz.

EL TRIANGULO DIFERENCIAL Y LAS SERIES INFINITAS Despues de sus estudios sobre las series infinitas y el triangulo armnico Leibniz se dio cuenta en 1673, que la determinacin de la tangente a una curva depende de la razon entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeas estas diferencias, asi como las cuadraturas dependen de la suma de las ordenadas o de los rectangulos infinitamente estrechos que constituyen el rea. De la misma manera que en los triangulos aritmetico y armonico estan relacionados los procesos de sumar y restar, asi tambien son problemas inversos en geometra los de cuadraturas y tangentes que dependen respectivamente de sumas y diferencias. El triangulo diferencial fue usado por Pascal en la cuadratura del seno y por Barrow en el problema de trazado de tangentes.

EL CLCULO DIFERENCIAL Leibniz llego a la conclusin de que tenia un mtodo de gran importancia por su generalidad, ya fuera una funcion racional o irracional, algebraica o trascendente (Leibniz), siempre se le podia aplicar su mtodo.

Leibniz tuvo una apreciacin de la importancia de una buena notacin para ayudar a los procesos del pensamiento.

Expresaba que para la determinacin de tangentes exiga el uso del calculus differentialis, mientras que para el calculo de cuadraturas se requera el uso del calculus integralis. Ademas utilizo una s esbelta de la palabra suma para denotar el signo integral.

EL CLCULO DIFERENCIAL La primera exposicin del calculo diferencial por Leibniz fue en 1684, titulada : Un nuevo mtodo para mximos y minimos, y tambien para tangentes, que no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni por las irracionales. Aqu se muestran las formulas de diferenciacin para productos, cocientes y potencias o raices junto con sus aplicaciones geomtricas.

Dos aos mas tarde en Acta Eruditorum muestra que las cuadraturas son un caso especial del mtodo inverso de las tangentes.

La manera de razonar de Newtn estaba mucho mas proxima de la fundamentacin moderna del clculo que la de Leibniz, pero la notacin y lo plausible de las ideas de Leibniz provocaba una tendencia a aceptar la idea de diferencial que la de fluxin.

EL CLCULO DIFERENCIAL Newtn conservo su extraordinaria capacidad matemtica hasta el final de su vida, cuando Leibniz en 1716 ( ultimo ao de su vida) desafio a Newtn a encontrar las trayectorias ortogonales de una familia uniparamtrica de curvas planas, Newtn resolvio el problema en pocas horas y dio un mtodo para hallar trayectorias en general.

SIBOLISMO, DETERMINANTES Y NMEROS IMAGINARIOS La contribucin maxima de Leibniz fue el calculo, tambien se le atribuye la generalizacin del teorema binomial al teorema multinomial, asi como la referencia al mtodo de los determinantes en el mundo occidental.

Tambien debemos a el los simbolos para ~ es semejante a y para es congruente con.

Se le debe el nombre de funcin, con un sentido muy parecido al que usamos hoy. Entre las contribuciones menores estan las que se refieren a los nmeros complejos, en una epoca en que casi habian sido olvidados asi como sus concepciones del sistema de numeracin binario en aritmetica

EL ALGEBRA DE LA LOGICA Leibniz tenia tanto de filosofo como de matematico asi fue que contribuyo de manera importante en el campo de la logica.

Quera desarrollar una caracteristica universal que sirviera como una especie del algebra de la logica.

Su sugerencia de un algebra de la lgica revivio en el siglo XIX y jugo un papel muy importante en la matemtica del siglo pasado.

LA LEY DE LOS INVERSOS DE LOS CUADRADOS No obstante las contribuciones de Leibniz a la ciencia se vieron obscurecidas por las de Newtn que incluia la mas grande de las formulaciones matemticas hechas hasta esta poca la ley de la gravitacin universal.

Otros ya se habian anticipado a esta ley como Hooke, pero Newtn era capaz de manejar las matemticas que requeria la demostracin.

En esta ley, el problema de demostrar que la distancia debe medirse entre los centros de los cuerpos resulto ser una tarea tan dificil puesto que este problema de integracin fue el que hizo que Newton abandonara esta ley durante casi 20 aos. .

LA OPTICA En un articulo de Philosophical Transactions, Newtn anuncia lo que consideraba como una de las operaciones mas singulares de la naturaleza, es decir, el hecho de que la luz blanca no es mas que una combinacin de rayos de diversos colores, tenindo su propio color su indice de refraccin caracteristico.

Los ataques de Hooke sobre este articulo, consideraron a Newton a no publicar mas, hasta el punto de que en los 15 baos siguientes no publico nada.

En su Method of Fluxions, Newton sugiere 8 nuevos tipos de sistemas de coordenadas. De ellos el que llama septima manera es el que conocemos hoy con el nombre de coordenadas polares. Ademas da tambien las ecuaciones de transformacion de coordenadas polares a rectangulares.

En este mismo libro nos encontramos con el mtodo de Newtn para la resolucin aproximada de ecuaciones. La gran ventaja del metodo Newtoniano estriba en que se puede aplicar igualmente a ecuaciones en las que aparezcan funciones trascendentes.

Ademas contiene un diagrama que se conocera como el paralelogramo de Newtn que es util para los desarrollos en series infinitas y el trazado de curvas.