Newton-Raphson Methods And Fixed-Point Iteration MethodsSeptember 28, 2013add a commentA. Metode Newton-Raphson Dalam analisis numerik,Metode Newton(juga dikenal sebagaiMetode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton-Raphson sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.

Hasil analisis dan eksperimen memperlihatkan bahwa kekonvergenan metode Newton Raphson bersifat kuadratik (derajad kekonvergenannya 2) ke akar sederhana. Untuk akar ganda, metode Newton Raphson mempunyai derajat kekonvergenan linier, dan dapat ditingkatkan menjadi kuadratik dengan menggunakan modifikasi rumus iterasinya. Akan tetapi modifikasi rumus iterasi Newton Raphson memerlukan informasi derajad akar atau perhitungan turunan yang lebih tinggi (untuk mengetahui derajad akarnya).

Meskipun metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi, dengan programMatlabuntuk masukan cukup digunakan rumus fungsinya dan Matlab dapat menghitung turunan fungsinya. Hal ini dilakukan dengan perhitungan simbolik. Program Matlab yang disusun berbeda dengan program-program implementasi metode Newton Raphson yang ditemukan di dalam berbagai literatur, yang biasanya masih memerlukan masukan fungsi turunan. Pemilihan hampiran awal dan batas toleransi sangat menentukan kekonvergenan metode Newton Raphson. Selain itu, kekonvergenan iterasi juga dipengaruhi oleh perilaku fungsi di sekitar hampiran awal dan di sekitar akar. Apabila fungsi yang bersangkutan memiliki beberapa akar, pemakaian metode Newton Raphson secara berulang-ulang dengan pemilihan hampiran awal yang sesuai dapat digunakan untuk mendapatkan hampiran akar-akar sebuah persamaanf(x)=0.Metode Newton-Raphson didasarkan pada aproksimasi linear fungsi dan menggunakan prinsip,

Kalkulasi dengan metode Newton-Raphson diawali denganX0yang tidak terlalu jauh dari sebuah akar, bergerak sepanjang garis linear (kemiringan atau tangen garis) ke perpotongannya di sumbu-X, dan mengambilnya sebagai titik aproksimasi untuk yang berikutnya. Perlakuan ini diteruskan hingga nilai-nilai X dirasakan sukses cukup dekat ke fungsi bernilai nol. Skema kalkulasinya mengikuti segitiga yang dibangun dengan sudut inklinasi dari kemiringan garis pada kurva diX=X0yaitu

Aproksimasi berikutnya diteruskan dengan menghitungX2dengan skema yang sama dimana nilaiX3digantikan olehX1. Secara umum metode Newton dirumuskan oleh skema berikut ini:

disebutfungsi iterasi Newton Raphson.Terdapat hubungan antara akar persamaanf(x)=0dan titik tetap fungsig. Dari Persamaan diatas terlihat bahwa, jikaf(r)=0, makar=g(r). Metode Newton raphson dapat dipandang sebagai contoh khusus metode Titik-Tetap(Conte & de Boor, 1981, 79).Kelebihan Metode Newton Raphson: Tidak perlu mencari 2 hargaf(x)yang mempunyai tanda berbeda. Konvergensi yang dihasilkan cepat.

Perlu menghitung turunan fungsif(x).

Kelemahan Metode Newton Raphson: Tidak selalu menemukan akar(divergen).

Kemungkinan mencarif(x)sukar.

Penetapan harga awal sulit.

Sehingga,

Perumusan mencari akar:

Algoritma metode Newton-Raphson :

Contoh Soal 1 :Tentukan akar dari persamaan4x3 15x2+ 17x 6 = 0menggunakan Metode Newton Raphson.

Penyelesaian :

f(x) = 4x3 15x2+ 17x 6f(x) = 12x2 30x + 17

Iterasi 1 :ambil titik awal x0= 3

f(3) = 4(3)3 15(3)2 + 17(3) 6 = 18f(3) = 12(3)2 30(3) + 17 = 35x1 = 3 18/35 = 2.48571

Iterasi 2 :f(2.48571) = 4(2.48571)3 15(2.48571)2 + 17(2.48571) 6 = 5.01019

f(2.48571) = 12(2.48571)2 30(2.48571) + 17 = 16.57388

x2 = 2.48571 5.01019/16.57388 = 2.18342

Iterasi 3 :f(2.18342) = 4(2.18342)3 15(2.18342)2 + 17(2.18342) 6 = 1.24457

f(2.18342) = 12(2.18342)2 30(2.18342) + 17 = 8.70527

x3 = 2.18342 1.24457/8.70527= 2.04045

Iterasi 4 :f(2.04045) = 4(2.04045)3 15(2.04045)2 + 17(2.04045) 6 = 0.21726

f(2.04045) = 12(2.04045)2 30(2.04045) + 17 = 5.74778

x4 = 2.04045 0.21726/5.74778 = 2.00265

Iterasi 5 :f(3) = 4(2.00265)3 15(2.00265)2 + 17(2.00265) 6 = 0.01334

f(2.00265) = 12(2.00265)2 30(2.00265) + 17 = 5.04787

x5 = 2.00265 0.01334/5.04787 = 2.00001

Iterasi 6 :f(2.00001) = 4(2.00001)3 15(2.00001)2 + 17(2.00001) 6 = 0.00006

f(2.00001) = 12(2.00001)2 30(2.00001) + 17 = 5.00023

x6 = 2.00001 0.00006/5.00023 = 2.00000

Iterasi 7 :f(2) = 4(2)3 15(2)2 + 17(2) 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

Karena pada iteasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.Contoh Soal 2 :Hitung akarf(x)=ex 5x2, = 0.00001X0= 0.5Penyelesaian:

Sehingga Iterasi Newton Raphson nya sebagai berikut:

Hasil setiap iterasi sebagai berikut:

Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0.605267B. Metode Iterasi Titik Tetap (Fixed-Point Iteration Methods)Metode iterasi titik tetap termasuk metode terbuka. Artinya dalam menghampiri akar,metode ini tidak memerlukan selang tertutup seperti metode bagi dua dan metode posisipalsu. Kita dapat mentransformasikan fungsif(x) = 0dalam bentukx = g(x).Prosedur iterasiyang berpadanan adalahxn+1= g(xn)dengan fungsigsepert yang diperoleh dalam bentukx = g(x).Suatu selesaian dalam bentuk tersebut disebut suatu titik tetap darig. Untuk suatupersamaanf(x) = 0yang diberikan mungkin berpadanan dengan beberapa persamaanx = g(x)akan tetapi bisa menghasilkan kekonvergenan barisanx0, x1, x2, x3, yang mungkinberbeda, tergantung dari pemilihanx0.Persamaanf(x)=0secara aljabar dapat ke bentukx=g(x). Sehingga prosedur iterasi yang berpadanan dengan bentuk tersebut adalah

xn+1=g(xn), dimana nilai n = 0, 1, 2, disebutIterasi Titik Tetap(Atkinson,1993: 84; Mathews, 1992: 45).

Gambar Grafik Covergent dan Divergent

Contoh Soal :Tentukan akar hampiran dari fungsix3 2x + 1 = 0 dengan x0= 2Penyelesaian:

Ditentukan fungsi baru

2x = x3+ 1

x = (x3+ 1)

xn+1= (xn3+ 1) dengan x0= 2

Dari tabel terlihat bahwa penentuan fungsi x = g(x) bersifat divergen.

Penentuan fungsi baru yang lain,

x3 2x + 1 = 0