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NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)
Cours 5-b
Problèmes spatio-temporels d’ordre 1 en temps
• Calcul des matrices de masse (1D et 2D)
• Schémas explicite et implicite• Approche globale de la stabilité• Approche locale de la stabilité :
• décomposition de Neumann• notion de positivité
NF04 - Automne - UTC 2Version 09/2006 (E.L.)
Le problème étudié est désormais variable en temps et en espace.
La forme générale d’un système d’équations au 1er ordre en temps s’écrit :
Avec : [M] : matrice globale de masse [K] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) {F} : vecteur global des sollicitations (idem)
Ces matrices résultent de techniques de discrétisation telles les :
Différences finies Eléments finis …
TM K T F
t
Problèmes spatio-temporels
NF04 - Automne - UTC 3Version 09/2006 (E.L.)
Calcul de la matrice masse [ M ] (1 dimension)
Equation « de la chaleur » en 1D
Forme faible associée :
2
2
( , ) ( , )( , ) 0 [0, ] . . . .
T x t T x tC k f x t x L C L C I
t x
0 0 0
( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) 0
LL L L
O
T x t T x t T x tW x C dx k dx x f x t dx k
t x x x
Fonction-test ne dépendant que de x bien que le problème soit instationnaire !
Pas d’intégration par parties sur le terme instationnaire !
[K ]{T } {F }NeumannCauchy
NF04 - Automne - UTC 4Version 09/2006 (E.L.)
Matrice masse : thermique 1D
Approximation par éléments finis :
RAPPEL : les fonctions d’approximation ne dépendent pas du temps !
d’où :
Le terme temporel s’écrit ainsi :
Avec :
La procédure d’assemblage reste identique !
1 1 2 2,t tT x N x T N tx T
1
1 2
2
, TT x tN x N x
t T
0
( , )( )
Le
inst inste
T x tW x C dx W
t
2
11 2
20
2 1
1 26
( , )( )
e
eL
Le
inst
e
M
LC
TT x tW x C dx
t T
NF04 - Automne - UTC 5Version 09/2006 (E.L.)
Calcul de la matrice masse [ M ] (2 dimensions)
Equation « de la chaleur » en 2D
Forme faible associée :
( , , ). ( , , ) ( , , ) 0 , . . . .
T x y tC k T x y t f x y t x y V C L C I
t
( , , )( , ) ( , ) ( , , ) . 0
V V V S
T x y tW x y C dV k TdV x y f x y t dV k T n dS
t
Fonction-test ne dépendant que de x,y bien que le problème soit instationnaire !
Pas d’intégration par parties sur le terme instationnaire !
[K ]{T } {F }
NeumannCauchy
NF04 - Automne - UTC 6Version 09/2006 (E.L.)
Matrice masse : thermique 2D
Approximation par éléments finis :
Soit :
Le terme temporel s’écrit ainsi :
Avec :
1 1 2 2 3 3, , , , ,T x y N x y T Nt t x y T N x Tt ty
1
1 2 3 2
3
, ,, , ,
TT x y t
N x y N x y N x y Tt
T
( , , )( , ) e
inst insteV
T x y tW x y C dV W
t
3
1
1 2 3 2
3
2 1 1
1 2 1( , , )
( ,12
)
1 1 2e
eT
einst
V
M
eAT
T x y tW x y C dV T
tT
C
NF04 - Automne - UTC 7Version 09/2006 (E.L.)
Phase d’assemblage + conditions aux limites
De manière générale :
Avec :
A l’issue de la phase d’assemblage :
L’introduction des conditions aux limites de type Dirichlet s’effectue dans la boucle temporelle.
3
0T
econtour
e
W W W
e e e e e e eW M T K T F
M T K T F
NF04 - Automne - UTC 8Version 09/2006 (E.L.)
Discrétisation temporelle
La discrétisation du terme temporel est analogue au cas scalaire :
1. Schéma EXPLICITE :
2. Schéma IMPLICITE :
1
...n n
T T TT t
t t
01
avec ( 0)n n
n nT TM K T F T t T
t
11
1 0avec ( 0)
n nn nT T
M K T F T t Tt
NF04 - Automne - UTC 9Version 09/2006 (E.L.)
Stabilité
L’analyse de la stabilité du schéma temporel (explicite, implicite …) d’un système d’équation peut être traitée selon deux approches :
1. Approche globale : utilisation des matrices [M] et [K]
2. Approche locale : équation scalaire discrète en temps et en espace
Pour cette dernière approche, deux techniques possibles :
Stabilité au sens de la décomposition de Neumann (approche
mathématique)
Concept de positivité (approche « physique »)
(+) généralisable (-) « lourde », condition de stabilité avec oscillation
(+) facile, rapide, stabilité sans oscillation (-) pas toujours généralisable
NF04 - Automne - UTC 10Version 09/2006 (E.L.)
Approche globale de la stabilité (1)
Quel que soit le schéma utilisé, explicite, implicite … il est toujours possible de ramener le système sous la forme récurrente suivante :
Par analogie avec l’étude de la stabilité d’une équation scalaire, on définit :
[G] : matrice d’amplification du schéma {…} : autres termes du système ne faisant intervenir ni {T }n , ni
{T }n+1
Définition : la stabilité sans oscillation du schéma est alors assurée si
1...
n nT G T
0 1 1,..., èmei ii N i G pour avec valeur propre de
Taille du système
NF04 - Automne - UTC 11Version 09/2006 (E.L.)
Approche globale de la stabilité (2)
Application au cas d’un schéma EXPLICITE
soit :
La matrice d’amplification est :
On pose li, les valeurs propres de la matrice , avec
Nous avons donc :
Schéma STABLE si
01
avec ( 0)n n
n nT TM K T F T t T
t
1 1 1
1
pasd'influencesur stabilité
. . . .
n n n
n n
T I t M K T t M
G
F
T T
1G I t M K
Matrice identité
1M K
1i il t
max
10 1i
i
tl
soit CONDITION DE STABILITE
0.il
Car [M] et [K] définiespositives !
NF04 - Automne - UTC 12Version 09/2006 (E.L.)
Approche globale de la stabilité (3)
Application au cas d’un schéma IMPLICITE
soit :
La matrice d’amplification est :
On pose li, les valeurs propres de la matrice , avec
Nous avons donc :
Schéma STABLE si
11
1 0avec ( 0)
n nn nT T
M K T F T t Tt
1 1
11
pasd'influencesur stabilité
. . . .
n n n
n n
M t K T M T t F
T M t K M T
1 1 1G M t K M I t M K
1M K
1
1iil t
10 1 0 1
1iil t
soit TOUJOURS VERIFIE !
0.il
NF04 - Automne - UTC 13Version 09/2006 (E.L.)
Approche locale de la stabilité
La démarche consiste cette fois-ci à analyser la stabilité d’une équation discrète et non plus du système dans sa globalité
Où trouver l’équation ? Deux possibilités :
1. Extraire la jème ligne du système :
2. Obtenir l’équation discrète par différences finies
Remarque : un schéma aux différences finies centrées en 1D est identique à celui obtenu par une approche éléments finis linéaire 1D où la matrice de masse serait diagonalisée.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
j j j
j j j
j j j
N N N
T T F
T T F
M T K T Ft
T T F
T T F
NF04 - Automne - UTC 14Version 09/2006 (E.L.)
Application à la thermique 1D
2
2
( , ) ( , )( , ) 0 [0, ] . . . .
T x t T x tC k f x t x L C L C I
t x
1
1 1
2
20,
n nj j j j j
j
T T T T TC k f t
t x
Equation de « la chaleur » en 1D
Phase de discrétisation en espace :
Phase de discrétisation en temps :
La stabilité requiert l’écriture sous la forme :
Question : que faire des variables indicées en j-1 et j+1 ?
njT
Indice temporel
Indice spatial
1 1
2
20,j j j
j
T T TTC k f t
t x
1 ....n nj jT G T
Même indice en espace !
NF04 - Automne - UTC 15Version 09/2006 (E.L.)
Stabilité au sens de Neumann
Objectif : exprimer toutes les variables indicées en j-1 et j+1 en fonction de la variable indicée en j pour aboutir à :
Méthode : décomposition en séries de Fourier (voir principe sur transparent
suivant)
Principe : si la solution est stable, alors chacun de ses modes est aussi stable.
Application : on considère donc un seul mode m quelconque
On montre alors que :
ji m xn njT T e
, ,njT j n
1
1
1
1
jj
jj
i m x xi m xn n n n i m xj j
i m x xi m xn n n n i m xj j
T T e T e T e
T T e T e T e
1 ....n nj jT G T
NF04 - Automne - UTC 16Version 09/2006 (E.L.)
Décomposition en séries de Fourier Principe : « n’importe quel signal, aussi bien en temps qu’en
espace, est décomposable en séries de Fourier »
Séparation des variables :
Illustrations :
0
ji m xn n
mj eTT
Fonction de l’espace
Fonction du temps
sin 2 1sin 34sin ...
3 2 1f t
m ttt
m
Reconstruction du signal pour un nombre de modes croissantm=1 m=2 m=5 m=50
NF04 - Automne - UTC 17Version 09/2006 (E.L.)
Stabilité de Neumann pour un schéma EXPLICITE
Le schéma explicite en temps pour l’équation de « la chaleur » en 1D est :
On introduit :
Soit :
La stabilité est assurée pour
toujours vérifié !
11 1
2
20,
n nj j j j j
j
n n nnT T T T T
C k ft x
1 1n n i m x n n i m xj j j jT T e T T e et
12
2 cos
1 2n im x im x n nj j j
m x
t k tT e e T f
C C x
avec
1
..
1 2
..
2 cosn n nj j j
nj
m x
G
tT T f
CT
0 1 1G G G G si ou si
1G
0 G
2 2 2
1 ... 1
2 1 1 42 1 cos
C x C x C xt
k kk m x
NF04 - Automne - UTC 18Version 09/2006 (E.L.)
Concept de POSITIVITE
Ecriture générale du schéma discret d’un problème spatio-temporel :
Un tel schéma est dit POSITIF s’il vérifie :
La démonstration est basée sur le choix de profils de type choc en n :
Application : le schéma explicite (ther. 1D) est positif si
11 1 .....n n n n
j j j jT A T B T C T
0, 0, 0.A B C
A≥0 B≥0 C≥02
02
C xB t
k