ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM CÔNG BIÊN

NGUỒN ĐỒNG DƯ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit:www.foxitsoftware.com/shopping

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM CÔNG BIÊN

NGUỒN ĐỒNG DƯ

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TS. Đặng Huy Ruận

Hà nội – 2014

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit:www.foxitsoftware.com/shopping

i

Mở đầu

Trong chương trình toán Trung học cơ sở, các bài toán về chia hết và chia

có dư phức tạp thường gây khó khăn cho học sinh khi trình bày cách giải và

giáo viên khi hướng dẫn học sinh. Chẳng hạn bài toán sau: “Có bao nhiêu số

tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia cho 7 còn dư 3?”. Vì vậy, sử dụng kiến thức về

đồng dư mà luận văn đề cập đến đó là nguồn đồng dư sẽ giúp các em học sinh

và giáo viên có cái nhìn trực quan về bài toán và dễ dàng giải quyết nó. Đồng

thời, tác giả hy vọng luận văn sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn sinh viên học

tốt môn “ Lý thuyết đồng dư” .

Luận văn sẽ trình bày một dạng đa đồ thị có hướng được gán nhãn. Đó là

nguồn.

Nguồn với tập nhãn gồm các số được gọi là nguồn sinh số.

Nguồn với tập nhãn gồm các số đồng dư được gọi là nguồn đồng dư.

Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba

chương:

Chương I. Trình bày về một số khái niệm cơ bản cần sử dụng trong các

chương sau;

Chương II. Trình bày về nguồn đồng dư;

Chương III. Trình bày về nguồn đồng dư có nhiều tính chất.

Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo GS.TS Đặng Huy

Ruận, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình

nghiên cứu. Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

khoa Toán- Cơ- Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit:www.foxitsoftware.com/shopping

ii

gia Hà Nội đã tận tình dạy bảo trong quá trình học tập và tạo điều kiện tốt về

thủ tục hành chính để tác giả có thể hoàn thành luận văn này.

Do thời gian hạn hẹp và đề tài có một số nguồn giao khá phức tạp, nên

không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong được sự chỉ bảo tận tình

của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin

chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014

Tác giả

Phạm Công Biên

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit:www.foxitsoftware.com/shopping

iii

MỤC LỤC

Mục lục trang

Mở đầu i

Mục lục iii

Chương I: Một số khái niệm cơ bản…………………………………… . 1

§1 Tập xâu ký hiệu và một số phép toán………………………………... 1

§2 Đa đồ thị có hướng…………………………………………………... 9

§3 Nguồn sinh số………………………………………………………… 16

Chương II: Nguồn đồng dư…………………………………………….. 21

§1 Nguồn đồng dư một vòng đỉnh………………………………………. 21

§2 Nguồn đồng dư hai vòng đỉnh……………………………………….. 26

Chương III: Nguồn đồng dư có nhiều tính chất………………………… 35

§1 Thuật toán xây dựng nguồn giao…………………………………….. 35

§2 Một số nguồn minh họa……………………………………………… 39

Danh mục tài liệu tham khảo……………………………………………. 73

1

CHƯƠNG I.

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản cần thiết cho các chương

tiếp theo.

§1. TẬP XÂU KÝ HIỆU VÀ MỘT SỐ PHÉP TOÁN

I. Bảng chữ cái. Xâu ký hiệu. Tập xâu ký hiệu.

1. Bảng chữ cái.

Tập ∑ ≠ gồm hữu hạn hoặc vô hạn các đối tượng được gọi là bảng

chữ cái (hay tự điển). Mỗi phần tử a ∑ được gọi là ký hiệu hoặc chữ cái

(thuộc bảng chữ cái ∑).

Ví dụ:

P= 0,1 là bảng chữ cái nhị phân.

Q= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 là bảng chữ cái thập phân.

R= , , , , là bảng chữ cái gồm: Hình tam giác, hình vuông, hình tròn,

hình chữ nhật, hình thoi.

2. Xâu ký hiệu.

Giả sử có bảng chữ cái ∑= 1 2 na ,a ,...,a

Dãy α gồm các ký hiệu thuộc bảng chữ cái ∑

α=1 2 s t si i i i ia a ...a ...a ,a (1 s t) được gọi là một xâu ký hiệu hay một xâu

trên bảng chữ cái ∑.

2

Tổng số vị trí của tất cả các ký hiệu xuất hiện trong α được gọi là độ dài

của xâu α và ký hiệu bằng .

Xâu có độ dài bằng 0 (tức xâu không chứa một ký hiệu nào) được gọi là

xâu rỗng hay xâu trống đồng thời được ký hiệu bằng hoặc .

Xâu rỗng là xâu thuộc bất kỳ bảng chữ cái nào.

Dễ dàng thấy rằng: Nếu α là xâu thuộc bảng chữ cái ∑, thì nó cũng là xâu

trên bảng chữ cái tùy ý chứa ∑.

Ví dụ: β= 101011 là xâu trên bảng chữ cái nhị phân P= 0,1 và = 6,

còn = 1223233 là xâu trên bảng chữ cái S= 1,2,3 và =7

Các xâu β, đều là các xâu trên bảng chữ cái thập phân.

Tập gồm tất cả các xâu trên bảng chữ cái ∑ được ký hiệu bằng ∑*, còn tập

gồm tất cả các xâu khác rỗng trên bảng chữ cái ∑ được ký hiệu bằng ∑+. Dễ

dàng thấy rằng ∑+

= ∑*\

3. Tập xâu ký hiệu.

Giả sử có bảng chữ cái ∑.

Mỗi tập con A ∑* được gọi là một tập xâu ký hiệu trên bảng chữ cái ∑

(nếu ∑ là bảng chữ cái số và các xâu ký hiệu thuộc A đều là các số, thì A

còn được gọi là tập số trên ∑).

Tập được gọi là tập xâu trống. Tập xâu trống là tập xâu trên bất kỳ

bảng chữ cái nào. Hiển nhiên rằng tập xâu trống khác với tập xâu chỉ gồm

xâu rỗng.

Ví dụ:

L= { ,1,0,10,011 } là tập xâu trên bảng chữ cái nhị phân P= 0,1 , còn

L1= {a,bc,bac} là tập xâu trên bảng chữ cái ∑={a,b,c}.

3

4. Tích ghép.

Đây là phép toán thực hiện trên xâu ký hiệu.

Định nghĩa. Tích ghép của các xâu không rỗng α= a1a2…am và

β=b1b2…bn là xâu = c1c2…cm+n, trong đó c1= a1, c2= a2 ,…, cm= am ,

cm+1= b1, cm+2= b2,…, cm+n= bn.

Ngoài ra, đối với xâu tùy ý α tích ghép của α với xâu rỗng bằng tích

ghép của với α và bằng α.

Dễ dàng thấy rằng, tích ghép có tính chất kết hợp, song nó chỉ giao hoán

khi các xâu trên bảng chữ cái một ký hiệu.

Ta viết αn thay cho cách viết αα…α(n lần) và quy ước rằng α

1= α, còn α

0

là xâu rỗng.

Ví dụ 1: Cho các xâu α= ab, β= cde, µ= 543, = 21. Khi đó, α.β= αβ=

abcde, β.α= βα= cdeab, α.µ= αµ= ab543, µ. = 54321.

Nếu đối với các xâu µ,α,β,γ trên bảng chữ cái ∑, mà µ= αβγ thì xâu α*β*γ

với ký hiệu * không thuộc ∑ được gọi là một vị trí của xâu β trong xâu µ.

Xâu β được gọi là một xâu con trong xâu µ (hay của xâu µ), nếu tồn tại ít

nhất một vị trí của β trong µ.

Nếu α= , tức µ= βγ, thì xâu β còn được gọi là phần đầu. Còn nếu γ=

tức là µ= αβ thì xâu β được gọi là phần cuối của xâu µ.

Khi β= , ta có µ= α γ= µ= µ , nên xâu rỗng là xâu con, là phần

đầu, phần đuôi của bất kỳ xâu nào và được gọi là xâu con tầm thường.

Trong trường hợp độ dài của xâu β= 1, tức là nó gồm một ký hiệu. Chẳng

hạn β= b, b thuộc ∑, thì *b* được gọi là vị trí của ký hiệu b trong xâu µ.

Đôi khi vị trí của ký hiệu còn được gọi là điểm.

Người ta dùng la(µ) để chỉ số vị trí của ký hiệu a trong xâu µ.

4

Nếu α= t1*at2*, β= s1*bs2* là các điểm của cùng một xâu µ= t1at2= s1bs2.

Và 1t < 1s , thì ta viết α< β, đồng thời nói rằng α nằm (hoặc được đặt) bên

trái β, còn β nằm bên phải α.

Nếu α< β< γ, thì ta nói rằng β nằm giữa α và γ. Đối với hai điểm tùy ý α,

β của xâu µ, mà α≤ β, tập hợp các điểm δ thỏa mãn bất đẳng thức α≤ δ≤ β

được gọi là một đoạn của xâu µ và được ký hiệu bằng [α, β], còn tập hợp

các điểm mà α< δ< β được gọi là một khoảng của xâu µ và được ký hiệu

bằng (α, β).

Đôi khi chúng ta cũng cần những khoảng đặc biệt (-, α) và (α, -) là các tập

hợp điểm thỏa mãn bất đẳng thức δ< α và α> δ.

Khoảng khác với đoạn ở chỗ nó có thể rỗng.

Ví dụ 2: Xâu µ= abcbcb chứa 2 vị trí của xâu bcb: a*bcb*cb và

abc*bcb*, một vị trí của ký hiệu a: *a*bcbcb, 7 vị trí của xâu rỗng :

**abcbcb, a**bcbcb, ab**cbcb, abc**bcb, abcb**cb, abcbc**b, abcbcb**.

Nếu ký hiệu các vị trí của chữ cái trong xâu µ bằng α, β, δ, thì α< β< δ.

Các đoạn [α, β] và [β, δ] tương ứng với hai vị trí khác nhau của cùng xâu

con bcb.

II. Các phép toán trên các tập xâu ký hiệu.

Trên các tập xâu ký hiệu, ngoài các phép toán của lý thuyết tập hợp như:

phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù. Còn có các phép toán đặc thù như: tích

ghép, lặp.

Giả sử L1, L2, L3 là các tập xâu ký hiệu trên bảng chữ cái ∑.

A. Phép hợp.

1. Định nghĩa.

5

Tập xâu ký hiệu {x ∑*/ x L1 hoặc x L2} được gọi là hợp của các

tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời được ký hiệu bằng L1L2 hoặc

L1L2

Ví dụ:

Cho các tập xâu ký hiệu L1= { , a, ab, bc}, L2= {a,b,ca,ab,cb}. Khi đó:

L1L2= { , a, b, ab, bc, ca, cb}.

2. Tính chất.

a. Giao hoán, nghĩa là L1 L2= L2 L1

b. Kết hợp, nghĩa là (L1L2) L3= L1 (L2L3)

c. L = L= L

d. L∑*= ∑

* với mọi L ∑

*

B. Phép giao.

1. Định nghĩa:

Tập xâu ký hiệu {x ∑*/ x L1 và x L2} được gọi là giao của các

tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời ký hiệu bằng L1∩ L2 hoặc

L1L2

Ví dụ:

Với L1, L2 được cho bởi ví dụ trên có giao là L1∩L2 = {a, ab}.

2. Tính chất:

a. Giao hoán, nghĩa là L1∩ L2=L2∩ L1

b. Kết hợp, nghĩa là (L1∩ L2)∩ L3= L1∩ (L2∩ L3)

c. L∩ ∑*= L với mọi L ∑

*

d. L∩ = ∩ L= .

73

Danh mục tài liệu tham khảo

1. Đặng Huy Ruận, (2002) , Bảy phương pháp giải các bài toán logic, nhà

xuất bản khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.

2. Đặng Huy Ruận, (2005), Phương pháp giải bài toán chia hết, nhà xuất

bản khoa học và kỹ thuật,Hà Nội

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit:www.foxitsoftware.com/shopping