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Eπ♂隅θθπ″gβ rC力 qP`θ■5

第5章 留数 の定理 と 定積分 の計算

本章では,前章で説明したコー汁の積分定理や特異点周リローラン晨関の結果を用いて,応用上菫姜な (特に,工学

分野においては)留数の定理を等く.えに, その定理を用いることにより,種 々の定積分 (実 数の範囲では,と ても

積分できそうになかったものも合めて。)を レヒ較的容易に計算できる様子を,幾つかの簡単なク1を 挙げて説明する。

§5.1留 数 の定 理さて,点 Z。 が路数 バζ)の孤立特異点であるとき,前章

“

″2),(4。73)式に示す ように, バ z)は だ=Z。

月 りにローラン展。開で きて,

Σ b"(z― zO)“

… +潰静+漬

静+義 +為 +職 ―a+職 ―為メ+,バ z― が +…

一一　

　

〓

ノ

・・・ (5。 1)

仁 し, b″ =′々ズ

几・一笏

のように言 くことができる。

今,点 Z。 の周 りを工の向きに 1月 する閉由象をCと するとき,(z―ζO)・ (仁 し,"は整数)の 周口積

分 は ,

1¨ 旧髄:;れた11よ1 ■ 11となる。こ薇は, §4。3で負系の場合に対 して得 らiつま

(:_lI丁重亀:二 1 」ユtl:ご

I¬匙手φと言けるから,左辺の積分tl,

一方,ol)式の級数が一様颯来であることか ら,項別積分が可能である。

か ら,

(5。 3)

そのとき,o2)式の結果

ｂ　ｒ‥九

∞Σ潤Ｌ

ごをΣｄ

一一　

　

　

〓

ごノｒ几

茂

　

茂

生

=名∴島 =2■ム ………………00ずる。このとき、の♭_Lを点 Z。 でのノ(z)の "留 数 "と 云のように, ″=-1の項からのみ積分値を

い,近常 "R"と 記すものである。また, z tt z。 が, ノ(Z)の

“位の極であ

Ю = + +…となる ((475)式 の再記)。 このとき,

(z_z。 )3ノ(Z)=b_“ +b… 1(z― z。 )

のように,工累の級数となる ((476)式 の再亀).上式の両辺を

“-1口微分 して, z=zOと 置くと,

鞠“

僣 ras爾抽"arAPFル

ごs磁““

‐33‐

るときは,(5。 1)式 の晨開形は,

+Z― ZO+夕。十bl(ζ ―乙。)+…“

`仁

し,b_.≠ 0)

(Z― Z。 )・ ノ(Z)は ,

+・・・・・・ +b_1(z― z。 )・~1

+ b。 (Z― Z。 )3+ bl(こ ―Z。 )・・1 + :・

"・・ °・ ●●`●

●(5。 6)

●●●●●●(5.5)

■,“″″“

「

OH

鮮(は∂70)L=“ =らい口………………………囲を得, この式から留数 b_1が 求めら薇る。特に, 4=1の ときは,

に一為)Aの L=恥 =L……………………………………………6めとなることが分か る.

また, ag。 5。 1に示すように,工の回り向きの開

曲象 cの 中に, た個の孤立点Zl,Z2,…¨

'Zたがあると

き, こねらの点を囲む九分′1ヽ さい工の口り負きの関

曲線Cl,C2'… "'Cた を作 ると,“。31)式 Q多 重違総額

裁に対するコーシ"の積分た理によみ,

1ノ(Z)ごZl二 ∴ノ∫(Z)ごZ………(5.9)

と な る 。 こ こ に ,・ 点 Zl.Z2● …°°

OZ彙 で の √ 00著 数

をそれぞ薇Rl,R2'……9Rた とすると, cノ に関する書

令値は

11ゴ 1.JRブ … … … …6・°

となることから,結局 タト周 Cに 関する‐積分は(5。 9)式

により,上式の総わを撃って,

∫σO茂のようによよる。

=笏Д烏……‐ЯL纏めると次のよ江者に以上のことを"留裁Q定理 "と し

【定理 5。 1】

工の向きに1月 する閉由象 Cの 中に, バζ)の孤立特異点Z1/2,…¨

'Zたがあつて,

それらの点でのバィ)の 留数をRl,R2'…・・°'Rた

とするとき, ノ(Z)の 周口積分は

のように,そ 薇ぞれの留数の然和に2π Jを 乗じた結果として求めら薇る

また,ノ(Z)の“位の極 zブ での留数 Rプ は,

容易に求よる。

ユ5。 、2定 積 分 の計 算 (i)本節では,前節で幸いた"留数の定理 "を 用いて,

黒限区間に互るた積分の対算を行なう.

【例題 5。 1】 典型的な例として,

1‐ 島 … …………… 的のようなえ積分を苛算 してみよう。

[解 ]今 ,バう=岩 ……………くユЮ

を考えよう.こ のとき,

で二る ち11:・i種 追t鼻つことになる.

ag.5.1

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●「

●●●・・・・ (5312)

ことになる。∴知茂=第ニト+L雀……名・・R.l

け |♯ ti」 … ……動

って,計算することができ,特 :|

Rブ =位―衡)Aの L=行 ………………………………………i……く鋤

ご=“Fθどθ

=ゝ.5。 2

「agasa″ルstt arAPFルごSc滋″c″ ‐3イ ‐ nFFra“

“

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り脚一仰Ｏｍ　雄切ぬ

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注

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１

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‐で

に

　

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い

と

の

を

の

Ｉ

わ

の

以

[注5.2]こ のク1題 の封算からも分かるように,原 点を中Cと する半径 ン の円弧 (01≦ θ≦02:偏角

θは幾らでもよい。)を「

とすると, zを その上の点として,

・・。(5.28)

ヽ―‐‐＞′‐―プ限

０　　議

一一　

　

し

θ

　

　

こ

て，

一一　　　　　の

』̈　　五ｍ̈　　社由̈

，　　　孤

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は　　　　円

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と　　　　に

　

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っヽ

た

よ

ま

の

n,“

"““″θRI

では消失す ることになる。

‐35‐賄 gαsαた′I″sガ放たげ均り″`J Scた “̀θ

五m ZAZ)=0のときは, M→

0

鳳1ノ0ごZ=J島だ2

となる。こQ(5.28),(5,29)両 式の結果は,

A月〆ル″ル物酬Lθttsf●FE■F漱夕θπ裂釘β「 ("物甲た■5

この種の針算にたく使わ薇る。

Ft8・ 5.3

ｒｌｌ、

　

算計の分積定３５

―　

　

§

【門 5。 1】 015)式の積分は, Z=― Jを極に持つがウス千面上の下半分 (hZ

4月〆たごル臓蠣'θ

濶口歳,srarEπ

『

″σθπ

“

gβ rCみ響 ″几5

のように言け, ξを皮めてχに置き換えて表示 したものである。

すると,実軸上の積分 rlと r2は ,積分区間が重なるから,両者を加えると,

11+r2=だ (Aか ALχ ))ごχ=だ {等 +等 }ごχ=だ≒生ごχ=2Jだ雫ごχ

のように纏めることができる。

一方, 13について考えると, 内薇1の γ~1上

では,

から,工の向きのγの積分に直して苛算すると,

・¨¨¨¨¨0(5.3η

Z=ε θJθ と書けて, αz=′ ε`′

θαθ=`zαθである

r3=上∴ノ(z)ご Z=―∬ヂ・Jζごθ=― J∬ `たごθ・…………………………(5。 38)とな る。 ここに,薇積分関数

`たは

ι:こ =`:・メa=ι :● (cOSθ +isinθ )=θ―Ett θ+j E cosθ =θ

-2 Sinθ .`ie coSθ °̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ・̈ (5。39)

のよ うになるか ら,そ の ε→ 0の極 限は,

島ιた

=ι°=1……………………………………………………… (5.40b

となるから,そ の場合の積分値 f3は ,

凱r3=~J∬ αθ―J[θ ][=― Jπ ……………………………………・・6。4)な

次

　

な

　

な

　

　

　

よ

を

と

　

　

　

る

と

　

　

と

　

と

　

　

　

の

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な

０　　０

６　　０

ら，　

一　

　

一

か

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一

θ

　

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“一一

ル」　　　一　　

´ヽ　θ

¨¨　

　

　

　

／

¨

Ｌ√こ´従引　　時考狩　晏　′‐ヽ関

る　に　　　る　　る　　　　　　　つヽ

θ　こ　　の　　人

め ると,

ir41≦ 21i`~MSinθ αθ≦21i`~竿θごθ

=券 lθttθ

l:=券 (1-`―M)…・(5。o

2ヂ雫ごχ―′π=0……1・となる。よって,求める(5.3o式 の積分値は,

=ゝ.5。 4

となる. ここに, 1〆 → ∞の極限を撃ると,

胸:lr41≦ 券(1-`―∞)=券 (1-1)=0… ………………………………・(5。4・D

となって,セ゛口に颯束す ることか ら,積分値 自体 も,

汎r4=0 ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ごち̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨“¨¨ (5。 48)

のように消失す ることが分かる。

以上のことか ら,M→ ∞,ε → 0の極限を取 った場合,(5。 3η,(5。41),(5.侶)式 の結果を,(5。 35)式に

用いることにより,

・・・ (5.49)

f雫ごχ=チ …………………………………………65oと して得 ら薇 る。

比留鷹僣Ls山"げ

APFルごScた“

″ ‐37‐ rs“ra″“

F●RI

§5.4定積 分 の計算 (五 )本節では,薇積分関数が Sin θ,cos θのよ

【ク1題 5。 3】 ―ク1と して,

∫Oπ 1-2′ cos θ十′2

ごθ ・・……… … 0¨・‥・ ・̈ 0。・… 0…・¨ ・̈… 0・ …… … …・・・…・・… …・(5.51)

のような定積分 を針算 してみ よう.

[解 ](5。51)式 は,薇積分関数の分母に COS θを合み, θの積分区間が 0≦ θ≦2π であることか ら,こ=``θ °・・・°000・・・・・・。●0000。 。・・。●000●・・。・・00・・00000000000・ 。0000・ 000。 00・・・・・・。・(5.52)

と置くことにより,実 変数 θをがウス千面上の偏角に対応 させる。 このとき, FJg.5.5に 示す ように,

複素変数 zは ,原 点 οを中′むと した半径 1の 単位 円周上 を 1月 す ることになる。

このとき, ゾ

初 ″`ご

Mtth′“αルsjわ rE″J″

`θ

rJ″gB r Cλ η″∴5

うな三角関数の有理関数で与 えら薇る場合について述べる.

ζ=`jθ =COS θ ttJs

"¨・¨。(5.53)÷ = `―iθ = COS θ一J

ごz=J`:θ ごθ =Jζ ι

変数変換は,であるか ら,

cos θ = :(z 十:)

sin θ=多ズz一÷) D● ¨̈ (̈5.54)αθ=尭αだ〒―J等

によって行。なえばよい.

このとき,(5。51)式 の定積分 をJと 言いて,積分変数

をθからだに変換することにより,求める定積分は, '(_ル r′′′く/ノFな。5.5J=∬

π可互清鏃7日 轟 覇彙

到彙 H Iョ

…

のような複素積分の問題に帰着 された。ここに,薇積分関数を バィ)と 書き,部 分分数に展 開するこ

とにより,

J=lz日 畑 茂

なり，制雄はＲ‐ま，　　Ｒ　　なり，Ｒ〓よつて

と

合

析

　

数

　

　

　

　

と

　

と

レ

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）‥一げ

・ι一【

　

　

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一　

　

　

５

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‐２＞ 式

Ｌ

　

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¨秘‐すて解　】　　口　　口

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Fな。5.5

ハしgαsttt r″ sだ勉″(ヴP、

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SCJθ

“εθ ・ 38‐ n,“ ra“

“

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上

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以

と

五Л夕JligJ施乃θ″α`た

sしわrE“♂″θθrii4g B r C乃″ ″∴5

て,積分路である単位円周上の1点 ′=1人 は′=-1に ,2位 の極を持つことになる為である.により,求める(5。 51)式 の解は,

∬π =← 引川4)

のように書 くことがで きる.

0。(5◆ 61)

[注5.3]以上,ク1題 5.1,5。 2,5.3で示してきた3つ のタイア°の定積分の他,種々の実変域の定積分が

複素関数における留数 の定理を用いて言算できることになるが,特に一般 的な,っ よリヨウいう場合に

は,す ればよいという規貝1は なく,個 々の場合について積分路のウマイ選び方を工夫するより他はない。

しか し,何薇の場合にも,原 理は「 与えら薇た実軸上の積分路を,適当な複煮千面上の積分路で補 っ

て閉 じた積分路を構成 し, こ薇に対 して留数の定理を適用する。」ということに,過ぎないのである.

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