Nikitin AntiBook0v2

7/27/2019 Nikitin AntiBook0v2

http://slidepdf.com/reader/full/nikitin-antibook0v2 1/3

1 . Î ï ð å ä å ë å í è å î ã ð à í è ÷ å í í î é ( ñ â å ð õ ó , ñ í è ç ó ) ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è .

Ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü {xn}

í à ç û â à å ò ñ ÿ î ã ð à í è ÷ å í í î é ñ â å ð õ ó ( ñ í è ç ó ) , å ñ ë è ∃M (m) ∈ R :

∀ n ∈ N ⇒ xn ≤ M (xn ≥ m).

Í à ç î â å ì ÷ è ñ ë î â ó þ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü {xn}

î ã ð à í è ÷ å í í î é , å ñ ë è ∃A ∈ R : ∀ n ∈ N ⇒

|xn| ≤ A.

Ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü î ã ð à í è ÷ å í à ò î ã ä à è ò î ë ü ê î ò î ã ä à , ê î ã ä à î í à î ã ð à í è ÷ å í à ñ â å ð õ ó è

ñ í è ç ó .

2 . Î ï ð å ä å ë å í è å á å ñ ê î í å ÷ í î á î ë ü ø î é ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è ( Á Á × Ï ) .

× è ñ ë î â à ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü {xn}

í à ç û â à å ò ñ ÿ á å ñ ê î í å ÷ í î á î ë ü ø î é , å ñ ë è ∀A ∈ R :

∃ N (A) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ |xn| > A.

Ñ í ÿ ò è å ì î ä ó ë ÿ â í å ð à â å í ñ ò â å î ï ð å ä å ë ÿ å ò , ê à ê î ã î ç í à ê à á å ñ ê î í å ÷ í î á î ë ü ø à ÿ ï î ñ ë å ä î â à -

ò å ë ü í î ñ ò ü .

3 . Î ï ð å ä å ë å í è å á å ñ ê î í å ÷ í î ì à ë î é ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è ( Á Ì × Ï ) .

× è ñ ë î â à ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü {xn} í à ç û â à å ò ñ ÿ á å ñ ê î í å ÷ í î ì à ë î é , å ñ ë è ∀ε > 0 ∈ R :∃ N (ε) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ |xn| < ε

.

4 . Ò å î ð å ì à î ñ â î é ñ ò â à õ á å ñ ê î í å ÷ í î ì à ë û õ ï î ñ ë å ä î â ò å ë ü í î ñ ò å é .

Ï ó ñ ò ü {αn}

á å ñ ê î í å ÷ í î ì à ë à ÿ ÷ è ñ ë î â à ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü . Ò î ã ä à :

1 . {αn}

î ã ð à í è ÷ å í à

2 . Å ñ ë è {yn}

î ã ð à í è ÷ å í à , ò î {αn × yn}

á å ñ ê î í å ÷ í î ì à ë à ÿ ÷ è ñ ë î â à ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü -

í î ñ ò ü

3 . Å ñ ë è {β n} á å ñ ê î í å ÷ í î ì à ë à ÿ ÷ è ñ ë î â à ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü , ò î {αn×β n} è {αn±β n} á å ñ ê î í å ÷ í î ì à ë û å ÷ è ñ ë î â û å ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

5 . Ò å î ð å ì à î ñ â ÿ ç è Á Ì × Ï è Á Á × Ï .

1 . Å ñ ë è {xn}

Á Ì × Ï è ∀n ∈ N : xn = 0

, ò î { 1

xn}

Á Á × Ï

2 . Å ñ ë è {xn} Á Á × Ï è ∀n ∈ N : xn = 0, ò î { 1

xn} Á Ì × Ï

6 . Î ï ð å ä å ë å í è å î ê ð å ñ ò í î ñ ò è

Í à ç î â å ì î ê ð å ñ ò í î ñ ò ü þ ò î ÷ ê è a ∈ R ë þ á î é è í ò å ð â à ë , ñ î ä å ð æ à ù è é ý ò ó ò î ÷ ê ó

U (a).

U δ(a) = (a − δ ; a + δ ) ñ è ì ì å ò ð è ÷ í à ÿ

δ - î ê ð å ñ ò í î ñ ò ü .

U δ(a) = (a − δ ; a) ∪ (a; a + δ ) ï ð î ê î ë î ò à ÿ

δ - î ê ð å ñ ò í î ñ ò ü .

7 . Ä â à î ï ð å ä å ë å í è ÿ ï ð å ä å ë à ÷ è ñ ë î â î é ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

1 . Á ó ä å ì ã î â î ð è ò ü , ÷ ò î ÷ è ñ ë î â à ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü {xn} è ì å å ò ï ð å ä å ë , ð à â í û é a

,

ò . å .

limn→∞

xn = a ⇐⇒ ∀U (a) ∃N (U (a)) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ xn ∈ U (a) ⇐⇒ {xn − a}

Á Ì × Ï .

2 . limn→∞

xn = a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N (ε) ∈ N : ∀n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε.

1



8 . Ò å î ð å ì à î ñ â î é ñ ò â à õ ñ õ î ä ÿ ù è õ ñ ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò å é

1 . Ï ð å ä å ë ñ õ î ä ÿ ù å é ñ ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è å ä è í ñ ò â å í å í .

2 . Ñ õ î ä ÿ ù à ÿ ñ ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü î ã ð à í è ÷ å í à .

3 . Ï ó ñ ò ü ∃ limn→∞

xn = a ∧ limn→∞

yn = b ⇒

∃ limn→∞

(xn ± yn) = a ± b

∃ limn→∞

(xn × yn) = a × b

∃ limn→∞

xnyn

= ab

ï ð è ∀n ∈ Nyn = 0 ∧ b = 0.

9 . Ò å î ð å ì à î ï ð å ä å ë ü í î ì ï å ð å õ î ä å â í å ð à â å í ñ ò â à õ

Ï ó ñ ò ü ∃ limn→∞


yn = b. Ò î ã ä à å ñ ë è

b > a∃N : ∀n ≥ N : xn < yn .

1 0 . Ò å î ð å ì à , î á ð à ò í à ÿ ï . 9

Ï ó ñ ò ü ∃ limn→∞


yn = b. Ò î ã ä à å ñ ë è ∃N : ∀n ≥ N :

1 .

xn ≥ yn ⇒ a ≥ b.

2 .

xn ≥ b ⇒ a ≥ b.

3 .

yn ≥ xn ⇒ b ≥ a.

4 . yn ≥ a ⇒ b ≥ a

.

1 1 . Ò å î ð å ì à î ä â ó õ ì è ë ë è ö è î í å ð à õ

Ï ó ñ ò ü ∃N : ∀n ≥ N : xn ≤ yn ≤ z n , ï ð è ÷ å ì è ç â å ñ ò í î

∃ limn→∞

xn = limn→∞

z n = a. Ò î ã ä à

∃ limn→∞

yn = a.

1 2 . Î ï ð å ä å ë å í è å ì î í î ò î í í î é ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

∀n ∈ N ⇒ xn ≤ xn+1(xn ≥ xn+1), ò î {xn} í å ó á û â à þ ù à ÿ {xn} ( í å â î ç ð à ñ ò à þ ù à ÿ

{xn} ) ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü .

Å ñ ë è {xn}

, {xn}

, {xn} ↓

è ë è {xn} ↑

, ò î ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü í à ç û â à þ ò ì î í î ò î í í î é .

1 3 . Ò å î ð å ì à Â å é å ð ø ò ð à ñ ñ à î ì î í î ò î í í î é ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

{xn} ñ õ î ä è ò ñ ÿ ⇐⇒ î í à î ã ð à í è ÷ å í à ñ â å ð õ ó .

{xn} ñ õ î ä è ò ñ ÿ

⇐⇒î í à î ã ð à í è ÷ å í à ñ í è ç ó .

1 4 . Î ï ð å ä å ë å í è å ñ ò ÿ ã è â à þ ù å é ñ è ñ ò å ì û ñ è ã ì å í ò î â ( Ñ . Ñ . Ñ . )

Ì í î æ å ñ ò â î î ò ð å ç ê î â {an, bn}n = 1, 2 . . .

í à ç û â å ò ñ ÿ ñ è ñ ò å ì î é ñ ò ÿ ã è â à þ ù è õ ñ ÿ ñ å ã ì å í ò î â ,

å ñ ë è :

1 . Ê à æ ä û é ï î ñ ë å ä ó þ ù è é ñ å ã ì å í ò â ë î æ å í â ï ð å ä û ä ó ù è é , ò . å .

a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤

bn ≤ . . . ≤ b1

2 . limn→∞

(bn − an) = 0

2



1 5 . Ë å ì ì à Ê î ø è - Ê à í ò î ð à

Â ë þ á î é Ñ . Ñ . Ñ . ∃!

ò î ÷ ê à

c ∈∞

n=1[an; bn].

1 6 . Î ï ð å ä å ë å í è å

e

limn→∞

(1 + 1

n

)n = e

1 7 ( è 1 8 ) . Î ï ð å ä å ë å í è å ÷ à ñ ò è ÷ í î ã î ï ð å ä å ë à ÷ è ñ ë î â î é ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

a ∈ R í à ç û â à å ò ñ ÿ ï ð å ä å ë ü í î é ò î ÷ ê î é {xn} è ë è ÷ à ñ ò è ÷ í û ì ï ð å ä å ë î ì , å ñ ë è :

1 . Â ë þ á î é î ê ð å ñ ò í î ñ ò è ò î ÷ ê è

aí à é ä å ò ñ ÿ á å ñ ê î í å ÷ í î ì í î ã î ý ë å ì å í ò î â

{xn}, è ë è :

2 . ∃

ï î ä ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü {xnk} : lim

k→∞xnk = a

.

1 9 . Î ï ð å ä å ë å í è å â å ð õ í å ã î è í è æ í å ã î ï ð å ä å ë à ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

Í à ç î â å ì í à è á î ë ü ø è é ( í à è ì å í ü ø è é ) ÷ à ñ ò è ÷ í û é ï ð å ä å ë ÷ è ñ ë î â î é ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

{xn}å ã î â å ð õ í è ì ( í è æ í è ì ) ï ð å ä å ë î ì . Î á î ç í à ÷ å í è ÿ :

limk→∞

xn (

limk→∞

xn ) .

2 0 . Î í à æ å Á î ë ü ö à í î - Â å é å ð ø ò ð à ñ ñ à

Ë þ á à ÿ î ã ð à í è ÷ å í í à ÿ ÷ è ñ ë î â à ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü è ì å å ò ñ õ î ä ÿ ù ó þ ñ ÿ ï î ä ï î ñ ë å ä î â à -

ò å ë ü í î ñ ò ü .

2 1 . Ê ð è ò å ð è é Ê î ø è î ñ õ î ä è ì î ñ ò è ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò è

Ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü ñ í î ò ü {xn} ñ õ î ä è ò ñ ÿ ⇐⇒ î í à ô ó í ä à ì å í ò à ë ü í à . Ô ó í ä à ì å í ò à ë ü í î é í à ç û -

â à å ò ñ ÿ ï î ñ ë å ä î â à ò å ë ü í î ñ ò ü , ä ë ÿ ê î ò î ð î é ∀ε > 0 ∃N (ε) : ∀n, m ≥ N ⇒ |xn − xm| < ε

3

Documents

Nikitin AntiBook0v2