Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS:
STATICS
Ninth Edition
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CHAPTER
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
:نیروهای گسترده 5 مرکز هندسی و مرکز سطح
حمیدرضا فرنوش دانشگاه کاشان
94-95اول نیمسال
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مقدمه
5 - 2
مقدمه
مرکز ثقل یک جسم دوبعدی
مرکز هندسی و گشتاور اول سطح ها و خط ها
مساحت و مرکز سطح شکل های متداول
طول و مرکز هندسی خطوط متداول
ورق ها و سطوح مرکب
5.1مسئله
تعیین مرکز سطح به روش انتگرالگیری
5.4مسئله
قضیه های پاپوس و گلدینوس
5.7مسئله
بارهای گسترده وارد بر تیرها
5.9مسئله
مرکز حجم: مرکز ثقل اجسام سه بعدی
مرکز حجم شکل های متداول سه بعدی
اجسام مرکب سه بعدی
5.12مسئله
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مقدمه
5 - 3
. زمین نیروی گرانشی خود را به تمامی ذرات تشکیل دهنده جسم وارد می کند•این نیروها می توانند به وسیله تک نیروی معادل برابر با وزن جسم وارد شده
.بر مرکز ثقل آن جایگزین شود
ازمفهوم گشتاور اول . مرکز یک سطح مشابه به مرکز ثقل یک جسم است• .یک سطح برای تعیین مکان مرکز هندسی استفاده می شود
گلدینوس -مساحت یک سطح و یا حجم حاصل از دوران با قضیه های پاپوس• .تعیین می شود
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مرکز ثقل یک جسم دوبعدی
5 - 4
مرکز ثقل یک ورق•
y
x
M xW x W
x dW
M yW y W
y dW
مرکز ثقل یک سیم•
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مرکز هندسی و گشتاورهای اول سطح ها و خط ها
5 - 5
x
QdAyAy
y
QdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
x
y
respect toh moment witfirst
respect toh moment witfirst
مرکز هندسی یک سطح•
dLyLy
dLxLx
dLaxLax
dWxWx
مرکز هندسی یک خط•
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
گشتاورهای اول سطح ها و خط ها
5 - 6
متقارن است، اگر برای ’BBیک سطح نسبت به محور •یافت شود که ’Pنقطه دیگر Pهر نقطه ای مانند
جسم ’BBباشد و ’BBعمود بر راستای ’PPراستای .را به دو قسمت مساوی تقسیم کند
گشتاور اول یک سطح نسبت به محور تقارنش صفر • .است
اگر یک سطح دارای یک محور تقارن باشد، مرکز • .هندسی روی آن محور قرار دارد
اگر یک سطح دارای دو محور تقارن باشد، مرکز • .هندسی آن در محل تقاطع آن دو محور است
متقارن است اگر برای Oیک سطح نسبت به مرکز •، جزء هم (x,y)با مختصات dAهر جزئی مانند
.موجود باشد (x,-y-)با مختصات ’dAمساحت
.مرکز هندسی سطح بر مرکز تقارن آن منطبق است•
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مرکز هندسی سطح شکل های متداول
5 - 7
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مرکز هندسی خطوط متداول
5 - 8
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
ورق ها و سطوح مرکب
5 - 9
ورق های مرکب•
WyWY
WxWX
سطوح مرکب•
AyAY
AxAX
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.1مسئله
5 - 10
برای ورق مسطح مقابل، گشتاورهای اول
و مکان مرکز yو xنسبت به محورهای
.هندسی را تعیین کنید
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.1مسئله
5 - 11
33
33
mm107.757
mm102.506
y
x
Q
Q
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.1مسئله
5 - 12
23
33
mm1013.828
mm107.757
A
AxX
mm 8.54X
23
33
mm1013.828
mm102.506
A
AyY
mm 6.36Y
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
تعیین مرکز سطح به روش انتگرالگیری
5 - 13
ydxy
dAyAy
ydxx
dAxAx
el
el
2
2
el
el
xA x dA
a xa x dy
yA y dA
y a x dy
drr
dAyAy
drr
dAxAx
el
el
2
2
2
1sin
3
2
2
1cos
3
2
dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el،یک مستطیل کوچک dAاگر دیفرانسیل سطح •
باشد، محاسبه هر یک از dyو dxبه اضالع انتگرال ها نیازمند انتگرالگیری دوگانه نسبت به
x وy است.
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.4مسئله
5 - 14
به روش انتگرالگیری، مختصات مرکز سطح
.زیر سهمی شکل مقابل را تعیین کنید
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.4مسئله
5 - 15
21
21
2
2
2
2
2
yb
axorx
a
by
a
bkakb
xky
3
30
3
20
2
2
ab
x
a
bdxx
a
bdxy
dAA
aa
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.4مسئله
5 - 16
1052
2
1
2
44
2
0
5
4
2
0
22
2
2
0
4
2
0
2
2
abx
a
b
dxxa
bdxy
ydAyQ
bax
a
b
dxxa
bxdxxydAxQ
a
a
elx
a
a
ely
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.4مسئله
5 - 17
10
42
1
22
2
0
23
21
21
21
2
0
22
0
22
abdyy
b
aay
dyyb
aaydyxaydAyQ
badyy
b
aa
dyxa
dyxaxa
dAxQ
b
elx
b
b
ely
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.4مسئله
5 - 18
43
2baabx
QAx y
ax4
3
103
2ababy
QAy x
by10
3
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
گلدینوس-قضیه های پاپوس
5 - 19
سطح دوار در اثر چرخش یک منحنی نسبت به یک • .محورثابت به وجود می آید
مساحت سطح دوار برابر است با •حاصلضرب طول منحنی مولد در مسافت
طی شده توسط مرکز هندسی در اثر چرخش
LyA 2
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
گلدینوس-قضیه های پاپوس
5 - 20
جسم دوار در اثر چرخش یک صفحه نسبت به یک • .محورثابت به وجود می آید
حجم جسم دوار برابر است با حاصلضرب •مساحت سطح مولد در مسافت طی شده
توسط مرکز هندسی در اثر چرخش
AyV 2
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.7مسئله
5 - 21
و سطح m 0/8قطر خارجی یک چرخ تسمه
. مقطع طوقه آن به صورت مقابل است
چنانچه این چرخ تسمه از جنس فوالدی با
باشد، جرم kg/m3 103 ×7/85 =ρچگالی
.و وزن طوقه را محاسبه کنید
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.7مسئله
5 - 22
3393633 mmm10mm1065.7mkg1085.7Vm kg 0.60m
2sm 81.9kg 0.60 mgW N 589W
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
بارهای گسترده وارد به تیرها
5 - 23
w (N/m)بار گسترده توسط نمودار نسبت بار به طول یا • . بار کل برابر است با سطح زیر منحنی بار. تعیین می شود AdAdxwW
L
0
AxdAxAOP
dWxWOP
L
0
بار گسترده را می توان با یک بار متمرکز جایگزین کرد، به •طوری که اندازه آن برابر با سطح زیر منحنی بار باشد و
.خط اثر آن از مرکز هندسی سطح عبور کند
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.9مسئله
5 - 24
یک بار گسترده ذوزنقه ای به یک تیر وارد
( ب)بار متمرکز معادل و ( الف. )می شود
عکس العمل در تکیه گاه های این تیر را
.تعیین کنید
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.9مسئله
5 - 25
.اندازه بار متمرکز برابر با سطح زیر منحنی بار است•
4500 15006 18.0 kN
2F
.خط اثر بار متمرکز از مرکز هندسی سطح عبور می کند•
kN 18
mkN 63 X m5.3X
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.9مسئله
5 - 26
0m .53kN 18m 6:0 yA BM
kN 5.10yB
0m .53m 6kN 18m 6:0 yB AM
kN 5.7yA
Bx
By Ay
0 :xF 0xB
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مرکز حجم: مرکز ثقل اجسام سه بعدی
5 - 27
G مرکز ثقل جسم •
jWjW
jWrjWr
jWrjWr
G
G
dWrWrdWW G
.نتایج بدست آمده مستقل از جهت گیری جسم است•
zdWWzydWWyxdWWx
zdVVzydVVyxdVVx
dVdWVW and
:برای یک جسم همگن•
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
مراکز هندسی شکل های متداول سه بعدی
5 - 28
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
اجسام مرکب سه بعدی
5 - 29
برابر با مجموع کل Gگشتاور وزن کل در مرکز ثقل • .گشتاورهای وزن اجزاء است
WzWZWyWYWxWX
برای اجسام همگن•
VzVZVyVYVxVX
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.12مسئله
5 - 30
.مرکز ثقل قطعه مقابل را تعیین کنید
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.12مسئله
5 - 31
© 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Vector Mechanics for Engineers: Statics
Nin
th
Ed
ition
5.12مسئله
5 - 32
34 in .2865in 08.3 VVxX
34 in .2865in 5.047 VVyY
34 in .2865in .6181 VVzZ
in. 577.0X
in. 577.0Y
in. 577.0Z