NÚMEROS RACIONALES CPR. JORGE JUAN ℚ Xuvia-NarónCuando el numerador y el denominador de la fracción se dividen por un mismo número, el cual es un divisor común a ambos. 14 14:2

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números racionales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia Leopoldo E. Álvarez

38

NÚMEROS RACIONALES, ℚ

CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Los términos que constituyen una fracción son, minDeno

Numeradorador

El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador las partes que se toman de esas partes en que se dividió la unidad. El denominador de una fracción nunca puede ser el número cero. Para leer una fracción se nombre el numerador y después el denominador según indica la siguiente tabla Denominador Se lee 2 medios 3 tercios 4 cuartos 5 quintos 6 sextos tres sextos 7 séptimos 8 octavos 9 novenos 10 décimos 11 onceavos n se indica el número y se le añade la terminación avo Los números racionales, que se representan por el símbolo, ℚ, es el conjunto definido por los números enteros, a, y, b, escritos en forma de fracción, a/b, y en el que además el número entero, b, que está en el denominador de la fracción no es el número cero.

ℚ= { ab

/ (a,b)ℤxℤ*} {ab

/ a,bℤ, b 0}

ℤ*= ℤ-{0} de la definición anterior se deduce que cualquier número entero puede escribirse en forma de fracción sin más que dividirlo por la unidad,

771

se tiene, ℕℤℚ. Los números racionales o fracciones tienen las siguientes propiedades:

El valor de la fracción que representa a un número racional no cambia si se multiplica o divide por un mismo número entero su numerador y su denominador. La fracción resultante se dice que es equivalente a la primera

3 3. 65 5

2.2 10


39

La expresión de un número racional no es única, existiendo infinidad de fracciones distintas equivalentes entre sí que representan a ese número racional.

Dos fracciones se dicen equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad. Es decir, cuando son iguales.

Para determinar si dos o más fracciones son equivalentes se sigue uno de estos procedimientos:

Se multiplican en cruz sus términos. Si el resultado obtenido en dichas multiplicaciones coincide las fracciones son equivalentes.

Se calculan las fracciones irreducibles de esas fracciones y se verifica que sean iguales.

Esta propiedad permite: Simplificar una fracción

Cuando el numerador y el denominador de la fracción se dividen por un mismo número, el cual es un divisor común a ambos.

214 14 : 712 12 : 2 6

De esta propiedad se define la fracción irreducible

Cuando el único número que divide al numerador y el denominador de la fracción es la unidad la fracción se dice irreducible. La fracción está escrita con los números más pequeños posibles que representan a este número racional. 35

Amplificar una fracción

Cuando el numerador y el denominador de la fracción se multiplican por un mismo número. 5 5.2 106 6.2 12

Reducir fracciones a común denominador

Proceso por el que se hallan otras fracciones equivalentes a las dadas con la particularidad de que todas tienen el mismo denominador. El procedimiento a seguir para ello es:


40

1 3 5, ,2 4 6

Se obtiene el mínimo común múltiplo, m.c.m. de todos los denominadores de las fracciones que se quieren reducir a común denominador. m.c.m.(2,4,6)= 22.3.1= 12 2= 2.1 4= 22.1 6= 2.3.1 Se escriben todas las fracciones con el mismo denominador, el m.c.m., calculado anteriormente, y el numerador de cada fracción se multiplica respectivamente por el número que resulta de dividir el, m.c.m., por su denominador. 1 1.6 62 12 12 3 3.3 9

4 12 12 5 5.2 10

6 12 12

El reducir fracciones a común denominador permite comparar fracciones, pues una vez reducidas a común denominador una fracción es mayor que otra si lo es su numerador.

1 3 5, ,2 4 6

se reducen a común denominador

m.c.m.(2,4,6)= 22.3.1= 12

2= 2.1 4= 22.1 6= 2.3.1

1 1.6 62 12 12 3 3.3 9

4 12 12 5 5.2 10

6 12 12

Las fracciones obtenidas con igual denominador se ordenan por su numerador

10 9 612 12 12

En función de estas fracciones se ordenan ahora las iniciales que son equivalentes a éstas

5 3 16 4 2

Escribir las siguientes fracciones

Cuatro quintos 45

nueve doceavos 9

12 dos décimos

210

Un tercio 13

doce veinteavos 1220

cinco novenos 59


41

Decir como se leen las fracciones siguientes

58

cinco octavos 36

tres sextos 49

cuatro novenos

Sara y sus amigos compran una tarta para merendar y se la entregan partida en, 12 trozos, iguales. Sara come 2 trozos, Andrés come, 3, Elisa come, 1, y Manuel come, 4. Expresar con fracciones la parte de tarta que come cada niño y la parte que queda sin comer.

Sara 2

12 Andrés

312

Elisa 1

12 Manuel

412

Queda sin comer 2

12

Hacer un dibujo de lo que sería el plano de una casa con jardín si sabemos que la casa ocupa, 4/9, del terreno, la piscina, 3/9, y el jardín el resto. Señala con colores las diferentes partes y decir que fracción ocupa el jardín. casa piscina jardín Comprobar si los siguientes pares de fracciones son equivalentes 2 43 9

no son equivalentes 2.9 3.4

2 37 7


2 1

10 5 si son equivalentes 2.5= 1.10

4 16 3


Completar las fracciones para que sean equivalentes 4 2

12 x.4= 2.12 x=

244

= 6

3 29

x.3= 2.9 x= 2.93

= 6

23 15

2.15= 3.x x= 2.15

3= 10

6 3

14 6.x= 14.3 x=

3.146

= 7


42

Indicar que parejas de fracciones son equivalentes 3

14 y

1216

si son equivalentes 48= 3.16 = 4.12= 48

5139

y 1713

si son equivalentes 663= 51.13 = 39.17= 663

3129

y 3386

no son equivalentes 2666= 31.86 29.33= 957

Completar los huecos para que las fracciones sean equivalentes

2 4 20 303 12

86 30 45

62

93

4 89 18

45 0

81

Escribir dos fracciones comprendidas entre,37

, y, 25

.

3 2,7 5

m.c.m.(7,5)= 35 15 14,35 35

multiplico ambas por 3 43

10545 42, ,

105 105

Simplificar la fracción

60 30 10 2150 75 250 5

1203 0

o bien dividir ambos números por el m.c.d.(120,300)= 22.3.5.1= 60

120= 23.3.5.1 300= 22.3.52.1 7530

52

18248

9124

54648

918

o bien dividir ambos números por el m.c.d.(182,48)= 2.2= 6

182= 2.3.7.13.1 48= 24.3.1


43

Ordenar de mayor a menor los números: 1 3 2 9 3 2 5 0, , , , , , ,5 4 7 8 4 7 6 1

m.c.m.(5,4,7,8,6)= 840. Las fracciones escritas con igual denominador quedan de la forma 168 630 240 945 630 240 700 0, , , , , , ,840 840 840 840 840 840 840 840

Se ordenan estas fracciones con igual denominador 945 700 630 240 240 168 0 630,840 840 840 840 840 840 840 840

finalmente las fracciones iniciales quedan ordenadas según 9 5 3 2 2 1 0 38 6 4 7 7 5 1 4

3 5 7 11, , ,4 12 3 20

m.c.m.(4,12,3,20)= 60. Las fracciones escritas con igual denominador quedan de la forma 45 25 140 3360 60 60 60

finalmente las fracciones iniciales quedan ordenadas según 7 3 11 53 4 20 12

Ordenar de mayor a menor los números: 2 1 4 1 5, , , ,5 3 9 4 2

m.c.m.(5,3,9,4,2)= 5.9.4= 180. Las fracciones escritas con igual denominador quedan de la forma 72 60 80 45 450, , , ,

180 180 180 180 180

finalmente las fracciones iniciales quedan ordenadas según 5 4 2 1 12 9 5 4 3


44

Con los números racionales se definen de forma análoga a los números naturales y a los números enteros las operaciones básicas de sumar, restar, multiplicar, y, dividir, teniendo además las mismas reglas para el signo que las operaciones con los números enteros. Las nuevas operaciones han de ser de tal forma que las definidas tanto en los números enteros y en los números naturales sean un caso particular de éstas. Sumar 1 + 2 + 7 4 3 5

Para poder sumar dos o más números racionales éstos han de tener el mismo denominador, por ello lo primero que se ha de hacer es reducirlos todos ellos a común denominador.

m.c.m.(4,3,5)= 22.3.5.1= 60 4= 22.1 3= 3.1 5= 5.1

60 : 4= 15 60 : 3= 20 60 : 5= 12

La fracción suma resultante tiene como numerador la suma de los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas, y como denominador el denominador común a todas ellas.

Sumar dos ó más números racionales da como resultado otro número racional que tiene por denominador el mínimo común múltiplo, m.c.m., de los denominadores de las fracciones que se suman, y por numerador la suma o resta de los números que resultan en cada fracción de multiplicar el numerador de la misma por el resultado de dividir el mínimo común múltiplo, m.c.m., por su denominador.

11 22 7 1. 2. 7. 1394 3 5 60

15 1520 400 60

46

8

m.c.m.(4,3,5)= 22.3.5.1= 60 4= 2.2.1= 22.1 3= 3.1 5= 5.1 60 : 4= 15 60 : 3= 20 60 : 5= 12

La suma tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa

a,bℚ a+b= b+a= cℚ Asociativa a,b,cℚ (a+b)+c= a+(b+c)

Elemento neutro

eℚ/ aℚ a+e= e+a= a e= 0

1 2 7 1. 2. 7.4 3 5 60 60 60 60 60 60

15121 2 80 405 4

151 2 7 1.15 2.20 7.12 1394

843 5 60 60 60 60 60 6

40 40 6

10 0

86

5 0 4


45

Realizar las operaciones con las fracciones 3 28 8 3 2 5

8 8

4 6

11 11 4 6 10

11 11

5 2 4

13 13 13 5 2 4 11

13 13

9 1520 20

9 15 2420 20

Juan y sus tres primos encargan una pizza para merendar. Juan come 3/6, Luisa 2/6, Manuel 4/6 y Alicia 1/6. ¿Qué fracción de pizza comen entre todos?. 3 2 4 1 3 2 4 1 10 56 6 6 6 6 6 3

de pizza se comen entre todos

Restar

1 24 3

Para restar dos números racionales éstos han de tener el mismo denominador, por ello lo primero que se ha de hacer es reducirlos a común denominador.

1 2 1. 2. 3 84 3 12 12 12

42

31

m.c.m.(4,3,5)= 22.3.1= 12 4= 22.1 3= 3.1

12 : 4= 3 12 : 3= 4

La fracción resta tiene como numerador la resta de los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas, y como denominador el denominador común a todas ellas.

1 2 3 8 3 8 54 3 12 12 12 12

Restar dos números racionales da como resultado otro número racional que tiene por denominador el mínimo común múltiplo, m.c.m., de los denominadores de las fracciones que se restan, y por numerador la resta de los números que resultan en cada fracción de multiplicar el numerador de la misma por el resultado de dividir el mínimo común múltiplo, m.c.m., por su denominador.

1 2 1. 2. 54 3 1

4 82 12 1

32

3

m.c.m.(4,3,5)= 22.3.1= 12 4= 2.2.1= 22.1 3= 3.1 12 : 4= 3 12 : 3= 4


46

La resta no tiene las propiedades: Conmutativa

a,bℚ a-b b-a Asociativa a,b,cℚ (a-b)-c a-(b-c) Elemento neutro ∄eℚ/ aℚ a-e= e-a= a

La resta si tiene la propiedad: Anticonmutativa a,bℚ a-b= -(b-a)= cℚ Realizar las operaciones con las fracciones

9 3 6 38 8

98 8 4

3

24 17 4 3 124 17 43 30 30 100 30 30

2525 24 11

3 314

3 3

11 5 2

9 9 95 2 49 9

7 5 8

12 12 127 5 8 10 5

12 12 6

24 10 3 5 111 11 11 11 11

24 10 3 5 1 1711 11

Multiplicar

Al multiplicar dos o más números racionales se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones que se multiplican y cuyo denominador es el producto de los denominadores de dichas fracciones que se multiplican.

2 7 2.7 14.3 5 3.5 15

74 4

64

174

6


47

La multiplicación tiene las siguientes propiedades: Conmutativa

a,bℚ a.b= b.a= cℚ Asociativa a,b,cℚ (a.b).c= a.(b.c) Elemento neutro eℚ/ aℚ a.e= e.a= a e= 1 Distributiva del producto con respecto a la suma o a la resta a,b,cℚ a.(b c)= a.b a.c

Realizar las operaciones con las fracciones 4 1.3 5

4.1 43.5 15

2 9.8 7

2.9 188.7 56

15 8.20 6

15.8 12020.6 120

6 1.

14 2 6.1 6

14.2 28

Completar la fracción para que se verifique

23

5 10.8 24

6 18.

8 03

5 4

7 21.10 4

340

2 14.9

773 2

En un saco había 45 kg de patatas. Si sacamos los 2/5, ¿cuántos kg de patatas quedan?. 2 2.45 90.45 185 5 5

kg de patatas se sacan del saco

45 – 18= 27 kg de patatas son los que quedan


48

En un hotel de playa se alojan 180 turistas. 1/3 de ellos son alemanes, 2/5 son belgas y el resto son franceses. ¿Cuántos turistas hay de cada país?.

Alemanes 1 1.180 180.180 603 3 3

turistas

Belgas 2 2.180 360.180 725 5 5

turistas

Franceses 180 – 60 -72= 48 turistas De las 160 plazas de un tren, se ocupan en la primera estación 3/5 y en la siguiente 2/8 más. ¿Cuántas plazas están ocupadas?. ¿Cuántas quedan libres?.

Ocupadas 3 3.160 480.160 965 5 5

plazas ocupadas en la primera estación

2 2.160 320.160 408 8 8

plazas ocupadas en la segunda estación

96 + 40= 136 plazas están ocupadas 160 – 136= 24 plazas están desocupadas

Dividir

Al dividir dos números racionales se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y cuyo denominador es el producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

2 7 2.5 10:3 5 3.7 21

Se pueden dividir dos números racionales multiplicando el primero por el inverso del segundo, que no es más que otra fracción en la que se ha cambiado el numerador por el denominador y viceversa

57

2 7 2 2.5 10: .3 5 3 3.7 21

Realizar las operaciones con las fracciones 4 3:7 8

4.8 323.7 21

6 1:9 3

6.3 189.1 9

12 4:13 5

12.5 604.13 42

12 6:11 7

12.7 846.11 66


49

Completar la fracción para que se verifique

14

8 32:10 10

6 22:

11 025 3

4 35:7

569 3

23

9 27:13 26

He recorrido 900 m que suponen los 3/7 del recorrido. ¿Cuál es la longitud total del recorrido?. Si divido el recorrido en 7 partes, tres partes se corresponden con 900 m, luego cada una de esas partes tiene 300 m. En total el recorrido es de 7.300= 2100 m ¿Qué variación experimenta una fracción si se multiplica por 5 el numerador y se divide por 5 el denominador. 5. 5.5. 25.

5

a a ab b b

Potencia de una fracción Al elevar una fracción a una potencia dada se obtiene otra fracción que tiene por numerador el numerador de la fracción elevado a dicha potencia y por denominador el denominador de la fracción elevado a dicha potencia.

Hallar a para que se cumpla

3 94 16

a

a= 2

Hallar el resultado de las expresiones

3

3

3 227

2 833

Raíz cuadrada de una fracción Al calcular la raíz cuadrada de una fracción se obtiene otra fracción que tiene por numerador la raíz cuadrada del numerador de la fracción y por denominador la raíz cuadrada del denominador de la fracción.

3 3

3

2 23 3

4 4 29 39


50

Hallar el resultado de las expresiones

121441

1121

Debido a que con estos números se realizan operaciones combinadas, expresiones que tienen simultáneamente las operaciones de, +, -, ., :, potencias. Para realizar estas operaciones combinadas se han de seguir una serie de reglas prácticas:

No pueden ir dos signos seguidos, se deben separar por medio de un paréntesis.

Los paréntesis siempre van por parejas, uno abre y otro cierra la expresión.

Si una pareja de paréntesis está dentro de otra, la más interna es la primera que se realiza.

El orden de jerarquía de las operaciones que se indican en una expresión matemática es Llaves, Corchetes, Paréntesis

Potenciación, Radicación Multiplicación, División Suma, Resta

A igualdad de jerarquía tiene preferencia la operación que se encuentra más a la izquierda. Realizar la operación combinada 4 3 1 2 3 1 2: . 3. : 13 4 6 3 8 6 5

54 3 3 1 4 3 4 5 9: . 3. : : 3. : 3.3 4 8 6 3

58 8 3 1

16 153 118

14 88 2

5 36 5

1915

75 2 7 1.3 5

1 1 41.2 3

13330 102 3 3

111 3 1 21 80 4011

113 317. 51 8

1 . 18

0 38102 52

50

580

380

Un tren arrastra tres vagones. La longitud del primer vagón es 1/3 de la longitud del segundo y la longitud del tercer vagón es igual a la longitud del primero y segundo juntos. Si la longitud total de los tres vagones es igual a 56 m. ¿Cuánto mide cada vagón?.

563 3x xx x

3 3 563

x x x x 8x= 56.3

56.3 218

x

El primer vagón mide: 21 : 3= 7 metros El segundo vagón mide: 21 metros El tercer vagón mide: 21 + 7= 28 metros


51

Jorge ha ido en coche desde el pueblo A hasta el pueblo C pasando por el pueblo B. Ha recorrido un total de 180 km. La distancia entre el pueblo B y el pueblo C es 5/4 de la distancia que hay entre el pueblo A y el pueblo B. ¿Cuál es la distancia entre el pueblo A y el pueblo B?. ¿Y entre el pueblo B y el pueblo C?.

5 1804

x x 4 5 180

4x x

9x= 180.4 180.4 80

9x km

La distancia entre el pueblo A y el pueblo B es: 80 km La distancia entre el pueblo B y el pueblo C es: 180 – 80= 100 km Una persona paga dos plazos de un televisor que cuesta 540 €. En el segundo plazo pagó los 37

de lo que abonó en el primero. ¿Cuánto dinero pagó en cada plazo?.

3 5407

x x 7 3 540

7x x

10x= 540.7 540.7 378

10x €

Primer plazo: 378 € Segundo plazo: 540 – 378= 162 € Cristina recibe en su tienda un total de 90 camisetas de las tallas pequeña, mediana y grande. El número de camisetas pequeñas es 2/3 del número de camisetas medianas, y el número de camisetas grandes es 4/3 del número de las medianas. ¿Cuántas camisetas de cada talla tiene Cristina? ¿El precio de una camiseta pequeña más una mediana y una grande es 36 €. La pequeña cuesta ¼ menos que la mediana, y la grande ¼ más que la mediana. ¿Cuánto cuesta cada camiseta?. 2 4 903 3

x x x 2 3 4 90

3x x x

9x= 90.3 90.3 30

9x camisetas

Camisetas pequeñas: 23

. 30= 20 camisetas

Camisetas medianas: 30 camisetas Camisetas grandes: 90 – 20 – 30= 40 camisetas

1 1 364 4

x x x x x

4 4 4 364

x x x x x 12x= 36.4 36.4 12

12x €

Camisetas pequeñas: 12 - 1 . 12= 12 – 3= 9 € 4 Camisetas medianas: 12 € Camisetas grandes: 36 – 12 – 9= 15 €


52

Los números racionales en función de la fracción irreducible que lo define se clasifican en: Fracciones decimales

Fracción cuyo denominador es una potencia de, 10, ó si no lo es, puede escribirse como una potencia de, 10, ó si se realiza la división que define la fracción da lugar a un número con expresión decimal limitada

3 3.5 15 1'52 2.5 10

En las fracciones decimales si se factoriza el denominador de la fracción irreducible que lo define únicamente se obtienen como factores el, 2, y/o el, 5.

2 .5m p

a ab

Estas fracciones pueden expresarse como una fracción que tenga en su denominador una potencia de, 10. Pudiéndose dar los siguientes casos:

m= p

2 .5 102.5 mm m m

a a a ab

m>p m= p+r, r>0

.5 .5 .5 .52 .5 2 .5 2 .5 .5 2 .5 102.5

r r r r

p rm p p r p p r p r p r p r p r

a a a a a a ab

m<p

p= m+r, r>0

.2 .2 .2 .22 .5 2 .5 2 .2 .5 2 .5 102.5

r r r r

m rm p m m r m r m r m r m r m r

a a a a a a ab

Un número decimal con una expresión decimal limitada se puede escribir en forma de fracción siguiendo uno de estos procedimientos: Procedimiento 1 3’25

Se escribe en el numerador de la fracción a obtener, sin la coma decimal, la expresión decimal del número racional, y en el denominador de dicha fracción se escribe un, 1, seguido de tantos, 0, como cifras haya en la parte decimal del número racional, y finalmente simplificar la fracción resultante.

3’25= 325 13100 4

Procedimiento 2 Se llama, N, a la expresión decimal limitada


53

N= 3’25 Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos, 0, como cifras tenga la parte decimal de la expresión decimal limitada 100 . N= 100 . 3’25 100N= 325

Se despeja, N, y se simplifica

N= 325 13100 4

Fracciones no decimales

Fracción cuyo denominador no es una potencia de, 10, ó si se realiza la división que define la fracción irreducible da lugar a un número con expresión decimal ilimitada periódica, pues va a existir un grupo de cifras que se repiten.

13

= 0’3333333.....

En las fracciones no decimales si se factoriza el denominador de la fracción irreducible que lo define se obtienen factores distintos al, 2, y al, 5. Según como sean los factores en que se descomponga el denominador de la fracción irreducible, ó el lugar en donde se sitúen el grupo de cifras que se repiten en el desarrollo de la fracción en su expresión decimal ilimitada periódica, un número decimal ilimitado periódico puede ser

Puro

Entre los factores del denominador de la fracción irreducible que definen esta fracción no están ni el, 2, ni el, 5.

69 2327 9

= -2’55555…..= 2'5

9= 32.1 El grupo de cifras que se repiten en la expresión decimal ilimitada periódica llamadas, período, comienza inmediatamente después de la coma decimal.

0’13131313...= 0'13

Los números racionales que tienen una expresión decimal limitada periódica pura se pueden escribir en forma de fracción siguiendo uno de estos procedimientos:

Procedimiento 1 6’2121212121…. Se escribe la expresión decimal limitada periódica pura de forma reducida, para lo cual se indica el grupo de cifras repetitivas después de la coma decimal, con un símbolo encima de ella.

6’2121212121...= 6'21


54

Se escribe en el numerador de la fracción a obtener, sin la coma decimal, la expresión decimal reducida del número racional restándole la parte de la misma que no constituye el grupo de cifras periódico, y en el denominador de dicha fracción tantos, 9, como cifras contenga el grupo de cifras que se repite y que constituyen la parte periódica de la expresión decimal. Finalmente se simplifica la fracción resultante.

6'21

= 621 6 615 20599 99 33

Procedimiento 2

Se llama, N, a la expresión decimal ilimitada periódica pura escrita en su forma reducida.

N= 6'21

(1)

Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el período de la expresión decimal ilimitada periódica pura reducida.

100 . N= 100 . 6'21

100N= 621'21

(2)

Se restan las expresiones, (2) – (1)

100N= 621'21

- N= 99N= 615

Se despeja, N, y se simplifica

N= 615 20599 33

Mixto

Entre los factores del denominador de la fracción irreducible además del, 2, y/o el, 5, hay más números primos. 1318

= 0’7222…..= 0'72

18= 2.32.1 El grupo de cifras que se repiten en la expresión decimal ilimitada periódica mixta llamadas, período, no comienza inmediatamente después de la coma decimal, sino que están precedidas por un grupo de cifras decimales que no se repiten llamadas, antiperíodo.

0’237454545...= 0'23745

Los números racionales que tienen una expresión decimal limitada periódica mixta se pueden escribir en forma de fracción siguiendo uno de estos procedimientos:

6'21


55

Procedimiento 1 1’4323232… Se escribe la expresión decimal limitada periódica de forma reducida, para lo cual se indica el grupo de cifras repetitivas después de la coma decimal, con un símbolo encima de ellas.

1’4323232…= 1'432

Se escribe en el numerador de la fracción a obtener, sin la coma decimal, la expresión decimal reducida del número racional restándole la parte de la misma que no constituye el grupo de cifras periódico, y en el denominador de dicha fracción tantos, 9, como cifras contenga el grupo de cifras que se repite y que constituyen la parte periódica de la expresión decimal seguidos de tantos, 0, como cifras tenga la parte decimal no periódica de la expresión decimal. Finalmente se simplifica la fracción obtenida

1432 14 1418 7091'432

990 990 495

Procedimiento 2

Se llama, N, a la expresión decimal ilimitada periódica mixta escrita en su forma reducida.

N= 1'432

Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el antiperíodo de la expresión decimal ilimitada periódica mixta reducida.

10 . N= 10 . 1'432

10N= 14'32

(1)

Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos, 0, como cifras tenga el período de la expresión decimal ilimitada periódica mixta reducida

100 . 10N= 100 . 14'32

1000N= 1432'32

(2)

Se restan las expresiones, (2) – (1)

1000N= 1432'32

- 10N= 14'32

990N= 1418

Se despeja, N, y se simplifica la fracción obtenida

N= 1418 709990 495


56

Indicar que tipo de número es cada uno de los siguientes 1’3333.... Número Decimal Ilimitado Periódico Puro 0’895555.... Número Decimal Ilimitado Periódico Mixto -7’606162.... Número Decimal Ilimitado no Periódico ó Irracional 0’75 Número Decimal Limitado 0’1234567854321.... Número Decimal Ilimitado no Periódico ó Irracional 53

Número Decimal Ilimitado Periódico Puro

5'142727... Número Decimal Ilimitado Periódico Mixto 1'333... Número Decimal Ilimitado Periódico Puro

9 Natural

125 Número Decimal Ilimitado no Periódico ó Irracional 1’555....... Número Decimal Ilimitado Periódico Puro 17’16 Número Decimal Limitado 0’438538538... Número Decimal Ilimitado Periódico Mixto 0’303003000300003... Número Decimal Ilimitado no Periódico ó Irracional 3'12 Número Decimal Limitado 328

= 4 Número Natural

3'1415762514... Número Decimal Ilimitado no Periódico ó Irracional

7 Número Decimal Ilimitado no Periódico ó Irracional

En los siguientes números decimales, tachar los ceros que se puedan. Luego convertirlos en fracciones decimales.

4’0600 4’06= 406100

8’2000 8’2= 8210

0’3400 0’34= 34

100 7’3080 7’308=

73081000

0’0025 0’0025= 25

10000


57

En una ciudad de un millón de habitantes, hay 15.362 coches. ¿Qué fracción decimal expresa el número de coches por persona?.

153621000000

Escribir en forma de número decimal las siguientes fracciones

351000

= 0’035 2

100= 0’02

1710

= 1’7 471100

= 4’71 25710

= 25’7

Escribir en forma de fracción los siguientes números

1’43= 1433100

0’008= 8

1000 15’9=

15910

0’035= 35

1000 24’42=

2442100

Convertir las siguientes fracciones en números decimales y suprimir los ceros que se pueda

191000

= 0’019 -- 3000100

= 30 43001000

= 4’3 7810

= 7’8 6

100= 0’06

Efectuar la operación

0,122…+1,2323….1,18= 012 01 123 1 118 11 122 118 480 '12 1'23 1'1890 99 100 90 99 100 275

Debido a que con los números racionales se hacen operaciones combinadas, expresiones que tienen simultáneamente las operaciones de, +, -, ., :, potencias, se han de seguir una serie de reglas prácticas:

No pueden ir dos signos seguidos, se deben separar por medio de un paréntesis.

Los paréntesis siempre van por parejas, uno abre y otro cierra la expresión.

Si una pareja de paréntesis está dentro de otra, la más interna es la primera que se realiza.

El orden de jerarquía de las operaciones que se indican en una expresión matemática es: Llaves, Corchetes, Paréntesis

Potenciación, Radicación Multiplicación, División Suma, resta

A igualdad de jerarquía tiene preferencia la operación que se encuentra más a la izquierda.


58

Completar el cuadrado para que las diagonales, las filas y las columnas sumen 30

10 173

163

9

193

253

8 223

233

7 203

263

6

9

10

5

Si el producto de dos números, a, y, b, es igual a 48. ¿Cuál es el valor de la expresión, 2a.3b?. 2a.3b= 6.ab= 6.48= 288 Si en tu calculadora no funciona la tecla del, 0, ¿cómo podrías conseguir que apareciese en la pantalla los números, 180, y 108, respectivamente?. ¿Cómo podrías hacer la operación, 120.30?. 180= 178+2 108= 111-3 120.30= (119+1).(29+1) Dos grifos llenan un depósito en 3 horas y 6 horas respectivamente. Al dejar los grifos y el

desagüe abiertos el depósito se ha llenado en, 103

horas. ¿En cuánto tiempo vacía el desagüe

el depósito si éste está lleno?. 1 1 1 33 6 10t

1 1 1 33 6 10t

t= 5 horas tarda en vaciar el desagüe

Tres grifos llenan un depósito. Cada uno de ellos tarda en llenarlo, 8, 10, y, 14 horas respectivamente. ¿Qué fracción de depósito se llenará en 3 horas si están abiertos los tres grifos a la vez?. 1 1 1 18 10 14 t

1 83280t

en, 3 horas la fracción de depósito llenado es, 83 2493.280 280

Decir si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: Todos los números racionales son reales Si Todos los números decimales periódicos son racionales Si Todos los números decimales son racionales No Ningún número racional es irracional Si Ningún número irracional es real No

El patio de la cárcel es un cuadrado de 50 metros de lado. Un recluso pasea recorriendo el perímetro del cuadrado a velocidad constante, y otro preso lo hace sobre la diagonal del patio a la misma velocidad que el anterior. Si parten simultáneamente de un vértice, ¿volverán a encontrarse?.


59

Son enteros los números, x, e, y

7 4 3x 4 2 3 4 2 3y Ordenar de mayor a menor los números

5 6a 3 8b 3 2c 11d

22 5 6 5 6 2 30a 22 3 8 3 8 2 24b

22 3 2 3 2 2 6c 22 11 11d

en función de estos resultados se deduce: y de ahí que

5 6 3 8 11 3 2a b d c Escribir la fracción que se corresponde con la expresión decimal 0'414141...= 0'272829...= 0'414114111...= 0'27227= Hallar el resultado de la expresión 2 1 1 4 1 3 2 1 23

31 1. : :

3 2 3 3 4 26 3 4348 8

2 1 1 1 1 2:3 4 8 6 3

5 107212 7

2 2 13 34

:2361

516

3 4 49: . 4604 9 72: : : :4 1 3 1 9 4 5 1 3 1127.3 4 2

1 1 3 3 1 1 2 7: . :2

76 4 4 6 3 7 6:4 1 5 1 93 1 3 1. . :

3 2 8 4 162 2 8

1 4643 9

2 8 369 207

16

499812 72

15 135143 4 682

1 1 3 1 3 11:3

1 1 1 7 312

1 3 3:3 4 3 2 4 4 6 3 676 42

4 3 3 1 4 3 4 5 9: . 3. : : 3. : 3.3 4 8 6 3

4 3 1 2 3 1 2: . 3. : 13 4 6 3 8 3 18 6

5 58

3 5 55 18 6

1 166 4 3 25 8

1 23 .2 5

1 0 '666... .3

11 2 30 11 2 24 11 5 2 6

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NÚMEROS RACIONALES CPR. JORGE JUAN ℚ Xuvia-NarónCuando el numerador y el denominador de la fracción se dividen por un mismo número, el cual es un divisor común a ambos. 14 14:2