NMR

Vortag im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums

Martin Fuchs

1 Motivation

Die Nuclear Magnetic Resonance, oder zudeutsch Kernspinresonanz ist vor allem durchdie aus der Medizin nicht mehr wegzudenk-ende Magnetresonanztomographie eine zu-mindest dem Namen nach weitläu�g bekan-nte physikalische Erscheinung. Die Physikdie dahintersteckt ist allerdings ebenso kom-plex wie spannend und soll in diesem Vortragnäher beleuchtet werden.

2 Physikalische Grundla-

gen

2.1 Kernspin

Der Spin als intrinsische Teilcheneigenschaftwurde erstmals 1925 postuliert um die Ergeb-nisse des Stern-Gerlach-Experiments zu erk-lären, bei dem ein Strahl aus Silberatomen imMagnetfeld nicht wie klassisch erwartet kon-tiuierloich sondern diskret aufspaltet. Abbil-dung 1Nach dem Standardmodell setzt sich der

Kernspin aus den Spins der Neutronenund Protonen zusammen, und deren spin

Figure 1: Das Stern-Gerlach-Experiment

wiederum aus den Spins der am Aufbaubeteiligten Quarks.(siehe Abbildung 2)

Figure 2: Zusammensetzung des Kernspins

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2.2 Verhalten des Kernspins im

B-Feld

Für uns ist das Verhalten des Kernspin inäuÿeren Feldern, vor allem in einem äuÿerenMagnetfeld von Interesse. Bei der Beschrei-bung dieses Verhaltens hilft uns die Tat-sache, dass die Richtung des Spinvektorsder Richtung zugehörigen magnetischen Mo-ments entspricht.

~µBahn =e

2mc~L

~µSpin = ge

2mc~S

Wir können uns nun deshalb als Modell desSpinvektors einen Stabmagneten vorstellen,der sich in einem Magnetfeld be�ndet. Dieserwird versuchen sich entlang der Feldlinienauszurichten. Da der Spin wie aus der Quan-tenmechanik bekannt nur die Projektion desSpinvektors ist (siehe dazu Abbildung 3) undder Spinvektor im Winkel zur z-Achse steht,wird dieser der Kreiselgleichung gehorchendeine Präzessionsbewegung ausführen, welchesich beschreiben lässt durch ωL = γB0. ωLnennt man auch die Lamorfrequenz. Dieseist, wie aus der Gleichung hervorgeht ab-hängig von der Stärke des Magnetfeldes undvom gyromagnetischen Faktor γ der wie inTabelle 4 ersichtlich von Kern zu Kern ver-schieden ist.Nun präzediert in einer makroskopischen

Probe nicht nur ein Spin sondern eine enormeAnzahl an Spins mit der gleichen Frequenzaber in allen möglichen Phasen sowie inden beiden möglichen Ausrichtungen - ent-lang der Feldlinien bzw. entgegengesetzt

Figure 3: Der Spin als Projektion des Spin-verktors

Figure 4:

dazu. Setzen wir alle diese Spinvektorengedanklich auf den Ursprung eines Koordi-natensystems so können wir die resultierendeMagnetisierung, auch Nettomagnetisierunggenannt, als Vektorsumme der Einzelspinsbetrachten. Veranschaulicht ist das in Ab-bildung 5.

2.3 Formale Beschreibung

Die eben angesprochenen Tatsachen helfenuns, das Verhalten der Spins auf einer ab-strakteren Ebene zu beschreiben. Wir trans-formieren die Spins und somit auch dieNetto-Magnetisierung in ein Koordinatensys-

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Figure 5: Die Netto-Magnetisierung als Vek-torsumme der einzelnen Spins

tem, dass mit ωL rotiert, so dass in demneuen Koordinatensystem keine Bewegungstatt�ndet und können somit die Lage (undfür später wichtig: die Bewegung) der Net-tomagnetisierung mit Hilfe der sogenanntenBloch-Kugel zu beschreiben. (Abbildung 6)

Figure 6: Bloch-Kugel

2.4 Resonanz

Wie oben bereits erwähnt existieren zweiSpineinstellungen, was in einem anliegendenB-Feld zu einer Energieaufspaltung führt.

Dieses Phänomen ist als Zeeman-E�ektbekannt. Der Energieunterschied der der bei-den Niveaus beträgt dE = h̄γB0 wobei wiraber wissen, dass γB0 = ωL. Diese Zuständekönnen durch Emission bzw. Absorptioneines Photons mit der Energie Epho = h̄ωphoineinander übergehen, wobei ωpho = ωL seinmuss. Wir brauchen also für das Wech-seln der Zustände resonantes Licht, was denBegri� Kernspinresonanz plausibel macht.Beim einfachsten Resonanz-Experiment, demContinous-Wave-Experiment (cw Abbildung7) nutzt man diese Tatsache um durch daslangsame Ändern der Wellenlänge von einges-trahltem Licht irgendwann den Resonanz-peak zu �nden und so Rückschlüsse auf z.B.die Teilchenart machen zu können.

Figure 7: Continous Wave Experiment

2.5 Relaxationszeiten

Durch Einstrahlen eines transversalen Mag-netpulses kann man die Ausrichtung derSpins und somit des Magnetisierungsvektors

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(siehe dazu nochmals Abbildung 6) ändern.Wählt man die Dauer des Pulses richtig soist es möglich ein Umklappen um beliebigeWinkel zu erzeugen. Zwei wichtige, weil inder Praxis ständig angewandte Pulse sind der90◦- und 180◦-Puls, die die Magnetisierungdementsprechend um 90 bzw 180 Grad klap-pen. Da das longtudinale Magnetfeld (aucchB0-Feld genannt) jedoch nach wie vor an-liegt richten sich die Spins nach und nachwieder entlang der B0-Feldlinien aus. DiesenVorgang bezeichnt man als Relaxation. Beider longitudinalen Relaxation betrachten wirnur die z-Komponente der Magnetisierungderen Änderung durch Mz = M0(1 − e

− tT1 )

beschrieben wird (T1 ist hierbei die longitu-dinale Relaxationszeit). In Abbildung 8 istder zeitliche Verlauf der Änderung gra�schdargestellt. Die transversale Relaxation be-

Figure 8: Longitudinale Relaxation

trachtet nur die transversale Komponente derMagnetisierung und ist beschrieben durchMxy = Mxy0e

− tT2 (mit der transversalen Re-

laxationszeit T2)(Abbildung 9). Hierbei han-delt es sich anschaulich um die Zeit, welche

die Spins, die nach einem Transversalpuls allein Phase präzedieren brauchen, um wieder zudephasieren.

Figure 9: Transversale Relaxation

In der Praxis betrachtet man noch dieT2∗-Zeit, die Zeit des Free Induction De-

cay. Durch Inhomogenitäten im B0-Feld undlokal induzierte Felder von benachbarten Ker-nen kommt es dabei zu einer schnelleren De-phasierung (und somit Relaxation) der Spins,als in der T2-Zeit angenommen.

2.6 Bloch'sche Bewegungs-

gleichung

Die oben beschriebenen Vorgänge lassen sichalle durch die Bloch'schen Gleichungen aus-drücken. Diese wurden vom NobelpreisträgerFelix Bloch als Bewegungsgleichungen fürden Magnetisierungsvektor eingeführt undlauten:

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dMx′

dt= (ω0 − ω)My′ −

Mx′

T2(1)

dMy′

dt= (ω0 − ω)Mx′ + 2πγB1Mz −

My′

T2(2)

dMz′

dt= −2πγB1My′

Mz −Mz0

T1(3)

3 Anwendungen

Mit den bisher vorgestellten Eigenschaftender Kernspins im Feld, nämlich der der Reso-nanz und der Relaxationszeiten, haben wirschon sehr viel von der Teilchenart und -Umgebung abhängige Parameter gefunden.Diese mikroskopischen Parameter können wirdurch Induktion (denn wir betrachten jainsbesondere bei den Relaxationszeiten sichzeitlich ändernde Magnetfelder) in messbareelektrische Signale umwandeln und somitauswerten. Zwei Anwendungen sind dabeibesonders hervorzuheben. Die Magnetreso-nanzspektroskopie und die Magnetresonanz-tomographie (MRT).

3.1 NMR-Spektroskopie

Bei der NMR-Spektroskopie wird die Tat-sache ausgenutzt, dass das Feld am Ker-nort immer von seiner Umgebung abhängigist. Man misst die Resonanzfrequenzen derTeilchen einer Probe und bestimmt die rel-ative Verschiebung der Resonanzfrequenzenzur bekannten Eichfrequenz. δ =

νProbe−νrefνref

Mit den Ergebnissen kann man Rückschlüsseauf die chemische Struktur der betrachtetenProbe ziehen. In Abbildung 10 sind die ver-schiedenen Resonanzfrequenzen der Kohlen-sto�atome je nach ihrer Verbindung imMolekül zu sehen.

Figure 10: Chemische Verschiebung

3.2 MR-Tomographie

Bei der Magnetresonanztomographie werdenmit Hilfe der NMR Schnittbilder des (men-schlichen) Körpers gewonnen. Dazu müssenallerdings die empfangenen Signale räumlichkodiert werden. Das geschieht mit Hilfe vondrei Gradientenspulen, deren Wirkungsweiseaus Bild 11 hervorgeht.Die technische Umsetzung zeigt Bild 12.

Der supraleitende Magnet erzeugt das statis-che B0-Feld, dessen Inhomogenitäten dieShim-Spulen ausgleichen. Die Gradienten-spulen erzeugen die Gradientenfelder unddie Körperspulen induzieren sowohl den B1-Puls, als wie sie auch die Relaxationssignaleaufnehmen.

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Figure 11: Gradientenspulen zur räumlichenKodierung

Figure 12: Technische Umsetzung

Die Bildrekonstruktion geschieht durchFouriertransformation der Signale, wobeidurch Manipulationen im Frequenzraum,dem sogenannten k-Raum, noch einiges anQualitätsgewinn möglich ist. (Abbildung 13und 14

Figure 13: Aufnahme der Signale im k-Raum

Figure 14: Bildrekonstruktion durch FT

4 Ausblick

Auch wenn die Grundlagen der NMR schonlange bekannt sind, ist vor allem die Entwick-lung der Bildgebung bei der MRT nach wievor ein hochaktuelles Feld und wird es aufabsehbare Zeit auch bleiben.

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