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No movimento de translação do corpo rígido, todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração.
MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Um corpo rígido pode ter três movimentos
1º - O movimento de translação quando todos os pontos percorrem trajectórias paralelas
2º - O movimento de rotação quando todos os pontos percorrem trajectórias circulares
3º - Combinação do movimento de rotação e de translação
Movimento translacional + rotacional
Movimento rotacional puro
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DA TERRA
ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL
2
21
iii vmK
ii rv
2222
21
21 iiiii rmrmK
22total 2
1
iiirmK
Energia cinética de uma partícula do corpo rígido
Relação entre a velocidade tangencial e velocidade angular
Substituindo em iK
Energia cinética total Unidade: joule (J)
Não é uma nova forma de energia.
A forma é diferente porque é aplicada a um corpo em rotação
Cada partícula de massa do corpo rígido descreve uma trajectória circular de raio com velocidade tangencial
imir iv
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
onde é o momento de inérciai
iirmI 2
2m kg: Unidade
2
21 IK R
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
No movimento rotacional o momento de inércia exerce o mesmo papel que a massa no movimento translacional
lim 2 20im i ii
I r m r dm
Podemos reescrever a expressão do momento de inércia em termos de dm
MOMENTO DE INÉRCIA DE ALGUNS CORPOS RÍGIDOS
Definimos inicialmente o momento angular de uma partícula com momento linear .
prL
Derivando o momento angular em relação ao tempo:
dtpdrp
dtrdpr
dtd
dtLd
)(
=0
dtpd
f
como
MfrdtLd
L
Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto a rotação não é necessária para o momento angular
pprL
rpm
é o momento angular instantâneo emrelação à origem O
L
MOSTRAREMOS QUE O MOVIMENTO ROTACIONAL TEM UMA LEI DE MOVIMENTO SEMELHANTE À SEGUNDA LEI DE NEWTON
L
O MOMENTO ANGULAR
A mesma relação é válida para um corpo rígido, em rotação em torno de um ponto O.
dtLdM
e corresponde à um momento da força externo resultante M
análogo à segunda lei de newtondtpd
f
oudtLdM
A relação acima é válida também para um sistema de partículas onde o momento angular é a soma vectorial dos momentos angulares de cada partícula
em relação ao mesmo ponto fixo O
A soma dos momentos das forças internos são nulos
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
O momento angular total do corpo rígido será
2ii rmI
iii
i rvmL
prL
Lembrando que
como obtemos ii rv
)()( 2i
iiii
ii rmrrmL
e é o momento de inércia
e o momento angular pode ser escrito como IL que é análogo à mvp
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
O MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
constante 0 LfrdtLdM
Quando
se 0 ) fi
ou 0 ) rii
0M
ou constanteL
fi LL
Análogo ao que acontece com o momento linear fi pp
FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma
urfrF )()(
Neste caso:
iii) quando a força é colinear com o vector posição teremos também
constante
0)(
L
urfrdtLdM
0M
Exemplo:
EXEMPLO 1: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:
ffii IIIL constante
iI fi fI
Com a aproximação dos halteres ( < ) a velocidade angular do sistema aumentafI iI
EXEMPLO 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta-homem (+ banco)
ibicbici ILL
Agora o homem inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta
ibic LL
2 21,2 kg.m ; 6,8 kg.m e 3,9 rot/sbic tot iI I
Dados
Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o homem inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta
EXEMPLO 2 (cont): CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Há conservação do momento angular uma vez que só há forças internas no sistema
ibictot II 2
imen
iimenif
LL
LLLLL
2
Momento angular final do sistema:
imenmenbicf LLLLL
rot/s4,12
tot
ibic
II
No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico
e o momento angular da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocidade angular em torno do eixo que passa pelo CM, às custas da redução do momento de inércia em relação a este eixo
L
Mg
L
gM
L
Exemplo 3: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
i
iirmI
const.0
LdtLd
onde
IdtdII
dtd
dtdL
)(
QUANDO O MOMENTO ANGULAR VARIA COM O TEMPO
ou
IM
que é semelhante à equação de Newton
amF
Velocidade do centro de massa
CMds dv R Rdt dt
CMCMdv da R Rdt dt
ROLAMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Aceleração do centro de massa
Consideramos que um cilindro gira de um ângulo . O centro de massa desloca-se de rs
PARA O MOVIMENTO DE ROLAMENTO PURO