Nociones de Lógica

Unidad 2 Nociones básicas de lógica

Apunte de Cátedra

La lógica comprende el estudio de los métodos y principios utilizados para

distinguir el razonamiento correcto del incorrecto, pues no le interesa conocer

cómo se efectúa el proceso del razonamiento (inferencia de naturaleza

psicológica), sino la corrección de dicho proceso.

El estudio de la lógica permite estudiar la forma de razonar, identifica los

métodos de razonar que parecen correctos pero en realidad son incorrectos

(falacias) y, finalmente, suministra instrumentos simples para determinar la

corrección de los razonamientos. Cabe destacar que muchos de los resultados

obtenidos a partir de los análisis metateóricos filosóficos son imposibles de

comprender si no contamos con elementos, al menos básicos, de la lógica.

Justamente, en esta unidad nos abocaremos a su estudio.

Cursos de verano – materias intensivas

Introducción al pensamiento científico - IPC

Este material es utilizado con fines exclusivamente educativos. 2

1. Lógicas deductivas e inductivas. Noción de validez

Un razonamiento es un conjunto de proposiciones (dos o más) en las que una de ellas, llamada

conclusión, se pretende que esté fundada en las otras, llamadas premisas. Las premisas brindan

los elementos de juicio sobre los cuales se afirma la conclusión.

Por ejemplo, si no podemos recordar quién escribió El sueño de los héroes, si Borges o Bioy

Casares, pero estamos seguros de que fue alguno de los dos, y alguno de nosotros recuerda que

Borges no escribió ninguna novela y sabemos que El sueño de los héroes es una novela, podemos

inferir con seguridad que lo tiene que haber escrito Bioy Casares.

Si simplificamos el razonamiento quitando algunas de los elementos que mencionamos, quedaría

algo así:

El sueño de los héroes fue escrito por Borges o por Bioy Casares

Borges no lo escribió

Por lo tanto, tiene que haber sido escrito por Bioy Casares

Llamaremos “proposiciones” a los elementos que aparecen relacionados de este modo particular

en el razonamiento. Se utiliza este término para nombrar lo que las oraciones expresan. Por

ejemplo, la oración “Borges escribió Ficciones” es distinta de la oración “Ficciones fue escrito por

Borges”. La primera está en voz activa mientras que la segunda está en voz pasiva. No nos

interesan aquí estas diferencias, sino algo que ambas oraciones tienen en común. Diremos que

ambas oraciones expresan la misma proposición.

Las proposiciones que dan apoyo a la conclusión son las “premisas” del razonamiento. Para

marcar cuál es la conclusión en lógica, se la escribe debajo de una raya (como en matemática se

escribe el resultado de una suma).

El sueño de los héroes fue escrito por Borges o por Bioy Casares

Borges no lo escribió

← Premisa 1

← Premisa 2

Por lo tanto tiene que haber sido escrito por Bioy Casares ← Conclusión

Existen distintos tipos de razonamientos, lo que hace que haya distintos tipos de lógicas. En el

caso del ejemplo que fue citado anteriormente, si las premisas son verdaderas la conclusión tiene

que ser verdadera. Es decir, si estamos seguros de que El sueño de los héroes fue escrito por

Borges o por Bioy Casares, y que no fue Borges, podemos inferir con total seguridad (deducir)

que lo escribió Bioy Casares. ¿Podrían ser verdaderas las premisas y falsa la conclusión?

Definitivamente no.

Si una de las premisas fuese falsa, la conclusión podría haber sido falsa. Por ejemplo, si El sueño

de los héroes hubiese sido escrito por Cortázar, la Premisa 1 sería falsa y la conclusión también.

Pero si ambas premisas son verdaderas, en este tipo de razonamientos, la conclusión tiene que

ser verdadera. Si alguna de las premisas es falsa, la conclusión podría ser verdadera o falsa.

A este tipo de razonamientos se los llama “deductivos”. Los razonamientos deductivos válidos se

caracterizan porque si sus premisas son verdaderas, la conclusión tiene que ser verdadera. Si




alguna de las premisas es falsa, la conclusión puede ser verdadera o falsa.

¿Por qué este razonamiento es válido? Si uno intenta justificarlo sin apelar a la lógica termina

pensando algo así: si es una cosa o la otra, y no es la primera, tiene que ser la segunda. Es decir,

no es necesario apelar a la literatura argentina ni a ningún hecho particular, sino a la forma del

razonamiento. La forma de este razonamiento es la siguiente:

A o B

No A

B

Cualquier razonamiento que tenga esta forma es deductivo válido. Siempre que busquemos

ejemplos de esa forma con premisas verdaderas, la conclusión tendrá que ser verdadera. Si

sustituyen A o B de modo que alguna de las premisas resulte falsa, la conclusión puede resultar

verdadera o falsa. Se pueden encontrar ejemplos de premisas verdaderas y conclusión verdadera,

de alguna premisa falsa y conclusión verdadera, de premisas falsas y conclusión falsa. Nunca

encontrarán un ejemplo de esta forma con premisas verdaderas y conclusión falsa.

Un ejemplo de premisas falsas (alguna falsa) y conclusión verdadera podría ser el siguiente:

Borges era ciego o escribió Ficciones Borges no era ciego

← esta premisa es verdadera, si entendemos la “o”

como “y/o”

← esta premisa es falsa

Borges escribió Ficciones

← la conclusión es verdadera

Un ejemplo de premisas falsas (o alguna falsa) y conclusión falsa:

Colombia queda en Europa o en Asia No queda en Europa

← esta premisa es falsa

← esta premisa es verdadera

Queda en Asia

← la conclusión es falsa

Un razonamiento que no transmite la verdad de las premisas a la conclusión, es decir, que puede

tener premisas verdaderas y conclusión falsa, es inválido. Por ejemplo:

Colombia queda en América del sur o en Asia ← esta premisa es verdadera

Queda en Asia

← la conclusión es falsa




En este razonamiento de una premisa sola, la premisa es verdadera y la conclusión es falsa. Su

forma es la siguiente:

A o B

B

y no garantiza la verdad. Si una forma de razonamiento a veces nos lleva de verdad a falsedad,

es inválida. Entonces, no es confiable.

El ejemplo de razonamiento sobre Borges y Bioy Casares, antes citado, entonces, es deductivo

válido. Recuerden que los razonamientos deductivos son aquellos en los que si las premisas son

verdaderas, la conclusión tiene que serlo sí o sí. Pero hay otro tipo de razonamientos muy útiles

que, sin embargo, no brindan un apoyo absoluto a la conclusión. Por ejemplo:

Galileo arrojó una piedra de un kilo de la torre de Pisa y cayó con una aceleración de 9,8 m/s2.

Galileo arrojó una pelota de madera de 500 gramos de la torre de Pisa y cayó con una aceleración

de 9,8 m/s2.

Galileo arrojó una pelota de madera de 800 gramos de la torre de Pisa y cayó con una aceleración

de 9,8 m/s2.

Galileo arrojó un perro de 1 kilo y medio desde la torre de Pisa y cayó con una aceleración de 9,8

m/s2.

(varios casos más)

Todos los objetos caen con una aceleración de 9,8 m/s2

Por un razonamiento del estilo, Galileo infirió esta conclusión (en realidad esto no es

históricamente correcto porque al carecer de relojes adecuados, Galileo debía hacer experimentos

más complejos, pero no nos importa para el ejemplo). El razonamiento mencionado no nos

permite deducir su conclusión. Pues en esta se habla de todos los objetos existentes y que

existirán, y Galileo habrá soltado un centenar. La inferencia que va de un conjunto pequeño de

casos a un conjunto infinito o enorme de casos no puede ser válida. Entonces, este razonamiento

no asegura que la conclusión sea verdadera, pero de todos modos parece un razonamiento

adecuado. Normalmente, en estos casos, se dice que lo que hace es incrementar la probabilidad

de la conclusión. Cuantos más casos se observen, más probable se volverá la conclusión, pero

nunca –a menos que se observen todos los casos (lo cual en el ejemplo dado es imposible)– tal

inferencia será completamente segura. A estos razonamientos se los llama no deductivos o

inductivos. Como estos razonamientos son inválidos, pues puede darse el caso de que premisas

verdaderas lleven a la falsedad, cuando son buenos se los llama “correctos”. La corrección de

estos depende de varios factores, por ejemplo, de la cantidad de casos observados. La lógica que

los estudia se llama “Lógica no deductiva”. Los razonamientos inductivos, a diferencia de los

deductivos, son ampliativos, agregan información en la conclusión que no estaba en las premisas.

Esto es lo interesante de estos, pero también es lo que los hace más débiles. Los razonamientos

deductivos, en cambio, son más fuertes pero a cambio de no agregar nueva información en la




conclusión.

Recapitulando, existen dos tipos de razonamientos, aquellos en los que la conclusión es implicada

lógicamente por las premisas, es decir, que si sus premisas son verdaderas la conclusión

necesariamente es verdadera también; y aquellos no deductivos, que permiten inferir con cierta

probabilidad la conclusión, pero no de manera necesaria. En consecuencia, existen dos lógicas,

las deductivas, que estudian el primer tipo de razonamientos, y las no deductivas, que estudian el

segundo tipo.

Existen muchas lógicas deductivas (la más antigua de todas fue concebida por Aristóteles). Ahora

veremos una de ellas, la Lógica proposicional simbólica, que será útil para entender cuestiones

posteriores.

2. Lógica proposicional simbólica

La lógica proposicional simbólica es una de las lógicas deductivas que existen. Se llama

proposicional porque la unidad mínima de análisis es la proposición simple o atómica. No se

analizan con esta lógica la estructura interna de las proposiciones atómicas.

Hay dos tipos de proposiciones. Las compuestas (o moleculares) y las simples (o atómicas). Las

simples son las que no tienen conectivas mientras que las compuestas se forman a partir de

incluir conectivas en las simples. Los conectivos son, justamente, expresiones lógicas que

permiten formar proposiciones compuestas a partir de simples:

“Juan es morocho”, es una proposición simple.

“Juan es morocho y alto” es una proposición compuesta que se forma a partir de las proposiciones

“Juan es morocho” y “Juan es alto”, unidas con el conectivo “y”. También es un conectivo “no” por lo

cual, “Juan no es morocho”, es una proposición compuesta.

2.1. El lenguaje de la lógica proposicional simbólica

En la lógica proposicional simbólica la validez de los razonamientos depende justamente del

significado de los conectivos. De esta manera, es posible deducir de “Juan es morocho y alto”,

“Juan es morocho” pero no es posible deducirlo de “Juan es morocho o alto”. La única diferencia

radica en el conectivo. En el primer caso es una “y” y, en el segundo, una “o”. Ahora bien,

veamos algunos de los principales conectivos.

Conjunción

Lo más parecido a la conjunción lógica en el lenguaje natural (el que hablamos todos los días), es

la “y”. Pero, también, cumplen esta función el “pero” y el “sin embargo”.

Como el lenguaje natural, en general, es bastante ambiguo –no siempre que aparece una “y” en

el lenguaje natural funciona del mismo modo– en la lógica simbólica se reemplaza la “y” por un

símbolo menos ambiguo y se lo llama “conjunción”. Usaremos para la conjunción el símbolo: “.”.

Por medio de la conjunción se unen dos proposiciones. Por ejemplo, “A . B”.




Lo que importa en la lógica simbólica es saber si los razonamientos son válidos o no, es decir, si

conservan o no la verdad. En otras palabras, si cuando tienen premisas verdaderas la conclusión

tiene que ser verdadera. Las conectivas se definen por lo que ocurre con el valor de verdad de la

proposición compuesta dado cierto valor de verdad de las proposiciones simples. Por ejemplo,

¿cuándo es verdadera la proposición “Llueve y hace frío”?

La respuesta es simple, cuando llueve y, además, hace frío. Si lloviera y no hiciese frío, o si no

ocurriera ninguna de las dos cosas, la proposición sería falsa. Esto es lo que define a la

conjunción pues una conjunción solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman

son verdaderas.

Se suele definir a las conectivas utilizando una tabla de verdad que dice justamente eso: ¿cuál es

el valor de verdad de la proposición compleja de acuerdo con el valor de verdad que asumen las

proposiciones simples que la compone?

Llamaremos “diccionario” al procedimiento por el cual asignamos a cada proposición atómica una

letra proposicional. Así la forma de la proposición “llueve y hace frío” en base a dicho diccionario

sería:

p: llueve

q: hace frío

Como puede advertirse se reemplazan las proposiciones simples con letras minúsculas de

imprenta: p, q, r, s. Entonces, en el ejemplo mencionado, la proposición se representa “p . q”.

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

p q p . q

v v v

v f f

f v f

f f f

En esta tabla, justamente, se dice que cuando p es verdadera y q es verdadera, p . q es

verdadera. Cuando p es verdadera y q falsa, p . q es falsa. Como se observa la tabla tiene solo

cuatro filas. Esto se debe a que dichas filas son todas las posibles combinaciones de verdaderos y

falsos cuando hay dos proposiciones: que las dos sean verdaderas, que las dos sean falsas o que

una sea verdadera y que la otra sea falsa o que la primera sea falsa y la segunda verdadera.

Disyunción inclusiva

Esta conectiva suele aparecer en lenguaje natural como “o” o “y/o”. El símbolo con que se

representa es “v”.




La forma de “Llueve o hace frío”, según el diccionario, es:

p: llueve

q: hace frío

Y la proposición se representa p v q. La tabla de verdad de la disyunción inclusiva es:

p q p v q

v v v

v f v

f v v

f f f

Una disyunción inclusiva es falsa sólo si ambas proposiciones componentes son falsas.

Disyunción exclusiva

Esta conectiva suele aparecer en lenguaje natural como “o”. Su símbolo para representarla es

“w”. La tabla de verdad para esta conectiva es:

p q p w q

v v f

v f v

f v v

f f f

La disyunción exclusiva, como la inclusiva, puede aparecer como “o” en el lenguaje natural. Esto

es un buen ejemplo de la ambigüedad del lenguaje natural a la que nos habíamos referido.

La diferencia entre las dos disyunciones se encuentra en el caso en que ambos componentes son

verdaderos. En el caso de la inclusiva resulta verdadera, mientras que en el caso de la exclusiva

resulta falsa.

¿Cómo sabemos de qué manera simbolizar una “o” del lenguaje natural? Solo por el contexto.

Si en un menú en un restaurante dice:

“con el plato principal puede pedir de postre flan o ensalada de frutas”, claramente se trata de




una disyunción exclusiva, pues puedo pedir una u otra, pero no ambas cosas.

Si leemos en el subte:

“este asiento está reservado para embarazadas o discapacitados”, ¿qué ocurre si sube alguien

que cumple con las dos condiciones? ¿Qué ocurre si sube una discapacitada embarazada? Por

supuesto tendrá derecho a sentarse. En este caso, la “o” debe entenderse como inclusiva.

En el derecho para evitar esta ambigüedad se usa “y/o” para la inclusiva y “o” para la exclusiva.

En lógica las simbolizamos con distintos conectivos.

De todos modos en los ejercicios de simbolización utilizaremos siempre la inclusiva para evitar

complicaciones.

Negación

Esta conectiva en lenguaje natural equivale a “no”, pero también a “es falso que”, “nunca”, “no se

da el caso que”, “no es cierto que”. El símbolo para representarla es “~”.

La forma de “No llueve” en símbolos es “~ p”.

Cabe destacar que la negación no une dos proposiciones, sino que se le agrega a una. Por tal

motivo, la tabla de verdad es más simple:

p ~ p

v f

f v

La negación lo que hace es invertir el valor de verdad de la proposición.

Condicional

En el lenguaje natural, el condicional equivale a “si […] entonces […]”; y el símbolo para

representarlos es “→”.

Esta conectiva es peculiar, pues no es lo mismo decir:

“Si le cortaron la cabeza, entonces está muerto”

a decir,

“Si está muerto, entonces le cortaron la cabeza”

Se notará que la primera es verdadera, sin dudas; mientras que la segunda no lo es

necesariamente, pues se puede estar muerto con la cabeza en su lugar.

Por esta razón, es importante distinguir la proposición que aparece antes del condicional de la

que aparece después. Llamamos a la primera “antecedente” y a la segunda “consecuente”.

En “p → q”, p es el antecedente y q el consecuente.

¿Qué se quiere decir con la proposición “Si le cortaron la cabeza, entonces está muerto”?

Básicamente significa que no puede ocurrir que le corten la cabeza y siga vivo. Es decir, que no

puede ocurrir que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Por este motivo, en el




ejemplo, la tabla de verdad es la siguiente:

p q p q

v v v

v f f

f v v

f f v

A continuación, todas las oraciones expresan la misma proposición:

“Si llueve entonces hace frío”.

“Si llueve, hace frío”.

“Hace frío si llueve”.

¿Cómo sabemos cuál es el antecedente y cuál el consecuente? El antecedente es el que está

después del “si” (no siempre el que aparece primero en lenguaje natural).

Con este diccionario:

p: llueve

q: hace frío

La forma proposicional de todas las oraciones anteriores sería p → q.

Bicondicional

En lenguaje natural, el bicondicional no es utilizado frecuentemente. En matemática suele

aparecer como “si y solo si” y sirve para dar definiciones. El símbolo es “↔”.

La tabla de verdad de esta conectiva, se representa de la siguiente manera:

p q p ↔ q

v v v

v f f

f v f

f f v

Si la forma de la proposición es:

“Una figura es un triángulo si y solo si posee tres lados”

al utilizar el siguiente diccionario:

p: La figura es un triángulo

q: La figura tiene tres lados

la proposición se representaría p ↔ q.




2.2. Extracción de las formas proposicionales

Para probar la validez de los razonamientos, es necesario aprender a reconocer las formas de

razonamientos en el lenguaje natural. El primer paso, consiste en extraer la forma de las

proposiciones que conforman el razonamiento. Esta tarea puede ser bastante complicada pero

nos manejaremos con ejemplos sencillos.

Comencemos con algunos casos de negación, utilizando el mismo diccionario:

p: llueve

q. hace frío

r: hay nubes

La tabla que se presenta a continuación extrae, para las siguientes proposiciones, sus formas

proposicionales. Analicemos cada una de ellas.

Proposición Forma

1 No llueve y hace frío ~p . q

2 No es cierto que llueva y haga frío ~ (p . q)

3 Ni llueve ni hace frío ~ p . ~ q

4 Si llueve y hay nubes, entonces hace frío (p . r) → q

5 Llueve y si hace frío entonces hay nubes p . (q → r)

6 Llueve, hace frío y hay nubes (p . q) . r o p . (q . r)

7 Llueve, hace frío o hay nubes (p v q) v r o p v (q v r)

8 Llueve o hace frío, pero hay nubes ( p v q ) . r

9 Llueve o no, pero hace frío ( p v ~ p ) . q

Observen que el significado cambia rotundamente en todos los casos de acuerdo con la colocación

de los paréntesis, excepto en el sexto y en el séptimo. Cuando hay varias conjunciones (“.”) o

disyunciones (“v”) seguidas, es posible asociar con paréntesis de diversos modos sin modificar el

valor de verdad de la proposición compuesta. No se da la misma situación con combinaciones de

conjunciones y disyunciones.

En todos los casos, como primer paso, antes de extraer una forma, hay que confeccionar el

diccionario donde se indique cómo se utilizará cada letra proposicional. Allí también aparecerán

las proposiciones simples, nunca se anotará una conectiva. La disposición de las letras que

simbolizan las formas proposicionales puede variar de acuerdo con el diccionario que se haya

elegido.




2.3. Extracción de las formas de los razonamientos

Los razonamientos son conjuntos de proposiciones. La tarea es parecida a la que ya realizamos

en relación con las proposiciones: se confecciona el diccionario, identificando las proposiciones

atómicas, luego se extraen las formas de las proposiciones y, finalmente, se determina cuál

funciona como conclusión y cuál como premisa. Existen ciertos indicadores de lo que funciona

como conclusión y como premisa. Por ejemplo, las expresiones “por lo tanto”, ”en consecuencia”,

”por consiguiente”, se encuentran precedidas por premisas que anteceden a la conclusión.

Otras expresiones como “dado que”, ”ya que” o ”porque” funcionan del modo inverso,

encontrándose antes que ellas la conclusión y, después, las premisas. Veamos en un ejemplo:

“Si la Argentina se encuentra en América del Sur, entonces se encuentra en el hemisferio sur. Por lo

tanto, la Argentina se encuentra en el hemisferio sur, dado que se encuentra en América del Sur.”

Confeccionamos el siguiente diccionario:

p: la Argentina se encuentra en América del Sur

q: la Argentina se encuentra en el hemisferio sur

La conclusión se encuentra subrayada, por lo cual dicha proposición irá debajo de la raya. La

forma del razonamiento es la siguiente:

p → q

p

q

2.4. Tablas de verdad con más de una conectiva

Del mismo modo que podemos averiguar el valor de verdad de la proposición p . q cuando p es

verdadera y q es falsa, utilizando la tabla de verdad que define la conjunción, se puede averiguar

el valor de verdad de las proposiciones más complejas usando dichas tablas. Será necesario

entonces prestar atención a la presencia y ubicación de los paréntesis.

En el ejemplo que se analizó para determinar la extracción de las formas proposicionales, noten

que la proposición “Llueve o hace frío, y no hay nubes” es distinta a la proposición “Llueve, o

hace frío y no hay nubes”.

Al utilizar el siguiente diccionario:

p: llueve

q: hace frío

r: hay nubes

la proposición “Llueve o hace frío, y no hay nubes”, toma esta forma proposicional

(p v q) . ~ r




Mientras que la proposición “Llueve, o hace frío y no hay nubes”, toma esta otra forma

p v (q . ~ r)

Ahora bien, para confeccionar la tabla de verdad de ”(p v q) . ~ r”, se seguirán tres pasos, que

mencionamos a continuación.

Primer paso

Se busca la cantidad de proposiciones simples que aparecen. En el ejemplo que se está

analizando hay tres: p, q y r.

No importa si alguna proposición aparece dos o tres veces. La tarea consiste en identificar esas

proposiciones simples o atómicas independientemente de su cantidad de apariciones (por

ejemplo, en la proposición “p . ~ p” aparece solo una proposición simple: “p”).

Segundo paso

Si hay solo una proposición, la tabla de verdad tendrá únicamente 2 filas; si aparecen dos

proposiciones, tendrá 4 filas; si aparecen tres tendrá 8; si aparecen 4, tendrá 16, y así

sucesivamente. La regla para determinar la cantidad de filas necesarias es la siguiente: 2n en

donde n es la cantidad de proposiciones simples que aparecen.

Una vez que se haya realizado la tabla, se distribuyen los valores de verdad tal como se muestra

en los cuadros de abajo (el objetivo es encontrar fácilmente todas las combinaciones posibles).

Tablas de verdad para una, dos y tres proposiciones simples, respectivamente:

p

v

f

Una proposición simple:

p q

v v

v f

f v

f f




Dos proposiciones simples:

p q r

v v v

v v f

v f v

v f f

f v v

f v f

f f v

f f f

Tres proposiciones simples:

Tercer paso

Se comienza, al igual que en matemática, dando prioridad a los paréntesis, luego a los corchetes

y luego a las llaves (si los hubiera) y, por último, al resto de la forma proposicional.

Se completa la tabla de verdad, utilizando las definiciones de las conectivas para analizar, en

primer lugar, los paréntesis más internos.

En la siguiente proposición que se presenta como ejemplo, se mostrará el procedimiento para

completar la tabla de verdad paso a paso. La proposición que se trabajará es “(p v q) . ~ r”.

Primero, distribuimos los valores de verdad tal como mencionamos en el segundo paso.

p q r (p v q) . ~ r

v v v

v v f

v f v

v f f

f v v

f v f

f f v

f f f

Después, debemos resolver:

las negaciones de proposiciones atómicas (“~ p”; “~ q”);

las proposiciones contenidas por los paréntesis más internos (“(p . q)”; “(p v q)”;

“(p→q)”).




En la tabla de abajo, observamos que la primera casilla a completar está marcada con un círculo.

Corresponde al valor de verdad de p v q cuando p es verdadero y q es verdadera. Si buscamos en

la tabla de verdad de la disyunción inclusiva, veremos que le corresponde verdadero. Lo mismo

ocurre en las últimas filas. Solo son falsas las dos últimas en las que ambas proposiciones son

falsas (marcadas con un cuadrado).

Ahora vamos a resolver la negación de r. Recuerden que la negación invierte el valor de verdad.

Si r es verdadero, ~ r es falso y viceversa.

p q r (p v q) . ~ r

v v v

f

v v f v v

v f v v f

v f f v v

f v v v f

f v f v v

f f v

f

f f f v

Luego, una vez que resolvimos las negaciones de las proposiciones simples o atómicas y las

proposiciones complejas de solo un conectivo, es posible pasar a las otras.

Observemos que no se podría haber solucionado la conjunción sin antes haber resuelto la

disyunción y la negación.

Para resolver el primer valor de la tabla de verdad, será necesario detectar cuáles son las

proposiciones a las que prestaremos nuestra atención. Al averiguar el valor de la proposición

general en la primera fila, marcada con un círculo, fíjense que las proposiciones que están en

conjunción son, por un lado, “p v q” y, por el otro, “~ r”. El valor de verdad de dichas

proposiciones en esa fila se encuentra con cuadrados. ¿Qué ocurre cuando una de las

proposiciones de una conjunción es falsa (en este caso “~ r” es falsa)? La conjunción también es

falsa.

Como verán, el resultado de la tabla de verdad está en mayúsculas. Se encuentra debajo del

conectivo principal de la proposición, es decir, aquel que se encuentra fuera de todo paréntesis.




p q r (p v q) . ~ r

v v v

v v f v V v

v f v v F f

v f f v V v

f v v v F f

f v f v V v

f f v f F f

f f f f F v

2.5. Tautología, contradicción y contingencia

¿Para qué sirve hacer una tabla de verdad? Para distinguir entre verdades o falsedades lógicas y

proposiciones contingentes. La proposición “En Las Leñas está nevando” ¿es verdadera o falsa?

Para averiguar su valor de verdad hay que buscar la información en el diario o llamar por teléfono

a algún lado. Pero qué pasa con la proposición “En Las Leñas o está nevando o no está nevando”.

¿Podría ser falsa? No, y para saber esto es necesario observar su forma. Veamos qué ocurre si

hacemos la tabla de verdad, utilizando el siguiente diccionario:

p: Está nevando en las Leñas

cuya forma proposicional es “p v ~ p”.

Su tabla de verdad es:

P p v ~ p

v V f

f V v

El resultado de la tabla de verdad en este caso es siempre verdadero (indicado con letras

mayúsculas). Es decir, asuman el valor que asuman las proposiciones simples, la proposición

general siempre será verdadera.

A este tipo de proposiciones se las llama “tautologías” o “verdades lógicas”. Cuando todos los

resultados son falsos, como en el caso de “p . ~ p” la proposición es una “contradicción” o

“falsedad lógica”. Sabemos que la proposición es falsa por su propia forma. Cuando algunos son

verdaderos y otros falsos, se trata de una “contingencia”. Esto ocurre con la proposición

“(p v q) . ~ r” que analizamos más arriba. En este caso, no es posible saber su valor de verdad

por su forma. Esto sucede con la proposición ”En Las leñas está nevando”.




La tabla de verdad de una proposición simple es siempre una contingencia:

p

v

f

p: En Las leñas nieva

2.6. Prueba de validez de razonamientos por condicional asociado

La segunda función de las tablas de verdad es que nos brindan un método para establecer la

validez de los razonamientos. El condicional asociado de un razonamiento es el condicional que

tiene como antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente, la conclusión.

A continuación, se presentan algunos ejemplos de formas de razonamientos y sus condicionales

asociados.

Forma del razonamiento Condicional asociado

p q

p

q

[(p q) . p] q

p q

q r

p r

[(p q) . (q r)] (p r)

p v q ~p

q

[(p v q) . ~p] q

p ~q ~ q r

p

r

{[(p ~q) . (~ q r)] . p} r

Para poner tres o más premisas en conjunción (p, q y r) cualquier

combinación de paréntesis es correcta: “(p . q) . r” o “p . (q . r)”.

Una vez armado el condicional asociado se hace su tabla de verdad. Si el condicional asociado

resulta ser una tautología, entonces el razonamiento es válido. En cualquier otro caso es inválido.

Los cuatro ejemplos que les brindamos en el cuadro anterior, son formas de razonamientos

válidas. Los condicionales asociados son todos tautológicos.




2.7. Nombres de razonamientos y falacias formales

Para finalizar, recordemos que algunas formas de razonamientos válidos e inválidos son utilizadas

con tanta frecuencia que se les ha dado un nombre. No son los únicos razonamientos válidos e

inválidos, ya que existen infinitos razonamientos, pero estos, por diferentes motivos (que

veremos más adelante) son muy útiles, motivo por el cual es necesario nombrarlos para hacer

referencia a ellos fácilmente.

Razonamientos válidos

Nombre Forma Ejemplos

Modus

ponens

A B

A

B

Si le cortan la cabeza se

muere.

Le cortan la cabeza, por lo

tanto se muere.

A y B pueden ser reemplazados por cualquier proposición

compuesta o simple.

p q

p

q

es el más simple, pero también son Modus ponens los

siguientes razonamientos:

~p ~q

~p

~q

(p . q) r

(p . q)

r

entre otros.




Modus tollens

A B

~ B

~ A

Si le cortan la cabeza, se muere.

No está muerto, por lo tanto, no le

cortaron la cabeza.

p q

~ q

~ p

~ p q

~ q

P

Las negaciones se pueden acumular.

La doble negación se puede simplificar por lo que esta

forma también es un Modus tollens:

~ p q

~ q

p

(p . q) (r v s)

~ (r v s)

~ ( p . q )




Falacias formales

Las falacias son razonamientos que parecen válidos pero son inválidos. Las siguientes son falacias

formales. A continuación, mostramos algunos ejemplos.

Falacia de negación del antecedente

A B

~ A

~ B

Si le cortan la cabeza, se muere.

No le cortaron la cabeza, por lo

tanto, no está muerto.

(Observen que podría estar

muerto por otros motivos, que a

alguien no le hayan cortado la

cabeza no quiere decir que esté

vivo)

p → q

~ p

~ q

~ p q

~ ~ p

~ q

~ p q

p

~ q

(p . q) (r v s)

~ (p . q)

~ (r v s)

Falacia de afirmación del consecuente

A B

B

A

Si le cortan la cabeza se muere.

Está muerto, por lo tanto, le

cortaron la cabeza.

(Claramente podría estar muerto

por algún otro motivo)

p q

q

p

~p ~q

~q

~p

(p . q) r

r

(p . q)

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Nociones de Lógica