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O Brasil pediu e a VestSeller atendeu ! Finalmente relançamos com exclusividade, para todo Brasil, a melhor coleção de Matemática brasileira para a sua preparação IME ITA em 8 volumes ! A teoria mais completa, detalhada, as questões mais diversificadas e de melhor nível, tanto resolvidas quanto propostas, além do melhor preço! Saiba mais!
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Aref Antar Neto José Luiz Pereira Sampaio
Nilton Lapa Sidney Luiz Cavallantte
TRIGONOMETRIA Noções de Matemática
VOLUME 3
Capa: Annysteyne Maia Chaves
CIP – Brasil. Catalogação-na-Fonte. Câmara Brasileira do Livro, SP
T747
Trigonometria: 2º grau / Aref Antar Neto.
(et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009. (Noções de matemática; v.3)
1. Trigonometria (2º grau) I. Antar Neto, Aref, 1949 – II. Série.
78-1488
17. CDD – 514 18. – 516.24
Índices para catálogo sistemático:
1. Trigonometria 514.7 (17.) 516.24 (18.)
www.VestSeller.com.br
Índice
Parte I
Capítulo 1. Medidas de arcos e ângulos ..............................................................13
1.1 ― Arcos de circunferência .............................................................13 1.2 ― Medida de um arco ....................................................................14 1.3 ― Ângulos......................................................................................15 1.4 ― Medida de um ângulo ................................................................15 1.5 ― Unidades usuais de medida ......................................................16 1.6 ― O número : uma razão geométrica ..........................................17 1.7 ― Arco de uma volta......................................................................18 1.8 ― Comprimento de um arco ..........................................................18 1.9 ― Conversão de unidades.............................................................19
Capítulo 2. Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente ...........................................................................................23
2.1 ― Relações métricas no triângulo retângulo..................................23 2.2 ― Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente..................................................................................24 2.3 ― Aplicação importante: ângulos notáveis ....................................26 2.4 ― Primeiras relações fundamentais...............................................29 Exercícios Suplementares .........................................................34
Parte II
Capítulo 3. Circunferência trigonométrica...........................................................39
3.1 ― Segmento orientado ..................................................................39 3.2 ― Eixo............................................................................................39 3.3 ― Medida algébrica de um segmento orientado............................40 3.4 ― Relação de Chasles...................................................................40 3.5 ― Sistema de abscissas ................................................................41 3.6 ― Sistema cartesiano ortogonal ....................................................42 3.7 ― Arco orientado ...........................................................................44 3.8 ― Circunferência trigonométrica ....................................................44 3.9 ― Medida algébrica de um arco orientado.....................................45 3.10 ― Ângulos......................................................................................46 3.11 ― Arcos ou ângulos com mais de um volta ...................................46 3.12 ― Algumas expressões importantes..............................................49 3.13 ― Arcos côngruos..........................................................................49
3.14 ― Expressões do tipo 2k
n
......................................................52
Capítulo 4. Seno e cosseno.................................................................................. 60
4.1 ― Seno e cosseno ........................................................................ 60 4.2 ― Variação e sinais do seno e do cosseno................................... 62 4.3 ― Relação sen2 + cos2 = 1 ....................................................... 63 4.4 ― Alguns valores particulares ....................................................... 64
4.5 ― Senos dos arcos de medidas n
.............................................. 66
Capítulo 5. Tangente e cotangente ...................................................................... 71
5.1 ― Tangente................................................................................... 71 5.2 ― Variação e sinais da tangente................................................... 73 5.3 ― Cotangente ............................................................................... 77 5.4 ― Variação e sinais da cotangente ............................................... 79
Capítulo 6. Secante e cossecante ....................................................................... 86
6.1 ― Secante e cossecante............................................................... 86 6.2 ― Variação e sinais da secante e da cossecante ......................... 87 6.3 ― Resumos................................................................................... 88
Capítulo 7. Redução ao 1º quadrante .................................................................. 94 Capítulo 8. Equações simples .............................................................................. 98
8.1 ― Introdução................................................................................. 98 8.2 ― Conjunto-universal e conjunto-solução ..................................... 98 8.3 ― Equação do tipo cos x = a......................................................... 98 8.4 ― Notação arc cos a ................................................................... 100 8.5 ― Conjunto-universo U = ......................................................... 102
8.6 ― Equação do tipo sen x = a ...................................................... 104 8.7 ― Notação arc sen a................................................................... 106 8.8 ― Equação do tipo tg x = a ......................................................... 109 8.9 ― Notação arc tg a...................................................................... 110 8.10 ― Notação arc cotg a. Equação do tipo cotg x = a ..................... 113 8.11 ― Resumo das notações novas.................................................. 116 Exercícios Suplementares ...................................................... 119
Parte III
Capítulo 9. Primeiras fórmulas trigonométricas............................................... 125
9.1 ― Introdução............................................................................... 125 9.2 ― Mudança de sinal do arco (ou ângulo).................................... 125 9.3 ― Cosseno da soma e cosseno da diferença ............................. 126 9.4 ― Arcos (ou ângulos) complementares ...................................... 128 9.5 ― Seno da soma e seno da diferença ........................................ 132
9.6 ― Tangente da soma e tangente da diferença ............................134 9.7 ― Resumo ...................................................................................136 9.8 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da forma k x .............................................................................139 9.9 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da
forma k
x,2
k ímpar...............................................................143
Capítulo 10. Fórmulas de arco dobro, arco triplo e arco metade ....................148
10.1 ― Introdução ...........................................................................148 10.2 ― Arco dobro...........................................................................148 10.3 ― Arco triplo ............................................................................152 10.4 ― Arco metade........................................................................153 10.5 ― Fórmulas auxiliares: sen a, cos a e tg a em função de
a
tg2
.....................................................................................155
10.6 ― Resumo...............................................................................157 Capítulo 11. Transformação em produto ..........................................................160
11.1 ― Introdução ...........................................................................160 11.2 ― Transformação de sen p sen q e cos p cos q................160 11.3 ― Transformação de sen p cos q.........................................163 11.4 ― Transformação de tg p tg q ..............................................163 11.5 ― Fórmulas de reversão: transformação de produtos em somas ou diferenças.......................................................................164 11.6 ― Resumo...............................................................................166 Exercícios Suplementares...................................................168
Parte IV
Capítulo 12. Equações trigonométricas ............................................................173
12.1 ― Finalidade deste capítulo ....................................................173 12.2 ― Equações clássicas.............................................................182 12.3 ― 1ª equação clássica ............................................................182 12.4 ― 2ª equação clássica ............................................................188 12.5 ― 3ª equação clássica ............................................................190 12.6 ― Equações que envolvem as relações inversas ...................194
Capítulo 13. Inequações trigonométricas .........................................................200
13.1 ― Inequação do tipo cos x < a ................................................200 13.2 ― Inequação do tipo cos x > a ................................................201 13.3 ― Inequações dos tipos sen x < a e sen x > a ........................203 13.4 ― Inequações dos tipos tg x < a e tg x > a..............................206 Exercícios Suplementares...................................................212
Parte V
Capítulo 14. Resolução de triângulos ............................................................... 217
14.1 ― Introdução .......................................................................... 217 14.2 ― Lei dos senos ..................................................................... 217 14.3 ― Lei dos cossenos................................................................ 220 14.4 ― Área do triângulo ................................................................ 223 14.5 ― Resumo.............................................................................. 225 Exercícios Suplementares.................................................. 236
Parte VI
Capítulo 15. Funções trigonométricas ............................................................. 241
15.1 ― Introdução .......................................................................... 241 15.2 ― O conceito de função ......................................................... 241 15.3 ― Função real de variável real ............................................... 242 15.4 ― Gráfico de uma função real de variável real ....................... 242 15.5 ― A correspondência entre um número real e um ponto da Circunferência trigonométrica............................................. 243 15.6 ― Função seno....................................................................... 245 15.7 ― Definição de função periódica ............................................ 246 15.8 ― Gráfico da função seno ...................................................... 246 15.9 ― Definição de função limitada .............................................. 247 15.10 ― Função cosseno ................................................................. 248 15.11 ― Gráfico da função cosseno................................................. 248 15.12 ― Função tangente ................................................................ 249 15.13 ― Gráfico da função tangente ................................................ 250 15.14 ― Função cotangente............................................................. 252 15.15 ― Gráfico da função cotangente ............................................ 253 15.16 ― Função secante.................................................................. 254 15.17 ― Gráfico da função secante.................................................. 254 15.18 ― Função cossecante ............................................................ 256 15.19 ― Gráfico da função cossecante ............................................ 256 15.20 ― Definição de função par e função ímpar............................. 257 15.21 ― Paridade das funções trigonométricas ............................... 257 15.22 ― Resumo.............................................................................. 258
Capítulo 16. Cálculo de períodos e construção de gráficos ........................... 264
16.1 ― Introdução .......................................................................... 264 16.2 ― Cálculo do período de funções da forma y = m + nf(ax + b)264 16.3 ― Cálculo do período de somas e produtos de duas funções periódicas........................................................................... 266 16.4 ― Construção de gráficos....................................................... 269
Capítulo 17. Funções trigonométricas inversas ...............................................277
17.1 ― O conceito de função inversa..............................................277 17.2 ― Introdução às funções trigonométricas inversas .................278 17.3 ― A inversa do seno: função arco-seno..................................279 17.4 ― A inversa do cosseno: função arco-cosseno.......................279 17.5 ― A inversa da tangente: função arco-tangente .....................282 17.6 ― A inversa da cotangente: função arco-cotangente ..............283
Exercícios Suplementares ................................................................286 Respostas dos exercícios propostos ................................................288 Respostas dos exercícios suplementares.........................................316 Tabela de razões trigonométricas.....................................................327
30
logo, podemos escrever: sen
tgcos
Podemos, como exemplo, verificar as relações acima com os valores da
tabela para os ângulos notáveis:
a)
222 2 1 3 1 3 4
sen 30º cos 30º 12 2 4 4 4
b)
32sen 60º
3 tg 60ºcos 60º 1
2
c)
22sen 45º
1 tg 45ºcos 45º 2
2
Exercícios Resolvidos
2.4) Calcule sen e tg , sabendo que é um ângulo agudo e que cos = 13
.
Solução
1º) como sen2 + cos2 = 1, temos:
sen2 = 1 – cos2 = 1 – 2
1 1 81
3 9 9
Assim, 8 2 2
sen .3 3
2º) como sen
tgcos
, temos:
2 23
tg 2 213
2.5) Sendo sen – cos = m e um ângulo agudo, determine o produto
sen · cos .
Solução
Elevando ambos os membros da igualdade dada ao quadrado, temos:
(sen – cos )2 = m2 sen2 – 2sencos + cos2 = m2;
31
mas, sen2 + cos2 = 1; então:
1 – 2sencos = m2 2sencos = 1 – m2 e, finalmente
sen · cos = 21 m
2
2.6) Prove que:
1 1 1sen cos tg 1
sen cos tg
Solução
Vamos partir do primeiro membro da igualdade, lembrando que
tg = sen
;cos
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
cos sen1 sen 1 cos1ºm
sen cos sen cos
cos sen (cos sen ) cos sen1 2º m
sen cos sen cos sen cos
Exercícios Propostos 2.7) Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 5 e a altura relativa à
hipotenusa mede 3. Determine as medidas do outro cateto, da hipotenusa e dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa.
2.8) No triângulo da figura são dados m = 3 e n = 1
Calcule a, b, c e h
2.9) Com referência à figura do exercício anterior, sendo dados m = 5 e h = 5 , determine as medidas dos demais segmentos indicados.
2.10) Ainda com referência à figura do exercício 2.8, sendo dados b = 2 e n = 3,
calcule as medidas dos demais segmentos indicados.
32
2.11) Voando a uma altitude de 1000 metros, o piloto mede, em dois instantes diferentes, os ângulos segundo os quais ele avista uma árvore, como indica a figura.
Qual é a distância percorrida pelo avião entre os dois instantes considerados? Utilizar os valores tg 30º = 0,58 e tg 45º = 1,00.
2.12) Sendo 4 cm o raio da circunferência da figura, calcule o comprimento da
corda AB. Dados: sen 20º = 0,34 e cos 20º = 0,94.
2.13) Calcule a medida c do lado AB do triângulo retângulo dado na figura abaixo. Dados: sen 25º = 0,42; cos 25º = 0,91; tg 25º = 0,47.
2.14) Calcule a altura do edifício representado na figura. São dados: tg 87º = 19,1;
tg 58º = 1,6
33
2.15) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que 2
sen7
, calcule cos e
tg . 2.16) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que tg = 3, calcule sen e cos . 2.17) Prove que
2
1 sen1tg
cos 1 sen
2.18) Simplifique a expressão
sen6x + cos6x – sen4x – cos4x + sen2x
66
4.5) Prove que sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2 – sen2
Solução
Vamos desenvolver o 1º membro lembrando que cos2 = 1 – sen2 e cos2 = 1 – sen2. sen2·cos2 – cos2·sen2 = sen2·(1 – sen2) – (1 – sen2)·sen2= = sen2 – sen2·sen2 – sen2 + sen2·sen2 = sen2 – sen2.
4.6) Dê todos os valores de x no intervalo –2 x 2 tais que 3
cos x2
.
Solução
A figura ao lado auxilia a visualização do problema. Os arcos cujos cossenos
valem 32
tem extremidades no
ponto P (2º quadrante) ou no ponto Q (3º quadrante) e correspondem aos valores em graus indicados. Essas medidas, expressas em radianos, são a resposta procurada. Temos
então7 5 5 7
x ou x ou x ou x6 6 6 6 .
4.7) Dê a expressão geral de todos os
valores de x tais que 2
sen x2
.
Solução
O valor 2
sen x2
corresponde aos
pontos P e Q indicados na figura ao lado. Os arcos de extremidade P tem
expressão geral 5
x 2k (k )4
e
aqueles de extremidade Q tem
expressão geral 7
x 2k (k )4
4.5. SENOS DOS ARCOS DE MEDIDAS
Vamos examinar um processo para o cálculo dos senos de arcos cujas
medidas são da forma n
(com n 3, inteiro). Incluem-se nestes casos
, , , , etc.3 4 5 6 10
67
Primeiramente, observemos que, se dividirmos a circunferência em n partes
iguais (n 3), dois pontos de divisão P e Q sucessivos determinam a corda PQ,
que é o lado do polígono regular inscrito de n lados. Sua medida é indicada por n.
A figura 4.11 dá alguns exemplos.
a) pentágono regular (n = 5) b) octógono regular (n = 8)
c) hexágono regular (n = 6) d) decágono regular (n = 10)
Fig. 4.11
O ângulo P OQ é a enésima parte da circunferência e mede,
portanto, 2n
(fig. 4.12). Se os pontos P
e Q são marcados de modo que a
corda PQ seja perpendicular ao eixo
Ox. então o arco AQ tem medida n
e
resulta
nsenn 2
(n 3, inteiro) Fig. 4.12
68
Da Geometria conhecem-se as expressões dos lados dos polígonos regulares em função do raio da circunferência circunscrita. Temos, por exemplo:
3
4
6
8
10
r 3 (triângulo equilátero)
r 2 (quadrado)
r (hexágono regular)
r 2 2 (octógono regular)
5 1r (decágono regular)
2
Lembrando que a circunferência trigonométrica tem raio r = 1, obtemos os
valores:
3
4
6
8
10
3sen
3 2 2
2sen
4 2 21
sen6 2 2
2 2sen
8 2 2
5 1sen
10 2 4
Exercício Resolvido
4.8) Calcule sen 12
.
Solução
Vamos determinar inicialmente a expressão de 12 em função do raio da
circunferência circunscrita. A figura acima representa um dodecágono regular inscrito na circunferência de raio r. Observe que a medida do
segmento PQ é 6 = r. No triângulo
retângulo AA'Q podemos escrever 2
AQ A ' A MA onde 12AQ A ' A 2r e MA r OM.
Assim, 212 2r(r OM)
69
Mas no triângulo retângulo OMQ temos 2 2 2
OM OQ MQ , isto é, 2 2 22 2 26
2 212
12
r 3rOM r r
2 4 4
r 3Então, 2r r r (2 3 )
2
e finalmente, r 2 3 .
Pondo r = 1, obtemos
12 2 3sen .
12 2 2
Exercícios Propostos 4.9) Dê o sinal de cos (– 2187º). 4.10) Dê o sinal de sen (– 3295º). 4.11) Determine o valor de cos 3465°. 4.12) Determine o valor de sen 4290º. 4.13) Dê o valor de sen 793º (utilizando a tabela que se encontra no final deste
volume).
4.14) Sendo 21 m
sen x2 , determine cos x.
4.15) Sendo 2 sen x cos x 2 , calcule sen x e cos x. 4.16) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que
a) 2
cos x2
b) 1
sen x2
4.17) Prove que 4 5 cos 3 5 sen
03 5 sen 4 5 cos
4.18) Prove que
cos3 – sen3 = (cos – sen ) (1 + sen ·cos ) 4.19) Prove que
(1 + sen x + cos x)2 = 2(1 + sen x) (1 + cos x)
70
4.20) Prove que sen2 + sen2 – sen2·sen2 + cos2·cos2 = 1
4.21) Simplifique a expressão
sen6x + cos6x + 3sen2x·cos2x
4.22) Calcule sen 16
4.23) Calcule cos 8
78
Exercícios Resolvidos 5.6) Simplifique a expressão
y = (1 – sen2) (1 + cotg2)
Solução
Lembrando que 1 – sen2 = cos2 e que cos
cotgsen
, escrevemos:
2 2 22 2 2 2
2 2
22
2
cos sen cosy (1 sen )(1 cotg ) cos 1 cos
sen sen
coscotg
sen
5.7) Demonstre a identidade
tg x tg y
tg x tg ycotg x cotg y
Solução
Vamos desenvolver a expressão do 1º membro: tg x tg y tg x tg y tg x tg y tg x tg y
(tg x tg y)cotg x cotg y tg x tg ytg x tg y1 1
tg x tg y tg x tg y
tgx tgy
5.8) Sendo cotg x = m, escreva em função de m a expressão y = cos2x – sen2x.
Solução
Em 1º lugar, partindo da identidade cos x
cotg xsen x
, escrevemos
2
22
cos xm
sen x donde
2
22
1 sen xm
sen x. Desta última igualdade resulta
22
1sen x
1 m. Além disso, temos cos2x = 1 – sen2x = 1 –
2
2 21 m
1 m 1 m
Sendo assim, a expressão dada fica:
y = cos2x – sen2x =
2
2 2m 1
1 m 1 m
isto é,
2
2m 1
ym 1
5.9) Simplifique 2
2 2cotg a 1
y1 cotg a 1 tg a
84
5.21) Sendo cotg x = m, calcule cos x.
5.22) Se tg x = 2 p1 p
, calcule cos x.
5.23) Dado que 3cos2x – sen2x = 2, calcule tg x e cotg x. 5.24) Dado que (a – 1)sen2x + (a + 1)cos2x = a, calcule tg x e cotg x. 5.25) Determine os valores de m para que se tenha, simultaneamente:
2m 3 2m 1
tgx e cotgxm 3m
5.26) Determine todos os valores de x no intervalo –2 x 2, que satisfazem a
condição: a) tg x = –1
b) 3
cotgx3
c) tg x = – 3
d) cotgx 3 e) tg x = 0
5.27) Determine todos os valores de x no intervalo – x que satisfazem a
condição: a) cotg x = –1
b) 3
tgx3
c) cotgx 3
d) 3
tgx3
e) cotg x = 0 5.28) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que:
a) tg x = 0 b) cotg x = –1
c) tg x = 3 d) cotg x = 0
e) 3
tgx3
f) tg2x = 1 g) cotg2x = 3 h) tg x + cotg x + 2 = 0
5.29) Sendo A e B arcos de 1º quadrante, tais que sen A cos A1 2 10
e ,sen B 2 cos B 5
determine tg A e tg B.
85
5.30) Simplifique cada uma das expressões dadas abaixo: a) y = cotg2·tg·sen + tg2·cotg ·cos b) y = sen ·cos ·tg
c) cos (1 sen )
y1 cos tg
d) y = tg ·sen + cos e) y = (1 + tg2) (1 + cotg2) (1 – cos2)
f) 1 cotg
y1 tg
g) y = 2cos – sen (cotg – tg )
h) 2
2t g
y1 tg
i) 2 2 2 2
t g cotgy
(1 tg ) (1 cotg )
5.31) Prove as identidades seguintes:
a) (tg + cotg ) sen ·cos = 1
b) 2
22
1 t g2cos 1
1 tg
c) [(cotg + cos )2 – (cotg – cos )2]2 = 16(cotg2 – cos2)
92
6.2) Prove que cossec4 – cossec2 = cotg4 + cotg2
Solução
Lembrando que cossec2 = 1 + cotg2, podemos escrever cossec4 – cossec2 = cossec2·[cossec2 – 1] = = (1 + cotg2) [(1 + cotg2) – 1] = = (1 + cotg2)·cotg2 = cotg4 + cotg2
6.3) Prove que
sec x tg x sec x tg x2(sec x cossec x)
cossec x cotg x cossec x cotg x
SoIução
Partindo da expressão do 1º membro:
sec x tg x sec x tg xcossec x cotg x cossec x cotg x
(sec x tg x)(cossec x cotg x) (sec x tg x)(cossec x cotg x)(cossec x cotg x)(cossec x cotg x)
O denominador desta fração é igual a
cossec2x – cotg2x = (1 + cotg2x) – cotg2x = 1
Podemos então desenvolver o numerador:
sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cossec x – tg x·cotg x – sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cosssec x + tg x·cotg x = 2(tg x·cossec x – sec x·cotg x) =
sen x cos x1 1 1 12 2 2(sec x cossec x)
cos x sen x cos x sen x cos x sen x
6.4) Sendo sec – tg = a (a 0), calcule sen
Solução
Podemos escrever sen1
acos cos
donde a·cos = 1 – sen Elevando ao quadrado, resulta
a2cos2 = (1 – sen )2
isto é, a2(1 – sen2) = (1 – sen )2 ou a2(1 – sen ) (1 + sen ) – (1 – sen )2 = 0 e (1 – sen ) [a2(1 + sen ) – (1 – sen )] = 0 Há dois casos a considerar:
1) 1 – sen = 0, donde sen = 1. Esta resposta é inaceitável, pois teríamos cos = 0 e assim não existiriam sec e tg .
2) a2(1 + sen) – (1 – sen) = 0
93
Desta equação tiramos 2
21 a
sen1 a
Exercícios Propostos 6.5) Dado sen x = –0,60, calcule as demais razões trigonométricas de x.
6.6) Dado 7
tg x3
, calcule as demais razões trigonométricas de x.
6.7) Dado 5
sec x2
, calcule as demais razões trigonométricas de x.
6.8) Dado 2sec x t 1 (t 0) , calcule as demais razões trigonométricas de x. 6.9) Sendo cossec x = m, calcule tg x. 6.10) Determine os valores de p para os quais é possível a igualdade sec x = 2p2 – 1. 6.11) Determine m para que se tenha, simultaneamente: tg x = 3m + 3 e
sec x = m + 2.
6.12) Sendo m e n números positivos tais que cossec x m n
m(m n)
, determine
tg x. 6.13) Simplifique as expressões:
a) 1 sen
ysec tg
b) y = (sec4 – sec2)·cos4
c) cossec cotg cossec cotg
ycossec cotg cossec cotg
d) y = (1 – cos ) (cosssec + cotg ) 6.14) Prove cada uma das identidades seguintes:
a) (1 – cotg x)2 + (1 – tg x)2 = (sec x – cossec x)2
b) sec x cossec x tg x cotg x
tg x cotg x sec x cossec x
119
Exercícios Suplementares II.1) Utilizando a tabela, dê o valor de:
a) sen 3973º b) cos 415º c) tg 3297º
d) cotg112
e) sec142
3
f) cossec19
3
II.2) Calcule sen x e cos x, sendo:
8sen2x + 2cos2x = 5sen x + 1
II.3) Calcule sen x e cos x, sendo sen x·cos x = 2 5
9
II.4) Calcule sen x e cos x, sendo:
2(sen3x + cos3x) = sen x + cos x II.5) Calcule sen x e cos x, sendo:
sen x + acos x = a II.6) Calcule sen x e cos x, sendo
(m + 1)sen x + (m – 1)cos x = m + 1 (m 1)
II.7) Prove que 2cos2 – 1 = 2
21 tg
1 tg
II.8) Prove que:
1 + (1 + 2tg2x)sen2x = 2tg2x + cos2x II.9) Sendo cos + cos = a e sen + sen = b, calcule
cos ·cos + sen ·sen . II.10) Prove que:
4 4 tg x cotg x 2 sen x cos x
4 tg x cotg x 2 sen x cos x
II.11) Prove que 4 4
2cos x sen xcos x 2 sec x
2 sec x
II.12) Sendo tg = 2 2
b
a b, simplifique:
y = sen (1 + tg ) + cos (1 + cotg ) – sec
120
II.13) Simplifique: y = cotg2x(tg x – sen x)(sec x + 1)
II.14) Simplifique 1 1
y1 cos 1 cos
sendo de 1º quadrante.
II.15) Simplifique 2
2 2(tg x cotg x)
ysec x cossec x
II.16) Sendo a
sen xa b
e cos x > 0, calcule as demais razões trigonométricas
de x.
II.17) Sendo cos x = 2 2
2 2a b
a b
com a > b > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões
trigonométricas de x.
II.18) Sendoa b
tg x ,a b
com a > b > 0 e cos x < 0, calcule as demais razões
trigonométricas de x.
II.19) Sendo cotgm n
x2 mn
, com m > n > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões
trigonométricas de x. II.20) Sendo cotg + cossec = m (m 0), calcule cos .
II.21) Determine m para que se tenha simultaneamente m 3
sen x5 e
2m 4cos x
5 .
II.22) Determine m para que se tenha simultaneamente cotg x = 3 m + 1 e
cossec x = 2m + 2 . II.23) Sendo sen x + cos x = a, calcule sen3x + cos3x. II.24) Sendo sen x + cos x = a, calcule tg3x + cotg3x. II.25) Prove que:
tg2·sec + sen2(sec + cos ) = sec3 – cos3 II.26) Utilizando redução ao 1º quadrante, calcule sen A + cos 2A + tg 3 A, sendo
535
A12
121
II.27) Resolva a equação cos3
2x3 2
, no conjunto-universo U = [–; ]
II.28) Resolva a equação tg 3x = –1, no conjunto-universo U = .
II.29) Sendo x = arc sen 15
, calcule tg x.
II.30) Sendo x = arc tg 12
, calcule sen x.
II.31) Resolva a equação
arc sen 3x 1 = arc cos x
II.32) Resolva a equação
2 13 1arc cos arc tg x
13 2
II.33) Calcule y = sen (arc tg 2) II.34) Calcule y = sec (arc cotg a) II.35) Resolva a equação tg x + 3 cotg x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2]. II.36) Resolva a equação tg2x = 2sec x – 1 no conjunto-universo U = [–; ]. II.37) Resolva a equação 8cos2x + sec x = 0 no conjunto-universo U = .
II.38) Resolva a equação 4sen x cos x + 3 = 0 no conjunto-universo U = [0; 2]. II.39) Resolva a equação sec2x + cossec2x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2].
II.40) Resolva a equação 2 2
2 37
cos x cotg x no conjunto-universo U = .
128
cos cos cos sen sen
4 1 3 2 2 4 6 2 4 6 2
5 3 5 3 15 15 15
9.2) Calcule cos 105º, utilizando os senos e cossenos de 60º e 45º.
Solução
Como 105º = 60º + 45º, temos: cos 105º = cos(60º + 45º) = cos 60º·cos 45º – sen 60º·sen 45º =
1 2 3 2 2 6donde cos 105º
2 2 2 2 4
9.3) Demonstre a identidade
cos(a + b)·cos(a – b) = cos2a – sen2b Solução
1º membro = cos(a + b)·cos(a – b) =
= (cos a·cos b – sen a·sen b) · (cos a·cos b + sen a·sen b) = = cos2a·cos2b – sen2a·sen2b = cos2a·(1 – sen2b) – (1 – cos2a)·sen2b = = cos2a – cos2a·sen2b – sen2b + cos2a·sen2b = cos2a – sen2b =
= 2º membro
9.4. ARCOS (OU ÂNGULOS) COMPLEMENTARES
Dois arcos cujas medidas tem soma igual a 2
(ou igual a um côngruo
de 2
) são chamados complementares; (30º; 60º), 5 11
; , ;12 12 8 8
são
exemplos de pares de arcos complementares. Assim, se é a medida de um
arco,
2 é a medida de um seu complementar.
Propriedade: se dois arcos são complementares, o cosseno de um deles
é igual ao seno do outro, isto é:
cos sen2
sen cos2
A verificação da primeira igualdade é simples: basta desenvolver o cosseno
da diferença; assim:
129
cos cos cos sen sen2 2 2
como cos 0 e sen 1, vem :2 2
cos sen2
Para verificarmos a segunda relação efetuamos uma mudança de variável;
assim, na igualdade (já verificada)
cos x sen x
2
fazemos a substituição
x2
, da qual resulta
x
2 2 2; logo
cos sen2
.
Interpretação Geométrica
Se P e Q são, respectivamente, as extremidades dos arcos de medida
e2
(fig. 9.5), é imediato que AÔP = QÔB (medida ).
Fig. 9.5
Assim, a bissetriz b dos quadrantes ímpares contém a bissetriz OD do triângulo isósceles POQ. Portanto, P e Q são simétricos em relação a b. Podemos então concluir que arcos complementares tem extremidades simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Podemos agora deduzir facilmente as relações entre as demais razões
trigonométricas:
sencos2
tg cotg2 sen
cos2
130
1 1cotg tg
2 cotgtg
2
1 1sec cossec
2 sencos
2
1 1cossec sec
2 cossen
2
Temos, assim, a seguinte tabela de relações:
sen cos2
cos sen
2
tg cotg2
cotg tg2
sec cossec2
cossec sec2
Exercícios Resolvidos 9.4) Simplifique a expressão:
sen 10º cos 50º tg 65ºy
cos 80º sen 40º cotg 25º
Solução
Usando as fórmulas de mudança de sinal, vem:
sen 10º cos 50º tg 65º
ycos 80º sen 40º cotg 25º
Notando, agora, que 10º + 80º = 90º, 50º + 40º = 90º e 65º + 25º = 90º, as relações entre arcos complementares nos permitem escrever:
sen 10º cos 50º tg 65º
ysen 10º cos 50º tg 65º
logo, y = –1
9.5) Sendo x um arco qualquer, calcule o valor da expressão
2 2y sen x sen x
6 3
131
Solução
Basta notar que
x x ;6 3 6 3 2
portanto,
sen x cos x
3 6; assim
2 2 2 2y sen x sen x sen x cos x6 3 6 6
logo, y = 1
9.6) Sendo e dois arcos complementares tais que sen – sen = m, calcule o produto sen ·sen Solução
Temos sen = cos ; assim, a diferença dada fica
sen – cos = m
Elevando ao quadrado ambos os membros, vem
sen2 – 2sen ·cos + cos2 = m2 ou
1 – 2sen ·cos = m2
e daí
21 m
sen cos2
Então
21 m
sen sen2
9.7) Calcule o valor da expressão
y = sen 41º · sen 42º · sen 43º · sen 44º · sen 45º · sec 46º · sec 47º · sec 48º · sec 49º Solução
Notando que
41º + 49º = 90º, temos que sec 49º = cossec 41º1
sen 41º ;
portanto, sen 41º · sec 49º = 1. Pelo mesmo motivo, sen 42º · sec 48º = 1 sen 43º · sec 47º = 1 sen 44º · sec 46º = 1 Assim, a expressão dada se reduz a
y = sen 45º
logo, 2
y2
136
9.7. RESUMO
1º) Mudança de sinal do arco (ou ângulo)
sen sen cos cos
tg tg cotg cotg
sec sec cossec cossec
2º) Arcos (ou ângulos) complementares
sen cos2
cos sen2
tg cotg2
cotg tg2
sec cossec2
cossec sec2
3º) Soma e diferença de arcos (ou ângulos)
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a
cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b
cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
tg a tg btg a b
1 tg a tg b
tg a tg b
tg a b1 tg a tg b
Exercícios Propostos
9.14) Dado que 3
sen ,5 2
, determine:
a) sen (–) b) cos (–) c) tg (–)
9.15) Sendo sen (x – y) = a, calcule a para que se tenha
3·sen (y – x) + 2cos2(y – x) = 0.
Resolva, em seguida, a equação sen (x – y) = a, para x – y no 1º quadrante. 9.16) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor
numérico
137
a) y = cos 3x·cos x + sen3x·sen x b) y = cos 65º·cos 25º – sen 65º·sen 25º c) y = cos 70º·cos 10º + sen 70º·sen 10º
9.17) Calcule cos 75º e cos 15º, usando, para ambos, as fórmulas de cos(a + b) ou cos(a – b).
9.18) Se 2
sen ,3 2
, calcule cos x4
.
9.19) Calcule cos3 1
arc sen arc sen5 2
.
9.20) Dado que 3
sec 3, 22 , determine:
a) sen2
b) cos2
c) tg2
9.21) Sendo cos x a,4
determine:
a) cos x4
b) sen x4
9.22) Sendo cos x m3
, determine sen x
6
.
9.23) Simplifique as expressões
a)
sen x cos x sen x cos x2 2
y1 tg x cotg x
2
b)
cos a b tg x12
y5
cos b a cotg x12
9.24) Calcule o valor da expressão:
y = tg 1º · tg 2º · tg 3º · ... · tg 88º · tg 89º
138
9.25) Calcule o valor da expressão: y = 2 · cos 26º · cos 27º · cos 28º · cos 29º · cos 30º · cossec 61º · cossec 62º · cossec 63º · cossec 64º
9.26) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor
numérico: a) y = sen 2a·cos a – sen a·cos 2a
b) y = sen5
·cos 45
+ sen45
·cos5
9.27) Calcule sen 105º.
9.28) Calcule 3 24
sen arc sen arc tg2 7
.
9.29) Mostre que sen (a + b)·sen (a – b) = cos2b – cos2a. 9.30) Calcule tg 15º. 9.31) Supondo satisfeitas as condições de existência, mostre que:
cos x sen xtg x
4 cos x sen x
9.32) Determine tg x, sabendo que:
tg x tg x 24 4
9.33) Sendo 4 , mostre que:
1 tg 1 tg 2
9.34) Mostre que, se x + y + z = 2
, então
tg x·tg y + tg x·tg z + tg y·tg z = 1
9.35) Se cotg e cotg são raízes da equação x2 + bx – 1 = 0, calcule cotg(+ ), sabendo que b 0.
9.36) São dadas, a seguir, três equações do 2º grau com seus respectivos
conjuntos-solução: E1: x
2 – sx + p = 0, S1 = {sen (a + b); cos (a – b)} E2: x
2 – s1x + p1 = 0, S2 = {sen a; cos a} E3: x
2 – s2x + p2 = 0; S3 = {sen b; cos b}
Mostre que s = s1·s2 e que p = p1 + p2
147
9.44) Simplifique as expressões:
a)
3sen 2 tg cotg
2 2y
cos 2 tg
b)
3 3sen cos sen cos
2 2y
cos cos 2 sen sen2 2
9.45) Se tg 35º = a, calcule:
tg 215º tg 125ºy
tg 235º tg 325º
9.46) Simplifique a expressão:
9 13sen sen cos 7
2 2
9.47) Calcule a expressão:
cos x 1620º tg x 630ºy sen 990º ,
sen 900º x
sabendo que
5sen x
5
9.48) Avalie a expressão: E = sen 0º + sen 1º + sen 2º + ... + sen 360º
9.49) Avalie a expressão:
E = cos 20º + cos 40º + cos 60º + ... + cos 180º 9.50) Mostre que, se x, y e z são ângulos internos de um triângulo não retângulo,
então tg x, tg y e tg z tem sua soma igual ao seu produto.
166
11.6. RESUMO 1º) Fórmulas de transformação em produto
p q p qsen p sen q 2 sen cos
2 2
p q p qsen p sen q 2 sen cos
2 2
p q p qcos p cos q 2 cos cos
2 2
p q p qcos p cos q 2 sen sen
2 2
sen p qtg p tg q
cos p cos q
sen p qtg p tg q
cos p cos q
2º) Fórmulas de reversão
1sen a cos b sen a b sen a b
2
1cos a cos b cos a b cos a b
2
1sen a sen b cos a b cos a b
2
Exercícios Propostos
11.11) Transforme em produto as expressões: a) sen 6x + sen 2x c) sen x – sen 3x b) cos 7x + cos 3x d) cos 3x – cos 9x
11.12) Transforme em produto as expressões: a) 1 – 2sen 2x c) sen x + cos x b) sen 2x + 2sen x d) sen 3x – cos x
11.13) Transforme em produto as expressões: a) sen 11x + sen 3x + sen 15x – sen x b) cos 5x + cos x + sen 9x + sen 3x
11.14) Simplifique a expressão:
cos 9x cos 7xy
sen 9x sen 7x
167
11.15) Simplifique a expressão: sen 100º sen 20º
ycos 100º cos 20º
11.16) Sendo a b3 , calcule o valor de:
sen a sen by
cos b cos a
11.17) Utilizando as fórmulas de transformação em produto, demonstre que:
sen2a – sen2b = sen (a + b)·sen (a – b) 11.18) Transforme em produto a expressão sen23x – cos2x 11.19) Demonstre que:
tg 3x – tg x = 2sen x·sec 3x 11.20) Demonstre que:
acotg a tg cossec a
2
11.21) Adotando cos 10º = 0,98, calcule o valor de tg 10º + tg 40º
11.22) Sabendo que x y
sen 02 e que:
x ya tg x b tg y a b tg ,
2 prove que a cos y = b cos x
11.23) Transforme os produtos abaixo em somas ou diferenças:
a) sen 40º·cos 12º b) 2cos 5x·cos x c) 2sen 3x·sen 2x
11.24) Calcule o valor das expressões:
a) 5
y sen cos24 24
b) 7
y cos cos12 12
c) 3 9
y 2 sen sen24 24
11.25) Simplifique a expressão:
y = sen x (2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x + 1) 11.26) Sendo cos 10º = a, calcule o valor da expressão:
y = 8cos 65º·cos 25º·cos 145º·cos 125º
168
Exercícios Suplementares
III.1) Resolva a equação 1
sen( x)2
III.2) Simplifique a expressão:
cos 3x cos x sen 3x sen x
y1 2 cos 2x 1 2 cos 2x
III.3) Calcule sen 285º, conhecidos os senos e cossenos de 30º e 45º. III.4) Sendo e ângulos agudos de um triângulo retângulo, verifique que:
sen 2 cos 3
III.5) Dados 2 5
sen a , 0 a e sen b , 0 b3 2 5 2
, calcule o valor de
sen (a – b) + cos (a + b).
III.6) Mostre que cotga cotgb 1cotg a b
cotga cotgb
III.7) Sendo a b3 , calcule o valor de y 1 3 cotg a 1 3 cotg b .
III.8) Simplifique a expressão:
cotg tg 22
y3
t g 2 cotg 2 12
III.9) Calcule a expressão:
sen arc sen a cos arc sen b2
y3
cos arc sen a sen arc cos b2 2
III.10) Se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, mostre que:
cotg A·cotg B + cotg A·cotg C + cotg B·cotg C = 1
III.11) Calcule 1
sen 2 arc cos3
III.12) Calcule 3
cos 4 arc sen4
169
III.13) Calcule 1
tg arc tg 22
III.14) Verifique as identidades:
a) 2sen – sec = sec ·(sen 2 – 1) b) 2cos – sec = sec ·cos 2
III.15) Calcule cos 15º de dois modos: 1º) utilizando o fato 15º = 45º – 30º
2º) utilizando o fato 15º = 30º2
III.16) Sendo n *, calcule o valor de
sen 3n cos 3ny
sen n cos n
III.17) Sabendo que sen 2x = m, calcule o valor de:
2 2y sen x cos x4 4
III.18) Simplifique a expressãosen3x sen x
y4sen x
III.19) Sendo x y4 , calcule
cos x cos yy
sen x sen y
III.20) Simplifique a expressão:
sen 40º sen 10ºy
cos 80º cos 50º
III.21) Simplifique a expressão:
2
cos cos 7y
2 sen sen 5 sen
III.22) Transforme em produto a expressão cos2a – cos2b. III.23) Transforme em produto a expressão sen a + sen b + sen c, sabendo que a,
b e c são ângulos internos de um triângulo. III.24) Transforme em produto a expressão:
sen a btg a tg b
sen a sen b
III.25) Calcule o valor de
y = tg 9º – tg 27º – tg 63º + tg 81º
182
Obtemos então y k , ou seja,
xk
4 2
donde x 2k2
S x | x 2k k2
12.2. EQUAÇÕES CLÁSSICAS
Denominamos equações clássicas certos tipos de equações em cuja resolução se utilizam artifícios especiais. Analisaremos aqui os três tipos mais importantes, com seus métodos de resolução.
12.3. 1ª EQUAÇÃO CLÁSSICA
Trata-se da equação
asen x + bcos x = c (ab 0)
Há dois métodos principais. O primeiro, que consiste em colocar sen x e cos x
em função de x
tg t2 , deve ser utilizado de preferência quando os coeficientes são
literais e se impõe uma discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o ângulo auxiliar.
1º método
Conhecemos as expressões de sen x e cos x em função de x
tg t2 :
2
2 2
2t 1 tsen x e cos x
1 t 1 t
Com esta substituição, a equação clássica fica
2
2 2
b 1 t2 atc
1 t 1 t
ou seja, após as simplificações:
(b + c)t2 – 2at + c – b = 0 (I)
Esta equação (I) permite calcular t e, em seguida, tendo-se x
tg t2 ,
podemos calcular x: x = 2 arc tg t + 2k . Supondo b + c 0, a equação (I) admitirá raízes se e somente se
24a 4 b c c b 0
isto é, se
183
a2 + b2 c2
Note-se, porém, que, adotando-se x
tg2
como incógnita auxiliar, corre-se o
risco de perder a solução x = + 2k, que corresponderia à situação em que x
tg2
não existe. Verifiquemos em que caso isto aconteceria: se x = + 2k for solução,
teremos, para esse valor de x, sen x = 0 e cos x = –1, de modo que na equação a sen x + b cos x = c, obteríamos b + c = 0.
Conclusão: se b + c = 0, teremos a solução x = + 2k e, além desta, a
solução c b
t2a
que se obtém de (I). Se b + c 0, teremos apenas as soluções
dadas por (I).
Exercícios Resolvidos
12.13) Resolva a equação 2sen x + 3cos x = 1
Solução
Temos a = 2, b = 3 e c = 1
Pondo x
tg t2 ,obtemos sen
2
2tx
1 t
e
2
2
1 tcos x
1 t
. A equação fica
2
2 2
3 1 t4t1
1 t 1 t
isto é, 2t2 – 2t – 1 = 0.
Dai resulta 1 3
t2
, donde
x 1 3arc tg k
2 2
e, finalmente, x = 21 3
arc tg 2k .2
Como b + c = 4 0, segue que a solução x 2k não satisfaz. Sendo assim,
1 3S x | x 2 arc tg 2k k
2
12.14) Resolva a equação
3 sen x cos x 1
184
Solução
Temos a 3 , b = –1 e c = 1. Pondo x
tg t2 , vem
2
2tsen x
1 t
e
2
2
1 tcos x
1 t
.
A equação fica 2
2 2
2 3t 1 t1
1 t 1 t
isto é, 3
t3
. Daí resulta x
k2 6
donde x 2k3
.
Neste caso, temos b + c = 0; logo, os valores de x dados por x = + 2k também constituem solução, como se pode verificar diretamente, pondo sen x = 0 e cos x = –1 na equação dada. Temos então
S x | x 2k ou x 2k k3
12.15) Resolva e discuta a equação msen x + cos x + 3m – 1 = 0.
Solução
Temos a = m, b = 1 e c = 1 – 3m. Há dois aspectos a observar: primeiramente, se m = 0 ou m 0 e, em segundo lugar, se b + c = 0 ou
b + c 0. Como b + c = 2 – 3m teremos b + c = 0 para 2
m3
. Vamos
então analisar separadamente os três casos:
1º) m = 0
2º) 2
m3
3º) 2
m 0 e m3
1º caso: suponhamos m = 0. A equação fica cos x = 1, donde resulta
S x | x 2k k
2º caso: suponhamos 2
m3
. A equação fica 2
3sen x + cos x + 1 = 0.
Pondo 2
2 2
x 2t 1 ttg t,sen x e cos x ,
2 1 t 1 t
obtemos
2
22
4t 1 t1 0
1 t3 1 t
isto é, 3
t2
. Resulta x
2 = arc
3tg k
2
.
Temos então 3
x 2 arc tg 2k2
e ainda x 2k . Assim,
185
3S x | x 2 arc tg 2k ou x 2k k
2
3º caso: suponhamos 2
m 0 e m3
. Pondo x
tg t2 ,
2
2tsen x
1 t
e
2
2
1 tcos x ,
1 t
obtemos
2
2 2
2m t 1 t3m 1 0
1 t 1 t
isto é (3m – 2)t2 + 2mt + 3m = 0.
A equação admitirá solução se e somente se = 4m2 – 4(3m – 2)·3m 0,
ou seja,3
0 m4
Como 2
m 0 e m3
, devemos ter
2 2 30 m ou m
3 3 4
Se t1 e t2 são as raízes desta equação do 2º grau, escrevemos
1 2S x | x 2 arc tg t 2k ou x 2 arc tg t 2k k
2º método: ângulo auxiliar
Dada a equação asen x + bcos x = c (ab 0), podemos escrever
b csen x cos x
a a
Seja b
arc tga
(valor que pode ser obtido, por exemplo, por meio de uma
tabela). Podemos fazer a substituição
b sentg
a cos
e a equação fica sen c
sen x cos xcos a
donde c
sen x cos sen cos x cosa
isto é,
csen x cos
a
Esta última é uma equação imediata que fornece os valores de x. Haverá soluções desde que seja satisfeita a condição
c1 cos 1
a
186
Note que esta condição se escreve 2
22
ccos 1
a
e como2
222 2 2 2
2
1 1 1 acos
bsec 1 tg a b1
a
resulta 2 2
2 2 2
c a1
a a b
e finalmente 2 2 2a b c
Esta condição confirma aquela que encontramos no 1º método.
Exercícios Resolvidos
12.16) Resolva a equação sen x 3 cos x 1 . Solução
Façamos arc tg 3 .3
Assim, podemos substituir 3 por
sen3tg
3 cos3
A equação fica
sen3sen x cos x 1
cos3
ou sen x cos sen cos x cos3 3 3
e finalmente 1
sen x3 2
.
Observe a figura. Para o ponto P, temos x 2k3 6
Donde x 2k6
e para o ponto Q temos
5x 2k
3 6
Donde x 2k2
.
Assim,
187
S x | x 2k ou x 2k k6 2
12.17) Resolva a equação sen x – 2·cos x = 1 Solução
Façamos arc tg 2. Assim,
sen2 tg
cos
e a equação fica sen
sen x cos x 1cos
ou seja sen x·cos – sen ·cos x = cos
sen (x – ) = cos
Escrevemos ainda
sen x sen2
sen x sen 02
x x2 sen cos 0
2 4 2 4
Há 2 casos a considerar:
I) x
sen 02 4
II) x
cos 02 4
De I) vem x
k2 4
, donde x 2k
2
.
188
De II) vem
x
k2 4 2
, donde
x 2 2k2
.
Assim,
S x | x 2k ou x 2 arc tg2 2k k2 2
12.4. 2ª EQUAÇÃO CLÁSSICA
Trata-se da equação
asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, abc 0
Há dois métodos principais. O primeiro consiste em colocar a expressão em
função de tg x = r e é preferível nos casos de coeficientes literais, que exigem discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o arco dobro para recair na 1ª equação clássica.
1º método
Vamos dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos
22
da tg x b tgx c
cos x
e, lembrando que 2 22
1sec x 1 tg x
cos x ,
vem atg2x + btg x + c = d(1 + tg2x)
ou seja: 2(a d)r br c d 0 (I)
Esta equação (I) permite calcular r para, em seguida, recairmos na equação
imediata tg x = r. Note, entretanto, que, ao dividirmos ambos os membros por
cos2x, podemos perder a solução x k2
, que corresponderia ao caso cos x = 0.
Verifiquemos em que situação isto ocorreria. Se x k2
for solução, teremos,
para este valor de x, cos x = 0 e sen x = ± 1, de modo que na equação
asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d
obteríamos a = d.
Conclusão: se a = d, teremos a solução x k2
e, além desta, a solução
d cr
b
que se obtém de (I). Se a d, teremos apenas as soluções dadas por (I).
189
Exercício Resolvido
12.18) Resolva a equação
3cos2x + 4sen x·cos x – sen2x = 2 Solução
Temos a = –1, b = 4, c = 3 e d = 2. Como a d, é claro que x k2
não
constitui solução. Podemos então supor cos x 0 e dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos
22
23 4 tg x tg x
cos x
e como 2 22
1sec x 1 tg x
cos x
resulta 3 + 4tg x – tg2x = 2(1 + tg2x)
ou seja: 3tg2x – 4tg x – 1 = 0
Dai vem2 7
tg x3
e assim
2 7S x | x arc tg k k
3
2º método: arco dobro
Conhecemos as identidades
2
2
1sen x 1 cos2x
21
cos x 1 cos2x2
1sen x cos x sen 2x
2
Substituindo estas expressões na equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, obtemos
a b c1 cos 2x sen 2x 1 cos 2x d
2 2 2
Donde bsen 2x + (c – a) cos 2x = 2d – a – c
Esta é a 1ª equação clássica, cuja resolução já examinamos.
Exercício Resolvido
12.19) Resolva a equação 2 23 sen x 2sen x cos x 3 cos x 2
190
Solução
Façamos a substituição em função do arco 2x:
3 31 cos 2x sen 2x 1 cos 2x 2
2 2
Donde sen 2x 3 cos 2x 2
Pondo sen
33 tg3 cos
3
, a equação fica sen
3sen 2x cos 2x 2cos
3
ou sen2x cos sen cos2x 2 cos3 3 3
e então
2sen 2x
3 2
Observe a figura. Para o ponto P, temos 2x 2k3 4
, ou seja,
x k24
e para o ponto Q temos
32x 2k
3 4
, ou seja,
5x k
24
.
Assim,
5S x | x k ou x k k
24 24
12.5. 3ª EQUAÇÃO CLÁSSICA
Trata-se da equação
a sen x cos x bsen x cos x c
isto é, uma equação que se exprime em função da soma sen x + cos x e do produto sen x cos x.
Há dois métodos principais. O primeiro baseia-se na mudança de variável
sen x + cos x = z
191
O segundo utiliza a mudança de variável
x y4
1º método
Pondo sen x + cos x = z e elevando esta expressão ao quadrado, obtemos
sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x = z2 donde
2z 1sen x cos x
2
Substituindo na equação dada, vem 2z 1
az b c2
ou seja: 2bz 2az b 2c 0 (I)
Uma vez calculado z nesta equação (I), recai-se na equação sen x + cos x = z.
Esta pode ser resolvida por transformação em produto, escrevendo-se
sen x cos x sen x sen x 2 sen cos x 2 cos x2 4 4 4
Resulta então a equação imediata
2 cos x z4
É claro que só são aceitáveis os valores de z dados em (I) tais que
2 z 2
Exercício Resolvido
12.20) Resolva a equação
sen x + cos x + 2 2 sen x cos x = 0 Solução
Pondo sen x + cos x = z e
sen x cos x = 2z 1
2
, a equação fica
2z 2 z 1 0
ou seja: 22 z z 2 0
Daí obtemos 2
z ou z 22
.
192
Para 2
z2
, vem sen x + cos x = 2
2
ou seja, 2
2 cos x4 2
e finalmente1
cos x4 2
Temos então
x 2k e x 2k4 3 4 3
Para z 2 vem sen x + cos x = 2 , ou seja, 2 cos x 24
e
finalmente cos x 14
. Temos então x 2k4
e
5x 2k
4
Assim,
5S x | x 2k ou x 2k k
4 3 4
2º método
Pondo x y4
, obtemos
2sen x sen y cos y sen y
4 2
2cos x cos y cos y sen y
4 2
Assim,
sen x cos x 2 cos y
e sen x·cos x = 1
2(cos2y – sen2y) = cos2y –
1
2
Substituindo estas expressões na equação
a(sen x + cos x) + bsen x·cos x = c
obtemos
2 1a 2 cos y b cos y c
2
ou seja: bcos2y + a 2 cos y b
2 – c = 0
donde se calcula cos y.
193
Exercícios Resolvidos
12.21) Resolva a equação
sec x + cossec x = 2 2 Solução
Escrevemos 1 1
2 2cos x sen x
donde, sen x + cos x = 2 2 sen x cos x
É, portanto, a 3ª equação clássica. Façamos x y4
, obtendo (como
explicado na teoria acima)
2 1sen x cos x 2 cos y e sen x cos x cos y
2
A equação fica 2 12 cos y 2 2 cos y
2
donde 2 cos2y – cos y – 1 = 0.
Aqui obtemos cos y = 1 ou 1
cos y .2
Para cos y = 1 vem y = 2 k , donde
x 2k4
. Para cos y =
1
2 vem
2y 2k ,
3
donde
2x 2k
4 3
.
É imediato que estes valores satisfazem as condições de existência de sec x e cossec x. Assim,
2S x | x 2k ou x 2k k
4 4 3
12.22) Resolva a equação sen3 x + cos3 x = 1.
Solução
Fatorando o 1º membro através da identidade
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 – ab), vem
(sen x + cos x) (sen2x + cos2x – sen x cos x) = 1
ou (sen x + cos x)(1 – sen x cos x) = 1
Pondo sen x + cos x = z e sen x cos 2z 1
x2
, a equação fica
2z 1z 1 1
2
Isto é, z3 – 3z + 2 = 0 A expressão do 1º membro, fatorada, resulta (z – 1)2(z + 2). Assim, temos
z = 1 ou z = –2. Somente o valor z = 1 satisfaz a condição 2 z 2 . Recaímos então na equação sen x + cos x = 1, donde
194
22 cos x 1 ou cos x
4 4 2
Portanto, x 2k4 4
e finalmente
x 2k ou x 2k .2
Assim,
S x | x 2k ou x 2k k2
12.6. EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM AS RELAÇÕES INVERSAS
Daremos neste item alguns exemplos de equações que envolvem as notações arc sen x, arc cos x, arc tg x e arc cotg x. A variedade dos exercícios deste tipo é muito grande, sendo portanto impossível estabelecer uma teoria geral. Os exercícios resolvidos a seguir poderão sugerir alguns dos métodos mais comuns.
Exercícios Resolvidos
12.23) Resolva a equação
arc tg x + arc tg (1 – x) = 2 arc tg 2x x
Solução
Indiquemos
= arc tg x, donde tg = x e 2 2
= arc tg (1 – x), donde tg = 1 – x e 2 2
= arc tg 2x x , donde tg = 2x x e 2 2
A equação dada fica 2 e podemos então escrever
2
tg tg 2
tg tg 2 tg
1 tg tg 1 tg
ou ainda
2
22
x 1 x 2 x x
1 x 1 x 1 x x
Nesta equação, o valor de x pode ser calculado. Obtemos 1 1
x e, assim, S2 2
195
12.24) Resolva a equação
arc sen 2x = arc sen x 3 + arc sen x Solução
Indiquemos
= arc sen 2x, donde sen = 2x e 2 2
= arc sen x 3 , donde sen = x 3 e 2 2
= arc sen x, donde sen = x e 2 2
A equação dada fica e, em seguida, escrevemos sen sen
sen sen cos sen cos
Calculemos cos e cos . Como sen x 3, obtemos
2 2 2cos 1 sen 1 3x e, assim, 2cos 1 3x .
Mas 2 2
, donde se conclui que cos não é negativo. Portanto,
2cos 1 3x .
Como sen = x, obtemos cos2 = 1 – sen2 = 1 – x2 e sendo 2 2
,
vem 2cos 1 x .
Com isto, a equação fica 2 22x x 3 1 x x 1 3x
onde se calculam os valores de x. Obtemos 1
x 0 ou x2
.
Discussão
Sendo 2x = sen , devemos ter 1 2x 1 , isto é, 1 1
x2 2
Sendo x 3 sen , devemos ter 1 x 3 1 , isto é,
3 3x
3 3
Sendo x = sen , devemos ter 1 x 1 . Nota-se que os três valores encontrados para x satisfazem estas três condições. Podemos então escrever
1 1S 0; ;
2 2
12.25) Resolva a equação arc sen x + arc sen (1 – x) = arc cos x
196
Solução
Indiquemos
arc sen x, donde sen x e2 2
arc sen 1 x , donde sen 1 x e2 2
arc cos x, donde cos x e 0
A equação dada fica e, em seguida, escrevemos
cos cos
cos cos sen sen cos
Calculemos cos e cos . Como sen x e ,2 2
vem
2cos 1 x . Como sen 1 x e ,2 2
vem
22 2 2cos 1 sen 1 1 x 2x x e então
2cos 2x x . Com isto, a equação fica
2 21 x 2x x x 1 x x
onde se calculam os valores de x. Obtemos x = 0 ou 1
x ou x 2.2
O
valor x = 2 não é satisfatório. Escrevemos 1
S 0;2
12.26) Resolva a equação
arc tg x + 2 arc cotg x 2
3
Solução
Indiquemos
arc tg x, donde tg x e2 2
arc cotg x, donde cotg x e 0
A equação dada fica 2
23
e, em seguida, escrevemos
22
3
2
2tg 2 tg
3
2tg tg2 tg 3
21 tg 1 tg tg3
197
2
23 xx
1 1 3x1x
Nesta equação obtemos x 3 e, assim,
S 3
Exercícios Propostos
Resolva as equações dadas a seguir:
12.27) sen 7x = sen 5x 12.28) cos 2x = cos x
12.29) tg x cotg 2x2
12.30) sen 2x cos x4
12.31) 5
tg 3x cotg 2x 04 2
12.32) 3 + 2cos 2x = 4cos x 12.33) sec x – cos x = sen x
12.34) cos a – cos x = sen (x – a) a 2k2
12.35) 2 2x a x acos cos 1 cos a 0
2 2
12.36) sen (a + 2x) + sen (a + x) + sen a = 0
12.37) sen x sen x sen 04 3 12
12.38) 3 31sen x cos x cos x sen x
4
12.39) cos x·cos 7x = cos 3x·cos 5x
260
Função secante
f(x) = sec x
D(f) = {x | x 2
+ k, (k )}
I(f) = {y | y –1 ou y 1}
período 2 função ímpar
Função cossecante
f(x) = cossec x
D(f) = {x | x k, (k )}
I(f) = {y | y –1 ou y 1}
período 2 função ímpar
Exercícios Resolvidos 15.1) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = 2sen x.
Solução
Temos que, para todo x real, –1 sen x 1; multiplicando essa desigualdade por 2, vem:
–2 2sen x 2 e daí –2 f(x) 2 Assim, I(f) = {y | –2 y 2}
15.2) Determine o domínio da função
f(x) tg x3
Solução Sabemos que existe tg se e somente se
k , k2
Fazemos, então,
x k3 2
261
e tiramos x k6
Logo
D(f ) x | x k , k6
15.3) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = –2 + 3sec x
Solução
Temos que, para todo x do domínio da função secante,
sec x – 1 ou sec x 1;
multiplicando as desigualdades por 3, vem
3sec x –3 ou 3sec x 3;
subtraindo agora 2, temos –2 + 3sec x –5 ou –2 + 3sec x 1
e daí f(x) –5 ou f(x) 1
Assim, I(f) = {y | y –5 ou y 1}
15.4) Calcule o valor máximo assumido pela função f(x) = 5sen x · cos x
Solução
Sabemos que 2sen x·cos x = sen 2x, donde sen x·cos x = 12
sen 2x
Escrevemos então,
1 sen 2xsen2x2f(x) 5 5
Como a base 5 é um número maior que 1, f(x) terá valor máximo quando o expoente assumir seu maior valor possível; como o máximo valor de sen 2x é 1, temos
1máxf 5 5
15.5) Determine o domínio da função
1f(x)
cotg x4
Solução
Para obtermos o domínio dessa função, devemos impor duas condições: que a cotangente exista e que seja diferente de zero.
1ª) existência de cotg x4
Sabemos que existe cotg se, e somente se k; fazemos então,
262
x k e tiramos x k4 4
2ª) cotg x 04
Sabemos que cotg 0 para k2 ; fazemos, então
x k e tiramos x k4 2 4
Portanto,
D(f ) x | x k e x , k , k4 4
Observe que, se marcarmos na circunferência trigonométrica os pontos
correspondentes às extremidades dos arcos k e k4 4 , obtemos
quatro pontos igualmente distribuídos, isto é, que dividem a circunferência em quatro partes iguais. Portanto, podemos escrever que
kD(f ) x | x , k
4 2
k P; P '
4
k Q; Q '4
15.6) Mostre que a função definida por f(x) = x·sen x é par.
Solução
Vamos calcular f(–x) f(–x) = (–x)·sen (–x) = (–x)·(–sen x) ou seja f(–x) = x·sen x = f(x) Como f(–x) = f(x), a função é par.
Exercícios Propostos 15.7) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções:
a) f(x) = sen 3x b) f(x) = 3sen x
263
c) f(x) = 3 + sen x d) f(x) = –2 – cos x
e) f(x) = 1 + 4cos x3
f) f(x) = |cos x| 15.8) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções:
a) f(x) = sec 2x b) f(x) = –2sec x c) f(x) = –2 + sec 2x d) f(x) = 2 + 4cossec x e) f(x) = |cossec x| f) f(x) = |–1 + cossec x|
15.9) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:
a) f(x) = tg 2x
b) f(x) = cotg x5
c) f(x) = sec 3x4
15.10) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:
a) 1
f(x)tg 2x
b) 1
f(x)sen x cos x
c) 1
f(x)cotg x
3
d) 1
f(x)sen 3x sen x
15.11) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função
f(x) = –1 + 3sen x 15.12) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função
f(x) = |–1 + 3sen x| 15.13) Determine o valor mínimo assumido pela função f(x) = 4sen x · cos x 15.14) Determine o valor máximo assumido pela função
f(x) = (0, 1)cos x 15.15) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = sen x – cos x
264
15.16) Determine a paridade de cada uma das seguintes funções a) f(x) = x3·cos x b) f(x) = x·tg x
c) tg 3x sen x
f(x)cossec 2x
d) 2x cotg 2x sen x
f(x)sec 3x
265
16.1. INTRODUÇÃO
No capítulo 15, tomamos conhecimento dos períodos e dos gráficos das funções f(x) = sen x, f(x) = cos x, f(x) = tg x etc. No entanto, é muito comum surgirem, em problemas (como, por exemplo, no estudo da Ondulatória, em Física), funções trigonométricas que ou sofreram transformações em relação às originais ou são a soma ou o produto daquelas; por exemplo, as funções definidas por f(x) = sen 2x, f(x) = cos2x, f(x) = a·sen (t + ), f(x) = sen x + cos x.
Vamos, no presente capítulo, estudar algumas regras para o cálculo dos períodos e para a construção dos gráficos de algumas dessas funções.
16.2.CÁLCULO DO PERÍODO DE FUNÇÕES DA FORMA
y = m + n·f(ax + b)
Sejam m, n, a e b constantes reais, com a · n 0. Nessas condições,
enunciamos o seguinte teorema:
Se uma função f, definida por y = f(x), é periódica, de período p, então a função definida por g(x) = m + n·f(ax + b) é periódica e seu período é
P
P| a |
Por exemplo, f(x) = cos x é uma função periódica, de período p = 2; então,
a função definida por g(x) = 5 + 3cos 2x4
é periódica e seu período é
p 2P
| a | | 2 |
Deve-se notar, com muita atenção, que dos coeficientes m = 5, n = 3, a = 2
e b = 4 , o único a influir no período é a = 2, isto é, o coeficiente de x.
266
Demonstração do Teorema Devemos provar (ver 15.7) que existe um real T, tal que g(x) = g(x + T), isto
é m + n· f(ax + b) = m + n·f[a(x + T) + b]. Assim:
se y = f(x) tem período p, temos que f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = f(x + 3p) = . . , isto é, para
k , f(x) = f(x + k·p)
Multiplicando essa igualdade por n (n 0) e somando em seguida m, vem: m + n·f(x)= m + n·f(x + k·p)
Fazendo agora a substituição de x por ax + b (a 0), obtemos:
m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + kp)
que podemos escrever
m + n·f(ax + b) = m + n·f(ax + b + akpa
)
ou ainda
m + n·f(ax + b) = m + n·f[a(xkpa
) + b]
Considerando kp
Ta
temos
g(x) g(x T)
m n f(ax b) m n f[a(x T) b]
logo, como existe o real kp
Ta
para o qual g(x) = g(x + T), a função g é
periódica. Como, por definição, período é o menor T positivo, obtemos, fazendo k = 1, o período de g
pP
| a |
Exercícios Resolvidos
16.1) Calcule o período da função f(x) = sen x3
.
Solução
Como a função sen x tem período p = 2, então p 2
P 6| a | 1
3
267
16.2) Calcule o período de função
2xf x 3 tg
3 4
Solução
Como a função tg x tem período p = , então p 3
P2a 2
3
16.3) Calcule o período da função f(x) = 4 – 3sec x .
Solução
Como a função sec x tem período p = 2, então p 2
P 2a
16.4) Calcule o período da função f(x) = sen2x.
Solução
Devemos, inicialmente, escrever a função na forma y = m + n·f(ax + b). Para isso, vamos lembrar a fórmula de arco dobro
cos 2x = 1 – 2sen2x
de onde tiramos 2 1 cos2xsen x
2
isto é, que
1 1f x cos2x
2 2
Como a função cos x tem período p = 2, então p 2
Pa 2
16.3. CÁLCULO DO PERÍODO DE SOMAS E PRODUTOS DE DUAS FUNÇÕES
PERIÓDICAS
Sejam f e g duas funções periódicas, definidas por y = f(x) e y = g(x), cujos períodos são, respectivamente, p1 e p2 com p1 p2. Enunciamos, então,o seguinte teorema:
Se 1
2
p mp n
, onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as
funções definidas por = f + g e = f·g são periódicas e seu período é
P = np1 = mp2
268
Por exemplo, x xf x sen e g x tg
2 3 são funções periódicas, cujos
períodos são 1 22
p 4 e p 31 12 3
.
Estabelecendo a razão entre p1 e p2, obtemos
1
2
p 4p 3
Assim, o período das funções
1 2
x x x xx sen tg e x sen tg
2 3 2 3P 3p 4p ; logo P 12
Demonstrativo do teorema
Devemos provar que existe um real T, tal que
x x T e x x T
isto é,
f x g x f x T g x T e f x g x f x T g x T
Assim: se f e g tem períodos p1 e p2, respectivamente, podemos escrever que
f(x) = f(x + knp1) (I) e
g(x) = g(x + kmp2) (II)
onde para k tem-se também (kn) e (km) .
Efetuando as operações (I) + (II) e (I) · (II), vem (III) : f(x) + g(x) = f(x + knp1) + g(x + kmp2) e (IV) : f(x) · g(x) = f(x + knp1) · g(x + kmp2)
Como 1
2
p mp n
, então np1 = mp2. Fazendo
1 2knp kmp T , as igualdades (III) e (IV) são escritas
x x T
x x T
f x g x f x T g x T
e
f x g x f x T g x T
logo, como existe o real T = knp1 = kmp2 para o qual
x x T e x x T , as funções e são periódicas.
Como, por definição, período é o menor T positivo, fazendo k = 1, obtemos o período de e :
P = np1 = mp2
269
Deve-se notar que esse teorema é aplicável, não só a funções da forma
f + g e f · g, mas, também, às funções ff g e g 0
g .
Exercícios Resolvidos 16.5) Calcule o período da função
(x) = tg 3x + cos 4x Solução
Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = tg 3x e g(x) = cos 4x; assim:
1 22
p e p3 4 2
Estabelecemos, agora a razão entre p1 e p2, encontrando
1
2
p 2p 3
Temos, então, que P = 3p1 = 2p2; logo, P = 16.6) Calcule o período da função
xx sec sen 3x
2
Solução
Calculamos, inicialmente, os períodos p1 e p2 das funções f(x) = secx2
e
g(x) = sen 3x; assim:
1 22 2
p 4 e p1 32
Estabelecemos, agora, a razão entre P1 e P2 encontrando
1
2
p 6p 1
Temos, então, que P = 1·p1 = 6p2; logo, P = 4
16.7) Calcule o período da função cos 3xx
cotg 8x
Solução
Sendo f(x) = cos 3x e g(x) = cotg 8x, vem
1 22
p e p3 8
Assim, 1
2
p 16p 3
Portanto, P = 3p1 = 16p2 = 2
270
16.8) Calcule o período da função 2x tg x
Solução
Sendo x tg x tg x , notamos que os períodos p1 e p2 são iguais
(p1 = p2 = ). Não podemos, portanto, aplicar o teorema visto, a menos que consigamos mudar a forma da função (x). No caso, se lembrarmos a fórmula de arco dobro
22 tgx
tg 2x1 tg x
e daí tirarmos
2 2 tgxtg x 1
tg2x
poderemos aplicar o teorema; sendo f(x) = 2tg x e g(x) = tg 2x, temos
1 2p e p2
Assim, 1
2
p 2p 1
Portanto, P = 1·p1 = 2p2 = 16.9) Calcule o período da função (x) = sec x – sen x
Solução
Também aqui não podemos utilizar o teorema (16.3), pois p1 = p2 = 2. Vamos, então, transformar a função; assim:
1 sen x cos x1x sen x
cos x cos x
Lembrando que 2sen x·cos x = sen 2x, temos
1
1 sen2x2xcos x
Agora, 1f x 1
2 sen 2x e g(x) = cos x, onde
11 2
2
p2 1p e p 2 e
2 p 2
Portanto, P = 2p1 = 1·p2 = 2 16.4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
De modo geral, a construção do gráfico de uma função f, definida por y = f(x), pode ser feita com o auxílio de uma tabela na qual são atribuidos alguns valores particulares a x e determinados os correspondentes valores de y. Foi o que fizemos para a obtenção dos gráficos das funções trigonométricas no capítulo 15. No entanto, conhecidos aqueles gráficos, com algumas regras de transformações no gráfico de uma função, podemos, facilmente, construir os gráficos de muitas outras funções.
271
Vamos enunciar algumas dessas regras. Seja G o gráfico da função definida por y f(x) e seja k 0 uma constante
real. 1ª) O gráfico G' da função y = f(x) + k pode ser obtido a partir de G, fazendo este
sofrer uma translação de k unidades, na direção Oy, “para cima”, se k é positivo, ou “para baixo”, se k é negativo.
2ª) O gráfico G' da função y = f(x + k) pode ser obtido a partir de G, fazendo este
sofrer uma translação de k unidades, na direção Ox, “para a esquerda”, se k é positivo, ou “para a direita”, se k é negativo.
3ª) O gráfico G' da função y = –f(x) pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma reflexão em relação ao eixo Ox.
272
4ª) O gráfico G' da função y = |f(x)| pode ser obtido a partir de G, fazendo a “parte” que está abaixo do eixo Ox sofrer uma reflexão em relação a Ox.
Vamos, agora, resolver alguns exercícios onde construiremos gráficos de funções trigonométricas que sofreram transformações. Nem sempre necessária, mas de grande utilidade, é a determinação prévia do período e do conjunto-imagem. Para maior praticidade, propomos as seguintes etapas para a resolução dos problemas: determinação do conjunto-imagem cálculo do período identificação da função trigonométrica base identificação das transformações sofridas pela função base construção do gráfico Exercícios Resolvidos
16.10) Construa o gráfico da função g(x) = 2 + sen x.
SoIução
Temos que I(g) = [1; 3] e p = 2 A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = f(x) + k, k = 2; utilizaremos, portanto, a primeira regra, transladando o gráfico de sen x duas unidades “para cima”.
273
16.11) Construa o gráfico da função g x cos x4
Solução
Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 2 A função base é f(x) = cos x.
A função dada é da forma g x f x k , k4 ; pela segunda regra,
transladamos o gráfico de cos x “para a direita”, de uma distância igual a 4
16.12) Construa o gráfico da função g(x) = sen 2x. Solução
Temos que I(g) = [–1;1] e p = . A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = f(kx), k = 2; note que, nas regras dadas, não consta esse tipo de transformação. No entanto, a construção do gráfico não tem maiores dificuldades se observarmos que, em primeiro lugar, o conjunto-imagem é o mesmo de sen x, isto é, a amplitude é a mesma e, em segundo lugar,o período de g(x) é a metade do período de f(x); podemos, intuitivamente, entender que, num intervalo de comprimento, sen 2x “faz” tudo o que sen x “faz” num intervalo de comprimento 2. Portanto, devemos obrigar o gráfico de sen x a “encolher” do intervalo [0; 2] para [0;]. Assim:
16.13) Construa o gráfico da função xg x cos
2
Solução
Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 4
274
A função base é f(x) = cos x
A função dada é da forma g(x) = f(kx), k = 12
; a exemplo do exercício
anterior, note que o conjunto-imagem não se altera e que o período de g(x)
é o dobro do período de f(x). Entendemos, intuitivamente, que cosx2
“faz”,
num intervalo de comprimento 4, exatamente o mesmo que cos x “faz” num intervalo de comprimento 2. Vamos, então, “esticar” o gráfico de cos x do intervalo [0; 2] para [0; 4]. Assim:
16.14) Construa o gráfico da função g(x) = 3sen x.
Solução
Temos que I(g) = [–3; 3] e p = 2. A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = k·f(x), k = 3; note, também, que esse tipo de transformação não consta das regras dadas. Observe que o período de g(x) é o mesmo de f(x) e que o conjunto-imagem “mudou” de [–1; 1] para [–3; 3], isto é, que a amplitude se alterou. Devemos construir uma senóide que, em um intervalo como [0; 2], percorra todo o conjunto-imagem [–3; 3]. Assim:
16.15) Construa o gráfico da função 1g x cos x
2
Solução
Temos que I1 1
g ; e p 22 2
275
A exemplo do que foi observado no exercício anterior, devemos construir uma cossenóide que, num intervalo como [0; 2], percorra o conjunto-
imagem 1 1
;2 2
; assim:
16.16) Construa, para 0 x 2, o gráfico da função g(x) = –2 – sen x.
Solução
Temos que I(g) = [–3; –1] e p = 2 A função base é f(x) = sen x A “evolução” da função base até a função dada foi
(I) (II)sen senx 2 senx
Sabemos que a transformação (I) (ver regra 3ª) provoca uma reflexão no gráfico de sen x em relação ao eixo Ox e que a transformação (II) (ver regra 1ª) faz o gráfico de –sen x sofrer uma translação de duas unidades “para baixo”. Assim:
Exercícios Propostos 16.17) Calcule o período das seguintes funções:
a) f(x) = sen 4x
b) xf x 2 cos
2
c) f x tg 3x4
276
d) 2xf x 1 cotg
3
e) 3xf x 1 3 sec
2
f) f x cossec 2 x
g) xf x tg
5
h) f x 5 4sen nx , n 0
16.18) Calcule o período das seguintes funções:
a) f(x) = cos2x
b) 2 xf x sen
2
c) f(x) = cos22x
d) 2 3xf x sen
2
16.19) Sabe-se que a função definida por f(x) = Asen (kx) tem período 6 e
conjunto imagem [–4; 4]. Determine essa função. 16.20) Seja k um real positivo. Determine a condição para que a função
f(x) = tg (kx) tenha período racional. 16.21) O conjunto-imagem da função f(x) = A + B·cos (Bx + A) é [–3; 7]. Determine
o período dessa função. 16.22) Calcule o período das seguintes funções:
a) xx sen cossec 3x
3
b) 5xx tg 2x sec
3
c) 2xx cos 4x tg
3
d) 3x
sen8x
4xcos
5
16.23) Calcule o período das seguintes funções:
a) f(x) = cos x + cossec x
b) f(x) = sec 3x + sen 3x
16.24) Calcule o período das seguintes funções:
a) f(x) = sen 2x + cos 2x
b) f(x) = sen3x
277
c) 3 xf x cos
2
16.25) Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções:
a) g(x) = 2 + cos x b) g(x) = –1 + sec x
c) g x sen x4
d) g x tg x4
16.26) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) xg x sen
2
b) g(x) = cos 2x
c) g(x) = –3cos x
d) 1g x sen x
2
16.27) Construa o gráfico das funções e determine seus períodos:
a) g(x) = |sen x|
b) g(x) = –|cos x|
16.28) Construa o gráfico da função g(x) = 1 + 3sen 2x 16.29) Construa o gráfico da função g(x) = sen x + cos x
287
Exercícios Suplementares
VI.1) Determine o domínio da função 22 tgx
f x1 tg x
. É o mesmo que da função
g(x) = tg 2x?
VI.2) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função f x sen x
VI.3) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função f x 2cos x 1
Vl.4) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = A + Bsen (2x), onde A e B
são constantes reais, com B > 0. Vl.5) Determine A e B reais (B > 0) de modo que o conjunto-imagem da função
f(x) = A + Bsec x seja
I(f ) {y y 6 ou y 2}
VI.6) Determine o domínio e o conjunto-imagem da função f(x) = tg x + cotg x. Vl.7) Calcule o período da função f(x) = tg x + cotg x
Vl.8) Calcule o período da função f x sen 4x4
VI.9) Calcule o período da função f x sen 4x4
VI.10) Calcule o período da função f(x) = sen 3x – cos 3x. Determine, também, seu
conjunto-imagem. VI.11) A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f(x) num sistema cartesiano
ortogonal, em que não está fixada a posição do eixo Oy e as abscissas são dadas em função de uma constante real a. Reconheça a função f(x) nos seguintes casos:
a) a = 0
b) a2
c) a2
d) a =