40 Noi soluții integrale termoelastice pentru semispațiu  

 

NOI SOLUȚII INTEGRALE TERMOELASTICE PENTRU SEMISPAȚIU

Ion Crețu, lector univ. Universitatea Tehnică a Moldovei

INTRODUCERE

Obținerea soluțiilor integrale în termoelasticitate de la acțiunea unei surse interioare de căldură, a unui gradient de temperatură și alte acțiuni termice date pe suprafața corpului este un rezultat important în acest domeniu. Însă pentru obținerea acestor soluții este necesar să fie dezvoltate alte teorii cu ajutorul cărora pot fi obținute noi expresii. O astfel de metodă a fost propusă de V. Șeremet numită Metoda Reprezentărilor Integrale Armonice (MRIA). În acest articol pentru prima dată au fost propuse expresiile pentru deplasările termoelastice într-un semispațiu de la acțiunea unui gradient de temperatură cu anumite condiții de limită.

1. DISPOZIȚII GENERALE Prin generalizarea formulei lui Maysel [1] și a

formulelor integrale Green, V. Șeremet a propus o nouă formă a acestor integrale [2],[3],[4],[5]:

V

ii xdVxUxFau )(),()()( 1

D

ydn

yUyT D

y

i )(),(

)(

N

ydyUn

yTNi

y

)(),()( (1)

);(),()(

)(1

M

ydyUn

yTayTa Mi

y

,3,2,1i

unde: ND , și M sunt părți componente a

suprafeței corpului MND pe care

sunt definite condițiile de limită de tip Dirichlet (temperatura )( yT ), Neumann (fluxul de căldură

yn

yTa

)( și mixt (are loc schimbul de căldură

dintre mediul exterior și suprafața corpului după

legea

yn

yTayT

)()( ; a - coeficientul

conductivității de temperatură; )(xF - sursa

interioară de căldură; - coeficientul conductibilității convective de căldură;

32 t - constanta termoelastică; t -

coeficientul dilatării termice liniare, , -

constantele de elasticitate Lame, iU - sunt funcțiile

de influență a deplasărilor termice de la o sursă

unitară de căldură, iar iu - sunt deplasările termice

calculate de la o sursă interioară de căldură și/sau gradient de temperatură și/sau flux de căldură și/sau schimbul de căldură dintre mediul exterior și suprafața corpului.

În formă matricială pentru problemele spațiale deplasările termice au forma:

;),(

3

2

1

U

U

U

xUi

3

2

1

)(

u

u

u

ui . (2)

Dacă sunt cunoscute deplasările termoelastice

iU și iu , atunci pot fi calculate tensiunile termice

),( xij (funcțiile de influență a tensiunilor

termice de la o sursă unitară de căldură) și )( ij

(tensiunile termice calculate de la o sursă interioară de căldură și/sau gradient de temperatură și/sau flux de căldură și/sau schimbul de căldură dintre mediul exterior și suprafața corpului) în baza legii lui Duhamel-Neumann [6]:

);()(),( ,, Tijijjiij GUUx

;3,2,1,,;, kjiU kk (3)

);()()( ,, Tuu ijijjiij

,3,2,1,,;, kjiu kk (4)

unde: ij simbolul Kronecker, care este egal cu 1

dacă ji și 0 dacă ji .

Noi soluții integrale termoelastice pentru semispațiu 41

2. DETERMINAREA DEPLASĂRILOR TERMOELASTICE ÎNTR-UN

SEMISPAȚIU

2.1 Formularea problemei

Se cere să se determine deplasările termoelastice 3,2,1);( iui pentru o problemă de limită într-un

domeniu de forma unui semispațiu ,0( 1 xS

), 32 xx cu condițiile de limită de tip

Dirichlet. În limitele acestui domeniu acționează un gradient de temperatură constT 0 pe un anumit

segment de pe planul marginal ;0( 110 y

), 32 yy .

.);;;0(

\),;0()5(,0),,0(

;);;;0(

,),,0(

)(

10321

321

3210

10321

03210

ybyacyy

yyyyyyT

ybyacyyy

constTyyT

yT

Iar condițiile mecanice de limită pentru planul

marginal 10 sunt următoarele:

.0321 uuu (6)

Condițiile de limită mecanice și cele termice pentru problema particulară sunt prezentate în Fig.1:

Γ 10

T=0  

x1

x2

x3

u =0  3

u =0  2

u =0  1

0  c

a

b T=T  10

Figura 1. Schema semispațiului S cu condițiile

mecanice de limită 321 ,, uuu și termice T pe 10 .

2.2 Determinarea funcțiilor de influență a deplasărilor termoelastice iU

Pentru rezolvarea problemei enunțată mai sus și

determinarea deplasărilor termoelastice iu de la

acțiunea gradientului, conform formulei integrale (1), este nevoie să fie stabilite expresiile analitice

ale deplasărilor termoelastice iU de la acțiunea unei

surse unitare punctiforme de căldură. Aceste deplasări au fost obținute de autor în lucrarea [7]. Ele au următoarea formă:

11

1111 )2(8

),(

RRxxU

;2 11

1

111

RBx

(7)

11

1222 )2(8

),(

RRxxU

;2 11

2

111

RBx

(8)

11

1333 )2(8

),(

RRxxU

.2 11

3

111

RBx

(9)

2.3 Determinarea deplasărilor termo-elastice iu

Conform condițiilor de limită termice (5), rezultă: sursa interioară de căldură 0)( xF ,

fluxul de căldură 0)(

yn

yTa , schimbul de

căldură dintre mediul exterior și suprafața corpului

0)(

)(

yn

yTayT . Semispațiul S este

acționat doar de un gradient de temperatură aplicat pe segmentul );;0( 321 byacyy de pe

planul marginal );,,( 1010 bacba . Astfel

formula integrală de tipul Green (1) se scrie în felul următor:

b

a

ii dyyyQyyTu ,);,,0(),,0()( 3323210 (10)

unde:

y

iii n

U

y

UQ

1

. (11)

Se substituie expresiile (7) – (9) în formula (11):

42 Noi soluții integrale termoelastice pentru semispațiu  

 

;)3(2 3

10

21

1

11 Ry

UQ

(12)

;

)3(2 310

21

1

22 R

c

y

UQ

(13)

,

)3(2 310

331

1

33 R

y

y

UQ

(14)

unde: 2332

22

110 ycR , iar 2y

s-a luat egal cu c , deoarece pe ordonata cy 2 se află gradientul de temperatură.

Relațiile (12) – (14) se înlocuiesc pe rând în formula (10), se rezolvă integralele și se obțin expresiile finale ale deplasărilor termoelastice

)(iu în semispațiul S de la acțiunea gradientului

de temperatură aplicat pe planul marginal 10

conform condițiilor de limită (5):

;][)3(2 10

22

21

332

101

b

aRc

yTu

(15)

;][)3(2 10

22

21

332102

b

aRc

ycTu

(16)

.)3(2 10

103

b

aR

Tu

(17)

3. REPREZENTAREA GRAFICĂ A

DEPLASĂRILOR TERMOELASTICE ÎN SEMISPAȚIU

Deoarece aceasta este o problemă 3D, atunci pentru a construi graficele deplasărilor termo-elastice, pe rând se va fixa câte o variabilă, iar graficele vor fi prezentate în raport cu variabilele rămase. Cu ajutorul programei Maple 18 au fost

construite graficele deplasărilor termice )(iu în

semispațiul S de la acțiunea unui gradientul de

temperatură KT 500 aplicat pe segmentul

;01 y ;2 cy ;3 bya ,4,4( mbma

)2mc a planului marginal 10 . Pentru

constantele elastice și termice au fost luate în calcul următoarele valori: coeficientul Poisson 3,0 ;

modulul de elasticitate MPaE 5101,2 , iar coeficientul dilatării termice liniare

).(102,1 15 Kt

S-au construit graficele deplasărilor

termoelastice )(iu în semispațiul S în limitele

10,10 32 și a planului care trece prin

punctul 11 . Deplasările termice 21,uu și 3u au

fost construite în baza formulelor (15) – (17) și sunt prezentate în Fig. 2:

a)

u 1

[m]

b)

u 2

[m]

c)

u 3

[m]

Figura 2. Deplasările termoelastice 21,uu și 3u în

semispațiul S în limitele 10,10;1 321 .

S-au construit graficele deplasărilor termoelastice )(iu în semispațiul S în limitele

Noi soluții integrale termoelastice pentru semispațiu 43

1010;100 31 și a planului care trece

prin punctul 12 . Deplasările termice 21,uu și

3u au fost construite în baza formulelor (15) – (17)

și sunt prezentate în Fig. 3:

a)

u 1

[m]

b)

u 2

[m]

c)

u 3

[m]

Figura 3. Deplasările termoelastice 21,uu și 3u în

semispațiul S în limitele ;100 1 ;12 1010 3 .

S-au construit graficele deplasărilor

termoelastice )(iu în semispațiul S în limitele

1010;100 21 și a planului care trece

prin punctul 13 . Deplasările termice 21,uu și

3u au fost construite în baza formulelor (15) – (17)

și sunt prezentate în Fig. 4:

a)

u 1

[m]

b)

u 2

[m]

c)

u 3

[m]

Figura 4. Deplasările termoelastice 21,uu și 3u în

semispațiul S în limitele ;100 1

;1010 2 13 .

44 Noi soluții integrale termoelastice pentru semispațiu  

 Analizând graficele din Fig. 2 – 4 se observă

următoarele: - se respectă condițiile de limită (5) enunțate în

problemă: pentru planul marginal 10

0321 uuu ;

- graficele deplasărilor termoelastice 1u și 2u au un salt de-a lungul segmentului unde este aplicat gradientul de temperatură (Fig. 2, a,b, Fig. 3, a,b și Fig. 4, a,b );

- graficele deplasărilor termoelastice 3u au un

maximum local la capătul segmentului unde este aplicat gradientul de temperatură (Fig. 2, c, Fig. 3, c și Fig. 4, c );

- dacă ordonatele 1 sau 32 ,

atunci valorile deplasărilor termoelastice 0;; 321 uuu .

4. CONCLUZII

Relațiile pentru deplasările termoelastice )(iu

(15) – (17) pentru semispațiul S cu condițiile de limită (6) de la acțiunea unui gradient de temperatură (5) au fost determinate pentru prima dată. Toate expresiile au fost obținute în funcții elementare.

Deplasările termoelastice )(iu au fost

reprezentate grafic în raport cu fiecare ordonată: pentru ;11 10,10 32 , pentru

;100 1 ;12 1010 3 și pentru

;100 1 ;1010 2 13 folosind

programa Maple 18, cu analiza ulterioară ale acestor grafice.

Datorită expresiilor (15) – (17) pot fi obținute reprezentările grafice de la acțiunea unui gradient de temperatură de orice valoare, aplicat în limita

oricărui segment pe direcția 3 a planului marginal

10 . Folosind relațiile deplasărilor termoelastice

)(iu de la acțiunea unui gradient de temperatură,

cu ajutorul formulei Duhamel-Neumann (4) pot fi calculate tensiunile termice 3,2,1,);( jiij

pentru o problemă de limită particulară provenite de la acțiunea unui gradient de temperatură de orice valoare, aplicat în limita oricărui segment pe

direcția 3 a planului marginal 10 . Fiind

cunoscute expresiile analitice pot fi construite graficele acestor tensiuni termice.

Bibliografie

1. Novacky V. Teoriya uprugosti. Mir, Moskva, 1975. 2. Șeremet V. Generalization of Green's formulae in thermoelasticity, Collection: Multiscale Green's Functions for Nanostructures, National Science Digital Library of USA, NSF, 4p, 2003. 3. Șeremet V.D. Handbook on Green's Functions and Matrices, WIT Press, Southampton, 2003. 4. Șeremet V. Thermoelastic Green's function, Print-Caro, Chișinău, 2014. 5. Șeremet V.D. The modification of Maysel's formula in the stationary thermoelasticity, Bulletin of Academy of Science of Republic of Moldova, Mathematics, 25 (3), pp. 19-22, 1997. 6. Nowacki W. Thermolasticity, International Series of monographs on Aeronautics and Astronautics, Division I: Solid and Structural Mechanics, Volume 3, Wroclawska Drukarnia Naokowa, Warszawa, 1962. 7. Crețu I. New influence functions for thermal displacements and stresses within half-space// Transilvanian Journal of Mathematics and Mechanics, Volume 8, Nr. 2, pag. 129-136, 2016.

Recomandat spre publicare: 10.01.2017.