Estadística Inferencial. Sesión 6. Pruebas de hipótesis para medias y proporciones.

Contextualización.

En esta sesión aprenderemos a estimar y

analizar las pruebas de hipótesis para

media y proporción poblacional,

utilizaremos una serie de pasos que nos

llevaran a decidir la aceptación o el

rechazo de estas hipótesis.

Definiremos y estableceremos las

hipótesis nula y alternativa.

Identificaremos el tipo de error que se

puede cometer al probar dicha hipótesis.

Resolveremos problemas utilizando el

estadístico de prueba Z (utilizado para

muestras grandes).

Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/test-de-hipotesis.jpg

Introducción.

Como se ha mencionado las pruebas de hipótesis nos permiten comparar

valores de un parámetro poblacional o estadístico, ya sea contra un valor teórico

o contra otro parámetro, todo esto con el fin de tomar decisiones. Esta prueba al

igual que la técnica de estimación se basa en muestras aleatorias.

Para iniciar veremos el concepto de pruebas de hipótesis para medias y

proporciones poblacionales contra una cantidad constante.

En el caso de muestras grandes, muchos estadísticos tienen casi las mismas

distribuciones normales con media µ y desviación estándar σ.

Explicación

Cuando consideramos el caso de σ conocida nos referimos a

aplicaciones en las que se cuenta con datos históricos o con

alguna información que permita obtener buenas estimaciones de

la desviación estándar poblacional antes de tomar la muestra.

Los siguientes casos son unos ejemplos de los estadísticos de

interés práctico.

Explicación

Pruebas de hipótesis para media poblacional con σ conocida.

En este caso 𝑥 es la media muestral, µ es la media poblacional,

𝜎𝑥 = 𝜎/ 𝑛, donde σ es la desviación estándar poblacional y n es el

tamaño de la muestra.

La variable estándar está dada por: 𝑧 =𝑥 −𝜇

𝜎/ 𝑛

Explicación

Fuente: http://4.bp.blogspot.com/-HFTiPimwpfg/TnfwsLfPA9I/AAAAAAAAABY/Bfbq6DX0ttE/s1600/1.jpg

Explicación.

Pasos a seguir para dar una solución correcta a una prueba de

hipótesis:

Plantear la hipótesis nula y alternativa.

Especificar el nivel de significancia.

Encontrar el valor critico(Zc).

Recabar los datos muestrales y calcular el valor estadístico de

prueba(Zp).

Rechazar o aceptar la hipótesis nula.

Ejemplo 1: se calcula que la media del tiempo de vida de una muestra de

100 focos fluorescentes producidos por una compañía será de 1570 horas

con una desviación estándar de 120 horas. Si µ es la media del tiempo de

vida de todos los focos que fabrica la compañía, pruebe la hipótesis µ=

1600 horas contra la hipótesis alternativa µ ≠ 1600 horas, utilizando el

nivel de significancia de 0.05.

Explicación

Solución:

Paso 1: Se tiene que decidir entre dos hipótesis:

Ho: µ= 1600 horas.

Ha: µ ≠ 1600 horas.

Usaremos la prueba de dos colas ya que µ ≠ 1600 incluye valores tanto mayores

como menores que 1600.

Paso 2: nivel de significancia a) 0.05.

Explicación.

Paso 3: Zc = ± 1.96, se tiene la siguiente regla de decisión:

Rechazar Ho si el valor de Z de la media muestral esta fuera

del rango de -1.96 y 1.96.

Aceptar Ho (o aplazar una decisión) si éste no es el caso.

Paso 4: Calcular 𝑧 =𝑥 −𝜇

𝜎/ 𝑛 considerando los siguientes datos: 𝑥 =

1570, µ = 1600, σ= 120 y n = 100, por lo tanto 𝑧 =1570−1600

120/ 100

Paso 5: Este valor esta fuera del rango de -19.6 y 1.96, se

rechaza Ho a un nivel de significancia del 0.05.

Explicación.

Pruebas de hipótesis para proporción poblacional.

En este caso el estadístico es P, la proporción de éxitos en una

muestra; µp=p, donde p es la proporción de población de éxitos y n es

el tamaño de la muestra; . La variable estandarizada está dada por:

𝑧 =𝑃−𝜇𝑝

𝑝(1−𝑝)/𝑛

En el caso P = X/n, donde X es el número real de éxitos en una

muestra, la variable estandarizada se convierte en:

𝑧 =𝑋−𝑛𝑝

𝑛𝑝(1−𝑝)

Explicación.

Las tres formas de una prueba de hipótesis para la proporción poblacional son las siguientes:

Ejemplo 2: el fabricante de una medicina de patente afirmo que la misma fue 90% eficaz para aliviar una alergia durante un periodo de 8 horas. En una muestra de 200 personas que padecían la alergia, la medicina proporcionó alivio a 160 personas. Determinar si la afirmación del fabricante es legitima con base en un nivel de significancia del 0.01.

Considere que p denota la probabilidad de experimentar alivio de la alegría al usar la medicina. En consecuencia, es necesario decidir entre las dos hipótesis:

𝐻0: 𝑝 = 0.9, 𝑦 𝑙𝑎 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

𝐻𝑎: 𝑝 < 0.9, 𝑦 𝑙𝑎 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎

Explicación.

Elegimos una prueba de una cola, puesto que es de interés determinar si la

proporción de personas aliviadas por la medicina es demasiado baja.

Si el nivel de significancia que se emplea es de 0.01, entonces 𝑧1= -2.33

Tomemos como regla de decisión:

La afirmación no es legítima si Z es menor que -2.33 (en cuyo caso

rechazamos 𝐻0).

En caso contrario, la afirmación es legítima y los resultados observados se

deben a la casualidad (en cuyo caso se acepta 𝐻0).

Explicación.

Calculemos 𝑧 =𝑋−𝑛𝑝

𝑛𝑝(1−𝑝) utilizando X = 160, µp = np= 200(.9)= 180

Por lo tanto 𝑧 =160−180

200(.9)(1−.9)= −4.73, es menor que -2.33

Por tanto, por la regla de la decisión concluimos que la afirmación no es

legítima y que los resultados muestrales son altamente significativos.

Conclusión

Las pruebas de hipótesis son un procedimiento estadístico que usa datos muestrales para determinar si una afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional debe o no rechazarse.

Como hipótesis se tienen dos afirmaciones opuestas acerca de un parámetro poblacional, la hipótesis nula (Ho) y la hipótesis alternativa (Ha).

En esta sesión se proporcionaron los lineamientos para elaborar estas hipótesis para situaciones encontradas a menudo en la práctica.

Las conclusiones de una prueba de hipótesis también pueden obtenerse comparando el valor estadístico de prueba con el valor crítico.

En la siguiente sesión seguiremos trabajando las pruebas de hipótesis pero ahora serán los casos para diferencias de medias y proporciones.

Fuente: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image1022.gif

Bibliografía.

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage

Learning. ISBN: 970-686-278-1

Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y

Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-607-

15-0270-4