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Nombre dérivé et fonction dérivée. Baccalauréat Professionnel Vente – Commerce E.Caudron. SOURCE :Gérard COQUET – LP Guynemer - Grenoble. 20. 18. 16. 14. 12. 10. 8. 6. 4. 2. 0. -4,5. -4. -3,5. -3. -2,5. -2. -1,5. -1. - 0,5. 0. 0,5. 1. 1,5. 2. 2,5. 3. 3,5. 4. 4,5. - PowerPoint PPT Presentation
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1
SOURCE :Gérard COQUET – LP Guynemer - Grenoble
Baccalauréat Professionnel Vente – Commerce
E.Caudron
2
B
Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5]
-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
AC
x
xx
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
F(x) 14 7 2 -1 -1-2 2 7 14
3
B
Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5]
-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
A
Points de la courbe A B C
Abscisse des points
Pente de la tangente
C
3
6
0
0
-3
-6x 2
x
xx
4
Conclusion: • Le tableau de valeurs obtenu est celui d’une fonction linéaire g définie par g(x) = 2.x
• Cette nouvelle fonction est appelée fonction dérivée de la fonction f ;Elle est notée f ’
• La pente de la tangente en un point de la courbe, d’abscisse donnée, est appelée nombre dérivé de la fonction f
f(x) = x² - 2 f’(x) = 2.x
Exemple: Pour x = 3 on a: f’(3) = 2 x 3 = 6
5
Dérivées des fonctions usuelles
Fonctions Fonctions dérivées
f(x)= a.x + b a . x + bf’(x) =
f(x) = x² 2f’(x)= x ²
f(x) = x3 x 23f’(x)=
f(x) = x1
f’(x)= x2
- 1
6
f(x) = a u(x) f’(x) = a u’(x)
Exercices d’entraînement
f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) + v’(x)
7
f(x) = x² + 5
Exercices d’entraînement
f’(x) = 2.x
J(x) = - x² + 1 J’(x) = - 2.x
G(x) = 3x² G’(x) = 3x 2.x = 6.x
H(x) = x3-1 H’(x) = 3x²
S(x) = 4x²-5x+2 S’(x) = 4x2x - 5
I(x) = -2x3+4x²-5x+7 I’(x) = -2x3x²+4x2x - 5
= 8x - 5
= -6x²+8x- 5
Lien entre la dérivée et les variations d’une fonction1.Soit la fonction F(x)d’équation F(x) = x² +2x + 1 représentée ci-dessous
1O
x
1
y
O
1O
x 1
y
O
2.Compléter le tableau de variation de la fonction f(x) :X -4 2
Variations de F(x)
-1
0
3.Calculer F’(x), la fonction dérivée de la fonction F(x)
F(x) = x² +2x + 1
F’(x) = 2x+2
4.Calculer :
F’( -4 ) =F’(-1) = F’(2) =
2x(-4)+2 =-62x(-1)+2=02x2+2 =6
F’( -4 ) est appelé nombre dérivé en -4 , F’(-1 ) est appelé nombre dérivé en -1 et F’(2) est appelé nombre dérivé en 2 .
6.Synthétiser dans un seul tableau les deux tableaux précédents :
X -4 2
Signe de F’ (x )
Variations de F(x)
-1
0- +
0
9 9
DERIVÉES – BILAN Soit f une fonction définie sur un intervalle
I, et admettant une dérivée f’ sur I.
12
•Si, pour tout x de I, f’(x)>0, alors f est croissante sur I.
•Si, pour tout x de I, f’(x)<0, alors f est décroissante sur I.
•Si, pour tout x de I, f’(x)=0, alors f est constante sur I.
Une fonction atteint son extrema (maxima ou minima) lorsque sa dérivée s’annule [ F’(x)=0 ]