Non-linear analysis for GCNon-linear material produced non-linear equation, precision should depends on incremental step size An non-linear problem is easier to solve when cut by small

Code_Aster, Salome-Meca course materialGNU FDL licence (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

Non-linear analysis for GC

2 - Code_Aster and Salome-Meca course material GNU FDL Licence

Outline

Description of non-linear problems

Theoretical elements for solving non-linear problems

Solving non-linear problems with Newton

Using Code_Aster


What is a non-linear problem in mechanics ?

EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir

D’où provient la non-linéarité ?

Il existe 3 grands types de non-linéarités :

matériau : pour les matériaux les plus couramment rencontrés (acier,

béton), le domaine « élastique » est limité. Au delà les contraintes ne varient

plus linéairement avec les déformations et peuvent dépendre de

« l’historique » de chargement

géométrique : lorsque les changements de géométrie subies par une structure

influent sur sa résistance (cas des treillis de poutre) ou lorsque le matériau subit de

grandes déformations, configuration initiale et finale ne peuvent plus être

confondues.

contact : les structures mécaniques industrielles sont souvent constituées de

plusieurs pièces qui interagissent entre elles (assemblage vissé) et dont la zone

d’interaction peut être le lieu de dissipation d’énergie (frottement pneu-route)

Résoudre un tel problème dans Code_Aster

Opérateur STAT_NON_LINE ou DYNA_NON_LINE

Dans Code_Aster, la dynamique non-linéaire est résolue en implicite

On se concentrera donc sur le quasi-statique


Conséquences

À la difficulté déjà existante de modélisation du problème mécanique, s’ajoute

pour l’utilisateur la difficulté numérique : convergence des algorithmes, unicité de

la solution ?

l’opérateur STAT_NON_LINE est beaucoup moins presse-bouton que

MECA_STATIQUE

Les déplacements restent les inconnues principales du problème discrétisé mais

la solution ne sera obtenue qu’une fois l’équilibre vérifié explicitement. Cela

demandera en général plusieurs itérations.

résoudre un problème non-linéaire est beaucoup plus coûteux

il y a donc un intérêt à ne modéliser une non-linéarité que si on ne peut pas

faire autrement (exemple : « vrai contact » vs. « liaison collante»)


Exemple 1 : contact


Exemple 2 : ouverture et propagation de

fissures dans une éprouvette


Exemple 3 : endommagement d’une poutre en

béton armé


Exemple 4: mis en eau d’un barrage-poids

Différents chargements correspondent aux différents niveaux d’eau

Le rocher est modélisé par une loi

élastique, le joint - par une loi

d’endommagement. Le barrage est

soumis à son propre poids.

Rocher

Joint béton-rocher


Some theoretical elements


Rappel sur le principe des travaux virtuels (PTV)

On considère une structure soumise au chargement extérieur

On écrit l’équation d’équilibre mécanique, puis on applique PTV.

Intégration par partie de l’équation différentielle résulte en PTV

Approximation EF:

L’espace de vecteurs tests v est de dimension finie

La base de vecteurs test est identifiée au maillage

Solution discrétisée est un problème vectoriel

: . .

g

d d g d

v f v v v

0 | extdiv f v

e t

int

xF ( ) F

. gn g on

: . .

[0, ]

g

i i i

i

gv v v

v

d d d

i N

f


Rappel sur le principe des travaux virtuels (PTV)

PTV

Loi de comportement

Equation d’équilibre discrétisée

Propriétés pour le cas linéaire (MECA_STATIQUE) :

le tenseur des contraintes dépend linéairement des déformations

L’inconnu de problème est le champ de déplacement

histoire du chargement ne change pas la solution

solution discrétisée en petit déplacement est un problème de l’algèbre linéaire

u u E

extFu K

: . . [0, ]

g

i i i igv v v vd d d i N

f

( )1

( ) ( ) où ( )2

tuu u u u

xt

int

eF ( ) Fu

xt

int

eF ( ) Fu


Equations – Finite element approximation

Non-linear problem : stress depending on displacement

From displacement u to strain : kinematic non-linearity

From strain to stress : material non-linearity

Non-linear material depending on material's history (plasticity,...) :

internal variables

))(,()( uu

)(u

xt

int

eF ( ) Fu

u u E

Non linear vector equation

xtint e( , ) 0L u L

New syntaxe F LextFu K


General algorithm for non-linear problem


Solving non-linear problem

Solving a non-linear equation : the Newton's method

Construction of the series

Taylor series expansion of the first order

Next value of the term of the series

Properties :

Quadratic convergence near the solution

Computation of should be very expensive

0)( xF

Nnnx

)).(()()(0 111 nnnnn xxxFxFxF

)()(

1 1

1

1

n

n

nn xFxF

xx

0)( 1 nxF

)( 1 nxF



Newton's method for equilibrium equation, at step k :

is tangent matrix or differential rigidity

is equilibrium residual

1

intint, 1

1 1

. 0

.

n

n ext n

u

n n n

dLL L u

du

K u R

1 int, 1n ext nR L L

xtint e( , ) 0L u L

1

int1

n

n

u

dLK

du



To solve non-linear problem : an incremental algorithmProblem is parametrized by the parameter t

t is not real time (quasi-static problem)

Why parametrization ?Real boundary conditions should be applied by non-constant values

Non-linear material produced non-linear equation, precision should depends on

incremental step size

An non-linear problem is easier to solve when cut by small step size



Parametrization because boundary conditions should be applied

by non-constant values (as functions)

Some examples of prescribed boundary conditions

f

t

Prescribed

volumic force

Prescribed

surfacic force

g

tA

B

C

ud

tA

B

C

Prescribed

displacement



Parametrization to cut a non-linear problem to decrease degree of

non-linearity

Cutting

<=

High degree of non-

linearity on complete

problem

Low degree of non-

linearity at each step

F

u

F

u



The parameter t in the equations :Solution of internal-external forces equilibrium for each time step

« Time » discretization, all quantities are parametrized by step k :

t0 t1 t2 t3 t4

1

Timet

Step 2 3 4

Incremental quantities : uuu kk 1

extkL ku k k

exint t( , ) 0 for LL u t

ext ext ext ext( ) ( )k kL L t L t L



Global algorithm :

1)Compute internal and external forces

2)Compute tangent matrix

3)Solve linear system

4)Update displacements

5)Evaluate convergence


Solving non-linear problem – Newton by graphic

Find the solution where is known and is unknown

u*

Lext

u

Lint

u0

F*

F0

*u*F **,Fu



Dividing in two increments (reducing degree of non-linearity) :

find and

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1

*F

11, Fu 22 , Fu



Compute tangent matrix for iteration Newton n and step 1

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1u1

n

K1n

nK1



Solving nnn uFFuK 10111 .

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1

K1n

nu1



Update displacements

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1u1

n

K1n

nu1

nnn uuu 11

11



Compute and nuL 1int nuLFR 1

int1

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1u1

n

K1n

nu1

nuL 1int

nuR 1



Matrix computation Solve system

Evaluate convergenceUpdate displacements


1 2

3 4

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1u1

n

K1n

nu1

nuL 1int

nuR 1

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1u1

n

K1n

nu1

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1u1

n

K1n

u*= u2

Lext

u

Lint

u0

F*= F2

F0

F 1

u1u1

n

K1n

nu1


Resolution hints : quasi Newton

u

R

L1

L2

R

L1

u

R

L1

u

R

L1

u

MATRICE='ELASTIQUE'MATRICE=‘TANGENTE'

REAC_INCR=1 REAC_ITER=2

MATRICE=‘TANGENTE' MATRICE=‘TANGENTE'



Matrix computation : Why quasi-Newton methods ?

Compute exact matrix every iteration : matrix must been factorized →

very expensive

Make more iterations but each iteration is quicker

Elastic matrix achieve convergence for all standard generalized materials

with a lot of iterations (thousands). Elastic matrix is computed and

factorized ONE time : very cheap

Elastic matrix is the better choice for unloading loading's cases

1



Evaluate convergenceAbsolute (RESI_GLOB_MAXI)

Relative (RESI_GLOB_RELA)

By reference : giving stress reference (RESI_REFE_RELA)

4

1int,next LL

ext

next

L

LL 1int,

refk

k

next LLL .1int,


Using non-linear in Code_Aster


Non-linear in Code_Aster

Material is steel with Von Mises plasticity with isotropic hardening,

traction curve from file

Steel on all mesh

FSIGM = LIRE_FONCTION(UNITE=21,PARA='EPSI')

STEEL = DEFI_MATERIAU( ELAS=_F(YOUNG=210.E9,NU=0.3),

TRACTION=_F(SIGM=FSIGM))

CHMA = AFFE_MATERIAU( MAILLAGE=MESH,

AFFE=_F( TOUT='OUI',

MATER='STEEL'))



Reinforced concrete with isotropic hardening rebars

RESUN = STAT_NON_LINE(...

CHAM_MATER = CHMA,

COMPORTEMENT = (

_F( GROUP_MA =‘CABLE',

RELATION ='VMIS_ISOT_TRAC'),

_F( GROUP_MA =‘BETON',

RELATION =‘ENDO_FISS_EXP'),

...)



Loading : parametrized by time – Using function in FONC_MULT


EXCIT=_F(CHARGE =LOAD,

FONC_MULT=RAMPE)

...)

RAMPE = DEFI_FONCTION(PARA='INST',VALE=(0,0,2,200))

LOAD = AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MOD,

PRES_REP=_F(PRES=100.,

GROUP_MA='TOTO'))

Lext

t0

200

2

( , ) ( ) ( )ext extL t x g t L x



Computing is parametrized by time

L_INST=DEFI_LIST_REEL( DEBUT=0.0,

INTERVALLE=(

_F(JUSQU_A=1.0,NOMBRE=4,),

_F(JUSQU_A=2.0,NOMBRE=3,),

),)

Timet

0.0 2.01.0


INCREMENT=_F(LIST_INST=L_INST)

...)


Non-linear in Code_Aster – Advanced controls

Quasi-Newton method : recompute matrix every 2 Newton's iteration

Quasi-Newton method : recompute matrix every 3 time's step

Quasi-Newton method : using elastic matrix

Default values in Code_Aster


NEWTON=_F(REAC_ITER=2,),)


NEWTON=_F(REAC_INCR=3,),)


NEWTON=_F(MATRICE='ELASTIQUE',),)


NEWTON=_F( REAC_INCR=1,

REAC_ITER=1,

MATRICE='ELASTIQUE',),)


Non-linear in Code_Aster – Advanced controls

Convergence criterion : careful when change values !

Changing criterion convergence may produces WRONG results

Maximum number of Newton's iteration

Elastic matrix uses thousands of Newton's iterations

Default values in Code_Aster


CONVERGENCE=_F(

RESI_GLOB_MAXI=1.E-6,

RESI_GLOB_RELA=1.E-6,),)

RESUN = STAT_NON_LINE(

CONVERGENCE=_F(ITER_GLOB_MAXI=20,),)


CONVERGENCE=_F(

ITER_GLOB_MAXI=10,

RESI_GLOB_RELA=1.E-6,),)

!

!


End of presentation

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