I N T E R D I S C I P L I N A R Y A P P L I E D M A T H E M A T I C S S Y S T E M S A N D C O N T R O L N o n l i n e a r S y s t e m s A n a l y s i s , S t a b i l i t y , a n d C o n t r o l S h a n k a r S a s t r y S p r i n g e r
I N T E R D I S C I P L I N A R Y A P P L I E D M A T H E M A T I C
S
S Y S T E M S A N D C O N T R O L
N o n l i n e a r
S y s t e m s
A n a l y s i s , S t a b i l i t y ,
a n d C o n t r o l
S h a n k a r S a s t r y
S p r i n g e r
I n t e r d i s c i p l i n a r y p p l i e d M a t h e m a t i c
s
V o l u m e 1 0
E d i t o r s
J . E . M a r s d e n
L . S i r o v i c h
S . W i g g i n s
F l u i d D y n a m i c s a n d N o n l i n e a r P h y s i c
s
K . R . S r e e n i v a s a n , G . E z r a
M a t h e m a t i c a l B i o l o g y
L . G l a s s , J . D . M u r r a y
M e c h a n i c s a n d M a t e r i a l s
S . S . A n t m a n , R . V . K o h n
S y s t e m s a n d C o n t r o l
S . S . S a s t r y , P . S . K r i s h n a p r a s a d
P r o b l e m s i n e n g i n e e r i n g , c o m p u t a t i o n a
l s c i e n c e , a n d t h e p h y s i c a l a n d b i o l o g i c
a l
s c i e n c e s a r e u s i n g i n c r e a s i n g l y s o p h i s
t i c a t e d m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e s . T h u s
, t h e
b r i d g e b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c a l s c i e n c
e s a n d o t h e r d i s c i p l i n e s i s h e a v i l y t r a v
-
e l e d . T e c o r r e s p o n d i n g l y i n c r e a s e d d i a
l o g b e t w e e n t h e d i s c i p l i n e s h a s l e d t
o
t h e e s t a b l i s h m e n t o f t h e s e r i e s : I n t e r d
i s c i p l i n a r y A p p l i e d M a t h e m a t i c s .
T h e p u r p o s e o f t h i s s e r i e s i s t o m e e t t h e c
u r r e n t a n d f u t u r e n e e d s f o r t h e i n t e r a c
-
t i o n b e t w e e n v a r i o u s s c i e n c e a n d t e c h n o
l o g y a r e a s o n t h e o n e h a n d a n d m a t h e -
m a t i c s o n t h e o t h e r . T h i s i s d o n e , f i r s t l
y , b y e n c o u r a g i n g t h e w a y s t h a t m a t h e
-
m a t i c s m a y b e a p p l i e d i n t r a d i t i o n a l a r e
a s , a s w e l l a s p o i n t t o w a r d s n e w a n d
i n n o v a t i v e a r e a s o f a p p l i c a t i o n s ; s e c o
n d l y , b y e n c o u r a g i n g o t h e r s c i e n t i f i c d
i s c i -
p l i n e s t o e n g a g e i n a d i a l o g w i t h m a t h e m a
t i c i a n s o u t l i n i n g t h e i r p r o b l e m s t o
b o t h a c c e s s n e w m e t h o d s a n d t o s u g g e s t i n
n o v a t i v e d e v e l o p m e n t s w i t h i n m a t h e
-
m a t i c s i t s e l f .
T h e s e r i e s w i l l c o n s i s t o f m o n o g r a p h s a n
d h i g h - l e v e l t e x t s f r o m r e s e a r c h e r s
w o r k i n g o n t h e i n t e r p l a y b e t w e e n m a t h e m
a t i c s a n d o t h e r f i e l d s o f s c i e n c e a n d
I n t e r d i s c i p l i n a r y A p p l i e d M a t h e m a t i c
s
S p r i n g e r
N e w Y o r k
B e r l i n
H e i d e l b e r g
B a r c e l o n a
H o n g K o n g
L o n d o n
M i l a n
P a r i s
P a r i s
S i n g a p o r e
T o k y o
S h a n k a r S a s t r y
N o n l i n e a r S y s t e m s
A n a l y s i s , S t a b i l i t y , a n d C o n t r o l
W i t h 1 9 3 I l l u s t r a t i o n s
S p r i n g e r
T h i s b o o k i s g r a t e f u l l y d e d i c a t e d o
P r e f a c e
v i i i P r e f a c e
I t s h o u l d b e c l e a r f r o m t h e p r e c e d i n g d i s
c u s s i o n t h a t t h e r e i s a t r e m e n d o u s
b r e a d t h o f a p p l i c a t i o n s . I t i s m y f e e l i n
g , h o w e v e r , t h a t i t i s p o s s i b l e a t t h e c u r
r e n t
t i m e t o l a y o u t i n a c o n c i s e , m a t h e m a t i c a
l f r a m e w o r k t h e t o o l s a n d m e t h o d s o f
a n a l y s i s t h a t u n d e r l y t h i s d i v e r s i t y o f
a p p l i c a t i o n s . T h i s , t h e n , i s t h e a i m o f t
h i s
b o o k : I p r e s e n t t h e m o s t r e c e n t r e s u l t s i
n t h e a n a l y s i s , s t a b i l i t y , a n d c o n t r o l o
f
n o n l i n e a r s y s t e m s . T h e t r e a t m e n t i s o f n
e c e s s i t y b o t h m a t h e m a t i c a l l y r i g o r o u s
a n d
a b s t r a c t , s o a s t o c o v e r s e v e r a l a p p l i c a
t i o n s s i m u l t a n e o u s l y ; b u t a p p l i c a t i o n
s a r e
s k e t c h e d i n s o m e d e t a i l i n t h e e x e r c i s e s
.
T h e m a t e r i a l t h a t i s p r e s e n t e d i n t h i s b o
o k i s c u l l e d f r o m d i f f e r e n t v e r s i o n s o f
a
o n e - s e m e s t e r c o u r s e o f t h e s a m e t i t l e a s
t h e b o o k t h a t I h a v e t a u g h t o n c e a t M I T
a n d s e v e r a l t i m e s a t B e r k e l e y f r o m 1 9 8 0 t
o 1 9 9 7 . T h e p r e r e q u i s i t e s f o r t h e f i r s
t
y e a r g r a d u a t e c o u r s e a r e :
A n i n t r o d u c t i o n t o m a t h e m a t i c a l a n a l y s
i s a t t h e u n d e r g r a d u a t e l e v e l .
A n i n t r o d u c t i o n t o t h e t h e o r y o f l i n e a r s
y s t e m s a t t h e g r a d u a t e l e v e l .
I w i l l a s s u m e t h e s e p r e r e q u i s i t e s f o r t h
e b o o k a s w e l l . T h e a n a l y s i s p r e r e q u i s i t
e i s
e a s i l y m e t b y C h a p t e r s 1 - 7 o f M a r s d e n ' s E
l e m e n t a r y C l a s s i c a l A n a l y s i s , ( W . H
.
F r e e m a n , 1 9 7 4 ) o r s i m i l a r b o o k s . T h e l i n
e a r s y s t e m s p r e r e q u i s i t e i s m e t b y C a l l i
e r
a n d D e s o e r ' s L i n e a r S y s t e m s T h e o r y , ( S p
r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 1 ) o r R u g h ' s L i n e a
r
S y s t e m T h e o r y , ( P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 3 ) , C
h e n ' s L i n e a r S y s t e m T h e o r y a n d D e s i g n
,
( H o l t R e i n h a r t a n d W i n s t o n , 1 9 8 4 ) ; o r K a
i l a t h ' s L i n e a r S y s t e m s , ( P r e n t i c e H a l l
,
1 9 8 0 ) o r t h e r e c e n t L i n e a r S y s t e m s b y A n t
s a k l i s a n d M i c h e l , ( M c G r a w H i l l , 1 9 9 8 )
.
I h a v e n e v e r s u c c e e d e d i n c o v e r i n g a l l o f
t h e m a t e r i a l i n t h i s b o o k i n o n e s e m e s t e
r
( 4 5 c l a s s r o o m h o u r s ) , b u t h e r e a r e s o m e p
a c k a g e s t h a t I h a v e c o v e r e d , a l o n g w i t
h
a d e s c r i p t i o n o f t h e s t y l e o f t h e c o u r s
e
A n a l y s i s , S t a b i l i t y a n d s o m e N o n l i n e a r
C n t r o l
C h a p t e r s 1 - 7 a n d p a r t o f C h a p t e r 9 .
A n a l y s i s , S o m e S t a b i l i t y a n d N o n l i n e a r
C o n t r o l
C h a p t e r s 1 - 3 , 5 - 6 f o l l o w e d b y C h a p t e r s 9
, 1 0 w i t h s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l
f r o m C h a p t e r 8 .
M a t h e m a t i c a l y S o p h i s t i c a t e d N o n l i n e a
r C n t r o l C o u r s e
C h a p t e r s 1 , 2 , 4 , 5 - 7 , w i t h s u p p l e m e n t a r
y m a t e r i a l f r o m C h a p t e r 3 , a n d C h a p t e r
s
9 - 1 1 w i t h s u p p l e m e n t a r y m a t e r i a l f r o m C
h a p t e r 8 .
A l t e r n a t i v e l y , i t i s p o s s i b l e t o u s e a l l
t h e m a t e r i a l i n t h i s b o o k f o r a t w o - s e m e s
t e r
c o u r s e ( 9 0 c l a s s r o o m h o u r s ) o n n o n l i n e a
r s y s t e m s a s f o l l o w s :
( 4 5 h o u r s S e m e s t e r 1 ) C h a p t e r s 1 - 7 .
( 4 5 h o u r s S e m e s t e r 2 ) C h a p t e r s 8 - 1 2 .
i x
1 . ( 3 0 h o u r s ) I n t r o d u c t o r y c o u r s e o n N o n
l i n e a r S y s t e m s . C h a p t e r s 1 , 2 , 3 ( S e c t i o
n s
3 . 1 - 3 . 5 ) , C h a p t e r 4 ( S e c t i o n s 4 . 1 - 4 . 6 )
, a n d C h a p t e r 5 .
2 . ( 3 0 h o u r s ) I n t e r m e d i a t e c o u r s e o n N o n
l i n e a r C o n t r o l . C h a p t e r 3 ( S e c t i o n 3 . 9 )
,
C h a p t e r 8 , C h a p t e r 9 , 1 0 , a n d p a r t s o f C h a
p t e r 1 1 .
T h e s t r u c t u r i n g o f c o u r s e s a t B e r k e l e y f
a v o r s t h e t w o s e m e s t e r s t r u c t u r e , w i t h t
h e
f i r s t c o u r s e f o r s e c o n d - s e m e s t e r g r a d u
a t e s t u d e n t s ( t a u g h t i n t h e s p r i n g s e m e s
t e r ) ,
a n d t h e s e c o n d c o u r s e c a l l e d " A d v a n c e d T
o p i c s i n N o n l i n e a r C o n t r o l " f o r s e c o n d
-
y e a r g r a d u a t e s t u d e n t s ( t a u g h t i n t h e f a
l l ) . H o w e v e r , I w i s h t o e m p h a s i z e t h a t w
e
f r e q u e n t l y s e e u n d e r g r a d u a t e s t u d e n t s
t a k i n g t h i s c o u r s e a n d e n j o y i n g i t .
A c c e s s t o a s i m u l a t i o n p a c k a g e f o r s i m u l
a t i n g t h e d y n a m i c s o f t h e n o n l i n e a r
s y s t e m s a d d s a g r e a t d e a l t o t h e c o u r s e , a
n d a t B e r k e l e y I h a v e m a d e a v a i l a b l e
M a t l a b , S i m n o n a n d M a t r i x - X a t v a r i o u s t
i m e s t o t h e s t u d e n t s a s s i m u l a t i o n t o o l k
i t s
t o u s e t o h e l p s t i m u l a t e t h e i m a g i n a t i o n
a n d h e l p i n t h e p r o c e s s o f " n u m e r i c a l
e x p e r i m e n t a t i o n . " W h i l e I h a v e u s u a l l y
h a d t a k e h o m e f i n a l e x a m i n a t i o n s f o r t h
e
s t u d e n t s , I t h i n k t h a t i t i s u s e f u l t o h a v
e " p r o j e c t - b a s e d " f i n a l e x a m i n a t i o n s w
i t h
n u m e r i c a l e x a m p l e s d r a w n f r o m a s e t o f p a
r t i c u l a r l y t o p i c a l a p p l i c a t i o n s . A w o r
d
a b o u t t h e p r o b l e m s e t s i n t h i s b o o k ; t h e y
a r e o f t e n n o t p r o c e d u r a l , a n d f r e q u e n t l
y
n e e d t h o u g h t a n d s o m e t i m e s f u r t h e r r e f e
r e n c e t o t h e l i t e r a t u r e . I h a v e f o u n d t h a
t
t h i s i s a n i c e w a y t o d r a w o n e s e l f i n t o w h a
t i s a v e r y e x c i t i n g , d y n a m i c a n d r a p i d l
y
e v o l v i n g a r e a o f r e s e a r c h . I h a v e i n c l u d
e d t h e s e a l s o b e c a u s e o v e r t h e y e a r s , i
t
h a s b e e n a p l e a s a n t s u r p r i s e t o m e t o s e e s
t u d e n t s s o l v e p r o b l e m s e t s b a s e d o n
t h e a r c h i v a l l i t e r a t u r e w i t h e a s e , w h e n
t h e y a r e g i v e n a d e q u a t e b a c k g r o u n d . I h a
v e
c h o s e n a p p l i c a t i o n s f r o m a w i d e v a r i e t y
o f d o m a i n s : m e c h a t r o n i c s y s t e m s , c l a s s
i c a l
m e c h a n i c a l s y s t e m s , p o w e r s y s t e m s , n o n
l i n e a r c i r c u i t s , n e u r a l n e t w o r k s , a d a p
t i v e
a n d l e a r n i n g s y s t e m s , f l i g h t c o n t r o l o f
a i r c r a f t , r o b o t i c s , a n d m a t h e m a t i c a l b
i o l o g y ,
t o n a m e s o m e o f t h e a r e a s c o v e r e d . I i n v i t
e t h e r e a d e r t o e n j o y a n d r e l a t e t o t h e s
e
a p p l i c a t i o n s a n d f e e l t h e s a m e s e n s e o f s
c i e n t i f i c e x c i t e m e n t t h a t I h a v e f e l t f o
r t h e
l a s t t w e n t y o d d y e a r s a t t h e m a r v e l s a n d m
y s t e r i e s o f n o n l i n e a r i t y .
T h e a u t h o r w o u l d b e g r a t e f u l f o r r e p o r t s
o f t y p o g r a p h i c a n d o t h e r e r r o r s
e l e c t r o n i c a l l y t h r o u g h t h e W W W p a g e f o r
t h e b o o k :
r o b o t i c s . e e c s . b e r k e l e y . e d u / - s a s t r y
/ n l . b o o k
w h e r e a n u p - t o - d a t e e r r a t a l i s t w i l l b e m
a i n t a i n e d a l o n g w i t h p o s s i b l e a d d i t i o n
a l
e x e r c i s e s .
S h a n k a r S a s t r y
B e r k e l e y , C a l i f o r n i a
M a r c h 1 9 9 9
A c k n o w l e d g m e n t s
I n a n y l a r g e u n d e r t a k i n g t h e r e a r e a n u m b
e r o f p e o p l e o n w h o s e s h o u l d e r s w e
s t a n d . T h i s i s c e r t a i n l y t h e c a s e f o r m e i
n t h i s b o o k , a n d t h e p a r t i c u l a r s h o u l d e r
s o n
w h i c h I s t a n d a r e t h o s e o f m y t e a c h e r s a n d
m y s t u d e n t s . I o w e a n i m m e n s e d e b t o f
m e t h e l o v e f o r a n d c u r i o s i t y a b o u t n o n l i
n e a r s y s t e m s . P r a v i n a r a i y a , S a n j o y
M i t t e r , a n d P e t a r K o k o t o v i c h a v e a l l b e e
n m y e a r l y ( a n d c o n t i n u i n g m e n t o r s )
i n t h i s n o n l i n e a r e n d e a v o r a s w e l l . M y s t
u d e n t s h a v e p r o v i d e d m e w i t h s o m e
o f t h e m o s t e x c i t i n g m o m e n t s o f d i s c o v e r
y o v e r t h e y e a r s t h a t I h a v e w o r k e d
i n n o n l i n e a r c o n t r o l a n d I w i s h t o a c k n o w
l e d g e , e s p e c i a l l y a n d g r a t e f u l l y , t h o s
e
t h a t h a v e w o r k e d w i t h m e o n s u b j e c t m a t t e
r t h a t i s r e p r e s e n t e d i n t h i s b o o k i n
c h r o n o l o g i c a l o r d e r o f c o m p l e t i o n o f t h
e i r a c a d e m i c c a r e e r s a t B e r k e l e y : B r a
d
P a d e n , S t e p h e n B o y d , M a r c B o d s o n , L i C h e
n F u , E r W e i B a i , A n d r e w P a c k a r d ,
Z e x i a n g L i , P i n g H s u , S a m a n B e h t a s h , A r l
e n e C o l e , J o h n H a u s e r , A l e n e C o l e ,
R i c h a r d M u r r a y , A n d r e w T e e l , R a j a K a d i y
a l a , A . K . P r a d e e p , L i n d a B u s h n e l l ,
A u g u s t o S a r t i , G r e g o r y W a l s h , D a w n T i l b
u r y , D a t t a G o d b o l e , J o h n L y g e r o s , J e f
f
W e n d l a n d t , L a r a C r a w f o r d , C l a i r e T o m l i
n , a n d G e o r g e P a p p a s . I n d e e d , t h e s e f o l k
s
w i l l f i n d m u c h i n t h i s b o o k t h a t i s r a t h e r
f a m i l i a r t o t h e m s i n c e t h e i r r e s e a r c
h
w o r k ( b o t h w i t h m e a n d a f t e r t h e y l e f t B e r
k e l e y a n d s e t u p t h e i r o w n r e s e a r c h
p r o g r a m s ) i s p r o m i n e n t l y f e a t u r e d i n t h
i s b o o k . I n C h a p t e r s 8 , 1 0 , 1 1 , a n d 1 2 I
h a v e e x p l i c i t l y p o i n t e d o u t t h e c o n t r i b
u t i o n s o f C l a i r e T o l i n , Y i M a , J o h n H a u s e
r ,
R i c h a r d M u r r a y , D a w n T i l b u r y , G e o r g e P a
p p a s , a n d J o h n L y g e r o s i n w r i t i n g p a r t
s
o f t h e s e c h a p t e r s .
x i i
A c k n o w l e d g m e n t s
C a l i f o r n i a , I r v i n e , l a i r e T o m l i n a t B e r
k e l e y a n d S t a n f o r d , a n d S h a h r a m S h a h r u
z
a n d G e o r g e P a p p a s a t B e r k e l e y . I a m g r a t e
f u l t o t h e m f o r t h e i r p a i n s t a k i n g c o m
-
m e n t s . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k C l a i r e T
o m l n , N a n a y a a T w u m D a n s o , G e o r g e
P a p p a s , Y M a , J o h n K o o , C l a u d i o P i n e l l o ,
J i n K i m , J a n a K o s e c k a , a n d o a o H e s -
p a n h a f o r t h e i r h e l p w i t h p r o o f r e a d i n g t
h e m a n u s c r i p t . I t h a n k C h r i s t i n e C o l b e r
t
f o r h e r s u p e r b d r a f t i n g o f t h e f i g u r e s a n
d t h a n k A c h i D o s a n j h o f S p r i n g e r - V e r
-
l a g , f o r h e r f r i e n d l y m a n a g e m e n t o f t h e w
r i t i n g , a n d h e r p a t i e n c e w i t h g e t t i n g t h
e
m a n u s c r i p t r e v i e w e d .
C o l l e a g u e s w h o h a v e w o r k e d w i t h m e a n d i n
s p i r e d m e t o l e a r n a b o u t n e w a r e a s
a n d n e w d i r e c t i o n s a b o u n d . E s p e c i a l l y f
r e s h i n m y m i n d a r e t h e s e t o f l e c t u r e s o
n
c o n v e r s e L y a p u n o v t h e o r e m s g i v e n b y M . V
i d y a s a g a r i n S p r i n g 1 9 7 9 a n d t h e s h o r
t
c o u r s e s o n n o n l i n e a r c o n t r o l t a u g h t b y A
r t h u r K r e n e r i n F a l l 1 9 8 4 a n d b y A l b e r t
o
I s i d o r i i n t h e F a l l 1 9 8 9 a t B e r k e l e y t h a t
p e r s u a d e d m e o f t h e r i c h n e s s o f n o n l i n e a
r
c o n t r o l . I h a v e f o n d m e m o r i e s o f j o i n t e s
e a r c h p r o j e c t s i n p o w e r s y s t e m s a n d
n o n l i n e a r c i r c u i t s w i t h w i t h A r i s t o t l e
A r a p o s t a t h i s , A n d r e T i t s , F a t h i S a l a m ,
E y a d
A b e d , F e l i x W u , J o h n W y a t t , O m a r H i j a b , A
l a n W i l l s k y , a n d G e o r g e V e r g h e s e . I
o w e a d e b t o f g r a t i t u d e t o D o r o t h e e N o r m a
n d C y r o t , A r t h u r K r e n e r , A l b e r t o I s i d o r
i ,
J e s s y G r i z z l e , L . R o b e r t H u n t , a n d M a r i c
a d i B e n e d e t t o f o r s h a r i n g t h e i r p a s s i o n
i n
n o n l i n e a r c o n t r o l w i t h m e . R i c h a r d M o n t
g o m e r y a n d J e r r y M a r s d e n p a i n s t a k i n g l
y
t a u g h t m e t h e a m a z i n g s u b t l e t i e s o f n o n h
o l o n o m i c m e c h a n i c s . I t h a n k G e o r g e s
G i r a l t , J e a n - P a u l L a u m o n d , O l e S o r d a l e
n , J o h n M o r t e n G o d h a v n , A n d r e a B a l l u c h i
,
a n d A n t o n i o B i c c h i f o r t h e i r w o n d e r f u l i
n s i g h t s a b o u t n o n - h o l o n o m i c m o t i o n
p l a n n i n g . R o b e r t H e r m a n n , C l y d e M a r t i n
, H e c t o r S u s s m a n n , C h r i s t o p h e r B y r n e s
,
a n d t h e e a r l y W a r w i c k l e c t u r e n o t e s o f P e
t e r C r o u c h p l a y e d a b i g r o l e i n s h a p i n
g
m y i n t e r e s t s i n a l g e b r a i c a n d g e o m e t r i c
a s p e c t s o f n o n l i n e a r c o n t r o l t h e o r y .
P
S . K r i s h n a p r a s a d , J o h n B a i l l i e u l , M a r k
S p o n g , N . H a r r i s M c C l a m r o c h , G e r a r d
o
L a f f e r r i e r e , T . J . T a m , D a n K o d i t s c h e k w
e r e c o - c o n s p i r a t o r s i n t o u n l o c k i n g t h
e
m y s t e r i e s o f n o n l i n e a r p r o b l e m s i n r o b o
t i c s . S t e p h e n M o r s e , B r i a n A n d e r s o n
,
K a r l A s t r o m , a n d B o b N a r e n d r a p l a y e d a c o
n s i d e r a b l e r o l e i n m y u n d e r s t a n d i n g
o f a d a p t i v e c o n t r o l .
A c k n o w l e d g m e n t s
x i i i
F i n a l l y , o n a p e r s o n a l n o t e , I w o u l d l i k e
t o t h a n k m y m o t h e r a n d l a t e f a t h e r f o r
t h e c o u r a g e o f t h e i r c o n v i c t i o n s , s e l f l
e s s d e v o t i o n , a n d c o m m i t m e n t t o e x c e l l e
n c e .
S h a n k a r S a s t r y
B e r k e l e y , C a l i f o r n i a
M a r c h 1 9 9 9
P e f a c e
v i i
A c k n o w l e d g m e n t s
x i
S t a n d a r d N o t a t i o n
l o d i i
1
L n e a r v s . N o n l i n e a r
1
1 . 1
.
. . . .
.
. .
. .
. .
. .
.
. .
1 . 2
.
. . . . . . . . .
.
. .
.
1 . 2 . 1
S u b t l e t i e s o f N o n l i n e a r S y s t e m s A n a l y s
i s . . . . . . .
1 0
1 . 2 . 2 A u t o n o m o u s S y s t e m s a n d E q u i l i b r i
u m P o i n t s . . .
. . 1 2
1 . 3
S o m e C l a s s i c a l E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
1 4
1 . 3 . 1
. .
.
.
. . .
. .
1 4
1 . 3 . 2 A n O s c i l l a t i n g C i r c u i t : D u e t o v a n
d e r P o l . . . .
. . . 1 6
. .
. . .
. .
.
. .
1 . 3 . 4
. . . .
1 . 3 . 5
.
.
. . . 2 2
1 . 4
. . . .
. . .
. .
.
. .
. .
2 3
. . . . .
2 3
.
2 5
1 . 6
. . .
.
. .
.
.
.
. .
.
. . . .
.
.
.
. . . .
.
. .
.
.
2
P l a n a r D y n a m i c a l S y s t e m s 3 1
2 . 1
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . .
. .
. .
3 1
2 . 2
L i n e a r i z a t i o n A b o u t E q u i l i b r i a o f S e c o
n d - O r d e r
N o n l i n e a r S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3 1
x v i C o n t e n t s
2 . 2 . 1
. .
.
. . . . . . . . . . . .
2 . 2 . 2
P h a s e o r t r a i t s n e a r H y p e r b o l i c E q u i l i b
r i a . . . . . . .
3 6
2 . 3
. . . . . . . . . .
4 1
2 . 4
.
. . .
. .
.
. . . . .
.
.
.
4 9
2 . 5
B i f u r c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
5 1
2 . 6
. . . . . .
5 5
2 . 7 T h e D e g e n e r a t e v a n d e r P o l E q u a t i o n .
. . . . . . . . . . . . . 6 0
.
. . .
.
.
.
. .
2 . 8 . 1
F i x e d P o i n t s a n d t h e H a r t m a n - G r o b m a n T h
e o r e m . . .
6 3
2 . 8 . 2
.
. . . .
.
.
. . .
.
. .
2 . 8 . 3
. .
. .
.
. .
. . .
. . . . . . . .
6 9
.
. .
. . . .
. .
. .
.
. .
. . . . . . . .
.
.
.
.
. . .
3
M a t h e m a t i c a l B a c k g r o u n d
7 6
3 . 1
G r o u p s a n d F e l d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
7 6
3 . 2
V e c t o r S p a c e s , A l g e b r a s , N o r m s , a n d I n d
u c e d N o r m s . . . . . 7 7
3 . 3
C o n t r a c t i o n M a p p i n g T h e o r e m s . . . . . . . .
. . . . . . . . .
8 2
3 . 3 . 1
. . . . .
.
. . .
8 4
3 . 4
E x i s t e n c e a n d U n i q u e n e s s T h e o r e m s f o
r
.
.
. .
. .
. .
3 . 4 . 1
D e p e n d e n c e o n I n i t i a l C o n d i t i o n s o n
.
.
. . . . .
. .
. . . . .
.
.
. .
3 . 4 . 2
.
.
. 9 0
3 . 5
. .
. . . . . . . . . 9 3
3 . 6
.
. .
.
.
. . .
.
.
.
. .
.
.
.
. .
. . . 9 9
3 . 7
. . . .
. .
. . .
.
. . . . .
. . .
.
. . . .
.
. . 1 0 1
3 . 8 D e g r e e T h e o r y a n d S o l u t i o n s o f R e s i s
t i v e N e t w o r k s . . . . . .
1 0 5
3 . 9 B a s i c s o f D i f f e r e n t i a l T o p o l o g y . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1 0 7
3 . 9 . 1 S m o o t h M a n i f o l d s a n d S m o o t h M a p s .
. . . . . . . .
1 0 7
3 . 9 . 2
T a n g e n t S p a c e s a n d D e r i v a t i v e s . . . . . . .
. . . . . .
1 1 0
3 . 9 . 3
R e g u l a r V a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
1 1 3
3 . 9 . 4 M a i f o l d s w i t h B o u n d a r y . . . . . . . . .
. . . . . . .
1 1 5
3 . 1 0
1 1 8
3 . 1 1
. . . . .
. . .
.
. . . .
. . .
.
.
. .
.
.
. . . .
.
. .
4
I n p u t - O u t p u t A n a l y s i s
1 2 7
.
.
. . . 1 2 8
4 . 1 . 1
O p t i m a l L i n e a r A p p r o x i m a t i o n s f o r M e m o
r y l e s s ,
.
.
. . . . . .
.
.
.
1 3 2
4 . 1 . 2
O p t i m a l L i n e a r A p p r o x i m a t i o n s f o r D y n a
m i c
.
. . .
1 3 5
4 . 1 . 3
.
. . . .
. . .
1 3 8
4 . 2 I n p u t O u t p u t S t a b i l i t y . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
1 4 3
4 . 3
A p p l i c a t i o n s o f t h e S m a l l G a i n T h e o r e m s
. . . . . . . . . . . .
1 5 0
C o n t e n t s x v i i
4 . 3 . 1 R o u s t n e s s o f F e e d b a c k S t a b i l i t y .
. . . . . . . . . . .
1 5 0
4 . 3 . 2
. .
. . . . . .
.
. . . .
4 . 4
. .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
4 . 5
. . .
.
.
4 . 6
I n p u t - O u t p u t S t a b i l i t y A n a l y s i s o f F e e
d b a c k S y s t e m s . . . . . 1 6 0
4 . 6 . 1
. .
. . .
.
. .
. .
.
.
. .
.
.
.
.
4 . 7
. . . . . .
.
. 1 6 7
4 . 7 . 1
H o m o g e n e o u s , P o l y n o m a l a n d V o l t e r r a S y
s t e m s i n
. .
.
.
.
. . . .
.
.
. .
1 6 8
4 . 7 . 2
V o l t e r r a R e p r e s e n t a t i o n s f r o m D i f f e r e
n t i a l q u a t i o n s .
1 7 0
4 . 7 . 3 F r e q u e n c y D o m a i n R e p r e s e n t a t i o n
o f V o l t e r r a I n p u t
.
. . .
. .
.
.
. . .
. . .
.
. .
.
S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1 7 4
4 . 9
. . . .
. .
. . . . . . . .
. .
.
. . . . .
. .
.
.
.
.
5
L y a p u n o v S t a b i l i t y T h e o r y
1 8 2
5 . 1
.
.
.
.
. . . . . . . .
. .
. . . . .
. .
.
. . .
. .
1 8 2
. . . .
.
. . . . . . . . .
.
. . . . . .
.
.
. .
.
. .
1 8 3
.
. . . 1 8 3
5 . 3 B a s i c S t a b i l i t y T h e o r e m s o f L y a p u n o
v . . . . . . . . . . . . . 1 8 8
5 . 3 . 1
.
.
. . . .
.
. . . .
. .
.
.
. .
1 8 8
5 . 3 . 2
B a s i c T h e o r e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 8 9
5 . 3 . 3 E x a m p l e s o f t h e A p p l i c a t i o n o f L y a
p u n o v ' s T h e o r e m 1 9 2
5 . 3 . 4
. . .
. . .
.
. . . . 1 9 5
.
. . .
.
. .
.
. . .
. . .
.
.
. .
5 . 5
G e n e r a l i z a t i o n s o f L a S a l l e ' s P r i n c i p l
e . . . . . . . . . . . . . .
2 0 4
5 . 6
I n s t a b i l i t y T h e o r e m s . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
2 0 6
5 . 7
.
. . . . .
.
. . . .
2 0 7
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
2 0 9
5 . 7 . 2
Q u a d r a t i c L y a p u n o v F u n c t i o n s f o r L i n e a
r T i m e
V a r y i n g S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2 1 2
5 . 8
.
.
. . . .
.
.
.
.
. .
.
.
5 . 9
. . .
.
.
.
.
. . . . .
.
.
. . . . .
. .
.
2 2 3
5 . 1 1
.
.
. .
. .
. . .
. . .
.
. . . . .
.
.
.
.
. .
. .
.
.
6
A p p l i c a t i o n s o f L y a p u n o v T h e o r y
2 3 5
6 . 1
F e e d b a c k S t a b i l i z a t i o n . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
2 3 5
6 . 2
h e L u r ' e P r o b l e m , C i r c l e a n d P o p o v C r i t e
r i a . . . . . . . . .
2 3 7
6 . 2 . 1
T h e C i r c l e C r i t e r i o n . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
2 4 0
. .
. . . . . .
. .
. . .
. .
.
.
.
.
6 . 3
.
. .
.
.
. .
. .
. . . . .
.
.
.
.
.
2 4 7
6 . 3 . 1
N o n s i n g u l a r P o i n t s , S o l u t i o n C o n c e p t s
, a n d
. .
.
. . . . . .
. .
. . .
. . . .
.
.
6 . 4
. . . . . . . .
C o n t e n t s
. . .
.
. . . . . . . .
2 5 2
. .
.
.
.
.
. . . . .
. . .
5 5
6 . 5 A d a p t i v e I d e n t i f i c a t i o n o f S i n g l e -
I n p u t S i n g l e - O u t p u t L i n e a r
.
.
.
. .
. .
. . . . . . . . . . .
.
.
.
2 5 6
.
.
. .
.
.
.
. .
.
.
. . .
. .
2 6 2
. .
.
. . .
.
.
. . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
6 . 7
A d a p t i v e C o n t r o l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3
6 . 8
B a c k - s t e p p i n g A p p r o a c h t o S t a b i l i z a t i
o n . . . . . . . . . . . .
7 5
6 . 9
7 7
.
.
.
.
. . .
. . .
.
. . . . .
. .
. . . . .
7
D y n a m i c a l S y s t e m s a n d B i f u r c a t i o n s
2 8 7
7 . 1
Q u a l i t a t i v e T h e o r y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7
7 . 2
.
.
. .
. .
. . .
. .
.
.
.
.
. . . . . . .
.
.
.
7 . 3
. . . .
2 9 4
7 . 3 . 1 T h e P o i n c a r 6 M a p a n d C l o s e d O r b i t s
. . . . . . . . . . 2 9 4
. . .
. . .
9 7
7 . 4
S t r u c t u r a l S t a b i l t y . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
3 0 2
7 . 5
S t r u c t u r a l l y S t a b l e T w o D i m e n s i o n a l l o
w s
. . . . . . . . . . 3 0 5
7 . 6 C e n t e r M a n i f o l d T h e o r e m s . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
0 9
7 . 6 . 1
C e n t e r M a n i f o l d s f o r F l o w s
. . . . . . . . . . . . . . . 3 0 9
.
3 1 3
7 . 6 . 3
. . . . . . . . . . . . . . .
3 1 4
.
.
.
. . .
.
. . .
7 . 8
.
. . . . . . . .
.
3 1 7
. .
.
.
. . . .
. . .
.
. 3 1 7
7 . 8 . 2
P u r e I m a g i n a r y P a i r o f E i g e n v a l u e s :
. .
.
. . . . . .
3 2 2
7 . 9 B i f u r c a t i o n s o f M a p s . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 3 2 4
7 . 9 . 1 S i n g l e E i g e n v a l u e 1 : S a d d l e N o d e ,
T r a n s c r i t i c a l
. .
.
. . .
.
. .
. . . . . . . . . . .
. .
3 2 5
7 . 9 . 2
S i n g l e E i g e n v a l u e - 1 : P e r i o d D o u b l i n
g
. . . . . . . . 3 2 7
7 . 9 . 3
P a i r o f C o m p l e x E i g e n v a l u e s o f M o d u l u s 1
:
.
.
.
. . . . . . .
. .
3 2 8
7 . 1 0
. . . .
3 2 9
7 . 1 0 . 1 B i f u r c a t i o n s o f E q u i l i b r i a a n d F
i x e d P o i n t s :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 2 9
.
3 3 5
. . . . . . . . . . . . . .
3 3 7
7 . 1 1
. .
.
. .
. .
. . . . .
.
.
.
.
.
. .
. .
.
. .
.
. . . .
.
.
.
.
. . .
. .
.
.
8
B a s i c s o f D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y
3 4 9
8 . 1
T a n g e n t S p a c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3 4 9
x i x
. . .
8 . 2
D i s t r i b u t i o n s a n d C o d i s t r i b u t i o n s . . .
. . . . . . . . . . . . . 3 5 6
8 . 3
. . . . . . .
.
. . . .
.
. . .
.
.
.
. .
. .
8 . 4
.
. . . . . . . . .
.
.
. . . . . .
.
. . . . 3 6 2
.
. .
. . .
3 6 7
8 . 4 . 2 T h e E x p o n e n t i a l M a p . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3 6 9
8 . 4 . 3 C a n o n i c a l C o o r d i n a t e s o n M a t r i x L
i e G r o u p s . . . . .
3 7 0
8 . 4 . 4
T h e C a m p b e l l - B a k e r - H a u s d o r f f F o r m u l a
. . . . . . .
3 7 1
8 . 5
.
. . . .
3 7 5
8 . 5 . 1 F r e n e t - S e r r e t E q u a t i o n s : A C o n t r
o l S y s t e m o n S E ( 3 ) . 3 7 5
8 . 5 . 2 T h e W e i - N o r m a n F o r m u l a . . . . . . . . .
. . . . . .
3 7 8
3 7 9
.
. . .
. . .
. . . . . .
.
.
.
. . . . . . . .
.
. .
.
9
L i n e a r i z a t i o n b y S t a t e F e e d b a c k 3 8 4
9 . 1
. . . . . . . . . .
.
. . . . .
.
.
. . .
.
. . . . .
3 8 4
9 . 2 S I S O S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3 8 5
9 . 2 . 1
.
. .
.
.
. .
.
.
. .
. . . . 3 8 5
9 . 2 . 2
.
. . .
.
. .
. . . .
3 9 8
. .
.
.
.
. .
.
. .
4 0 2
9 . 2 . 4
A s y m p t o t i c S t a b i l i z a t i o n a n d T r a c k i n g
f o r S I S O
S y s t e m s
.
.
.
. . . . . .
.
. . .
.
. . . .
.
.
. . . . .
9 . 3
M I M O S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 4 0 7
9 . 3 . 1 M I M O S y s t e m s L i n e a r i z a b l e b y S t a t
i c S t a t e F e e d b a c k .
4 0 7
9 . 3 . 2 F u l l S t a t e L i n e a r i z a t i o n o f M I M O S
y s t e m s . . . .
. . . 4 1 1
.
. . .
4 1 4
.
.
.
.
. .
. .
.
.
.
. .
. .
4 1 7
9 . 5 S l i d i n g M o d e C o n t r o l . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
4 2 3
9 . 5 . 1
S I S O S l i d i n g M o d e C o n t r o l . . . . . . . . . . . .
. . .
4 2 3
9 . 5 . 2 M I M O S l i d i n g M o d e C o n t r o l . . . . . . .
. . . . . . .
4 2 5
. .
.
.
.
.
.
.
. . .
4 2 5
.
. .
. . . .
4 2 6
.
. . . . .
.
. . .
.
.
.
4 2 9
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
. .
4 3 9
.
. . .
. . .
. . . . .
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. . . . . 4 4 0
1 0 D e s i g n E x a m p l e s U s i n g L i n e a r i z a t i o
n
4 4 9
1 0 . 1
. . .
.
.
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. . .
. .
4 4 9
1 0 . 2
.
. . . . : . .
4 5 0
. .
. . . . . . .
.
. .
.
. . .
.
. .
. . . . .
4 5 1
. . . . . .
. . . . .
4 5 1
.
.
.
.
.
. .
.
.
. .
.
. .
. 4 5 3
. . . .
. . .
4 5 4
. .
.
C o n t e n t s
. . .
4 6 0
. .
.
.
.
. .
.
. . .
4 6 8
. .
. . .
. . .
. .
. .
.
. .
.
.
. .
4 6 8
. . . .
.
. . . .
. .
. .
4 6 9
. . .
. .
.
.
4 7 2
1 0 . 4 . 3 E x a c t I n p u t - O u t p u t L i n e a r i z a t i
o n o f t h e P V T O L
.
.
. .
.
. .
.
. .
. . . . .
.
.
. .
.
.
4 7 3
1 0 . 4 . 4 A p p r o x i m a t e L i n e a r i z a t i o n o f t h
e P V T O L A i r c r a f t
. . 4 7 6
1 0 . 5
.
. . . . . .
1 0 . 5 . 1
S i n g l e I n p u t S i n g l e O u t p u t ( S I S O ) C a s e .
. . . . . . .
4 8 1
. . . . .
. .
. . . .
4 8 4
1 0 . 6 S i n g u l a r l y P e r t u r b e d Z e r o D y n a m i c
s f o r R e g u l a r y P e r t u r b e d
. .
.
. .
.
. .
.
. . . .
.
.
.
. .
.
.
.
.
4 9 0
1 0 . 6 . 1 S I S O S i n g u l a r l y P e r t u r b e d Z e r o a
n d D r i v e n D y n a m i c s .
4 9 0
1 0 . 6 . 2 M I M O S i n g u l a r l y P e r t u r b e d Z e r o a
n d
.
. .
.
.
. .
.
. . . .
. .
.
. . .
.
4 9 8
.
. .
.
. .
. .
.
. . . . .
.
.
.
. . . . . .
.
.
.
. .
4 9 9
1 1 G e o m e t r i c N o n l i n e a r C o n t r o l
5 1 0
1 1 . 1
.
. . . .
.
. . . . . .
. .
. . .
.
.
1 1 . 2
.
. .
. .
.
. . . . .
.
. . .
.
.
. .
1 1 . 3
.
. . .
. . . .
.
. .
. . . .
. .
. .
. . .
.
. . .
. . .
.
. .
.
. .
.
. . . . .
. . .
.
.
. . . . . .
. . .
.
. . . .
.
.
. . . . .
. . .
.
. .
.
.
1 1 . 6 O b s e r v a b i l i t y C o n c e p t s . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. .
. . . .
. . . .
1 1 . 9
C o n t r o l l e d I n v a r i a n t D i s t r i b u t i o n s a n
d D i s t u r b a n c e D e c o u p l i n g .
5 1 0
5 1 3
5 1 8
5 2 0
5 2 9
5 2 9
5 3 5
5 3 9
5 4 5
5 4 9
5 5 1
5 6 0
5 6 4
1 1 . 1 0 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 5 6 6
.
. .
. . . . .
. . .
. . . . .
.
. . .
.
.
.
. .
. . 5 6 7
1 2 E x t e r i o r D i f f e r e n t i a l S y s t e m s i n C o n
t r o l
5 7 4
.
.
. . . .
.
. . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
. .
5 7 4
1 2 . 2
.
.
. . .
1 2 . 2 . 1
M u l t i l i n e a r A l g e b r a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 9 2
1 2 . 2 3 E x t e r i o r D i f f e r e n t i a l S y s t e m s . .
. . . . . . . . . . . .
6 0 0
1 2 . 3
N o r m a l F o r m s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0 6
. . . . . . . . . . . . . . .
6 0 6
. . . . . . . . . . . . . .
x x i
. .
. . . . . 6 2 3
1 2 . 4
C o n t r o l S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
6 2 9
1 2 . 5 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
6 3 5
1 2 . 6
. . .
.
. .
. . .
. . . .
. .
. .
.
.
. .
.
. . . .
.
. 6 3 6
1 3 N e w V i s t a s : M u l t - A g e n t H y b r i d S y s t e m
s
6 4 1
1 3 . 1
E m b e d d e d C o n t r o l a n d H y b r i d S y s t e m s . . .
. . . . . . . . .
6 4 1
1 3 . 2 M u l t i - A g e n t S y s t e m s a n d H y b r i d S y s
t e m s . . . . . . . . . .
6 4 2
R e f e r e n c e s
6 4 5
6 6 1
S t a n d a r d N o t a t i o n
T h e f o l l o w i n g n o t a t i o n i s s t a n d a r d a n d i
s u s e d t h r o u g h o u t t h e t e x t . O t h e r n o n
-
s t a n d a r d n o t a t i o n i s d e f i n e d w h e n i n t r o
d u c e d i n t h e t e x t a n d i s r e f e r e n c e d i n t h
e
i n d e x . A w o r d a b o u t t h e n u m b e r i n g s c h e m e
: N o t a l l e q u a t i o n s a r e n u m b e r e d , b u t
t h o s e t h a t a r e f r e q u e n t l y r e f e r e n c e d a r
e . T h e o r e m s , C l a i m s , P r o p o s i t i o n s , C o r
o l -
l a r i e s , L e m m a s , D e f i n i t i o n s , E x a m p l e s
a r e n u m b e r e d c o n s e c u t i v e l y i n t h e o r d e
r
i n w h i c h t h e y a p p e a r a n d t h e y a r e a l l n u m b
e r e d . T h e i r t e x t i s p r e s e n t e d i n a n
e m p h a s i z e d f o n t . I f t h e t h e o r e m s , c l a i m
s , p r o p o s i t i o n s , e t c . a r e s p e c i f i c a l l y
n o t e -
w o r t h y t h e y a r e n a m e d i n b o l d f o n t b e f o r e
t h e s t a t e m e n t . E x e r c i s e s a r e a t t h e e n
d
o f e a c h c h a p t e r a n d a r e a l l n u m b e r e d c o n s
e c u t i v e l y , a n d i f e s p e c i a l l y n o t e w o r t h
y
a r e n a m e d l i k e t h e t h e o r e m s , c l a i m s , p r o
p o s i t i o n s , e t c . P r o o f s i n t h e t e x t e n d w i
t h
t h e s y m b o l
t o d e m a r c a t e t h e p r o o f f r o m t h e f o l l o w i n
g t e x t .
S e t s
m e
a i s a n e l e m e n t o f t h e s e t A
s e t A i s c o n t a i n e d i n s e t B
u n i o n o f s e t A w i t h s e t B
I n t e r s e c t i o n o f s e t A w i t h s e t B
s u c h t h a t
p i m p l i e s q
q i m p l i e s p
p i s e q u i v a l e n t t o q
m e
x x i v
S t a n d a r d N o t a t i o n
M
c l o s u r e o f M
] a , b [
o p e n s u b s e t o f t h e r e a l l i n e
[ a , b ]
c l o s e d s u b s e t o f t h e r e a l l i n e
[ a , b [
s u b s e t o f t h e r e a l l i n e c l o s e d a t a , a n d o p
e n a t b
a - - i b
a . b
a d e c r e a s e s t o w a r d s b
a b
®
d i r e c t s u m o f s u b s p a c e s
A l g e b r a
N
s e t o f n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s , n a m e l y , (
0 , 1 , 2 , . . . )
R
f i e l d o f r e a l n u m b e r
Z
r i n g o f i n t e g e r s , n a m e l y , ( . . . , - 1 , 0 , 1 ,
. . . )
j s q u a r e r o o t o f - 1
C
f i e l d o f c o m p l e x n u m b e r s
R , ( R - )
s e t o f n o n - n e g a t i v e ( n o n - p o s i t i v e ) r e a
l s
C ( C _ )
s e t o f c o m p l e x n u m b e r s i n t h e r i g h t ( l e f t
) h a l f p l a n e ,
i n c l u d i n g t h e i m a g i n a r y a x i s
j w a x i s
s e t o f p u r e l y i m a g i n a r y c o m p l e x n u m b e r
s
C o
{ s E C : R e s < 0 } - i n t e r i o r o f C
C +
{ s E C : R e s > 0 } = i n t e r i o r o f C +
A "
s e t o f n - t u p l e s o f e l e m e n t s b e l o n g i n g t o
t h e s e t A
( e . g . , R " , R [ s ] " )
A ' " x n
s e t o f m x n a r r a y s w i t h e n t r i e s i n A .
o ( A )
s e t o f e i g e n v a l u e s ( s p e c t r u m ) o f a s q u a r
e m a t r i x A
( x k ) k E K
f a m i l y o f e l e m e n t s w i t h K , a n i n d e x s e t
.
F [ x 1
r i n g o f p o l y n o m i a l s i n o n e v a r i a b l e x
w i t h c o e f f i c i e n t s i n a f i e l d F
F ( x )
f i e l d o f r a t i o n a l f u n c t i o n s i n o n e v a r i a
b l e x
w i t h c o e f f i c i e n t s i n a f i e l d F
A n a l y s i s
f : A r B
f m a p s t h e d o m a i n A i n t o t h e c o d o m a i n B
f ( A )
r a n g e o f f : _ { y E B : y = f ( x ) f o r s o m e x E A
}
A ° i n t e r i o r o f A
A
c l o s u r e o f A
a A
S t a n d a r d N o t a t i o n
x x v
C ( [ t o , t , ] , I R )
v e c t o r s p a c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s [ t
o , t i ]
R
C ( [ t o , t i ] )
v e c t o r s p a c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s [ t
o , t i ] r - > R
C k ( [ t o , t , ] , R )
v e c t o r s p a c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s [ t
o , t , ] r - R
w i t h k c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e s
C k ( [ t o , t , v e c t o r s p a c e o f c o n t i n u o u s f u
n c t i o n s
[ t o , t , ] - + I R " w h o s e f i r s t k d e r i v a t i v e s
a r e c o n t i n u o u s
1 X I
n o r m o f a n e l e m e n t x i n a v e c t o r s p a c e
( x , y )
i n n e r - p r o d u c t o f t w o v e c t o r s x , y i n a H i l
b e r t s p a c e
f , G
L a p l a c e t r a n s f o r m o f s c a l a r ( o r v e c t o r )
f u n c t i o n f o r
m a t r i x f u n c t i o n G b o t h d e f i n e d o n k
t i m e d e r i v a t i v e o f s c a l a r ( o r v e c t o r ) f u
n c t i o n f o r
m a t r i x f u n c t i o n G b o t h d e f i n e d o n I R +
D f ( x )
d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n f : I R " + I R ' "
a m a t r i x E I R " ° '
D ; f ( x , , x 2 , . . . , X , ) D e r i v a t i v e o f f : I R "
" x
x I R " o
w i t h r e s p e c t t o t h e i - t h a r g u m e n t
D 2 f ( X ) s e c o n d d e r i v a t i v e o f f : R ' F - ) - R
'
w i t h r e s p e c t t o i t s a r g u m e n t , a b i - l i n e a
r m a p f r o m
I R " X I R " r I R '
D ; k
; k f ( s , s 2 , . . . , x p )
k [ h p a r t i a l d e r i v a t i v e o f
f ( x , , . . . , s o ) w i t h r e s p e c t t o x i , , . . . , s
, k
a k - l i n e a r m a p f r o m R " ' ' x
x I R i k r I R '
L P [ t o , t , ]
v e c t o r s p a c e o f R v a l u e d f u n c t i o n s
w i t h p - t h p o w e r i n t e g r a b l e o v e r [ t o , t ,
]
[ t o , t l ]
v e c t o r s p a c e o f ] R k v a l u e d f u n c t i o n s
w i t h p - t h p o w e r i n t e g r a b l e o v e r [ t o , t ,
]
O ( X ) l i t t l e " o " o f x , t h a t i s a f u n c t i o n g (
x ) ,
s u c h t h a t l i m l , h o I g ( x ) I / I x I = 0
0 ( x )
c a p i t a l " 0 " o f x , t h a t i s a f u n c t i o n h ( x )
,
1
L i n e a r v s . N o n l i n e a r
1 . 1
N o n l i n e a r M o d e l s
2
1 . L i n e a r v s . N o n l i n e a r
P o w e r f l o w e q u a t i o n s m o d e l i n g t h e f l o w o
f r e a l a n d r e a c t i v e p o w e r i n a
t r a n s m i s s i o n n e t w o r k h a v e m u l t i p l e s t e
a d y s t a t e o p e r a t i n g p o i n t s ,
A b u c k l e d b e a m h a s t w o s t a b l e b u c k l e d s t a
t e s ,
I n p o p u l a t i o n e c o l o g y , t h e r e a r e m u l t i p
l e e q u i l i b r i u m p o p u l a t i o n s o f
c o m p e t i n g s p e c i e s .
N o w , c o n s i d e r t h e l i n e a r d i f f e r e n t i a l e
q u a t i o n m o d e l
x = A x
( 1 . 1 )
w i t h x E R " a n d A E R " " , a c o n s t a n t m a t r i x . T
h e p o i n t x = 0 i s a n e q u i l i b r i u m
p o i n t o f t h e s y s t e m . T h a t i s , i f t h e i n i t i
a l s t a t e a t t i m e t = 0 o f t h e d i f f e r e n t i a
l
e q u a t i o n o f ( 1 . 1 ) i s 0 , i . e . , x ( 0 ) = 0 , t h e
n t h e s t a t e o f t h e e q u a t i o n r e m a i n s 0
f o r a l l t , i . e . , x ( t ) 0 . I f A i s a n o n s i n g u l
a r m a t r i x , t h e n x = 0 i s t h e o n l y
e q u i l i b r i u m p o i n t o f t h e l i n e a r s y s t e m .
I f A i s s i n g u l a r , t h e s e t o f e q u i l i b r i a f o
r
t h e s y s t e m i s t h e n u l l s p a c e o f t h e m a t r i x
A . T h i s i s a n u n c o u n t a b l y i n f i n i t e
s e t o f e q u i l i b r i u m p o i n t s . H o w e v e r , " g e
n e r i c a l l y , " l i n e a r s y s t e m s h a v e o n l y o n
e
e q u i l i b r i u m p o i n t , s i n c e i f A w e r e s i n g u
l a r , a n i n f i n i t e s i m a l p e r t u r b a t i o n o f t
h e
e n t r i e s o f A w i l l " a l m o s t s u r e l y " c a u s e i
t t o b e c o m e n o n s i n g u l a r . C o n s e q u e n t l y
,
l i n e a r s y s t e m s o f t h e f o r m o f ( 1 . 1 ) c a n n o
t r o b u s t l y ( h e r e r o b u s t l y i s u s e d i n t h
e
s e n s e o f b e i n g q u a l i t a t i v e l y i n s e n s i t i
v e t o m o d e l i n g e r r o r s ) a l l o w f o r m o r e t h a
n
o n e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n .
2 . P e r i o d i c v a r i a t i o n o f s t a t e v a r i a b l e
s o r l i m i t c y c l e s .
A g a i n , i n s t a n c e s o f s y s t e m s w i t h p e r i o d
i c v a r i a t i o n s o f a r o b u s t n a t u r e a b o u n
d
i n p r a c t i c e :
D i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r m o d e l i n g t h
e h e a r t b e a t a n d n e r v e i m p u l s e g e n -
e r a t i o n a r e o f t h e s o - c a l l e d v a n d e r P o l k
i n d , w h i c h w e w i l l s t u d y l a t e r .
T h e c y c l i c n a t u r e o f t h e s e p h e n o m e n a i s o
b t a i n e d f r o m a s i n g l e s t a b l e l i m i t
c y c l e . O t h e r r e l a t e d e x a m p l e s m o d e l p e r
i o d i c m u s c u l a r c o n t r a c t i o n s i n t h e
o e s o p h a g u s a n d i n t e s t i n e s .
D i g i t a l c l o c k c i r c u i t s o r a s t a b l e m u l t i
v i b r a t o r s e x h i b i t c y c l i c v a r i a t i o n b e
-
t w e e n t h e l o g i c a l I a n d 0 s t a t e s a n d m a y a l
s o b e m o d e l e d a s a d e g e n e r a t e
l i m i t o f t h e v a n d e r P o l e q u a t i o n m e n t i o n
e d a b o v e ( t h i s i s i n v e s t i g a t e d i n
d e t a i l i n C h a p t e r 7 ) .
1 . 1 N o n l i n e a r M o d e l s
3
p o i n t . T h u s , l i n e a r d y n a m i c a l s y s t e m s w
i t h p e r i o d i c s o l u t i o n s a r e n o n r o b u s
t
m o d e l s .
A s i n t h e c a s e o f m u l t i p l e e q u i l i b r i u m p o
i n t s , t h e r e e x i s t s y s t e m s w i t h m u l t i p l e
,
p e r i o d i c s o l u t i o n s . T h e s e c a n b e f i n i t e
i n n u m b e r i n c o n t r a s t t o a n i n f i n i t e
n u m b e r f o r l i n e a r s y s t e m s w i t h j w a x i s e i
g e n v a l u e s a n d c o n s e q u e n t l y c a n n o t
b e d e s c r i b e d b y a l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q
u a t i o n m o d e l .
3 . B i f u r c a t i o n
T h e r e a r e m a n y e x a m p l e s o f s y s t e m s w h o s e
q u a l i t a t i v e f e a t u r e s , s u c h a s t h e
n u m b e r o f e q u i l i b r i u m p o i n t s , t h e n u m b e
r o f l m i t c y c l e s , a n d t h e s t a b i l i t y o f
t h e s e f e a t u r e s , c h a n g e s w t h p a r a m e t r i c
v a r i a t i o n i n t h e m o d e l . F o r e x a m p l e :
a . A r o d u n d e r a x i a l l o a d i n g h a s o n e u n b u c
k l e d s t a t e a s i t s e q u i l i b r i u m s t a t e
t i l l t h e l o a d i n g r e a c h e s a c r i t i c a l v a l u
e , a t w h i c h p o i n t i t a c q u i r e s t w o s t a b l
e
b u c k l e d s t a t e s a n d a n u n s t a b l e u n b u c k l e
d s t a t e .
b . T h e c o m p r e s s o r o f a j e t e n g i n e c h a n g e s
f r o m s t e a d y s t a t e o p e r a t i o n t o a
m o d e o f o p e r a t i o n w h e r e t h e r e i s r o t a t i n
g s t a l l w h e n t h e a n g l e o f a t t a c k o f
t h e b l a d e s r e a c h e s a c r i t i c a l v a l u e .
c . T h e J o s e p h s o n j u n c t i o n c h a n g e s f r o m t
h e s u p e r c o n d u c t i n g s t a t e , o r z e r o
r e s i s t a n c e s t a t e ( w h e n t h e r e i s a s i n g l e
s t a b l e e q u i l i b r i u m ) , t o t h e c o n d u c t i n
g
s t a t e ( w h e n t h e r e i s a p e r i o d i c o r b i t a n d
a n e q u i l i b r i u m p o i n t o r j u s t a p e r i o d i
c
o r b i t ) a s t h e a m o u n t o f c u r e n t f o r c i n g g o
e s t h r o u g h a c r i t i c a l v a l u e .
d . H y s t e r e t i c b e h a v i o r i n t h e c u r r e n t v a
l u e s o f c e r t a i n o n e p o r t r e s i s t o r s , s u c
h
a s t u n n e l d i o d e s , o c c u r s w h e n t h e v o l t a g
e a c r o s s t h e m i s r a i s e d o r l o w e r e d .
e . A s t h e a n g l e o f a t t a c k o f a n a i r c r a f t c h
a n g e s , a c o n s t a n t f l i g h t p a t h a n g l e
t r a j e c t o r y b e c o m e s u n s t a b l e a n d i s r e p l
a c e d b y a c y c l i c m o d e w i t h c o n s t a n t
r o l l r a t e .
L i n e a r s y s t e m s w i t h p a r a m e t e r s h a v e b e h
a v i o r t h a t i s c o n s i d e r a b l y l e s s s u b t l e
.
A s p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m c h a n g e , t h e s
y s t e m c a n c h a n g e f r o m s t a b l e t o
u n s t a b l e . T h e n u m b e r o f e q u i l i b r i a c a n g
o t h r o u g h i n f i n i t y i f a n y o f t h e e i g e n
-
v a l u e s g o t h r o u g h t h e o r i g i , H o w e v e r , n o
n e o f t h e c h a n g e s d e s c r i b e d a b o v e
c a n b e c a p t u r e d b y a p a r a m e t e r i z e d l i n e a
r m o d e l .
4 . S y n c h r o n i z a t i o n a n d F r e q u e n c y E n t r a
i n m e n t
O s c i l l a t o r s w h e n c o u p l e d w e a k l y p u l l i n
t o f r e q u e n c y a n d p h a s e s y n c h r o n i s m ,
f o r e x a m p l e i n
a . H e a r t m u s c l e c e l l s , m u s c u l a r c e l l s c a
u s i n g p e r i s t a l s i s i n t h e i n t e s t i n e s a n
d
t h e o e s o p h a g u s ,
b . P h a s e l o c k e d l o o p s f o r t r a c k i n g .
I n a d d i t i o n , a s p a r a m e t e r s c h a n g e t h e l o
s s o f s y n c h r o n i s m o r f r e q u e n c y e n -
t r a i n m e n t i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e o n s e t
o f c o m p l i c a t e d b e h a v i o r , f o r e x a m p l e
,
a r r h y t h m i a s ( f o r t h e h e a r t m u s c l e ) o r l o
o p s k i p p i n g ( f o r t h e p h a s e l o c k e d l o o p )
.
T h e r e i s n o l i n e a r m o d e l f o r t h i s p h e n o m e
n o n .
5 . C o m p l e x D y n a m i c a l B e h a v i o r
4 1 . L i n e a r v s . N o n l i n e a r
b y t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x A t h a t e i
t h e r d e c a y t o z e r o o r b l o w u p a s t - * o o
w h e n t h e e i g e n v a l u e s o f A a r e n o t o n t h e j w
a x i s . I n t h i s c a s e , e x a c t l y t h e s a m e
b e h a v i o r i s m a n i f e s t e d f o r t h e s y s t e m i n
d e p e n d e n t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s . W h e
n
A h a s e i g e n v a l u e s o n t h e j w a x i s , t h e s o l u
t i o n s o f e q u a t i o n ( 1 . 1 ) n e i t h e r d e c a
y
n o r b l o w u p f o r a n y i n i t i a l c o n d i t i o n . A s
w e h a v e d i s c u s s e d a b o v e , t h i s m o d e l
i s n o n r o b u s t , s i n c e s m a l l p e r t u r b a t i o n
s w i l l k n o c k t h e e i g e n v a l u e s o f f t h e j
w
a x i s .
I n c o n t r a s t , t h e d y n a m i c s o f m a n y p h y s i c
a l s y s t e m s c a n b e a c o m p l e x a n d s e n -
s i t i v e f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o
n s ; f o r i n s t a n c e , t h e d y n a m i c s o f p o p u l a
t i o n
m o e l s , c l i m a t i c m o d e l s a n d t u r b u l e n t f l
u i d f l o w m o d e l s . T h e s e s y s t e m s e v o l v
e
t i a l s . S m a l l c h a n g e s i n t h e i n i t i a l c o n d
i t i o s c a n m a k e t h e t r a j e c t o r i e s v a s t l
y
d i f f e r e n t o v e r t i m e . T h e s e a r e r e f e r r e d
t o a s c h a o t i c o r c o m p l e x d y n a m i c s . I n
t h e p o p u l a r s c i e n c e l i t e r a t u r e , t h e s e a
r e a d v a n c e d a s r e a s o n s f o r t h e f a m o u s
" b u t t e r f l y e f f e c t " : T h e b e a t i n g o f t h e w
i n g s o f a f l o c k o f b u t t e r f l i e s i n C e n t r a
l
P a r k m a y c a u s e v a r i a t i o n s i n t h e g l o b a l c
l i m a t e o f s u c h m a g n i t u d e a s t o a l l o w
f o r t y p h o o n s i n C h i n a . C h a o t i c o r c o m p l e
x d y n a m i c s a r e e x a m p l e s o f d y n a m i c s
t h a t c a n n o t b e g e n e r a t e d b y l i n e a r m o d e l
s .
1 . 2 C o m p l e x i t y i n N o n l i n e a r D y n a m i c
s
B e f o r e w e b e g i n a s y s t e m a t i c s t u d y o f n o n
l i n e a r s y s t e m s a n d t h e i r a s t o u n d i n g l
y
r i c h b e h a v i o r , w e c o n s i d e r t h e d y n a m i c s
o f a v e r y s i m p l e f i r s t - o r d e r d i f f e r e n c
e
e q u a t i o n , w h i c h r e v e a l s s o m e a m a z i n g s u
b t l e t y . W e w i l l , f o r t h e m o m e n t , c o n s i d e
r
a d i s c r e t e s y s t e m :
x , + 1 = f ( X , ) -
( 1 . 2 )
T h i s e q u a t i o n m o d e l s t h e e v o l u t i o n o f a p
o p u l a t i o n o f b l o w f l i e s n u m b e r i n g
x , E i R a t t i m e t i n a b o x f f i x e d s i z e w i t h a f
i x e d f o o d s u p p l y . A d m i t t e d l y , i n
r e a l i t y , t h e p o p u l a t i o n x i s d i s c r e t e , b
u t t h e m o d e l w i t h x c o n t i n u o u s i s s u r p r i s
i n g l y
r o b u s t e n o u g h t o o v e r c o m e t h i s d r a w b a c k
. W e a s s u m e t h a t t h e p o p u l a t i o n i s b e i n
g
m e a s u r e d a t d i s c r e t e t i m e s a n d x i s l a r g e
e n o u g h s o t h a t w e m a y a s s u m e i t t o b e
a c o n t i n u o u s v a r i a b l e . T h i s m o d e l w a s t h
e s o u r c e o f a g r e a t d e a l o f e x c i t e m e n t
w h e n i t w a s s t u d i e d b y M a y a n d O s t e r [ 2 0 3 ]
a n d v a l i d a t e d b y e x p e r i m e n t s w i t h
a b l o w f l y p o p u l a t i o n a t B e r k e l e y . T h i s e
x a m p l e w i l l a l s o s e r v e a s a v e h i c l e t o
i n t r o d u c e a n i n t e r e s t i n g g r a p h i c a l t e c
h n i q u e f o r u n d e r s t a n d i n g t h e d y n a m i c s o
f
d i s c r e t e n o n l i n e a r s y s t e m s . T h e q a l i t a
t i v e s h a p e o f t h e f u n c t i o n f i s d e p i c t e d i
n
F i g u r e 1 . 1 . F o r d e f i n i t e n e s s t h e r e a d e r
m a y w i s h t o c o n s i d e r t h e f u n c t i o n
f ( x ) = h x ( 1 - x ) ,
x E [ 0 , 1 ] .
( 1 . 3 )
T h i s f u n c t i o n h a s a s i n g l e m a x i m u m a t x = z
o f m a g n i t u d e h / 4 . I t f o l l o w s t h a t
f o r h < 4 , i t m a p s t h e i n t e r v a l [ 0 , 1 ] i n t
o i t s e l f . W i t h t h e f o f e q u a t i o n ( 1 . 3 ) , t h
e
1 . 2 C o m p l e x i t y i n N o n l i n e a r D y n a m i c
s
5
Y
F I G U R E 1 . 1 . T h e o n e - h u m p f u n c t i o n
T h e f u n c t i o n f m o d e l s t h e f a c t , t h a t x , + 1
> x , w h e n t h e p o p u l a t i o n i s s m a l l , s
o
t h a t t h e p o p u l a t i o n i n c r e a s e s ( a b u n d a n
c e o f f o o d a n d l i v i n g s p a c e ) . A l s o , x , + I
< z ,
w h e n t h e p o p u l a t i o n i s l a r g e ( c o m p e t i t i
o n f o r f o o d a n d i n c r e a s e d l i k e l i h o o d o
f
d i s e a s e ) . T h u s f ( x ) > x f o r x s m a l l a n d f
( x ) < x f o r x l a r g e . F i g u r e 1 . 2 s h o w s
h o w o n e s o l v e s t h e e q u a t i o n ( 1 . 3 ) g r a p h i
c a l l y : O n e s t a r t s w i t h t h e i n i t i a l s t a t e
x o o n
t h e h o r i z o n t a l a x i s a n d r e a d s o f f x , = f ( x
o ) o n t h e v e r t i c a l a x i s . T h e h o r i z o n t a l l
i n e
i n t e r s e c t i n g t h e 4 5 ° l i n e c o r r e s p o n d s t
o t h e i t e r a t i v e p r o c e s s o f r e p l a c i n g x o o
n t h e
h o r i z o n t a l a x i s b y x j . T h e i t e r a t i o n n o w
c o n t i n u e s b y p r o g r e s s i v e l y r e a d i n g o f f
x , + 1
o n t h e v e r t i c a l a x i s a n d u s i n g t h e i n t e r s
e c t i o n o f t h e h o r i z o n t a l l i n e t h r o u g h x ,
+ ,
w i t h t h e 4 5 ° l i n e t o r e f l e c t x , + 1 o n t o t h e
h o r i z o n t a l a x i s . T h e c o n s e q u e n t a p p e a r
a n c e
o f t h e e v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n s t a t e
v a r i a b l e i s t h a t o f a c o b w e b . T h i s t e r m i s
,
i n f a c t , t h e t e r m i n o l o g y u s e d b y e c o n o m i
s t s f o r s i m p l e o n e d i m e n s i o n a l m o d e l s o
f
m a c r o e c o n o m i c G N P g r o w t h a n d c e r t a i n m i
c r o e c o n o m i c p h e n o m e n a [ 3 1 5 ] .
W e w i l l s t u d y t h e e f f e c t o f r a i s i n g t h e h e
i g h t o f t h e h u m p w i t h o u t i n c r e a s i n g
i t s s u p p o r t ( i . e . , t h e r a n g e o f v a l u e s ( x
) f o r w h i c h f ( x ) # 0 ) o n t h e d y n a m i c s o f
t h e b l o w f l y p o p u l a t i o n ( m o d e l i n g t h e e f
f e c t o f a n i n c r e a s e i n t h e f o o d s u p p l y )
.
F o r d e f i n i t e n e s s , t h i s c o r r e s p o n d s t o i
n c r e a s i n g t h e p a r a m e t e r h i n t h e f u n c t i o
n o f
( 1 . 3 ) .
T h e c a s e 0 < h < 1 .
A f e w m o m e n t s r e f l e c t i o n ( v e r i f y t h i s f o
r y o u r s e l f ) w i l l m a k e i t c l e a r t h a t f o
r
0 < h < 1 t h e g r a p h o f f n e v e r c r o s s e s t h e
4 5 d e g r e e l i n e x , + 1 = x , t h a t i s ,
t h e c u r v e y = f ( x ) l i e s b e l o w t h e l i n e y = x .
I n t h i s c a s e x , t e n d s t o z e r o
m o n o t o n i c a l l y i n t h e t i m e s t e p t . T h i s c o
r r e s p o n d s t o a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e
p o p u l a t i o n d i e s o u t a s y m p t o t i c a l l y f o r
l a c k o f a d e q u a t e f o o d .
T h e c a s e 1 < h < 3 .
6
1 . L i n e a r v s . N o n l i n e a r
0 . 1 0 . 2
0 . 3 0 . 4 0 . 5
0 . 9
0 . 7 0 . 8 0 . 9
F I G U R E 1 . 2 . G r a p h i c a l s o l u t i o n o f a o n e d
i m e n s i o n a l s y s t e m
e q u i l i b r i u m i s u n s t a b l e . T h e p a r a m e t e r
v a l u e a t w h i c h t h e z e r o p o p u l a t i o n b e
-
c o m e s u n s t a b l e i s h o = 1 . I t s h o u l d b e k e p t
i n m i n d t h a t t h e s t a b l e p o p u l a t i o n
v a l u e x o i s a f u n c t i o n o f h , g i v e n b y
x o = 1 - h
T h u s , a t h = 2 t h e e q u i l i b r i u m p o i n t m o v e s
f r o m t h e l e f t s i d e o f t h e h u m p t o
t h e r i g h t s i d e .
T h e c a s e 3 < h < 1 + . = 3 . 4 4 9 .
I n c r e a s i n g t h e h e i g h t o f t h e h u m p e v e n f u
r t h e r , a l i t t l e g r a p h i c a l e x p e r i m e n t a t
i o n
s h o w s t h a t w h e n t h e s l o p e o f t h e f u n c t i o n
f n e a r t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t b e c o m e
s
s u f f i c i e n t l y n e g a t i v e , m o r e p r e c i s e l y
, l e s s t h a n o r e q u a l t o - 1 , a l i m i t c y c l e o
f
p e r i o d 2 s h o w s u p , a s i n t h e F i g u r e 1 . 4 . A d
d i t i o n a l l y , F i g u r e 1 . 4 s h o w s t h e
c o b w e b a t h ) = 3 . 2 5 , d e m n s t r a t i n g t h e o n s
e t o f t h e p e r i o d 2 l i m i t c y c l e .
T h e v a l u e h ) i s c a l l e d a p e r i o d - d o u b l i n g
b i f u r c a t i o n p o i n t . A p e r i o d 2 l i m i t
c y c l e i s e q u i v a l e n t t o a c l o s e d s q u a r e i n
t h e c o b w e b i n F i g u r e 1 . 4 i n v o l v i n g t h
e
p o p u l a t i o n a l t e r n a t i n g b e t w e e n t w o v a l
u e s x * , a n d x z .
F u r t h e r , t h e p e r i o d 2 l i m i t c y c l e i s s t a b
l e ; t h a t i s , a l l n o n z e r o i n i t i a l p o p u l a t
i o n s
t e n d t o a n a s y m p t o t i c p a t t e r n o f a l t e r n a
t i n g b e t w e e n t h e t w o v a l u e s , x * , a n d x z
.
A n o t h e r w a y o f u n d e r s t a n d i n g t h e s e r e s u
l t s i s b y e x a m i n i n g t h e d y n a m i c s o f
t h e t w o - s t e p e v o l u t i o n , n a m e l y ,
x t + 2 = f ( f ( x t ) ) = :
f 2 ( x t ) .
1 . 2 C o m p l e x i t y i n N o n l n e a r D y n a m i c s
7
x ( t + 1 ) = h x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , h - 2 . 5
0 . 9 F
0 . 3 F
X
F I G U R E 1 . 3 . A s i n g l e s t a b l e e q u i l i b r i u
m
1
T h e f o r m o f t h e f u n c t i o n f 2 ( x ) = f ( x ) o f ( x
) , t h a t i s , f c o m p o s e d w i t h f ,
( n o t t o b e c o n f u s e d w i t h t h e s q u a r e o f f ) i
s a t w o h u m p e d c u r v e w h e n f i s s t e e p
e n o u g h , a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 5 . I n f a c t , f
2 a c q u i r e s i t s d o u b l e h u m p c h a r a c t e r
p r e c i s e l y w h e n t h e v a l u e o f t h e p a r a m e t e
r h = 3 .
N o t e t h a t t h e 4 5 d e g r e e l i n e i n t e r s e c t s t
h e t w o h u m p e d c u r v e o f F i g u r e 1 . 5 i n
t h r e e p o i n t s f o r h > 3 . T h e m i d d l e i n t e r
s e c t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e p e r i o d 1
s o l u t i o n , w h i c h i s n o w u n s t a b l e i n t h e s e
n s e t h a t a l l p o p u l a t i o n s n o t e x a c t l y
e q u a l t o x o t e n d a w a y f r o m i t ( a s m a y b e v e r
i f i e d g r a p h i c a l l y ) a n d t o w a r d s t h e
p e r i o d 2 s o l u t i o n ( s e e a l s o P r o b l e m 1 . 4 )
. A l s o , n o t e t h a t b o t h t h e p o i n t s x 7 1
, x 2
a r e e q u i l i b r i a f o r t h e s y s t e m o f e q u a t i o
n ( 1 . 4 ) . T h u s , t h e i t e r p r e t a t i o n o f t h
e
d y n a m i c s o f t h e s y s t e m o f ( 1 . 4 ) i s o n e o f s
t r o b i n g o r s a m p l i n g t h e d y n a m i c s o f
t h e s y s t e m o f ( 1 . 3 ) a n d m o r e v i s u a l l y , t h
e p o r t r a i t o f F i g u r e 1 . 4 e v e r y 2 t i m e
s t e p s .
T h e c a s e 3 . 4 4 9 < h < 3 . 5 7 0 .
8
1 . L i n e a r v s . N o n l i n e a r
x ( t + 1 ) - h x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , h - 3 . 2 5
0 . 9 F
0 . 8 F
0 . 7 F
x
F I G U R E 1 . 4 . A p e r i o d 2 l i m i t c y c l e
F I G U R E 1 . 5 . T h e g r a p h o f f 2
I f t h i s p r o g r a m i s c a r r i e d f o r w a r d e v e n f
u r t h e r , p o i n t s o f p e r i o d 2 k s t a r t a p p e a r
i n g
i n c r e a s i n g l y m o r e f r e q u e n t l y i n h , f o r e
x a m p l e e i g h t p e r i o d 8 = 2 3 p o i n t s a p p e a
r
a t h 3 = 3 . 5 4 4 , s i x t e e n p e r i o d 1 6 = 2 4 p o i n t
s a p p e a r a t h 4 = 3 . 5 6 4 a n d s o o n .
I n f a c t , F e i g e n b a u m [ 9 6 1 h a s s h o w n t h a t
,
l i m
k - o o h k + 1 - h k
1 . 2 C o m p l e x i t y i n N o n l i n e a r D y n a m i c s
9
x ( t + 1 ) - h x ( t ) ( 1 - x ( t ) ) , h - 3 . 8 3 9
0 . 9 F
O . 8 F
1
x
F I G U R E 1 . 6 . A p e r i o d 3 l i m i t c y c l e
v a l u e s i s e x a c t l y 4 . 6 6 9 2 . . . , n o t o n l y f o
r t h e s p e c i f i c
l o g i s t i c m a p t h a t w e h a v e
c o n s i d e r e d , u t a l s o f o r o t h e r o n e p a r a m e
t e r m a p s t h a t a r e " c l o s e " t o i t .
T h e c a s e 3 . 5 7 0 < h < 3 . 8 3 9 .
I n t h i s r a n g e o f t h e p a r a m e t e r h , t h e d y n a
m i c s o f t h e l o g i s t i c m a p a r e q u i t e
c o m p l i c a t e d . F o r s o m e i n i t i a l c o n d i t i o
n s , t h e i t e r a t e s a r e a p e r i o d i c a n d t h
e
t r a j e c t o r i e s a p p e a r t o w a n d e r . I n f a c t ,
t h e l o g i s t i c m a p h a s b e e n u s e d a s a r a n d o
m
n u m b e r g e n e r a t o r i n t h i s r e g i m e ( i n f a c t
i n t h e n e x t r e g i m e a s w e l l ) . T h e r e a r e
a l s o a l l t h e p e r i o d i c p o i n t s o f p e r i o d 2 "
a s w e l l a s s o m e o t h e r p e r i o d i c p o i n t s
.
T h e c a s e 3 . 8 3 9 < h < 4 .
A t h = 3 . 8 3 9 , t h e r e i s f o r t h e f i r s t t i m e a p
e r i o d i c p o i n t o f p e r i o d 3 , i . e . , a f i x e
d
p o i n t o f f 3 = f o f o f , ( s e e P r o b l e m 1 . 5 ) . T h
e c o b w e b d i a g r a m s h o w i n g t h e
p e r i o d 3 p o i n t i s s h o w n i n F i g u r e 1 . 6 . I n f
a c t , a t t h i s v a l u e o f h , t h e r e a r e p e r i o d i
c
p o i n t s o f a r b i t r a r y p e r i o d a s w e l l a s s o m
e a p e r i o d i c p o i n t s . T h e d i s c o v e r y o f
t h i s v a l u e w a s t h e t i t l e o f a l a n d m a r k p a p
e r b y L i a n d Y o r k e , " P e r i o d T h r e e
I m p l i e s C h a o s " , [ 1 8 2 1 . T h e p e r i o d 3 o r b i
t i s t h e o n l y o r b i t w h i c h i s s t a b l e t o
s m a l l p e r t u r b a t i o n s a n d i s t h e o n l y o n e t
h a t i s e a s y t o o b t a i n f r o m n u m e r i c a l
e x p e r i m e n t s . A s t h e v a l u e o f h i s i n c r e a s
e d t h e r e i s a p e r i o d d o u b l i n g b i f u r c a t i o
n
o f t h e p e r i o d 3 o r b i t t o a s t a b l e p e r i o d 6 o
r b i t . T h i s , i n t u r n , c h a n g e s b y p e r i o
d
d o u b l i n g t o a s t a b l e p e r i o d 1 2 o r b i t a n d s
o o n a n d r e m a r k a b l y , t h e r a t i o o f t h e
p a r a m e t e r v a l u e s f o r t h e p e r i o d d o u b l i n
g b i f u r c a t i o n s i s r e m a r k a b l y o n c e a g a i
n
t h e F e i g e n b a u m n u m b e r : 4 . 6 6 9 2 .
. . . A s i t t u r n s o u t , t h e r e s u l t o f
L i a n d Y o r k e
w a s a s p e c i a l c a s e o f a n e a r l i e r r e s u l t o f
S h a r k o v s k i i w h i c h w e w i l l d e s c r i b e
s h o r t l y .
1 0
1 . L i n e a r v s . N o n l i n e a r
F I G U R E 1 . 7 . S t a b l e a n d u n s t a b l e e q u i l i b
r i u m p o i n t s a s a f u n c t i o n o f t h e h e i g h t o f
t h e h u m p
A p l o t o f t h e s e q u e n c e o f b i f u r c a t i o n s o f
t h e l o g i s t i c m a p s h o w i n g t h e p e r i o d -
d o u b l i g b i f u r c a t i o n s i s g i v e n i n F i g u r e
1 . 7 . n t e r m s o f p o p u l a t i o n e c o l o g y , i t i
s
n o t s u r p r i s i n g t h a t w i l d p o p u l a t i o n s s e
e m t o l i e w e l l w i t h i n t h e n o n c h a o t i c r e g i
o n ;
c h a o t i c p o p u l a t i o n v a r i a t i o n s d o n o t s e
e m c o n d u c i v e t o s u r v i v a l . I t i s , h o w e v e r
,
p o s s i b l e t o p r o d u c e c o n d i t i o n s f o r c h a o
t i c p o p u l a t i o n f l u c t u a t i o n , a s h a s b e e n
d o n e
b y M a y a n d O s t e r i n a l a b o r a t o r y u s i n g b l o
w f l i e s .
I t i s o f o b v i o u s i n t e r e s t t o u n d e r s t a n d w
h i c h q u a l i t a t i v e f e a t u r e s o f t h i s i n c r e
d i -
b l y d e l i c a t e a n d c o m p l e x b e h a v i o r a r e p r
e s e r v e d i n o n e - h u m p m a p s m o r e g e n e r a
l
t h a n t h e l o g i s t i c m a p . S u r p r i s i n g l y , m o
s t o f t h e q u a l i t a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s a
r e p r e -
s e r v e d , a n d t h e s e q u e n c e o f b i f u r c a t i o n
s d e s c r i b e d a b o v e i s r e f e r r e d t o a s t h e p e
r i o d
d o u b l i g r o u t e t o c h a o s . I n a n i n t e r e s t i n
g g e n e r a l i z a t i o n o f t h e a n a l y s i s o f t h e l
o -
g i s t i c m a p b y S h a r k o v s k i i , w h i c h a c t u a l
l y p r e c e d e d t h e w o r k o f L i a n d Y o r k e ,
S h a r k o v s k i i o r d e r e d t h e i n t e g e r s a s
3
5
.
. b
2 2 . 3 b 2 2 . 5 b . . . b b 2 " b 2 n - 1 b . b 2 2 b 2 b 1 , t h
a t i s , t h e o d d i n t e g e r s
e x c e p t 1 , f o l l o w e d b y t w i c e t h e o d d i n t e g
e r s e x c e p t 1 , f o l l o w e d b y 2 2 t m e s t h e
o d d i n t e g e r s e x c e p t 1 , f o l l o w e d b y 2 3 t i m
e s t h e o d d i n t e g e r s f o l l o w e d e x c e p t 1
,
a n d s o o n . T h e t a i l e n d o f t h e o r d e r i n g i s m
a d e u p o f t h e d e c r e a s i n g p o w e r s o f 2 .
H e t h e n s h o w e d t h a t f o r a n a r b i t r a r y s y s t
e m o f t h e f o r m o f ( 1 . 2 ) , f t h e d i s c r e t e
t i m e s y s t e m h a s a p o i n t o f a c e r t a i n p e r i o
d , i t h a s p o i n t s o f a l l p e r i o d s l o w e r t h a
n
t h a t o n e i n t h e S h a r k o v s k i i o r d e r i n g . T h
u s i n p a r t i c u l a r i f t h e s y s t e m h a s a p o i n t
o f
p e r i o d 3 , i t h a s p o i n t s o f a r b i t r a r y p e r i
o d . I n t h e c o n t e x t o f o u r e x a m p l e o f ( 1 . 3 )
,
t h i s h a p p e n s a t h = 3 . 8 3 9 . T h u s , a t t h i s v a
l u e o f h o r h i g h e r , t h e p o p u l a t i o n x , c a
n
v a r y i n a v e r y c o m p l i c a t e d m a n n e r w i t h g r
e a t s e n s i t i v i t y t o i n i t i a l c o n d i t i o n s
.
1 . 2 . 1
S u b t l e t i e s o f N o n l i e a r S y s t e m s A n a l y s i
s
I n t h i s b o o k , w e w i l l b e i n t e r e s t e d i n s t u
d y i n g m o r e b e n i g n f o r m s o f n o n l i n e a r
b e h a v i o r , b u t i t i s w o r t h k e e p i n g i n m i n d
t h a t n o n l i n e a r s y s t e m s a r e c a p a b l e o
f
v e r y d i v e r s e a n d c o m p l e x b e h a v i o r . N o n l
i n e a r s y s t e m s a n a l y s i s d i f f e r s f r o m t h a
t
1 . 2 C o m p l e x i t y i n N o n l i n e a r D y n a m i c
s
1 1
1 . G e n e r a l l y s p e a k i n g , o n e c a n o b t a i n c l
o s e d f o r m s o l u t i o n s f o r l i n e a r s y s t e m s
.
T h i s i s s e l d o m t h e c a s e f o r n o n l i n e a r s y s
t e m s . C o n s e q u e n t l y , t h e r e i s a n e e d f o
r
b o t h q u a l i t a t i v e i n s i g h t a n d r e p e a t e d s
i m u l a t i o n f o r q u a n t i t a t i v e v e r i f i c a t i
o n .
Q u a l i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g i s i m p o r t a n
t s i n c e , e v e n i f w e h a d t h e m o s t p o w e r f u
l
c o m p u t e r s a t o u r d i s p o s a l , e x h a u s t i v e s
i m u l a t i o n w i l l b e p r o h i b i t i v e l y e x p e n
-
s i v e . ( T h e r e a d e r m a y w i s h t o a m u s e h e r s e
l f w i t h c o n s i d e r i n g h o w m u c h t i m e
w o u l d b e n e e d e d t o s i m u l a t e a n e q u a t i o n w
i t h a b o u t 1 0 s t a t e s a n d a d i s c r e t i z a -
t i o n g r i d o f i n i t i a l c o n d i t i o n s o f a b o u t
1 0 p e r u n i t a l o n g e a c h a x i s f o r t h e i n i t i a
l
c o n d i t i o n s . )
2 . T h e a n a l y s i s i n v o l v e s m a t h e m a t i c a l t
o o l s t h a t a r e m o r e a d v a n c e d i n c o n c e p
t
a n d i n v o l v e d i n d e t a i l .
C o n s i d e r f o r e x a m p l e , n o n l i n e a r s y s t e m
s w h o s e d y n a m i c s c a n b e d e s c r i b e d b y
f i r s t o r d e r v e c t o r d i f f e r e n t i a l e q u a t i
o n s o f t h e f o r m
z = f ( x , u , t ) , x ( 0 ) = x o . ( 1 . 5 )
H e r e X E ] R " i s t h e s t a t e v e c t o r , x o i s t h e s
t a t e o f t h e s y s t e m a t t i m e 0 a n d u E R m
i s t h e c o n t r o l o r f o r c i n g f u n c t i o n . I f e q
u a t i o n ( 1 . 5 ) w e r e a f f i n e i n x a n d u f o r e a c
h
t , o n e w o u l d e x p e c t t h a t c o r r e s p o n d i n g t
o e a c h i n p u t u ( . ) :
( 1 . 5 ) h a s a t l e a s t o n e s o l u t i o n b e l o n g i n
g t o s o m e r e a s o n a b l e c l a s s o f f u n c t i o n
s
( e x i s t e n c e o f a s o l u t i o n ) .
( 1 . 5 ) h a s e x a c t l y o n e s o l u t i o n i n t h e s a m
e c l a s s a s a b o v e ( u n i q u e n e s s o f t h e
s o l u t i o n ) .
( 1 . 5 ) h a s e x a c t l y o n e s o l u t i o n f o r a l l t i
m e , i . e . , o n [ 0 , o o [ ( e x t e n s i o n o f t h e
s o l u t i o n u p t o t = o o ) .
N o t e t h a t t h e l a t t e r r e q u i r e m e n t s i n t h i
s l i s t s u c c e s s i v e l y s u b s u m e t h e f o r m e r :
T h e y
g e t m o r e d e m a n d i n g . I n t h e f u l l g e n e r a l i
t y o f ( 1 . 5 ) , n o n e o f t h e a b o v e s t a t e m e n t
s
a r e t r u e f o r n o n l i n e a r s y s t e m s . W e w i l l n
o w g i v e e x a m p l e s o f s y s t e m s t h a t v i o l a t
e
t h e t h r e e p r e c e d i n g r e q u i r e m e n t s .
1 . L a c k o f e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s .
z = - s i g n ( x ) ,
x ( 0 ) = 0 .
( 1 . 6 )
H e r e s i g n ( x ) i s d e f i n e d t o b e 1 i f x > 0 , a
n d s i g n ( x ) = - 1 i f x < 0 . C o n s e -
q u e n t l y , t h e r e c a n b e n o c o t i n u o u s l y d i f
f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s a t i s f y i n g ( 1 . 6 )
.
N e v e r t h e l e s s , t h e s y s t e m i s a n a c c e p t a b
l e m o d e l o f t h e d y n a m i c s o f a t h e r m o -
s t a t a b o u t a s e t p o i n t t e m p e r a t u r e , m o d e
l e d b y x = 0 ( o n e c a n i m a g i n e t h e
f u r n a c e t u r n e d o n f u l l b l a s t w h e n t h e t e m
p e r a t u r e d r o p s b e l o w t h e s e t p o i n t a n
d
t h e a i r c o n d i t i o n e r t u r n e d o n f u l l s t r e n
g t h w h e n t h e t e m p e r a t u r e r i s e s a b o v e t h
e
s e t p o i n t ) . I n d e e d , y o u m a y h a v e n o t i c e d
t h a t s o m e t h e r m o s t a t s t e n d t o c h a t t e
r
a b o u t t h e i r f i x e d p o i n t s . H a v e y o u t h o u g
h t a b o o : t h o w y o u m i g h t q u e n c h t h i s
c h a t t e r i n g ?
2 . L a c k o f u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s .
C o n s i d e r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n
Z / 3 = 3 x , x ( 0 ) = 0 . ( 1 . 7 )
1 2
1 . L i n e a r v s . N o n l i n e a r
I t m a y b e v e r i f i e d t h a t t h e f a m i l y o f f u n c
t i o n s d e s c r i b e d b y
x , ( t ) _ ( t - a ) 3 ,
t > a ,
t < a ,
s a t i s f i e s t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n
d i n i t i a l c o d i t i o n f o r a r b i t r a r y v a l u e s
o f a .
3 . F i n i t e e s c a p e t i m e .
C o n s i d e r t h e s y s t e m
z = 1 + x 2 ,
x ( 0 ) = 0 . ( 1 . 8 )
I t h a s a s o l u t i o n x ( t ) = t a n ( t ) , s o t h a t t h
e r e i s n o s o l u t i o n d e f i n e d o u t s i d e o f
t h e i n t e r v a l [ 0 , i t / 2 [ .
W e s h a l l n o t r e s o l v e t h e s e i s s u e s i m m e d i
a t e l y , b u t r a t h e r d r a w f r o m t h e m t h e
l e s s o n t h a t t h e p r e c e d i n g r e q u i r e m e n t s
o n t h e e x i s t e n c e , u n i q u e n e s s , a n d e x t e n
-
s i o n o f s o l u t i o n s o f ( 1 . 5 ) , w h i l e o b v i o u
s f o r l i n e a r s y s t e m s , r e q u i r e m o r e c a r e f
u l
c o n s i d e r a t i o n i n a n o n l i n e a r c o n t e x t
.
1 . 2 . 2 A u t o n o m o u s S y s t e m s a n d E q u i l i b r i
u m P o i n t s
C o n s i d e r s y s t e m s o f t h e f o r m f ( 1 . 5 ) w i t h
t h e i n p u t u ( t ) a f i x e d f u n c t i o n o f t i m e
.
T h e n , t h e s e s y s t e m s t a k e t h e f o r m
z = f ( x , t ) .
( 1 . 9 )
D e f i n i t i o n 1 . 1 A u t o n o m o u s .
T h e s y s t e m 1 . 9 ) i s s a i d t o b e a u t o n o m o u s i
f
f ( x , t ) i s n o t e x p l i c i t l y d e p e n d e n t o n t i
m e t .
D e f i n i t i o n 1 . 2 E q u i l i b r i u m P o i n t a t t o .
x o E R " i s s a i d t o b e a n e q u i l i b r i u m
p o i n t a t t i m e t o i f
f ( x o , t ) = 0
V t > t o .
N o t e t h a t i f ( 1 . 9 ) d o e s , i n f a c t , h a v e u n i
q u e s o l u t i o n s t h e n i f x o i s a n e q u i l i b r i u
m
p o i n t a t t o a n d x ( t o ) = x o t h e n x ( t ) = x o V t
> t o . A l s o i f f ( x o , t ) = 0 f o r a l l t ,
t h e n x o i s r e f e r r e d t o s i m p l y a s a n e q u i l i
b r i u m p o i n t . B e l o w i s a s i m p l e e x a m p l
e
t o i l l u s t r a t e t h e d e f i n i t i o n s j u s t i n t r
o d u c e d .
E x a m p l e 1 . 3 P e n d u l u m e q u a t i o n .
i c s o f a p e n d u l u m w i t h n o f o r c i n g :
z ] = x 2 ,
z 2 = - k 1 x 2 - k 2 s i n ( x l ) .
I n t h e s e e q u a t i o n s k 1 i s p r o p o r t i o n a l t o
f r i c t i o n a l d a m p i n g a n d k 2 t h e l e n g t h o f t
h e
p e n d u l u m . T h e s y s t e m i s a u t o n o m o u s a n d h
a s e q u i l i b r i a a t
x 2 = 0 ,
n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . .
1 . 2 C o m p l e x i t y i n N o n l i n e a r D y n a m i c
s
1 3
I f t h e s y s t e m ( 1 . 9 )
i s a u t o n o m o u s , t h e n f i n d i n g t h e e q u i l i b
r i u m p o i n t s
c o r r e s p o n d s t o s o l v i n g a n o n l i n e a r a l g e
b r a i c e q u a t i o n
f ( x ) = 0 .
( 1 . 1 0 )
( 1 . 1 0 ) m a y h a v e n o s o l u t i o n , s e v e r a l s o l
u t i o n s , o r a c o n t i n u u m o f s o l u t i o n s . I n t
h e
l i n e a r c a s e t h e e q u a t i o n
A x = 0 .
h a s a u n i q u e s o l u t i o n x = 0 i f t h e m a t r i x A i
s n o n s i n g u l a r . I f A i s s i n g u l a r , t h e n
i t h a s a c o n t i n u u m o f s o l u t i o n s , n a m e l y t
h e n u l l s p a c e o f A .
D e f i n i t i o n 1 . 4 I s o l a t e d E q u i l i b r i a . A n
e q u i l i b r i u m p o i n t x o o f a n a u t o n o m o u
s
s y s t e m ( 1 . 9 ) i s i s o l a t e d i f t h e r e e x i s t s
s o m e S > 0 s u c h t h a t t h e r e i s n o o t h e r
e q u i l i b r i u m p o i n t i n t h e b a l l B ( x o , S ) = {
x :
x - x o l < S ) .
T o g i v e t h e r e a d e r a n e a r l y f e e l f o r t h e m e
t h o d s o f n o n l i n e a r a n a l y s i s , w e s h o w
h o w s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t
e n c e o f i s o l a t e d e q u i l i b r i a i n a s y s t e m o
f
t h e f o r m ( 1 . 9 ) c a n b e g i v e n . T h e p r o o f w i l
l u s e c o n c e p t s o f n o r m s ( I I o n ] [ Y " ) ,
a n d i n e q u a l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h n o r m s
: T h e s e a r e d e v e l o p e d m o r e c o m p l e t e l y i
n
t h a t f ( x , r ) i s a C ' f u n c t i o n ( i . e . , a f u n c
t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b
l e i n
x ) , a n d d e f i n e i t s l i n e a r i z a t i o n a t t o a s
a m a t r i x i n ] l
x :
( x o , t o ) .
H e r e A ; j ( t o ) = a ( x o , t o ) .
P r o p o s i t i o n 1 . 5 S u f f i c i e n t C n d i t i o n f o
r I s o l a t e d E q u i l i b r i a .
C o n s i d e r a C '
s y s t e m ( 1 . 9 ) w i t h e q u i l i b r i u m p o i n t x o f
o r a l l t a n d i t s l i n e a r i z a t i o n A ( t o ) . T h e
n ,
i f A ( t o ) i s n o n s i n g u l a r , x o i s a n i s o l a t e
d e q u i l i b r i u m .
P r o o f : S i n c e A ( t o ) i s n o n s i n g u l a r , t h e r
e e x i s t s c > 0 s u c h t h a t
I A ( t o ) x l > c l x l
F u r t h e r , s i n c e f ( x , t o ) i s C ' , w e m a y w r i t
e d o w n i t s T a y l o r s e r i e s a b o u t x = x o a s
f ( x , t o ) = f ( x o , t o ) + A ( t o ) ( x - x o ) + r ( x , t
o ) ,
( 1 . 1 1 )
w h e r e f ( x o , t o ) i s z e r o , s i n c e x o i s a n e q u
i l i b r i u m , t h e l i n e a r t e r m i s A ( t o ) ( x - x o
) ,
a n d t h e r e m a i n d e r r ( x , t o ) i s t h e s u m o f t h
e q u a d r a t i c , c u b i c a n d h i g h e r o r d e r t e r m
s ,
i . e . , t h e t a y l ' o f t h e T a y l o r s e r i e s . r ( x
, t o ) i s o f o r d e r I x - x o l 2 , i . e . ,
l i m
= 0
( 1 . 1 2 )
l x - x o l - + o I x - X 0 1
1 4
1 . L i n e a r v s . N o n l i n e a r
I n v i e w o f ( 1 . 1 2 ) , i t f o l l o w s t h a t t h e r e e
x i s t s S > 0 s u c h t h a t
I r ( x , t o ) I
2 1 x - x o l V I x - x o l < S .
U s i n g t h i s e s t i m a t e i n ( 1 . 1 1 ) a l o n g w i t h
t h e b o u n d o n I A ( t o ) x I y i e l d s
I f ( x , t o ) I I A ( t o ) ( x - x o ) I - r ( x , t o ) I
> c / 2 I x - x o l V I X - x o l < S
> 0
V x # X o E B ( x o , S ) .
T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .
R e m a r k s : T h e c o n d i t i o n s o f t h e p r e c e d i n
g p r o p o s i t i o n a r e s u f f i c i e n t , b u t n o
t
n e c e s s a r y , f o r t h e e x i s t e n c e o f i s o l a t e
d e q u i l i b r i a : F o r e x a m
![[Shankar sastry] nonlinear_system__analysis,_stab)](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5885c6071a28ab6f168b7be1/shankar-sastry-nonlinearsystemanalysisstab.jpg)
