Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
27/05/2016
1
STATISTIKA INDUSTRI 2
TIN 4004
Pertemuan 11 s.d. 13
• Outline:
– Nonparametric Statistics
• Referensi:
– Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K.,
Probability & Statistics for Engineers & Scientists ,
9th Ed. Prentice Hall, 2012.
Nonparametric
• Distribution-free methods
• Analysis of ranks
• Small sample size
• Disadvantages:
– Do not utilize all information provided by the sample
– Less efficient than parametric procedure
Statistik Non Parametrik
Statistik Non parametrik
• Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum.
• Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll
SI 2 - Statistik Non Parametrik 4
Uji Statistik Parametrik• Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu
(asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. • Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio• Biasanya datanya besar : > 30
Parametrik Vs Non Parametrik
Parametrik
• menuntut ukuran – ukuran tingkat taraf tinggi
• Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi.
• Misal: Ukuran berat (kg)
Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 5
Non Parametrik
Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)
Misal:
Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5)
3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1
Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4)
Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank.
Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8
Rank : 2 1 3
Skala Pengukuran...(review)
Semua skala pengukuran dapat diklasifikasikan kedalam empat jenis skalaberikut ini :
1.Nominal• Juga disebut sebagai skala kategorik
• Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja
• Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanyamenunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti
• Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluargaberencana, lulus atau tidak dll.
• Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasidari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut ataukarakteristik.
SI 2 - Statistik Non Parametrik 6
27/05/2016
2
2.Ordinal • Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan
• Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalamhubungan “ lebih besar” atau “ lebih sedikit”.
• Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tigabuah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk.
Not at all satisfied
Product A Product B Product C
Very satisfied
Skala Pengukuran
Brand Rank
A 1
B 2
C 3
7SI 2 - Statistik Non Parametrik
3. Interval• Skala pengukuran yang bersifat membedakan,
mengurutkan dan memiliki jarak yang sama
• Tidak memiliki nilai nol mutlak.
• Contoh :
Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panasdari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skalasuhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F , seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnyatidak dua kalinya.
Skala Pengukuran
8SI 2 - Statistik Non Parametrik
SI 2 - Statistik Non Parametrik
4. Ratio
• Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan danmempunyai nilai nol mutlak.
• Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipunmenggunakan skala yang lain.
• Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapatdilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian.
• Contoh :
100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg
1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter
dll
Skala Pengukuran
9
Statistik Non Parametrik
Kelebihan statistik non parametrik
1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan
2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah
3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim
4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal)
5. Distribusi data tidak harus normal
SI 2 - Statistik Non Parametrik 10
Kekurangan statistik non parametrik
1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi
2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan
Statistik non parametrik
• Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi
• Data yang digunakan : data ordinal atau nominal
• Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal
• Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat
• Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi
• Bila penghitungan harus dilakukan secara manual
SI 2 - Statistik Non Parametrik 11
Kapan digunakan??
Langkah – langkah pemilihan metode statistik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 12
ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA
ya tidak NON PARAMETRIKPARAMETRIK
1. Apakah distribusi data diketahui?
2. Apakah data berdistribusi normal?
3. Apakah sampel ditarik secara random?
NON PARAMETRIKPARAMETRIK ya tidak
27/05/2016
3
Langkah – langkah pemilihan metode statistik - 2
SI 2 - Statistik Non Parametrik 13
ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA
NON PARAMETRIKPARAMETRIK
4. Apakah varians kelompok sama?
5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?
INTERVAL RASIO
NOMINAL ORDINAL
Langkah2 pemilihan metode statistik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 14
Parametrik Vs Non Parametrik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 15
Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik
Langkah – langkah pengujian hipotesis:
1. Menentukan formulasi hipotesis
2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel
3. Menentukan kriteria pengujian
4. Menentukan nilai uji statistik
5. Membuat kesimpulan
SI 2 - Statistik Non Parametrik 16
Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik
SI 2 - Statistik Non Parametrik 17
Uji Non Parametrik yang akan dipelajari:• Uji Tanda (Sign Test)• Uji Urutan Bertanda Wilcoxon• Uji Korelasi urutan Spearman• Uji Mann-Whitney• Uji Kruskal – Wallis (H Test)• Uji Run • Uji Median• Uji kolmogorov
Sign Test
• Used to test hypotheses on a population median
• Population mean = population median when distribution is symmetric
• In testing the 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 against an appropriate alternative, with random sample size = n, replace each sample value exceeding 𝜇0 with “+”, and each sample value exceeding 𝜇0 with “-”
• The sign test is applicable only in situations where 𝜇0cannot equal the value of any of the observations
• Binomial random variable 𝑋, representing the number of plus signs in our random sample
27/05/2016
4
Sign Test
• Test 𝐻0 that the number of “+” is a value of a random variable having the binomial distribution with 𝑝 = 1/2.
• P-values are calculated using binomial distribution
• Reject 𝐻0 if proportion of “+” is sufficiently less than ½, when the value 𝑥 of our random variable is small. 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼
Sign Test
Reject 𝐻0, jika P-value ≤ α
Sign Test
• Contoh:
Sign Test
• Contoh:
Sign Test• Contoh
Sign Test• Contoh
27/05/2016
5
Wilcoxon Signed-Rank Test
• Symmetric continuous distribution
• Subtract sample value with 𝜇0, rank it from absolute smallest to the largest one
• When there are more than one differences are the same, rank it with the average number of the differences
Wilcoxon Signed-Rank Test
• Test Procedures
Wilcoxon Signed-Rank Test
• n < 5, and level of significance ≤ 0,05 (one-tailed test), level of significance ≤ 0,01 (two-tailed test) >>> 𝑤+, 𝑤−, 𝑤 will lead to acceptance 𝐻0
• 5 ≤ n ≤ 30, check table to set critical region
Wilcoxon Signed-Rank Test
• Contoh:
Wilcoxon Signed-Rank Test
• Contoh:
Wilcoxon Signed-Rank Test
• Contoh:
27/05/2016
6
Wilcoxon Signed-Rank Test Wilcoxon Rank-Sum Test
• Testing equality of means of two continous distributions that nonnormal and samples are independent
• Take random sample, assign 𝑛1 for smaller number sample and 𝑛2 for larger one. Assigned randomly if two population have the same number of sample
• Arrange 𝑛1 + 𝑛2 observations in ascending order. If there are the identical observations value, mean the ranks
• 𝑤1= sum of ranks of 𝑛1 observations
• 𝑤2= sum of ranks of 𝑛2 observations
Wilcoxon Rank-Sum Test Wilcoxon Rank-Sum Test
• Procedures:
• Reject 𝐻0: 𝑢1, 𝑢2, 𝑢 less than or equal to the table value
Wilcoxon Rank-Sum Test
• Contoh:
Wilcoxon Rank-Sum Test
27/05/2016
7
Wilcoxon Rank-Sum Test Kruskal-Wallis Test
• Nonparametric alternative to analysis of variance
– ANOVA: testing equality of 𝑘 ≥ 2 population means, must be normal distribution when using F-statistic
– Kruskal-Wallis Test is a nonparametric procedure for testing the equality of means in the one-factor analysis of variance without normal populations assumption
• Generalization of Runk-Sum test for case 𝑘 > 2samples
Kruskal-Wallis Test
• Procedure:– Test 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘; 𝐻1: Not all means are equalCondition: samples are independent
– Steps:1. Arrange the 𝑘 samples in ascending order, and assigne the
smallest number observations as 𝑛1 and so on. Compute 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘
2. Rank all the observations inascending order. For identical observations, assign it with the mean of the ranks
3. Sum the rank of each sample, denote it by random variable 𝑅. 𝑅𝑖 is sum of ranks corresponding to the 𝑛𝑖observation in the 𝑖-th sample
Kruskal-Wallis Test
• Procedure:
– Steps:
4. Compute the 𝐻-statistic:
𝑯 =𝟏𝟐
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝒊=𝟏
𝒌𝑹𝒊
𝟐
𝒏𝒊− 𝟑(𝒏 + 𝟏)
>>> approximated very well by chi-squared distribution with 𝑑𝑓 = 𝑘 − 1
5. Critical Region:
𝑯 > 𝝌𝜶,𝒗=𝒌−𝟏𝟐
Kruskal-Wallis Test
• Contoh soal:
Kruskal-Wallis Test
• Contoh soal:
27/05/2016
8
Runs Test• Randomness Test• Run: subsequence of one or more identical symbols
representing a common property of the data• Runs test divides the data into two mutually exclusive
categories, so a sequence will always be limited to two distinct symbols
• 𝑛1: the number of symbols category that the least occurs; 𝑛2: the number of symbols belong to other category
• 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2
• Based on the random variable 𝑉• 𝑉: total number of runs that occur in the complete
sequence of experiment
Runs Test• Hipotesis:
– 𝐻0: the sequence is random– 𝐻1: the sequence is not random
• Tabel Runs Test to determine the P-value:– One tailed test:
𝑃 = 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)– Two tailed test:
𝑃 = 2𝑃(𝑉 ≤ 𝑣∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)– When 𝑣∗ is large (> 𝑛/2), use:
𝑃 = 𝑃 𝑉 ≥ 𝑣∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒= 1 − 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣∗ − 1,𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)
• Critical Region: 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼
Runs Test• Contoh Soal:
Runs Test• Contoh Soal:
Runs Test• When 𝑛1 and 𝑛2 (≥ 10 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ) is large, the
sampling distribution of 𝑉 approaches the normal distribution with mean and variance as follow:
• 𝑍 − 𝑇𝑒𝑠𝑡:
Runs Test
• Lakukan uji apakah data berikut random atau tidak:
27/05/2016
9
Kolmogorov-Smirnov Test
• Test for normality
• An alternative to the chi-squared test for distribution hypothesis test
Kolmogorov-Smirnov Test
Kolmogorov-Smirnov Test
Spearman Coefficient of Rank Correlation
Spearman Coefficient of Rank Correlation
27/05/2016
10
Spearman Coefficient of Rank Correlation
Uji Mann-Whitney (U Test)
• Disebut juga pengujian U.
• Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney
• Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukurantidak sama
• Data ordinal
SI 2 - Statistik Non Parametrik 57
• Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan
dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama.
• Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak.
Uji Mann-Whitney (U Test)
• Untuk sampel kecil
• Tahapan: Menentukan n1 dan n2.
Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan(ranking) tiap-tiap anggota
Menjumlahkan urutan masing-masing sampel
Menghitung statistik U
SI 2 - Statistik Non Parametrik 58
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 59
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 60
111
2112
)1(. R
nnnnU
222
2122
)1(. R
nnnnU
Jika sample size kecil ≤ 30
27/05/2016
11
Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 61
Uji Mann-Whitney (U Test)
Misalkan μ1 dan μ2 merupakan produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik
• 1. Hipotesis
H0 : μ1 = μ2 (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik adalah sama)
H1 : μ1 ≠ μ2 (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik tidak sama atau berbeda)
• 2. Tingkat signifikansi 5%
62SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 63
Dipakai adalah U terkecil
Tabel U /Mann-Whitney
64SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Mann-Whitney (U Test)
Latihan!!Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random
SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan
A 710 1 O 850 5
B 820 3,5 P 820 3,5
C 770 2 Q 940 8
D 920 7 R 970 9
E 880 6
R2 = 25,5R1=19,5
SI 2 - Statistik Non Parametrik 65
Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendahdibanding insinyur .
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 66
Jika sample size besar
27/05/2016
12
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 67
Contoh 2. Uji Mann-Whitney (U Test)Urutan Nilai Rank
1 25 1
2 30 2
3 50 3
4 55 4
5 65 5
6 70 7
7 70 7
8 70 7
9 75 9.5
10 75 9.5
11 78 11
12 80 12
13 85 13.5
14 85 13.5
15 88 15.5
16 88 15.5
17 90 17
18 95 18
19 98 19
20 100 20
SI 2 - Statistik Non Parametrik68
Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultasEkonomi dan ilmu komputer
Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 69
Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 70
Contoh 3. Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 71
Untuk menguji tingkat rata- rata operasi antara perusahaan 1 dan 2. Diambil sampel random n1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n2 = 12 hari pada perusahaan 2. Jumlah n1 + n2 = 22, kemudian tingkat rata-rata operasi diranking. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan 2 berturut – turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah tingkat rata-rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari perusahaan 2?
JawabMisalkan μ1 dan μ2 merupakan tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 dan 21. Hipotesis
H0 : μ1 = μ2 (tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 dan 2 adalah sama)H1 : μ1 > μ2 (tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pershn 2)
2. Nilai kritisDengan α = 0,05, diperoleh:Z0,05 = 1,64
Penyelesaian
3. Nilai hitung
Standar deviasi populasi
Nilai statistik Z sampel
SI 2 - Statistik Non Parametrik 72
4. Kesimpulan
Karena nilai statistik Zsampel = 2,01 > Z0,05 = 1,64 maka tolak H0. Ini berarti tingkat rata –rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pada tingkat rata – rata operasi perusahaan 2
27/05/2016
13
Contoh 4. Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 73
Penyelesaian
1. Hipotesis
H0 : μ1 = μ2
H1 : μ1 ≠ μ2
2. Nilai kritis
Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05 = 1,64
3. Nilai hitung
Standar deviasi populasi
SI 2 - Statistik Non Parametrik 74
𝜇𝑅1 =𝑛1(𝑛1 + 𝑛2 + 1)
2=14(14 + 11 + 1)
2= 182
𝛿𝑅 = 𝑛1𝑛2(𝑛1 + 𝑛1 + 1)
12=
(14)(11)(14+ 11 = 1)
12= 18,267
Penyelesaian
Nilai statistik Zsampel
4, Kesimpulan
Karena nilai statistik Zsampel = 1,26 < Z0,05 = 1,64 maka terima H0. Ini berarti taraf rata – rata kedua paket adalah sama
SI 2 - Statistik Non Parametrik 75
𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 =𝑅1 − 𝜇𝑅1
𝜎𝑅=205− 182
18,267= 1,26
Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0
Uji Median
76
• Untuk menguji apakah dua sampel independen berbeda mediannya.
• Kedua sampel acak yang diambil dapat memiliki besar sampel yang berbeda
SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Median
77SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Median
78SI 2 - Statistik Non Parametrik
27/05/2016
14
Uji Median
79SI 2 - Statistik Non Parametrik
Uji Median
80SI 2 - Statistik Non Parametrik
Contoh. Uji Median
81SI 2 - Statistik Non Parametrik
Penyelesaian
82SI 2 - Statistik Non Parametrik
Penyelesaian
83SI 2 - Statistik Non Parametrik
Pertemuan 14 - Persiapan
• Materi– Validitas dan Realibilitas
27/05/2016
15