Normalna raspodela

12008/2009

Normalna raspodelaNormalna raspodela

22008/2009

Raspodela kontinuirane Raspodela kontinuirane verovatnoćeverovatnoće

BinomnaBinomna

HHiipergeometripergeometrijskajska

PoissonPoisson-ova-ova

Raspodele Raspodele verovatnoćeverovatnoće

Raspodela diskretne Raspodela diskretne verovatnoćeverovatnoće

NormalNormalnana

UniformUniformnana

EEksksponenponencciijjalalnana

Raspodele verovatnoćeRaspodele verovatnoće

32008/2009

Normalna gustina raspodele verovatnoće:Normalna gustina raspodele verovatnoće:2

)(21

2

1)(

x

exf

Normalna raspodelaNormalna raspodela

srednja vrednostsrednja vrednost standardna devijacijastandardna devijacija

42008/2009

Osobine normalne raspodeleOsobine normalne raspodele

zvonastog” oblikazvonastog” oblika

simetričnasimetrična

unimodalnaunimodalna

asimptotskaasimptotska

srednja vrednost, medijana i srednja vrednost, medijana i modus su jednakimodus su jednaki

Raspodelu definišu srednja Raspodelu definišu srednja vrednostvrednost, , ii standard standardnana devidevijjaacijacija, , ..

Srednja vrednost kontroliše Srednja vrednost kontroliše centar, a standardna devijacija centar, a standardna devijacija širinuširinu

52008/2009

Osobine normalne raspodeleOsobine normalne raspodele

Standardna devijacija je Standardna devijacija je rastojanje od srednje rastojanje od srednje vrednosti do tačke gde vrednosti do tačke gde kriva menja oblik od kriva menja oblik od konkavne na dole u konkavne na dole u konkavnu na gorekonkavnu na gore

62008/2009

Mnogo normalnih raspodelaMnogo normalnih raspodela

Promenom parametaraPromenom parametara μμ ii σσ, , dobijaju se različite normalne raspodeledobijaju se različite normalne raspodele

Postoji beskonačan broj normalnih raspodelaPostoji beskonačan broj normalnih raspodela

72008/2009

Primeri podataka sa normalnom raspodelomPrimeri podataka sa normalnom raspodelom

očekivani životni vek osoba u populacijiočekivani životni vek osoba u populaciji visinavisina težinatežina IQIQ visina platavisina plata parametri vremenske prognozeparametri vremenske prognoze podaci iz proizvodnjepodaci iz proizvodnje društvenih nauka i dr.društvenih nauka i dr.

82008/2009

Standardizovano odstupanje (z-score)Standardizovano odstupanje (z-score)

Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u broju standardnih devijacijabroju standardnih devijacija

z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti podeljena sa standardnom devijacijompodeljena sa standardnom devijacijom

na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2 na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2 standardne devijacije od srednje vrednostistandardne devijacije od srednje vrednosti

AAko je -3,0 >ko je -3,0 > z-score > z-score > 33,,0 0 vrednost se smatra ekstremnomvrednost se smatra ekstremnom

Sd

xxz

92008/2009

Z-score - primerZ-score - primer

Prosečan unos proteina 77 g/dan, Sd = 8 g, N = 500Prosečan unos proteina 77 g/dan, Sd = 8 g, N = 500 Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ?Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ?

28

16

8

7793z

Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd veća od prosečnog unosa proteinaveća od prosečnog unosa proteina

Negativan z-score znači da je vrednost manja od srednje Negativan z-score znači da je vrednost manja od srednje vrednostivrednosti

102008/2009

Standardizovana normalna raspodelaStandardizovana normalna raspodela

• standardizovana normalna kriva je simetrična oko nulestandardizovana normalna kriva je simetrična oko nule• najveći deo površine ispod krive leži izmedju -3z i 3znajveći deo površine ispod krive leži izmedju -3z i 3z• površina ispod standardne normalne krive je 1površina ispod standardne normalne krive je 1• krajevi krive se asimptotski približavaju x-osikrajevi krive se asimptotski približavaju x-osi

standardizovana standardizovana normalna krivanormalna kriva

• z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću 0 0 ii standardstandardnomnom devi devijjaacciijjoomm 1 1

• standardstandardizovanaizovana normal normalnana raspodelaraspodela

= 0 = 1

≠ 0 ≠ 1

112008/2009

PrimerPrimer

Ako je varijabla x normalno distribuirana sa Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom srednjom vrednošću vrednošću μμ = = 55 i i standardnom devijacijom standardnom devijacijom σσ = = 22, z , z vrednost za vrednost za x = 6,2x = 6,2 je je

Ovo znači da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 Ovo znači da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 standardnih devijacija standardnih devijacija ((0,60,6 in inkkremenremenaattaa o odd 22 jedinicejedinice) ) iznad srednje vrednostiiznad srednje vrednosti

6,02

52,6xz

122008/2009

PrimerPrimer

6,02

52,6xz

NormalNormalna raspodelana raspodela StandardizStandardizovanaovana nnormalormalna raspodelana raspodela

6,2 x 0,6

σσ = 2 = 2 σσzz = 1 = 1

μμ = 5 = 5 μμzz = 0 = 0

z

132008/2009

PrimerPrimer

25,12

55,7xz25,1

2

55,2xz

Normalna raspodela StandardizStandardizovanaovana nnormalormalna raspodelana raspodela

xx zz

σσ = 2 = 2 σσzz = 1 = 1

μμ = 5 = 5 μμzz = 0 = 0

2,52,5 7,57,5 -1,25-1,25 1,251,25

142008/2009

Nalaženje verovatnoćeNalaženje verovatnoće

Verovatnoća je Verovatnoća je površina ispod površina ispod krivekrive!!

cc dd xx

ff((xx))

?P c X d

152008/2009

Verovatnoća kao površina ispod kriveVerovatnoća kao površina ispod krive

Ukupna površina ispod krive jeUkupna površina ispod krive je 1 1,,00

Raspodela je simetričnaRaspodela je simetrična

f(f(xx))

xxμμ

00,,5500,,55

1,0)xP(

0,5)xP(μ 0,5μ)xP(

162008/2009

Tabela standardizovane normalne raspodeleTabela standardizovane normalne raspodele

Tablica standardizovane normalne raspodele daje Tablica standardizovane normalne raspodele daje verovatnoću, odnosno površinu za vrednosti verovatnoću, odnosno površinu za vrednosti manje odmanje od željene vrednosti z (od - željene vrednosti z (od - ∞ do z)∞ do z)

primerprimer: :

P(P(zz < 2 < 2,,00) = 000) = 0,,97729772 0.97720.9772

z0 22,,0000

172008/2009

Tabela standardne normalne raspodeleTabela standardne normalne raspodele

Verovatnoća/površinaVerovatnoća/površina za za vrednosti manje z manje od vrednosti manje z manje od željene vrednosti zželjene vrednosti z

0,0,97729772

2.0P(P(zz < 2 < 2,,00) = 000) = 0,,97729772

U U redovimaredovima su su vrednosti z do prvog vrednosti z do prvog decimalnog mestadecimalnog mesta

U U kolonamakolonama su vrednosti z na su vrednosti z na drugom decimalnom mestudrugom decimalnom mestu

22,,00

.

.

.

Z 0Z 0,,00 000 0,,01 001 0,,02 …02 …

00,,00

00,,11

182008/2009

Procedura za određivanje verovatnoćeProcedura za određivanje verovatnoće

Za određivanje Za određivanje P(P(xx < b) < b) kada je varijabla x normalno kada je varijabla x normalno distribuirana:distribuirana: varijabla x se prevede u zvarijabla x se prevede u z koristi se tabela standardne normalne raspodele koristi se tabela standardne normalne raspodele

8,6

xx

88,,00

Primer:Primer:

Odrediti P(x < 8,6), ako je varijabla Odrediti P(x < 8,6), ako je varijabla x normalno distribuirana sa x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5standardnom devijacijom 2,5

192008/2009

Određivanje verovatnoće levo od z - PrimerOdređivanje verovatnoće levo od z - Primer

Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. standardnom devijacijom 2,5. Ako je potrebno 8,6 poena da se ispit položi, koji Ako je potrebno 8,6 poena da se ispit položi, koji

procenat studenata nije položio ispit?procenat studenata nije položio ispit? Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj

studenata nije položio ispit?studenata nije položio ispit?

1. Izračunati vrednost z1. Izračunati vrednost z 2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima 3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta

202008/2009

Određivanje površine za z < 0,64Određivanje površine za z < 0,64

0,642,5

8,08,6

σ

μxz

zz

00,64,64 00

xx

88,,66 88

μμ = 8 = 8 σσ = = 2,52,5

μμ = 0= 0σσ = 1 = 1

P(P(xx < 8 < 8,,6)6) P(P(zz < 0 < 0,64,64))

212008/2009

Površina za zPovršina za z << 0 0,64,64))

0,73890,7389

zz

00,64,64

0,00

P(P(xx < 8 < 8,,6)6) ) = ) = P(P(zz < 0 < 0,64,64)) = = 0,73890,7389

ZZ ,,0000 ........

00,,00 0,0,50005000 ........ 0,0,50805080

0,0,53985398 ........

........ ........ ........ ........

00,6,6 0,72570,7257 ........ 0,73890,7389

,,0044

00,,11 0,0,54785478

Tabela standardizovane Tabela standardizovane normalne raspodelenormalne raspodele

73,89% studenata ima manje od 8,6 poena73,89% studenata ima manje od 8,6 poena

185 (250 x 0,7389) studenata ima manje od 8,6 poena 185 (250 x 0,7389) studenata ima manje od 8,6 poena

222008/2009

Površina i.e. verovatnoća Površina i.e. verovatnoća

Koja je verovatnoća da student ima tačno Koja je verovatnoća da student ima tačno

8,6 poena?8,6 poena?

P(P(xx == 8 8,,6)6) ) = ) = P(P(zz == 0 0,64,64)) = = 00

232008/2009

Određivanje površine desno od zOdređivanje površine desno od z

Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijomvrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,52,5. .

OdreditiOdrediti P(P(xx >> 8 8,,6)6)

xx

88,,66

88,,00

242008/2009

P(P(xx > 8 > 8,,6) = P(6) = P(zz > 0 > 0,64,64) ) = = 11,,0 – 0 – PP((zz ≤≤ 0 0,64,64)) == 11,,0 – 00 – 0,7389,7389 = 0 = 0,2611,2611

Određivanje verovatnoće desno od zOdređivanje verovatnoće desno od z

Z

00,64,64 00

Z

00,64,64

00,7389,7389

00

11,,000000 11,,0 – 00 – 0,7389,7389 = = 0,26110,2611

26,11% studenata ima više od 8,6 poena26,11% studenata ima više od 8,6 poena

65 (250 x 0,2611) studenata ima više od 8,6 poena 65 (250 x 0,2611) studenata ima više od 8,6 poena

252008/2009

Određivanje površine između dve vrednosti zOdređivanje površine između dve vrednosti z

P(8 < P(8 < xx < 8 < 8,,6)6)

= P(0 < = P(0 < zz < 0 < 0,64,64))

02,5

88

σ

μxz

0,642,5

88,6

σ

μxz

Izračunati vrednost z Izračunati vrednost z :


OdreditiOdrediti P(P(8,0 < x8,0 < x << 8 8,,6)6)

zz00,64,64 00

x88,,66 88

262008/2009

RešenjeRešenje: : OdređivanjeOdređivanje P(0 < P(0 < zz < 0 < 0,,12)12)

P(8 < X < 8.6)P(8 < X < 8.6) = P(0 < z < 0,64) = = P(0 < z < 0,64) =

= P(z < 0,64) – P(z = P(z < 0,64) – P(z ≤ 0) =≤ 0) =

= 0,7389 – 0,500 = = 0,7389 – 0,500 = 0,23890,2389

zz

00,64,64

00,2389,2389

00,,0000

00,,50005000

ZZ ,,0000 ........

00,,00 0,0,50005000 ........ 0,0,50805080

0,0,53985398 ........

........ ........ ........ ........

00,6,6 0,72570,7257 ........ 0,73890,7389

,,0044

00,,11 0,0,54785478

Tabela standardizovane Tabela standardizovane normalne raspodelenormalne raspodele

272008/2009

Važne površine ispod kriveVažne površine ispod krive

Površina između -1z i +1z = 0,6826 = 68,3%Površina između -1z i +1z = 0,6826 = 68,3%

Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -1z i +1z : Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -1z i +1z :

P = 0,6826 = 68,3%P = 0,6826 = 68,3%

282008/2009


U rasponu U rasponu μμ ± 1 ± 1σσ jeje

6868,3,3% % površine ispod krivepovršine ispod krive

68,3% svih vrednosti68,3% svih vrednosti

f(f(xx))

xxμμ μμ+1+1σσμμ-1-1σσ

σσσσ

6868,26,26%%

292008/2009


Površina između -2z i +2z = Površina između -2z i +2z = 0,9544 = 95,4%0,9544 = 95,4%

Verovatnoća da se varijabla x Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -2z i +2z : nađe u granicama -2z i +2z : P = 0,9544 = 95,4%P = 0,9544 = 95,4%

Površina između -3z i +3z = Površina između -3z i +3z = 0,9974 = 99,7%0,9974 = 99,7%

Verovatnoća da se varijabla x Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -3z i +3z : nađe u granicama -3z i +3z : P = 0,9974 = 99,7%P = 0,9974 = 99,7%

302008/2009


xxμ

22σσ 22σσ

95.44%95.44%

μμ++22σσμμ--22σσxx

μ

33σσ 33σσ

99.73%99.73%

μμ--33σσ μμ++33σσ

U rasponu U rasponu μμ ± ± 22σσ jeje



U rasponu U rasponu μμ ± ± 33σσ jeje



312008/2009

Određivanje vrednosti x iz poznate verovatnoćeOdređivanje vrednosti x iz poznate verovatnoće:: pronaći vrednost z za poznatu verovatnoću pronaći vrednost z za poznatu verovatnoću

(površinu)(površinu) konvertovati vrednost z u vrednost xkonvertovati vrednost z u vrednost x

Određivanje vrednosti x iz verovatnoćeOdređivanje vrednosti x iz verovatnoće

zSdx x

zσμx

322008/2009


xx?88,,00

00,,20002000

Z? 0


OdreditiOdrediti vrednost x tako da je vrednost x tako da je 20% svih vrednosti20% svih vrednosti manje manje od x (P = 0,2)od x (P = 0,2)

332008/2009


Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. standardnom devijacijom 2,5. Koji je granični broj poena koji ima 20% studenata sa Koji je granični broj poena koji ima 20% studenata sa

najmanjim brojem poena?najmanjim brojem poena?

1. Izračunati vrednost z iz date verovatnoće/površine1. Izračunati vrednost z iz date verovatnoće/površine 2. Izračunati vrednost x2. Izračunati vrednost x

342008/2009

Nalaženje vrednosti z iz tabeleNalaženje vrednosti z iz tabele

20% 20% površine (P = 0,2) u površine (P = 0,2) u levom delu raspodele levom delu raspodele odgovara vrednosti odgovara vrednosti z = - 0,84z = - 0,84

ZZ ,,0303

-0.9-0.9 ,,17621762 ,,17361736

,,20332033

-0.7-0.7 ,,23272327 ,,22962296

,,0404

-0.8-0.8 ,,20052005

Tabela standardizovane normalne Tabela standardizovane normalne raspodeleraspodele

,,0505

,,17111711

,,19771977

,,22662266

……

……

……

……

xx? 8.08.0

00,,20002000

Z-0-0,,8484 0

1. 1. Pronalaženje vrednost Pronalaženje vrednost zz za poznatu verovatnoću za poznatu verovatnoću

352008/2009

2. 2. Konvertovanje vrednosti Konvertovanje vrednosti zz u vrednost u vrednost xx

Određivanje vrednosti xOdređivanje vrednosti x

9,55,2)84,0(0,8 zSdxx

U raspodeli sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom U raspodeli sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5 , 20% vrednosti je manje od 5,9devijacijom 2,5 , 20% vrednosti je manje od 5,9

20% studenata ima manje od 5,9 poena20% studenata ima manje od 5,9 poena

362008/2009

Domaći zadatakDomaći zadatak

Prosečna težina beba rođenih u jednoj bolnici je 3,25 kg sa Prosečna težina beba rođenih u jednoj bolnici je 3,25 kg sa standardnom devijacijom od 0,75 kg. Raspodela težina 10000 beba standardnom devijacijom od 0,75 kg. Raspodela težina 10000 beba rođenih tokom 10 godina u toj bolnici je normalna. Izračunati sledeće:rođenih tokom 10 godina u toj bolnici je normalna. Izračunati sledeće:

a.a. Verovatnoću da se u toj bolnici rodi beba koja ima težinu između 3 i Verovatnoću da se u toj bolnici rodi beba koja ima težinu između 3 i 3,5 kg?3,5 kg?

b.b. Koji procenat beba ima težinu najmanje 4 kg?Koji procenat beba ima težinu najmanje 4 kg?

c.c. Koliko je dečaka rođeno sa težinom najmanje 3.5 kg? (računati kao Koliko je dečaka rođeno sa težinom najmanje 3.5 kg? (računati kao da je rođen podjednak broj dečaka i devojčica)da je rođen podjednak broj dečaka i devojčica)

d.d. Bebe sa malom težinom zahtevaju specijalnu negu. Ako je bolnica Bebe sa malom težinom zahtevaju specijalnu negu. Ako je bolnica definisala kao kritično malu težine u prvom kvintilu, izračunati koja je definisala kao kritično malu težine u prvom kvintilu, izračunati koja je maksimalna težina na rođenju koja će bebu kvalifikovati za specijalnu maksimalna težina na rođenju koja će bebu kvalifikovati za specijalnu negu (inkubator i sl.)negu (inkubator i sl.)

Documents

Normalna raspodela