Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia

Nosné stavební konstrukce

Výpočet reakcí

• Prut(geometrický popis, vnější vazby, nehybnost, silové zatížení, složky reakcí)

• Reálné zatížení nosných stavebních konstrukcí

6

Nosná stavební konstrukce

Nosná stavební konstrukce slouží k přenosu zatížení objektu do horninového masívu, na němž je objekt založen. Musí mít dostatečnou únosnost a dlouhodobou použitelnost (blíže předmět Pružnost a plasticita).

Kongresové centrum, Brno

Skládá se z horní konstrukce a ze základové konstrukce

7

Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvaru

1 . Prutový konstrukční prvek (prut) – délka je výrazně větší než dva příčnérozměry, idealizace dokonale tuhou čarou (přímá nebo zakřivená)

Konstrukce je obecně složena z konstrukčních prvků:

2 . Plošný konstrukční prvek – tloušťka je výrazně menší než zbývající dvarozměry, idealizace rovinným nebo prostorově zakřiveným obrazcem.

3 . Masivní trojrozměrný konstrukční prvek

Dělí se na stěny (zatížení ve vlastní rovině), desky (zatížení kolmok rovině) a skořepiny (zakřivený plošný prvek).

Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zpravidla je tvořena několika konstrukčními prvky – soustavakonstrukčních prvků.

Nosná konstrukce z lepeného lamelového dřeva, soustava prutových prvků a desky, Lahti, Finsko,

foto: Ing. Antonín Lokaj, Ph.D.

8

Zatížení nosné konstrukce

Rozdělení zatížení:

a) silové - vnější síly a momentyb) deformační - oteplení, sedání, poddolování

a) statické - velikost, směr a umístění sil se v čase nemění,např. zatížení obytných budov

b) dynamické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohynebo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, např. zatížení mostů jedoucími vozidly

a) deterministické - vlastnosti jednoznačně vymezeny normou,např. měrné tíhy staviv

b) stochastické (pravděpodobnostní přístup) – velikost zatížení nenípředepsáno jednou hodnotou, nýbrž pravděpodobnostní funkcí

9

Příklad stropní konstrukce

Stropní konstrukce výzkumného energetického centra VŠB-TU Ostrava

10

Základní pojmy:

+z

+y +x

a b

l

h

d

F2

F1=2F

FF

12

Rovina souměrnosti prutu

Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice(přímý i zakřivený prut)

P1 P2

1 2

Raz Rbz

Rax

a b

l

Statické schéma –statický model nosné konstrukce

Těžiště průřezu

Prut - geometrický popis prutu, idealizace

1,0,

≅l

dh

Průřez prutu

Prut rovinně nebo prostorově lomený.

11

Idealizované silové zatížení prutů

Bodové momentyObr. 6.11. / str. 81

Bodová zatíženíObr. 6.10. / str. 81

(a)

(b)

(c) (b)

(a)

Bodová síla F (P)[kN], [N]

Bodový moment M[kNm], [Nm]

a) kroutícíb) ohýbající

Nejčastěji vzniká při přeložení excentrické síly do působiště na ose prutu (obr.6.10.c)

12

Liniová zatížení

Příklad příčného silového

liniového zatížení nosníkuObr. 6.12. / str. 82

Silové liniové zatížení – příčné p

[kN/m], [N/m]

Příklady:

• tíha zděné příčky působící na stropnínosník

• nahodilé zatížení stropu [kN/m2]soustředěné na nosník formousběrného pásu

13

• volný hmotný bod v rovině: nv=2

(posun v obecném směru rozložen do 2 kolmých směrů – osy souřadného systému)

• volný tuhý prut (deska) v rovině:nv=3 (posun ve dvou osách a pootočení)

• volný hmotný bod v prostoru:nv=3 (posun rozložen do tří os)

• tuhé těleso v prostoru: nv=6 ( obecný posun a pootočení)

Pohybové možnosti volných hmotných objektů

+x

+z

m[xm,zm]

x’

z’

γ

Stupeň volnosti nv : možnost vykonat jednu složku posunu v ose souřadného systému nebo pootočení.

14

Vnější vazby reakcemi odebírají objektu stupně volnosti.

Název vazby Násobnost vazby Označení vazby a reakce

Kyvný prut

Posuvná kloubová podpora

Pevný kloubová podpora

Posuvné vetknutí

Dokonalé vetknutí

Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině

n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti.

Raz

Raz

Raz

Rax

Raz

Rax

Ma

Raz

Ma

1

2

2

3

1

nebo

nebo

Raz

Raz

Rax

15

Zajištění nehybnosti prutu

K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti nv . (v rovině 3°volnosti)

v = nvPodepření objektu je kinematicky určité, zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební konstrukce.

v < nvPodepření objektu je kinematicky neurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební konstrukce nepřípustná (nedostatečný počet vazeb).

v > nvPodepření objektu je kinematicky přeurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako stavební konstrukce(větší počet vazeb než je nezbytně nutné).

Vazby (reakce v podporách) musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případkinematicky určité nebo přeurčité konstrukce.

16

321 .3.2 aaav ++=

a1 ... počet jednonásobných vazeb

a2 ... počet dvojnásobných vazeb

a3 ... počet trojnásobných vazeb

nv = v

nv < v

nv > v

staticky i kinematicky určitá soustava

staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava

staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

Stupeň statické neurčitosti nosníku v rovině

3=vn

Stupeň statické neurčitosti s = v - nv

v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku nv ... počet stupňů volnostinosníku v rovině

17

Kinematicky i staticky určitá konstrukce

Podepření objektu je kinematicky určité

Raz

Rax

a

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1P2

MayP1

P2

v = nv

v = 3, nv = 3Prut je staticky určitý(3 složky reakcí určíme ze 3 podmínek rovnováhy)

Prostý nosník:

Konzola:

Podmínka rovnováhy může být silová nebo momentová a splněním této rovnice je zajištěna nehybnost objektu proti posunutí či pootočení. V rovině jsou 3 nezávislé podmínky rovnováhy a jejich splněním jsou zatížení a reakce v podporách v rovnováze. Podmínky rovnováhy v rovině xz :

Fi,x = 0 (silová) Fi,z = 0 (silová) ∑ Mi = 0 (momentová)

18

Kinematicky přeurčitá, staticky neurčitá konstrukce

kinematicky přeurčité, staticky neurčité podepření

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

Rbx

Rbz

Rbx

Mby

b

v > nv

v = 4

nv = 3

s = 1

v = 6

nv = 3

s = 3

Stupeň statické neurčitosti: s = v - nv

Neznámých reakcí je více než podmínek rovnováhy, k jejich vyřešení je zapotřebí další rovnice – deformační podmínky, předmět SSK1.

19

Kinematicky neurčitá konstrukce

b

Rbz

a

Raz

P1 P2

Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení

Ve stavební praxi nepoužitelné.

kinematicky neurčité podepřenív < nv

20

Výjimkové případy podepření

Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkové případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.

b Rbxa

Raz

Rax

P1 P2

P1 P2

c

Rcz

a

Raz Rbz

b

Determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.

21

Výpočet reakcístaticky určitě podepřený nosník – vazbami zrušeny právě jeho 3 stupně

volnosti a zatížený nosník je v rovnovázevazby (= reakce = rovnovážné síly nebo momenty) jsou jednoznačně dány

typem podpory a místem uložením nosníku

Výpočet reakcí:• odhadnout směr reakcí podle zatížení a zakreslit je do obrázku• sestavit 3 podmínky rovnováhy (v každé rovnici jen jedna neznámá reakce)• sestavit 4.kontrolní rovnici

=Rax a b

Raz Rbz

Rax a b

Raz Rbz

Rax a b

Raz

Ma

22

1) konzola

3 podmínky rovnováhy1. ∑ Fix = 0 (silová) Rax

2. ∑ Fiz = 0 (silová) Raz

3. ∑ Mia = 0 (momentová) Ma

4.kontrolní rovnice 4. Kontrola: ∑ Mib = 0 (momentová)

Rax a b

Raz

Ma

Pokud reakce vyjde záporná, směr působeníopačný než předpoklad, do dalších výpočtůpřekreslit nosník a reakce ve správném směrus kladnými hodnotami.

a b

+

23

=Rax a b

Raz Rbz

Rax a b

Raz Rbz

2) prosté podepření nosníku

3 podmínky rovnováhy1. ∑ Fi,x = 0 (silová) Rax

2. ∑ Mi,a = 0 (momentová) Rbz

3. ∑ Mi,b = 0 (momentová) Raz

4.kontrolní rovnice Kontrola: ∑ Fi,z = 0 (silová)

=a b a b

+

24

Rax - Px = 0 Rax = 6,36kN ( )

- Raz + Pz = 0 Raz = 6,36kN ( )

Ma – Pz .5 = 0 Ma = 31,82kNm ( )

Ma – Raz . 5 = 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Rax

a b

Raz

Ma45°

P = 9kN

Pz

Px

5

Px = Pz = 6,36kN

Příklad 1: KONZOLA

+

Snaha odhadnout směr reakcí

25

Příklad 2: PROSTÝ NOSNÍK

0F x,i =∑

0F z,i =∑

3 3

P =6kN

Snaha odhadnout směr reakcí

Rbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

0M a,i =∑

0M b,i =∑

Po dosazení:

Rbx

RbzRaz

P

=

Rbx = 0kN

Rbz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.

Raz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.

26

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

l = 6m

Snaha odhadnout směr reakcíRbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Kontrola:

M=12kNm

Příklad 3: PROSTÝ NOSNÍK

+

Rbx = 0

-M + 6.Rbz = 0 Rbz = 2 kN ( ) skut. směr

-M + 6.Raz = 0 Raz = 2kN ( ) skut. směr

Raz - Rbz = 0

27

Příklad 4: PROSTÝ NOSNÍK – superpozice předešlých úloh

3 3

P=6kN

Rbz,P = 3kNRaz,P = 3kN

a b

M=12kNm

Rbz,M = 2kNRaz,M = 2kN

3 3

P=6kN

Rbz,cel = 5kNRaz,cel =1kN

a b

M=12kNm

=

28

0F x,i =∑

0F z,i =∑

3 3

P=6kN Rbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

0M a,i =∑

0M b,i =∑Kontrola:

M=12kNm

Rbx = 0kN

Rbz = 5kN ( ) skut.směr

Raz = 1kN ( ) skut.směr

Příklad 5: PROSTÝ NOSNÍK – doma – doplňte podmínky rovnováhy a vyřešte reakce

+

29

Rax - Px = 0 Rax = 60,62 kN ( ) skut. směr

-2.Pz + 6.Rbz = 0 Rbz = 11,67 kN ( ) skut. směr

4.Pz - 6.Raz = 0 Raz = 23,33kN ( ) skut. směr

- Raz - Rbz + Pz = 0

Px = 60,62 kNPz = 35 kN

a bc

Rax

Raz Rbz

P = 70 kN

Px

Pz

2 46

60° 60°

Px

Pz

P

γ

γ

cos

sin

⋅=

⋅=

PP

PP

z

x

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 6: PROSTÝ NOSNÍK

+

30

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

• Zatížení nosných stavebních konstrukcí

• Zajištění nehybnosti prutu, kinematická a statická určitost, neurčitost, přeurčitost, stupeň statické neurčitosti

• Typy podpor, složky reakcí ve vnějších vazbách

• Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů