r = 3 m

Q

8 volts

6 volts

12 volts

NOTAS SOBRE: POTENCIAL ELÉCTRICO 2

Odón Sánchez (enero 2013)

1. Recuerde que una partícula de carga ‘Q’ produce un potencial eléctrico dado por la ecuación:

V= 14π εo

Qr , un caso particular se muestra en la

Figura que se encuentra a la derecha. Observe como el potencial eléctrico disminuye conforme ‘r’ aumenta, de hecho disminuye con el inverso de la distancia (no con el inverso del cuadrado de la distancia, esto último es para el campo eléctrico). Nota: la Figura NO está a escala.

Observe también que una carga prueba positiva liberada del reposo, digamos por ejemplo en un punto en donde el potencial es de 8 volts ‘cae’ en forma natural hasta un punto en donde el potencial es cero, es decir, en infinito. Es muy importante que entienda que cuando decimos que el potencial en r = 3 m es de 8 volts, nos referimos a que la diferencia de potencial entre un punto localizado en r = 3 m y otro punto localizado en r = ∞ es de 8 volts, recuerde que el potencial eléctrico se mide con un voltímetro y este exige la medición entre DOS puntos (por eso tiene dos alambre con dos puntas, uno rojo y el otro negro).

2. Veamos ahora el caso de una esfera sólida metálica de radio ‘R’. El campo eléctrico en el interior de la misma vale cero y en el exterior este decae con el inverso del cuadrado de la distancia. Calculemos ahora el potencial eléctrico para tres casos:

Caso (a), r > R. El cálculo del potencial en un punto ‘r’ afuera de la esfera sólida lo podemos calcular partiendo de la definición de potencial eléctrico;

V A−V B=−∫B

A

E⃗ ∙ d L⃗

V r−V ∞=−∫∞

r

E⃗ ∙ d L⃗

V−0=−∫∞

r1

4 π ε o

Qr2 r̂ ∙ d L⃗

V=−∫∞

r1

4π εo

Qr2 dr

V=1

4π εo [Qr |r=rr=∞ ]

V= 14π εo

Qr

( para r>R)

Nótese que el potencial afuera de la esfera sólida es igual al de una partícula puntual de carga ‘Q’.

Caso (b), r = R. El cálculo del potencial en un punto ‘r’ sobre la superficie de la esfera sólida lo podemos calcular partiendo de la definición de potencial eléctrico;

V A−V B=−∫B

A

E⃗ ∙ d L⃗

V R−V ∞=−∫∞

r=R

E⃗ ∙ d L⃗

V−0=−∫∞

r=R1

4π εo

Qr2 r̂ ∙ d L⃗

V=−∫∞

r=R1

4 π εo

Qr2 dr

V=1

4π εo [Qr |r=Rr=∞ ]V= 1

4π εo

QR

( para r=R)

Nótese que el potencial eléctrico sobre la superficie de la esfera metálica es constante, es decir la superficie de la esfera de metal es una esfera equipotencial.

Caso (c), r < R. El cálculo del potencial en un punto ‘r’ adentro de la esfera sólida lo podemos calcular partiendo de la definición de potencial eléctrico;

V A−V B=−∫B

A

E⃗ ∙ d L⃗

V r−V ∞=−∫∞

r=R

E⃗afuera ∙ d L⃗−∫r=R

r=r

E⃗adentro ∙d L⃗

V−0=−∫∞

r=R1

4π εo

Qr2 r̂ ∙ d L⃗−¿ ∫

r=R

r=r

0 r̂ ∙ d L⃗¿

V=−∫∞

r=R1

4 π εo

Qr2 dr−∫

r=R

r=r

0 dr

V= 14π εo

QR

( para r<R)

rr = R

V

rr = R

B

B

A

Figura (1) Figura (2)

A

Nótese que el potencial eléctrico en cualesquier punto adentro de la esfera es constante e igual al potencial eléctrico sobre la superficie de la esfera. Gráficamente el campo eléctrico y el potencial eléctrico pueden ser bosquejados de la siguiente manera;

Observe que adentro de la esfera la magnitud del campo eléctrico vale cero y afuera este decrece con el inverso del cuadrado de la distancia. Para el potencial eléctrico este tiene un valor constante adentro de la esfera, mientras que afuera decrece con el inverso de la distancia;

¿Por qué el campo eléctrico adentro de la esfera vale cero? (este hecho lo utilizamos en nuestros pasados cálculos). Considere ahora DOS puntos, sean estos ‘A’ y ‘B’ localizados sobre la superficie de

la esfera. Observe que V A=V B , por lo tanto, V A−V B=0. Imagine ahora una trayectoria arbitraria

que va del punto ‘B’ al punto ‘A’ (ver Figura 1), note que debido a que V A−V B=−∫B

A

E⃗ ∙ d L⃗, entonces

E⃗ tiene que ser igual a CERO. Esto puede aplicarse a un objeto metálico amorfo (no tiene que ser una

esfera, ver Figura 2). Entonces en condiciones electrostáticas el campo eléctrico adentro de un conductor tiene que ser igual a CERO.

De hecho el objeto metálico amorfo puede estar hueco y el campo eléctrico en el interior seguiría siendo cero, o sea que usted podría colocarse en el interior de una manera protegida (al respecto de eventos eléctricos en el exterior), a esto último se le conoce como Jaula de Faraday, y por supuesto, tiene muchas aplicaciones prácticas.

El siguiente punto importante es notar que en condiciones NO electrostáticas (o sea en electrodinámica) el campo eléctrico en el interior de un conductor NO necesariamente vale cero. Así por ejemplo en el interior de un cable metálico que transporta corriente eléctrica existe un campo eléctrico que precisamente es el responsable de hacer que exista esta corriente eléctrica (capítulo 19 del texto).