Notas de clase 2012

3. Axiomas de congruencia

Es posible establecer la comparación entre segmentos, ángulos y polígonos para definir conceptos más generales como longitud de segmentos, medida angular, perímetro de polígonos y áreas de figuras planas. Inicialmente plantearemos los axiomas de congruencia de segmentos y de ángulos.

Axioma C.1: Dados dos puntos A y B, contenidos en una rectal. Si A' es un punto de l o de otra recta l', siempre es posible encontrar un punto B' en l o en l', de tal forma que AB sea congruente con A ' B' . Se simboliza por: AB≅ A ' B '.

Axioma C.2: Dos segmentos congruentes con un tercero, son congruentes entre sí. Es decir, si A ' B' ≅ AB y A ' ' B ' ' ≅ AB entonces A ' B' ≅ A ' ' B ' ' .

Axioma C.3: Sean AB y BC segmentos de una recta l tal que A−B−C y A ' B' y B' C ' segmentos de la misma recta l o de otra recta l', tal que A'−B '−C '. Si:AB≅ A ' B '.yBC ≅ B' C '.entonces AC ≅ A ' C ' .

3.1 Implicaciones de los axiomas de congruencia de segmentos

Para cualquier segmento AB se satisface la congruencia, AB≅ BA , pues la definición de segmento no hace diferencia en la posición o el orden de los puntos de la recta.

Teorema C.1: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia.

Hipótesis: Sea R la relación de congruencia entre segmentos.

Tesis: R es una relación de equivalencia.

Demostración:

Se debe probar que la relación, R, es de congruencia es reflexiva, simétrica y transitiva.

R es reflexiva:

Sea AB un segmento en una recta l y sea C un punto en l o en otra recta. Por el axioma C.1, existe un punto D en una de las semirrectas determinadas por C en ltal que AB≅ CD

Si AB≅ CD y AB≅ CD, entonces por el axioma C.2 se tiene que AB≅ AB

R es simétrica:

Sean AB≅ A ' B '.

Por la propiedad reflexiva se tiene que A ' B' ≅ A ' B '. Si A ' B' ≅ A ' B ' y AB≅ A ' B ', entonces por el axioma C.2 se tiene que A' B ' ≅ AB.

1

Notas de clase 2012

R es transitiva:

Sean AB≅ CD y CD≅ EF .

Si CD≅ EF, entonces por la propiedad simétrica se cumple que Si EF ≅CD, Si AB≅ CD y EF ≅CD, entonces por el axioma C.2 AB≅ EF .

3.2 Longitud de Segmentos

Las propiedades de la congruencia de segmentos (reflexiva, simétrica y transitiva) permiten definir una característica común a todos los segmentos congruentes, denominada longitud de un segmento.

Definición C.1: Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad común que satisfacen todos los segmentos congruentes con AB

Es decir, si los segmentos AB,CD,EF, … son congruentes entre sí, entonces satisfacen la propiedad “tener la misma longitud” y recíprocamente si los segmentos AB,CD, EF ,… tienen la misma longitud, son congruentes entre sí. Se establece una equivalencia entre la relación “ser congruente” y “ tener la misma longitud” entre segmentos. Es decir , AB,CD,EF, son congruentes si y solo si tienen la misma longitud.

Lo anterior hace necesario establecer la siguiente definición:

Definición C.2: Dada una recta l, existe una correspondencia entre los números reales y los puntos de l de manera que:

1. A cada punto de l le corresponde exactamente un número real.2. A cada número real le corresponde exactamente un punto del. El número asociado con un

punto se llama coordenada del punto. A la recta l se le llama Recta Numérica1.

Definición C.3: Si A y B son puntos de una rectal, con coordenadas x y yrespectivamente; la distancia entre A y B, simbolizada por d(A, B) o AB, se define como d ( AB )=AB=|x− y| .

Nota: El valor absoluto de un número real n, se designa por |n| y se define como:|n| =n, para todo n≥0 y |n| =−n para todo n<0.|x− y|=|y−x|.

Definición C.4: La longitud de un segmento AB se define como la distancia entre A y B.

Definición C.5: Dados los puntos O, N, M, cualesquiera de una rectal. El punto N, está entre O y M si y sólo si d (O , N )+¿ d ( N , M )=d (O , M ).

1 Para construir la recta numérica se eligen, arbitrariamente, dos puntos de una rectal: uno correspondiente al origen y el otro correspondiente al número uno llamado punto unitario. Si consideramos la distancia entre el origen y el punto unitario como unidad de distancia, es posible localizar el punto que representa cualquier número entero dado.

2

Notas de clase 2012

Definición C.6: Si dos segmentos tienen la misma longitud se dice que son congruentes.

Las propiedades de la longitud de segmentos se infieren directamente de las propiedades de la congruencia de segmentos.

Por la propiedad reflexiva: AB=BA Por la propiedad simétrica: SiAB=CD, entonces CD=AB. Por la transitividad: Si AB=CD y CD¿ EF, entonces AB=EF. Si A – C – B, E – D – F, AC=ED y CB=DF , entonces AB=EF.

Una vez definida la longitud de segmentos se puede precisar que la suma de las longitudes de los segmentos, dado que segmentos congruentes tienen la misma longitud y segmentos que tienen la misma longitud, son congruentes.

Definición C.7: Sean los puntos A, B y C tales que A – C – B, la suma de las longitudes de los segmentos AC y CB se define como: AB=AC+CB o d ( A , B )=¿ d ( A ,C )+d (C , B ).

Definición C.8: El punto M biseca a AB si y sólo si M está entre A y B y AM=MB. M se llama punto bisector o punto medio de AB.

A

B

M

Figura 1

Teorema C.2: Si los puntos extremos del segmento AB tienen las coordenadas xy y, entonces

existe un punto medio único que tiene la coordenada x+ y

2

Demostración (Ejercicio).

Se debe probar que la coordenada del punto medio es x+ y

2 , que efectivamente es ese el punto

medio y que además es único.

Teorema C.3. Dados dos segmentos arbitrarios AB y CD, una y sólo una de las tres relaciones siguientes se satisface: AB=CD , AB>CD, AB<CD,

3

Notas de clase 2012

3.2Axiomas de congruencia de ángulos

Axioma C.4: Dados un ángulo ∡CAB en un plano α y una recta l en un plano α ' o en el mismo planoα . Si A ' B ' es una semirrecta de l , existe en uno de los semiplanos determinados por l una y sólo una semirrecta A ' C ' en α oα ' , tal que ∡C ' A ' B ' ≅∡CAB y a la vez todos los puntos interiores de ∡C ' A ' B ' se encuentran en el semiplano prefijado respecto a la rectal.

Figura 2

Axioma C.5: Si los triángulos Δ ABC y Δ A ' B ' C ' verifican las congruencias AB≅ A ' B' , AC ≅ A' C ' , y ∡ BAC≅∡ B ' A ' C ', entonces ∡ ABC≅∡ A ' B ' C ' .

Figura 3

4

Notas de clase 2012

El axioma C.4 hace posible que dos ángulos adyacentes sean congruentes y esta posibilidad determina los ángulos rectos.

Definición C.9. Un ángulo congruente con su adyacente se denomina ángulo recto.

Figura 4. Angulo recto

Definición C.10: Si dos rectas se cortan formando ángulos adyacentes congruentes, se llaman perpendiculares. Si una recta l es perpendicular a una recta r, lo denotamos por l⊥r . La definición de perpendicularidad se extiende, de manera natural, a segmentos y semirrectas.

Definición C.11: Sea P un punto exterior a una rectal. Si la perpendicular a l que pasa por P corta a ésta en Q, se dice que PQ es la distancia de P al. Si P no es exterior a l, entonces PQ=0.

NOTA: En los axiomas de congruencia de ángulos no está contemplada la suma de ángulos congruentes, tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruencia de ángulos. Para establecer estas propiedades se requiere de los tres primeros casos de congruencia de triángulos.

3.3 Clasificación de polígonos

La congruencia de segmentos y la congruencia de ángulos permiten clasificar los polígonos según las congruencias que satisfagan sus elementos. Así, según la relación de congruencia, entre sus lados y sus ángulos, los polígonos se clasifican en:

Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados congruentes.

Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados congruentes.

Polígono equiángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos congruentes entre sí.

Definición C12: Una línea poligonal se llama convexa cuando toda ella queda en uno de los semiplanos que determina la recta de cualquiera de los segmentos que la forman. Y es cóncava en caso contrario. (ESTA DEFINICIÓN INVOLUCRA EL INTERIOR DEL POLÍGONO)

5

Notas de clase 2012

Polígono regular: Es aquel que es convexo y tiene todos sus lados congruentes entre sí (equilátero) y todos sus ángulos interiores congruentes entre sí (equiángulo).

Los principales polígonos regulares son: El triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular. Otros polígonos aunque no son regulares pueden ser equiláteros (El rombo) o equiángulos (el rectángulo)

C

B

F

E

H

G

C

BA

E

D

P

O

NM

R

Q

C

BA

G

FE

D

A

Figura 5

La comparación de los ángulos con el ángulo recto determina una clasificación de los ángulos del plano. Partiendo de la base que todos los ángulos rectos son congruentes entre sí, tenemos las siguientes definiciones:

Definición C.13:

Un ángulo menor que su adyacente se llama ángulo agudo. Un ángulo mayor que su adyacente se llama ángulo obtuso.

Definición C.14: El triángulo que tiene un ángulo recto se llama triángulo rectángulo. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos del triángulo y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Definición C.15: Si un triángulo tiene un ángulo obtuso se dice que el triángulo es obtusángulo.

Definición C.16: Si un triángulo tiene sus tres ángulos agudos, se dice que es acutángulo.

Teorema C.4: Un triángulo obtusángulo tiene al menos un ángulo exterior agudo.

Teorema C.5: Los ángulos exteriores de un triángulo acutángulo son obtusos.

6

Notas de clase 2012

3.4 Criterios de congruencia de triángulos

A partir de la congruencia de segmentos y de ángulos se puede establecer la congruencia de polígonos. Dado que el polígono más simple es el triángulo, basta establecer la congruencia de triángulos para llegar a la congruencia de polígonos en general.

Dos triángulos son congruentes si sus respectivos lados y ángulos son congruentes, los ángulos congruentes y los lados congruentes de triángulos congruentes se llaman elementos homólogos de triángulos congruentes.

Teorema C.6 (criterio LAL): Si dos triángulos tienen, respectivamente, congruentes dos lados y el ángulo que forman, entonces son congruentes.

Hipótesis: Sean los triángulos ∆ ABC y ∆ A ' B ' C ' con AC ≅ A ' C ', AB≅ A ' B ' y ∡CAB≅∡C ' A ' B '.

Tesis:∆ ABC ≅∆ A ' B ' C '.

Demostración:

Figura 6

Por hipótesis, se tiene que AB≅ A ' B ', AC ≅ A ' C ', y ∡CAB≅∡C ' A ' B ' Por el axioma C.5, se tiene que ∢ ACB≅∢ A ´ C ´ B´ y ∡ ACB≅∡ A' C ' B'

Para que los triángulos sean congruentes basta probar que BC ≅ B' C '.

Vamos a demostrar por reducción al absurdo, suponiendo que BC no es congruente con B' C ' , entonces la longitud de B' C ' es mayor que la longitud de BC o viceversa

Si la longitud de B' C '´es mayor que la longitud de BC,

Entonces existe un punto D tal que:B´−D−C ´ y BC ≅ DC '

Entonces los triángulos ∆ ABC y ∆ A ' DC ' satisfacen las condiciones del axioma C.3

7

Notas de clase 2012

AB≅ A ' B' , BC ≅ DC ' y ∡CAB≅∡C ' A ' D

Luego ∡CAB≅∡C ' A ' D pero por hipótesis ∡CAB≅∡C ' A ' B '

Puesto que el punto D está en el interior del segmento B' C ', se tiene que desde el mismo vértice A´ y sobre el mismo lado de la semirrecta A ´ C ´ existen dos semirrectas A ´ B ´ y A ´ D ´ , que forman con A ´ C ´ ángulos congruentes con el ∢CAB Contradiciendo el axioma C.1.

Por lo tanto la longitud de B' C '´ no es mayor que la longitud de BC .

De igual manera se puede probar que la tampoco longitud de B' C '´es menor que la longitud

de BC, Luego BC ≅ B´ C ´ Por el teorema C.3

Es decir los triángulos tienen todos sus elementos, lados y ángulos respectivamente congruentes, Por tanto, ∆ ABC ≅∆ A ' B ' C '.

El segundo caso de congruencia se tiene cuando dos ángulos de los triángulos y el lado común a ellos son congruentes.

Teorema C.7 (criterio ALA): Si dos triángulos ∆ ABC y ∆ A ' B ' C ' satisfacen las siguientes congruencias: ∡ BAC≅∡ B ' A ' C ', AB≅ A ' B ',∡ ABC≅∡ A ' B' C ' , entonces son congruentes.

Hipótesis: Sean los triángulos∆ ABC y ∆ A ' B ' C ', tales que:

∡ BAC≅∡ B ' A ' C ', AB≅ A ' B ',∡ ABC≅∡ A ' B ' C '.

Tesis:∆ ABC ≅∆ A ' B ' C '.

Demostración (Por reducción al absurdo):

8

Notas de clase 2012

Figura 7

Si los triángulos ∆ ABC y ∆ A ' B ' C ' satisfacen las congruencias:

∡ BAC≅∡ B ' A ' C ', AB≅ A ' B ',∡ ABC≅∡ A ' B' C ' . Por el criterio LAL, para que los triángulos ∆ ABC y ∆ A ' B ' C ' sean congruentes, se debe probar que:AC ≅ A ' C '.

Supongamos que AC no es congruente con A ' C ', entonces, AC> A ´ C ´ o AC< A ´ C ´.

Si AC> A ´ C ´, entonces existe un punto D en el segmento AC tal que AD≅ A ' C '.

Luego por el criterio LAL, se cumple que ∆ ABD≅ ∆ A ' B ' C '.

Si ∆ ABD≅ ∆ A ' B ' C ' . entonces ∡ ABD≅∡ A' B' C' por ser ángulos homólogos de triángulos congruentes.

Por hipótesis tenemos que ∡ ABC≅∡ A ' B' C ' . Luego existen dos semirrectas diferentes, BD y BC , tales que ∡ ABC≅∡ A ' B' C 'y ∡ ABD≅∡ A' B' C'. Contradiciendo el axioma C.4. En consecuencia BD y BC son coincidentes, lo que implica que AD≅ AC.

Si AD≅ AC y AD≅ A ' C ', entonces AC ≅ A ' C '. Por propiedad simétrica y axioma C.2.

Así mismo, si suponemos que AC< A ´ C ´ llegamos a una contradicción. Por lo tanto, se concluye que AC ≅ A ' C ' y en consecuencia, por criterio LAL, se cumple que ∆ ABC ≅∆ A ' B ' C '.

NOTA: Más adelante probaremos que si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces tienen los tres ángulos congruentes, con lo que el criterio anterior cubrirá cualquier caso en que dos triángulos tengan congruentes dos ángulos y un lado.

Existe el criterio lado-lado-lado, para el cual se requieren un par de resultados que abordaremos a continuación.

Teorema C.8: Sean A, O, B puntos no colineales en un planoα . Una semirrecta de origen O y contenida en α está contenida en el interior del ∡ AOB sí y sólo si corta al segmento AB. Demostración (Ejercicio).

Teorema C.9: Sean OA , OB , OC semirrectas de origen O y tales que las semirrectas OB y OC están contenidas en un mismo semiplano determinado por la recta OA . El ángulo ∡ AOB está contenido en el ángulo ∡ AOC si y sólo si la semirrecta OB está contenida en el interior del ángulo ∡ AOC.

Demostración (Ejercicio).

Teorema C.10: Sean OA , OB , OC semirrectas de origen O tales que las dos últimas están contenidas en un mismo semiplano determinado por OA Sean

9

Notas de clase 2012

O ' A ', O ' B ' , O ' C ' semirrectas de origen O’ en las mismas condiciones y ∡ AOB contenido en ∡ AOC. Si ∡ AOB≅∡ A ' O' B ' y ∡ BOC≅∡ B ' O' C ' , entonces ∡ A ' O' B ' está contenido en ∡ A ' O' C ' y ∡ AOC≅∡ A ' O ' C '.

Demostración:

O

A

B

C

O'A'

B'C'

C''

DD'

Figura 8

Supongamos que ∡ AOC y ∡ A ' O' C ' no son congruentes. Por el axioma C.4 existe una semirrecta O ' C ' ' de origen O ' y contenida en el mismo semiplano determinado por ´O ' A ' tal que:

∡ AOC≅∡ A ' O ' C ' '.

Debemos probar que O ' C ' y O ' C ' ' son coincidentes.

Sean D el punto donde la semirrecta OB corta a AC. Sean O ' A '≅OA y O ' C ' ' ≅OC . Por el criterio LAL de congruencia de triángulos tenemos que ∆ AOC≅ ∆ A' O' C ' ' luego

AC ≅ A ' C ' ' . Sea D ' el punto de A ' C ' ' que cumple que AD≅ A ' D '. Como AD< AC resulta que D 'está

entre A 'y C ' ' .

Por otro lado D ' está en O ' B ' . Esto se debe a que ∆ AOD≅ ∆ A ' O ' D' , dado que ∡OAD≅∡O ' A ' D ' , OA ≅O ' A ' y AD≅ A ' D '.

Por tanto ∡ A O D≅∡ A ' O ' D' , y por axioma C.4, en consecuencia O ' B ' y O ' D' son coincidentes. Esto implica que ∡ A ' O' D ' , está contenido en ∡ A ' O' C ' ', y ∡ A ' O' B ', está contenido en ∡ A ' O' C ' ' .

Finalmente observamos que los triángulos ∆ COB y ∆ C ' ' O' B ' tienen ∡OCA≅∡O ' C ' ' A ' y sus lados adyacentes congruentes, luego ∡ B' O ' C' '≅∡BOC ≅∡ B' O ' C' y por consiguiente O ' C ' y O ' C ' ' son coincidentes.

En consecuencia ∡ A OC≅ ∡ A ' O' C ' , y ∡ A ' O' B ' está contenido en el ángulo ∡ A ' O' C ',

10

Notas de clase 2012

Teorema C.11: En un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

Hipótesis: Sea ∆ ABC un triángulo isósceles con AC ≅ BC y ∡CAB opuesto al lado CB y ∡CB A opuesto al lado CA.

Tesis: ∡CAB≅∡CB A

Demostración:

A

B

C

Figura 9

Consideramos el triángulo dado de dos formas, como el ∆ ACB y.∆ BCA Por hipótesis y por el axioma C.4 se satisfacen las siguientes congruencias: AC ≅ BC,

CB≅ CA y ∡ ACB≅∡ BCA. Luego por el axioma C.5 se cumple que ∡CAB≅∡CBA.

NOTA: El lado común a los ángulos congruentes de un triángulo isósceles se llama base del triángulo isósceles y los ángulos opuestos a los lados congruentes se llaman ángulos de la base del triángulo.

Teorema C.12 (criterio LLL): Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente, congruentes, entonces son congruentes.

Tesis:∆ ABC ≅ ∆ A ' B ' C '.

11

Notas de clase 2012

Demostración:

A

B

C

D

A'

B'

C'

Figura 10

Por hipótesis AC ≅ A ' C '. Por el axioma C.4, en el semiplano opuesto al semiplano ( AC , B ¿ existe una y sólo una semirrecta AD tal que ∡CAD≅∡C ' A' B '.

Por el axioma C.1 existe AD congruente con A ' B' . Por el criterio LAL, ∆ ADC≅ ∆ A ' B' C ' Como AB≅ A ' B ' y A ' B' ≅ AD , entonces AB≅ AD. Por lo tanto ∆ ABD es un triángulo

isósceles. En consecuencia ∡ ABD≅∡ ADB. En forma análoga se prueba que ∡ DBC≅ ∡BDC . Por teorema C11, se cumple que ∡ ABC≅∡ ADC . Luego ∆ ABC ≅∆ ADC. Por criterio LAL.

Como ∆ ABC ≅∆ ADC y ∆ ADC≅ ∆ A ' B' C ', entonces ∆ ABC ≅∆ A ' B ' C '.

Teorema C.13: La relación de congruencia de ángulos es una relación de equivalencia.

Demostración (Ejercicio).

12

Notas de clase 2012

3.5 Amplitud de un Ángulo

Definición C.17: Llamaremos amplitud de un ángulo ∡ ABC a la propiedad común de todos los ángulos congruentes con él.

La definición de amplitud implica que ángulos congruentes entre sí tienen la misma amplitud y ángulos que tienen la misma amplitud son congruentes. La amplitud del∡ ABC, la simbolizamos por amp ∡ ABC.

Propiedades de la amplitud de ángulos

Las propiedades de la congruencia de ángulos se pueden extender a propiedades de la amplitud de los ángulos así:

Por axioma C.4 amp ∡ ABC=amp ∡CBA . Por la simetría de la congruencia de ángulos, amp ∡ ABC=amp ∡OPQ, entonces

amp ∡OPQ=amp∡ ABC. Por la transitividad de la congruencia de ángulos, si amp ∡ ABC=amp ∡OPQ y

amp ∡OPQ=amp∡ RST , entonces amp ∡ ABC=amp ∡RST . Dados los ángulos ∡ AOB y∡ A ' O ' B ' y OC y O ' C ' semirrectas en el interior del

∡ AOB y∡ A ' O ' B ' respectivamente, tales que amp ∡ AOC=amp∡ A ' O ' C ' y amp ∡COB=amp∡C ' O ' B' , entonces amp ∡ AOB=amp ∡ A ' O' B '.

Definición C.18: Dadas tres semirrectas OA , OB y OC tales que OB esté en el interior del ∡ AOC, definimos la suma de las amplitudes por: amp ∡ AOB+amp∡ BOC=amp∡ AOC,de otra forma: ∡ AOB+∡BOC=∡ AOC .

Para ángulos no consecutivos la suma tiene sentido cuando sumamos la amplitud de los ángulos. Si ∡ AOB y ∡ PQR, son dos ángulos en el plano, por el axioma C.4, existe una semirrecta OC en el semiplano determinado por la semirrecta OB opuesto a (OB , A ¿, tal que ∡ BOC≅∡ PQR.

Por tanto podemos definir la suma de ángulos ∡ AOB y ∡ PQR y como: amp ∡ AOB+amp∡ PQR = amp ∡ AOB+amp∡ BOC , con ∡ BOC≅∡ PQR y ∡ BOC

consecutivo al ∡ AOB. En forma simplificada: ∡ AOB+∡ PQR = ∡ AOB+∡BOC=∡ AOC .

Definición C.19: Dados los ángulos ∡ AOB y ∡ PQR tales que ∡ AOB<∡ PQR, existe un ángulo ∡ MNS tal que, amp ∡ AOB+amp∡ MNS= amp ∡PQR .

.

13

Notas de clase 2012

3.6 Ángulos suplementarios y complementarios

Definición C.20: Dos ángulos se dice que son suplementarios si la suma de sus amplitudes es igual a la amplitud de un ángulo llano.

DefiniciónC.21: Dos ángulos se dice que son complementarios si la suma de sus amplitudes es igual a la amplitud de un ángulo recto.

Teorema C.14: Los ángulos suplementarios de ángulos congruentes son congruentes.

Demostración (Ejercicio).

Teorema C.15: Los ángulos complementarios de ángulos congruentes son congruentes.

Demostración (Ejercicio).

Corolario: La suma de dos ángulos rectos es un ángulo llano.

Teorema C.16: Si dos rectas que se intersecan forman un ángulo recto, entonces forman cuatro ángulos rectos.

Demostración (Ejercicio).

Definición C.22: Si dos ángulos consecutivos ∡ AOB y ∡ BOC son congruentes decimos que la semirrecta OB es la bisectriz del ángulo ∡ AOB.

O

A

C

bisectrizB

Figura 11

Teorema C.17: Si dos ángulos son congruentes, los ángulos adyacentes a esos ángulos son congruentes.

14

Notas de clase 2012

Demostración (Ejercicio).

Teorema C.18: Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes, entonces los lados opuestos a esos ángulos son congruentes.

Demostración (Ejercicio).

Definición C.23: Dos polígonos son congruentes si tienen respectivamente sus lados y sus ángulos congruentes. Es decir, para que dos polígonos sean congruentes ellos deben tener el mismo número de lados y de ángulos.

Teorema C.19: En un plano, en un punto dado de una recta, existe exactamente una recta que es perpendicular a la recta dada.

Hipótesis: Sea P un punto de la recta AB y PD una recta que interseca a AB en P tal que AB⊥ PD.

Tesis: PD es única.

Demostración (Por reducción al absurdo):

PA

B

D

T

Figura 12

Sea P un punto de la recta AB y PD una recta que interseca a AB en P tal que AB⊥ PD.

Supongamos que PD no es única.

Si PD no es única, entonces existe otra recta PT tal quePT ⊥ AB.

15

Notas de clase 2012

Puesto que AB⊥ PD. y si el ángulo ∡ MON es un ángulo recto cualquiera, entonces amp ∡ DPB=amp∡ MON .

Puesto que PT ≠ PD, entonces amp ∡TPB≠ amp∡ MON y por tanto PTno es perpendicular a la recta AB.

En consecuencia PD es única y el teorema queda demostrado.

Definición C 24: Una recta es perpendicular a un plano si y sólo si es perpendicular a toda recta que esté en el plano, y que pase por la intersección de la recta dada y el plano.

16