Notas de Quântica do Prof Abraham - Cap. 3

Captulo 3

Teoria do Momento AngularModern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)

3.1 Rotaes e Relaes de Comutao do Momento AngularRotaes Infinitesimais versus Rotaes FinitasNotao: Rx - rotao de um ngulo em torno do eixo x.

Fsica clssica

Rotaes em torno de um mesmo eixo comutam.

Exemplo. Rz/6 Rx/3 Rx/3 Rz/6 Rx/2. Rotaes em torno de eixos diferentes no comutam.

Exemplo. Rz/2 Rx/2 Rx/2 Rz/2.

Rz(/2) Rx(/2)

Rx(/2) Rz(/2)

x

z z z

z z z

xx x

xx

Observe na figura que os resultados so diferentes.

Por que rotaes em torno de eixos diferentes no comutam?

Representao matricial. No espao euclidiano, as rotaes so representadas por matrizesortogonais. Seja o vetor V, cujas componentes so Vx, Vy, Vz . Efetuando-se uma rotao nestevetor, suas novas componentes Vx , Vy , Vz esto relacionadas com as antigas, atravs da matrizortogonal R

Vx

Vy

Vz R

VxVyVz

RRT RTR 1onde T significa transposta de uma matriz. Para transformaes ortogonais vale a propriedade

Captulo 3: Teoria do Momento Angular 1

Vx2 Vy2 Vz2 Vx2 Vy2 Vz2 .

Conveno: as rotaes afetam um sistema fsico, mantendo-se os eixos coordenadosinalterados.

Rotao em torno do eixo z. Seja Rz uma rotao em torno do eixo z por um ngulo nosentido positivo (regra da mo direita).

Rz cos sen 0sen cos 0

0 0 1

.

Rotaes infinitesimais. Seja Rz onde um ngulo infinitesimal. Expandindo Rz atsegunda ordem e desprezandos os termos de ordens mais elevadas, encontramos

Rz 1 22 0

1 22 00 0 1

.

De maneira similar:

Rx 1 0 0

0 1 22 0 1 22

e

Ry 1 22 0

0 1 0

0 1 22

Relao de comutao entre rotaes. Sejam os produtos

RxRy 1 22 0

2 1 22 1 2

e

RyRx 1 22

2 0 1 22 1 2

Ento

Mecnica Quntica A / Prof. Dr. Abraham Moyss Cohen 2

RxRy RyRx

1 22 1

22 0

2

2 0 1 22 1 22

1 2 1 2

0 2 02 0 00 0 0

Rz2 1

onde todos os termos de ordem mais elevada que 2 foram ignorados. Por exemplo, o termo em Rzdo tipo 1 x22 para x

2 nos daria 1 42 1.Como podemos representar

1 Rqq0onde Rqq0 significa uma rotao de 0 em torno de qualquer eixo, ento

RxRy RyRx Rz2 Rqq0.

Mecnica Quntica

Rotaes infinitesimais. Aplicando uma rotao no sistema fsico, espera-se que o ket deestado correspondente ao sistema girado seja diferente em relao ao sistema original.

DR operador rotao associado a uma rotao R caracterizada por uma matriz ortogonal3 3. Este operador depende da dimensionalidade N do espao ket em questo. Para N 2, DR representado por uma matriz 2 2.Voltando ao argumento inicial, podemos escrever:

|R DR |

Analogia com translao e evoluo temporal. Para ambos os casos, os operadoresinfinitesimais foram escritos na forma

U 1 iGonde G um operador hermitiano, G G. Especificamente(a) Translao dx na direo x

G px , dx.

(b) Evoluo temporal para dt

G H , dt.

(c) Rotao infinitesimal ?

Na clssica, o momento angular gerador de rotaes.

Jk projeo do momento angular no eixo k.


Rotao infinitesimal em torno do eixo k por um ngulo d ser:G Jk , d

Caso geral: rotao em torno de um eixo caracterizado por um vetor unitrio n por um nguloinfinitesimal d.

Dn , d 1 i J n .

Esta equao define momento angular.

Rotao finita. Uma rotao finita pode ser obtida, compondo-se sucessivamente rotaesinfinitesimais em torno do mesmo eixo. Por exemplo, rotao de um ngulo em torno do eixo z

Dz limN 1 i

Jz

N

N

exp iJz 1 iJz

Jz2222

Relaes de comutao do momento angular. Vamos supor que DR tenha as mesmaspropriedades de grupo que R

Identidade: R 1 R DR 1 DRFechamento: R1R2 R3 DR1 DR2 DR3 Inversos: RR1 1 DRD1R 1

R1R 1 D1RDR 1Associatividade: R1R2R3 DR1 DR2 DR3

R1R2 R3 DR1 DR2 DR3 R1R2R3 DR1 DR2 DR3 .

Comutao para R:RxRy RyRx Rz2 1

Comutao para DR:DxDy DyDx Dz2 1

Mas:

Dx exp iJx 1 iJx

Jx2222

Dy exp iJy 1 iJy

Jy2222

Dz2 exp iJz2

1 iJz2

Logo,

DxDy DyDx 1 iJz2

1 iJz

2


Tambm, podemos reescrever DxDy DyDx em termos de J

1 iJx Jx2222 1

iJy

Jy2222

1 iJy Jy2222 1

iJx

Jx2222

1 iJy Jy2

22 2 iJx

JxJy2

2 Jx222

2

1 iJx Jx2

22 2 iJy

JyJx2

2 Jy2

22 2

JxJy2 2 JyJx2

2

JxJy JyJx 22Igualando ambos os membros

JxJy JyJx 22 iJz

2

encontramos,

JxJy JyJx iJz.Isto representa o comutador de Jx com Jy

Jx, Jy iJz.Repetindo os mesmos argumentos para rotaes em torno dos demais eixos, obtm-se

Ji, Jj iijkJkconhecidas como relaes de comutao fundamentais do momento angular.

Resumo dos argumentos usados:

Jk o gerador de rotaes em torno do eixo k.

Rotaes em torno de eixos diferentes no comutam.

3.2 Sistemas de Spin e Rotaes FinitasJ vimos que os Sk tambm satisfazem as relaes de comutao do momento angular.

Agora considere uma rotao por um ngulo finito em torno do eixo z de um sistema de spin 1/2que, antes da rotao estava num estado |. Aps a rotao,

|R Dz|com

Dz exp iSz .

Valor esperado de Sx aps a rotao. Sob uma rotao o valor esperado muda de acordocom

Sx R | Sx | R |Dz Sx Dz | Devemos ento calcular:


Dz Sx Dz exp iSz Sx exp

iSz .

Mtodo 1 - Forma especfica de Sx

Usando para Sk a representao na base |,Sx 2 || || ,Sy 2i || || .Sz 2 || || .

encontramos:

exp iSz Sx expiSz

2 expiSz || ||exp

iSz

2 ei/2||ei/2 ei/2||ei/2

2 ei || ei||

2 ||cos i sen ||cos i sen 2 || || cos i || || sen

22 Sx cos i

2i Sx sen

Sx cos Sx senMtodo 2 - Relaes de comutao

Usando (2.3.47), encontramos

exp iSz Sx expiSz

Sx iiSy

Sz, Sx 12!i

2

2Sx

Sz,iSy

Sz, Sx

13!i

3

i3Sy

Sz,

2Sx

Sz, Sz, Sx

As potncias pares do Sx enquanto que as mpares, Sy. Colecionando esses termos, encontra-se

exp iSz Sx expiSz

Sx 1 2

2! Sy 33!

Sx cos Sy sen.Voltando equao do valor esperado, encontra-se


Sx R R | Sx | R |Dz Sx Dz | Sx cos Sy sen

onde Sk o valor esperado no estado ket original.Da mesma forma, podemos mostrar que:

Sy R Sy cos Sx sen

Para Sz, enconta-se

Sz R Sz Ou seja, o valor esperado de Sz no muda, uma vez que este operador comuta com Dz.Observao: Estes resultados mostram que, quando aplicamos o operador rotao Dz noestado ket, o valor esperado de S sofre uma rotao em torno do eixo z por um ngulo . Emoutras palavras, o valor esperado do operador spin comporta-se como se fosse um vetor clssicosob rotao:

Sk R l

Rkl Sl

Momento angular. Do mtodo 2, fica claro que esta propriedade tambm vale para o momentoangular J. Em geral

Jk R l

Rkl Jl

At aqui tudo como esperado. Vamos examinar com mais detalhe o efeito do operadorrotao sobre um ket geral

| a

|a a | || ||

Vemos que

exp iSz | expiSz || exp

iSz ||

ei/2|| ei/2||.A presena do arco metade /2 tem uma consequncia extremamente interessante.Rotao por 2. Neste caso,

|Rz2 ei2/2|| ei2/2|| || || |

Assim, um ket girado de 360 difere do ket original pelo sinal negativo. Precisamos de uma rotaode 720 ( 4) para obtermos o mesmo ket com o sinal positivo.Valor esperado. Este sinal negativo no aparece no valor esperado de S porque S fica desanduiche entre | e |, ambos dos quais mudam de sinal.Este sinal negativo sempre observado?

Precesso de Spin RevisitadaHamiltoniano bsico do problema. Vamos analisar novamente este problema de um outro


ponto de vista:

H emec S B Szonde

|e|Bmec .

Operador evoluo temporal. Baseado neste Hamiltoniano, o operador evoluo temporal dado por

Ut, 0 exp iHt expiSzt

.

Comparao de Ut, 0 com Dz. Comparando Ut, 0 com Dz dado porDz exp iSz

vemos que o operador evoluo temporal precisamente o mesmo que o operador rotao com substitudo por t.Por que o spin precessa? Desta maneira vemos imediatamente porque este Hamiltonianocausa precesso do spin. Usando os resultados da rotao, obtm-se

Sx t Sx t0 cost Sy t0 sentSy t Sy t0 cost Sx t0 sentSz t Sz t0

Depois de t 2/, o spin retorna sua direo original.Evoluo temporal do estado ket. Vamos olhar para a evoluo temporal do prprio estadoket que, em t 0, dado por | || ||. Ento, aps o tempo t teremos

|, t0 0; t eit/2|| eit/2||Vemos que, para t 2/,

|, t0 0; t 2/ ei2/2|| ei2/2|| ei || ei || |.

Assim, devemos aguardar at t 4/ para obter o estado ket original com o mesmo sinal.Em resumo o perodo para o estado ket duas vezes maior que o perodo para a precesso despin

precesso 2estado ket 4

Exp. de Interferometria de Nutrons para Estudar RotaesComo detectar o sinal negativo no ket sujeito a uma rotao de 2?J sabemos que, se todos os estados kets no universo fossem multiplicados por um sinal negativo,no haveria nenhuma maneira de detect-lo. A nica maneira de detectar o predito sinal negativo,seria atravs de uma comparao entre um estado que sofreu uma rotao e um outro que no foisubmetido rotao.


Como na interferncia quntica induzida por gravidade, discutida na Se. 2.6, contamos com asqualidades da interferometria de nutrons para verificar esta extraordinria predio da mecnicaquntica.

A experincia. Um feixe de nutrons termalizados dividido em duas partes A e B (ver. figuraabaixo).

l

A

BB

A

B

Regio deinterferncia

Trajeto A - o feixe atravessa uma regio sem campo magntico.

Trajeto B - o feixe atravessa uma pequena regio de comprimento l onde est presente um campomagntico esttico.

Estado ket via trajeto B. O estado ket via trajeto B sofre uma variao de fase eiT/2, onde T tempo gasto para atravessar a regio de comprimento l onde existe um campo magntico B 0 e a frequncia de precesso de spin,

gneBmpc , gn 1, 91

para o nutron com momento magntico gne2mpc .

Regio de interferncia. Quando os trajetos A e B se encontram novamente na regio deinterferncia a amplitude do nutron chegar via trajeto B

c2 c2B 0eiT/2enquanto que a amplitude do nutron chegar via A c1, independente de B.

Interferncia. Assim, a intensidade observvel na regio de interferncia deve exibir umavariao senoidal

cos T2 onde a diferena de fase entre c1 e c2B 0.Ajustes no experimento. Na prtica, o tempo T uma quantidade fixa, mas a frequncia pode ser variada, de acordo com o valor do campo B. A diferena de fase, em funo do campo B, dada por

egnBlc


onde l o comprimento da pequena regio que contm o campo. Ento, o valor de B necessriopara uma precesso de 4 (perodo completo)

B 4cegnlVemos ento que de 4 a rotao necessria para que o ket retorne com o mesmo sinal, comorequerido pelo formalismo.

Formalismo de Pauli de Duas ComponentesManipulaes com os kets de estado do spn 1/2 podem ser convenientemente conduzidas,usando-se o formalismo de spinor introduzido por Pauli (1926). J sabemos:

Ket. Pode ser representado por uma matriz coluna.

Bra. Pode ser representado por uma matriz linha.

Revendo a Se. 1.3. Os coeficientes de expanso de um estado arbitrrio | em relao a umabase |a podem ser escritos na forma matricial. Ou seja,

| a1|a2|

, | |a1 , |a2

Para | a1 , isto , quando for um dos estados de base, encontra-se

a1 a1|a1 a2|a1

10

o mesmo raciocnio valendo para aj .Aplicao para os kets spin 1/2. Neste caso, para os kets de base encontra-se

| 10

| 01

| 1, 0 | 0, 1


Estado arbitrrio. Para um estado arbitrrio | ou | obtm-se

| || || || | || || |, |

Spinor. Matriz coluna do tipo || chamada de spinor de duas componentes e

escrito como

|| cc

c c

onde c e c so, em geral, nmeros complexos. Para tem-se |, | c, c c c .

Matrizes de Pauli. Os elementos de matriz | Sk | e | Sk | , exceto pelo fator /2, soiguais aos elementos de matriz da matriz k 2 2, conhecidas como matrizes de Pauli. Ou seja,

| Sk | 2 k ,, | Sk | 2 k ,.

Valor esperado em termos de e k. Vamos escrever o valor esperado Sk em termos de e k

Sk | Sk | a a

| a a | Sk |a a | 2 k

onde usamos a regra usual da multiplicao de matrizes.

Demonstrao. Seja

a a

| a a | Sk |a a |

| | Sk | | | | Sk | | | | Sk | | | | Sk | |

2 | k , | | k , | | k , | | k , |

2 |, |, ,, ,

||

2 k.

Matrizes de Pauli. Explicitamente, de (3.2.1) juntamente com (3.2.30), vemos que

x 0 11 0

, y 0 ii 0

, z 1 01 1 .

Propriedades das matrizes de Pauli. Algumas propriedades das matrizes de Pauli so:


(1) i, j 2 ij i2 1

i j j i 0,para i j.

(2) i, j 2i ijkk.

(3) 12 21 012 21 2i312 21 i3 etc

(4) i i.(5) det i 1(6) Tr i 0.

(7) a az ax iayax iay az

. Seja a um vetor tridimensional. Ento

a k

akk

ax 0 11 0

ay 0 ii 0

az 1 01 1

0 axax 0

0 iayiay 0

az 01 az

az ax iayax iay az

(8) a b a b i a b. Seja a b

j jaj

kkbk

jk jk ajbk

jk

12 j,k

12 j,k ajbk

jk jk i jkl l ajbk

jajbj i

jkjkl l ajbk

a b i a b(9) a2 |a |2 (a um vetor real). Seja

a2 a a a a i a a a a |a |2.

(10) n n 1, (n par) n (n mpar) . De fato, como consequncia da propriedade anterior,

n n |n |21

a a a a 1, (n par) n (n mpar)

Rotaes no Formalismo de Duas ComponentesRepresentao matricial 2 2 do operador rotao Dn ,. Como


S 2 encontra-se

exp iS n expi n

2

Usando a propriedade (10), encontra-se

exp i n2 1 i n 2

i2 n 22!

2

2

1 n 2

2!2

2 n

4

4!2

4

i n 2 n 3

3!2

3

1 12!2

2 14!

2

4

i n 2 13!

2

3

1cos 2 i n sen2 .

onde

1 1 00 1

Forma explcita de exp i n2 como matriz 2 2. Usando o resultado

i n nz inx nyinx ny nzencontramos

exp i n2 cos 2 i nz sen

2 inx ny sen

2

inx ny sen 2 cos2 i nz sen

2

(3.2.45)

que a forma da matriz de rotao.

Rotao de spinor. Assim como o operador exp iS n atua sobre o ket |, a matriz

2 2 exp i n2 atua sobre o spinor de duas componentes . Sob rotao, o spinortransforma-se da seguinte maneira:

exp i n2 .

invariante por rotao. Os k permanecem inalterados sob rotaes. no um vetor. Embora possa parecer, no um vetor. Na verdade, queobedece as propriedades de transformao de um vetor. Ou seja,


k l

Rkl l

Demonstrao: Seja uma rotao de 1 em torno do eixo z por um ngulo exp iz2 x exp

iz2

cos 2 i sen

2 0

0 cos 2 i sen2

0 11 0

cos 2 i sen

2 0

0 cos 2 i sen2

0 cos i sencos i sen 0

A matriz

0 cos i sencos i sen 0

pode ser reescrita combinao das seguintes matrizes:

0 cos i sencos i sen 0 cos

0 11 0

sen 0 ii 0 x cos y sen.

Ou seja,

exp iz2 x expiz

2 x cos y sen,

que o anlogo matricial de (3.2.6).

Novamente rotao por 2. Usando o formalismo dos kets, vimos que um ket | de spin 1/2,sob rotao de 2, resulta em |. O anlogo 2 2 desta afirmao :

exp i n2 2 1cos2 i n sen

2 2

1,

para qualquer n .

Aplicao da matriz de rotao

Construo de um autospinor. Como aplicao da matriz de rotao, vamos construir umautospinor de n com autovalor 1, onde n um vetor unitrio numa direo especificada. Seja aequao

n .Esta equao a representao matricial da equao de autovalores para o ket |S n ; definidapor


S n |S n ; 2 |S n ;.De fato, isto pode ser considerado como um problema autovalores, mas aqui apresentamos ummtodo alternativo baseado na matriz de rotao.

Procedimento. Sejam e os ngulos azimutal e polar, respectivamente, que caracterizam n .

Vamos iniciar com o spinor10

, que representa o estado de spin para cima.

Em seguida, aplicamos uma rotao por um ngulo em torno do eixo y. Sequencialmente, aplicamos outra rotao por um ngulo em torno do eixo z.Dessa forma, o estado de spin desejado ento obtido (ver figura abaixo).

Segundarotao

Primeirarotao

Procedimento na linguagem de spinor de Pauli. Na linguagem do spinor, esta sequncia deoperaes equivalente a:

10

exp iy210

exp iz2 expiy

210

Desta forma,


exp iz2 expiy

210

exp iz2

cos 2 sen2

sen 2 cos2

10

cos 2 i sen

2 0

0 cos 2 i sen2

cos 2sen 2

cos 2 i sen

2 cos

2

cos 2 i sen2 sen

2

Ou,

cos 2 e

i/2

sen 2 ei/2

em concordncia com o Problema 9 do Captulo 1. De fato,

cos 2 ei/2 1

0 sen 2 e

i/2 01

ei/2 cos 2 sen2 e

ia diferena ficando por conta de uma fase global sem significado fsico.

3.3 SO(3), SU(2) e Rotaes de EulerConceito de GrupoTeoria de Grupo. As simetrias so tratadas apropriadamente num ramo da matemticaconhecido como teoria de grupo.

O que um grupo? Um conjunto de objetos, a, b, c , forma um grupo se pudermos definir umprocesso que nos permita combinar quaisquer dois desses objetos, tais como a e b, para formarum objeto ab, e se as seguintes condies forem satisfeitas:

(1) Todos os resultados da combinao so membros do grupo.

(2) O grupo contm a identidade ou membro unitrio 1, que tem a propriedade a 1 1 a a,onde a qualquer membro do grupo.

(3) Cada membro a tem um inverso a1, tambm no grupo, tal que aa1 a1a 1.(4) Combinao de grupo associativa, tal que abc abc

Observaes:


(a) os membros de um grupo so chamados de elementos.

(b) o termo multiplicao no significa multiplicao usual.

Grupo OrtogonalSeja a rotao de um vetor. Os vetores antes e depois da rotao, V e V , respectivamente, soconectados por uma matriz 3 3 real e ortogonal:

V R V

VV

Todas as matrizes de rotao formam um grupo:

1. A combinao (produto) de duas matrizes R1 e R2 uma nova matriz R1R2.

2. A lei associativa vlida:R1R2R3 R1R2 R3

3. A matriz identidade 1 que corresponde fisicamente a nenhuma rotao definida porR1 1R R

um membro da classe de todas as matrizes ortogonais.

4. A matriz inversa R1 que corresponde fisicamente a uma rotao no sentido oposto definida por

RR1 R1R 1 tambm um membro.

Este grupo denominado SO3, onde as iniciais significam:S especial (special, em ingls); O ortogonal; 3 trs dimenses.

Grupo Unitrio UnimodularSeja a rotao do spin 1/2 discutida anteriormente. Aqui, as matrizes de rotao so 2 2, atuandosobre um spinor de duas componentes. De (3.2.45) encontramos

Eq. (3.2.45) cos 2 i nz sen

2 inx ny sen

2

inx ny sen 2 cos2 i nz sen

2


Esta matriz unimodular. Isto significa que seu determinante 1.

Matriz unitria unimodular. De uma maneira geral, uma matriz unimodular pode ser escritacomo

Ua, b a bb a (3.3.7)

onde a e b so nmeros complexos que satisfazem a condio unimodular:

|a|2 |b|2 1 (3.3.8)Propriedade unitria. Seja

Ua, bUa, b a b

b aa bb a |a|

2 |b|2 1

Comparando (3.2.45) com (3.3.7), identificamos

Rea cos 2 , Ima nz sen2 ,

Reb ny sen 2 , Imb nx sen2 ,

de onde obtm-se imediatamente a propriedade unimodular de (3.3.8).

Propriedades de grupo das operaes de multiplicao. As operaes de multiplicao commatrizes unitrias unimodulares satisfazem as seguintes propriedades:

1. FechamentoUa1, b1 Ua2, b2

a1 b1b1 a1a2 b2b2 a2

a1a2 b1b2 a1b2 a2b1

a1b2 a2b1 a1a2 b1b2 U a1a2 b1b2, a1b2 a2b1

onde a condio unimodular para a matriz produto |a1a2 b1b2 |2 |a1b2 a2b1 |2 1.

2. Inversa

U1a, b a bb a1

a b

b a Ua,b

3. Identidade

U1, 0 1 00 1

4. Associativa

Ua, b exp i n2Este grupo denominado SU2: Especial, Unitrio e Bidimensional.Os grupos SU2 e SO3 tm correspondncia dois-para-um: Considere uma rotao por 2 eoutra por 4.


Na linguagem SO3, as matrizes representando essas rotaes so ambas matrizesidentidades 3 3. Mais geralmente, Ua, b e Ua,b correspondem a uma nica matriz3 3 nesta linguagem.

Na linguagem SU2, as matrizes so 1 vezes a matriz identidade 2 2 e a matrizidentidade, respectivamente.

Rotaes de EulerRotao arbitria de um corpo rgido pode ser descrita em trs passos, conhecidas como ngulosde Euler.

Trs passos:

1 Rz y y2 Ry z z 3 Rz y y

Em termos de matrizes ortogonais 3 3, o produto dessas trs operaes pode ser escrito comoR,, RzRy Rz

Aqui aparecem dois tipos de rotao: em torno dos eixos do corpo e dos eixos fixos no espao.Isto inconveniente. Vamos expressar as rotaes em torno dos eixo do corpo, Ry e Rz, emtermo de rotaes em torno dos eixo fixos no espao.

Ry RzRyRz1

Rz Ry RzRy 1Assim.


R,, RzRy Rz Ry RzRy 1Ry Rz

Ry RzRz RzRyRz1RzRz RzRyRz1

comutam

RzRz

RzRyRzPortanto

R,, RzRyRzonde todas as matrizes do lado direito referem-se a rotaes em torno de eixos fixos.

Aplicao a sistemas de spin O produto de operadores de rotao no espao ket corresponde ao produto de matrizesortogonais:

D,, DzDyDzA representao matricial deste produto

exp iz2 expiy

2 expiz

2

ei/2 00 ei/2

cos/2 sen/2sen/2 cos/2

ei/2 00 ei/2

ei/2 cos/2 ei/2 sen/2

ei/2 sen/2 ei/2 cos/2onde usamos (3.2.44). Esta matriz claramente da forma unimodular unitria. Inversamente, aforma mais geral da matriz unimodular unitria 2 2 pode ser escrita nesta forma dos ngulos deEuler.

3.4 Operadores de Densidade e Ensembles Puros e Mistos Leia esta seo.

3.5 Autovalores e Autoestados do Momento AngularRelaes de Comutao e Operador EscadaAs relaes de comutao entre as trs componentes de J j foram derivadas

Jx, Jy iJzJy, Jz iJxJz, Jx iJy

Estas relaes podem ser escritas numa forma mais compacta

J J iJNovo conjunto de operadores. Para estudarmos os autovalores e autovetores do momentoangular, vamos introduzir um novo conjunto de operadores


1 J2 Jx2 Jy2 Jz2

2 J Jx iJy

O operador J2 comuta com todos os Jk:

J2, Jk 0, k x, y, z

Comutador J2, Jz 0. Para demonstrar esta relao fazemosJ2, Jz Jx2 Jy2 Jz2, Jz

JxJx, Jz Jx, Jz Jx JyJy, Jz Jy, Jz Jy JxiJy iJy Jx JyiJx iJx Jy iJxJy iJyJx iJyJx iJxJy 0

Como Jx, Jy e Jz no comutam entre si, no podemos diagonalizar Jx, Jy e Jz simultaneamente.Porm, podemos escolher um dos Jk para ser diagonalizado simultaneamente com J2. Porconveno, a escolha recai sobre Jz. Vamos denotar os autovalores de J2 e Jz por a e b,respectimente:

J2 |a, b a |a, b

Jz |a, b b |a, bPara determinar os valores de a e b conveniente trabalhar com os operador escada, J. Asrelaes de comutao so

J, J 2Jz,

Jz, J J,

J2, J 0.

Qual o significado fsico de J. Vamos examinar como Jz age sobre J |a, b:Jz J |a, b Jz, J JJz |a, b

J |a, b JJz |a, b J |a, b bJ |a, b b J |a, b

Ou seja: O ket J |a, b ainda um autoket de Jz, exceto que agora o autovalor e aumentado ouabaixado por uma unidade de . Assim, vemos por que J, que sobe ou desce degrau adegrau a escada dos autovalores de Jz, so conhecidos como operadores escadas.

J e os autovalores de J2. Embora J mudem os autovalores de Jz por uma unidade de , elesno mudam os autovalores de J2:

J2 J |a, b JJ2 |a, b a J |a, b


Resumo. Os kets J |a, b so simultaneamente autokets de J2 e Jz com autovalores a e b h.Podemos ento escrever

J |a, b c |a, b onde as constantes c sero determinadas mais adiante a partir da condio de normalizao dosautokets do momento angular.

Autovalores de J2 e JzImagine que apliquemos J n vezes sobre o autoket de J2 e Jz :

n vezes

JJJ |a, b |a, b n

Mas existe um limite superior para b. De fato, para um dado a (autovalor de J2a b2. (3.5.13)

Demonstrao. Vamos escrever J2 em termos de J e Jz

J2 Jz2 12 JJ JJ 12 JJ

J J .O valor esperado deste operador

a, b| J2 Jz2 |a, b 12 a, b| JJ |a, b 12 a, b| J

J |a, bComo o bra de J |a, b so

J |a, b CD a, b| J , J |a, b CD a, b| JOu seja,

J |a, b c |a, b CD a, b| J a, b | cJ |a, b c |a, b CD a, b| J a, b | c

Logo,

a, b| JJ |a, b a, b| J J |a, b a, b | cc |a, b |c |2 0

Da mesma forma

a, b| J J |a, b 0.Portanto,

a, b| J2 Jz2 |a, b 0

Deve existir um b bmax tal queJ |a, bmax 0

Ou seja: o autovalor de b no pode aumentar alm de bmax. Disto obtm-se

JJ |a, bmax 0Mas,


JJ Jx2 Jy2 iJyJx JxJy J2 Jz2 Jz.

Assim,

J2 Jz2 Jz |a, bmax a bmax2 bmax |a, bmax 0Como |a, bmax no um ket nulo, conclui-se que

a bmax2 bmax 0ou

a bmaxbmax . (3.5.22)Da mesma forma, deve existir um bmin tal que

J |a, bmin 0Escrevendo

JJ J2 Jz2 Jzencontramos que

JJ|a, bmin 0ou

J2 Jz2 Jz |a, bmin a bmin2 bmin |a, bmin 0ou

a bminbmin (3.2.25)Comparando (3.2.25) com (3.2.22), ou seja,

a bmaxbmax bminbmin conclui-se que

bmax bmin (3.2.26)Com bmax 0, podemos inferir que os valores de b esto no intervalo

bmax b bmax. (3.2.27)Obteno de |a, bmax a partir de |a, bmin . Aplicando-se sucessivamente, um nmero de vezesfinito, o operador J ao ket |a, bmin , podemos obter o ket |a, bmax . Seja por exemplo,

|a, bmax n vezes

JJJ |a, bmin |a, bmin n

Logo,

bmax bmin n, (3.2.28)onde n um nmero inteiro. Como resultado, obtm-se

bmax bmax nou


bmax n2 . (3.2.29)

Conveno. Por conveno, vamos utilizar j ao invs de bmax, da seguinte forma

bmax jOu seja,

j n2 .Assim, o valor mximo do autovalor de Jz agora j, onde j qualquer inteiro ou semi-inteiro. AEq. (3.5.22) torna-se

a 2jj 1.Vamos tambm definir m tal que

b m.Assim,

j m jou

j m j.Ou seja, se j um inteiro, todos os valores de m sero inteiros; se j for semi-inteiro, todos osvalores de m sero semi-inteiros. Os valores permitidos de m para um dado j so

m 2j1 estados

j, j 1, , j 1, j (3.5.33)

Usando esta conveno, fazemos a substituio

|a, b |j, mpara denotar os autokets simultneos de J2 e Jz. As equaes bsicas de autovalores, so agora

J2 |j, m jj 12 |j, m

Jz |j, m m |j, m

(3.5.34a)

(3.5.34b)

onde j qualquer inteiro ou semi-inteiro, e m dado por (3.5.33). As Eqs. (3.5.34) representam aquantizao do momento angular. Ela uma consequncia direta das relaes de comutao que,por sua vez, segue da propriedade das rotaes juntamente com a definio de Jk como geradorde rotao.

Elementos de Matriz dos Operadores Momento AngularOs autokets |j, m formam uma base de kets normalizados para o operador momento angular:

j, m |j, m jjm m.

Elementos de matriz de J2 e Jz. Os elementos de matriz do operador J2 nesta base so

j, m | J2 |j, m jj 12j, m |j, m jj 12 jjm me

j, m | Jz |j, m mj, m |j, m m jjm m


Elementos de matriz de J. Para este caso, primeiro vamos considerar os elementos dematriz do operador J J. Este operador pode ser escrito como

J J JJ J2 Jz2 JzAssim,

j, m | J J |j, m j, m | J2 Jz2 Jz |j, m jj 12 m22 m2 2jj 1 mm 1

Mas

J |j, m cjm |j, m 1ento

j, m | J J |j, m j, m | J J |j, m j, m 1| cjm cjm |j, m 1 cjm 2.

Portanto,

cjm2 2jj 1 mm 1 2j mj m 1

A constante cjm determinada a menos de um fator de fase arbitrrio. costume (conveno)

escolher esta constante como sendo real e positiva:

cjm j mj m 1 Logo,

J |j, m j mj m 1 |j, m 1.De uma maneira similar, podemos obter

J |j, m j mj m 1 |j, m 1Finalmente, os elementos de matriz de J so:

j, m | J |j, m j mj m 1 jjm ,m1 (3.5.41)

Elementos de Matriz do Operador RotaoPara uma rotao R especificada por n e , os elementos de matriz do operador rotao so

Dm mj R j, m | exp J n |j, m (3.5.42)

Estes elementos de matriz so conhecidos como funes de Wigner. Observe que os elementosde matriz de DR entre estados com js diferentes se anulam: DR |j, m ainda um autoestadode J2 com o mesmo autovalor jj 12. De fato,

J2DR|j, m DRJ2|j, m jj 12DR|j, m

uma vez que J2,DR 0 como consequncia de J2, Jk 0 e, portanto, J2, FJk 0, ondeFJk significa qualquer funo de Jk.Rotaes no mudam o valor j, o que um resultado absolutamente lgico.


Representao irredutvel. s vezes, a matriz de dimensoes 2j 1 2j 1 formada peloselementos Dm m

j R referida na literatura como representao irredutvel 2j 1-dimensional dooperador rotao DR.A matriz que corresponde a um operador rotao arbitrria no espao ket no necessariamentecaracterizado por um nico valor j pode, com uma escolha apropriada da base, ser colocado naforma bloco-diagonal:

(3.5.44)

onde cada quadrado sombreado uma matriz quadrada 2j 1 2j 1 formada peloselementos Dm m

j R com qualquer valor definido de j. Alm disto, cada matriz quadrada no podeser quebrada em blocos menores

2j+1

k

k

2j+1-k

2j+

1-k

(3.5.45)

para qualquer escolha da base.

Grupo das matrizes de rotao. As matrizes de rotao para um dado j formam um grupo:

Identidade. um elemento do grupo, um vez que a matriz de rotao correspondedo anenhuma rotao 0 a matriz identidade 2j 1 2j 1.Inversa. Tambm um elemento do grupo, correspondendo inverso do ngulo de rotao , mantendo o eixo de rotao n .Fechamento. As matrizes possuem esta propriedade, uma vez que o produto de qualquer duasdelas tambm um elemento do grupo. Explicitamente, temos


m Dm m j R1 Dm mj R2 Dm mj R1R2 (3.5.46)

onde o produto R1R2 representa uma nica rotao.

Unitariedade. A matriz de rotao unitria, uma vez que o correspondente operador unitrio. Explicitamente, temos

Dm mj R1 Dmm j R

Significa fsico da matriz de rotaoSeja o estado |j, m; sob rotao encontramos

|j, m DR |j, m.Embora a rotao no mude o j, geralmente obtm-se estados com valores m diferentes do valororiginal.

Amplitude de probabilidade para |j, m . Para determinar a amplitude de probabilidade deencontrar o estado em |j, m , vamos expandir o estado final como segue:

DR |j, m m

|j, m j, m |DR |j, m

m

|j, m Dm mj R (3.5.49)

ngulos de Euler e a matriz DComo j sabemos, os ngulos de Euler, ,,, podem ser usados para caracterizar a rotao maisgeral. Assim, para um j arbitrrio

Dm mj ,, j, m | exp Jz exp

Jy exp

Jz |j, m

eim mj, m | exp Jy |j, m

A rotao central, de um ngulo em torno do eixo y, mistura diferentes valores de m. conveniente definirmos uma nova matriz dj como

dm mj j, m | exp Jy |j, m (3.5.51)

Logo,

Dm mj ,, eim mdm mj

ExemplosCaso j 1/2. Neste caso, os valores de m so

m 12 ,12 .

Escrevendo Jy 2 y e usando (3.2.44)

exp y2 cos/2 iy sen/2


A matriz d1/2 torna-sedm mj j, m | exp y2 |j, m

j, m | 1cos/2 iy sen/2 |j, m cos/2 m m i sen/2j, m |y|j, m

Como

y 0 ii 0

encontra-se

dj cos/2 1 00 1

i sen/2 0 ii 0

cos/2 00 cos/2

0 sen/2sen/2 0

ou

dj

m 1/2 m 1/2

cos 2 sen2

sen 2 cos2

Caso j 1. Agora os valores de m som 1, 0,1

o que deve resultar numa matriz 3 3. Neste caso no contamos mais com as propriedades dasmatrizes de Pauli. Mas, como

Jy J J2ipodemos usar (3.5.41), para j j, ou seja,

j, m | J |j, m j mj m 1 m ,m1Assim, a matriz Jy pode ser obtida a partir da relao

j, m | Jy |j, m 12i j, m | J |j, m 12i j, m

| J |j, mMas,

m 1| J |m 1 m2 m m 1| J |m 1 m2 m 1| J |0 2 , 0| J |1 2 0| J |1 2 1| J |0 2

sendo nulos os demais elementos. Logo,


m 1 m 0 m 1

12i J

j1 20 2 i 00 0 2 i0 0 0

m 1m 0

m 1

e

m 1 m 0 m 1

12i Jj1 2

0 0 02 i 0 0

0 2 i 0

m 1m 0

m 1

Portanto,

m 1 m 0 m 1

Jyj1 20 2 i 02 i 0 2 i0 2 i 0

m 1m 0

m 1

Como j conhecemos a representao matricial de Jyj1, agora podemos obter a expanso deTaylor de expiJy/. Seja a expresso

exp iJy 1 iJy

12!

2 Jy

2 13! i

3 Jy

3

Pode-se mostrar que

Jy

n

Jy

2n par

Jy , n mpar

Assim,

exp iJy 1 iJy

12!

2 Jy

2 13! i

3 Jy

3

1 Jy2

1 cos

1 2

2! iJy

33!

1 Jy2cos 1 i Jy sen

ou

exp iJy 1 Jy

21 cos i Jy sen


Logo,

dm mj1 j, m | exp Jy |j, m

j, m | 1 Jy21 cos i Jy sen |j, m

m m 1 cos j, m | Jy2

|j, m i sen j, m | Jy |j, m

Como

iJyj1

12

0 2 0 2 0 2

0 2 0e

Jyj1

2

122

0 2 i 02 i 0 2 i0 2 i 0

2

121 0 10 2 01 0 1

ento

d1 1 0 00 1 00 0 1

121 0 10 2 01 0 1

1 cos

120 2 0

2 0 20 2 0

sen

ou

d1 1 0 00 1 00 0 1

12 1 cos 0

12 1 cos

0 1 cos 0 12 1 cos 0

12 1 cos

0 12

sen 0

12

sen 0 12

sen

0 12

sen 0

sen

Finalmente, agrupando os termos obtm-se


d1

12 1 cos

12

sen 12 1 cos

12

sen cos 12

sen

12 1 cos

12

sen 12 1 cos

Evidentemente este mtodo torna-se cada vez mais trabalhoso medida que o j aumenta. Na Se.3.8 estudaremos um mtodo muito mais fcil de obter dm m

j para qualquer j.

3.6 Momento Angular OrbitalO momento angular foi definido como sendo o gerador de rotaes infinitesimais. Existe uma outramaneira de estudar o assunto, quando o momento angular de spin nulo ou pode ser desprezado.O momento angular J para uma partcula ento o mesmo que o momento angular orbital L,definido como

L r p. (3.6.1)

Momento Angular Orbital como Gerador de RotaesComo foi definido em (3.6.1), o momento angular L satisfaz as relaes de comutao paramomento angular:

Li, Lj i ijkLk (3.6.2)em virtude das relaes de comutao entre as componentes de r e p. Isto pode ser facilmentedemonstrado: Seja

Lx ypz zpyLy zpx xpz

ento

Lx, Ly ypz zpy, zpx xpz ypz, zpx zpy, xpz ypzzpx zpxypz zpyxpz xpzzpy ypxpz, z pyxz, pz ixpy ypx iLz.

e assim por diante.

Agora considere o operador

1 i Lz 1 i xpy ypx

atuando sobre um autoket arbitrrio da posio |x, y, z para examinarmos se ele pode serinterpretado como o operador de rotaes infinitesimais em torno do eixo z por um ngulo .Como o momento linear um gerador de translaes [v. Eq. (1.6.32)], isto ,


Tdx 1 ip dx ou seja,

Tdx |x 1 i p dx |x |x dx

encontra-se

1 i Lz |x, y, z 1 i x

py ypx |x, y, z

1 i py x i px y

|x, y, z 1 i py x

i px y |x, y, z

x y, y x, z

Isto corresponde a uma rotao infinitesimal de um ngulo em torno do eixo z. De fato, numarotao em torno do eixo z, as coordenadas x, y, z transormam-se de acordo com

x xcos y seny x sen ycos

Para um ngulo infinitesimal , valem as aproximaescos 1sen

Assim, para as coordenadas transformadas, obtm-se

x x y y y x z z

que o resultado obtido.

Funo de onda. Suponha agora que a funo de onda para um estado arbitrrio seja dadapor x, y, z |. Aps uma rotao por um ngulo em torno do eixo z, a funo de onda doestado transformado ser

x, y, z | 1 i Lz | x y, y x, z | (3.6.6)

Coordenadas esfricas. Mudando a base para coordenadas esfricas, isto

x, y, z | r,, |o estado tranformado torna-se, de acordo com (3.6.6)

r,, | 1 i Lz | r,, |

r,, | r,, |

Como r,, | um autoklet arbitrrio da posio, podemos identificarx |Lz| i x

| (3.6.9)

que um resultado bem conhecido da mecnica ondulatria.

Rotao em torno do eixo x. Vamos agora considerar uma rotao em torno do eixo x por um


ngulo x. Em analogia com (3.6.6) podemos escreverx, y, z | 1 i x Lx | x

, y z x, z yx | (3.6.10)

Expressando x, y e z em coordenadas esfricas, podemos mostrar que

x |Lx| i sen cotgcos x

| (3.6.11)

De maneira similar,

x |Ly| i cos cotg sen x

| (3.6.12)

Usando essas duas relaes e as definies de L, encontramos

x |L| iei i cotg x

| (3.6.13)

Finalmente, usando

L2 Lz2 12 LL LL (3.6.14)juntamente com (3.6.9) e (3.6.13), encontramos

x |L2| 2 1sen2

22

1sen

sen

x

| (3.6.15)

Exceto pelo fator 1/r2, esta a expresso para a parte angular do operador Laplaciano emcoordenadas esfricas.

Relao entre L2 e a parte angular de 2. Uma outra maneira de se obter esta relao trabalhar diretamente com o operador energia cintica.

Vamos primeiro considerar uma importante identidade de operadores:

L2 x2p2 x p2 i x ponde x2 x x e p2 p p.Demonstrao. O operador L2 pode ser escrito na forma

L2 k

LkLk

Mas

Lk ij

ijkxipj

ento

L2 k

ij

ijkxipj lm

lmkxlpm

ijlmk

ijkxipjlmkxlpm

ijlm

xipjxlpmkijklmk

Como


kijklmk il jm im jl

encontra-se

L2 ijlm il jm im jl xipjxlpm

ijlm

il jm xipjxlpm im jl xipjxlpm

ijlm

il jm xixlpj i jl pm im jl xipj pmxl i lm

ijlm

il jm xixlpj i jl pm ijlm

im jl xipj pmxl i lm

Cada termo pode ser reescrito como

ijlm

il jm xixlpj i jl pm

ijlm

il jm xixlpjpm iijlm

il jm jl xipm

il ilxixl

jm jmpjpm i

im

jl il jm jl xipm

i

xixij

pjpj iijm

l il jl jmxipm

x2p2 iijm

ij jmxipm

x2p2 iim

j ij jm xipm

x2p2 iim

im xipm

x2p2 im

i im xi pm

x2p2 im

xmpm

x2p2 ix pe


ijlm

im jl xipj pmxl i lm

ijlm

im jl xipjpmxl iijlm

im jl xipj lm

ijlm

im jl xipmpjxl iijlm im jl lmxipj

ijlm im jl xipmxlpj i jl i

ijlm im jl lmxipj

ijlm

im jl xipmxlpj iijlm

im jl jl xipm iijlm

im jl lmxipj

im

imxipmjl jl xlpj i

ixipi

jl jl jl i

lm lmxmpl

i

xipij

xjpj ii

xipi

3

j

1 il

xlpl

x p2 3ix p ix p x p2 2ix p

Substituindo estes resultados na equao para L2, encontra-se

L2 x2p2 ix p x p2 2ix pou

L2 x2p2 x p2 ix pElementos de matriz de cada termo de L2. Tomando-se os elementos de matriz de cadatermo de L2, encontramos

x | x p | x ix | ir r x

|Da mesma forma,

x | x p2 | x | x px p | x ix |x p| ix x |x p| ir r x

|x p| ir r x

ix | 2r r r

r x

|

2 r2 2r2 x | r r x

|

Ento,

x |L2 | x |x2p2| x |x p2| ix |x p|


Como x2 x x r2, obtm-sex |L2 | r2x |p2| 2 r2 2r2 x

| r r x | 2r r x

|

ou

x |p2| 2 2r2 x | 2r r x

| 1r2x |L2 |

Energia Cintica. Em termos da energia cintica p2/2m, temos

12m x

|p2| 22m 2x |

22mparte radial do Laplaciano

2r2 x

| 2r r x |

parte angular

12r2 x

|L2 |

em concordncia com (3.6.15).

Harmnicos EsfricosPartcula num potencial com simetria esfrica. Vamos considerar uma partcula sem spinsujeita a um potencial com simetria esfrica. Sabe-se que a equao de onda em coordenadasesfricas admite separao de variveis e as autofunes da energia pode ser escrita como

x |n, l, m RnlrYlm, (3.6.22)

Um Hamiltoniano esfericamente simtrico comuta com Lz e L2 e seus autoestados so tambmautoestados de L2 e Lz. Como Lk satisfazem as relaes de comutao do momento angular, asequaes de autovalores para L2 e Lz sero:

L2 |n, l, m ll 12 |n, l, mLz |n, l, m m |n, l, m

onde

m l, l 1, , l 1, l.Dependncia angular. Como a dependncia angular comum para todos os problemas comsimetria esfrica, podemos isol-la e considerar

n |l, m Ylm, Ylmn (3.6.23)onde definimos um autoket da direo |n . Deste ponto de vista, Ylm, a amplitude deprobabilidade para o estado caracterizado por l e m ser encontrado na direo n especificada por e . Assim, partindo da equao de autovalores para Lz,

Lz|l, m m |l, mmultiplicando pela esquerda pelo bra de |n , encontra-se

n |Lz|l, m m n |l, me, usando (3.6.9),

n |Lz|l, m i n |l, m

obtm-se


i n |l, m m n |l, m

Ou,

i Ylm, m Ylm,

o que implica que a dependncia em de Ylm, comporta-se como eim. Por outro lado, deL2 |l, m ll 12 |l, m

encontra-se

n | L2 |l, m ll 12 n |l, mDe (3.6.15),

n |L2| 2 1sen2

22

1sen

sen

n |

segue-se

2 1sen2

22

1sen

sen

n | ll 1

2 n |l, m

ou

1sen2

22

1sen

sen

ll 1 Yl

m 0. (3.6.28)

que a equao diferencial parcial satisfeita por Ylm.

Ortogonalidade. A relao de ortogonalidade,

l, m |l, m llm mfornece

dn l, m |n n |l, m llm mou

dn Ylm ,Ylm, 02

d 0

d sen Ylm ,Ylm,

0

2d

1

dcos Ylm ,Ylm, llm m (3.6.30)

onde usamos a completeza para os autokets da direo,

dn |n n | 1 (3.6.31)Clculo de Yll. Para obtermos os Ylm vamos partir com o caso m l. Aplicando o operadorlevantamento L ao ket |l, l devemos obter um ket nulo, ou seja,

L|l, l 0,uma vez que a ao de L sobre o valor de m aumentar por uma unidade um valor que j omximo. Multiplicando pela esquerda pelo bra de |n e usando o resultado dado em (3.6.13),obtm-se


iei i cotg n | l, l 0

Lembrando que a dependncia em dada por eim eil, e fazendon | l, l eiln | l

encontra-se

i ilcotg n | l 0ou seja

dd n | l lcotgn | l

n | l clel cotgd clel12 ln22 cos2 cl 2 2cos2 l

cl 2 21 sin2 sin2 l cl 4sin2 l

cl sen londe o fator 2 foi englobado na constante cl. Logo,

n | l, l Yll, cl eil sen l (3.6.34)A constante cl determinada pela condio de normalizao (3.6.30), obtendo-se

cl 1l

2 ll!2l 12l!

4 (3.6.35)

Clculo dos demais Ylm. Partindo de (3.6.34) e aplicando sucessivamente o operadorabaixamento L, podemos obter todos os Ylm. De uma maneira geral, podemos escrever

n |l, m 1 n | L |l, ml ml m 1 uma vez que

L |l, m l ml m 1 |l, m 1dado na Eq. (3.5.40). Usando novamente (3.6.13), encontra-se

n |l, m 1 1l ml m 1 iei i cotg

n | l, m

1l ml m 1

ei icotg n | l, m (3.6.36)

Fazendo-se m l, l 1, , obtm-se sucessivamente Yll, Yll1, , Yl0,Yll. O resultado geral, param 0

Ylm, 1l

2 ll!2l 1

4l m!l m! e

im 1senm

dlmdcos lm sen

2l (3.6.37)

e definimos Ylm atravs da relao

Ylm, 1mYlm, (3.6.38)

Dependncia em . Independente de m ser positivo ou negativo, a dependncia em deYlm, sen |m| vezes um polinmio em cos, com a maior potncia valendo l |m |. Para m 0,


obtm-se

Yl0, 2l 14 Plcos (3.6.39)

Podemos mostrar que os valores de l devem ser inteiros. Leia os argumentos no final da seo.

Harmnicos Esfricos como Matrizes de RotaoHE sob o ponto de vista das MR. Neste contexto, vamos construir o autoket |n a partir de |z ,aplicando operadores de rotao apropriado DR, tal que

|n DR|z (3.6.46)Isto pode ser obtido, usando-se a mesma tcnica para a construo do autospinor de n na Se.3.2 (veja figura abaixo):

(1) rotao em torno do eixo y; (2) rotao em torno do eixo z.

Segundarotao

Primeirarotao

|n |z

x

y

z

Em termos dos ngulos de Euler, , e , temosD , , 0.

A equao |n DR|z pode ser reescrita como uma expanso em termos de |l, m|n

l

m

DR |l, ml, m|z

onde |n contm todos os possveis valores de l. Projetando no estado l, m | apenas um termo nasoma l contribui, isto ,

l, m |n l

m

DR l, m |l, ml, m|z

l

m

l, m |DR |l, ml, m|z

m

Dm ml , , 0 l, m|z

uma vez que D s conecta estados com o mesmo valor de l ou j . Ou seja


l, m |n m

Dm ml , , 0 l, m|z (6.6.49)

Por definio

n |l, m Ylm,ento

z |l, m Ylm 0, indeterminadoe portanto

l, m|z Ylm 0, indeterminado um nmero. Sabe-se que, para 0, Ylm se anula para m 0, uma vez que |z um autoket deLz com autovalor zero. Assim,

l, m|z Ylm 0, indeterminado m0

2l 14 Plcoscos1

m0

2l 14 m0

Voltando Eq. (3.6.49), obtm-se

Ylm,

m

Dm ml , , 0 l, m|z

2l 14 m

Dm ml , , 0 m0

2l 14 Dm 0l , , 0

ou

Dm0l ,, 0 42l 1 Yl

m,,

(3.6.52)

Caso m 0. Para m 0, que de particular importncia, partindo deDm mj ,, eim mdm mj ,

com m m 0, encontramosD00j , , 0 d00j

Logo,

d00j

42l 1 Yl

0,

42l 12l 1

4 Plcos

ou seja,

d00j Plcos. (3.6.53)

3.7 Adio de Momentos Angulares


Aplicaes em todas as reas da fsica moderna alm de oferecer uma excelente oportunidadepara ilustrar os conceitos de mudana de base discutiva no Captulo 1.

Exemplos Simples de Adio de Momento AngularExemplo (1): Adio de momento angular orbital e de spin. Neste exemplo vamos estudarsistemas de spin 12 sem ignorar os outros graus de liberdade, como fizemos at agora. Uma

descrio realstica de uma partcula com spin deve levar em conta tanto os graus de liberdadeespaciais quanto os graus de liberdade internos.

Base ket para uma partcula de spin 12 . A base ket para uma partcula de spin12 pode ser

visualizada como sendo o espao produto-direto do espao ket infinito dimensional dos autoketsda posio |x e o espao bidimensional do spin, | e |. Explicitamente, para a base ket,temos

|x , |x | (3.7.1)onde qualquer operador no espao descrito por |x comuta com qualquer operador no espaodescrito por |.Operador rotao. Neste espao, o operador rotao tem ainda a forma expiJ n/, masJ, o gerador de rotaes, agora possui duas partes:

J L S (3.7.2)Forma mais evidente:

J L 1S 1x S (3.7.3)onde 1S o operador indentidade no espao do spin e 1x o operado identidade no espao dedimenso infinita dos autokets da posio.

Uma vez que L e S comutam, podemos escrever

DR DorbR DspinR exp iJ n exp

iS n (3.7.4)

Funo de onda. A funo de onda para uma partcula com spin escrita como

x ,| x (3.7.5)

As duas componentes s vezes so dispostas na forma de matriz coluna

x x

onde |x |2 representa a densidade de probabilidade de encontrar a partcula na posio x comspin para cima e para baixo .Base alternativas

Base formada pelos autokets de L2, Lz, S2 e Sz. Ao invs da base |x para a parte espacial,podemos usar |n, l, m que so autokets de L2 e Lz, ou seja,


L2 |n, l, m ll 12 |n, l, mLz |n, l, m m |n, l, m

e para a parte de spin |, que so autokets de S2 e Sz, ou seja,S2 | 12

12 1

2| 34 2|

Sz | 12 |.

Base formada pelos autokets de J2, Jz,L2 e S2. Como veremos mais adiante, podemostambm usar uma base formada pelos autokets de J2, Jz,L2 e S2.

Em outras palavras, podemos expandir um ket de estado de uma partcula com spin em termosdos autokets simultneos de L2, Lz, S2 e Sz ou em termos dos autokets simultneos de J2, Jz,L2 eS2.

Exemplo (2): Adio de dois momentos angulares de spin. Neste exemplo, vamos estudarduas partculas de spin 12 digamos, dois eltrons com o grau de liberdade orbital ignorado.

O operador spin total geralmente escrito como

S S1 S2 (3.7.7)que deve ser entendido como

S S1 12 11 S2 (3.7.8)onde 11 representa o operador identidade no espao de spin do eltron 1, e 12, no espao de spindo eltron 2.

Como sabemos,

S1x, S2y 0, (3.7.9)Dentro do prprio espao, temos as relaes de comutao usuais:

S1x, S1y iS1z, S2x, S2y iS2z, (3.7.10)Como consequncia das anteriores, as relaes de comutao para o operador spin total so

Sx, Sy iSz, (3.7.11)

Autovalores dos operadores spins. Os autovalores para os vrios operadores de spin solistados abaixo

Operador AutovalorS2 S1 S2 2 ss 12Sz S1z S2z mS1z m1S2z m2

Expanso de um estado de spin arbitrrio. Podemos expandir um estado de spin arbitrrioem termos dos autokes de S2 e Sz ou em termos dos autokets de S1z e S2z. As duas possibilidadesso:

1. A representao m1, m2 baseada nos autoketes de S1z e S2z:|m1, m2 |,, |, |, e |,


2. A representao s, m (representao singleto-tripleto) baseada nos autokets de S2 e Sz:|s, m |s 1, m 1, |s 1, m 0, |s 1, m 1,

|s 0, m 0.onde s 1 s 0 tripleto de spin (singleto de spin).

Observe que em cada conjunto existem quatro kets de base. A relao entre os dois conjuntos :

|s 1, m 1 |, a|s 1, m 0 1

2|, |, b

|s 1, m 1 |, c|s 0, m 0 1

2|, |, d

(3.7.15)

Demonstrao. O lado direito de a nos diz que temos ambos os eltrons com spin para cima;esta situao s pode corresponder a s 1 e m 1. A b pode ser obtida de a, aplicando-se ooperador abaixamento

S S1 S2 S1x iS1y S2x iS2y (3.7.16)a ambos os lados de a. Ou seja,

S |s 1, m 1 S1 S2 |, (3.7.17)onde S1 S2 afeta apenas a primeira (segunda) entrada de |,. Lembrando que

J |j, m j mj m 1 |j, m 1encontramos para este caso:

1 11 1 1 |s 1, m 0 12 12

12

12 1 |,

12 12

12

12 1 |,

ou

2 |s 1, m 0 |, |, |s 1, m 0 1

2|, |,

Da mesma forma, podemos obter c:

S |s 1, m 0 12 S1 S2 |, |,

ou


1 01 0 1 |s 1, m 1

12

S1 |, S1|, S2 |, S2|,

12

0 S1|, S2 |, 0

12

12

12

12

12 1 |,

12 12

12

12 1 |,

ou

2 |s 1, m 1 2 |, |s 1, m 1 |,.Finalmente, a d pode ser obtida, exigindo que este seja ortogonal aos outros trs kets, emparticular ao b.Coeficientes de Clebsch-Gordan. Os coeficientes que aparecem do lado direito de (3.7.15)so o exemplo mais simples dos coeficientes de Clebsch-Gordan, que sero discutidos maisadiante. Eles representam simplesmente os elementos da matriz de transformao que conecta abase m1, m2 base s, m.Outra forma de obter os coeficientes. Uma outra maneira de se obter esses coeficiente escrever a representao matricial do operador

S2 S1 S2 2 S12 S22 2S1 S2 S12 S22 2S1zS2z S1S2 S1S2 (3.7.19)

na base m1, m2. Ou seja

m1, m2 | ,| ,| ,| ,|

|m1, m2

S2 22 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2

|,|,|,|,

Como se pode observar, esta matriz quadrada no diagonal, devido aos operadores S1 e S2que conectam estados |m1, m2 com |m1 1, m2 1. Mas podemos mostrar que esta matriz diagonalizado por uma matriz unitria do tipo

U

1 0 0 0

0 12

12

0

0 12

12

0

0 0 0 1

uma vez que


U1S2U

1 0 0 0

0 12

12

0

0 12

12

0

0 0 0 1

2 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2

1 0 0 0

0 12

12

0

0 12

12

0

0 0 0 1

2 0 0 00 3 0 00 0 1 00 0 0 2

Os elementos da matriz U que diagonaliza S2 so os coeficientes de Clebsch-Gordan para esteproblema.

Teoria Formal da Adio de Momento AngularConsidere dois operadores momentos angulares J1 e J2. Suas componentes satisfazem asrelaes de comutao usuais para momento angular:

J1i, J1,j iijkJ1k (3.7.20a)e

J2i, J2,j iijkJ2k (3.7.20b)

Porm,

J1k, J2j 0 (3.7.21)entre os pares de operadores de diferentes subespaos.

Operador rotao infinitesimal. O operador rotao infinitesimal que afeta ambos ossubespaos, 1 e 2, escrito como

1 iJ1 n 1 iJ2 n

1 iJ1 12 11 J2 n

(3.7.22)

O momento angular total definido por

J J1 12 11 J2 (3.7.23)que mais comumente escrito como

J J1 J2 (3.7.24)Rotao finita. A verso de ngulo finito de (3.7.22)

D1R D2R exp iJ1 n expiJ2 n

(3.7.25)

Relao de comutao do momento total. Devido a (3.7.20) e (3.7.21), o momento angulartotal satisafaz as relaes de comutao

Ji, Jj iijkJk (3.7.26)

Escolha da base. Temos duas opes para a escolha da base:


Opo A - Base formada pelos autokets simultneos de J12,J22, J1z e J2z, denotado por|j1j2;m1m2 . Esses operadores comutam entre si. As equaes de autovalores para essesoperadores so

J12 |j1j2;m1m2 j1j1 12 |j1j2;m1m2 J1z|j1j2;m1m2 m1|j1j2;m1m2 J22 |j1j2;m1m2 j2j2 12 |j1j2;m1m2 J2z|j1j2;m1m2 m2|j1j2;m1m2

Opo B - Base formada pelos autokets simultneos de J2,J12,J22, e Jz. Esses operadorescomutam entre si. Denotamos esta base por |j1j2; jm. As equaes de autovalores paraesses operadores so

J12 |j1j2; jm j1j1 12 |j1j2; jmJ22 |j1j2; jm j2j2 12 |j1j2; jmJ2 |j1j2; jm jj 12 |j1j2; jmJz|j1j2; jm m|j1j2; jm

Embora se tenha

J2, Jz 0, (3.7.31)esta relaao no vale para as componentes z de J1 e J2, ou seja,

J2, J1z 0 e J2, J2z 0 (3.7.32)como pode se demonstrado, escrevendo-se

J2 J12 J22 2J1zJ2z J1J2 J1J2.Mudana de base. Vamos considerar a transformao unitria que conecta as duas bases:

|j1j2; jm m1

m2

|j1j2;m1m2 j1j2;m1m2 |j1j2; jm (3.7.33)

onde usamos

m1

m2

|j1j2;m1m2 j1j2;m1m2 | 1 (3.7.34)

Os elementos de matriz j1j2;m1m2 |j1j2; jm desta transformao so os coeficientes deClebsch-Gordan, Cjm

m1m2 .

Propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan

1. Os coeficientes Cjmm1m2 so nulos, exceto param m1 m2.

Demonstrao: Seja Jz J1z J2z. EntoJz |j1j2; jm J1z J2z |j1j2; jm m m1 m2.

2. Os coeficientes Cjmm1m2 so nulos, exceto para|j1 j2 | j j1 j2. (3.7.38)

Demonstrao: Esta a verso quntica do modelo vetorial da adio de dois momentosangulares, onde visualisamos J como a soma vetorial de J1 e J2. Porm, importante verific-la,mostrando que, se (3.7.38) vlida, ento a dimensionalidade do espao definido por|j1j2;m1m2 a mesma de |j1j2; jm. No primeiro caso, a dimenso vale


N 2j1 1 2j2 1 (3.7.39)Para o segundo caso, considerando j1 j2, vemos que, para cada valor de j, existem 2j 1estados e, de acordo com (3.7.38) j pode variar desde j1 j2 at j1 j2. Assim,

N jj1j2

j1j22j 1

2j1 j2 1 2j1 j2 12j2 12 2j1 1 2j2 1Uma vez que ambas as contagem do o mesmo valor de N, vemos que (3.7.38) consistente(veja prova no Apndice B).

Os coeficientes de Clebsch-Gordan forma uma matriz unitria. Alm disso, os elementos dematriz, por conveno, so tomados como sendo reais. Uma consequncia imediata disto, que

j1j2;m1m2 |j1j2; jm j1j2; jm |j1j2;m1m2ou seja, os inversos so iguais aos prprios coeficientes. Uma matriz unitria real ortogonal.Assim,

jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1 m2 |j1j2; jm m1m1 m2m2 (3.7.41)

ou seja,

jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1 m2 |j1j2; jm

jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2; jm |j1j2;m1 m2

j1j2;m1m2 |j1j2;m1 m2 m1m1 m2m2devido ortogonalidade dos estados |j1j2;m1m2, juntamente com a condio de que oscoeficientes so reais. Da mesma forma,

m1,m2

j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; jm jjmm (3.7.42)

ou seja,

m1,m2

j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; jm

m1,m2

j1j2; jm |j1j2;m1m2j1j2;m1m2 |j1j2; jm

j1j2; jm |j1j2; jm jjmm onde usamos argumentos similares.

Normalizao de |j1j2; jm. Como caso especial deste ltimo, faamos j j, m m m1 m2.Obtm-se


m1,m2

j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; jm

m1,m2

|j1j2;m1m2 |j1j2; jm|2 1

que justamente a condio de normalizao para |j1j2; jm.Smbolo 3j de Wigner. Os coeficientes de Clebsch-Gordan podem tambm ser escritos emtermos dos smbolos 3j de Wigner:

j1j2;m1m2 |j1j2; jm 1 j1j2m 2j 1 j1j2jm1m2 m

(3.7.44)

Relaes de Recorrncia para os Coeficientes de Clebsch-GordanFixando-se j1, j2 e j, os coeficientes com diferentes valores de m1 e m2 esto relacionados entre siatravs de relaes de recorrncia. Partindo com

J|j1j2; jm J1 J2 m1m2

|j1j2;m1 m2

e usando (3.5.39) e (3.5.40) obtemos

j mj m 1 |j1j2; j, m 1

m1m2

j1 m1 j1 m1 1 |j1j2;m1 1, m2

j2 m2 j2 m2 1 |j1j2;m , m2 1 j1j2;m1 m2 |j1j2; jm

Multiplicando agora o resultado por j1j2;m1m2 | e usando a ortogonalidade, que significacontribuies no nulas para o lado direito apenas se

m1 m1 1, m2 m2 , primeiro termom1 m1 , m2 m2 1, segundo termo.

Desta forma, obtm-se as relaes de recorrncia desejadas:

j mj m 1 j1j2;m1m2|j1j2; j, m 1 j1 m1 j1 m1 1 j1j2;m1 1, m2|j1j2; jm

j2 m2 j2 m2 1 j1j2;m1, m2 1|j1j2; jm (3.7.49)

Suprimindo a j1j2 da notao, isto ,

|j1j2; jm |jm e |j1j2;m1m2 |m1m2podemos escrever

j mj m 1 m1m2|j, m 1 j1 m1 j1 m1 1 m1 1, m2|jm

j2 m2 j2 m2 1 m1, m2 1|jm (3.7.49)

Visualizao das relaes de recorrncia. Representando os valores dos m s no plano m1m2,as relaes de recorrncia para J diz-nos que os coeficientes para m1, m2 esto relacionados


aos coeficientes para m1 1, m2 e m1, m2 1. Da mesma forma, para J, a relao derecorrncia relaciona os trs coeficientes cujos valores de m1 e m2 so dados na figura da direita.

(m1-1,m2)

(m1,m2-1)

(lado direito)

J+

J-

(lado direito)

(m1,m2)(lado esquerdo)

(m1,m2)(lado esquerdo)

(m1,m2+1)(lado direito)

(m1+1,m2)(lado direito)

Os coeficientes de Clebsch-Gordan e as relaes de recorrncia. Considere o plano m1m2com j1, j2 e j fixos. Na parte (a) da figura abaixo, plotamos o contorno da regio permitidadeterminado por

|m1 | j1, |m2 | j2, j m m1 m2 j.

A

m1 + m2 = j

m2 = j2

m2 = - j2

m1 = - j1 m1 = j1

AD

E

F C

B x

proibido!J+

J+

J-

J-

(a) (b)

J-

m1 + m2 = - j

Partimos com o canto direito superior representado por A.

Aplicamos a relao de recorrncia para J (sinal inferior) com m1, m2 1correspondendo a A. Observe que esta relao s conecta A com B, porque o stiocorrespondendo a m1 1, m2 proibido por m1 j1. Como resultado, obtemos oscoeficientes de C-G de B em termos dos coeficientes de A.

Em seguida, forma-se o tringulo J com A, B e D. Isto permite encontrar o coeficientte deD, uma vez que o coeficiente de A seja especificado.

Conhecendo-se B e D, podemos obter E.


Conhecendo-se B e E podemos obter C e assim por diante.

Adio de j1 l e j2 s 12Considere o seguinte exemplo de adio do momento angular orbital com o momento angular despin 1/2:

j1 l, inteiro, m1 mlj2 s 12 , m2 ms

(3.7.52)

Valores de j permitidos . Neste caso, os valores de j permitidos so

j l 12 , l 0.j 12 , l 0.

(3.7.53)

Assim, para cada l, existem dois valores permitidos para j

j l 12 e l 12 .

Por exemplo, para l 1 (estado p), os valores permitidos de j so: j 32 e12 . Na notao

espectroscpica, p3/2 e p1/2 onde o subscrito refere-se a j.

Plano m1m2. O plano m1m2, ou melhor, o plano mlms deste problema particularmentesimples: os stios permitidos formam apenas duas linhas. A linha superior, para ms 12 , e ainferior, para ms 12 .

Caso j l 12 . Vamos estudar o caso especfico j l 12 . Uma vez que ms no pode ser

maior que 12 , podemos usar a recorrncia de J de maneira que sempre estaremos na linha

superior m2 ms 12 , enquanto que o valor de ml varia por uma unidade, cada vez queconsideramos um novo tringulo J. De (3.7.49) (sinal inferior), para m1 ml m 12 em2 ms 12 , ou seja,

j mj m 1 mlms|j, m 1 j1 m1 j1 m1 1 ml 1, ms|jm

j2 m2 j2 m2 1 ml, ms 1|jmencontramos fazendo m m 1:

l 12 m 1 l 12 m m

12 ,

12 |l

12 , m

l m 12 l m 12 m

12 ,

12 l

12 , m 1

Logo,


m 12 ,12 |l

12 , m

l m 12 l m 12

l 12 m 1 l 12 m

m 12 ,12 l

12 , m 1

ou

m 12 ,12 l

12 , m

l m 12l m 32

m 12 ,12 l

12 , m 1

Fazendo m m 1, sucessivamente, nesta equao, at que m l, encontramos

m 12 ,12 l

12 , m 1

l m 32l m 52

m 32 ,12 l

12 , m 2

m 32 ,12 l

12 , m 2

l m 52l m 72

m 52 ,12 l

12 , m 3

m 52 ,12 l

12 , m 2

l m 72l m 92

m 72 ,12 l

12 , m 4

l 1, 12 l

12 , l 1

12

2l2l 1 l,

12 l

12 , l

12

e, portanto,

m 12 ,12 l

12 , m

l m 12l m 32

l m 12l m 32

l m 32l m 52

2l2l 1 l,12 l

12 , l

12

l m 12

2l 1 l,12 l

12 , l

12 . (3.7.57)


ms

ml

J- J- J-

x x x

Configurao de valores mximos: m1 l e m2 12 . Neste caso, o valor total m m1 m2vale m l 12 , que s ser possvel para j l

12 e no para j l

12 . Assim:

ml l, ms 12 j l 12 , m l

12

onde um fator de fase. Tomando este fator de fase real e positivo, igual unidade, porconveno, encontramos

ml l, ms 12 j l 12 , m l

12 l,

12 l

12 , l

12 1 (3.7.58)

Assim, de (3.7.57)

m 12 ,12 l

12 , m

l m 122l 1 (3.7.59)

Estados j l 12 , m e j l 12 , m . Como m ml ms, os valores de ml e ms podem ser,

para ambos os estados: a ml m 12 e ms 12 e b ml m

12 e ms

12 . Assim, esses

estados conectam ambos. Logo,

j l 12 , m a ml m 12 , ms

12 b ml m

12 , ms

12

j l 12 , m c ml m 12 , ms

12 d ml m

12 , ms

12

O parmetro a pode ser facilmente obtido de (3.7.59), sendo dado por a l m 12

2l 1 . Portanto,

j l 12 , m l m 12

2l 1 ml m 12 , ms

12

b ml m 12 , ms 12 .

j l 12 , m c ml m 12 , ms

12

d ml m 12 , ms 12

Isto pode ser escrito na forma matricial

j l 12 , mj l 12 , m

a bc d

m 12 ,12

m 12 ,12


Devido ortogonalidade, espera-se que a matriz de transformao seja da forma,

a bc d

cos sen sen cos

Como cos a l m 12

2l 1 , podemos encontrar

sen b 1 cos2 1 l m 12

2l 1 2l 1 l m 12

2l 1

l m 12

2l 1Portanto, a matriz de transformao ser:

l m 122l 1

l m 122l 1

l m 12

2l 1l m 12

2l 1

3.8 Modelo de Oscilador de Schwinger do Momento AngularExiste uma conexo entre a lgebra do momento angular e a lgebra de dois osciladoresdesacoplados. Vamos considerar dois tipos de oscilador: oscilador tipo mais e oscilador tipomenos. Os operadores de criao e destruio so denotados por a e a . Os operadoresnmeros so definidos por

N a a (3.8.1)Relaes de comutao. Admitimos que as relaes de comutao para a, a e N so domesmo tipo que dos osciladores. Ou seja,

a, a 1, a, a 1,N, a a, N, a a,

N, a a , N, a a . (3.8.2)

Para osciladores diferentes (desacoplados),

a, a 0, (3.8.3)Como N e N comutam, podemos definir autoestados simultneos desses operadores, |n, n ,ouseja,

N|n, n n|n, n , N|n, n n|n, n (3.8.4)Ao dos operadores a e a. Em analogia com o problema do oscilador, segue que

a |n, n n 1 |n 1, n , a |n, n n 1 |n, n 1,a|n, n n |n 1, n , a|n, n n |n, n 1.

(3.8.5)


Ket |n, n a partir do vcuo |0, 0. Para obter o ket |n, n basta aplicar sucessivamente a ea ao vcuo |0, 0. Isto

a a |0, 0 |1, 1 |1, 1 a a |0, 0

a a |1, 1 2 2 |2, 2 |2, 2 a

2a

2|1, 1 a

2

2a 2

2|0, 0

a a |2, 2 3 3 |3, 3 |3, 3 a

3a

3|2, 2 a

3

3 2a 33 2 |0, 0

onde

a |0, 0 0 (3.8.6)De uma maneira geral

|n, n a na nn! n!

|0, 0 (3.8.7)

Agora definimos

J a a, J a a

Jz 2 a a a a 2 N N

(3.8.8a)

(3.8.8b)

Estes operadores satisfazem as relaes de comutao de momento angular:

Jz, J J, J, J 2Jz (3.8.9)Definindo o operador nmero total, N, como

N N N a a a a,podemos mostrar que

J2 Jz2 12 JJ JJ 22 N

N2 1 .

Demonstrao. Como J2 Jx2 Jy2 Jz2 e escrevendo J Jx iJy, obtm-se Jx 12 J J eJy 12i J J , ento

J2 Jx2 Jy2 Jz2 Jz2 14 J J

2 12 J J 2

Jz2 14 JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ Jz2 14 2JJ 2JJ Jz2 12 JJ JJ

Como J a a e J a a, a, a 1 e a, a 0 encontramosJJ 2 a aa a 2 a 1 a a a

2 a a1 a a 2N1 N

Da mesma forma


JJ 2 a aa a 2 a 1 a a a 2 a a 1 a a 2N1 N

assim como,

Jz2 24 N N 2 24 N

2 N2 2NN onde usamos N, N 0. Logo,

J2 Jz2 12 JJ JJ 24 N

2 N2 2NN 22 N1 N N1 N

22N2 N2 2NN

2 N NN N NN

22N2 N2 2NN 2N N 4NN

2

22N2 2N

2

22 NN2 1

como foi antecipado.

Interpretao Fsica1) interpretao 1

spin para cima uma unidade quntica do oscilador tipo mais. spin para baixo uma unidade quntica do oscilador tipo menos.2) interpretao 2

uma partcula de spin 1/2 com spin para cima cada uma unidade quntica dooscilador tipo mais.

uma partcula de spin 1/2 com spin para baixo cada uma unidade quntica dooscilador tipo menos.

Os autovalores n representam o nmero de spins para cima e para baixo . J a a destri uma unidade de spin para baixo, com componente z do momento

angular /2 e cria uma unidade de spin para cima, com componente z do momentoangular /2: a componente z do momento angular aumenta uma unidade de .

J a a destri uma unidade de spin para cima, com componente z do momentoangular /2 e cria uma unidade de spin para baixo, com componente z do momento angular/2: a componente z do momento angular diminui uma unidade de .

Jz N N /2 calcula o produto de /2 pela diferena de n e n, exatamente acomponente z do momento angular total.

Ao de J e Jz sobre |n, n . Estes operadores atuam sobre |n, n da seguinte maneira:


J |n, n a a|n, n n n 1 |n 1, n 1 nn 1 |n 1, n 1,

J |n, n a a|n, n n n 1 |n 1, n 1 nn 1 |n 1, n 1,

Jz|n, n 2 N N |n, n 12 n n |n, n

(3.8.13a)

(3.8.13b)

(3.8.13c)

Note que em todas essas operaes, a soma n n, que corresponde ao nmero total de departculas de spin 1/2, permanece constante.

Essas expresses podem ser reduzidas s formas familiares de momento angular, fazendo-se

n j m, n j m (3.8.14)Assim,

nn 1 j mj m 1 ,nn 1 j mj m 1 , (3.8.15)

Tambm, os autovalores de J2, definido em (3.8.12) ser

J2|n, n 22 NN2 1 |n, n

22 n n n n

2 1 |n, n Assim, como n n j m j m 2j

22 n n

n n2 1

22 2j

2j2 1

2 jj 1

Relao entre os elementos de matriz do oscilador e do momento angularDe (3.8.14), podemos usar

j 12 n n , m 12 n n ,

no lugar de n e n, para caracterizar autokets simultneos de J2 e Jz. Ou seja,

|n, n |j, m.Ao de J sobre |j, m. Como vimos, o operador J atuando sobre |n, n muda n para n 1e n para n 1, ou seja,

J |n, n nn 1 |n 1, n 1Usando , isto ser

J |n, n J j n n2 , m n n

2 j mj m 1

j n 1 n 12 , m n 1 n 12

j mj m 1 j n n2 , m n n2 1

onde j j j e m m m 1:J |j, m j mj m 1 |j, m 1.

De forma similar para J. A Eq. (3.8.7), ou seja,


|n, n a na nn! n!

|0, 0

pode ser escrita agora para o autoket mais geral de N, N

|j, m a jma jm

j m!j m! |0 (3.8.18)

Caso de interesse. Seja m j, que fisicamente significa que o autovalor de Jz o maiorpossvel para um dado j. Logo,

|j, j a 2j

2j! |0 (3.8.19)

Podemos imaginar este estado como sendo o estado de 2j partculas de spin 1/2 com todos osspins apontando na direo positiva do eixo z.

Observao (1) Em geral, notamos que objetos complicados com valores altos de j podem servisualizados como sendo constitudos de partculas de spin 1/2, das quais j m com spins paracima e j m com spins para baixo.Observao (2) Embora nem sempre se possa considerar literalmente um objeto de momentoangular j como um sistema composto de partculas de spin 1/2, sempre possvel afirmar que,enquanto estamos considerando as propriedades de transformao sob rotaes, podemosvisualizar qualquer objeto de momento angular j como um sistema composto de 2j partculas despin 1/2 formado da maneira indicada pela Eq. (3.8.18).

Leia o restante da seo.

Frmula Explcita para Matrizes de RotaoO esquema de Schwinger pode ser usado para obter, de uma maneira bastante simples, umafrmula fechada para as matrizes de rotao.

Vamos aplicar o operador DR a |j, m. Na notao dos ngulos de Euler, a nica rotao notrivial aquela em torno do eixo y

DR D,, |0 expiJy

Assim,

DR |j, m DR a jma jm

j m!j m! |0

DRaD1R jmDRaD1R jm

j m!j m! (3.8.21)

Como

DR|0 exp iJy |0

1 i Jy 12!

i

2Jy2 |0


e com Jy 12i J J 2i a

a a a ,

Jy|0 2i a a a a |0

0devido a (3.8.6). Assim,

DR|0 |0.Logo,

DRaD1R exp iJy a exp iJy (3.8.22)

Usando o lema de Baker-Hausdorff com

A a , G Jy , Calculando os diversos comutadores do tipo G, A, G, G, A, encontramos

Jy , a

12i a a a a , a

12i a a, a a a, a

12i a a, a a , a a a a, a a , a a

12i a 0 0 a a a, a 0 a

12i a a, a

12i a

Jy ,

Jy , a

Jy ,12i a

12iJy , a

14 a

Assim

exp iJy a exp iJy

a i Jy , a i2!

2 Jy ,

Jy , a

i3!3 Jy

,Jy ,

Jy , a

ou

exp iJy a exp iJy a

i 12i a i2!

2 14 a

Finalmente,


exp iJy a exp iJy a

2 a i2!

2 14 a

a 1 i2!2

22 a 2 a

a cos 2 a sen 2 .

ou seja,

exp iJy a exp iJy a

cos 2 a sen 2 (3.8.25)

Da mesma forma

exp iJy a exp iJy a

cos 2 a sen 2 (3.8.26)

Substituindo estas duas ltimas expresses em (3.8.21), encontra-se

DR |j, m

DRaD1R jmDRaD1R jm

j m!j m! |0

a cos

2 a

sen 2jm

a cos2 a

sen 2jm

j m!j m! |0

Recorrenco ao teorema binomial,

x yN k

N!N k! k! x

Nkyk (3.8.28)

encontramos

a cos2 a

sen 2jm

k

j m!j m k! k! a

cos 2jmk

a sen2

k

e

a cos2 a

sen 2jm

l

j m!j m l! l! a

sen 2jml

a cos2

l.

Logo,

D 0,, 0 |j, m 1

j m!j m! k lj m!

j m k! k! a cos 2

jmka sen

2

k

j m!j m l! l! a sen 2

jmla cos

2

l|0

Ou,


D 0,, 0 |j, m

k

l

j m!j m!j m k! k!j m l! l!

1 jlm a 2jkla kl cos 2jmkl

sen 2jklm

|0 (3.8.29)

Outra maneira de expressar este resultado usar (3.5.49), (3.5.5.1) e (3.8.18) , isto ,

D 0,, 0 |j, m m

|j, m dmm j

m

dmm j a

jm a jm

j m !j m !|0 (3.8.30)

Comparando as duas expresses, podemos obter uma forma explcita para dmm j , atravs da

igualdade dos coeficientes das potncias de a . Especificamente,

a2jkl a jm

o que nos fornece

2j k l j m l j k m (3.8.31)Para m constante, esta relao nos diz que as somas em k e l no so independentes. Eliminandol de acordo com (3.8.31),

a kl a jm

fica automaticamente satisfeita. Os expoentes do sen/2, cos/2 e 1 ficam, com estasubstiuio

cos 2jmkl

cos 2jmkjkm

cos 22j2kmm

sen 2jklm

sen 2jkjkm m

sen 22kmm

1 jlm 1kmm

Portanto, (3.8.29), aps eliminarmos a soma em l, torna-se

D 0,, 0 |j, m

k

ajm a jm

j m !j m !j m!j m! j m !j m !

j m k! k!j m l! l!

1kmm cos 22j2kmm

sen 22kmm

|0

Comparando com (3.8.30) para um m fixo, encontramos

dm mj

k1kmm j m!j m! j m

!j m !j m k! k!j m l! l!

cos 22j2kmm

sen 22kmm

(3.8.33)

que a frmula de Wigner para dm mj .

3.9 Medida de Correlao de Spin e Desigualdade de Bell


Correlaes em Estados Singletos de SpinSistema de dois eltrons num estado singleto. Considere dois eltrons com spin total zero.O estado ket pode ser escrito como

|singleto 12

|z ;z |z ;z (3.91)

Medida da componente de spin de um dos eltrons. Existe uma chance de 50% de se obter(numa medida) qualquer uma das componentes do spin para cada um dos eltrons, uma vez que osistema composto pode estar em |z ;z ou |z ;z com igual probabilidade.Conhecendo a componente do spin de um dos eltrons. Suponha que um dos eltronsesteja, com certeza, no estado de spin para cima, o outro eltron est necessariamente no estadode spin para baixo.

Medida. Quando a componente do spin do eltron 1 est para cima, o aparelho de medidaseleciona o primeiro termo, |z ;z , de (3.9.1); uma medida subseqente da componente do spindo eltron 2 deve confirmar que o estado ket do sistema composto dado por |z ;z .Correlao. Este tipo de correo pode persistir mesmo quando as duas partculas esto muitoseparadas e j interagem uma com a outra. A exigncia que medidas que elas se afastem noexista nenhuma mudana em seus estados de spin.

Visualizao. Considere a figura que representa um sistema de duas partculas de spins ,movendo-se em direes opostas.

Partcula 2B APartcula 1

Observadores. O observador A mede Sz da partcula 1 (indo para a direita), enquanto que oobservador mede o Sz da partcula 2 (esquerda).

O observador A realiza medida. Se A encontrar Sz , ento mesmo antes de B realizar suamedida, A pode predizer com certeza que o resultado de B ser Sz para a partcula 2.O observador A no realiza medida. Sem realizar sua medida, A pode apenas afirmar que oresultado de B tem 50% de chance para encontrar Sz ou Sz .Este resultado parece no ser to estranho. Podemos dizer: parecido com o caso de umacaixa que contm uma bola preta e uma branca. Quando, sem olhar, retiramos uma delas, existeuma chance de 50% de tirarmos a bola preta ou a branca. Mas se a primeira for a bola preta, entopodemos dizer com certeza que a segunda bola ser a branca.

A situao quntica mais complexa. De fato, os observadores podem querer medir Sx aoinvs de Sz. Em termos da analogia com a caixa, como se o mesmo par de bolas qunticaspudesse ser analizado em termos de preto e branco ou em termos de azul e vermelho.

Sx em termos de Sz. Para um nico spin, sabemos que


|x , 12

|z |z |z , 12

|x |x (3.9.3)

Logo, para nosso sistema composto,

|singleto 12

|x ;x |x ;x (3.9.4)

Observador A. Pode medir tanto Sz como Sx da partcula 1, bastando apenas mudar aorientao do analizador de spin.

Observador B. S pode medir Sx para a partcula 2.

O observador A realiza uma medida de Sz. Se A obtm Sz para a partcula 1, a medida de Bpode resultar numa das duas Sx ou Sx , com igual chance. Mesmo conhecendo-se o Sz dapartcula 2, sua componente Sx completamente indeterminada.

O observador A realiza uma medida de Sx. Se A tambm obtm Sx para a partcula 1, entocom certeza o observador encontrar Sx para a partcula 2.O observador A no realiza medida. Neste caso, B ter uma chance de 50% para obter Sx ou Sx .Resumo:

1. Se A mede Sz e B mede Sx, existe uma correlao completamente aleatria entre as duasmedidas.

2. Se A e B medem Sx, existe 100% de correlao de sinais opostos entre as duas medidas.

3. Se A no realiza medida, as medidas de B apresentam resultados aleatrios.

Os observadores A e B podem medir Sx ou Sz. Neste caso, todos os resultados possveisdessas medidas de correlao de spin so mostradas na tabela abaixo:

Medida de A Resultado de A Medida de B Resultado de Bz z z x x z x z z x x x z x x x z z z x x z x z

Leia o restante da seo.

3.10 Operadores Tensoriais


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Notas de Quântica do Prof Abraham - Cap. 3