Notas Dinamica U1 20161S DVB

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DINÁMICA

M1005SEMESTRE ENERO 2016 – MAYO 2016

MIR DAVID VILCHIS BERNAL

Notas del curso


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CONTENIDO

Tema 1. Cinemática plana decuerpos rígidos

2

!

1.1 Introducción a la cinemática de cuerpos rígidos, aplicada a mecanismos.

!

1.2 Diagramas de cuerpo libre.!

1.3 Traslación y rotación de un cuerpo rígido.

!

1.4 Movimiento general plano de un cuerpo rígido.

!

1.5 Método vectorial de velocidades relativas referidas a un eje fijo.

! 1.6 Método de centros instantáneos de velocidad cero.

! 1.7 Métodos de análisis de aceleración.

!

1.8 Método vectorial de aceleraciones relativas referidas a ejes fijos.


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1.1 Introducción a la cinemática de cuerposrígidos, aplicada a mecanismos.

! La mecánica es una rama de las ciencias físicas que seocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpossometidos a la acción de fuerzas.

! La ingeniería mecánica se divide en dos areas de estudio;estática y dinámica. Recordemos que la estática se ocupa

del equilibrio de un cuerpo que esta en reposo o que semueve con velocidad constante. En este cursoestudiarémos la DINÁMICA, la cual se ocupa delmovimiento acelerado de un cuerpo.

! La materia de dinámica se estudiará en dos partes:

cinemática, la cual trata solo los aspectos geometricosdel movimiento, y la cinética, que analiza las fuerzas queprovocan el movimiento.

! Cinemática de Cuerpos Rígidos: Estudia las relacionesentre el tiempo, posición, velocidad, y aceleración entrelas partículas que forman un cuerpo rígido. 3


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Clasificación de movimientos:

1.1 Introducción a la cinemática de cuerposrígidos, aplicada a mecanismos.

Traslación CurvilineaTraslación Rectilinea

!

Rotacion alrededor

de un eje fijo

! Movimiento plano

general


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5

Traslación• Considere un cuerpo rígido en traslación:

- Movimiento que ocurre si cada segmento delínea sobre el cuerpo permanece paralelo a su

dirección original durante el movimiento.- Todas las partículas que forman el cuerpo se

mueven en líneas paralelas.

• Posición. Para cualquier par de partículas en elcuerpo,

A B A B r r r !!!

+=

• Velocidad. Diferenciando con respecto altiempo,

A B

A A B A B

vv

r r r r

!!

"!

"!

"!

"!

=

=+=

Todas las partículas tienen la misma velocidad.

A B

A A B A B

aa

r r r r

!!

""!

""!

""!

""!

=

=+=

• Aceleración. Diferenciando con respecto a eltiempo otra vez,

Todas las partículas tienen la misma aceleración.


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Rotación alrededor de un eje fijo.- Movimiento angular

Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto Plocalizado en él se desplaza a lo largo de una trayectoria circular. Sinembargo un punto no pude tener movimiento angular. Solamente laslineas o cuerpos experimentan el movimiento angular.

Desplazamiento angular. Es el cambio de la posición angular el cualpuede medirse como una diferencial d!, medida en grados, radianeso revoluciones, donde 1 rev = 2" rad)

Velocidad angular ( ). Es el cambio con respecto al tiempo de laposición angular. Como d ! ocurre durante un instante de tiempo dt,

entonces,! =

d "

dt

Aceleración angular ( ). Mide el cambio con respecto al tiempo de lavelocidad angular. La magnitud de este vector es

! =

d "

dt =

d 2#

dt 2

Eq. 1

Eq. 2-3

Posición angular. La posición angular r esta definida por el ángulo !,

medido desde una referencia fija hasta r.


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Rotación alrededor de un eje fijo.- Movimiento angular

! d " =# d #

Al despejar dt e igualar en las ecuaciones anteriores obtenemos unarelación diferencial entre la aceleración angular, la velocidadangular y el desplazamiento angular, es decir,

Aceleración angular constante. Si la aceleración angular del cuerpo

es constante, $ = $c, entonces cuando se integran las ecuaciones1,2 y 4, se obtiene un conjunto de fórmulas que relacionan lavelocidad angular, la posicion angular y el tiempo.

Eq. 4

En este caso, !0 and #0 son los valores iniciales de la posición angulary la velocidad angular del cuerpo respectivamente.

! =! 0 +"

ct

! =! 0 +"

0t + 1

2#

ct 2

! 2=!

0

2+ 2"

c(# !# 0 )

Eq. 5

Eq. 6

Eq. 7


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Rotación alrededor de un eje fijo.- Movimiento de un punto P

Posición y desplazamiento. La posición de P está definida por elvector de posición r, el cual se extiende desde O hasta P . Si elcuerpo gira d! entonces P se desplazará ds=rd !.

Velocidad. La magnitud de la velocidad de P se calcula al dividirds=rd ! entre dt de modo que

v =! r Eq. 8

Se observa que la dirección de v es tangente a la trayectoriacircular


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v =! ! rP

Eq. 9

Tanto la magnitud como la dirección de v también pueden tenerse encuenta si se utiliza el producto vectorial de # y rP. En este caso, ladirección rP es de cualquier punto sobre el eje de rotación al puntoP, tenemos:

El orden de los vectores en esta formulación es importante puestoque el producto vectorial no es conmutativo.


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Aceleración. La aceleración de P puede expresarse enfuncion de sus componentes normal y tangencial.Como at=dv/dt y an=v2/r, v= r y $=d /dt, tenemos

El componente tangencial de la aceleración representa elcambio con respecto al tiempo de la magnitud develocidad. Si la rapidez de P se incrementa, entonces at actúa en la misma dirección que v, si se reduce, At actúaen la dirección opuesta de v, y si permanece constante,at es cero.

El componente normal de laaceleración representa elcambio con respecto al tiempode la dirección de la velocidad.La dirección de an siempre eshacia O.

at = $ran = #2r

Eq. 11Eq. 12


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Al igual que la velocidad, la aceleración del punto Ppuede expresarse en función del productovectorial. Si consideramos la ecuación 9, tenemos

a= $ x r P + # x (# x r P)

Si se recuerda que $= d#/dt y se utiliza la ecuación9 (dr P /dt= v = # x dr P ), se obtiene

Eq. 13

a =dv

dt =

d !

dt ! r

P +! !

drP

dt


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Por consiguiente, la ecuación 13 puede identificarsepor sus dos componentes como

Puesto que at y an son perpendiculares entre si, lamagnitud de la aceleración puede determinarsecon el teorema de Pitágoras, es decir

a = an

2+ a

t

2

a = $ x r – #2r = at + an

Eq. 14


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16.2 Justo después de que se enciende el ventilador, el motorimprime a las aspas una aceleración angular $ = 20 e-0.6t rad/s2,donde t esta en segundos. Determinar la rapidez de la punta P deuna de las aspas cuando t=3s. ¿cuántas revoluciones ha realizado elaspa en 3 s? Cuando t=0 la aspa está en reposo.

Ejemplo 1 (16.2)


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1) Dado que la aceleración angular esta dada como una

función de tiempo $ = 20 e-0.6t rad/s2, la velocidad angularpuede ser encontrada mediante la integración.

Ejemplo 1 (16.2) - Solución

Posteriormente utilizando laformula de la velocidad de unpunto


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2) Integrando ahora la función de velocidad obtenenemos el

desplazamiento angular del aspa.

Ejemplo 1 (16.2) - Solución


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Ejemplo 2 (F16.6)

16.6 Durante un breve tiempo, el motor hace girar el engrane Acon una aceleración angular constante de A=4.5 rad/s2, a partirdel punto de reposo. Determine la velocidad del cilindro y ladistancia que recorre en 3 segundos. La cuerda se enrolla en lapolea D, la cual esta sólidamente unida al engrane B.


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Ejemplo 2 (F16.6)- Solución

Análisis:1) La aceleración angular del engrane B (y polea D) estanrelacionados con $

% .

2) La aceleración del cilindro C se puede determinar mediantelas ecuaciones de un de punto en un cuerpo rotatorio alrededor deun eje dado que (at)D es la misma que ac3) La velocidad y la distancia del cilindro C entonces pueden ser

encontradas usando las ecuaciones de aceleración constante.


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at = $ArA = $BrB & (4.5)(75) = $B(225) & $B = 1.5 rad/s2

aC = (at)D = $D rD = (1.5)(0.125) = 0.1875 m/s2

1) Los engranes A y B tienen la misma velocidad así como el componentetangencial de aceleración en el punto donde tienen contacto, entonces

Dado que el engrane B y la polea D giran juntos, $D = $B = 1.5 rad/s2

2) Asumiendo que la cuerda no es elástica y no se desliza en la polea, lavelocidad y aceleración del cilindro C serán los mismos que la velocidad y elcomponente de aceleración tangencial en la polea D:


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3) Desde que $A es constante, entonces $D y $C serán constantes. Por lo tanto lasecuaciones de movimiento rectilineo con aceleración constante pueden usadaspara determinar la velocidad y desplazamiento del cilindro C cuando t = 3 s(s0= v0 = 0):

vc = v0 + $C t = 0 + 0.1875 (3) = 0.563 m/s

sc = s0 + v0 t + (0.5) $C t2 = 0 + 0 + (0.5) 0.1875 (3)2 = 0.844 m


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TAREA 1

! Identificar 4 objetos cotidianos que contengan mecanismosque describan los movimientos planos y realizar eldiagrama de cuerpo libre. Debe incluir por lo menos uno

de los 4 diferentes tipos de movimiento.! Tomar una fotografía de cada objeto y dibujar a un lado o

sobre la misma imagen los elementos cinemáticos queactúan.

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