NotasdeAula - UnespAna´lise Espectral 1 Processamento Digital de Sinais NotasdeAula An´alise Espectral Usando a DFT Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia El´etrica - FEIS

Analise Espectral 1

Processamento Digital de Sinais

Notas de Aula

Analise Espectral Usando a DFT

Ricardo Tokio Higuti

Departamento de Engenharia Eletrica - FEIS - Unesp

Observacao: Estas notas de aula estao baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”,

A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.

Analise Espectral 2

Analise Espectral Usando a DFT

Uma das principais aplicacoes da DFT e a analise do conteudo de freq. de

sinais (analise espectral)Aplicacoes:

• Analise e sıntese de sinais de voz

• Estudo de harmonicos em redes

• Medicao de desvio de frequencia (Doppler)

Para o uso da DFT na analise de sinais de tempo contınuo, deve-seconsiderar:

• Amostragem (qual freq. de amostragem usar?)

• DFT: para sinais de duracao finita - truncamento do sinal (quantospontos usar?)

• Como relacionar as freq. analogicas (Hz) com as amostras (X[k])

Analise Espectral 3

Analise Espectral

Filtroanti-aliasing Conversor

C/D

janelamento

DFT

N pontosx

janela

pontosL

sc(t) xc(t) x[n] v[n]

w[n]

V [k]

Haa(jΩ)

fs =1

T

• Filtro anti-aliasing: elimina/atenua componentes de freq. acima deΩs/2 (ou fs/2), para evitar sobreposicao do espectro;

• Conversor C/D: e um conversor A/D, que amostra o sinal xc(t)a uma taxa de fs amostras por segundo, e no qual devem ser con-

sideradas suas caracterısticas nao-ideais (amostragem com retencao,numero finito de bits);

• Truncamento ou janelamento: v[n] = x[n] · w[n], em que w[n] e

uma funcao que limita a duracao do sinal x[n], chamada de janela.Ela determina o comprimento do sinal a ser analisado (L), e pode

fazer alguma modificacao no formato do sinal original, no tempo e emfrequencia.

• DFT: Calcula a DFT do sinal v[n], utilizando N ≥ L pontos para ocalculo:

V [k] =N−1∑n=0

v[n]e−j2π

Nkn, k = 0, 1, ..., N − 1

Analise Espectral 4

Analise Espectral

0 1 2 3 4 5 6 7

Sc(jΩ)

Ω0 Ω1

Haa(jΩ)

Xc(jΩ)

X(ejω)

W (ejω)

V (ejω), V [k]

V [k]

ω

ω

ω

Ω

Ω

Ω

∆ω =2π

N

N − 1

Ωs

2=

π

T

Ωs

2=

π

T

π

π

π

k

2π

2π

2π

−π

−π

−π

−2π

−2π

−2π

Ω

Ω

Ω

Analise Espectral 5

Relacao Entre as Transformadas

Os varios parametros usados na analise espectral determinam a relacao

entre as freq. analogicas e as amostras da DFT. Sao eles:

• Freq. amostragem: fs = 1/T

• Numero de pontos usado no calculo da DFT: N

Relembrando alguns pontos importantes:

• Quando um sinal xc(t) e amostrado, obtendo-se o sinal x[n], tem-se

que a DTFT de x[n], X(ejω), esta relacionada com o espectro do sinalde tempo contınuo amostrado, Xs(jΩ), pela relacao de frequencias:

ω = ΩT = 2πf/fs

• Em um sinal de tempo discreto de duracao finita v[n], sua DFT, V [k],e sua DTFT, V (ejω), estao relacionadas por:

V [k] = V (ejω)|ω= 2π

Nk, k = 0..N − 1

ou seja, a DFT e composta por N amostras da DTFT, equiespacadas

de ∆ω = 2π/N , para 0 ≤ ω < 2π (na verdade, igual a um perıodo daDFS V [k]).

Daı, pode-se relacionar a amostra k da DFT com a freq. f , em Hertz:

∆ω = 2π/N = ∆ΩT = 2π∆f/fs

e portanto,

∆f =fsN

e o espacamento equivalente entre as amostras do espectro do sinal detempo contınuo, que e amostrado nas frequencias

fk =fsNk

Analise Espectral 6

Problemas e Limitacoes

Devido as operacoes realizadas sobre o sinal de tempo contınuo, os dados

resultantes do calculo da DFT podem nao representar exatamente o espec-tro original. Esses efeitos devem ser levados em conta, para que nao hajainterpretacoes erroneas sobre o conteudo de freq. do sinal sendo analisado.

Deve-se considerar:

• Aliasing (freq. amostragem)

• Efeito do janelamento (formato e comprimento da janela)

– Vazamento espectral (Spectral Leakage)

• Numero de pontos da DFT

– Amostragem espectral

Analise Espectral 7

Amostragem do sinal

O sinal deve ser amostrado a uma taxa maior que duas vezes sua maxima

frequencia. Por exemplo, para uma senoide com frequencia f0 amostradaa uma taxa fs:

0 5 10 15-1

0

1sequência

-2 -1 0 1 20

5

10

0 5 10 15-1

0

1

-2 -1 0 1 20

5

10

0 5 10 15-1

0

1

-2 -1 0 1 20

10

20

n ω/π

fs = 5f0

fs =52f0

fs = 2f0

espectro de magnitude

0 5 10 15-1

0

1

-2 -1 0 1 20

5

10

0 5 10 15-1

0

1

-2 -1 0 1 20

5

10

0 5 10 15-1

0

1

-2 -1 0 1 20

10

20

n ω/π

fs =23f0

fs =54f0

fs = f0

Analise Espectral 8

Efeito do Janelamento

O sinal x[n] sofre um truncamento, que e representado matematicamente

por uma multiplicacao por uma funcao w[n], chamada de janela:

v[n] = x[n] · w[n]DTFT←→ V (ejω) =

1

2π

∫ π

−πX(ejθ)W (ej(ω−θ))dθ

O efeito na frequencia e uma convolucao periodica do espectro original

com o espectro da janela. Ha, portanto, mudancas no espectro original, eeste efeito e chamado de vazamento espectral (spectral leakage), e de-

pende do tipo de truncamento utilizado (formato e comprimento da janelaw[n]). Analisando o caso de uma senoide:

x[n] = A cos(ω0n+ θ0) =A

2ej(ω0n+θ0) +

A

2e−j(ω0n+θ0)

O espectro de x[n] e:

X(ejω) = Aπejθ0δ(ω − ω0) + Aπe−jθ0δ(ω + ω0), |ω| < π

O sinal truncado fica com o espectro:

V (ejω) =A

2ejθ0W (ej(ω−ω0)) +

A

2e−jθ0W (ej(ω+ω0))

Utilizando A = 1, ω0 = π/4 rad, θ0 = 0 e uma janela retangular com

comprimento L igual a 32 amostras, fica-se com as seguintes sequencias eespectros de magnitude.

Analise Espectral 9

Vazamento Espectral

-1

-1

-0.5

-0.5

0

0

0.5

0.5

1

1

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-1 -0.5 0 0.5 10

5

10

15

20

25

30

35

-10 0 10 20 30 40

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-10 0 10 20 30 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-10 0 10 20 30 40

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sequências

π

n

n

n

ω/π

ω/π

ω/π

x[n]↔ X(ejω)

w[n]↔W (ejω) |W (ejω)|

v[n]↔ V (ejω) |V (ejω)|

Espectros de magnitude (DTFT)

• Observando o espectro de V (ejω), e comparando-o com o do sinal

original X(ejω), percebe-se que apareceram outras frequencias devidoao truncamento, quando deveria ser observada apenas a frequenciaω0 = π/4 rad.

• Se o sinal tiver frequencias proximas entre si, o efeito do vazamentoespectral pode dificultar a identificacao das mesmas.

Analise Espectral 10

Vazamento Espectral: x[n] = A1 cos(ω1n) + A2 cos(ω2n)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

magnitude|V

(ejω)|

ω/π

A1

A2

= 168

x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.75πn)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

magnitude|V

(ejω)|

ω/π

A1

A2

= 168.7

x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.35πn)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

magnitude|V

(ejω)|

ω/π

A1

A2

= 15?

x[n] = cos(0.25πn) + 0.5 cos(0.29πn)


Janelas

Existem diversas janelas, com diferentes caracterısticas de formato no domınio

do tempo, que acabam por influenciar no seu espectro. Os parametrosprincipais sao relacionados, no espectro da janela, a:

• Largura do lobulo principal

• Nıvel de lobulo lateral

lóbulo

principal

lóbulos

laterais

nível de

lóbulo

lateral

largura do

lóbulo principal

formato

comprimento

0

w[n]

L− 1n

DTFT

L

|W (ejω)|

ω−π π


Janelas (comprimento L = 16)

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Janelas com L=16

retangular

Hamming

Hanning

Blackman

n

-1 0 1-80

-60

-40

-20

0

dB

Retangular

-1 0 1-80

-60

-40

-20

0Hamming

-1 0 1-80

-60

-40

-20

0

dB

Hanning

-1 0 1-80

-60

-40

-20

0Blackman

ω/πω/π

−→ Ao se modificar o formato da janela, tanto a largura do lobuloprincipal como o nıvel dos lobulos laterais sao modificados.


Janela de Kaiser

Famılia de janelas parametrizada por um fator de forma β.

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

β = 0β = 3β = 6

Janelas de Kaiser com L = 16

-1 -0.5 0 0.5 1-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

dB

ω/π

β = 0β = 3β = 6

Espectros de janelas de Kaiser com L = 16


Janela de Kaiser

Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o fator de forma β.

-1 -0.5 0 0.5 1-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

dB

ω/π

L = 8

L = 16

L = 32

Espectros de janelas de Kaiser com β = 6

−→ Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o seu for-mato, altera-se a largura dos lobulos (principal e laterais) e o decai-

mento dos lobulos laterais em funcao da frequencia, mas o nıvel doprimeiro lobulo lateral permanece o mesmo.


Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela

Seja o sinal: x[n] = cos(0.25πn) + 2 cos(0.38πn). Utilizando janelas retan-

gular e de Hamming, com L = 64 amostras, fica-se com:

0 10 20 30 40 50 60−4

−2

0

2

4

am

plit

ud

e

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

60

80

v[n], Janela retangular L = 64

|V(e

jω)|

Amostra n

ω/π

A1

A2

= 3566.45

= 11.8986

0 10 20 30 40 50 60−4

−2

0

2

4

am

plit

ud

e

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

10

20

30

40

v[n], Janela de Hamming L = 64

|V(e

jω)|

Amostra n

ω/π

A1

A2

= 17.2334.26

= 11.9880


Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

0 10 20 30 40 50 60-4

-2

0

2

4

am

plit

ude

v[n], Janela de Blackman L = 64

|V(e

jω)|

Amostra n

ω/π

A1

A2

= 13.2226.44

= 12


Vazamento Espectral - Comprimento da Janela

Variando-se o comprimento da janela de Hamming (L = 64, 32 e 128):

0 10 20 30 40 50 60−4

−2

0

2

4

am

plit

ude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

10

20

30

40

v[n], Janela de Hamming L = 64|V

(ejω)|

Amostra n

ω/π

A1

A2

= 17.2334.26

= 11.9880


Vazamento Espectral - Comprimento da Janela

0 5 10 15 20 25 30−4

−2

0

2

4

am

plit

ude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

20


|V(e

jω)|

Amostra n

ω/π

A1

A2

= ?16.9

0 20 40 60 80 100 120

-2

0

2

am

plit

ud

e

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

60

80


|V(e

jω)|

Amostra n

ω/π

A1

A2

= 34.6368.86

= 11.9884


Amostragem Espectral

Deve-se lembrar que a DFT corresponde a amostras da DTFT:

V [k] = V (ejω)|ω= 2π

Nk, 0 ≤ k ≤ N − 1

Portanto, determinadas caracterısticas do espectro podem nao ser bem

representadas pelas amostras V [k], por exemplo um pico que representauma frequencia.

0 10 20 30 40 50 60−4

−2

0

2

4

am

plit

ude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

v[n], Janela retangular L = 64

|V(e

jω)|

Amostra n

ω/π

A1

A2

= 3566.45

= 11.8986

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

|V[k]|,N

=64

ωk = 2πk/N

A1

A2

= 34.79(@0.25π)61.85(@0.375π)

= 11.7778



Variando o numero de pontos da DFT (N), modifica-se o espacamento

entre amostras do espectro de V (ejω).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

|V[k]|,N

=64

ωk = 2πk/N

A1

A2

= 34.79(@0.25π)61.85(@0.375π)

= 11.7778

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

|V[k]|,N

=128

ωk = 2πk/N

A1

A2

= 34.79(@0.25π)61.85(@0.375π)

= 11.7778

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

|V[k]|,N

=256

ωk = 2πk/N

A1

A2

= 34.79(@0.25π)66.17(@0.383π)

= 11.9020



Seja o sinal: x[n] = cos(0.25πn) + 2 cos(0.50πn). Utilizando janela retan-

gular com comprimento L = 64 e variando-se o comprimento da DFT,fica-se com:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

|V[k]|,N

=64

ωk = 2πk/N

A1

A2

= 32(@0.25π)64(@0.50π)

= 12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

|V[k]|,N

=128

ωk = 2πk/N

A1

A2

= 32(@0.25π)64(@0.50π)

= 12


Relacao entre as frequencias

• Amostragem da DTFT: ωk =2π

Nk, 0 ≤ k ≤ N − 1

• Amostragem do sinal: ω = ΩT =2πf

fs

• Resolucao na frequencia: ∆ω =2π

N= ∆ΩT = 2π

∆f

fs

• Resolucao na frequencia f : ∆f =fsN

• Relacao entre frequencias analogicas e as amostras k: fk =fsNk

0

0

0 1 2 3 4 5 6 7 15 31

0.5p p 1.5p 2p

0

5

10

15

20

25

30

35

k [amostras]

ω [rad]

f [Hz]fs/4 fs/2 fs3fs/2

N − 1


Exemplo: analise espectral

Os sinais a seguir representam a tensao e a corrente numa lampada fluo-

rescente compacta. Os sinais foram amostrados por um osciloscopio digitalcom resolucao vertical de 8 bits e frequencia de amostragem igual a 5 kHz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

tempo [s]

am

plit

ud

e [

V]

tensão

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

tempo [s]

am

plit

ud

e [

A]

corrente

A ideia e analisar o sinal com diversos comprimentosL, janela retangular

e de Hamming, e diferentes valores de N para o calculo da DFT.


Exemplo: analise espectral (cont.)

Utilizando uma porcao de sinal com L = 512 amostras, e aplicando aDFT com N = 512 pontos, e janelas retangular e de Hamming, tem-se os

seguintes sinais no domınio da frequencia:

0 500 1000 1500 2000 2500−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Tensao, janela retangular, L=512, N=512

0 500 1000 1500 2000 2500−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Tensao, janela de Hanning, L=512, N=512

f [Hz]

ma

gn

itu

de

[d

B]



Utilizando uma porcao de sinal com L = 2048 amostras, e aplicando aDFT com N = 4096 pontos, e janelas retangular e de Hamming, tem-se os

seguintes sinais no domınio da frequencia:

0 500 1000 1500 2000 2500−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Tensao, janela retangular, L=2048, N=4096

0 500 1000 1500 2000 2500−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Tensao, janela de Hanning, L=2048, N=4096

f [Hz]

ma

gn

itu

de

[d

B]



Para ilustrar os efeitos do vazamento espectral e da amostragem espectral,as tabelas a seguir mostram as frequencias e magnitudes das harmonicas

em 60, 300 e 420 Hz, para os varios casos estudados.

Parametros 60 Hz 300 Hz 420 Hz

f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB]

L = 512 Hamming 58,6 0 302,7 -38,2 419,9 -41,3

N = 512 Retangular 58,6 0 293,0 -39,6 419,9 -45,3

L = 1024 Hamming 61,0 0 300,3 -37,5 419,9 -40,5

N = 2048 Retangular 61,0 0 297,9 -38,7 417,5 -42,9

L = 1024 Hamming 59,8 0 300,3 -37,7 419,9 -40,7

N = 4096 Retangular 59,8 0 299,7 -39,3 416,3 -43,5

L = 4096 Hamming 59,8 0 299,7 -37,3 419,9 -40,8

N = 8192 Retangular 59,8 0 299,7 -38,9 419,9 -41,2

Percebe-se que, dependendo do processamento, chega-se a diferentes

valores de frequencias e nıveis de distorcao devido as harmonicas de ordem

superior.



Analisando a forma de onda de corrente, chega-se ao seguinte espectro de

magnitude.

0 500 1000 1500 2000 2500−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096

f [Hz]

ma

gn

itu

de

[d

B]

• Observando o espectro, nota-se que ha harmonicas de multiplos ımpares

da fundamental.

• Como o sinal e de alta frequencia (pulsos rapidos), o espectro se es-

tende a frequencias superiores a 2500 Hz, causando aliasing.



2000 2100 2200 2300 2400 2500−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096

f [Hz]

ma

gn

itu

de

[d

B]

harmônicaordem 35

37 39 41

AB

• Componente em A: aliasing da componente em 43×60 = 2580 Hz, que

aparece em (5000-2580) = 2420 Hz.

• Componente em B: aliasing da componente em 45×60 = 2700 Hz, que

aparece em (5000-2700) = 2300 Hz.

• As magnitudes podem ter erros, caso ocorra sobreposicao de uma raia

em outra.


Espectrograma

• Analise Espectral com DFT: adequada para sinais cujo conteudo

de frequencia nao varia com o tempo.

• Na pratica: o conteudo de frequencia do sinal pode variar com o

tempo (voz).

• A analise espectral realizada sobre todo o sinal de uma so vez pode

ocultar informacoes importantes da variacao do conteudo de frequencia

ao longo do tempo.

• Time-dependent Fourier transform, Short-time Fourier transform.


Chirp

Seja um sinal cuja freq. varia com o tempo:

x[n] = cos(ω0n2)

A freq. instantanea do sinal e 2ω0n. O sinal e a magnitude de sua DFT

sao:

0 50 100 150 200 250

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

40

ma

gn

itu

de

f/fa

Nao se pode determinar como variou o conteudo de freq. do sinal ao

longo do tempo. Uma alternativa e fracionar o sinal e calcular varias DFTs

para diferentes intevalos de tempo.


Espectrograma

Multiplica-se o sinal x[n] por uma janela w[n] e calcula-se a DTFT:

X[n, λ) =+∞∑

m=−∞x[n+m] w[m] e−jλm

Outra forma:

X[n, λ) =+∞∑

m=−∞x[m] w[n−m] e−jλm

Amostrando o espectro em N pontos equiespacados e uma janela de

comprimento L:

X[n, k] = X[n, 2πk/N ] =L−1∑m=0

x[n+m] w[m] e−j(2π/N)km, k = 0..N − 1

ou

X[n, k] = X[n, 2πk/N ] =n∑

m=n−L+1

x[m] w[n−m] e−j(2π/N)km, k = 0..N−1

• A duracao da janela e muito menor que a duracao total do sinal

• A janela toma trechos do sinal ao longo do tempo

• Quanto mais estreita a janela, maior a resolucao no tempo e menor

em freq.

• n e o deslocamento da janela em relacao ao sinal

• Para cada n tem-se uma DFT

• Nao se pode ter uma boa resolucao no tempo e em freq. ao mesmo

tempo usando a DFT


Espectrograma

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Time

Fre

qu

en

cy

0 200 400 600 8000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

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NotasdeAula - UnespAna´lise Espectral 1 Processamento Digital de Sinais NotasdeAula An´alise Espectral Usando a DFT Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia El´etrica - FEIS