Notes du mont Royal ← · 2019-06-10 · Notes du mont Royal Cette œuvre est hébergée sur «No tes du mont Royal» dans le cadre d’un exposé gratuit sur la littérature. SOURCE

Notes du mont Royal

Cette œuvre est hébergée sur « Notes du mont Royal » dans le cadre d’un

exposé gratuit sur la littérature.SOURCE DES IMAGES

Google Livres

www.notesdumontroyal.com 쐰

’EUCLIDIS ”

ELEMENTAGRAECE ET ’LATINE.

X

COMMENTAPJIS INSTRUCTA i

’ EDIDEBUNT ’

’IOANNES GUILELMUS CAMERER

V ET AtAROLUS ERIDERICUS HAUBER.

DE li O L I NISUMTIBUS G. REIMERI

MDCCCXXV.

li

li

EUCLIDIS

j ELEMENTOBUM

LIBRI SEX’PRIORES

GRAECE ET LATINE4

COMMENTARIO E SCRIPTIS VETERUM AC RECEN-TIORUM MATHEMATICORUM ET PFLEIDERERI

A MAXIME ILLUSTRATI.

EDIDITIOANNES ’GUILELMUS CAMEBEB’

GYMNASII STUTTGAHDIANI RECTOB.

-.------4-

TOM. IYLÇOMPLECTENS LIER. IV-VI.

I [CURI V1. TABUI’.IS.

BEROLÎNI ’SUMTIIÆUS C. REIMERI

MDCCCXXV. v. .

THE NEW Titila

PUBLIC llËTQÀÏ-Ï » 1

(V a Layaiu... sa"

ASHH, ;,l.’..i)j’I’ILDEN kil- ,.

R L’.

màv.l

l

EUCLLDISELÉMENTORUMZ*

LIBRCI SEX PRIORES.

Enclid. menue. P. n. » A

ETKAEIAOT’ZTOIXEIQ’N

1313111037. TE TAPTON.’

L”01.P..O in

I îà. 2112m» eûôaifgapluov si; vfifpu’etiôliyçœppoa 37-1

yçéqzsaâat dégrevai, 511w ëxda’n; 1154! 101J êyygmpo-

péwo’u 011;];wa 71»me émions alarmois 1017 sis 3 iëyypa’cpnm Sarment.

15’. 21775005 0è 6,110le rugi opfya flegiyga’tpeaflaz

15751111, 510w étalon; nlævçd un? molygaqzom’vovëzu’œyg ymm’œç mû and 3 .nsglygérpemt (infirma.

" 7’. Épine; 3è veæiô’tiygappoæl sîg minimal ëyygti-

(peaæfrac haverai, 5mm! Melon] yww’œ 1’017 ëyygœqnopëvoq ,

damna; ni; mon? Mulot: negtqyagu’aç.6’. Exfipœ 6è eüâftlygappov rugi minimal negu-

i ygdqieoâm ,Às’ysrm’, 570w étalon] alcyon? c051? nept-

yeœtpops’vov ècpolwnrmt flic 1017 mélilot) nagiçoegsi’ag 1).

6’. KiluÂog 3è ais (mina ripolins Mye’tat êyygoi-

gomma, 3m41 9; mû 4115x1011 mgupæ’çem intimas alev-

Qoîg 1015 sic 3 Syygolrpe’zog: ânzæftm 2J. 1

1) In rectiul omnino’ cnm Cor]. a. ksi: Permit". Prio-ns editioneg hlbebant: gray émiera "lever: me 10; minicar m-eupaedac un: neezyçaqaojuévov êçémmm. n .

i 2) Si un flint, quae e Rob. Simsôn. ad 1H. Der. 2.116.avinant, hic legeudum. fueril: êçémqfuh K r

I

[A AÉUCLIDIS,ELEMENTOEUM

LIBER QUARTU&

DEFINiTIONEs

Ligura rectilinea in figura’rectilineaïinscxibi dici.tut, quando unusquisque inscriptae figurae angulul

’taogit unumquodque lama ains, in qua inscribîtur. x2, F igura autem similiter cirez figuram circizm.

scribi dicîtur, quando unumquodque ’latus circumscri;

ptae mugit unurpquemque angulum’eiuas, ciron, quant

circumscribitur. ’l 3. Figurâ vero rectiliriea in circula inscribi dici-turl, quando unuSquisque angulus circumscriptaegltangit

circuli circumferentiam. .. ’a» FigÎn-a autem rectilinea circa circulum circum.

scribi dîcitur, quando unumquodque lama circumscriàplus contingit circuli circumferentiam. . i

5; a Circulus vero in figura similiter diéîtur inscrîbî,

iquandb circuli circumferentia unumquodque lama eius.

in qua inscribiturcontingit. . l i ’,

ÉËFIN.

Ohm Campmm haha: minima du: primas 1min: libridafiàicious. A: illu îpaao nusquam adhibbntur. Hinc du.

.4 ELEMENTORUM5’. Kzluloç Ûèfisgi apâlies negiypéqisoâm Àæ’yëîm,

bien! a; un? miniez) negupæ’guœ’ élidons ywvlag mû

9169i 3 negiyga’rpæ’mi ënzmw. IÇ, Eüâeïa si; minier ëyagjctôçgoôai léyewt,

(leur! 1d Mouron mûrie in). mis- ;zegupegsiuç 70:17

minimu- - l r,IIPO TAZ’IS oz.’ Eîç 167 ô’oâévîd 115x101! ni ôoôelay mimiez, M

pectoral; 0170:1] mais 1017 Mulot; Jmpë’tgov, film! eüôeîav

.ëvquo’wx. V i i ’ ’"E0110 ô âofisié adulas ô ART, 7j 6è d’oôsîoœ

«5195m fui peignoir ricanai u’U’xÂov (balançai: ai 41’

J’ai à) à? cor ABF minicar ’rfi A mitrale lima! sti-

ôeîmi showroom. Î - I , ’g"Hxa9w mû ABP miniez» ôtoipwgog Fi

nia! min! à»; Eddy 1,5 Br "roi A... ysycwôç (in! 16.êainaxâèw. ’ëwj’pjuoowt 7029 sis 1611 .ABI’ minier! 1-5

.bi um videri posait, armon serins adiectae funin: ad analogiani-

seqnenuum. , - i, , I . k f . , lI PRO’POSITIO I.Oba, Quum punctum I’ in circumferentia pro lubitu

"mi gout, pateç, innumcria modis. problema [suivi poste;niai nova adhuc determinatio accedat. LEiusmodi determinatio,a; eue ’po’tçst’, si punctum F dntum esse aumere velip. Ve;

rom; etiam hot: sumto, duplex ta’menk, quod et Commandi-lnul monuît, solutio locum’ habebit: aeque enim ducta rectaÎ Z ad puncnun Z, in quo circuli iterum sibi occurrimt, pro-

’ blomni satisfncict, ac recta PAL Alia dçterminatio haec essepoterit, ut mon circuloinscribenda vel ipsa , vel proclama,par datura punctum trament, ’quod titan si: in circuli éiicum-ferentia; val ut illa pan-allah si: rectae position «une. Et,

man amuras. j 56. Circqus autem cinq figuram circumscribi (lia

cimr, quanda circuli oircumferentia unumquemque au- kgulumiipsius, circa quam circumscribitur, mugit.

7. Recta in circula aptarî dicitur, quando terminieius in circumferentia sur)! circuli.

l

PRO 15 a s l T x a I. (Fig. 283.)ln data circula, dama rectae, quae non maint ait

diametro- circuli, aequalem rectam aptare. ’

Sit dams circulus ABF. data autem recta .4 non lmaîar circuIi diametro, oportet igitur in circula ABI’rectae A aequalom rectam aptare.

r,lDucatur circuli ABF diàmetar. Br. Si quidem

igitur BF aequalis est .4, factum cri: propositum.Aptata’est enim in circula ABF, BI’ rectae ae-

si quidem illud postulieturfut recta circula dato imclibendnpet datum. punctum trament, problaml unum ex iis est, que

’Pappo tenante in Pnefat. ad libr. VIL Collect. Math. Apol-lonius in libris n59) 1’!thva tractavit. (Cf. Apollonii PergaeiInclinnt. Libri duo cd. Horson Oxon. 1770. et: Die Büchor

-des Apollonius van Perga de Inclinationibus van DienerwegBerlin. 1823 ). Et particulaire illud problema facile solvetur

agilement in modum. I I ’Anal. Put: factum. et Fig. 284. recta dB, que ne;qualic’sit recrue. dame d diametro lion maiori, ’inscripta si:

circula dato.ABZ. caque ipsa ont productq par datum pun-tum P fiancent ,- quad non oit in. circuli dati circumferenria.Et 1) quidam, si recta dans. si: aequalis diamalro circuli, rectacircula inscribendn erit dinmeter pet datum puncrum dilata.Si imam ,non fuen’t (Hamster. exit ex hyp. minot diametro,

r

r

6 anzmsnronund 860819: i’my si 731". El «là in; peignai 5’le 05’1311

twis- J, mi 418104910?) 17? A la?) a; TE, minime? [Liv193 IF, ôzœowjpœu 3è T95 TE zoning yeyga’tpâw ,6

I AEZ, nui ënaÇcv’zfiw a; FA. l ’" à’Emi 017v r56 F (ITIWÆÎO’V dirigeai 301i r01? AEZ

ululai), l’ai] Smala! 7; TA 17; TE. villa? 1?] J fiTE émis! l’air aux)! A d’au mi FA émia! in. U

Ei’ç d’au r67 cloâc’wo: minier» ŒôleBI’, tupi rio-

ûeloy 3619519: 2), in) pagaya 0170?] mais me? miniez;diaprèrent), l’or; émiglitoomi si TA. ’Oneç êd’ecuozfiom.

11 P a T A 2 1 2 pl.Ei’g fait! 80195710; 21522.01! 155 à’ofic’æm cavalait,» l’au-l

706th wigwam: immédiat. -l "Écran â 8019le salades â ARE-16 (il; 000M wal-

yowov c6 AEZ- (lei à) et’ç 167 ART mlulov’ cg;’dEZ zçtyalwgn iooyulwow cgl’ywàlov s’yyga’tpat.

1) Peyrardus cum C08. a legit: si (3è pelëwv 30117 fi Br717: d, 351’090). Nos restituimus iecrionem cd. OxOn. I

2) Pep-ardus mm Cod. a. omittit verba pipai-Con 01:50;;117; tu; 16x101: mais... v et earum loco crut 111.4: nos istaVerba, que necessuiam omnino determumionem continent,teatitmmus. l i

V ndcoque extra centmm E transibit (HI. 15.). Demis" igitur.in leam o centra perpendicularis E9 eam bisecabit (HI. 3.),adeoque, ab datam dB, du: eût dimidiç Je, ndeoque (lutaerit,- val inveniri poterit in trilngulo Id 9 recrangulo 491;.in ’qu04 miam BAI dahir, recta E9 (I. 47. Cor. vol di-stuntia , qua recta A]? a centra E abesl, vol , rut aliter clics.mus, notum cric, in qui .distantia, a centra E aitum essè de-bout puncmm 9, nempe in circula centra E, radio 29 de-saripto. (Quod ipsum brevàus e HI. 15. Cor. charivari parleur.) Qui circulas si describatur, continget «nm recta .48

L V l"aux aimants." 7

, .quais. Sin minus, maior est ET ipsa A, et panaturipsi A aequalia TE (I. 3.), et centra T, intervallaveto TE, circulas describatur AEZ Î(Post. 3.), et

iungetur T A. IQuoziiam igitur punctum T centrum est circuliAEZ, aequalis est TA ipsi TE. Sed TE ipsi Aest aequalis; et A igitut ipsi TA est aequalis.

In data ligitur circula .ABI’, datae rectao, glumemon maiar est diametro circuli, aequalis optata estTA. Quod opartebat facere.

P n a P a s I T il a n. (Fig. 285.)In data circula inscribere triangulum aequiangulum

dam triangule.Si: datas circulas ABF, (latum vero’ triangulum

JEZE aportet in circula ART triangule dEZ-aequi-angulum triangulum inscribere.

in 9 (HI..16.), adecqu’e rota extra eum posita exit. Unda,ut recta dB transira posait pet lpnnctu’m datum I’, nocesse

est, ut punctum T non. si: intrî circulum centrojE, radioE9, descriptum. Quodsi non fuerit, problema reductum estad hoc: e pluma data T, quad non sit intra cil-cumin datum,rincera Id hune circulum rectam, quae "ouin contingat, ire.

.111 HI. 17. - -Compositio prolJIematis itaguejliucv redit. Si recta data Jaequalù sit diametro circuli (lad, ducatur per punctum dalum1T diameter circuli. (Punctum nempe T neentro Ediveœum

loue sumitur, quodai non foret, quaevis diimeter problcmatisalisfnceret.). Sin autem recta data mihor sitjdiameu’o circulidati, sumatur in Circumferentia circulivpunctum quodcunqueH, et ex W. l.’circulo inscribatur recta IlKàd, et, domino

j in HK perpendiculo EI, centra E, radia El, describatur cir-culas. Quodsi jam punotum «intuitif titi-tu hune circu-

1

8c *- FERMENT’QRUM"11100) ro’ü ART 1152102; maintenir?) a; H9 nanti

76 A, nui ouvemu’rw 71969 Mia! 1?; A9 611,064! amime; naos miry’ 01;,»le qui A r77 67m5 AEZ piailla in

I l ri 6nd GAP, nazis. dè rai HA dans. ami minutieaüry’ 0171.0859) me? A in; 6nd IZAE -ymw’ç: i’m] ri tiare"

HAR, ami êncçstizüw 17’ RT. r A l .Il ’Emi in» minier! To1? ART épointerai mg 663cm

9; 9A, ami oinô Tris nard cd A ênoirptjc sic mirmil-ulov. dirimai déraierai-Ali aigu Ûnô OATxi’mg’

in! ri En! r95 - êvœMdâ 7017 racinien ratinent granule,in? 6nd ART. ’AÂÂ.’ ri «En; BAT ce] 6nd AEZÊûtiv i’orr ami 1; «indART ciao zaouia a; 6nd AEZfuria! l’une Animé aurai il); ami tirai ATB aîné

: ZAE Écrit! i’tn], Mai Mimi d’au ri 6nd RATlomy’ aagi «lad EZA émir il»). iaoyalwoal d’un: inti cd ART

rainurai! 195 AEZ calmirai, nui ëyyéyganwi sic c437

ART minima I . - , ’lu’m, problema salri neqnit. si amen) HK transes: par pan--

aum T, factum erit, quod petebatur. sin minus ex punctoi T ducatur recta ATB êirculum interiorem contingens (1H.

17. vel 111.16. Car.) critque illa :HK (058. 4. ad 1H. 18.):4. Et patati ex HI. 11’. ducs sampot solutions locum lia-»bers, excepta eo casa, que punctum T est iii’circumfctentia

’ circuli interioris, qui non- niai unam solutiouem admittit.Notari meretur, ad facillimum lioc et simplicissimum problemafacile reduci passe alia migis composita v. c. probloma, cir-cula data inscribcudi triangulum, cuius duo latera patelle]:sin: duabus mais positions dada, et ouilla tertium lattis trans-

, par par datum’rpunctnm , vel generali-ua problema circula datainscribendi l’olygouum quodcunqne, quad imparrem laterum

t numerum habeat, in," ut eiu: laiera omnia,l’uno excepta,sin: ’parallela rectis positioue datis, reliquum autem ictustransea: par. ponctumdatum, vel- «niant, ut omni polygoni

1

v1

un" quantes. 9Ducatur rectaiHG contingens circulum ART in

A (HI. 17.), et constituatur arl’ œctam A9 et ad pun-

ctuni in. ca angulo AEZ aequalis GAP (I. 23.);mrsus, ad rectam HA et ad punctum in en A un.gulo ZAE aequalis HAR , et iungatur En f

Quoniam igitur circulum ART icontingit alignarecta 0A, a contactu autem ad A in circula ducta estrecta AT, angulus QAT aequalis ce: angulo ARTin alterna circuli segmenta (in. 32.). Sed angurusGAP ipsi AEZ est aequalis; angulus ’igitur ARTipsiAEZ est aequalis. Ex eadein ratione et anguille.ATB ipsi ZAE est aequalis, et reliquus igitur BAT ireliqua EZA est aequalis (I. 32.): Triangulum igiturART aequiangulum est triangule AEZ, et inscriptum

est in circula .ART. ’ 1 j,

s

laura trament par puucta data, Iliaque ltuius generis plutonquad primum ostendit Annibale Giordana di Ottaiano (Mo-morie di Fisjca e di Math. della Societa Italiaua T. IY.), etpas: eum eOdem loco Malfatti. Cf. l’Huilier Elémens d’Ana-

lyse Géométrique et d’Analyse Algébraique 5. 146. sqq. Kliié

gel. VVôrterb. T. HI. p. 155: Mener. Hindi. Samml. geom.Aufg. I. Th. 5. 150. sqq. Carnot. ’Géom. de Position. Trans-

eamus iam ad aliud, de quo une diximus, problema. [In-ectibenda trempe si: circula data recta A]? aeqnalis rectae dineA, que non mater eise ponitur, quant circuli diameter, in, 7ut recta A)! simul parallela si: rectae positione dame. Frac-.4 Vtermisso eo casa, quo recta data A aequalisj est diamant,ontendetur, u: in problemate praecedente, rectam A)? eaucontingentem circuli ex eadem centra eum circula data de.scripti: cuius radii quadratum aequale cit differentiae quadratiradii circuli dati, et quadrui dimidiae rectae A; Quum itague

l -

10 . ELEMSNTDRUM. Eigr’rrôv 60051110; «fait minier coi daâéwz- 194705119)

iooyaiwov rglyw’yaw ëyyc’yganwi. "Once Mal natrium.

.11 P o TA 21.2 7’.IÎegi 76v 600.4710: minier 14,5 (iodions Œglyui’l’lp

t’ooyuiwov içlywvoy mgryga’tpm.

’Eo’rw ô dadais adulas d ART, cd de damier 19t-

ywww cd AEZa dei d’7) ruai rôt! ART mixiez! ToiMEZ ramifia îooym’mou freinerai! negryga’tpm.

’Euflefilæjofiw si EZ s’y? étatisation coi péon nota-ci

ce? H, 9 amide, nui dirimant zoo ART zoulou, cément! 16 K, ami 0.51.9.) (Je étalai! camaïeu 9j KR,

mi comméra; n96: ou: KR 81519519: ami toi stade«tout; embelli) 754,5 K a”? par 177w AEH railla in";6nd RKAI, T’ai de tiflô AZO i017 a; dm) RKT, quiôtai ouït! A, B, T omœlwil 57’100)an émanroyww

zoé ART zoulou ai AAM, TIEN, NTA. I AKcii Étui ëçdntowm trad ART miniez) ai AM.

MN, NA zani Toi A, R, T, dard d’à coti K 1512194111

571i Toi A, R, T 1J amide: êmÇwymilucval slow aiKA, KR, KT’ «iodai d’au aïoli! ai aigris TOÏQ A,

1) Verba: 6716 (là tu; K flingot: in! rai A, B, 1’, qui.cum Cod. a. omitti: Peyrardus, ex nutiq. cd. restituimuz,’quad. magie doterminate exprimunt, recrus ne centra ducats

esse. n .’ hic circulus eadem ac ante modo describi posait, problemaredit ad id, de quo Qbs. 5. ad HI. 17. diximus. Aliam et’faciliorem huius problematis solutionem traduu: Commandi-

’ nus et ex eo Clavius. Nempe ducta diametro rectae positionedame parallela , abscindantur in en e centra ex utraque, partesegmenta aequalia dimidiae rectae d, atque ex horum extre-

. mimtibus erigantur ad diamettum perpendicula, quae inter secomprehendent segmenta ,circuli, quorum singulae chardae

I

uns; emmuras. , ilIn data igitur .circulo triangulum dam triangule ,

abquiangulum descriptum est. ’Quod oportçbat faune.

P no P 0’ 81T 1 0 m. (Fig. 286.)Circa datum circulum dan) triangulo aequiangulqm

trianéulum circumscribere. 1 l lSit dams. circulas 11131", damna autem triangnlum

AEZ; ophrtet ’circa ABP circulum triangule ZEZaequiangulum triangulum qircumslcribere.

I Producalur EZ ex utraque parte ad H , 6puncta,et sumatur centrum K circuli ABF (111. 1.), et du-catur utcunque recta KB, et constituatur ad .KB re-mm et ad purictum in ca K angulo AEH aequalis,BKA, angulo veto AZQ aequalis BKF (1. 23.) et

1 pet puna: A, B, T .ducantur reçue AAM, MBJV,NFA’cîrculunla JE!" contingentes. l .

Et quoniam1conüngunt circulum ABFArectae A1",

111V, NA in punais A, B, P, ex centra K autemad puncta A, B, F ductae sunt KA, K3, KF,recti 8111H. anguli ad puncta A, B, F (111. 18.). Et

inopocimnr efficient. Caeterum (ope 111. ad hoc pro-bloma facile redueitur illud: circula duo inscribere trin-agu-lum , ouin: singula laura parallch lin! mais positionna datil, lque omnes se internant.

, PROPOSITÎO n.Obs. In hm; quoque prob1emate punctum J in circum-

ferentin pro lubilu sumi, au: datum esse, au: nové 511an11h conditio accedere pattu. Praeterea, adam si punctum A

- datum ait, triangulum circulo inscribendum se: diversis mo-dis in circulo poni poterit. «Nempo nngulns 91T cnilibet m-gulorum E, l, ,Z coquin. fieri poum, quo ipso hm ne;

r

12 1 ElnmnntoaumB, Î 071,146!on yww’az. Kai ënsl I017 AMBK’wtgu-711.5139011 ai rèaouçsç 702411041 15190:0"! o’çâaîç iota 51’017,

[nezâæj’naç’ ami eîç 6150 æglymvu (hawaïen ’56 AMBK,

yod du»! 0,949001 aï Ünô lllAK, SKBM yww’qw lamai

01’909 ai 177:6 AKB, AMB (111014! ôgâaîg ïom dolai.

E102 8è au) ai 1516 JEH, ÂEZlâvaiv 6919m9 1’601?

a2 taïga 6nd AXE, 11.2111? fais 6716 AEÏI, AEZ ïoou61’017, c541 o; 417:6 AKB m7; ünô AEH 30117210? Muni

42’905 q; «Îflô AMI? 1.01m? 1.1i 6nd JEZ 30111! i’m]. 1

, ’Quoz’wg Je; ôuzâæy’oawz En ami 9j 6nd ANM wyî 6nd

AZE florin! i’mr aux; un") 01’905 1; and MAN louva-æçî tigrât EAZ Écrit! 1’017. 70070171011 02’905 3011 r6

AMN iglywvoæl 71,5 AEZ 191716419), and nagzye’yçanwc

91691 76W ABF uüuloæl. ’ 1IIegi (niai (100ème; deo; adulai! wifi Joâéwi Œpl- v

701’419) iooyaîwov tgl’ywvw neçtyéyçanwt. "Omg 6’384 -

nominal. r’ ÏIP1O’TAZIZ (Ï.1Ec’ç ,16 6019M wçz’ywvw 11.592.041 ëyygdtpm.

"Etna; a; 6001W 19131va cd ARN ôsi (M aïs 76V ABI’ ægiymvow aduloit! êyyga’wat. t 1.

modî triangulj. constituendi efficiuntur. Deinde, cuicunqueangulorum E, 4,12 angulum 9117 aequalem’fcciu, duo re-liqui nahua anguli locum inter se mutare possmlt, quo itaguese»:x omnino modi prodeunt; l Magnitude tamgn lacerum tri-nnguli semper eadem est, quamvis variari pouitkeorum po-sitio. Facile Ietiam panet, reduci hoc problema passe (ut aBorellio factum est) ad Prop. 1U. 34. adeoquestiam-ad’al-teram, que ibi allata est, solutinném, vel eum qnoque, qmm(un: babuimns, conditionemHadmittere. .

Con Nominatim itague circula datotriangulum «qui?

n , ’-x’ ’ c"au QUARTUS. . 13

quonîam quadrilateri ÀMBK quatuor àngulî quatuor

rectis aequales sunt (I. 32.), quippe in-duo trianguladividitur AMBK, et sunt recti anguliv MAX, KBM;reliqui igitur AKB, AMB duobus rectis aequaleseum; sur): autemr et AEH, ZEZ duobus rectis ae-quales (I. 13.); anguli îgitur AKB, AMI? àngqlisJEH ,1 JEZ àequales surit. quorum AKB ipsi 4ER;est aequalîsp reliquusa igitur ÀMB reliquo AEZ estaequalis. Similiter ostendetur et angulum A N Mcipoi

. AZE esse aequalem; et reliquus igitur M A N ’reliquoEÀZ estx aequalis. Trianguluni igitur 1LMN aequi-angulum est triangule AEZ,ket circumscribitur circum

A circulum. ’ .Circa xclaturh igitur circulum data triangulo acquî-

anguluru trian’gulum circumscrîptum est. Quod op0r. I

tebat facere. A .En 0 P o s 1 T 1 ou 1v. (Fig. 287.)

In data triangulo,oircu1um inscribere’f 1 A

V Sit datum triangulum APR; oportet in triangulo1.431" circulum inscribere. -

angulum, adeoque (1. 6.) aequilaterumlin’scribetur ogre 1,1.

quod ipsum fieri posse in 1V. 16. summum: l

r aPROPOSITIO in..0131. Similes bic observationes locum habent ac in prac-

eedente. Nempe punctum B pro Iubitu, 05: è’rvzs, in. cir-cumferentia sumi au: etiam datant esse, aut qnmcunque aliaration: doterminari potest. Deinde Qu’au: determinato Punch)B se): variis modis trianguli AMN situ: Variari polest, quam.vis magnitude lateruni non varietur. Primera iure quidpm

x

l 14 11410131170001!17150014000004: 011 vind-ABF, APR 71011011 111’111

un; Bd, TA 51119510119, 1101 011,11flalh’woa1! 011.151.01001101101 111 A 01;,115î01!, 11011 15119100011! 01700. r001? :4 5’711 0019

43, Br, 11:4 5001109 1.105101 011 412,722, AH.I

K01 1’051 2’01] 10111! 1; 12716 ARA 7100101 9111i 15116

413F, 5’011 111 11011 6931i 1j 11916 9BEA 6919,1î ni 11716

BZJ 1’01], 111110 111i 1091710701 "5’011 101 E134; Z34, 1011;

11110 71010019 mais 111101 1101110119 1’001; 51010001, 11011 101’111!

7115119111! 1110? 70151191210110, 11,11! 11710151’10110011! 111111

111011! 1151! 10101! 710100711, 11010721! 01111051! n’y Bd, :011

111g 10171010 01’901 701.5119019 101k 101710119 701.5091112 100g

55011011" 1’01] 01’901 1; JE Tri dz. 4101 001 0111101 111i 11011

fi 4H11? AZ 30111! 1’017. Ai 195îg 01’901 sûôeîat 01.1

JE, AZ, AH 1’001 012.101.0119 51’011» 6 12’911 115101910 fg;

Il, 11011 (11010002110101 571 0151! dE,’dZ, 4H 115111.09

790106.01on 17’551 11011 0101 1’161! 10191071! 01311517101! , 11011

300111151011 1071! A3, B1513! 5110511511, 11101 16 69--0019 5111011 101; 719ôç 1019 E, Z, H 01711151019 yww’aç.

E1 7129 tapai 01111019 , 1011011 1; 0j 6110111550910 r0017 111511011

n9ôç 693011 01’71’ 01109019 017011511; 311169 901711011001 106

1111111011, 177159 01107101! 5115111111. 0111001901 6 115100991 A,

61010111110111 191 év1 11171! 11E, dz, AH 790190611570;

.observat 01131111., demonstrari oportere, 0011611500109 .4111,

EN, FA inter se convenire, qnodifacillimum est, (bien v.c. recta AB, que mm, quum anguli MM, KBN recdisint,lummam angulorum MAI), MÈÀ duobus remis minorem ef- -50101, onde res consequitur ope 11. axiom. val I. P031. 5.,verum eauUem demonstrau’onem jam dodent Tacquer. De-nique notandum Peletarium et BorelJium aliam 11111110110608problematis solutio’nenv exhibere, in qua, ope pnecedcntispropositionis primum circulo triangulum auto muiangnluminscribitur, et deinde ope groblem. in 0110. 5. 0d HI. 17.

-... ..- 8A...

eI-IBEIQUAITUI. e 15Secenmr ART; AIE angnlï bi’fariam a rectis Bd;

T4] (I. 9.), et conveniçnt inter se in puncto A, etducantur a A ad dB, Br, T rectae perpendicula»

res JE, dz, 4H (I. 1.2.). V .nEt quoniarn aequalis est angulus ABJ anguÏo dB 1’,

est autem et rectus BEJ recto B24 aequalis; duoigitur sunt triangula E1341, 2134 , duos angulos duo-bus ,-angulis aequales habentia, et ùnum latus uni la-teri aequale, et attique, commune Bd, quod uni ae-qualium’angulorum subtenditur; ergo et reliqua laterareliquis lateribus aequalia habebunt (I. 26.); taequalis’

4E ipsi dz. Ex eadem ratione’et AH ipai,AZ es]: aequaliâ. Tres igitur rectae JE , dz, AHaequples inter se gant; ergo ,centro A, et intervallouna ipsarum zIE, dz, AH circulas descriptusftransi-bit et per reliqua puncta, et’continget A3, BF, FAmais, propterea’ quad recti suintai E, Z, H punchanguli. Si enim ecce: ipsas, recta diametro circuli adrectos angulos ab extremitate dlùcta 1mn ipsum cadetcirculum, quad absurdum ostensum est (HI. 1C);circulus ,igitur centra A, intervallo autem nua ipsa-.rum JE, dz, 11H descriptus non secaç reçtas AH,

recru inscrîpti huius uliapguli lateribus patauelae circulumcontingentes ducumur. Caeterum de simili probleman gene-raliore vide infra ad 1V. 7. Obs. Î

e * PROPOSITION,’ 01H. l. Analysis huma, problemau’s in Ëlnstitui potest.

gQuum natrum circuli que debear, ex 111.17. 0b,» l. infecta,.quae nnguluni JBI’ bifan’am dividit, dividat eum bifm’afn

Vrecta Bd, minque in Bd centraux circuli (val, ut aliter gec-metnmm mon dicamus, crier-acta B4 locus centri cimuli

A

16 ’ A enlnuznronum«25x109 dyne me); AB, ET, FAŒ’U’ÛSI’OCS’ Vêtpétpwou

(2’90 m5765! mi ifwm nünloe Êyyeyguylu’wog de ’56

ART zglywvov. ’iEfleyga’tpôw w’g ZEH 1). A: - I- Eîg à’çu cd (9049351! mlyowoyæô ART 11510.09 .457-

.yæ’yçanèçu 6 EZH. "07189 56h nominal;

11.PÛ’TA2I2é. v2flapi (56 (3049W 1957va nüxlovflsgzyga’wau

"Euro: 16 0019M ægiywvov 16 ABP Jet d’1) 9159i16 Joâèv 191’7m’ov 16 ABF Mule? mgrygdwaz.

Terryæfoâwoav ai AB, AF sv’ôslat 677;: acare? To?

A, E amusât, ou»! (Ïnô raïa! A, E appâtoit mais A3,AT nçôç âgôcêç 1&0!»an ai AZ, ZEe avpnwo’ûv-

un 0è 124’105 311763 7017 ABF 390861500, ’13 39H mis ET

86051km , 1? and; in"; BI’. L 5’!

l) Ver-ba: ’Eyyeypéçôw Je ZEH, qnae in edd. Oxdn. te IBail. omissa sum, recte omniuo e Cod. a renflait Peyravdus. .Pariter cette in PIOp. 5. 9. 15. 14. ad finem similia verbe ado,iecta legimus. - Endem amen ad finem Prop. 8. deaunt.

dencribendi). Bodem mode, quum id eentrum esse debeacin recta, quae angulnm A Î B bifariam dieidit, envida: eumbifariam recta 1" d, eritque in recta P4 centrum circuli. Erin;

’ huque in canent-su utriusque recrue. Recta: autem.Bd, F4meunerie canonnera, facile pater. Quum enim anguli ABI’A I’ B simul mînores tint daubas remis (I. 17.), multo magie

anguli dBP, JPB aimul (quippe dimidii priorum)’ minoresorant dùobus rectis , .adeoàue rectae Bd, Il convenient (Ax.

11. vel I. Pour. 5.). .Obs.32. Cor. l. Quum etiam rectac JE, AH circulumv oomingant, recta attaque zizi-[qua angulùm BAT Ëîfariam

dividizfin codem puncto A, centro cireuli, confinée: (HI.11. Obs. 1.). Ilaque mas rectale, que anguloa tg’ÎnnguÏi ali.

cuius bifariam secant, in. codem intra’ipsulm panera conve-

a

nanan QuAn’rus. 171ET, TA; centingit igitur ipeas, et erit circulas de-scriptus in lriangul’o ABP (KV. Def. 5.). lnsçïibalur

ut ZHE. ’ *In data igitur triangnlo A311. cimulus inscriptusest EZH. Quod oportcbat facere.

P R O P Û 8,1 TII 0 V. (Fig.290.)i Circa datum trianglilum circulum circumscribere.

Sir datum triangulum ART; "oportet circavdatmn.triangulum: ART circulum- circuinscribere.

Secentur AB, AF rectae bifariam in. A, E pan.cris a. 10.); et punctis .4, E ipsis AB, la ad te.ctos angulostdncantur AZ,-ZE (L 11.). Convenientautemivel intra triangulum ABF, ,vel infecta 3139vel extra Br.

niunt. Et vice versa: Recta, quae ex puncto .4, in quo non-veninnt rectae, que duos angulios dB et 1’ trianguii bilecant;dacrtirlm àuguluin ducitur, hune quoque bisecat (Obl. 2. rad I. 26. Cam 5.). ’Cf. Pileiderer., e cujus annotationibuopartim manuscriptis, eiiam in hoc libre pinta hausimus,Schol. in VL Elem. P. I..M. 41. 42. Caeterum ipsam pic.Positionem IV. 11. Èuclides ex abnul’do demonstrat, Ruth.

Simsqn. panic brevius directe. Neque veto eum Matthias,(Auszug ans Rob. Signsons Uebersetzung) dixerîm, verba cifig ami mini: u. r. l. usque ad finem demonstrationis mn-nifesto.otiosum esse ’additamentum. Ac! indikeciam demandie-ticnem omnino necessaria sum.

Oba. 3. Cor. 2. Et, que a punctçi, in que tres rectaeconveniunt , quae angulosiaiicuius trianguli bisecant, ad la-tere eius trianguli demittuntur, sunt inter se aequalia,

Obls: 4. Cor. 3h Et, Quum si: AEZAII, et T221?!(HL-17. Obs. 5.), erit itague BZ-f-BE, vol, quad codemredit. 285° exeeqsus, quo sunna duorum Iaternm Bd, B11

Enelid. Elemcnt. P. Il. " B

18 a LELEMENTORIJMzwanmn’zwauv 013m 519376901! ËNTÔÇ and ’rd Z,

mû âmç’eüxâwacw ai Z3, ZF, ZA; Kaiiëmi 3’017

5m29! 7j AA zy- BA, muni 01è mû «7:90? démis ai AZtpaie-[ç aigu AZ p’u’iîu 1g], ZB 50121! 201;. iOHoI’wg

Je) omîmes-v (in «ai-1j 172 T5 AZ émia! à"), dimeand k Z13 111i Zl’ 307)er i091" ai qui; (2’90: ai 2A,Z8, ZFiïom oillâltug dolai. i0 aigu uévrgtp TçÎIZ,diacrnjluwu «w épi 70h! ZA, Z3, ZF utixloè 7900-

.. Kf (pépé-rag 114.551 nui (1’113 "151! lamait! came-M, nui 501m

p’cepl;leïgall;téilôg ô Midas nsgi 16 ABP Igl’ywaloæl.

ellsglyguœe’uvüw ais Li A1311. l’ ’AÀÂLË (il? ai JZ, EZ malmmzézwuav .2711 misBIT cüâiez’ag naze? tu) Z, uig è’zsz 591i 1ng àwwégug

Majtaygmpfig, «(à êçleà’etixâwaiAZ. iOluoz’wg de) disi-

ëons’tl du T6 Z (muent! zè’WQOW 501i 7017 flapi et;

ABF 1917101201! negryourpolœ’vov zoulou.

- ’Aüæê dl) ai AZ, EZ otvlmmwérwcav 535169 «un?

ABF æglyailyov; muid i6 Z 71117441, aig 8251 571i 11;;«même nufayèotqafiç , mai ëvrzçe’ù’zâwauv ai AZ, BZ;

A .I’Z. Krak 5m53 milita! lm; 5min! AJ 152119, zanni

lsuperat tertium AF, que ipso propius determinatm’ I. 20.:Hanc obseÊvatÂOnem Clavius ad Ioann. Baptistam Benedictum

l’efc’rt. iObs. 5. Facile pater, cadet): ratione- solvi problema ge-mendias.ç quo inhumaiL citadins describi; qui contingat tresrectas pOsitione datas, quae non omnes trcs inter se sunt pa- I

.railelne. ’ErnnL enim vel a) (Fig. 288.) duae rectàrum pesi-, tione datarum JE, FA parallelae , et secabuncur a tertia AIin punctis Al F, et tum eodem mode osteudetur, si anguliPAR, A121 ,bifariam secentur me is TE, AE, bas recta: in

.PIincto aliquo E convenire, et demissa ex E in recta! per-"pendicula EZ, E9, EH esse inter se aequalia, adeoque cir-

unes oeuvres. g 19Conveniant igitur primum inlus in Z, et iungan-

tut ZB, ZF, ZA. Et quoniam A4 aequalis est ”Bd, communie autem et ad rectos angulosidz; basisigitur AZ basi ZB est aequalis (I. 4.). Similiterostendemus: et. rectam FZ rectae AZ esse.aequalem,quatre et ZB aequalis est ZF; -tres igitur. Z14» ZB,.ZF aequales inter se sunt. ’Ergo cit-calus centra Z,intervallo ’autem une ipsarum ZA, ZB, Z1" descri-Ptus transibit et perlrelîqua puncta, et erit circulascircumscriptus (1V. fief. 6.) circa ABF triangulum.

Circumscribatur ut ABF. ,Sed JE . EZ conveniant in recta Br in Z, ut

in secuuu’a figura "et iunggtur AZ. Similiter osten-demus punctuml Z centrum esse circuli circa ABF

triangulum circumscripti. K z ’Sed AZ, .EZ conveniant extra trianguium ABÎ.

rursus in Z, ut in tertia figura, et iungantur AZ,. BZ , tFZ. "Et quoniam rursus AA aequalis est A3,

communia autem et ad rectos angulos AZ; basis igi.

, !culum ccntro E, radio EZ descriptum tres recta: in Z, 9,H contingent. Et codem modo etinm ex sitera rectee APparte ,invenietur circulus,- qui propositnm efficiex. Aliter,ductô ad utramque rectarum pnraJlehrun’t perpendiculo quo-

cunque ZII, coque in E bifariam diviIo, aç pet E ductarecta Es perallela remis 2B, T4, ostendetur, in hac paral-leh esse centra describcndurum cirçttlomm. Ve! (F ig. 289.)b) nulla rectarum positione datarum pal-allela erit ahuri.Omnes igitur tres AI), ET, AI’ inter se convenient, veltriangulum ABÎ efficient, adeoque problema idemierit, quodnostmm IV. Il. et invenietur cenlrum l circuii-iinu’a triangu-lu.xn describendi, qui ne: recta: 1E , .81", AP contingat. l

r

"20 ’ ELEMBN’ronunr

dè- uai ngôçi déduit fi AZ-fldmg d’oc 9211Z fléau

tu? ZB écrit! i’my. (Opolwç. il),A dez’Soyw au mi 9;

zr ZA son.) nm; en. and ai zen; 21’ :201thil"; ,1; (9’904 mil"! narrera tu? Z, (imminent dèye’vl706v ZA, ZB, ZT mitâtes! yçaqlâluevog ijëst and litai

fait! bien» amusie)», xtti 501m fleglygaqo’fiwoç negi16 ABT freiywælow. Kai ysygdtp’fiw oig AB,T.

Ils-pi a) doâèv ëg’ob.19l7wàioæl 16130:; nsglyiyçal-

717141., "Once me; vivifiant. iA

H O P I 2 M A.

. r q u n . ) q . lKm (pactisent! on, on ,uèv smog me recywryo’u

I l -V F I B K d I7mm; 10 uwtço’u un; zoulou, ’Ij mm BAT www,à! peignait quillait 1017 qfiumvzlz’ov zvyxdvovoœ, flair--

un! récrit! 6905; (in 0è 571251759 ET dans ni név-rçov fillflTEl, â 6nd BAT [Mlle à! fifltxvnâltp 71;;-

A

I f - (I dHameau 0’93"); tour ou dè’îô m’wçoax mon K’lJ’KÂO’U

âne-dg 19011611011 mâtes; 1), 7; tinô BAT, à! alderman,

1) In salle rectius Peyrardus ex Cod. a llabet, quam vul-gata leetio: 514112- 52.169 ri]; Il]: aidaient 76 «919011 wifi-tel. .Cae-tel-uni mm Gregorgus in versrone latine veram lecttonem ex-

pressxt. tFacilenutel’nipatet , codem m’odoiintra spatial KpÎ9,1ABAN, i

MTAO describi pesse circulos, qui rectas Ali, BIT, Al" extratriangulum ABiI’ contingaut. Nolumusihnic problemati, quad

eunum ex iis est, quae Apollonius in libristde Tactionibustractavit, plenins evolvendo insistera. Plura scitu digne, quaead.illnd pertinent; et ex hac constructione derivari ponant,congessit Pfleiderer. aberre Trigonpmetrie Tiib. 1802. Ita v.

. , dB. Al" BI’ ,’e. factle patet, esse A::At;::.--:i--2l- , pariter ac m

i . - B A --B i i. Obs. 4. vidimus esse AEÀ

esse rectum etc.e

., et angulum 11.36

a

L.185RLQUARTUB. l 2l.un IAZ basi .ZB esttaequalis (I. 4.). Similiter osten-demus et ZT aequalem esse ZA, quare et ZB ’ae-.qualis est ZT; ergo rursus- circulus centra Z , inter-vallo autem una ipsarum ZA, .ZB, ZT descriptustransîbit per reliqua puncta, et tarit circa’ triangulumqART eircumscriptus. Describatur igitur ut ABT.

l ’ lCaca datum igîtur triangulum circulus circumseriflptus est. Quod Oporttbnt facere.

A

COROLLAHIUMEt manifestum est, quod Si centrum circuli intr’a

triangulum cadit, angulus BAT, in segmenta maiorei quant semicirculoqtositus, miner sit recto; si au-

tenf teutrum in rectam BT cadit, zingulus BAT, insemicirculo positus, rectus sir; si vero centrum cir.

I culi extra triangulum cadit, angulus BAT, in seg-mento minore quam semicirculo, Imaiorüsit recto.

PRIOPO’SITIO v.’ Obs. 1. Rob. SimsOn. putat, demonstrationem huître

propositionis ab clique vitiatam esse, non enim ostenderc,rectale ,, qune latere trinnguli bifariam et ad angulos rectos se. tcant, inter se convenire, et inepte dividere propositiohem in

’tres «un, eum Inn eademque demonstratio omnibus inser-viat, ut iam Campanus observant. Et illud quidem, rectale,qui!!! ex A et E ad angulos rectos lateribus ducuntur, interse convenue, facile, ut est apud Campanum, probatur, (lucrerecta 4E, unde à; eodem mode ex’ Ax. 11. vel I. Post. 5.patet, ac in 1V. 5. de rectis circulurn cohtingentibus. Quod.auteur rectale l’Z, EZ nec in unam linearn ceincidere possint,inde patet, quoi! si id lient, rectne AH, AP forent inter seenrallelne (I. 28.). quod est contra hypotltesin. Rob. Sinuon.recta: 42, EZ convenire inde probat, quod si *non conveni-

I

22 enemen’rouumrythmez coti titilxwlt’cvlævyza’wovoa, 11.815101, terrir

égaie. "Allé-ce mi (irait êhiwwv (iodais 711710???)dirimait»; yawiot, (étirois e06 191;!de ovltrtscotiwrmai .AZ, 510w de 691917). 8m fric .BT’ liron! deparfum! 69.969, êxrôç coùABT 79;)!de 1).

IIP o TAXIS siEI’g rôti 80.9Mo. minier est-9057101107 t’yygoiwau

t "Euro 6 dadais Manioc 6 ABTA- dei dri sis duART A utizlov ftertçtiyowo’u æ’yygdtpuz. ’ .

"Hzfiwcav TO’Ü AB TA 14622.01) du!) dta’petgm floris

(ÉQÜCZQ (illfilatg ai AT, BA’ nui êneÇetizôw aisAB,

BT, T A , AA. ’ A1) ’Exrôs 105 NART Tâtî’llillûv ex conîectura, quam iam’

versiuncs Campani, Clavil. Uregm’ii, Rob. Simsonic eliorïrnhque habent, osuimus promulgua ornnium çditionum (inParis. ex Splla mate lypogruphico est sin-oc pro Sac-toc) être:

"il: ET. . . r vt lr

rem parallelae forent; at si parallelae forent AZ, EZ, paral-lelae qnoque forent AB, Al’, qui iis sunt ad angulos recuit.Haut: demoustrntionem repreheudit Matthias Auszug au: Rob.Sims. Uebersetzung et Austin., quod propositio illa’, rectal,quae p’erpendiculares situ. ad duas parallalat, ipsas criant pa-rallelas’ esse, non praecedat. Facillime tamen res ad I. 28. regdueitur. Cnelel’um poterat quoqne Analysis iddi similitu-qtlone ac. in IV. 4. facile deducenda ex HI. 1. Cor. 1.’

Obe. 2. Cor. 2. r Quum centrum circuli describendi’essa

debeat (m. l. Cor. 1.) in recta dz, quae rectum AB bifa-ri.1m et cd angnlos rectos sont, pariterque in recta E2, gluenotant AT bifariam et ad augulns rectos secat, et deniqhecodent modo in recul, que rectam BT bifarinm et’ad angnlosrectos sent, patet, hoc, quad ultixno loco diximus, perpen-diculum eum duobus reliquts in llllO codemque pull tu con-vective debere.

l

. t .LIBERQUA’RTUS. . 23Quare et si datas Nangulus minor est recto , intra tri-angulum convenient AZ, EZ; si auteni rectus, inET; si vero maior recto , extra triangulum ABT.

I. pnorpsrrio VI.«(Fig. 291.)i ln data circula quadratum insaribere;

Sit datus circulus ABTA; Oportetiu circula ABTA

quadratum inscribere.» . ,.q iDucantur circuli ABTA duae-diametri AT,,BA

ad rectos angulos inter se (I. 11.); et iungautur AH,

Br, TA, AA. ". tObe. 5. Cor. 3. Et quae ab hoc communi trium per-pendiculorum COHCIII’SH ad «15.410. triangnli A, B, 1* ducun-

ilur rectae ZA, ZB, ZI’ aequales surit. Cas" itaq’ue lignine,secundae (Fig. 290. b.) quo anguille BAT recrus est, cen-trant. Z circuli circumscribcndi facillime invenitur, biaccaudotantum lattis recto angulo oppositum. Cf. HI. dl. Cor. 2.

Obs. Il. Bodem morio per tria puncta, qùae non in ea-dem recta sunt, circulus describetur. i

Oib s. 5. Corollnii 1., quad in gramen textu lesitur, parsprier non est lpudI’Campnnum, traque omnino ex hac con-uructione consequitur, sed palet ex HI. 31. Pars posteriorconsequitnb ex conversa Il]. 5l..vid. Obs. cd HL 51. lnparte pastorien corollarii piraterez, ut Rob. Simson. notat,Derme est de unguis data, quum lumen propositio niliil ha-beat, nec babere posait de angulo date, atque bine ille co-rollarium hoc manifeste vitiatum esse conciudit. Austin. idomnino ex hoc loco eliminandum esse purent. I

pnorosxrxo vr.Obs. ,A sexta inde lutins libri propositione Euclidas non I

striai de figuris quibusdanl regularibus .tractat, et ide iris iisb

I

6 I24 ELBMENTonunrK11! 55:82" 5’07; Sam BE 77? E1, 576907.de

16 E, nourri 6è ami ngôg 69869 a; EÀ’ flétris (2’91;

r1; A3 fléau 777 Àd ïm; 56117. été a? (161:2 651,1 mû

inflige: "un ET, I’zl êan’gçx nia! RA, A4 301]émir Jiaôsnliwgo’u. taïga Sali 16 .43le 16196751511907.

.Iléïw à»), au mi ôgâoymiwov. aEïrei 34236715 Bd 615-

âéîu 6zd,uszçôç Eau 1017 ABIZÎ flâniez), vilmz’ûnlepw

d’en étui 16 BAA’ 691916 6’ch ci 15916 BAJ glanda.

du)? a? «ôté à») and êxv’am], 105v 6716 ABF, 3T4,11414 6931i êc’ruP ôç-Üqyw’alzov’o’c’ga 5051 16.14.3114

16196711509041. ’Eâçüz’h; 6è mué 506751.56ng Tê’l’çd-

7100101! J911. ËWI’WL Km) 1?;7éyga7wm si; 16v aoûëwœ

ABFA nûnlov. 6 - l .Et’g (2’904 Joâs’vm 1562100161! .4de zwgdywwôv

ëyyæçygœnwz ’56 A3164. "Onag 565; amical;

111301111212 v ,11.an 161! 601951110; 67.115201! 6559057va negtyga’qraz.

Î’Emcb ôoâsiè 115x109 6 ÀBTÆ. 6.5i 66 flsçi 167. ’

V ÂBFA gaffiez! mœga’yowbly meglyga’îpat. ’

quae Prop. 2-5 geneulim de lrinngulil doçueut, similisproponît.’ Neque enim poterantvadv figuras multilatems qua»

minque fila omnia applicari. Nonnulla tamen de 3ms quoqüefiguris non regulariblis valent. Proposàtîo: aexta, ut de haciam dicamus, de qltndratuîidem docet’, (mon! Prop. lâchâm-gulo dam alicuî aequiaugulo. Quodvis autemquadratum etiamcuivis alii quadmtu est;aequianguh1m. Nec veto ’gefleralitep

yiam proponi patent prnblema: in dam Cil’èulolinsdibere"qua-drilnteru’m dam quadriîatcro aequiangulum. Vîdimus mimine

[in Obs. 2. ad 1U. 224V ut quadrifatez-um ôix’culo inscribî p68-

sit, necésse esse, si quant-in siL de figuris] qnae nnlios angu-Iqs gibbos labeur, tu duo anguü opposili simul sumti flaqua-les-sin: feliguis dugbus’angulis. Ilaque miam, si citjoulo datai

o

l

N

-unnn QUARTIJQ. x I 25Et quoniam BE aequaiis est-Ed, cenirum china

E, communis autem et ad recuis angulos EA;4 basicigîtur AB basi A4 aequalis est-(I. 4.); Ex cadran:rations et ait-raque rectanum Br, FA lxtiriquc rectarumHA, A] aequalis est; neqnilaterum igitur est quadri-elatemm ABRI. Dico autem et rectangulum. Quo.niam enim recta Bd dîarfièter est ciréuli AI] I211 se-

micircullis igitur est BÀzI; quaregngulns BAJ re-crus est (HI, 31.). . Ex endem ralione et unusquisqueangulofum ABI’, BTA , FÀA recuis est;1rectang’u-i[mg îgitur est quadrilaterum ABFÀ. Ostensumx est

tamtam et aequilaterum; quadratum îgitur est. Et ixi-scriptum e56 in dato circula ABFA. ’

In x(1Mo igitur circula .4de quadratum inscri-ptum est ABÎJ. .Quod ppnrtebat facere.

PfiOPOSIT-IO vu. (Fig.293.).Circa datum icirculum quadralum describere.

Sit dams circnlus 1113121; oportet circa circulum.4de quadratum circumscribere.

iinsc-ribii debet quadrilaterurc data quadrilatero aequianguhm],in data quadrilatero cadem conditin obtinere (lebel. Quod si

v fuerit, poterit non modo , et quidam in, ut plluclum in cir-cnmfeljemia, pet quod unnm laterum quadrilateri inscribandi.trauèeat, datum ait, au: pro lubitu sumatm’, res fieri, au!innumcris modis’ 4Iîen’ poteriÉ, vel, ut aliter dicnmus, pro-

Vblema generaliter sumtum elit indetermiqntum. Nempe, lipropositnm sir, data circula A!) 1’ (Fig. 192-.) inscribere qua-drilnerum, quad aequinngulum si: dam quadrilarero 329Er

’ouius alngnli oppbsiti ZEII4-ZOII:Z-f-ll::2 mais, in, neunum cius 1:1qu transeal. pet puncmm 6.11um A in circumfc-ferenüa circuli, fieri idi pétait sequqntem in mdduni. Ab-scindalur pet HI. 34. gaula A? stramonium AIT, quad a- ,

a

l

x ;Â-.-

26 i ensmauronuml

"Hxâœaav 1017 ABTA 16x101; 660 âzdjwrgoc 91969

agaceç www ai AF, 321, m; on; m A, B,’ F;4 aubain!» fixflmaav iquùwo’psyut un) ABTA züzÂo’u

ai ZH, He, 9K, K’Z. 1. flânai 01W Moineau: 1] ZH un] ABTA xüzlov,

11’516 6è un] E Mil-1’901). (ni 112w une? .16 A inwpæju

Ëstæ’gwuuu fi EA’ (xi ripa ngôç T95 A ramiez; 69190:”

situai. du) w? mini 61,: m2 ai 7196s 1019 B, F, d

pin .angulum nequalem angulo Il, ductaque 9E fiat angùlusTÂd:9EH, et FAB;9EZ, et inngamnr BI’, JF, etitque,ut facile ex HI. 22. cnnsequitur, quadrilaterum .4de àequi-anguinm quadrilatero EZOH. Naine veto solum quadrilate-rum .4312 pruposiLum efficiet. Çuudai enim v. g. ductafinissez" recta (a? paralleia rectale ZQ , iunctaque E0, angullis

11162231611, et angliLus 11:11.8;19EÇ constilums eâaet, qua-dxilnlerui’n .4518 pariter scopo respuudisset, atque ira inna-mera alia, quae idem praostarent, exhiberi poterant. Nomi-mlim, si circula dam inscribenfia fueril figura quadrato ae-quianguia, innumera rectangula probléma solvent. At, li fi-gura inscribenda iPsa’ etiam quadratnm eue, et per punclumin circumferentia datum A transite debetnuna tantum figurahi; çpnditionibm satisfaciet. Si circule inscribi iubetm’ figuraI’nuhilatera aequiangula figurae dara’e, ante omnia, an res fieri

possit, ex observatisud H]. 22. diiudicari dcbet, et si fieriposait, problema plerunique erit jmleterminamm. 4Caeterumpropositioni Yl. 6. midi potesr’iwc

Cor. Circulus qquue (Fig. 291.) diametris AP, Bd inquartier segmenta, aequalia dividitm- (HI. 26.).

PROPOSITIO Vif.Obs. l. Remus circulnm contingentes HZ, QKcum con-

tingentibus 119, ZK convenire, parc: ex I. 29. Cor. 3. .Cou-.1. Quodvis qllddl’ati circumscripti lama aequale est

diamant: circuli, cui circumscribitur (I. 34.). 6u

x

une: enim-rus. 27Ducantur circuii ABFJ dune diametrî AF. Bd

ad rectos angùlos inter ee (I. 11.), et per puncta A;B, T, d diucanturirectae ZÏÏ, H9, 9K, ’KZ; cir-culum ABÎA contingentes (HI. 17.).

QuOniam igitur ZH contingît circulum ,4deœntro autem E ad contactum A ducta’ estA; 6...-gnlî ad A recti sunt (HI. 18.).. Ex eadem ratione etanguli ,ad B, Î , A purwta recti sunt. Et quoniam

Cor. 2. Si ductis remis dB, BI’, Il, dz! eldem cir-cula quadratum inscribatur, cri: quadmrum circumscriptumduplum quadratj inscripti, hoc nempe erit aequale duplô qua-drati radii (I. 47.), illud antem quadratO’diametri. Çor. 1.

Cor. 5. Circulus edam hic .dmmetris 41’, Bd in que.tuor segmenta aéqualia dividitùr (HI. 26.).

C03. 4-. VPnriter latere quadrati ,circumscripti diamétrisAï, Bd bisecantur. Est nempe 11121315 (I. 54.) et 24:

Ed. At BE::EJ, itague et IlAzZA. ! iObs. 2. Quum quodyis quadratum lequiangnlnm. si:

V cuivis alii, etiam haecrpropositio confetti porest eum propo-esitîoue IV. 3. Etlfacile panet, propositionem 1V. 5.10nge

generalins, et cette ad figuram tectilineam àuamcunque, qua.angulos gibbos non habet,-extendi pesse. Factis nempe (Fig.294.) ut invIV. 5. angulis ad centrnm 0 eirculi dati ex ordineaequalibns iis,’ qui deinceps sua: angulis figurae daueiZOHIKJ,nempe engulo 0105: angulo, qui deiiiceps est «0,9 ei, qui94 Jeinceps est etc. ductisqhe paf puncta a, a, fi etc. (quo-mm unumk adam idntum esse potes!) mais circnlum Cuminhgentibus, dempnstrnbilur, ut in 1V. 5..rectprum harum con.tingemium upamquamque convenire eum duabus ipsi pl’oxime,positjs, et esse figuram in enntnm aequianguhm dame MICA.Nec generaliten; omnes ii cnsus excludentur, guibus figura danangulos gibbos habet: inifignra autcm dame aequimguia ciréecirculum circumscripta’ latere: angnlos gibbos eomprehenâentia

non ipsa, sed prodIicta tamtam imite figurant circulant coli-. .

i28- . - ELEMENTORUM -’omnictç 701.0111; 6900M 610w. Kuà 27252 69.?)i 50174! a;

ï6716 .AEB ynwla. è’au (Il? 69:91) mû 67:6 EBli’

flaççilhjlog égal 601214 fifi An Atâ me? 0:1le61) nul a; AF mg] ZK,ëoü nagéünfiog. "ligie nuifi H9 Tl); ZK. in) haga’üæflmç. lOIIOI’wg ôfiitleïâo-

(La! (in ml "52011590: fraie! 171Z. OK [If REM êcrtî.ymgdll’rfimg. IlagœîJæyléygœltllœ ’5’ch Toi. HK, HF ,1

44K, Z13, BK’ l’on (igue 5’012!) 1j 1&7.qu ŒfiQK’,

a; d’à H0 Ty- ZK. Kui 87:61 i’m; 5cm 7; AU1 Œ-fi Bd,

lilial nul ai MW AF étampe: 115v H0, ZK, 1,7 6è

tingenr, et anguli quoque ad centmm situm cliquetenus diqverdum obtinebuut, quae omnia, quum sïugulis cnsibus evoL.vendis Inud vacet, bic et in sequomibus pliqeterimus.

Obs. 5. In figuris circula alicui circum’lcriptis (liicquo-que praeterimgs en, qui: nngnlos gibbas habent) observari

l a potes: circa laiera aliquid admodum simile ei, quad in lignifiacircula inacripxis circa angulos observavimus Dbs. 2. squatHI. Q2. - Nempe, si parent laterum numerlim habuerint, etlatere, initia recto a quoclinque corum ordine numeris indi-cenmr, cri: summa lqtemm numeris impfiribus noratorum Ie-qunlis. summa’e latemm numeris paribus notatorum. Si: v. c.filin figura, que nulles angulaa gibbosihabet ABI’JEZ (Fig.295.), que circulumrcontingat in punais a, .8 , y, etc. crit-que- ex IÙ. .17. Obs. 1. .

’ Ara-:11; . cq Bot-:Bfl V I

Î 7:17?* , v 47:. la

E6 L: E6 i

- . . , z: 22s l -"flac («404’300 "Pl 174-47) (EH-3;):(BÂ’Frfll-Ë-(Ja4-

À E3)-l-(Zê-FAÇ) l -i. te. 434.1214422]: 114.451.4.2 4.Simili: demanstrntiç locum habet in lignais, qui", plura lia-

i

me e... fi.

v-

.tfflh

unau QUARTUS. ’ 29reclus est angulus AEB ,4 reclus autan est et EBH;HO ,parallela élit fll’ (l. 28.) Ex eadem rations etAF parallela est ZK; quatre et H9 Parallela est ZK(I. 30.). Similiter dstendemus et umunqlxe ipsarumHZ, 6K ipsi BEJ esse parallelàm. Parallelogiammfigîtur sunt HK, fI 1’, AK, AZB, 13K; aequulis igi.me est IIZ quidcm ipsi OK, H9 vero ipsi ZK. Etquonium AF aequalis est Bd,- acd et [IF nitriqueipsarum H9, ’ZK. de vero unique ipsarum HZ,(9K est aequalis; et utraque H0. ZK unique HZ,

bout latent. Hinc consequitur’, rectangulum et rhomboiden

circula circumscribi "on passe. ’Obs. 1L Simile quid obtiuet in figuris circula circum-

’scriptis, quae numerum laterum impaire-m [labium ln illiincmpe, si unius cuiuacunque lateris v. c. (Fig. 296.) in pen-

Jagono .2de1? laieris Ed partes As, et eh) in qune in ’punecru contactus dividitur, separatim numeremus; pariter Sumalatenun numeris imparibus natatorum aequalia erit summaeInumeiis paribua natatorum, quad eaclom mode demansira-.

bitur. iObs. 5. In) quadrilueris propositio, quam Obs. 5. lm-bnimus, valet etiun conversa. Nempe si quad quadrilaterumin comparamm ait, ut summa duorum latemm oppositorum:nequalis lait Iummae duorum reliquorum latcnun oppositarum,potel’it illi circulus inscribi. Demonstrax’i id potestvcl directe, . ivel indirecte. Directn demonétmtio Inca e1’it: Sit (Fig. 291.)

quadrilaterum 4312, in quo summa laterum .4134- Îd acquit-lis est summae laterum BF-Q-Jd, poterit ei circulus inscribi.Nam ex Obs. 5. ad IV. 4. circulus potes: describi, qui! triaquaecunque cantigua latera v.-c. JE, BIT, [LI contingat inpunais a, ,9, y, adeoque 6m, si Q lutins circuli centrumsit,’ (Jeu-.06, et 0413: 073. Est autem 0:3;OAl-Aa2, et.

. 073-:- 043-434 (I. 47. [Con 2.), adeoque mit 0142-1100::LOAZ-Jyz. Et, quum site): hyp. AB-l-Flè-BP-l’dhd, et

I .i xx

x

130 r . :LGnNTonuuBd 45:10:15ng 1154! HZ, (9K Emily ïmr aux) «fumige;aigu 10542 H0, ZK inMÉgg: 1151» HZ, 9K 301w hm.706111511901! (i905 3012 16 ZH0K1a1gdnÂwgoal. 11.47.1116

a.) i511. mais ôgâoyuiwov. :Enel 31029 nagulhjlo’ygup-

14.61! Eau 16 HBEA, and 601w 5901)) 1; 6716 AEB’69.9») 61’901 nui 6916 AHB. 0,110le 67j âsisopw

V511 «ont ai 71969 1oîg 9, K, Z yw’w’m 690w aidai»

691907161101: 6’961 301i 16 ZHOK 16190571150907. ’E-

68.11917 6è mi ÏOÔYIÂG’UQON’ 161967194101! 02’914, émiai. Kai

l nsgtya’yganmz 91392 1611 A312! mixioal. i A.Ilsçè 167 16019541101 d’oc: mixiez! 121gçiywwov 71691--

75’796711011. "091.99 5’654 710160011.

H P 0 T A 2 I 2Eiç 16 6039W 161905710004! miaulai! 877902111011.

I "E0110 16’600èv 1519d7w’uoal 166 ABIÎÆ 6d a?)Hg 16 ABFJ 1619671911041 11512.01! Eyyça’flxm. v

4 Tennfoüwtêzwtëgœ 11511.43, fifi cilla 1901162 1o?

Z, E manant, zai- 616 pila! 1015 E 6no1é’9çz 1154! 118,

x TA 710196110109 filin) 7,5 E9, 611i 6è 1017 Z 651015991»1151! .44, BF vîaga’ilylog 1,31311) 7j ZK’ wagaÂÂîîlâ-

Bu;Bfl,.Fy-.: Ed (0129. 1. ad 1U. 17.) erit, aequalibus unim-Àque demtis, Aa-dezdd. Iam elit vel Jazz): (Fig. 297.a), vol alterutra eamm maiorgltem (Fig. 297. b.): Utraquousa, demisso ex O in [Il perpendicnlo 06, dicolesse 06::

. l . l à 4.4.07. ’Nam, si 1) Auzdy, eut Iam 11a, quam 47.-:- 2*

Et, quum GAZ-Aaîzofl4dyï, erit 0 22043, adeoque01:04, mule perpendiculum 03 rectamvld bisecabit in â

-. 4.4(I. 26. Cor. 15.), entque dôzîzdy. Est nutem 06.7.:

011-43; et OyïàOZZ-dyî, itague 0632073, minque 08:07. 3m autem non si: 14:4): , si: alun-ami eau-nm v. ç. ’

z

1

z

irien QUARTDS. 3!6K est aequalis. Aequilaterum igitnr est ZHOKquadrilaterum. .I)ico et rectangulum. Quouiam exiimparallelogrammum - est HBEfI, et est reèms anguilleAEB; rectus îgitur et AHB. Similiter ostendemuset angulos au (E), K, Z rectos esse; rectaugulum igi-tut est: quadrilaterum ZIÏOK. Ostensum est autem

n et aequilaterum; quadratum igimr est; Et circum-scriptum est rima ABFA circulum. l

1 l

s l l ,Circa datum igitur circulum quadratum circumSpri-ptum est. Quod oportebat facette.

P Il 0 1) 0 s 1 T I 0 VIH. (Fig. 299.)In’datO quaulrato circulum inscribere.

, .Sit datum quadratum ABÎA; aporie: in squaclrat’a

14sz circulum insu-ibcre. lSecctur utràque ipsarum 1113. zizi bifariam in,

Punctis E, Z (I. 10.), et pet" E alterutri rectarumA8, ID] parallela (lucatur E0 (l. 31.); par Z Veraalterutri ;eclaru111 11.4, BÎ’ parallela ducamr ZK (l.

1;! maint altera Au .Quoniam igiturbAï-Aa’lzüdl-dyz:ait dyZ-AuÏ:OA-OA’3. At, demisso ex 0 in rectum 114perpendiôulo 06, est 013-01 3:463-162 (l. il. Car. 5),itague 1;Iï-AaÏ;Aâl-A61 i. e. revtnngulu’m (4174-141) (17

---Jja) :2 redtang. (46-44146 (16-16 (Il. 4. Cor. 4.) Quumamen! ait Jy-i-AItzAJhdtl-l-AJ, çrit 47-2111: 46-15(Obs. 3. ad 1.40.),adeaque erit dÎ-Fdafi-dÏ-Auzdô-l-Aô446*116). à. 247.2246, vol dyzdtïl, et qunm 06L. 04---162 et 073:.(143-dyr , exil 06 :073 , et 06;.Ôy, a’deoqueutroque CiISll circulus yadia 0;! descriptus etinm par 6 transi-bit, et coutinget rectum A4 in 6 (1H. 16. Cor. 1.). Binecousequitur quadrato et rhombo circulum ’posse inscribi.

i I

2.32 ’ szMEIronum7901116041 6’901 301w 51010101! 107v 1K, K8, HO, v0.4; AH, HF, EH, HA, m2 ai 03.16.01.10. mi.-161! 70150906 69107611 l’avez dolai. K06 sial i017. 80121!1; 11.4 117 A3, Mal 5’011 19,79 ,uèv A4 1ÏMIIUSIŒ ü 11E,

11:9 6è 113 diffluent a; AZ, îboilii’9a Mai ci AIE 1fiAZ’ 61’910 «(à a! (27111101111101 i’oul slow, En; 02’901 ami

1) ZH 17j HE. iÛpm’wgl’ 61) 6.5131411151 6’11 and 5310111900

11611 H6), HK 6101090: 10542 ZH, HE suiv il»). Ai1ë00a9eg 65900 ai HE, HZ, H0, HK l’eau. cilla)-Ztug dolai. (O 02’900 50541199) 10h! 195 H, 61110112110111

9’ 6è 511i 1051! HE, HZ, .HÔ,’HK 111311109 7911116116119

17551 mi :6102 107v lamais! 05’081,th mi. êtpdiperaz 10;)!

11]), Br, TA, 4A 6150811511, 6m? .16 6919139 8,1310011039 :1965: 1oî9 E, Z, 0, K ramions si 769 151.161: o:-uv’zloçuwig AH, B1". FA, 1M, 1); 6zalie’19tp,

l 1017 adulai; 71969 690039671, 6:19:19 0570115111; t’ai-169 :16-

oeî1uz 1017 115212.01), 57129 031071011 ëôlaz’xfl-y. , (En 07915

.- I .. .6 ue’wgg) 112341.14,» H, 616011;,ucc11 6è 51211011 HE,

HZ, HG, HK 11511.09 79arp0’luwog 1.4,qu 169 dB,

O b5..6. In figuris autem , quae plain quam qitetuor la- lI tara luttant; propositio, quem Obs. 3. lubuimus, pariterque

alleu Obs. 4. exllibita converti nequît, quad similiter feredemonstratur ac Obs. 6. ad.lII. 22. Sir nempe (Fig. 298.)figura AIJI’JEZ circule, cuius centrum est 0, radius 0a cir-cumscri’pta, et contingat ille latera in punais a, fi, 7, 6., a ï

’ iÇ, iam sumantur duo quaecunque latere contigus v. c. .42,E2, et producatun utrumque ultra Z risque ad 0 et H eademquantitate, trempe ita, ut sit ZQ:ZH, et centra A radio0.49, pariterque centra E radio EH describantur eirculi, quise intersecabuut in panera aliquo K , in ut ductis AK,1ElK

.sit punctum Z inter 21K et EK, orieturque novum polygo-num ABFJEK, quad a plions ABI’JEZ tantum quoad latere4K , EX, coranique positionem discrepabit, .claeterum vero,

r

LrnànÀQIx’Anjru’Iu 33

31.); parallelogramm-urh igitur est unumquodqué ipso.

mm 11K, KB, A9, 94, AH,.HP, EH, HA,a opposât: ipsorum latera aequalia sunt (I. 31.). Et.quonîam A4 aequalîs est A8, et ipsius quidam IddîmidËa est JE, ipsîus vero AH dimidia AZ, aequalis erit et AE ipsi AZ ; quare; et opposita aequ-lia sunt, ergo ZH aequalîs HE. Similiter Ostende-

mns et miamque H9, HIÇ’utrique 2H, HE esseaequalem. Quatuot. igitur HE’g. HZ , 119, HK ac-

Î quales inter se saut. Circulus igitur centra H, inter..vallo véto aequnliluni ipsarum 11E, HZ, H9,IHK’descriptus hapsibit et. pet reliquà’puncta; et confinée!reètaS 14B, Br; TA, 4.4, prôptérea quad recti suntangulî ad Z, O, K auguli; si enim siccat circulasmataf AB Br, A, 41A; quae dinmetro circùlî admélos angulos. ab extremitate ’dimit’ur, izntça cirèulum

cadet,îquod absurdum osténsum est au. 16.) [Çîrcu4b lus igimr’centro H, intervalle veto aequaÏi un; ’ipsa.

mm HE, HZ g HG, HK çlçsëriptus non secat’rectgs

quant yolygoquml ABIJEZ circula circumscriptum lit, cris.ex Obs. 5? AB-l-Fd-l-EZ38F-i-41H-ZA, adeoquo, qui!!!MzEz-I-ZH, et dezZA-FZG, sumtum autem si: .211:29, un miam AB-f-PJ-i-EK:-.BIO-I-AE-I-K4. Polygonuniitaque ’ABTdEK etîam in compargmm est, nt’numerùs Ian:-

rum alterne àumeratotum Vaeqllalî; si: numerd reliquoruxh la- tanin). et tamen manifestum est, huic polygone circulum in- ,

scribi non pesse. Si enim inscribi rimant, idem" etîam laura.AB, Bl’, 121.9: ca parte latei’is BP-contingeï’a doberet; et

qua auna reliquat lutera. Af, qui hoqefficit,’ unions circulaiest, nampe is, qui centra O radio 0a describitur. ’Iwutem,

y quum latem E2, AZ contingar, naquît aimai hart El , Alextra illa posita contingere. I -

Euctid. Elemunt. il u. f - " . C V! ’

34 ELEMENTORUMET, TA, 411 815051219. ’Ecpa’tpeml ohm 0:61:51! ami

ânon ëyyaygappëvog,eîg fui ABFzI ragdywvoy.Eiç dieu 16 0019M 7859057va 2611.09 êyye’ygwtmz.

"07mg è’âst nomma,

IIP o TA 212 ,01,I vIIsçi a; ôoâèv tszgoz’ywwv 22113104! flegtyeohpm. ,

"Eovw 16 8019M «rsrgdywvov 16 ABFJ’ 6dflapi ’16 ABI’A inedywvov adulai! negcygcx’lpw. ,

’Eneçwzûeîqm 7&9 ai AÎ , Bd nyve’zwow oïl-

À’Àaç hardi rai-E. - A y . IKai 3nd 1’04] ànîv 41.4 17;..ÀB, uowæî 8è æ;

,41", 8150 fifi ai 4.4, AF 300i mie .34; AI" 1’005:n’ai, mi 13:10;; AI fléau ryi BF ("air ymvia desun] èmbf æ; 15m; AAÏ’ ywm’gx ni 6nd BAT. vj taïga.

67:54:13 glanda 6710: réqmwt 6nd mis AI! Upoz’wc IM 6450W; ô’u ml êna’tflrn maïa! En) IABI’, BI’À,

TA»! 8&0: ralluma; dnô To?» AIL dB æüâezaîal. Kai

êmlli’m; êmiv ai 6716 JAR fonda æfi Ünô ÀBÎ, un:

En irois ,uè’v Ünô JAR finaud»; 139164142413,- mi;

. 76è 177w 4B1" 17711,06!!! 1; 17m; E3110 ami 6716 E113fieu ni 6nd E1314. Bath! l’a’rf «3’916 Mû grimpe? 7; E11

nlwgëî ftp; EB- êmiv 1’65]. (05101309 «W .ôez’ëopsv 31L

I nui éuwre’èf «un E11, EB 861951154! aurige; raïa!

En. Ed 1’071 êon’v. Ai we’baageg dieu; ai E14 ,IEB ,

Obs. 7s IIn figurîs circùlo circumacriptîs, quu numeo

mm latemm imparem habent, proPOsitio , quam Obs. 4. ha.-! buimua, edun in exprimi poterit: cri: ip illis aumma laterum

primiI tertii, quinti etc. aequalig summae laternmv secundi,quad etc. si huic aida: duplum segmentum primi lutais,quod inter punctnm contactas et eum oins terminum iacet, aque humai-age coeptnm en, v. o. (Fig. 296.) in pentagone

’ a

yxïnanuAn’rus. 35dB, ET, T4, AA. Continget igîtur ipse: et cri:tinscriptus in, quadrato ABPA. I t I

In dam igîtur quadrato circulus inscrîpms est. Quod

- oponebat faute. . t AP no P a s 1T1 o 1x; (Fig. 291.).

Circa datum-qqadratnm circulum circumscrîbere.Sit datum quadratum ABFA; op’ortet pina qua-

dratum ARIA circulum cireuutscribere.lunctàe .41", Bd seae accent in E. ’

Et quoniam 211 aequ’alis est 11E, commqnîs au-tem A F1 duae 4A, 7111” duabus 13A, 2111 aeqùales

e «un, et. basis 4P hast ET aequalie; angulus igîturJÀF àequalis est BAT (I. 8.); angulus îgîtur JARbifariam sectus est ab AT. Similiter ostendemuseet ’eunumqueinque angulm’unï ART, BFA, TA)! bifa.riam sacrum eèse a remis AI", 41E. Et quonîatp ae-qualis est angulus .418 angulo ART, et est ipsius

, JAR dimidius angulus EAB, et ipsius ABF dimi-dîus ahgnlus EBA; et EAB igitu-r angulo E311

, erit aequalis. -Quare et latus Ed lateri EB est ae-quale (I. 6.). Similiter ostendemus, et utramque rel-Chrum EA, .EB unique ET, Ed lequalem esse;quatuor» igiuîr Ed, EB, ET, Ed males inter. se ,

.- . , .chaula circumscriptô, quod supra dolinenum fuit, erat, si apuncto .4 versus B numerare incipias ex Obs. 4.,AB-FI’d-l-&xBIH-EJ-ï-Aa unde si utrimque Midas Je, erit 2114-1)!-Ç-EA::BÎ 4-E14-12AereBF-4-Ed-l-2Æze Bine conseqnjtur,li later- lignine circula cironmscriptaetquge numerum laremmimparem hnbet, omnia data tint, data etinm esse Ieginenta,in que illa in puncto contactas dividuntnr. Exit nempe 24405

l

I

Q

I

36; " titanates-030m. ’ t ’ET, Edvî’o’m ’tËÂÀrfÂatg 54’621: (0 à’çu uéyrgwltçï E,

xtüaôtmanj’pwh évî fait! ’EÀ , E5, ET, E4 réale;

’yçœtpôgcevog fiâu mp2 6m" n64! lomoîal oqfltejuwhuai

501m nsgzyeygœlwlrùrog mot r61 AEIÏJ Tæzgdyquv..IÎeQLyeyga’tpfiw aïs ô AEFA. t ’. [1892 ,16 6019M d’en. ïavgtt’fmlyov tuthies 713947.23

gigantal. "07:69 5061 venaient. -. - ,

[111° o TA 21 2 t.’Iooaxelèç «remparait dm-rjaaoâm, 51ml 329075931!

n71: 91969 1?; fléau ywwoîw meÀaaz’ova r59 10171159.

’Ennsûrâœ rus 8.619517» 1; AB, and terminât» Isa-toi j

1,. n; f amochai, (figure t6 17916 mât; A]? , BF flammé-puma! ôgâoyaîwov i’aov ahan tutieînô un? I’A terga-

tyw’vçut ami fièvre?) gênai 155 [il 61:41:11th a); un? JE.mixiog yeyqa’çoâœ ô B4E, nui ëwojgpôoûw sic rôt!

EJE 161510.04! m’ai JE eüâsïçt,’ pagaya 0170?; ni;zoé? EAE 1915x1011 ôtapæ’zço’u, î’m; s’ûâeîa 7; EA- ami

gflEÇG’JZ’ÛŒO’W ai AJ, TA, .mxi nagzysygdçbw mgl

voVAI’Al rçîymvov 34639109 6 AI’Æ 7 ’

’Kuî 5nd mai-tînt; "115;! ET î’mw fini 05m;twist A17, î’my 6è AF wifi EA’ m6 taïga «En; w163i! A8,

BF î’mw à 2 up aîné mis 1M. Kaz ënsiqzüxlov au;

AFJ 81’).an Tl amochai Excès” 16 E, au). ,a’mî i017

E 9196;; rôt! 1412 xtînlovtngog’mnw’nam Mo Maïa;

ai Ed, Bd, ml (un. 0461612 1éywez,’1i Je amoc-vu’awu , and ËWL tu; «En; 705w ME, ET ïow (a); Étui a

:4B-FI’J-I-EA-BI’-dE Caeterum luce disquisitioa tertininde observation institut: primant facta est: a Piton (Méta. « .de l’Acad. des Sen de Paris 1725. p. 45.). Cf. Kraft. .Geom.

Sublim. 6.40.4" y fi - , .

I nuer connin-e. - 37eum. Circulus îgitur centra E, et intervallo aequaliuni rectanim Ed , E13, ET, Ed descriptus transi-.Pit et per reliquat panet: , et e"rit circumscriptusl cirezquadratum AEFA. t Circumsàribatur ut AEFd.

Gina datum igitu’r quarltatum’ circulus-citcumscri-* ptus est. Quçâ oportebat facere. ’ i I

P BEC P O 8.1 T I 0 (Fig. 301.)Isosceles ’triangulum c0nstituere, habens utrumque

angulotum ad basin duplumv reliqui.Tonatur aliqùa recta 4E, et secetur in vpuncto F,

itai ut rectangulum sub VIE, EP contentum aequale.sit.’qnadrato .ex FAHUI. 11.); ét centre A, et inter-vallo AB describatur circulas LEJE (Post. 3.), et ap-tetîn- in; circula. EAE rectae rif, quae non maint est *diantetro aimai-13.4 F, aequaiis recta Bd (ÏV. 1.); etimgannu .44, FM, et circumscribatur ciron triangu.lum 11le circulas 11121.- t ’

Et quopiâm rectangulumvsùb dB, ET matinale estquadrato .ex 4413141" autem aequalis 13.4, rectangu-lum igitur sub AEIyEvI1 aequale est quadrette ex Bd.Et quoniam’ extta circulum .1112! sumptum est ali-quod .punctum B, et a B in circulunrAI1 A caduntduae rectae E14 , E111 quantum altera quidem ipsunvae’cat,- altelra veto in eum incidit; et est rectangulum

t - PROPOSITIO VIH.M on. si ’cui thombo ’dato ARPJ (Fig. .500.) and...inscribendus est, quoa eerbs. 5l ad praeced. semper fien’yotcnt, centrum guident circuli insciibeuai eadem magne in-veniri potest, ut hic pro quadràto èstensum fait, Aductisnempc

38 4 - îatausuronumcrie Ed’ Ed 02’909 êqm’mswt un? 4T4. IKal êml

« àpà’vwnm fie?! 1; Ed,’a’7rdôè flic 5:ch tu; Ate’namfiç

’ôt’rjuwt û 4P, ,oïgœ du!) BAT fluvial, 1’017 émit

et! ce; hallali cm? 225x201). intima yowiç si à";4.41". ’Eml 01741 i217] émia! 7; 6nd BAT 1j 6nd 421T,

goumi Moçzet’ofiw 1; 6nd T 41T 67.0 d’en; fi dm; E111

l’or; Étui 000i mais 6nd T411, 414T. DIANE au;6nd TAXI, AAT il"; ÉOTl’V 9; enfuis 1; 157:6 ET Æaigu ou; BAA a», fini en; 15ml 3114. un? a; 6nd

E4111 1.3i 15916 T E4 kelvin»), être! aux) lumen? AÂcg" AB en» l’ont dises nul a; 6916 AIEA 1.5i dudETAfinît! 709]. Ai «54mg aga ai 15216 BAA,’ ARA, BPA

îbacdlhy’lmg giclai. Kai final il"; émit! ci 6nd JET,"yww’œ tu)" 6nd E T AI, il»; fini ml alangui tiEAI filmai

111i 4T. 141.27 a; Ed ni T11 financsnm 1’th auxivîA41" 97; T4 émia! l’ont due mi rumba. 7; 61:6TAIA yww’çè 115.6716 44T 5m21! l’ont ai de!» 6956

T414, 411T mie inti 14T dol dtnlœot’ovgu "I071 à dmû 9; 6nd ETJ Talc tînt; T414, AAT’ mû 0; aïno"ETAI d’oc: flic 6nd AAT ëoü 8mm "I011 dè fi dm;ETAI étamiez; mW 1591613411, JEA’ ml éauyéga taïga

MEN 6nd BAA,.JBA Iris 6916.1314 301! ôtnhj. A l

mais 2K, E9 par pnnctah (pue lacera rhambi opposite bih-riam dividunt, uuntque fadhuc ut anœ.ZH.-.IdK.-àHE:H6:

2 : at enculas Inscn’bendus Iam alxum radium habebxt, qu!

Vinvcm’tnr, demisso ex H ad unmn latefum rhombi v. c.lAlperpendiculo He, quad; ut facile probatur, aequale est per-pendiculo cuicunque ex. il in, relique huera denülso v, c, Hg.Bit enim in triangulis 1113:, HÇZ, IlEzHZ, langulus E:Z et;

V ad s et Ç sunt anguli recti, [inde ex l. 26. est H52HÇ, etcirculas centre H radio He descriptus adam petipuncta Ç. 0

uns]: quarres. 39en!) 4E, ET aequalfiquadrata ex E4, recta B4 contingitcirculum. 4T4 (llI. 37.): Quonîain igitur E4 con-

’üngît, a contactu veto ad 4 ducta est 4T; angulus

igitur B4T aequalis est angulu 4T4 in alterna cir-culi segmenta (1H. 32.). Quaniam igitur’ aequalis. estmguhu EJT ,angulo 44T, communie addatur T44.Totus igitur B44 (aequalis est duabhs I" 44 , 44T.Sed angulis T44 , 44T aequalis est, exterior BT4(l. 32.); angulus igitur B44 aequalis est angulo 3T4.Sed angulus B44 angulo T134 est aequalis, quoniamet ,latus 44 lateri 4E est aequale (I. 5;); quare et4.34 ipsi BT4 est aequalis. Tres igitur B44, 4E4,ET 4 aequales inter se sunt. Et quaniam aequalis estangulus: 43T englua 3T4, et latus B4 aeqùale estlateri 4T (I. 6.). Sed E4 ipsi T4 panitur aequalis;et 4T igîtur ipsi T4 est aegu’alîs; quai-e et angùlus

T44 angula 441x est aequalis (l. 5.); anguli igitur-T44, 44T anguli’44T sunt dupli. Acqualis autemet BT4 angulis T44, 44T (I. .32.);iet ET4 igituranguli 44T est duplus. Acqualis autem et ET4 tunique angulorum E44, 434, uterque igitur angu-loran) B44, 4E4 .anguli 344 est duplus. t i

a transit, et rhombum in hi: punctis contingit (1H. 16. cor.1).. Paullo breviul centrant Il invenietur, ducti: dissonait?bus 41’, B4, quae pariter in H ne internant. A

v t .Pnorosrrro 1x..01". Endem constructions etiam cira: rectangulum non

quuîlaternrn circulas circumscribetur, quad fieri 8emper passepeut ex Glu, 5. ad HI. 22; Demonstratio tantum peule di-tons eût, et absolvetur ope I. 34. Car. 1. et I. 34. Car. 17.

40 sesmeuronum.iIooazeMsc dieu wgl’ymvov.,ovvlovrawz 2:64.413, 510v

Matcha?! mais! ngôç 1g; 4E fléau ywwaîv ÜtnÂWl’m’œ

1159 Maux-gr 707.669.538! nom-acta,

I H P O T A Z I Z loi.’ ÏEig .161! 6938544109 ’ minot! newéywvoy ioérrlevçp’y

ce; and êooyuimow s’yglgcc’wm. . . , ."E6110 ,6 damais adulas 6 4ET4E’. fiai 66”69

«in. 4BT4E minot: newdywwv l’adulweôu ce au)

iaoyœ’mov êyygdzpm. . .- I R ,., ’Eunet’aüw Érolywvov Ionowelèg ":6 iZHG,»(’tflÂav.

aimiez è’xov énaréçm’ un! 91969 mais .H, 9 montât!

n96; r95 .Z, «ont. ëyyeyçoîtpâo). aïs 16v 43T minima!

71,5 (Z119 rgtyuîwyxîooytéwow rglïyw’yov qui 4T4, figes

la? yen! 719651155 ,Z 7404119: l’ami eïvogt mir 6nd T44,encrêpas! dà caïn M69 ŒOÎQ H, O l’ami s’accorder; rois:

6nd 4T4, 1144. taxi émanches taïga mît! 17916 4T4,T44 trie 17m3 T44 écrit ,âtnlæî. g fTergay’oôwq Mme,

cette: 705v 6nd 4T4, t T44 .6110; 6nd 00W TE 3 4Bahanai, uni fineçet’vxûwaav ai 4E, ET, 4E,I’ .Enel otiu-éæaréga raïa! 6nd 4T 4 , T44 yœmîæl

3175105010)?" étui; 177g 6716 T44 , nui tenu-motta Éloi

A t’V PROPOSITIO XI

, Pratmitti potest huic problemati saquentannlysis’. Put;factum , Iitque 4134 triangnlum aequicrllrum, in quo uterqneangulorum ad basin duplus est reliqui. Bisecetur unus angu-lorum ad basin recta 4T (I. 9.), etilque angulusBdl":E44,patiterqne T44---’BAJ, adeoque (l. 5.) 413’114. Braeterea,quum "in triangulis B12, 344 si: BJI’:B44, et anguilleB communie, erit miam reliquns, Bf4:.4413 (I. 32.). Atex Hyp, 484.2448: erit itague,EI4:434, admette 4P:Bd. Fractures, si triangulo ATcircumlcribatur circulas

ne" centres. 41lsoscele’s igîtur triangulum constitumm est 44E

habens nuumqueœngulorum ad 4E basin duplurn.ligui. Qnod apartebat même

P 110 12,0 SIT101X1. (Fig. 302.)In data circula pentagonaux aequilaterum et moiti-

angulum inscribere. à , .Sit dans circulas 4ET 4E ; Oportet in- circula’ 4ET 4E pentagonum aequilateruni et .aequi’angulum

,inscriberel. w ’ ’a PonaturJriangulum isasceles Z116 duplum habens

utmmque;angularum dadIH , G anguli ad,Z (IV.10.),et inscribatur in circula a43T4E, triangulo ZHQaequiàngulum triangulum 4T4 (1V; 2.), ira ut angulaquidein aequalis sit angulus T 44, utérque vero lan-gulorum ad , (9 aequalis attique angulormn 4T 4,

. T44; et uterque igilurangulorum 4T4, T44anguliT 44 est duplus.» Seceturautem uterque angularnm4T 4 , T 44 bifariam a rectis TE, 4E ’(l. 9.) et iun-.

gautur JE, ET, 4E, E4.Qüoniamvigîtur nterque angularum 4T4 . T44

auplns est auguli T44; et secti sunt bifariam a te:

(1V. ab angulum BAIE-:844, B4 hune èircnlum con-tinget (Obs, 2. ad Ill. 52.), adeaque erit B4q.-:.43)(ËI”(111.. 56.), val .ob B4:4I’..-:4I’, ,ArqzsABxL’t’. Salutio

problematis itague 00 redit, ut recta 4B ita secetur in T, utrectangulum sub tata et segmenta BT aequsle ait quadrata re-liqui segmenti 4P il e. ad 11.. 11.. Quo facto sumenda erit incirculai BAIE recta iB4.:.-4T, et ducenda 421. Cacterum ma-

.niîesum est, positionem rectale 413 pro lubitu sumi, itague,si datum sit" punctum 4, punctum B in circumferentit cit-l

42 ÆLEMENTORUMtilla 1571:6 trait: TE, 4B etiâewiu- ai m’ws 0790: yowt’ou

ai «inti. 44T, ATE, ET4 T43, E44 l’eau tahi-i il": dolai. 45 tôt î’oou 7min: 3m îoœv neptçvegstttïv

ësfl’rfzaawt ai nèfle alpe; wsçttpe’getm al VIE, ET,T4,94E, E4 ïoaa tillailatg dolai. 7ms 6è mais ïaugneptqiegst’œg l’au: aidait»: Énorst’jyovonv al tréma d’au

nichiez: ai 4E, ET, T4, 4E ,. E4 iota cilltikdz’caïoli" îoo’ngov d’eau étui 16 ABT4E malvenue»,

457w de au nul iooyw’wov. ’Errel 7029 ri 4E tuez-tpæ’çswt 1,1? 4E naçztpspez’ç écrit! l’on, nom?) nçoguez’m’iœ

ai ET4’ 6M] dans ri 4BT4 fisçtæièstœ 61,1] 19j E4TBnegtqzeget’q: èorlü l’on. Km) 565771611 371i pt? (HicÜ

4BT4 marasques youpin ri tin6’4E4, à!) (filerieE4TE nsgttpeéet’aç glanda fi Üfld E4E’ nul fi timi V

B4E taïga 7mm?» 1,1? ’Üflô 4E4 tarit! ion. 4102 lis-6’

mirai (il) nui émia"; fait! ünô’ABT, ET4, T41?ywwaîv [saturées ruîv film; 34E, 4E4 écriviez].- îao- ’

yw’mpf des: t’a-ü ’56 413T 4E newdywvoy. .’Edelzflq

de ml ioôànlevçow. v » v

culi BAE pro lubitu aluni au: datant eue passe. , Campa.eitio deinde fiet,yut apud Euclidem. - .

Cor. 1. Quum 434 :2 44E : 2341, erit .844 :ABA4-448-t-BAA

’ à2 Rect. 4 licou(I. 52,), cric: 844:7 z T, et angulus 4B4:

4 lient, L.

T ,Cor. 2. Sima! eum nostto problemnte lolutumiest etîam

hac: Isosceles triangulum oonstituere, cuius angulus ad ver- "ticem triplus si: ,utriusque anguli ad basin. Id nempe esttriangnlttmœl T 4 , quad vidimus esse isasceles , hampe 4T:P4, ’et in que angulus 4P4:454-1-Bdr:334r:51’44:

I

, val, quant ARA-FAAB-t-BAA:2 rectis ,

--..nm:--*:; r..y-:A..-n

. 1 .ll’BIER’QUARTus. 4 43

068 TE; dB; quinqua îgîtur anguli MAT. MTE.*EI’J, FAR, BZA aequales intei- se nant. Aequalesamen-t anguli aequalibus circumferentiîs insistant (1H.

- 26.); quinque igitur circumferentiab AB, BI’, 114,.JE, Ed aequales interse sunt. Acquales autem cir-cnmf’erentias aequales recule, subtendunt (111. 29.);

quinque igîtur nuage-1113, B1", FA, JE, Ed au.quales inter se saut; aequîlaterum îgitur est JET 21E.

,pentag’onum. Dico et aequiangnlum. Quoniam enimcircumferentia AB circumferentiae JE est ’aequalis,communie addatur B121; tata igitur Idrcuxpferentia -ABI’d toti circumferpntiae EAFB est aequalîs. Et -insistit quidam tcircumferentiae ÀBFJ àugulus AEJ;circumferentiaev vero EJI’B àngulus BAE, et angulus

BAE igitur angulo AEJ est’aequalis (HI. 27.) Eneadem raüone unusquisqne angulornm ART, BFJ,54E alterutrî angulonnn BAE, 1E4 est aequàlis;qequiangulum igitur est pentagonum ABI’JE. Osten-oum est amen: et aequilaterum.

31”11. Et viçe versa, si qui; conatruere lsuint trigngulum ilo-mles 41’ d , in que 41’ 4:31:44, consumera quoque poterit l

4- triangulum Viselceles BAI, in quo BAI-115411

I Obt- 2. Campanua et Peletarius, ut bene mimer Clavîue,tine «un ce enracinant, ut .probent, rectum B1 contingerechaulant API, qnutn- id ex HI. 57. nlànifesto consequatur.Id autan in" observa: Campmus, circulos AIE; E18 se inpianino A non oontingere, sec! se iterumA acare in plincto

. aliquo .E, in, ut nous maioris circuli AEzBd! pariterquonous minoris circuli 42:12. Quod facile. in probant. Hicirculi 3e non contingunt in d, ni enim contingerent, rectaBd, qme minorent contingît. contingent criant maiorem(0M. 2. ad 1.1L 17.). Eadem lutent [mimi inscripte tu

.44 :Lzuxu’rronuuEiç 01’912 161! 000ème: 314510.01! newu’yawow i416"- ,

15180961! ce. nui iaoyuîwov*.-ènëy9anwt. ÎOneg ’è’âu

unifiant. ’ ’ * 5

,IIPOTAZIZLfl."ce! 7:67! 60061174: minât»! newdywvov ioânletipâv

-CE ml iooydmov nçptygoêtpm. ’ t ’, I "Eu-ta) 6 âofklg ulula; 6 ABFÀE- (lei à?) fuel«la! ÀBI’JE 344727.01! newa’ywwov laônlwço’v n mi

300711:11:01! nsgtygoîwm. v l ’ tNevmfoâw rot? êyyeygagme’vov - nevmyoîalou ’ maïa!

7mmuîfl.m;,uæîa, ni Il,» B, P, A, .E, dicte i’aag chiai

103g JE, ET, F4, JE, Ed negupsçeiaç’ fiai (luimaïa! A, B, F, A, fixôwtmv un? Mulot; 392049116-

1131m4 a2 HO, 9K, K41, 111V, MH’ ami leiÂoÏfpÛ’w

rot? ABFAE mîle’u uëwgov 16 Z ,t Mai êneÇeÜxfiuf-

son! ai Z8, ZK, ’ZI",.ZA, Z4. - I ï

q. e. a. sucent igitur se in E, erilquç. ,dnetis mais JE.4E. àngnlus AEdàBI’J au. 22. Cor. 1;) :434. Est m.(em etiam, 0b, JEzzAJ (l. Def. 15.) AdEg-AEJ (1.1.):AdeddB. Itaâue (I. 32.) eequiangula sur triangule1412;;443, et uominatim angulua JAEzBAJ, unde et ar-cus maioris circuli 4122411 (HI. 2G.) et recta dEzdeCIII.V2124, arleoque et Meus minoris citculi dEzlu. Pe-letarius addit,.rectam Il vel Ail esse lama pentagoni regn- t

.lariw circula AFJ inscripti. Nempe quum, .ut vixdum vidi-mus; sit nous JET-.421, recta amena I’JzAP, en’t adamtrans 11’21"4sz (HI. 28.). Bodem modo, qnurn rectaAEgjl, erit atcus ÀZE:ÀILJ (HI. 28.), adeoque, disbifariam secetnr , circulus .412 in quinqua arcus eeqlnles clipviens etit, quorum chorde: liminales suntflll. 29.) et binasproximae angulot aequalee comprchemlunt (1U. 21.).

’ I

in." .QaAl’rus. 45ln (Tato - igitur circulo pentagOnum’ àegüilaterum à: .

aequiangulum inscrîptum est. lQuod oportebàt l’accu»r

P’R o P 0 s 1T1 0 x11. (Ëig. 303.)Circa datum circulum pentagonum nqnîlatetum; et

aeqùiangulum circumscribere. lSit datas circulas JET JE; Oportet circa. circulum

JBFJE, peutagonum aequilaterum et Vaequiangulum

circumscribere. x . s ’ ,lntelligantur inscripti lpentagoni angulorum puncta

J, B, 111J, E, ha ut aequales sint JE, Br,.TJ, JE, EA circumfctenfia’e; et per A, B, T, J,E ducautur rectae Çirculum tontingentes HG, (9K.Kg], AN, "ME (lll. 17.); et sumaturcirculîABI’JEcentrum Z; et iungantur ZB, ZK, ZÎ, Z11, ZJ.

A .JPROPosI’rio XI,Cor. (Clavij.) Quum ex ÏV. 10. Cor. 1. angulus FJJ

ait 21’?) rect..eît autem- MF :T 144241119, sequitur, angulum

BAI? pentpgoni regazlnl’is complecti sex quintas unius recti,val tres quintes dnorhm rectoraux, quod consentit eum Ï. .32.

Cor. 18.; angulus itutCm ABEszB exit (l. 39.) quintepars ânonna rectorum: itague angulus. BAE triplul est an-guliIJBE. Cf. IV. 10. Cor. 2. Caeterum simplicloremyro-positionis IV. tu. solutionem Habit xnt. 10.

Obs. Bodem mode, quo hic .ostensum fait, descriptio-nem pentagoni regularis in dato circnlo pendereaeonstruetionetrimé-un aequicruri, coins qngnlus ad basin uterque duplurAit reliqui -- dam nempe ope huius .trîanguli, aliueqlle illiaequicruri in data circulo descripti circulus in quinqua parme.«(inules divisns fuit, quç facto res erat facillima -: genets-liter damonslrabitur, descriptionem polygonl regelais tcuiur L

46 aLsmxsronom l

Kocl être) ai pet! K11 315mm écrémant To17 ABFJE

Mulot: and ’16 Î, aïno (le 1067Z ne’v’rgov in) fait! æ

and a; T (vampât! inguinal a; ZP 9; ZP aigu noi-âwo’g 101w t’ai mit! KJ’ 0.9194) des: êoüvléumæ’gœ

fait! floris ’59; il" 70,471.77. JwÈ roi mon? M ami ai71969 âwoîç B, J minable ymu’at 6919M GÏGI’I’a Karl

Étui 690); 5’0th tînô ZPK yœwia, 16 âge: dînai coi-g

ZK î’om’i fini coïtant; 1451! 2513176 thË to? caltai

à) fiai rois aïno in?» ZB, BK 19013021 "to chaînât;

ZK’ alyte ce? aïno fait! ZF, ÎK fols dnô 10W Z3;BK Wh! l’au ,- îoÏ’v 7:6 tint; 177g ZÎ tu]; tînt; Tif: ZB

30124! î’ooæfi fientât! taïga ’tô aïno Trié Î K lotaçgî r95 Il

aïno tic BK goût! Toma l’or; aigu ÎKt BKrKoâ êmi 1’01] émia: 1; ZB lm" ZF,I.uul- nom) ri6150 (M ai DZ, ZK 01101 1ng TZ, ZK ïaat sial;

t and flétri; ai BK fléau 1g; TK 30121! in" 3!qu fieuà; un: "5716 BZK Mille; 17; 177:6 KZF ÈOïlW l’on, 9;

6è 13416 BKZ n; final ZKF-Êottl’v l’en," «luth? d’oc; ,

pèv 15716 1?le 11,1” 177:6 KZF, 3è tînt; BKP flic

15716. ZKP. J102 in; 0:1le obi ami 1; "la! 6716 ÏZJ-’ cris TZJ fini 6271197 du? 6716 TJJ tic 1Mo PJZ ’

Kœl guai î’oo; émit! o; Br flegmatique; ftp; Î J j l’ai] l

301i and yawiq loi 6nd BZF cg] 15ml nFZJs lKal Émailfi W mm; 132p mis Ünô Igzr (infini; 7* 3è «in;JZF alain? m; Ûnô .Azr- un; c790! aux! 1,: 15ml Kzr

e95 6nd JZF.’ 8’014 0è ml 7126m5 ZF K yww’u tri I15m3 ZFJ 1’017. J150 à») 791’wa05 son 102 ZKÎ, ZJP

cunque, quad numeruml leletum imparem ami-,4 bibus,pandore a description trianguli lequicruri, ’cuius nngulul Ilbasin aurone oit n plus reliqni anguli, lita in v. gr. pro be-ptagono angulus ad basin triplas eue debeat tanguli Id verti-com.l in enneagono 4 plus etc. vel, quod codem redit; et pro

Liman QUARTUIS. j Il?Et quoniam recta K11 contingit circulum MBTAE

in T, a centra au: m Z in conta’ctum ad F ducta estZ13; exit ZF par endicfilarîs ad K11 (HI. 18.); re-

l cuis igitur est euterque ang’ulorum ad F. En eadeniratione anguli ad puncta B, J recti sunt. ’ Et quo- iniam rectus est angulus ZFK, qhadratum ex se.qualq est quadratis ex 21", TK (1.1 41)., Ex eàdemrationevet quadratis ex 2B; BK aequale est quadra-tum ex ZK; qüare quadrant ex ZI’, ÎK Quadratieex ZB, B5 aequalià sont, «.1110er quadratum ex. l

- ZP quadrato ex ZB est aequale; reliquurn ignares: .PX reliquo bit BK est aequale; aequalls igimrrrectaI’K rectse Et quoniam aequalis est ZB ipsiZIÏ; et communis ZK, .çluae BZ , ZK duabus FZ,ZK aequalessu’nt, et basis BK bas! TK est aequalis;

’angulus igitur BZK angulo KZP est aeqüalis (I. 8.),angulus autem) BKZ anguio. ZKF est aequalis; du;plus igitur engulus BZI’ anguli KZF, angulus au-tem BKF anguu ZKF. Ex eadem. ratiorxe et angu.lus ÎZJ angulil FZjI. est duplus, angulus autemÎJJ anguli ÎJZ. Et quoniam sequalis est circum.ferentia BF ipsi TJ, aequalis est et angulus BZÎsn-gulo PZJ (1H. 27.). Et est angulus BZF anguli.KZI1 "duplus, angulus autem vJZI’ duplus auguliAle ; aequalis igitur ethZI1 ipsi AZF; est. àutetn

k et angulus ZFK angulo tZFJ aequalis.’ Duo itaquetriangula sunt ZIG"? Z1111 duos angulos duobus à".

omnibus polygonis regulntibus valet, a division çirculi into: partes sequales , quot lutera lxabere debet polygonum donscribendum. Sin autem polygonum patem laterum nunïetum

4-.an hâbeat, pendebit eius descriptio a descriptions trian-guli aequieruri, cnius angulus ad basiquterque si: (in-ifs) s

X

l

48 I l ’ ansmnnronunsur 6’150 novions [mais 61ml ywm’oug 100:9 Elena; énuré-

. gay énatëgçg, mû plw,nlw9dw "un; nÂwg’çË ïaml,xow’rjv mirait! mit! ZF, ami 00E; 104371029 01’900- nlsv9oïg ,

irais lamais nlevgaîg 100495261, ami 715W lamât! 3m)-0;’0w si; Mimi 70’719. 5’017 d’90: pèw KÎ æüâsîu et;

AI’J, 1P (là 013m3 ZKÎF, 70min ni 67:6 211F. Kalinti i117; satin! 1; KF mi TA, dallai 02’900 K11 (picK1". Jwî 102 mini titi ôcèzâioewt, «et OKWÏQ ;BK aman; Kg; ému! a; BK rif KF un; a). «a; 9K

. 02’904 ni K11 ËG’FlV in"; iOluoz’wg ôuxfioy’ost’m ami

5m31?) 14511 (9H, EUH; A141 530051590: 7,611,016, K AÎÏT’Ij’ 106712.511901! tigra and 16 HOKJIll’l newa’yœvov. *

210’701 (W (3’10sz faoyaiwov. ’Ensi 7029 i017 êovlv *

6nd ZKF huiliez ni 07.16 ZAF, ami âô’eîxâ’ty mis psy

-1Î7tô .ZKF-L ôznhi 1; tînt) GKJ, vis à? 6nd ZÀI’(infini 1) .ünô KAM’ ami 9;. ’5ro OK]! 02’905 ni icigo

K111i! ëoziv in". iOluoz’wè ô?) 854199081704; mi étqu

I tait! Ünô .KOH, 9110!, H11L! ézdfræ’ççc raïa! 671:6 0K4!)

KAM i277," ai mitre (2’900 jamais; ai 6706 HOK, 9K1;KAN, JMH; .MHO 1’006; âll’ç’latg dolai. 70070;-wtovi 4’90; être) zô HGKJM newa’ywvow. ’Eâeixfly

l y(la uni Zoénlwgov, and mêlyæ’y9untœtnagi rôt! JBTJE Aminima "07(69 élise 7101720044.

t pHPOTAlezty’;E19 16 601931 mma’ywvoal, 0’ sont! initialisation: ne

mû looyw’wov, 456210” êÏJ’QÙZWW’

. i) Edd. Oxon. et Fusil; habent: azurins! 330’100 un; 1; BKtfïï’Kl’, fait s’en 5mm] y ,uëv K4 a]: KIl, 1; (lé 9K 7779 BK’

sur) 9K pipa in K4 50:21! (on: quine verbe, quum sint monrepeziuo ains, quad .xnodo dictum eut, eum Péyrsrdo etCod. 1,, omisjmns.

plus reliqui anguli, in ut v. e. pro octogone angnlus ad b:-

S f

un" ousn’rus. 49gulis sequales habentis utrumque unique, et unumtutus uni latex-i aequale , commune ipsis ZÎ, et re-lique igîtur latere reliquis lateribus aequalia hibebunt,

et rèliquum angulan reliquo angulo (I. 26.); aequalis.igitur. recta KF rectae F11, angulus vero ZKF an-gulo ZJF. Et qnoniam aequalis veslt.K.(1 ipsi .I’jIrdupla igitur K11 -ipsius K1) Ex eadem’ ratio.e et9K ipsiusn BK dupla ostendetm. Et est BKiîpsiKF aequalis; et 0K igitur ipsi K41 est sequalis. Si-militer ’ostendetur et unaquaeque rectarum 9H, H01,.MJI alternai ipsarum OK, Kif sequslis; aequilate-film igitur-est pantagon’um IIQKJM. Dico autemet

9aequian’gulum. Qimniatn enim aequalis est angulusZKF angulo ZAIÎ, et ostensus est anguli ZKT du;plus angulus 6K1, angulii lautem .ZJÏ’ duplus an,-gulus KAM; et angulus ÛKÀ ahgnlo KAM est ae-

qumlis: ’Similiter et anus-quiSque. singulorum KGH,ÔHM, HMA ostendetur alterutri angulorum GKJgKAM aequalis; quinque igitur anguli HGK, GKJ,KJAI, AMH, M110 aequales inter sesunt. Acqui-angulum igitur est pentagonum HGKAMÇ Ostensumest entent et aequilaterum., let circumscriptum est cirescirculum JBFJEJ Quod Oportebat fanent. il

’ P B. 0 P O S I I--O X111. (Fig.A-304.)

In date pentagono ., aeqùilatero et sequiangulo, cit; I

culüm insoribere. *I

sin (4-ijâ) plus vel 7’2’ plus enguii ad lverticem esse de-’best. Cf. Tscquet. Euclid. sur. Wliiston. Scliblnir’nd. V. 11.:

-Berrow. Enclid. 80h01. sa 1V. 11.; Clavius Schol. ad W.16.1 LBoermannus Schol. 5. ad 1V. 11. aliique. Potest miamluce observation pro polygonis impsrem sut pistent lutant!) nu- .

Enclid. Elunent. P. Il. D a

s -K a li.50 t ’ .ELEMENTORIJM"E0110 10’, ôofièv nswdywvov, c’oônievgo’v ce ami

ïaoyw’wov, 10’ JBI’JE’ (l’ai 61j si; 10’ JBI’JE nav-

ita’yowov minium! 37y9u’tpat.

I ’ ’I’srrlmioâw .7039 énara’9a 105:! tînô BTJ, FJE

703040511 «fixa ,v’tp’ énau’9ug 707v T Z , JZ 5019367-

uai (i916 1017 Z ("melon , amuï ô ovpfiüloww oïl-1Minus a: T Z, JZ 6619-0105:, ênsÇstizâwoaw ai ZB,ZA, ZÉ .süâeîw. Kœi étui in?) ëoælv’oî Br 111’114,

. son») au q; FZ, 00° a.) ai Br, rz 800i zou-ç A", ,F Î’QON sial, aux) 74011100 si 077:6 BFZ ywvlç: ni tint;JF Z 5’097 son” p’a’ozg 02’904 si BZ ni fléau JZ 500211.

i097 mû 16 BZF 7917001104! 155 JZF 19170509) émise700v, ml ai lamai ywau’m saîgüomœîç flambas ïomçîoiv, tîtp’ (fg ai î’om alangui tînozsc’vovoar à»; 02’905

7; «inti-FEZ glanda ni 5nd TJZ. Kai 3700i 6270112300w si tînô TJE mis ont; PJZ, 1’00] 0è 11’. pèv 0’956

suer-nm habentibus une regula eorhprehendi, trempe, si sium-J)rus latèrum polygoni describendi oit :N, eius descriptio pen-debit s descriptions triangnli isoscelis’, in que utervis angulus I

. -1 ’ - 0* . lalbum sit plus angulihad verticeni. [Tum 1ere, utfacile (1V. 10. Cor. 2.) protistes, simul in potestate erit de- 9scriban triangulum isosceles, cuius angulus la verticem ait(N-2) plns’utriusvis angnli .0 basin, et vice versa. Possuntentent etism polygonal, quae puent Internat mimer-nm labeur,quando in non est formas 2.1 ,’ reduei ad polygone, quse im-parent. laterum numemm liabent: sikautem est formas 2n, .4 .quads-m.

A PROPOSIT’IO X11.Obs. 1. Probsndum entrante ornois, quad Austin, mo-

net, reetss 9K, AXA, 4M ’etc. inter se cohvenire, quod, duoctis rectis Br. Fiera. facile codem mode probatur, le in

IV’. 3. vidimus. ’ I - v

v

Luna quai-rus. 5l.e

Si: datura pentagonaux): aequilaterum et aequiangu-hlm ABI’AE; oponet in pentagono ABFdE circu-

lum inscribere. , «Secetur uterque angulorum BFA, T48 bifariangab attaque rectarum.T Z , dz (I. 9.); et a puncto Z,in quo conveuiunt inter se rectae Z, AZ, ducanturrectae ZB, ZA,, Et qùoniam BP aequalis estIl, communia autem T Z , dnae ET, T Z duabuaAF, IZ aequales eum. et angulus ET Z angulo A? Z "

. aequalis est; basis igitur BZ basi AZ eqt aequalis (I.4,); et triangulum .BZI1 triangule dZF est aequale, Aet reliqliî angulî reliquis angulis Laeqùales sunt, quos

aeiiualia latere subtcndunt; aequalis igitufangulus FEZ,angulo T’AZ. ’Et «quoniam duplns est rAE anguli

TAZ, aequalis autem angulus 111115233113qu JET,agrainas veto 1’4Z angulô’ FEZ, et angulup’TBA -

- O ba. 2. Genenliter ’pâxiterhdcmoglsntl’atur,» ü ad pqnctç

’cîrëùmferenüaà, in quais iqcidunt enguli phlygqnj magnifiât

circule inçcripti, ducanmr recta: circleum contingentes, enascî.oxinçlè polygonum regulàre tandem habens laterum numerum,gigue circulo circùmlcviptum. Circumseriplio polygoni rogna.-

:latia cira cirçulum datum itague parith man. a division; circuli in to: putes «quilles, que: polygonum haha.caetera!!! in hoc affamante. Noblemaçupym valserons!in, circumferepth v. ,c. A pro lubitu aumi am anal? en,

1mm:- ’ . gpnoP051110 xnï. l(Un. 1. Quçmvis hypoçhetice aluni posait pentagonal:

rçgzlue vgl aequilaçerum et aequimgulam super aligna un.F4 daupriptum esse, eüamli modus illud ductibendi antan

Aignan. non marin, maki muon gnomatru .hac ccçasionp éq-çqemnç, quomodo, super dm Item dcscribi Posoitysntagomngl

l

52 . ztsmvzuronuuPdE a; am; n31", 1; 13è raz wg] au; nez, ami’rÎ 17m; TEA déçu fuis 159w T EZ En?! 6m19? l’an âges V

6nd, JET yœw’a ry’ 6nd ZET’JIÏ 07942 ânoÎIAET

yww’a (fixa zëzpywt «3ms mis EZ 5116194229. ’Opol-en; à’qj ôezxôvj’awm in ami. éuwts’ga zob! Ûnâ B24E,

AEZI (fixa zé’qmwc A6716 énan’gug 1:67 ZA, ZE«1,351611. ÎHxâwaav 57) 04’716 mû, Z ("melon êhè

clic JE, ET, T A , JE, :EA- süôeiag mimine) aïZH, Z9, ZK, «Z11, Z1". , Kœi ênei î’m] 5701245 fi6nd en ,Ëowz’a . «gr; and KI’Z, au. 0è nui semi»;

I 6m; ZOT 690:1? 1j 6nd ZKT 1’09] , 6’170 M 191’31wa

Eau tu)? Z9111, 103g (Mo yawt’uç mis (khi 7a)-m’mig ïcœg è’xoæwu, aux). MI’Œ’V ’nlwçdv pu; 75151196

W, uowfiv du» ZT duoæeiyouguv Üflô pian! «à!704M ymww’v’ ’uui 1029 lamés dieu nlwqoîg taïg- loc-

naïg ulwpalg à 71mg 5560 lem caïeu Z6) miasmeZK unâæ’up. TOpoiœç à?) Lâatxüæy’oewz au and 5105011;

(à? ZA, ZM, Z11. innées: 105v Z0, ZK 2’01; écriai;

aï nèfle d’en aimaient ai ZH, Z9, ZK, Z11, .ZMTfait. cillâmes aidai, 70 âges ue’wgtp T9; Z, (humé,-

pwu 8è. été tafia? ZH, Z9, ZK, Z11, Z1" méfias440541610370: aigu and. du? vois! tÂoznaîv (muaiww, n’ai

.êqnéwettm- ŒÆWHAB, ET, TA, 4E, EAeeüüetoîv,’

au? cd ôeâdçaîwu zdgnqôg qui: H, G, K, yl, M

rogulue. ,2: Clavim quidam Id 1V. il. in hoc pmblenngolvit. Sil: super recta dau- Il (Fig. 502.) describendum pen-ngonum regulàre. Fila: triangulum aequicrurum 2H9 tale,ut’utel’que eangulns adebuin duplus si: reliqni (1V. 10.); De-

-indc’ cires niarigulum 2412, quad enperbasi F4 ope I. 23.:tringqu 2H9 aequiangulum conuruitur, deseribatur circulas

, ’(IV. 5.), huicque inséribntur ex IV.’411. 0P: eiusdem trian- T

guli au peàtagonun; regains. Bode!!! fera redit confinait)

i

un" QUARTDI. 53îgimr anguli TEZ.,est dupius; aeqnalis igitur anguiuaAEZ angulo ZET. Ergo anguîus ABT bifariamsegcatur a recta’EZ., Similiter ostendetur et utrumqueangulorum EAE, AEA bifariam senti ab utraquorectarum ZA,- ZE. Ducantur autem a p1 nclo Z adJE, ET, T4, JE, EA rectae perpendiculaires ZHri aZ9, ZK. ZA, (I. 12.). Et. quonîam aequalisest angulus OTZ anémia KI’Z, est autem et recrusZÛT recto ZKF aeqnalia duo trinngnla eum ZQ’T’ .ZKT duos anguleé duobus angulis aequales habentia,et .nnkum iatusv uni lateri. aequale, V commune milieuutrique ZT, subtendens lumm acqualium angliloxumçet reliql’la igitur Iatera reliquis» lateribus aequalia haha.»

liant (1.26.); aèqualis igitur perpendieuiaris Z9 par,pendiculari ZK. Simi’iter ostendetur et unamquarnque

rectarum ZA, ZM, ZH,- al:erutri rectarum Z9.ZK aequalem esse; quinqua igitur rectae ZH, Z9,ZK, Z41 , ZM aequales inter se sunt. Ergo circulas *centra Z, intervalle vérol una ipsarum ,ZH; Z0.ZK, ZA, lel descripms transibit et perlreliquapuncta’, et contingetIAB, ET, T A, 11E, EA Tectas;propterea quad recti sur): anguli ad puncta 11,, 6.,K, A, [A]. ESi enim ipsas non contingit, sec! secat,eveniet ut recta diametro circuli ad rectos anguloa ab

Peietarii, quam lubet me ad 1V. 10. Alia Clavii scinda ni-titnr observation in Cor. ad 1V. 10. et in Cor. ad 1V. L1.fun. Nempe, quum in triangulo 2H9 (Fig. 502.),uterqno

- ne .angulorum ad basin ait ex IV. 10. Cor. :4 bau . cric angu-

. . . h i 4iRect.lus e: annulas, quLbaai producta oritur, :2 Rut. --7*à*-r

6 R . , i i(1.15.) :Ë-Êï . e. ex! Cor. N. il. a angnlo, quem du.

54 ELnimen’rolwm’ I(mariols yœw’ag; Ei 7039 aux êqadqjswz’çvûæaîæ’, fini

rayai mités, avlufliï’osrmz Profil il; âmpérgç) 7:01? mi-

ulov 71969 693d; au. dagua; d’yopëmv êvvôè flâneur

un? mixiez], 5m9’cïronov, 58211192]. 015:: aigu ri xs’wgtp

191 Z, ôtumn’paw 8è 1.501 raïa! ZH, Z9, ZK, ZA,ZM aü-üswîv yçatpôpwaè miniez; «regel mais AB,IBT,

TA, 21E, E4 eüâaîag. ’ErpoËIpn’m dieu 051516611. Ta- .

mitigeât» ais 6 HGKAM. il El; âge: 16 âoâèv newtoz’ywwv, 5 5’sz 10671250964!

ne mi inoyw’wov, aux)»; ëyyëyganwt. "Once 5’06:

maniée". Z a .11 P o T A 2 I 2 la. .Hegl r6 Joâèv newoïyœ’vov, 5 301w icônlweôv

ne ami iooyw’wov, xünÂov’mçtygdtpm. ’ ’

lacera contigiu pentagoni rcgulgn’a eqmprehendunt. sursoie:igitur’, ad puncturu P eitremum rune dame T4 augulum ap-plicare ,t qui aequalis ait ei, qui engulo 2H6 deinceps est, etrectam tub hoc angulo ductam aequalem Encre rectae datte-T A, ntque in yet- omnem describendi pentagoni ambitum rem

continuare. ’ . i r ZObs. 2. Simili litione’ in polygono regulari quantique

circulus iinscribetur. Iu.

PROPOSITIO x1v."l -. O b3. Cor. Quum centrum circuli pentagono regulari

pilcumscribendi in 1V. 14; promus codem mndo inveniatur,hé çentrum circuli eidem penugono inscribendi in W. 15. pu.ter, utrumque’ circulum idem centrant habere. ’

Obs. 2. Generaliter eoflem mode cire: datum polygoïlnana regulare quodcunque circulas circumecribetur. z ’

Obs. 5. Hinc etiam (coll. 2. Obs. ail IV. 13.) Cor. in0l»; 1. animal valetfgeneraliter, nouille circulul polygone

unes quarras. 55extremitate ducta cadat intra circulnm, quad abâurdum

ostensum est (HI. 16.). Circulus igitur centra Z , in-tervallo vero ana. ipsarum ZH, 29, ZK, ZA, ZMrectarum descriptus mon secabit reculs AB, ET, Tl,11E, E11; coutinget igitur ipsas. Describatur utHGKAM. i

In data igitur pentagone , quad est aequilaterum etaequiangulîzm, circulas inSm’ptus est. Quod open-te-

Ibat faces-:3. * l r

PROPOSITIO XIV..(Fig.305.)’V.Circa datum pentagonum, aequilaterum et acqui-

angulum, circulum circumscribere.

alicui regulari inscriptùa idem centrant habillait, quad circulua ,

ei circumscriptua. * x . l IOba. 4. Quodsi e centra circulilpolygono alicui regu- ’lui inscripto, vol (quad. eadem redit Oba. 3.) circumscriptoad sinusales golygoni angulos ducantur rectae, dividem illaepolygannm in tot triangula aeqnalia, quo: polygonum inters

habet. . v -Obs. 5. Haec triangula omnia eaudem habent altitudi-nem, que si circulas polygono ’inseriptus sit, aequalis en:radio circuli inscripti; si circulas polygone circuinscriptus sil,aequalis est pelyendiculo e centra in unum laterum polyganidemissum. Radin! itaque cinculi inscrigti aequalia est haieperpendicula, quad et apothema yocatur.

Obl. 6. Summa omnium istornm triangulorum, i. o.integruin polygonaux itague aequale est (I. 38. Cor. Il.) trian-gulo, coins basin aequalia est perimetro Tolygoni, et coinsaltitude aequalis est altitudini unids ex intis triangulia , i- .e.

i si demains isolygono circumscriptus ait, radioïcirculi polygone

56 absmznr’aaun«’chtw cd (iodla newéywvov, 5 Zona! îoânlwgôæi

ce nazi iaoyw’alloal, cd ABTÀE’ dei dû rugi ni ABTAE

newa’yowov 10,561.01! negzygdæjlaz. n’aÏëcltt’fi’aâw dû 6591275904 frai? «inti ’BTJ, 121E you- a

maïa! tilla 67115 ézacégccg 1051,! T Z , ZÀ, and tirai un? ,

Z amadou , and). 3 myofioe’llovaw ai caldeira, ênl ce?B, A, E amusies êneÇetiza’iwcav camaïeu a2 Z3, ZA,ZE. l0,uoc’wç dû qui i196 «coucou dstszas’mc, 51L

au) snobai] 1077 Ünô- TEÀ, EAE, ÀEJ yœwaîw dixitŒéïlll’lj’tat 17916 linéaux un ZB,I.AZ, EZ cüôccaîv.

inscripti, vel si circulas polygone circumscriptns lait, perpen-diculo e centra circuli polygone circumsclipti in uu’um late-rum demisso.

0b s. "l: Observatio praecedens valet miam, si polygœnum aliquod non regulare circula ’alicuin ail: circunucriptnm,quad nempe etiam ltuml’omnia triangule, in quae illud dia-

’pesci potest ’re’ctis e centra ad singulos angulos polygoni du-

ctis, candem habent altitudinem’ inculpe radium circuli îpeîlinscript-i. Tali tamoupolygono non camper circulas circula.scribi poterit, quad hic obiter notamus.

Bis observationibuicirca polygona regularia midi palliant

idhuc sequentia. . .A Obs. 8. ,Si’ quad polygonum regulare (Fig. v. a. .pentagonum circula inscriptum sit, et bifariam dividanturainguli eius anguli ad. centrum, adeoque etiam (11]. 26.) sin.

’guli nous, quos subtendunt lutera polygoni circula inscripti,et par puncta, in quibus hi areau dividuutur, ducanturrectaecirculum contingentes, enascetur novum polygonum regularepriori aequilaterum , circula circumscriptum. Quod simili sa.doue demonstnbîtm’ ne IV. 12. Et facile palet, singula laterapolygoni circumsoripta’îparallela qsse singulis latetibua polygoni

circula inscripti. Habet. lianoill’rop. Ide pentagone Peletarius. ad 1V. 12.. et generalitet Ambroa. Rhodia: ad 1V. 6. i

Qbs. 9. Quaevjs figura aequilatera circula inscripta lest

"au" ouatinas. ’57y .4Sit datant pentagonum, aequilaterum et "qui".gulum JETJE; oportet cirez pentagonum ABI’JE

circulum circumscribere. V , .KSeœtur uterque angulorum ET A , TAE bifariam

ab utraque rectarum FZ, ZJ (l. 9.), et a puncta Z,in quo cdnvenîunt rectae, ad pnncta B, A, E du- lcantur rectale ZE, ZA, ZE; Similiter ut in praecc-dente ostendetur et unumqucmque angulorum f B11,311E, AEJ bifariam se’cari ab una rectarum IZB;AZ, EZ. Et quaniam aequalis est angulus B114

, ’ a. ,adam aequiangula. Laura enim eius abscindunt and: saqua-les ’(III. 28.), adeoque anguli a binis quibusvil polygoni la-teribua contiguis comprehensi arcubua aequalibus insistunt,adeoque aequales sunt (HI. 27,). A: non ornais lignas sequi-angula circula inscriras necessario quoque aequila’tera est, niai

lqnando manieras .laterum ipsius est impar; vel, si par est,quando duo lutera proxima aequalia suint, vel dummodo, duotquaecunque aeqnalia sint,.quorum une posito primo, alterumoccuper locum, parent -quemctmque, ut quanum,.sentum etc.Est baec observatio Clavii. Nempe, si circula inscripta si:figura aequiangula qmecunque v. c. ig. 505.) ABI’JE, eût,’ob angulum’ BAB:JBI’, criant nous BAE:I’B.4 (HI. 26.

Cor. L), laine, ldemta commuai AH nous JE: arc. 8T,. adeoque recta JE: recrue ET (1H. 29.). Eadem rations erit ’

recta 31’341? , atque in deiuceps, si figura pinta babet. la-tera, erit-semper reniant quodque latua ci, a quo tertîum est,uno relicto in media, aequale: hoc est, primum (quodvis

. autan lattas conatitui’ primum patent) aequale erît tenio, ter-

tinm quinto, quintum septime etc., atque in hune modulamania leur; in lacis imparibus posita aequaJia inter solanum.Eadem autem rations omnia latera locorum pariant, ut secun-dum, quantum, aextum etc. aequalia inter se canut, quantquantum lait a secundo tertium etc. Et luce quidam in (un-râblas lignifia aequiaugulis circula imcüptis loaum liabsbnnt.

x

(58 I agsuasToavm’Kal, duel la?) Émis! 1571:6 B114 7021111» ni 67:6 T 4E,.

and 50T! ni; ne)! 671,6 ET 4 finlascwæi 671:6 ZT4-, 117g

de and T4E râtelasse: dard T4Z, aux), a; 6nd ZT4tiges Tif dard Z4T 30min! il»). aigre ami flicage? a]: ZT’

. 51121199? 7;? Z4 écria! 3’01]. i0pos’wç 61j dszzôvâo’pràs

31’s ml endonjcaîv ZB, Z4, ZE énura’gçrcuîv ZT,

Z4 écria ÏO’IÏ ai néws d’un eüôsîm cal ZA, ZE,

ZT,VZ4, ZE l’eau «infime giclai. i0 d’au usai-reg»

Z, dmowfyau (il: êvl mais! ZA, ZB, .ZT, Z4,ZE adulas Maçon-scias 51”53; Mai du)? mais! lamais! my-pel’wv, n’ai écrou ncgtysygapps’voç. Ilcézyeygtiqafiw,

cal sa.» a ABF4E. ’ l ’ . «

Iam veto, si figura inscrip’ta impsrem laterum numerum lia-beat, inde co-nsequetur, ultimum latus aequale esse primo,oui maximum est, quad nempe et ultimumpimpari loco crinIdem ultimum autem etiam aequale exit secundo, quad quippe"ab ultimo termina est, Itaque omnia latex-a inter se aequaliaorant. Si veto figura inscripta parent laterum numerum habrat,nihil conoludi poterit, niai amine es latera, quae impal’i loco,sont, inter se esse aequalia, et parue!- amuïe Sa, quae pariloco sunt, inter se esse aequalia. Quodsi autem unum garum,quae impari loco sunt, aequale sit uni eorum, que pali locosont, etiam omnia lattera. inter se erunt aequalia. Caeterumesse passe figuras aequîangulas circula inscriptas, que rumennon tint aequilsterae, iam exemple rectangulorum constat

(HI. 22. Obs. 5.). ’ . ViObs. 10. Simili .ratione omnis ’quidem figura acquîm-

Igula circula circumscripta est etiam aequilatera, et non om-v’nîs figura ’aequilatera circula circumscripta est etiam acces-

sario aequiangula, nisi quanda, numerus engulorum ipsiusest imper: vel , si par est, quaudo duo proximi anguli ae-quais! sunt, vel dummodo duo quicnnque enguli aequales

a tint, quorum une posito primo, site: occupe: locum parent

au" ovaires." 595, -engula .IT4E, ettest anguli EI4 dimidius angulus

Z121, anguli vero T4E dimidius T4Z, et ZF4igîtu; augulo Z4T est aequalis; quatre (I. 6.) caletasZF laterî Z4 est aequale. Similiter ostendetur et]unamquamque rectarum ZB, ZA, ZE alterutri ZF,Z4 esse acqualem; quinque igitur rectale Z4, Z3,ZT, Z4 s ZE aequales inter se sunt. Circulusigiturcentra Z et intervalle une rectarum ZA, ZB, ZT,Z11. descriptus trausîbit et per reliqua puucta , et exit,iciicumscriptus. Circumscribatur, et si: ABTAE.

s

qucmcunquc, ut quartant, sextum etc. (En et liae’c obser-vatioClavii contra Campanum, qui in nota cd 1V. 15. puta-vetat, omnem figuram aequilateram circula circumscriptamesse aequimgulsm.) Nempe si (Fig. 504.) circula, cuius.centrum Z circumserlpta si: cliqua figura aequiangula 1481143,ducantur e centra rectae ad angnlos figuras ZA, ZB (un, que("811681103 angulçsflbisecabunt (HI. 17. Obs. 1.), et, quumintegri anguli aequales sint, aequales orant etiam diriüdii!Quum igitur in triangulis AZB, BZP commune. sit latus DZ,engaine auteur :842:BTZ, et 48H32, cri: et (l. 26.)stBI’, atque in duo quaecunque latera inter se aequalia’orant. Sin autem figura ABTJE circula circumscripta sit ae-«quilatera, erit iterum JBZ:F.BZ , et quum practerea in tri-angnlia 4B2, FEZ 4.8:BI’ et BZ communia, erit (I. 4.).

(erzzaa’z. sagum BAZ:è:-ë, ç: ByzïË-l, en:

miam BAEç-ÆFJ, i. e. primus quisque angulus aequalis crictertio, tertiua quintovetc. Eademque ratioue omnes- angon

’ [miam locorum ut secundus, quartas, sextus etc. aequalesenim. Et luce quidem in omnibuslfiguris aequilateris circulacircumsçràitis. Iam, si numerus anguloruni imper ait, eut

A I., x

z

60 y BLIMENTORIJM..Hçgi 0’690: 16 âoâèv mwéym-vov, 6’ ému! idéalem-

96v tu nul îôoyaiaùov, infules neçzréyçunwt. i0naç

(En unifiant. , .IIP 0 T1212 ce.

Eig r67 Joâæ’woi minima éâcîywvov iuônlwgôr n

nui iaoyw’mov ëyyçoêzpaz. v"Etna: ô ébahi: infules ci ABI’JEZ’ dei 6’11"31:

164i ,ABPAEZ mixiov 55057101107 ioo’nlavgôv u ami

îpqyaiwo’v âyygoîzpou. - i"qu901 mon? ÀBFAEZ miniez; chinages 7; A4,

ami eîlvj’rpâw’r 7,6 m’wçow (mû miniovjô H; aux) us’vægq)

,uèv tu; A, âgœavfiyuu 8è 755 AH adulas yeyga’rpâwA6 EflI’G, and êmÇwyfleîqm «î EH, PH ânixâœaowr

l ultimus nngulm, quippe impui Paco positus, aequnli: primo;qui ci proximal est: at etiam secundo, quippe qui ab ultimotertiusiçest: itague omnes unguli aequnles erunt. Sin àutem

. figura Circumsçripta pan-cm angulorum numçrum habeat , uihilcoùcludi’ poterit, niai omnea’ nngulosf qui. impari loco suint,

aequnles inter ne esse, et paritcr omnes cos, qui pari loco4mm. Quodsi nutem nous corum, qui ad secundlm classerapertinent; coquins ait uni mm, qui ad primant classem per- itinent, omues anguli aequales erunt. - Esse turent poslefiguras aequilateraa circula circumscriptas, que ramon nôusint quuiahgulae, iam exemple thombi canna; i.(IV.. 7.

Obs: 5.). ,,O-bgtil. In figurîs quoque non regularibus, quibutcît-. culus circumscribi patent, centrum circuli circuniscribendi in-venitur, si duo latere: continua bisecentur, et in punais de-

. ctionia perpendioula Id en brigantin, Quorum scotie communait, ut in 1V. 8. in figuris nutem non reguhribnl, quibuscirculas inscribi potest, centrum circuli inscribendi invenitur,ü duo anguli *proximi bisecentur, ubi fuiter recurum inca

z

Lull’ovut’rus. 61(Jim: datum igitur pentagonum, aequilaterum et

aequiangulum, o circulua circumecriptus est. Quod

oportebat faute. l I iI 1

P no p o s 1 T 1 o xv.. (Fig. 307.)la data cirçulo hexagonum aequilaœntm et acqui-

angulum inscribere.Sit dams circulas JBÎJEZ ;’ oportet in circulo

ABI’AEZ hexagonum aequilaterum et aequiangulum

inscxibere. t x ’Ducatur ciÉculi ABFJEZ diameter A4, et .suma-

tut centrum cfrculi Il, et centra quidemi A, interyalloveto AH circulus describatur EHFQ (Post. 3.) ,. etiunctae EH , Fil producantur ad punèta B,’ Z, et

t tflinguiez bisecmtium sectio oentmni erit, ut in IVÇ9.’ In fi-gulis regularibus attaque niethodus oodem redit, unde in 1V.8. problema- érodait: dato quadrato inscribendi mode prime,in 1V. .9. autan: problema circulum data quadrnto. circumscri-

i bendi modo ponction traditur. I iPROPOSITIO KV;

0 ba. 1. Ex hao’proposilione au. consequitut ruetho’dua

facilior ne, quem iniIV. 2. Cor. hàbuimun circula duo trimé"gulum aequilaterum inscribendi, ductie’nempe mais 41’, TE,

RA. Et quum ART H ait figura aequilaten, panez ex L 8.ouin-a recta .41" bifariun dividi, unde consequitur; triangu-1mn circula inscriptum esse hexagoni reguhiia aideur circulainscripti dimidium.

l l 2 Rect.Chu. 2. Quum angulua MBlizHBrzT. En:4 Rem.4 ’ Rem.angulu: JET: 3 , et unguis: BIBI: T418: w

’Pllet itague ratio doseribondi trianguli isoscelis ARE, cuida

u

65 zumxsuron un!in? 1d B, Z amusât, in»! ÊneÇmizâwaw aïAB, 131”,

’ T11, JE; EZ, Z11" zéro) au 16 ABTJEZ Héga’wa-g

110710:57:25ng (ré éon ami îaquivlow. I , , ’Enëà 7029 76 H amocha! us’WpoàI étui un? ABÎJEZ

«4150.01! , 2’017 émiai HE 7g; H4. 11051:4), 3nd ce;

« m;.ueïov’ m’wgov 301i 1617 E1119 mixiez), fin]

3min! a; JE 1?; 4H. par q; HE q; un «3.365101;7m], «ai ü HE dieu ni En 5’01] ioda» iodaievgov ripa

lad 16 EHA zelywyov, nui ai rosis taïga «une? 7m-w’dz ai 15m; EHA, HAE, ÀEH ïom oillîflmg du»,

t’netôoj’nsç 1031! hanchiez ngyüvwv ai ingôg 1;; [Scion

ywm’w i’oat cinglons sinh. Km’ du»! ai qui; «tu; .199454101! yww’w 311021! 690M; îoow affin 0226 E54ywvia «791’101! ËŒÏ 660.6919057; iOpoz’agg (91j âelzeÎ’ijlü

051m ami 1; 6716 ’21HF 191’101) 6450 6930517. Kari 5nd

1; «Mata fini miv EB soufisme: «:029 ëmsëæig yao-yl’œç mis 6716 EHP, THB 00024! 690m3 î’aag natçç,’

aux) leur?) 02’904 7; 17m3 THB mimai écrit Mo (bâtirsi taïga "67:6 EHÀ, 1H3, ÏHB giravion î’tmz câbla-t

Âmg eialv- aigu and aï noeud noçver aurai? ai linoBHA, 14112,. 23E au; un; mg Ünô E114, 4H1:

A THB’ ai (igue ytow’oèt ai 6nd ÈHA, ’JHB rHB,

uBlLfl, AHZ, i’tma dlièfldag sinh. Aï 6èî’oou 44042122; 371i ïaaw nsgzqwçszuîv flaflofmaw’ aï 35

aigu nsgzqàe’gezm ai 11E, ET,» 1.21,. JE, EZ, Z11and (influas sicle). T916 «9è mais. i’a’ug mgupkgsl’ugî’oat èæifieïm ’Ünoteivovowt (:135 lieu GQI’ÛÊÎdt l’au; oïl-

lrflmg eloiv’ iodnlèvgo’ix 02’904 fini 16 .4131" ÀEZ égai-

nugu’lus vertièeïn sit galârupluso mimique anguli, ad’inlîu.

En generaliter (CH etiam 0l». ad V. 11.) facile pater, si de-!qribi posât p01y50mm1 regulurç , quad laminai tumoraux»; I

O , -

x

LIBER-QUARTUS. 63îungantur 413, B1312, JE, E2, 2A; dicohexagonum ABFJEZ aequilaterum esse et aequian- I

galurin. , . lo Quoniam I enim punctum H centrum est circuliABFAEZ, HE aequalis est HA. Rursus, quoniampunctumvd centrum. est circuli EHTG, JE aequalisest AH. Sed HE ipsi H4 osteusa est aequalis, HEigitur ipsi Ed aequalis est; sequilaterum igîtur est tri-,angulum EHA, et stres igitur ipsius anguli ’EHJ, ’

HAE, JEH aequales inter se sunt (I. 5.), quia iso-- sodium triangulomm’, ad basin anguli aequales inter se

sunt. Et sunt tres triànguli ahguli duobus realia se.quales (I. 32.);ïangulus igitur EHd tertia par! estduorum rectomni. Similiter ostendetur et AHF téniapars duorum rectorum.. Et quoniam.recta F H saperinsistons angulos deinccps EHF, FHB duobusmais aequales facit (I. 13.), et reliquus igitur FHBtertia pars est duotum rectorum; anguli ’igitur EH],.AHP, FHB aeq’uales inter se Sunt; quure et anguliad verticem BHA, ÀHZ , ZIIE aequales aunt ipsîs

.4171”, FHB (L 15.); sex igituxjanguliEHJ,JET: 111139 13H44, 4411Z) ZHE aequales interse surit, Aequales autem anguli aequslîbus. ciroumËe-rrentiis insistant (in. 26.]; sex îgitur circumferentiae

JE, Br, 14E, EZ, Z44 aequales inter sesont; Àedualiesi-iautem circumfetentias aequal’es rectite ,

A Vsubtendunt (1H, 29.); se): igiturirectae aequales inter ie se 811m; aequüatèrumliglitu; egthekagonuuilABÏJEZI;

N hibéfit. descrîbii criant poste triangulum. immoles murinæ yangulus ad Verticéux« si: (Aï-2) plus uttiusque anguli ad bain,

et vidimus. . . -

64’ l ’ ennuzu’roeuu

yontow’ 15.70.61]. du mû îooyw’mov. s’Eml 7059 En),

Mm" â Z11 negups’gem si Ed fiegupqgâiçgluowfi70903003017190» .4de negtææ’çstw 31107900 û ZABFA

517; 1,7] EdFBA écria! 501;; Mot! fiéfiqxw fini ,flèi’ si:

Z1431" A nepupegeiuç 6nd ZEJ flafla, 371i. 6è en];EerA fleçiwsçelug fi 6706 AZE ywm’w a», 0:90 a

6nd AZE yww’œ T7; 157:6 ZEA. ’Oyoz’wg 61; det-

zârjdewt aunai ai lamai yunlùu zoûtdBFdEZÉgayw’vov’ une? mon! Yvon 520W ézats’çç: raïa! 67:6 ’AZE,

ZEA yowwîr iooxuiytov d’un. éoü Id ABTAEZ âgé--

yawov. ’Edsz’zfin- de fiai icônlévqml; and êyys’yçavwai

si; 264! ABÎJEZ minicar.Eigt 02’904 11611 dolât’wd 91640.01! 5.505wa0? 2060016110563!

ce and iooyuiwml êyyt’yqanim. "07169 met arsenical.

[Ho PIÈMA.’Eu 1015101; 9000116964! du e017 êâœyaivov 001013993

7m; loti mi à: "mû 102311901; 7027 MÜZÀO’U. - w I

.Kœl 3:21! du) un! A, B, T, z], E, Z omniumÉpanœogutïvag uni 366201.01) âycëywpw.) nègëygatpofon’ou

moi 10W Main éEa’ymvov Ioénlwgtiv ce mi ioquièwww, duolov’ôwg son 591i un? nsvrayuiwv’ eïprlps’wig.

liai à: été n54! 561.0010)? son; sa un? nevaw’vov

s

x , . ’ ’05:. 5. Quum reçia 11’ a recta EH bifariam et ad eu-5mm rectos eecetur (I. i551. Cor. I. et 20;), cri: quadratum di-

i midiae 41’ , i. e. quarta par) quadrati’ex AI (Il. 4. Cor. 2s)toquais excessui quedrnti ex Il! super Quantum ex dimidilmaya au a. 41: Cor. 2.) L’a. (Il. 4. Cor. 2.) .-.-. nihiloâîlltlil "quanti endii.’ Quadruum ex 11’, 1mn triangnlii

V àequilâteri igitur triplum. est quadrati redû oins circuli, in 4quem hinacriptum en. ’Taoquet ad h. l.

Lieu (poutres. Un 65dico. etiam et sequiangulum. Qnoniam enim sequalieest circumferentia Z1 circumferentiae Ed, communiaaddàtur 11311,41 circumferexitia; totaiigitur ZABFJtoti EAFBA est aequalis, et insistit quidem circum-ferentiae . Z1131?! angulus ZEÀ, circumferentiaevero EÀFBA anguille AZE. Acqualîs igitur anguiusAZE angulo ZEA. Similiter ostendetur et reliquatsangulds hexagOni ABFAEZ. sigillatim aequales essealtemtri angulorum AZE, ZEzL. Aetluiangulum igi-tur est hexagonumtABI’AEZ. Ostensum est autemet aequilaterum , et inscriptum est in circula ABFÀEZ.

p In data igitur circule hexagonuml aequilaterum etaequiangulum inscriptum est. Quod oportebat facere.

conotLAnluMEx hoc manifestum hexagnnâ latus aequale esse cir-

culi semidiametro. * . i r IEt si per punch A, B, F, A; E, Z. contingen.tes circuinm rducamus , circumscribetur ciron circulumhexagonum [aequilàterum et aequia’ngulum, congruen-ter ois, queue de pentagono dicta eum. Et etiam côno

on; 4. Cires circulais: quemcunque centra H, radio:

. IHA ’ . t " . .descriptum e punchs A, B, 134, E, Z desçrtbl poe.mut ses: cirèuli, inter se et primant descripto uqualesgtquo-

. . . . H4 . ’mm quuque une, nempe eum, glu ex 11’13de T descnptul

est; et duos sibi proximos continget, si trempe radii omnium

V HA i ’corum summtur squales 7 (Obs. 5. ad I". 12.).

Euclid. meulent. P. Il; l E

66 p ÉLIMINTOIUI, amuïrotg, sic 10’ 6012M ésdymvtw 1) 141530.00 êyygd- i

:4:on ce and usezyçà’ylopsw.,.

’IIPÛ TAXIS us’.’Et’g 1&7 0005m mixtion! newsmtdàxdywwow 0’66- l

01809641 se ami iaoyuiwoy Ëyypa’tpm. I I l- "Etna; si demie adulas â ABIÎA’ dei doiàig’zôsl-

ABI’A 56:42.0)! newsuoçdem’ywwov ladaüèvço’v se nul

1007169!on êyyçdtpou. I ’ ’

1) Rob. Simson. manet, addendun hic esse 1’061:thornai 030711:57:07- Recto ille quidem. Attamen hues ex pue-cedemibus facile supplefi pesse sine dubio nuctor’putabn. Etsi 0mois ad summum rigorem exigere volis, etis’m ad initiumt or. similitor addendum en: 2min. la! 20057011. ubi nec ipse

Simson- addit. 4

z

PROPOSITlO XVI.Obs. p1. Eudem mode, quo Euclide: «tendit, quant

nous 4P si: t[3.-.5fi5 circuli integri, et arcus 13:1fl):3f15 circuli ,integri, fore arcum BlL-.2Àô, adeoque par I"?50. inveniri pesse arcum, qui si: 171,5 integri’cîrculi; genets. .

liter ostendetur, si describi possit in circulo polygonuin re-gulsre m laurant, ohmique n l’aterum, ubi m)n samitur, et.gi m--n Ive! same-qu; par continuas’bisectiones ad anisaientredttci-possit, ive). ut aliter dicamus, si m-n vel pm--qn si:2r, déscribi quogue. pusse in circule polygonum regulsre.quad habeas: mm latere, ubi p’et q denctare -potest mimeras

integros quowunque. ii Obs. 2. Ex fis; quae Euclides hoc libre tradidit, cana«quitta, simulum posse in à, 6, 12, - 24 etc. i

’ -- 4, 8, 16, 52i -.. 5, 1o, 20, I 40-... a

U -- 16, 30, ’60; . 120-... -partes sequsles dividi, et figuras regulares totidem Internat.ipsi poste inscribi et circumscribi. figuras sutem regulsreh

u xl

trans soutras. 67

. , .gruenter sis, que de pentagono dicta sunt, in data lhexagono circulumzinscribemus et éircumscribemus.

Î. ,P, R o Rio fis 1 T 1,0 XVI. (Fig; 308.)

ln.dato Kcirculo quindecagonum aequilaterumt et ae-Quiangulumï inscribere. » ’ -. 7 1. V «

Si! dams circulas A3121; oportet in circuit; ÀBI’Aquindecagonum âequilaterum et aequiangulurd linsçri-

une h i r lquorum interum" numerus in istis seriebus baud ,eontineretur;geometrice in. circule desorlbendi ars hactenus iguorabntur.Gaussius, inm. apud Gôttingenses Mltheseos, Profmor, in.Disquisitionibus Arithmeticis 1801. editis, Sent. VIL-de se-guation. circuli section. definientibus, primus methodo algo-braico-ttigonometrica demonstrsvit, circulai-n [ion tantum in

’ 2 I - 3 5. ver-nm etiam in 17(204.1). (2.4.1) (224.1) .1 (2444")2515) ( 65531 etc; gaulernliter trempe in Qui-pl par-

. 234-1 2154-1 . Eles dividi posse, quoties 2:11.51 sit numerus primas. Opedivisionis in 17. partes seqmles, collais iis, que in ,Dbs.1. «in. omis 1V. u. diximus, circulas chimie port-o in2Xlî, 450.7, 8X1’I etc. praeteres in 5X1? vel 51 panes :se- .quel» dividetur, quod trempe 6fi7-V3:.1A& t

in 5XI7 vel 85, quia s!5-3[17.-.-.o[85in 15X11 vol 255, quia .[15-1A7;.»y255

et in eus salifie partes aulnaies,quaelbisectiouibus ex pras-éetlentibus Conséquuntur. Cf. etiam v. Huguenin. matliemBèltrâge Kônigsb. 1805. p. 272. sq. et Rothe. de Divisions.Petipherlae circuli in 11. et 15.partes squales, mimées 1804.aqui pro quaestione g’enersli, on polygonon nliquod rognuregeom’etrice circulo inscribi posait, liane adfert regulam generalem :-s’it M numernsfiquicunque integer positivus, arque litera m desig-

netur multitude numerorum integrorum positivorum (M stque

7

z

N68h p staliniserions.

’Eyysygdqzâw de 16v .ABI’J, miaulez! retreint!pie: inonÂeÜQov e06 si; «616v êyygatpope’wov 70.61190?

si 11’, navrayaivou" de bonifiions: AB°0 oi’aw des:(avis 6 111de 401530109 1) ïaaw somatisant limoneuse,19491km! ri ne? 131" ucçups’gem mérou 0600411015

011520.00 ânon néyu’ a; et .413 nsgttpëçsmynspncôt;

06009 195106:41:11), (Sinon 191034" 1mn?) (2’900 si ET mais!

lion)!» 63504. Tsryofofiw BF diza- uazoi ce E , éna-Irflm 0790» «Je! BE, ET negupeçuuiw newaæazdæ’xmw

faim r06 ABFJ «15101011. Il?!» d’un: irrigua-sites roi:

BE, ET gâchions , in: ail-rais nard s6 «nivales sti- Ï iadonc êwppôomyzw diffa? ABI’d minium 501m si:315167 ëyysygalupt’wov newazmdszdywvow îaânlsvççiv

se mi laoyuivtov. l."Onsg 56s: stationna. . I" togolais et mais 571i 1017 Insv’myuivov, Èoîv dm? rais!

aussi mitans! diatgëoswv êqaœnrrolitïaêag eoûiuüxlov-a’yd-

www, nsgtygmp’rjoswt flapi: très! modes! warrantaie-uà’yowav îoo’nhvpo’v se ami inoyw’wov. ”Eu se citai

h ou?» osmium sois 57:2 1017 nswayw’vov sigrjpe’yozg, ami

f1) Pro si 4312 mimine Rob. Simson. mthtlt logerez siA3114 «souplesse: Quum tamen vox «Mou etinm postes Jack ,

I in: recuirait, uvales hic dictum videtur pro integra circum-

ettentta. .large]! relative primorum. Polygonon regulàre M latorumgeometriee circula inscribi poterit, si il potentia est numeri2 exponentis integri positivi. Si veto hoc nonpvaleat, peti-plleria etiam in M partes aequales geometrice dividi, nequihCaetermn geometn’ca quoque solutio ex fonnulis, quel habensVH5 I, supra laudati, deduci omuino potest, et Pfleideror. per-venit ad seometricpm constructionem suis elegantem et proIci nature coucinuam, cuius etiam demonstrationem exhi-buit e mon geometricis principiis pedum. Mien: e formulis

I

LISE]! ovula-us. 09Inscribatur in circula 111?]1 A trianguli aequilateri’ s

in ipso’inscripti lattis ’4P (IV. 2.), pentagoni vert)aequilateri lattis AB (1V. 11.); qualiuin igitur estcirculus ABTA aequalium segmentorum quindecim,talium circumferentia ABI’, quine tertia pars est air;

culi, erit quinque; dB veto circumferentia, quaequints est circuli, erit trium; relique igi’turiBl1 ae-qualium duarum. Secetur ET bifsriam-in E (HI. 30.),utraque igitur circumferentiarum DE, ET qltîflt’ade-i.cima erit Circuli ABFJ. .Si îgitur’iungentes’ reclus

3E, ET, aequales ipsiss in continuumâi’rectas: sptemus

in circulo ABTJ (1V. 1.), erit in ipso inscriptiontinindecagonum aequilaterum et aequiangulum. Quod

oportebat facere. I ICongruenter autem eis ,sttquae de pentagone, si parcirculi divisiones contingentes circulum ducamus, cir-cumscribetur cires -circulum quindecagonum aequilate-

x

algebuicis a Rotin. exhibitis deduictem constructioneml exhi-ber Müller. (Mathem. kritisclie Bearbeit. des ersten- Rucheder Elemente 1821. im Anhapg.). Aliam satis coucinnem con- Ietructionem vide, in Paukers ebene Geomeuie 1825. p. 181w.

.11]: (amen hoc loco praetereunda nobis eum; qu’un demon.etrstio ex ipse problemstis murs nohxpossit nouasse prolixe,et ex parte baud exigus e libris elementorum sequentibus! de-mum petite. Praeterea plates subinde mathenmtici method’oltradiderunt vol genet-ales, vel ad singularee figuras spectsntes,polygone regulsr-ia quaeeunque kont cette plus edhuc,. quemEnclides docuerat,’circulo duo insorib’endi etc., baud quidam,

ut probe notant, rigorose verne, entamer) magis minus propead veritatem eccedentes, nette in comparons, ut. usai pre-

a

70 2 zzumagrokumsic .16 60193! newaumâena’ywvov,’ 5 ému! 506911180-

l , l I V lme! me and zooywwov, mucha! êyypmpopw ce and m-

’ gtyqdwopw. , *cticb, ubi nope summus figé; attingî naquit, imervire pagevidcantur. Haec. tafia autem satis ingeniose nonnunquam ex-

. cogitata nîhil’ h’uo pertinent, nec düudicatio horum tenaillâ-

num plerumqgle a: altioribus fontibus reyetenderum, Vol maiemechanicorurn, huius looi «se poteau Hue tmen baudrefetri

K

f

"un englua; 71-mm et aeqûîangulum. .Ï’xaeterea cougruentlefeis, quede pentagono dicta arum, et in data quindecagono cir- 1enlum inscribemus et circumscribemus.

(lobent wmm comma, qui épart: falun de arcu quocunquo-inl finales, ,quotquot libuetit, partes- âiiidcndo pnecepu dedorp.’

flan! V- c; vider: est in Haddy de Rada Toxometrin «din- Budu 1820.

1

IETKA4E1410T

12T 0 I x E IBIB4ION HEMHTONL

l .WJ’OL .

r1:2. M90: fini [157.9309 pèyéôovc, ’56 élancez! un?

h , flatteras, 310w parapherai tu; peignai. .15” . 119an11:56:01! 6è mp’ÎpeiÇov (wifi 3105060709,

510w umayavqfiwc 157m6 25017 alimentas:

Isaac.- Monachul in acholiîs .advhuhc fibrum refen, surrare. nomq;llos,t huius libà doqniuun ab Eudoko, Platonilprgecepçore, inventam lraditigmquo eue. Caeterum aligna idsa cormptn ad nos pervenisse, ex quuentibus patebit. ,

D E F I N. - I. *’

» l ,Pars, Mr iam [maous Monachua, Campanus ,I Commandî-

nm, Clavius aliique noraut,.duplici senau apud Geometfasadlhibetu’r. Alu enînrdesignat quamvia magnitudinem mino- "rem altéra eiusdom generis. Ita v. c..Euclides I. 9. Def. ait: **

4 (1an 10mm nua parte mains est. Au: unau striction, ut hic,sumitur pro en magnitudine minore, qune aliquotielshlepetîtaaliam maiorem giuldem generis efficit au: memurat, lande du:menèura- vacuum Prime sensu v. c. 4. dit par! humai 6,non vero posteriorc Iensu": 5 autqm utroque sensu pars en:

V numeri 6. Diximus, maiorem mngniludinem, eum qui minot

à

EUCLIDIS . iELEMENTOBUM.

LIBRE QUINTUa1

O

DEFINITlONE&î

1; P ars au magnitudo. magnitudinio. minon: maigrit,

quando .mensurat- mniorem. . Ï , -,2. Multiplex autem maïor- minon-in, quamlo men-l

suratur a minore.

cicmparetqr, eue debere cimdem genet-i: ac miam. Plut.enim lineam v. c. non niai a lima, nuperficiem a Inperficia,cçrpus a empote, pondus a pouacre etc. mamurari page.Caeterum , quam Euclides vont hic Plflem unau miction,alii pattern aliquotam, aut Jubmultïplum maïoris vacant, maior

contra multiplum minoris appellatur, quam exacte aliquotialcontint (Def. 2.). Ita 3 cri: submultiplum numeri 6, nempedu: Pars dimidin, vel subdupla: 2 est numeri 6 par: tarti.un aubtfipla etc. Pars alignota igitur au: submultipla’ Profit,-Ii magnitude aligna in quotcunque partes aequalea diw’idatutaTali: par: alignant diatinguitur ab aliquantis, magnitndinem lipsam non meüentibm, s’ed conflatis ex summa aliquot ains

partinm aliquotarnm. ha 4 erit pars aliquanta numeri 6,Înempe exit oint pars tertiafibisl sunna. Euclidin libro V". ct

gqq. partes alignons et aliquantaa in distinguât, ut prierassimyliciter partent, posterions parte: appellet. l

.74 I ’ ’ nnnnnu’ronun

7’. 110’709 Geai 0150 peyeâuî’y cipayewoiv mi 14m?

nyltuéema avec? 52.1.7110: exécras 4)..

1) Robert. Simson. persuasus de bains et se ucntis octa-vae] definitionis inutilifate, quant et Barrovius tqatur, fir-miter se credere ait, ni non Euclidis esse sed cuiusdem’jmi-nus periti cdiloris. Bodent mode indican liorellius inObs. ad

A axiome V1. L. HI. Euclid. reniait.

’ D E F l N. Il .Addj patent, dans magnitudines 4, B damna C, D au.qurmultiplax, eut daquemnltiplico: vocari, si maie: A minorentC-teties exacte continent, quoties B cantine! D, sen, si mi-not C toties praecise repetendn est, ut emcint neqmlemmnioriA, quoties mimi debet, ut efficistur «qu-lis magnitudini ,BK Entier. ont: magnitufiinee C, D amassa A, B parte:neqncaliquotae yeomtur. la v. c. goum si: 1533.5 et t4.5, orant numeri 15 et 20 numerorurn 3 et 4 aequemulti-plices, et contra numeri 5 «.4 numerorum 15 et 20 «que»liquotae partes. Acquemultiplices autem pertinln aequeali-quotaruin «immun magnitudinum vocsntur magnitudinum hautin

partesnequezliquantae. Sic et 8 arum: numerotum .15 et20 partes aequealiquanue. Pertes seqnealiquotas charnu: lm:-gnitudiuum Euclides modem ilhrum partem, asquealiquantasentem 8115de partes appellat. Quodsi eadem magnitude minerC utramque A et B metitur, mm C communùknwmura magni-tudinum A et B vocatur. Cf. Pfleiderer .Exposùie ne Diluci- Vclaie libri V. Elem. Euclid. Tub. 1782. p. 11. Peletarius vo-cem multiplex aliter intelligi vult, pariait ac vocem par: inDef. 1. Nempe multiplicem voeu: msiorem lainerie, nontan-tum: quum a minore ipsa, verum etiam, quuni a patte aliénaminoris maint exacte mensuratur. halait, 5 esse multiplient:numeri. 2, esse nempe eius duplum sesquialterum :A ternariumesse l’inafii, unitatem esse sui ipsius multipliant. At sulgohae voces non hoc sensu dicuntur, nec ab Euclide in "mitanauna, (et multiplex saupe: repetiticnom minoris, au; cette po-

rmv-vmrs

à":

tisse oeuvres. i . 753. Ratio est duarum magnitudinum hombgenesrum

«annelant quantitatem (quantufnlicitatem) inter se quas-

dam nabituâo. ’ a ” l . ..sitionem inngrne slterins (que sensu: simple"! dicitur), nonveto positionem partis. tantum minoris involVete videtur. mué.de sequemultiplis dicendum.

, DEFIN. tu.,,de’1u, ratio, sensu generalissitno ’indièst niodum quem-

cnnque ex mutua, dual-nm quantitstum computation; cumin,megnitudinem nains ’ex magniludîne altetius determinsiidi un

U infereudi, «que in neoesssrio ad dune quantitstes homogeness.reuxingitur. Coneipi entent possunt infiniti modi diverti,magnitudinem nniits duorum quantorum ex magnitudine ske-p’nl deurminandi. Horum simplicissimi sunt, qui quantitstesipsas immçdiste, sbsque ulls esrum praevia mutations inviceinconspirent, magnitudinemque unius est citera determimnt, in-dicando: vel quanta uns altenm excedat, sut ab ea deficiat:161 quoties une alter-am continent, au: in do insit. Posterio-Irem medum quantitstes invicem comparantü, magnitudinem-que nains a: bagnitudine alterius determinsndi accuratissinielibre V. discutât ,i stque in séquentibus libris ad obiectavgee-vmenine spplicst Euclides, nulla .uspîam iniecta mentionne ex-posez lpriorist unde suspicari licet factum esse, ut eiusmedi

antiennes geometrîeae; alters entent prions, qnae excessu uniusmagnitudinis super alternat, seu defectu unius ab altera eccu- ’pantin; et que primat-nm nritlsinetices operationum simpli-

. cium, acidifierais se subtnctionis obiectum constituant, arith-meticae vocari consuevet’int. Caetetum neutre bat-uni rationumad arithmoticatn vel ad .geometriam Iseorsim pertinent: verumattaque in numeris pariter et ennemis locum babel, et ambesiunctim limites fare figunt matheseos, quem vocsnt elemen-tanin."x Cf. Pfleiderer. l. c. p. 6. Definitio itsque hue novum.in qua, ut sempet apud Euclidem de geometrica tantumïs-donc sermo est;»nihil aliud dieere lvideum, quant in hac ra-

l

7.6 -nt.s.su:nronvm6’. 1167M 51ml 70969 diluiez 14575191; :Àt’ystm,

a? duvetas nollmlaamçcipwa «www tinsgéxew.

tiens disqliiri, quanta si: une magnitude comparus cum slia ains-dem generis i. e. si alism eiusdem generis pro mensura prioris su-mere velis; vel (VVallisii verbis utimur in Tract. de Algebr. Open

I T.II. p. 86.) qualiter se habeat une ad alteram quoad quantupli- Icitatem (amincira-m) considerata. Putat autem VVallisius, Eucli-7detn dixisse potins mimâmes; quam strontiums, que facilitas etiam

,quantitates incommensurabiles, nec ne tantum, quarum unemultiple est alterius, hac voce comprehenderentur. Atque eo,que VVsllisius-vult, sensu vocem "7111611111: intelligere, sua-

, det etiam ordo Der. 3. Post. 1. et 2. arque expressio Def. 4.6. 7., ut observait Pfleiderer. in Promtuario Mathem. Lips.

.Fascic. 7. p. 259.. Idem tamen addit ibidem, Peso. 8. p. 445.vocsm stylsmiryî viderifpotiuszsignificare quantitasem, quesensu occurrat apud P elem. Magna Syntsx. L. I. p» 8. (Basa.1558.5 me! tôt flîjlufliffl’toï suiv le et; mistÂqs emmy, et in

rocous interprctatos esse Clavium et Barrovium du Lection.Centabrig. Observare tunen lieur, chordartim quoque cata-flogum non absolutam aliquam rectsmm circule inscriptarumIguantitatem , sed semper relativam tantu’m, i. e. comparatameum aliqua unitate v. c. i eum radio circulificontinere, in utdoceat, quot vicibus quaeque earum llano unitatem sur eiuspartes continent, sut quantupla illius sir. Denique Barrow.notat l: c. p. 225. verbe: flQôC 3.1.7110; significare éduquerais!

quandam , quoaâ sium] et ordinem terminorum, ira ut uœrvisprier, alter autem posterior poni posait. 1s autem , qui prierpositus est, antecedens vulgo, qui posterier, consequens. dicitolet. Quod rationis genets attinet, antecedens sut maior est

. .

(omequtnte, quse ratio muioris inaequalitati: voeatur, val eiaequalis est - p qnae furie aequalitatis, vel amendent miner

1 est consequente, -- quae ratio minoris incequnlîtatis appella-tut. Praeteroa hase genera in varias depuo species divîdunt,quas videre est spud Clavium au: Barrovium p. 240., quibushic .immonri nihil attitrer. Antecedens autem consequentis non

un" oeuvres. l 77 a

4. Rationem inter se magnitudines habere dicun.tur, que multiplicatse s’ese superare passant. I

Itantnm aliquod multiplnm, sed etism eins pars aliquote surpars aliquants esse potest. ,,Numerus imager vel fractile, bic-que vel’ spurius vel versus, qui indien, quoties antecedenscontinent consequen’tem, exportent rationù vocalur. Prsetereaautem occultant magnitudines eiusdem generis, e. g. lineae,

- qusrum maint nec. ipse, nec ulllrm eius multiplum, minoriscuipiam multiple aequatur. Eiusmodi magnitudines, mensu-rsm quippe communeni nullam habentes, incommensurabiluvocsmnr. Ratio igitur istiusmodi dulnrum magnitudinum us-sigusri numeris naquit, "quel-e etiam irrationach vocsntur: liomites amen exponentis huius deliniri passant, qui inviccmminus differant, quam date numero fractp quocunquc; senduo assignai possunt multiple immediate contigus magnitu-dinis unius, quae sint limites-multipli cuius’cunque dati magni.

tudinis slterius: hoc est, quorum unum date hoc multipleminus ait, slterum’ mains.u Pfleiderer Expos. se Dilucid.L. V. p. 7. Atque hase quidem causa fuisse vîdetur Euclidi.tuf in sequentibus nunquam definitionem V. 3., si mode cegenuius ait, in ulls demonstratione sdhiberet, sec! quartantinsuper adderet. ,,Nihil forte aliud, Barrovii Verbe eum p.250. in definitione 5. tradenda , Euclidi propositum fuit, quantut methodi pleniofis, sut ornatus qualiscunque causa , pne-ludens scilicet accuratioribus istis eiusdem, msieris et minorisrationne definilionibus mox subiungendis, generalem. qua-miamet silences? en; Zéros: idem] discentium insinuant mimis petmetsphysicam llano definitionem, metàplnysicam. dico, necenim proprie mathemstica est, eum Il) es nihil quicquam de-peudeat sut deducstur a math’emsticis, nec, ut existimo,.de-

i duci possit. Cuiusmodi quoque’ censeri potest posllmc (redit;,definitio analogiae: anslogia est rationum similitude, gus: nulli Imalhematico deserviat usui, nec, slio opiner fine preponitur,quem ut pet du: generalis quaedam analogue noria, danslicet et ,conÇusa tyronibus indatur. l Defiuitionibus autem a.

x I

78 . . annualisons»:’ a t - 3 - I r l N a Ië. En: et,» avec,» lori,» "men une» 61704,,an-

nw and; (laitages! and seize? and: gémeau du?toi s06 novices; mi agitez) ionisas acheuléen», suivmi chorège!) mi cadotes) intime nolidetlaet’mi, staffcinotovoû’y noâlanlœmdopôr, énaségov énasépov si

olim impala], fi ripa leu fi, si d’un alains; Ampâéwœ

ûmoillajhi. l V 4. il Je. Toi 0è tôt Mini?! 310710516707 flaflas], cimi-Àoymr flaÂGlIÇhÏw.

quisitis, .mox ab ille subiunetis teta rationum doctrine, totares mathematica. subnititur: ad illss igitur potissimnm attendinichet, pet illas rationnai doctrine perfectius .elucescit: hase siconsimiles abSque notabili matheseos ,detrimento promus oinittlpassent: sieur in Elem. VIL factum vidamie, tubi-numerorumanalogie delinitur et pertrsctstur,,nulls (amen ratienis numerocompetentis exhibita definitione; quamvis illie aequeneces-saris fait et utilis talis definitio, stque biens, set! neutreloco magna fuit necessitas." Unde et Rob, [Simsenem hss de-iinitiones pre spuriis hsbuisse diximus. Et cum.Reb.81maon.çonsentit Pfleideter. l. c. p. 9., qui obsevvat, Euclidem liasdefinitione non solum magnum in saquentibus uti,.y.erum.u,i.muti 0b sagum, quant ofierat, notionfm non punisse.

D E-F I N. KV. -Sivegenuina si: deiinitio a, sive spam”, mais: (en.ob en, «pas diximus, causas non en ennui parte «mut...poteur. Hisse definitionem 4. val priori adiunxisse vol salantdedisse censendus est, qua non nm rationisvgaomstriese n.tionem ipsam explicarc, quem charscterem distinctivum magni-tudinum,-quns venant, homogenearum, et quae termines netienis alicuius constituent pessunt, assignats velebst: ita (samen, ut simul iunueret, quid in illis , quatenus ratio est-Iamgeorn’etrica spectatur, prascipue ait considerandum. Accura-sriot-am notionis evolutionem definitionibus identitatis se diverùmitais estionum reservavit. Cf. Pfleiderer. l. e. p. 8. Caeten

un!!! quina-dg. ’ 795. In eadem ratione magnitudines esse dicuntur,

frima ad andindam et tatin ad quartam, quando piri-Iuae 5e: terme aeque multipliçes, secundae etrquartae«que a multiplicee, inxta quamvjs multiplicatjonem ,11,qu .utramque vel nua spperant,hvel una açqualessunt , vel unà dgficiunt inter se comparante.

6.4 Magnitudines autem emdem- rationem. habehtes

proportionales vpcentur. n mm Campauus banc definitionem non ha-bet, oins 10cc mutera3H]!!! baud satis chum, qui quantitates continue proportio-

. nains explicare cuider. Quo magie confimure videur, quadBarroviun monel, qui p. 277, in habet: ,,Non diffiteor, ele-menti quimi definitipnea attenüuà-impçctnnü. nbnnihil in fisexscn’ptorum culpa videriærmspositum ac imninunmm."

D E F I N . V. v n. Mal: ouatine lune definjtiènem intellexit Caxhpanus, qui

du: tonsura in explicat: piopordo pâmas ad aecnndam estsieur tanins ad quartam, ènm munis aeqncmnltiplicibus adet tertiam, itemque naquemultipljcibus ad aecunrknlle; gamma, mit proportio multipliois primle ad multiplexsecundac, aïeul: multiplex tardas gd.multiplox quartne. flacenim, m: Campanus ipse ad definjn’onem praededentomlobsor-var, «se: idem par idem définira, nec illud vitium corrige-meut, Ai verbornm Euclidis, quamvis non aperte idem dise-nJeux , fis tameu sensus «sa. Falsam banc Campnni inalpa-rationaux sequitur adam Orontius Finaeus. lute autem id ab-curdum «se, Claviua ait. Nec menus Euçlidis sensum asse-rentas ou Ramuz, qui vel codon) mode ac Campanus, rem in-tèrpretaînr, val definitionem Euçlidis pro fusa 1:qu pense,Pgmt, quqniam v. a. si quatuor numeri sint 4, 5, 5, 4, etsumatlmnprimi .et tçlfiçi uçxuplum 24, 30,, secnudi et qumi

autem nohuplum 27 ,56, si: simul 24(21, et 30(56, ndeo-que guru. qui; posait, eue 4:-3:::.5:4,.’ubi,prorsuo oblivi-

z

80 4141111170qu: .Ç’ "010w 81v nivdàdmg noÂlœnÂaoiwv, 1615119101:

91905100 noMomÂa’otov damé!!!) 4 1017 un? Jeœe’çm)

nouanlam’ov, 1:6 8è vomi 191101; .nollanldtuov minge’m me? uni tanière!) noÀÀanÂaoiov 10’ u t611945107 nçôg il; 681516900 patriote» 16791515": 16754un , que!) v6 191’104! ngôg 76 14741973041. - ’

rif, ’Avaloyiœ 6è s’ozw 1; 10;? 2.67034! ramât]; 4).

à; ËAvaÀoyz’œ ü à! quoi? 59mg Éluzz’moêoriw zJ.

, ,4

1) Hua definitio in «id. Oxon. et Bail. en oct-va; a nein vos restimimua. Praeterel’in bis edd. loco: faunin: logi-mr: ôHozâtnG. Peyrudus secutum se «se voit Codd. a. et c.i. ,e. 190. et 1058., et huit: definitioni quartum locum «aiguun. En apud Campannm adam "est huez; definitio 4., Parka.que apud Zambortum et Clavium.

12) lm melius Peyrnrdus e Cor]. a. qnnmIedd. Basil. etOxon. quae legum: 4541111010". Cf. quia infra 1d banc definisdouent. monobmlus.

sitar verbornm, que in Euclidis dcfinitione sunt: M19. aïno;-ovoiïvzoüunlaomquôw Quodsi enim v. c. aumtum [nuit inânéem numeris primi quidemletctenii soxuplum 24, 50. u-cundi autem on quarti ootuplum 24, 32, cri: quidam 24;24; a: 30(32, unde palet, quatuor numetosÆ, 3, 5, 4 nonune proportionalcs. Nompe lum saltim cri: proportio, si inaequemultiplia quibnscunque locum bahut, quad in definïtione

dicitur, ut hm Candalla respondit 1d istam obiectionémlPlan, que; ad banc definitionem, et Id V. Ï. Def. penincü,

vidoit: Excurw ad [bien 1min. libri. u u D E F I N. ,vnr.

Bmoviul nota: l. c. p. 275. mokas forte pro dancing:aut tannin): dici posa: [061119. Similitudinem enim «rhumassa hxius. et rugis ambiguum, et identitatem baud Optimaquadrare rebut 5cm diversia immediato qua taljbus, et Iub.divenorum ration. comparais; prosternai radonum habitudi;ne: alias , bypcrloginm nimitum etohypologiam non exldisçi- *

, .

nana oum’rur.’ , 81.7l. Quando Verb- aeque multipliciunï, pri’mae qui-

dam multiplex -superat multiplicem secundae, multi-plex veto tertiae non sapent multiplicem quartas, tuneprima ad raccundam muiorem rationem hebere dicitur,

quam tarda ad quartam. -.

n o l l8. Propôrtlo autem est rationum identitas.9. [Proportio in tribus 9d*xminimurn terminis c011.

daisiütt l - .militudine i101 diversîtate, sed. ex inaequalîtate denominarihüoritatem et minoritatem; denique’rationum aequalium de-nominaËoros, a qalibul rationnes habeant, quod ullatenus intern comparentnr, non madem, am similen; sed nequales esse.De latina voce proportio idem observa: "p. 194. sqq. repentinm .3 Cicerone raliquotîes usurpatarn, quauquam non sensubien codemu Alias enim apud ipsnm idem value videri,quod limplex ratiof npnnuuquam vero rationum similitudiàlem vel amloglam designàre, primumque vidai illum ipsum ldu: un!!! ndinvcuisso, mon ad resûnatheï’naücas primum

enlierais»; Sic in fragmenta, quad Timaeua inscribitur, eumdiacre ;,guécorum guindait: (mdendum. au enim, quoniamhue primum a noble novum") campanule, proportion dicipotestfl En» .aurem eEfingendne hlm: accepteur viderî origi-

nom vel occasionna. Cam in corroglndis vectfigelibus, valimportandù oqeribua publiait, pro [noultntum mod’opsecun-dam «qua: legès tlxato, sur (inique pafs persolvenda cessafit, quae nempe rata cuiusque partie dicta ait; bine unumàquemqne salure dierum pro portions) vel.’pro rata sua par;flouer bine ornersisao ’voçabulum proportio, diguum viaum

Ciceroni, quum grueries litrons suo donne Latio studeret,quod’lüyov et nivaloyl’uv, obvias Platonem etl Hic: graecos phi-x

lœophos inspectanti voceà, reloue: et exprimerez. - Cnoterum,inti ratiches alias dicunt arithmeticas, alita goometricas, insimili modo proportionnes: alias Yo ne colon: Infirmerie». en

Euelid. Element. p. n. - Fv

x

x

u

S2 I arsusn’ronuni. "070w 8è veld pépiât; dvdloyow à, t’ê- agraire?

l u l l . I I n l u lnçog Io ’thTOV ôcnlamovœ 10707 que! layeront, muse

î x I enous ce 060169041. ,tu’. "Omar 8è réarrangea; parian ’I(umlexèg) 1) émie"

107011.16, ni ngdzw 71969 1d rétagzov’rtgmluoiova

2.6707 518w firent, âme ngôg 16 (inhumer ami dei55973 ripoit»; «fg 2) à! âvgloyiœ 6nde":

1) vocem m5139, quamvia in. nullo codice reperiatur,addidxmus, quod monente Rob. Samson. omnino necesurilest, et in XI. 33. na citatnr. i u.2) [ta Peyrardus e Cod. a. Edd. Basil. et Ozon. contrat:

mal à) .2259 à!) 1115707, 2’19: a , quod neccio un non ait prao.ferendum. Cruel-nm delinitioni 11. Rob. Simson. subiungitaliam pt ecedentibus ,analogam’, qua. ratio composita explica-tur. .Aham uidem rationis com mime defimtionem v golichent in VLqDef. 5. obi pinta vi ebimus.

a

nempe, quibus prima magnitude secundhm Codem excedit, êtrerenia quartant ; aliasigeometn’cas, de quibus solis Euclidi tum in

r omni opere, tum hic polissimum et in V. 5. Def. berme est.His postea addiderunt, quad verbe indienne .sufficint proyer-triones harmonicas, sen musions. Dicunt hampe, ires magnid

l o ’ u o u . uanimes A, B, C esse harmonica coutume froporitiomles, sa’geometfica ratio primae ad tel-dam aequdis sit geameti-icue "a

(seçundae super primant) (terme su-.(pruine super secundam) ( secundae

cr sectmdnm); . . . . -(B...A . c...B . .à)": tertiam) 1.. e. si si: A.C-(Ang,EBùC3 v. c. in nu-

meris il, 4, 6, quum si: 5:6:4d-5zô-4. Eodem modoqnàtuor magnitudines A, B, C,D harmonica proportiomles

czar diurne, si fanai-i: ’Rationem Il..-

tioni excusas ad excessum

" ï ius dencminationis flac iv. c. in Klügels mathem. Wôrterb.ad vocem: Harmon. Proportion.

,DEFIN. 1x.Haud satis clam Rater. quid verlan bains definitionis sibi

vçlint, que edd. ABasil. et Giron. ne proferuntxt ’dvaloylu à!

de...» *-A.-...L .ho

.. -q-W-ru- «no-mm 1?

m A.

"on: m-

tu" QUÎNTUS. . 8310, Si autem (res magnitudines prophrtîonalel

sînr, prima ad tertiam duplicatam rationem haberedicitun .eius fjuam halicte ad secundam.

il. Si quatuor magnitudines (deinceps) proportio-rtales sint, prlma ad quartait) triplicatam ratichem ha-bete dititur eius quam habet ad secundamÎ; et semperdeincepel similiter quàmdiu proportiol exstiterit.

.i-pwlr 390w ÉÀGZI’UTCMSI Suiv. Quid enim termini minimi sibi

valinr, inca-mm videri possit. ACandalla quidem explicat 55.114.’ floral: mitiru, atque sodem mode Pelezarius et Gregorii po-. inint: cminimum val ml minimum, qunm insam interpretntiqnem

habent etinni Ambros; Rhodius, Baermannus, Rob. Simsnn.chique. Reste illi quidam. quand sensumi an tamen vaguingois grammàtice id significari posait, valdo dubitamusaaine praefere’ndam putavim’us lectionem Peyrardi: êÂazt’on],

quia facilins tel-le ac illà alter: signifiante page videtur, pinafioriionem, quum illa minima i. e. minimîsuterminis expirentait, ne], ut aliter dicamus, ad minimum, très continere nenni-Lnos. Sirflplicilsimum forte nient; in gracéo quoque pOncre:

* EMzwta, idq’ue ad’verbialiter sumere, - Quod deinde oocem

39015" attitiet, ca ipse quoqne,vut Condalla monta, impropriehic Sunna est: .Nempe in 0mni ration: .duo omnino termini,[alter nmeoedens, gite-r censequena àdesae debet, ade’oque,Quum duae rationes inter se chmp’arantur, ut fit in analogie,proprio quatuor omnino termini aderunt; quarnvisi, ut fit in .

*liropol’ti0ne continua, eàdcm mignitudo, que efficit termi-nnm consequentem Prioris rationis, efficere simul possit ter»ininnm antecedentem pesterions, lubi dcinde intproprieltl’es

’ gulrim terminus diacre posais, qtium potins tres magnitudines;àuarnm seçunda bio ponimr, quatuory’eLiam nunc termines ef-

iiciant; 4 Forte itaque pro 39m: panendnm fanent yeye’ôaaw,

. qui voce Euclide; etiam alias, ubi de rationibus sermo cet,utitnr. Et usns ille vocis sont, quo terminos nuionis signi-fient, forte sequioris «saltim Ievj liner-ho Cf. gfleiderer. in

x V , , y .z

84 t ELEMEINT’ORUNI

.tfi’. tOMo’Âojzà pæyéfiq Myoswt, a? ,uvèv fiyoüpwœ

1019 üyovpe’ælmg, ni 0è 6.1502145110; mon; én’opæ’vozç.

l

t î I I ! a! I I l Iagas f0 1770140611011, au; 1:01; ênopwov agas ce âno-[GEVO’VA

c

Schol. ad libr. V1. Elem. Euclid. 5. 152. et, qui ’ab eo ciaoun; Isaac. Bargov. (Lection. Cantabrig. habitue 1666. p. 19?:sq. et p. 214.). Hinc munis haec defuxitio Pflciderero I. c.supputa cet. Quum rumen quuem definitio 10. se ad «in ne

lexie videàtur, posai: forasse am, in, mi diximue, mutasun aut intellecnm retinere.

DEFIN.X.XL xL Pont han definitiones 10mm proprîum fuis;e definitîoniâ

adonis compositae Rgb. Siinaon. recto monet. Caeterum Ch-viùs oburvat, probe distinguendum esse inter rationem duoplant et duplicatam, triplam et triplicltam etc. Et Euclide!quoque camper «lioit 2,670; ànlaalœv, non, ut de mon autan-gula chaud"): tut affiliai. Quodsî igitur fuerint magnitudixieà

A, B, C,.D, E etc. continue pr0portionàles i. e. in, ut’ A:B::B:C:C:D:D :È etc. ratio A:C duplicata dicîturrutionia AzB, àuoniam inter A et C duaç rationes ponuntur,

quae aequales saut rationi A ad B: ecdem mode ratio A:D

l7. ’EvœMoÊë 10’on 501i 1771ng un? fiyovpévov,

n u-ipliclata dicitur rationis A’:B etc. Contra, eoderh casu, ratio IA: B dicitur nubduplicata rationis A: C; eodemque mode ratioA :B subtriplioata dicemr rationis A: D, subquadruplicata ré;Lionis A:E etc. Pariter, si fuerit A: B..-.B:C, situn M:N:A:C, etinm M :N dicçtur aequalis rationi, que duplicataest rationin A :B, vel brevitatis causa ratio M:N dicetur du-plicata rationîstAdl, idemque nalebit in ratione triplicata,quadrùplicatn etc. Eudem mode, si si: A:B:B:C et P:Q:A:B , dicetur P :IQ "ratio, quae eadem est subduplicatae ra-nimais me; vel breviu: P:Q diçetnr aubduplièata radoub

man oeuvres. 8512a Homologie magnitudines dicuntur, anteceden-

(ce quîdem antecedentibus, . consequenteâ veto couse-

.quentibus. i ,.13. Attente (permutata) ratio est sumptio anteçe-demie ad antecedentem, et consequentis ad. consequen-

«in, 1 - , .. pA:C, algue italin reliquis. Ratio duplicata, triplicata etc.species tentutn lunt rationis compositae, in quibus nempe sin-gulae rationes, ex quibus alias componuntur, inter se aequales.sunt. A Unde en omnia, quae ex definitione rationis compositaeconsequuntur (vicie infra in Exc. ad libr. V1.) et applicaripostant ad rationem duplicatam, triplicatam etc. etinm de hacvalent. Nominatim, ut hoc non demonstrationis canna, quaein lpeis dénis infra hàbetur, sed in antecessum, ut sium; di-cilnus, rationum inter se earundem duplicatae (triplicalae etc.)sunt puiter inter se eaedem (Excurs. in libr.VI. S. 9. et infraCor. ad V. 22.) et vice versa, reticm’m inter se earundemlubduplicatae, subtriplicatae sunt inter se ezedem (vid in Exc.ad Libr. V. Con-fui Prop. nm). Et si, quando id fieri potest,alunais exprimantur rationes duplicatae, triplicatas etc. erit(Exc. ad Libr. Vl, 5. 7.) exponens rationis duplicatae (tripli-une) numerus quadratus (cubus) multiplication «lamantins-toris rationis simplicis pet ne ipsum factus, vel ratio duplicata(triplicata) eadem est rationi quadratorum (cuborum) corumnumeromm, qui rationein simplicem exhibent! Porto, si IA:C est ratio duplicata (triplicata) rationis A :B, inverse erit ICEA ratio duplicata (triplicata) rationîs B :A (Bite. ad Libr.

V1. 5. il.) etc. Caeterum apud ipsum Euclidentnulll ra-tionis duplicata etc. lmentio fit ante V1. 19.

l,

D EF I N. X111.Quae hic alterna ratio dicitur, malins forsan alterna pro"

.porlio dicpretur. Manifeste enim n°11 de «imbus saltim quan-itilatibul, eed de quatuor sermo est. Caeterum peut, ut quan-

’ i e

z

86 ” ÉLEMENTORÜMa”. ’Aa’a’mx-lzy 2.6709 ëoü Man; mon? ,àfiuévou

oÏg fiyowcs’uov, ngôg 76 ofyo’çipavov ais 57555467011.

i ’ té. Züvfismg loyer! étui 1117th refirjfivpéyov Math;

1017 êrwiue’wovi ois: émie ngâç aùôitô mouflard .

45’. .Amz’getng (là 10’701; and Minus mis Ünsçopîç,

ünsgæ’zet T6 Iriyotiluevoaf 701i choperai), gagas-416113

16 intimation I . z l I l419 ’Aælaatoçofi lôyou fiât; rat? oiyovfte’alw

n96; fifi! finagoxæiv, unegézst 16 rig’otlpwov. tu?

énopévov. I. ’ I . V . -"fi 4;?ch 10’709 abri, ale-zonier» 5mm: psysâaîç!

mi Mm afiroïgli’aœv 16 wifiôog, 01h! kôziojixyfiaq

nomma; fiai 517*195 mit-(,5 1671;) , 320w 9;. 45g à! rois.agonirais "37519,80; 219071011 n95; arroi, 501661011, .017thà; roîç ÛEUTËQOtQ yeye’fiem t6 5196th ngâg 16 éclu-

wov. "H à’ÂÂwQ, ÜJI’IÏlfIlQ Voir! d’item? non?) tiareâoiiçeowl

un! parmi, r ’A "9’. Tarente-.5111; évaderiez écrit», 310w ai; fiyoti-une)! ngôg mélanie? 061w; ’IÎÏO’ÜpEWOI’ 7;on to émi-

grimai, :1; (là nui uig ënôfoavçu n96; (27.2.6 (troïka);

aémigrerai! 27969 cillé u 1), p i50’. i Tetugaïluæ’wy (là dvuloyl’a Ëfl’Tl-V , 5m11, nuoit!

67m1! pçæfid’y zizi mm cuirois î’owwirtô nMfioç,

1)’Pes’1’nt-dxxg refert, hancIdefinitionem omitti a Codd. a.c. quad, garum pertnrbata ratio poum tanien occurrat, menlibrarii oscuautia! cuius oculus a tamarin in uragayplryaberrabat, factum fuisse Videtur. * ttitanes ita alterne comparai-e passim, omnès quatuor eiusdem

generis esse deberc. ’

D E P l N. XVI. et XVIl.Manifestum est, sumi in un definitiouibus, consequentem

Ç

a

i

l

* 1"ses QUINTus. ".87’ p M. Inverse ratio est sumpu’o consequentis ut ’an-

-tecedentis, ad antecedentem ut ad, consequentem.15.’ Compositio rationis est .sumptio a’ntecedentis

mm conseqnente tanquam unius ad ipsam consequen-

tem. A V * ’16; Divisio autemiatiOuis est sumptio excessus,quo superat antecedens colnsequentem, ad ipsam con-

l sequentem.l 17. Conversio rationis est sumptio antetedeutis ad

exeessum, quo antecedens’ sapent consequentem;. 18. Ex (aequo) aequalitate ratio est, quando, plu-

’ribus existentibus magnitudinibus et alîis ipsis mimera

aequalïbus, et in eadem .rationepbinis sumptis, est. utin primîs magnitudînibus prima ad ultimam, ita in se-

; candis magnitudinibus prima adultiinam. Vel aliter.Sumptio .extremarum pet .substractioneml mediamm.

e

l

l 19. Ordinata pt0portio, est, quando est utxantece;’dens ad consequentem ita antecedens ad consequentem;lut autem consequens ad ialiam quampîam, îta come-queue ad aliam quampiam.

20. Perturbata autem proportio est, quando tribusexistentibus magnitudinibus et aliis ipsis numero ae-

l . ’ . ..mtnorem esse antecedente. Quodsx contra consequens muerfuerit antecedente, similis erit argumentatio, si sumatur ex-cessus, quo consequen’a superat antecçdentem. t ’

D E F l N. XVIlI-XX...Montante Rob. Simsonï Def. 19. et 20.. speciem tantum

continent eius proportiOnis, quae Def. 18. explicatur. Undeforte coniicere liceat, in Der. 18. quoque pro 10’706 legendumesse timbrât. Erit igitur ex Def. 19. uraypéw; sive rideau

A , A l

a x

Q

88 * , stmznæonuu. Iyz’wwz, «5g, MM à! mon; nerp’woçg psyéâeaw officine-r

un! ngôc éno’psvov, 017cm9 êv. mais âméçmc payé-

üsaw airoüpwov ngôg énôpevor à; .Ûè à ,roîg 95905-

cotc psyéâeow énëpsvow nçôc (27.2.6 w, où’œmc Eu mais

650146904; yéyéflcaw 00.1.6 ru nqôg viyoüpsvov.

111,0 thzzzeoztEoïv 1; 63100090154! péyéây âwoowwoüv peyàâuîv Îoow

r

c6 flaflas, facturai!» 510501011 ioda"; nouanla’cmr,ôUanÂa’mo’v ému! à! mû? payeâuïv Mât, raoawanlé-

am gazon nain? maltai 1454! mimaw.V :EO’TG) ônobaofial ,ueyëây 7d AB, 111 (ïazoom’lnh’

peyaüuîæl, raïa! E , Z ïaaw ni flaflas, êmovov émi-tnov 5005m9 nollœnldaww Âéyw au ôoanloz’acôy 51m

urayfiévq «Halofla ,1 sive. simplifia: 34:01"), quando Êuefit(pt-orme ut in Def. 18.) prima ad «omnium in pfimis quanti. ’tatibul, ut in «candis prime ad ucundam; ut autem in pli.mis , tacaud: ad («miam , ne in secundis, secùndq ad pendilla,et ita’deincepé, et conclnditur, ut in D017. 18. dictum en.Vide V. 22. Ex Def. 20. autem üîaov rempaypém, vol lim-pliciter rgzapaype’m évaloya’a m, quandè in prîmis magnitu-

dihibus fuerit ut Prima ad ucundnm, in in necqùdîs peul.tima ad ultimnm: ut autem in primis secunda ad tartinai, ininiseçundiis antepenultima- ad peuultimam; et .ut in primistex-tin ad quartam, in in Iecundii quaeantepenultùmm pne-cedit ad ,antépenhltimam , et in danceps, et concludüur, a:in th. 18. Vide V. 25. Ira fera Rob, Simson. rem œxplicatly

AXIOMAThA.

Sequentia praeinittit Rob. Simson. et ex en Playfair.1. Eimdem sive aequalium aequemuhiplicel inter se 1e;-

quales sunt. . - v ’ ’2. Qularum «lem maque multiplex est,’vel guêtrait": ae-qualcs un]: neqlgelmultiplicef, et ipaae inter se eum «squales.

lieu: mannes. ’ 89qualibus, fit, lut in primis magnitüdînîbus antecedemad consequenrem, in in ’secundis magnilhdinibus au-

tamier): ad consequentem; ut vero in primis magni- 5tudinibus consequens ad’ aliam quampiam, in in secun-dis mignitudînibus alia quaepiam’ ad antecedentem.

PR0POS-ITIO 1. (Fig.3o9.)-WSi sint quotcnnquenïagnitudines quçtcunquerhngni.

.tudinum aequalium mulçitudine, singulaè singularumaeque multiplices, quam multiplex est una magnitudi-num unius, tam multiplices erunt etvomnes’ omniumn

Sint quotcunque magnitudînes JE, Tâquot’cùnque ’

magnitudinum E ., Z aequalium multitudine, singulaesingularum aeque multiplices, dico quam multiplex est

5. Multiplex maioris maior est aequemultiplici minon).4. Magnitude, caïn: multiplex maie: est eequemultiplioi

alternas, Inaior est alter: illa magnitudine;Qqae une in parapha: eum, ut axiomatumv loco luberî

Will!» Demonstravit et amen Pheideret. in PromptuuioMathem. Lipsiensi Fada-.7. 1’198. p. 263.15qq. M. 14-19.et in diuertaümo de Dimension circuli P. Il. Tub. 1790.p. 5. 110;. 4. Cf. Hnubet. de ntionibuseinter se diversis De-honstr. Tub. 1193. 5. 2, Aliud entent axiome ne! po’stnlatum, quod Campanus, Clevius iliique compluree petite): lunure se

pas" paumant, kymrique, in habet: I,,Quam retionem haha: magnitude aliqne ad 0min , enliera

habebit quaevie niagnitudo yroposin ad aliqunm alia’m:etieandem habeËit quaedam clin magnitude ad quenvic

magnitudinem propositamu . Ill merito accuratiores Geometrae respuuntf Vid Exc. ad hune

’ librum. MPROPOSITIp r.

Symbolice buen: propositio in eiferri poum. Si si;

90 ’ ’ nnsmnn’roxùm

06 AB cm] E , 0000070701050100 è’owc au? 005 AB, P4

1457 E.) Z9 ’ ’ ’’Emî 7&9 imbus" 5001 ’flo11an1050wv 16 AB 001iE, ami tu; TA mû ’Z’ 6’006 02’904 50114! ’51! 055’le [0e-

ys’âæ; ïoa 005 E, 000001700: ami à! 1116-114 1’00”00? Z.

Atygqfaâm 70’ phi A3 sic 103 155 ’E [007097 1’000 102

AH, H3, a) 6è T41 sic ’00? 197 Z halte)? le? GA-è’0f00u à) i004! 1600177009 003414411, HBITlfi’WÂÉÛ’u

10071! F6), 94. K06; 39001 1’007 au) ’56 "à! AH 095

E, 16 0è 1170 095 Z0 2’00: ëgœ’aèai 103 AH, T6voiçvE, Z. me? rio? 000’703 a?) i001! 5011 00’ HB

.155 E, ml 16-94 mg? Z4 ïoa 02’900 «001103 H3,064 trois E, Z- 6’00: 02’900 ëaüv êv 01,5 A3 1’000 11,5 E,

1000017100 Mal à! mis AB ,. TA 5’000 mais E, Z- .6000-9r10É0waI 02’900 50971 10’ AB «gai E, iroowuwn10e’0m êbîœv

agi 002 dB, T4067 E 3 Eoïv 01’900 67000000077;

gal 103 êëîiçe . V ’ v .

11130504212 fia.Eoîy 70905007 60006901) t’ooîzuglfil no11an1050wv aux).

reine: 050059001), (9è and 700200211011 680069011 imbus91011070100101! nui ê’mowyrsm’gzov’ mû avvïarüèrngu’i-

un! 10001 905,090on 60015900 1’00’th garou no110m10É0wv

ami 191’104! ami 6141:0?! 7000591on A

0

1

- nr.L; BELM; C:.-.r.N etc. r deuotante numerum integrulnquemcunque, cri: et A-l-B-i-C etc..---r(L-f-M-I-N etc.) Çee- -15mm propos’itioni huic vulgaris inniLitur Praxis multiplicaa-’

651m compositum par mâltiplicaçorem simplicern multiplicandî.

Nimirum, ut v. g. numerum 7564 par 8 muftiplicemus, sonut octuplum efficiamue numcri 7364: caties eumimus primum4 unîmes, mm 6 donation, dein 5 centenarîos, aulique 7

h.

l

lumen; çum’rus. 1’ 91JE ipsîus E, par): multiplices e’ss’e et’AB, 12] îpsa.

mm E , Z. ’ [1 1 ’ ’ Ï«Quaniam. enim .418 aeque multiplex est ipsius E

ac» F11 îpsius Z; qqot magnitudines sunt in 1B ne.quales ipsi’ E, tut ’sun’t et in Il] aequales ipsi .Z.

Dividatur A]? quidem in magnifudines ÀIJ, HB ae-quales ipsi E, TA vero in pertes [’95 0.41 aequaleç

ipsi Z; erit igitur mgltîtudo ipsamm AH , HB ae-qualis multitudini ipsarum I8, 9d. Et quoniam ae-’qualis est AH quidemîpsi E, To vero’ ipsi Z; eruntet AH, T9 aequales ipsis*E, Z (l. Ax. 2.); éx e34’dem ratione et HB: aequalis est ipsi E, et OdipsiZ; aequalçs igitur et H13, (94 ipsis E, Z; quotigi-tu: sunt ’ in 1’1B aeqliales ipai. E , to; sunt et in dB,T4 aequales ipsis E, Z ;. quani”multiplex igitur es:dB ipsius E, tan: multipliceâ emnt et AB, ipea.mm E, Z. Si igitur quotcunquç etc. ’

PROPOS1TIOII.(Fig.3lO.)Si prima secundae aeque givmultiplex ac tarti:

qua’rtae, si: autem et quinta ’secundae aeque multiplex

ac sexte quartile; et simul sumptae prima et quints se- lcundae aeque exunt multiplices acjertia et sexta quartet.

Imillenarios, hofümqne ocmplorum confioimuu summum. Cf;Pfleiderer. Expos, et Dilucid. Libri V. Elem.- p. 2. ’

pROPoèxïio m1

Symbolice luec propoçitio Igeneralius in! affermi; Si sir.Azp . L, Bzg. L, C210. L etc. et simul Ezp . M, 17:5 . M,

” G:r.’M etc. p, g, r danotantibus numcros imagos quoecuu

’92 , anmauronvm11915000 7019 06 A3 05100900 0017171001110: 50’001

’400110190101’0100 11011 091’004! 06 JE 080019000 005’Z, 50015

13011011 104011000006 3511110000900 0015V I’ 10011119 7001101-

0100100 110119 511000 00’ I9 000019000 0017 Z’ 10’710 au

11011 000006.01 90915000 11011 0051170000 00’ AH (lev-00’901;

ï 005 P 10051119 500011 00011001010100 1101 09100011011 031000

905 de 0600190011 005 Z. ’ A L .’Ensi 7029 imbue E001 00011000101010? 00’ AB un?

I :1011 06 JE 0007 Z- 0’001 01’901 S0020 50 015 143.1153401]

1’001 095 T, 000015001 11011 à! 097 JE 1001.0115 Z, du?00’ 010’002 61) 0011 0’001 0’0010 à! 095 EH 2’001 015 T, 0o-

9001’5001 11011 30 093 E9 1’001 01,51 Z’ 0’001 02’901 30010 à!

6’191 015 AH 1’001 015 Î, 0000117001 11011 à! 0’19) 015 .462

î’001 01,5 Z’ 5001701010100 0’1’901 8’001 00 AH 0017 Ï, 0o-

0010001001020101! 500011 11011 06 dû 0017 Z0 :1011 U’U’V’tè’ô’è’l’

51’901 70915000 11011 7051070000 00V AH 60005900 0017 Î

1’0011119 500011 00110001010101! 11011 091’000 11011 511000 00’

.49 0000119000 0017 Z. E010 02’901 70915000, 110111001 êëfig.

n

1

11130 TA 21 2 7’.’ v E010 10915001” 190005900 1’001’1119 00110001010100 11011

091’000 000019000, 11700199; 8è" 10011119 00011070101010 0017 j

90905000 0011 091’000- 11011 611’000 0150 11700500100 éné-

1 1 ’,q’ue: cran: tam Aq-B-I-C etc. :(p-I-g-I-r etc.).L, quantE-l-F-I-G etc. :(p-l-g-f-r «6.). M. Generàliorem banc amn-ciationem coronal-ü loco sublullglt R011. Simson. prdpositionemipsam statiml in v exprimit Pfieiderer. 1.1:. p. 3. Huic propo- ’Sidoni innititur maxi: numerum par mulüplicatorem compoo4situm multiplicmdi. Nemiae ut ex’gr. numerum 5’128 pet

654 multiplicemus, primum quater êumimus numerpm propo-situm 5728 ,’ mm n’i’cies, ’dein aexceuties , horuz’nqùe produh-

z

’ . man quxln’rùa; 93

I t tPrimat enim AB aecundaé T aeque sît multiplex

àc tertia 11E quartae Z, bit autem et quinta EH se;cuhdae T aeq’ue multiplex ac àex-ta E0 quartae Z;dico et simul sumptas primam et quintam AH secun-fldae T aeque foré multiplices ac tertiam et sextam A9

ipsius Z. "Quoniam enim aeque multiplex est 28 îpsîus T ac JE I ,

ipsîus Z; quotlmagnitudines sunt in A]? aequalles ipsiT, tot’ et in JE erunt aequales ipsi Z. Ex eademrationne et quo: sunt in EH aequales ipsi T, lot et inE9 èrunt aequales ipsi Z; quot igitur’sunt in.tota’AH aequales ipsi T, tot et in tata Je aequales ipsiZ; quam lnultîplex igitur est AH ipsius l T, tantmultiplex erit ,et AOÎipsius Z; et simul. sumptae igl-tur prima et quinta AH secumlae T asque erunt mul-

’ tiplices ac tertia et sema 419 quartaè Z. Si îgitur

prima etc. IP R o P’O’S 1 T Ilo m. (Fig. au.)

Si prime àecundae aegue sir multiple! ac tertiaquartae, sumantur autem laeque multiplices primae ettertiae; et ex aequo sumptarum utraque utriusque ac;

ctorum pntlclfiuium colligîmus summum. Cf. Pfieiderer. l. c.

p. 3. 4. ’ ’PROPOSITIO in.Symbolice .ita: lai si: 4.-:p.L, Inn. A, et Ezp.M,

K:n.E, erit Iam I;(n.p).’L, pquam E:(n.p)M, n etp designamibus numerus integms quoscunqu’e ,p et nap de!»lignante productnm , Quod lit ex numero p toties sumto, que:

’I

l

l

94 ’ BLEMENTOIUMt

nom; étan’go’u iodais 807m nollœnla’otm), 16 pli?

ne? 661173901! , 76 8è 1017 TETdQ’IOtI.,

11905104! 7089 76 A. 6501.4901; «mû B 20h13 être»

noüanla’amv ml reins! 16 161059101! 1017 À, mûaîlæfrpûw "mW A, T IGClIMlQ nollanÂa’ma Toi EZ, H0

15’341) au inclus êo’çl nolianÂu’aloæl 16 EZ 7017 ml

t6 HG mû A. I p . I’Eflsl 7029 indus: 45ml nolâanMatov TÔIEZ TellA ml t6 H9 1’06 F’ 6’00: «fou émiai êv’ i515 EZ l’au

a; A, momifia ami à! 796 HO i’oœ me? Il Azyçrjaâw

16 [dm EZ ais 1d 71,6 A page" ïaa mol EKh KZ’16 0&1 ZIG 51’s ml 193 P i’oa tel HA, 119 503m; (hi

Faon f6 niiâog 1.1511 EK, KZ 193 nlfiôse-nâàl HA,A6. Kul Sud [même 5011 nolÂçznÂa’mov T6 A un;B and m6 Î To17 4’ îoov d’à 16 pâli EK il; A, tréflé

’ 1L4 n’a P ioda); âgé: inti nolÂanMËawv 16 EK roll

B and T6 H11 1017 z]. [lui ce; (36’505 (la) Indice. 5072noÂÂanÂu’alov rôiKZ 10113 ml 76 119 1017 À.’Em-i 06v amuïrai! 16 EK «levrég’ov rhô B imbus 5m)

nollunlémoæf nul ’tQt’TO’ll Id HA zwdpwov 1017 Ai

abri, (là ami népnwv 16 KZ 831115900 un"! B [minisarolhmléotov and être? 76 119 carderez! rhô 11’ and

omireûèûi figea 91901701! and nëlmzoal t6 EZ «:me

alter n commet unîmes; Huit: propos-kiwi, gfiod ait nÀ, un

n(pL).::(n.p).L, inhititur praxis multiplicandi numeruntintegrum Peï multiplicatorem, qui colis dehariis, vel cente-narüs etc." ponstan’ Nempe, . ut in g. numerum 5Î28 per’50

vel [au 600 multiplicemus, tripla vol septupla mimeri 5728unum vel .duo zero a! dextrnm adiungimus, lux; est, itipllunmimer; 5728 decuplicamus, textuplum centpplicatxtus, chaquehuius numeri efficimusv :nlgecçlplum, pexcentqplqgn.

l

LIBER Quum-Us. I 95que etit multiplex, alterna quichua secundae,’*alter4 veto

quartae. , DPrima enimpA secundae B aeque sit multiplex actertia F quartae A, et sumantur ipSarum A , P aegue

lmultiplices EZ, H6;l dico aeque esse multiplicem

EZ ipsiue ac H9 ipsius A. ,duoniam enim aeque est multiplex EZ ipsius A

ac H0 ipsius F; quqt magnitudines sunt in EZ ac.-quales ipsi A, tgt et in HG erunt aequales ipsi T.

iDivi-Jatur EZ quidem in magnitud’mes ipsi A aeqan

les EK, KZ, HO vçro in magnitudines ipsi F ae-iquales HA, A9; erit aequalis multitudo ipsarum EK,KZ’ multitudini ipsarum H11, Je. Et quoniam Aaeque est multiplex ipsius 1B, ac T ipsius A; aequalis .

- autem EK lquiclem ipsi A, H A vero ipsi F; aeque.multiplex est EK ipsius B ac HA ipsius A, Ex ea-dem ratione açque multiplex est KZ ipsius àc A9ipsius A. t Quoniam ligitur prima EK secundae B ac;que est multiplex ac tertia HA quartae A,» est autemet quinta KZ eecundae B aeque multiplex ac sextaA9 quartae A; et composite!" e prima et quinte nempeEZ secundae B aeque multiplex erit ac çdmposita e

’ dufleeuplum Cl ga immun: alicuius efficimüs, sumtdptripliV veina quadrupla, vel quadrupli tripla. Cf. *Pflçiderer. l. c". p.4.’

Generalius idem theorema in expritni et simili ratione daman-I

ait-ni poterit: tsi si: A:ml3 , anC, Czpp etc. pariterqueazmfi, par, y:pô etc. erit tam Àzmnp .’ . . D quem

çzxuup . . . . ô. f .Olga, ’Ex lias propositione sequitur etiem alîa illi limi-lis, qu’un; Nordmarli. (Lacune in Doctr. proportionum Euclide:

I

..,

96’ - ELEMEITO’IU)!«me? B iodlas fini nollmlémov hui vpz’ïovlual gnou16 H6 mécroit mi A. Euh: 6’90: HQUÎIW, ml ce? 7

égfiç’ I - . 1 .IIPOTAÉIS 6’.

.. r x i- E64! 519mm! n96; demapov r6v «W641 16701!

and 191’104! nçôg taupier «al ni l’abus: nolÀanÂoËom

un? n ngdtov n’ai même n96g tu? intime niella-uléma;tu; 661115901) nul 151059101), 9m49. (ÎflOlO’îlo’Ü’V wolla-

nldptaapôv, 164! «41’161! ses; 1.6704! lmpûe’wa «obéi-n .A

Âflla. , l l17915164! 7’029 .16 A. ngâg Jeüteçov 66 B 16v «de

16v flétan 167w nul tombai T6 «Il ngôç téruptov t6 A,sial eilay’tpâw mon tu? A, F 1’002th noMunla’am to?

E, Z, raïa! 6è B, A du.» à" 51111.51! chaînas-inonda

ultima r56 H, (9’ 1670) au Écrit! ais r56 6E n96; r6

H, 045w: 16 Z M63 16 (9. lEîlæftpôw 7029 raïa! ph! E , Z 20(5ng noÂÂanla’mœ

La)? K, A, fiât! 6è H, .9 63.1048 feulai! 1) iodug.- noManloËom toi M , N".

nKaë ênêl inclût; ËGŒl noÂÂanloletov 16 plflE rot?

A, 16 6è Z un? P, sial canant; fait! E , Z Inclus11011117516610: TO3 K, 11’ l’anime 6’96; fini mlldnÂa’oloî’

16 roi A and 7611 coi 11ml coi «me? 61) iod-

1) verlan au il &qu non hqbent «la» Bail. et-Oxon.En autem necesurîa eue iure «muent Rob. Simson. in notaad hune locum. Banc viri doctissimi coniecturam confirmavitPayrardus, qui a Cod. a. ca textui internât.-

’y animadverqne Expletip in Nov. Act. Reg. Societ. 1?an Vol;. V1. Upsalee. 1799;) his vetbis exhibet et demohmat: si tint

(Fig. 512.) quotcunque magnitudines AL, B, C, etnline ipsla,

l

’LIBER quxu’rus. 97tertia et sextet neulpe H6) quartiez! (V. 2.). Si igi- ,

tu: prima etc.

. , v4P no p 0’ SI T 1 0 1v. (Fig. 313.)Si prima ad, secundam Acandem habeat rationem.

quam tertia ad quartant; et aeque multiplices primaeet, tertiae ad aeque multiplices secundae et quartae,iuxtà quamvis multiplicationem, eandem habebunt ra-ticnem. inter se comparatàe. ”

Prima enim A ml ,secundam B eandem habeat ra-tionemiquam tertiaïF ad quartam A, et aumanturipsa- .mm quidem A; F aeque multiplices’ E , Z, ipsarumuero B, A aliae ùtcuuque aeque multiplices H ,6 6;dico esse uttE ad H , ita Z ad G.

Sumantur enim îpsarum’ quidem E, Z aeque mu].

tiplices K , .11, ipsarum vero H , 9 aliae utcunque

aeque multiplices M , N , ’ . ,t Ethuoniam aeque multiplex est E ipsius A, atque.

Z ipbius F, et sumpta’e sunt ipsarum E, Z aequemultiplices K, A; aeque .igitur multiplex estngipsius

l A ac A ipsius Il, (V. 3.). Ex eademzratione aeque

numeroraequales lD, E, F ,’ quae binae sumantur in eademmulüplicitate, si: autem pet-turban enrum multipliâtes, Il. e.’

si: AL ipsius B aequo multiplan, atque E ipsius F z similitersi: B ipsius C totuplex, quotuplex est D ipsius erunt exaequo etiam aequemultiplices, sen. quantuplex est AL ipsiusd, tantuplex eiit ipsius F. Dem. Ponantur primo tres esseunimque magnitudiuea. j Sumetur GP ipsius C aequemultiplex,

Euclid. Element. r. u. x G

v . -

U p .98 eteunnronumme ë01l 91011071160101416 M 1017B nul 16 N 1017 de

vKai (qui 501w L69 16 A 71969 16 B 06mg 16 Fai96g16 A, nui 027.1771101 16711 ph! A, F 1’06th noüanÂd-

0m 16 K, A, 1671.64? B, A 60.116 (2 510151800511971011671160401 16 M, Nt si 6’96 691595151 16 K 1017

M, 691896151 16 A 1017 A” nui si i001, i001» and sièfla11ov, 52.01101. Km’ 5011 16 [du K , A 1:57 E,Z [00’119 11011011160144, 16 601M, N 107911127, 9cilla à? allumai! 1’06th nothloËmu’ 6’01qu «"90: «le 16

E 91969 16 H, 01151409 16 Z n96g 16,6. E61 (2’901

. v l .1 ,n9w1ov,.zmt 1a .5599. ,t A ., Il 0 P I 2 M A.’Emsl 0611 36611011, 611, si ÜYZGQÆ’Zël 16 K 1017 AI,

I 691596181 nul 16 A 106 N’ mit-Fez i001, i061" mû si

y; ’ ( l a.0160001, è’Âaa0ov’ 614101011 avalai ’UflGQEXGl 16 M100

I i .- a; , -K, 691895151 106 10 N 100 11° nul si :001, ïaow nuisi éla00o’y, 837.0100011! mxl 616 101710 501m zal’aiç 16

f1 7196s 16 E, 04716:9 16 (9 71969 16 Z. ’Ex à?) 101;-100 020112961 , 611 561 1600690 1167601; 6162070155,aux) dàioinaÂw 0216107011. 501041.. V

’IIPOTAZIZ, é.’Edv [aiglefins peyéüovg 106119 91011671160107,

69159 dÇJGlQGÔ’è’V 6(plat9eq9év10ç and 16 2.017161 101i Âoz- ,

.. a n À !9100 100:,th 50161 60116212460101, 60071160161 3011 1o l6301 I 101? filou.

ac est AL ipsius B, vel ipsiusl F, silque GP divisa in prir-tes GM, MN , NP singulas ipsi C nautiles; et AL in partesAH, HK, KL aequales ipsi B: leritque multitudo partium

, GM, MN, NP aequalis multitudini partiun’i AH, HK, KL.

tinta qum’rus. . 99mülüplex èSt M ipsius B ac N ipsius .4. Et quoniamest ut. A ad B îta I’ ad A, et sumptae eum ipsarumquidam A; a’eqne multiplices K , A; ipsarum ’vero

B; d aliae ulcunque aeque multiplicesl M g N; ail Ksuperat i’psa’m Al, querat et A ipsam 1V; et si ae-qualis , aequalis; et si minor, minor erii (V. Def.5;). kEt Sur-n K5 A ipsa’rum E, Z aeque multiplices; M,N vero ipsarum Hg. O aliae utcunque’mulüplices; est

igitur ut E. ad H, ita Z ad 6 (V. Def. 5.) Si igitur

puma etc; .COROLLARIuM

.Qùonîarln igitùr ostensumIest, si âglperat K ipsam

M, supefare et À ipsam ; et si aequalis 81:, ac- ’"qualem; et si miner, minorem esse; manifestum est,ü Si M sapent K , superare et N ipsam A i et éiae-qualis ait, aequalem; et si miner, minorem.esse; etpropterea ut H est ad E5 ira erit 9 ad Z; Ex hoc

mariifestum est, si quatuor magnitudineà proportibnalessini, et inversé propprtiouales fore;

PROPOSITIOV.ŒÆ3M)Si magnitudo magnitudinis’ aeque "sit multiplex ac

ablata ablatae, et-reliqua reliquae aeque multiplex cri:a’c multiplex est tota totiusY

, w1 IQuurh igitur si: 4H:HK:KL:-.B, et GIM.-:MN:-.NP:C;erun: AH, HK, KL, B "ipsarum GM, MN, NP, C acque-multiplices, adeoque tata AL erit totius GP apqùemultiplexarque AH est ipaius ÇM (V. 1.), vel B ipsius C, vol D

r

u

, !100 anBprNTonuM’Mëyaüog 3429 Il; AB [lçyëâôvç 1017 TÂI’rm’utç

Eè’arrw nolhmla’mov, 57159 dqw9sôèv il; 14E tiqua-

93195140; r01? FZ’ 167w au mi 2017164! 16: E13 lat-mnî To17 ZzI iodais garou noÂÂanÂoÉmpv, êoaàloëmo’v

501w 6’10sz6 AB 510v mû TA. EEOaanla’atov 7&9 éon 16 11E 101T TZ, «accumu-

nldozov yéyovæ’æw mi r56 EB mû Î H.

Kai 5nd iadùlg 5’613 wollmtla’mov T6 11E 101?TZ (un!) 16 EB un] HP-t’odmç (ï9œ ëmi 710126471102-

(mw 76 AE I017 ÎZ) 1) and ’tô AH roi? HZE mima0è 1’04ng noÂÂunMUzàv 16 11E 1017 F Z and a; AB106 FA 1005219 65’904 étui nollanldwov 16 A3 éna-n’9011 raïa! ÏIZ, F119 î’oo’y 02’900 18le un? Fd’ acowdv

âmygæfoôm r6 I’Z’lomlâv (I905 16 HF 1.017155 ’59? dz

î’oov émiai. Kai 3nd imbus étui noÂÂanÂa’mov T6 AE

106 TZ ami 16 EB (5,017 HF, i904! 6è æçîlHI’ 76JZÊ induis 02’912. 5’11"51 nollanla’olw T6 11E rot? T Z

ami f6 EB mû Z4. 70de ôèzînôuènacwollanloîmov

tu; 11E un? FZ ami a; A3 1017 FA induis dgœ301i nollanldozov T6 EB 1017 Z1 nui m6 ABŒoüPd’

1)VVerba, que uncis inclusimus, desum in edd. Baâil. etOxon. Reyrardus ca e Cadi a.. addidit. Quamvis autem ab-esse passim; aliquid tamen ad facilin’s intelligendam daman.graticula facere videntut. .

ipsiul E. Hnbentur igimr nos magnitpdinea AL; GP.,’ C,"nique alise ipsi! numeroEaequales D, E, F , quarum binaeEsumac sunt in eadem multiplicitateh idque ordinale, in nempe,ut .AL et D gin: ipsarum GP et E nequenfultiplices, similitol’o 9.que GP et E ipsarum C et F: ergo (V. 5.) eyit AL ipsi!" Caequemultiplex ac D ipsius F: Si quatuor pluresve sin: unim-quo magnitudines, patet demonstratiom’s continuatio pet iam

osfensa .Q.E.D. Symbolice ira: si ait A:mB, B:rC,pariterque Der, E..--.:mF , erit Iam A:mr.C, quam D:

mr. F. ’ E I 9

Liman QUINTUG. 101Magnitùtlo enim AB magnitudinis Il] aeque mul-

tiplex ait ac ablata AE àblatae F Z ; dico et reliquamEB reliquae Z4 aeque fore multiplicem ac multiplexest tota AB totius T1].

le Quam multiplex enim est I ipsius IlZ, Mm Vmultifflex fiat et EB ipsius PHI l

Et quonîam aeque multiplex est 11E ipsius EZ ac(EB ipsius HP; æque igitur multiplex est AE ipsiusTZ ac) A!) ipsius HZ (V. 1.); ponitur autem aeqnemultiplex JE ipsius I’ Z ac AB ipsius 114; aequeigitur multiplex est AB utriusque ipsarum HZ , Il] 5aequalis’ igituf HZ ipsi FA. Communie, auferplurÎ Z ; reliqua igitur ET reliquae JZ est aequalis (l. kAx. 3.). Et quoniam aeque multiplex est 21E ipsiusF Z ac EB ipsius HI, dz autem aequalis ipsi HI’;aeque igitut multiplex est JE ipsius PZ ac E13 ipsiusZ4. Acquel autem poniturmultiplex AE ipsius FZacIAB ipsius A; aeque igîturlmultiplexest EB ipsius

PROPOSITII’OJV. HSymbolice haec’propositio, eius,que demoystratip in ex-

primi poterit. Si A:B:C:D, exit etiam pA. qB:pC:qD;p, q denctnùtibus numerus integros quoscunque, unitate baudexclusa. Nm 0b A:B:-..C:D, exit], quoties npA):(rqB,adam an)-.-.(1’qD (V. Def. 5.) , adeoque ex eadem deli-nitione pA:qB:pC:qD. Plleidercr. l. c. p. 19. De demon-

’ stratione bains propositionis ex valsai-i proportioualium défi-

nitione vide Excuuqm ad liuuc librum’. ilV Corollarium lmic propositionî adiectum, ut rite observa:

Rob. Simson. , verum quidem est, at nonilmc podium , neclegitima est, quae ex Prop. V.-4. aeducitur, cina- demon-uratio. Nompe ostensùn; quidam est, si .sit K).-.:(-M, esseetiam 4):m N, at, non ex eo, quad proportionales sixw

x

a,

102 ELamzuroxunami Zomôv 05’905 16 EB Miami To17 Z4 Moins élirasnollanâa’mor, 601170160164! 807w 62.041 ’56 A8 57.011un? F4. ’Eoîv 0’596. yëïeôoç, ml 112 4.551,79.

IIP o T1121: salEuiv 611’0 .yeyéüq 6150 [lsysôàïv l’achat; nulles:

lithium, nul dlpm96017wu tard 79071! «151034! imbuswollaflla’om’ ami ni 10m0? (rois 06101? in): l’au 591w,

7? 1’06ng inhala! afoÂlunla’ma. l l - Ia V4150 7039 payé?" fui AH, TA 6’150 [CGÏG’ÜUÎM mais!

E, Z iodais 50’001 nollœnla’ma’, liai drpm9eâe’4lza ce?

Al], 170 nôs! «www Mia! E, Z ioézzç è’mw 7:01.100-

nla’awg- Âéyw (in mi lama? Toi HB; 04 zoîg E,frima ïau 507w, a? imbus minis: nplÂanÂa’om.

Il, Il, Z, 9, id enim erat conclulia pr0positionia, unde in-eptum est illlid ratiociuium: Quoniam ostenaum est etc. Po-tetat autem legitime, ricin ndhibita propositione V. 4. propo-35:50 in hoc coronale contenta deduci, ut Rob. Simson. ostengdit, Nos autem liane reliquasque a Rob. Simson. huit: libroinsertas vel adiectas PTOPOGÏCÎOIIGB. exhibebitnu: infral in Ex?

curai: ad hune librum, ubi et banc vide nota B, designatam.Âliam autem propqsitionem meliore iure cqnsollarii imminesubiungit Rob. Simson., quad distinctipnia causa

Cor. a;appellabimus , quodque ita habet: si pâma ad secundnm une

"dans habet rationem quam renia ad quartant ,h et aeque multi-plices plimae et tel-tine iuxta quamvia multiplicationem ad so-lcundam et quartam candem rationem habebunt: et similitet

k prima et tertia advaeque multiplices quasvis Iecundae et quartaoenndem habebunt rationem. Quod codent promus modo acipaa propositio demonstratur , ut facile etiam pater, potin insymbolica propositionit expression, quam supra’dedinuis, volp21, vel (1:1. Hoc corollarium ex V. 22. demonltrat Cla-

1

n

4-.. ..

y I xsunn- QUINTU:S. I v 105Z4 ac 444B ipsius F 4; et reliqua igitur EBlreliquaeZ4 laque multiplex exit ac multiplex est tata 4B to-tiuspTd. Si igîtur magnitudo etc.

11110110511110 .vi. (Fig.316.)t

Sivduae magnitudines duarum magnitudinum saquemplfiplices sint’, et ablatee ,quaedam eammdem sial;aeque multiplices; et reliquae iisdem vel aequales surit, LVel earum aeq’ue multiplices.

.Duae enim magnitudines AB, F4 duarum magniÂtudinum E, iZ actine sintl multiplices, et ablatae 4H,T9. earumdent E, Z aeque sin: multiplices; dico etreliquae HB, 64 ipsis E, Z vel aequales esse, velaeque multiplices earum.

vins; at nQn satis accurate. *Sumit enim, propositionetn C (in IExcursu ad hum: librum afferendam), quam non ante demeu-

straverat. . l APROPOSITIO V.lute observa: Rob. Simson., éonstructionem, quad de-

monstrationi in textu kgtaoco prucmittitur, depravatam’ videri.

Nempe, ut iam Peletarius monuurat, id quod samitur, utVER fiat aequemullipiex ipsius PH, ac est JE ipsius ÎZ, en .redit, ut magnitudo E13 in partes aequales, quotcunque li-buerit, dividatur, quod nec de remis quidam lineis, madum

’ de allia magnitudinîbus ante VI. 9. docuerat Euclides. I Necad exçulatiouem-vrei lufficitpquod Peletarius observai divisio-.nem liane rectae EH demonstrationis caussa tantum sumi,.nonla nsum nliquem pmesentem adhiberi, quippe etiam demen-strationis causse talia non snmere tolet Euclides. Accedit,quad perfacilis est alla demanstratio , quam iam Campani exarnbico facta traaluctîo, caeterum J. hac Pl’OjHJSîlfOrle valde vi-

Ltiosa, innuit, et quem, praeeunle Peletario et Clavio, quitamen etiam vitiosam illam vulgarem demonstrationem habent,

4

1

104 , etumxnronum l gU "E010: 7039 719610901 16 HB 195 E 30021515709 0’11

and 16 64 11,5 Z 1’001 émiai. Ksa’aâw 7’69 197 Z 1’001!

- 16 T K. ’ 0 . .K01 Mai indus êtnl 11011001160101 16 4H11017 Eand 16 T6 1017 Z, 2’001! 6è 16 phi 113.197 E. 16 6èKT 197 Z’ iaoz’mç 6’901 fini noManÂoËatou 16 43 101.7

E ami 16 K9 1017 Z. 700’th 6è 171161181101 1107.104-

nldmov 16 114B 1017 E, nui 16 F 4 1017 Z’ iadmg 02’901.

301i 71011011160101 16 K9 1017 Z, 10:7 16 F4 91017 Z.Eflsî 017v 31415901 109 K93 l1" 4 1017 Z fading serti’nolÂanÂoËawW’ 1001690; me 16 K9 11,17 T4. Kowôw

6117915000) 16 119. 1.00161 6’90 16 KI’ 10mg? 197 94

1’001 30111. D4116 9197 Z 16 XI ardu ïoov’mû 16G4 (2’91 155 Z 1’001! ë01l1’. 5312915 si 16 197 E

i001! .ëmi, ami 16 (94 1001! è’01m 197 Z. *

Rob. Simson., praemisso propositionis lenunciato his verbisexhibet: .Quam multiplex est (Fig. 515.) AE’ipsius ÎZ, un!

multiplex fiat 4H ipsius Z4. (Hoc vero fieri potest, magni-tudine Z4 sibi ipsi aliquoties addita). Elrit igitur (V. 1.) JEaequemultiplex ipsius P2, lac EH ipsius T 4 t ponitur autem4E aequemultîplex ipsius P2, ac 4B ipsius T4: ac prop-terea EH ipsi 4B aequalis est (V.’Ax. 1.). Communis nuie-tatar JE, reliqua igitur 4H aequalis est reliquae ES. .Ita-que, quoniam 4E aequemultiplex est ipsius ÎZ, arque .411ipsius Z4, cargue 4H aequalis E80; en": 4E aeqnemultipleygipsius I’Z, ac E3 ipsius Z4. Acque multiplex autem ponitur4E ipsius I2, ne A]! ipsius 1’43 ergo EB ipsius Z4 acque-multiplex est ac L43 ipsius F4. Quai-e, si etc. -Symbolicepropositîo ils exprimetur: si sint mAÏ, mB quaecunque âeque-

multiplalmîgnitudlnum A, B, quarum 4)B, erit etiam mA--mB idem multiplum magnitudinis 4-913, nempe cric-mA

-mB;.-.m.(4-.B). A

( zn

LI’RERlQUINTUS. 105,Sit enim" piimum (Fig. 316. a.) HB ipsi E aequa- l v

lis; dico et 911 ipsi Z aequ’alem esse. Ponaiur enim

ipsi Z aequalis FK. h l ” i i i’ l,b Et quoriiam .,aeque multiplex est AH ipsius E-ac’T9 ipsius Z, aequalis autem HB ipsi E, KF veto,ipsi Z3 aeque igitur multiplex est AH imine E acK9 ipsius Z. ,Aeqqe autem multiplex ponitur .43ipsius E ac FA ipsius.Z; aeque îgitur multiplex estK9 ipsius Z ac FA ipsius Z. Et quuuiam minque

itîpsarum K6 , T11 ipsius Z aeque multiplex est; ae-qualis igitur. est K9 ipsi 121w Communis auferatur1’6; reliqua igitur KF reliquae 94 aequalis est. SedKP ipsi Z est aequalis; et (94 igitur ipsi iZ ac-qualis est. Quare si HB ipsi E aequalis est, créaaequalis erit ipsi Z. ’

. lPROPOSITIO V1.l Rob. Simson. obnervnt, casas posterioris demonstrationem

omissam esse in tenu graeco , quiqui lumen in versione Cam-pani ex arabhfacta nm’usque casas demqnstratio habiaïur. 1d

autem eo factum arbitrant, qùod in mutilata Theonis edi-tione libri quinti huius casus nulla occurrat ,applicatiq. Enn-dem tamen cisum adhiberi .perfcctiori V. Prop. 18.«(len)on-strationi, oui soli «adam prior casas et V. 5. inserviat. Undeipse et bains posteriori: casux demonstrationeni addidit. Ego

- autem Putaverim, omissam esse in textu graecoï, qui cacterumfiguram posteriori calai inservientem in omnibus editionibushabet, casas posterioris demonstrqtionem eo tantum, I quad.ait demonstxfationi catus’ptigris simillima. Si enim- casa po-

nction; qmm multiplex est H8 ipsius E, tam multiplex au-matut K? ipsius Z, reliqua prorsué eadem modo prosedunt

. ne in casa prime, adliibita V. 2. Cneterum utriusque catincomm’unem demonstrationem llano tradit Clavilia. Quum exhyp. magnitudines AH, T4 ipsarum’E, Z sin: neqxlemulti-

r

t

106 Iannxu’ronum

I lt i v ’lOpm’wg il?) 66420,49! au x02? nolAœnÂoËmov â 16

H8 mû E, monwwnléomv 501w 20cl ni 9.4 un? Z.

a t a I 1 l l ( eEu? aga 0110 0.97.9315, aux; (tu 45509.r

n

x

, .

17 P 0 T A 2 I Z Ë.Ttê au; figés "nô mini 10W 011’164? è’zu 10’707, 204.3

16 mini ngôg "Id l’au. ’ ’"E010; i’aœ psyélâïj (ma A, B, 02’110 68’ w ô’zè’rwxs

pëysôog T6 I" 157w (in 310353907 vair A; B 71969

A [l î i n * I l I i ltu F un! «01041 axa Âoyov, accu r50 F 71909 exauça?

l - lfluai A , B. - . ,. r i . ’Ellmpâm 7&9 Tan! pâti A, B îadmç nolianla’mœ

"[02 ,4, E , me? d’à F (in?) a 8’750)? nullanla’otov

l ’, - ’10 Z. i - .’ ’Ensir 01h! ladins 501i wollanldmo’y mi A 7017 Ayawl (ni. E 1:06 B, 2’001! 6è 76 A T95 .B’ i’oov taïga ami

"ni z] 196 E. 3411.0 (9è 3 grilla mi Z 1011T 710110:-

I , u z y l .. z y71200104" et aga 117159618! 10-4 mon Z, ’Unegezu aux). Tl; E W17 Z’ nul si liman, î’aow nul si è’Âwmov, élu-fr-

1091. KM in; 1d ,uèv A, E ŒUÏU A, B 1’005sz n01-).anîdaçu, ,10 3è Z 101? P 027.10 il 5er5 vicinale;-

.. u 1 ! x . t i u tazor emmi agu- wg To A 51909 To F, 0117m9 "la B

91969 cd .7 . ’116’710 07j au ami ce; T 7!ng éua’ngov 10341 A , B

161! aÜTôll 815c lôyml. à I

plices, erunt in JE to: magnitudines aequales ipsi E, que:in T4 eum aequales ipsi Z. Unde, si ex mimera aequalimagnitudinum, quae in AH, FA continentur, denxatlurinumne-rus aequalis nnagniludinem,-qnae in AH, F9 surit; remet-le-bit in. 118 numerus magnitudinum ipsi E acqcialium aequalisnumero magnitudinum ipsi Kaequalium, quae in :49 conti-

v : iune; emmena.- 107r

Similîter (Fig. 316. b.) ostendemus et si multiplexest HB ipsius E, aeque multiplicem fore et magnitu-dinem Bd ipsius Z. Si igitnr duaè etc. ’ °

’PIR o P o s 1 T10 vu, (Fig. 317.)

Acquales magnitudines ad eadem eandem lmbcntratiouem, et eadem and aequales.

Sint aequales magnitudines A, B, alla autem quae.libet magnitude F; dico utrnmqne ipsarnm A, B ad

IF habere candem rationèm; et F adlulramque ipsamm

01,3.Sumantur enim ipsarum A, B aeque multipliais

A, E, ipsius vero F alia utcunque multiplex Z;

p iQuQniagn igitur aeque multiplex est A ipsius :4 acE ipsius B, aequalis autem A ipsi B; aequalis igituret A ipsi E. Alia vero Z ipsius Il utcuuque multi-plex est;.si igitur superat LI ipsam Z, superat et Eipsam Z; et si aequalis, lacqualis; et si miner, minor.Et sunt quidem J, E ipsarum A , B aeque multipli-ces, ipsa vero ipsius I’ allia utcnnque multiplex est;est igitur ut A ad F, ita B ad P (V. Def. 5.).

I I V l I lDICO autem et F ad uligmque ipsarum A, B Ban-dem habere rationem.

I l- a

nentur i. e. si ËBzE, cri: etiam 49:2: sin autem IIB aitmultiplex ipsius E, erit etiam de aequemultiplex ipsius Z.Symbolice propositiq bacs in exhibant: si sir A:pÏ., B:11L; et 15sz, F.-.-qM, p, q denotantibus numerus imago.quoscunque, quorum prier p mnior altel’o q: erit un: A-B:(p-QL, quam E-.-F.-.(pv-q)M, Ipeoiatim Iam AvBr-L:

4108 I ., 51.1115101030»!To51: 769 0161151 ùu1œ6acauaoâëv1oiv 6,110in 67) «lei-

50,067 611 i001! ào1i 16 A 193 E’ 027.10 6è 1l 16 Z’ si .65901 17715596181 16 Z 1017 A, 6ns9ëxçi ami 1017 E’ ami

.sî 7001!, i001» ami si 51.011101, 51011107: KœL’ 1’011 16

[Liv 106 P 71011071160101, 1o? 6ild; E 1051! A,B cilla 0? 81sz1 1’003ch fiollœnia’om’ ib1wtoï9a (6g

16 T 71969 16 A, 01710): 16 R71969 16 B. Toi ici:6’911, ami 16.ë57îç 1). æ 0 I

IIPOTJËIZvI To71 03160101 1117819037, 16 peîè’o’u 71969 16 01616

110201101 lôyoal 6’261 aïns9 716 511011101" rami 16 «616 7

:7196ç 16 52.051101 neigeant 10’701! ils: 67169 7196s 16 .

fleîÇov. i i ’ V -."E01w 023mm 11-67637] 103 A3, , ami 601w. peiÇov l16 AB, 617.10 6è 6 è’wxs 16 41’ 157w 61L 16 dB 7196p

16 A nettoya 1.61101 è’xez 17m9 16 P 7196s 16 d, ami16 A 71959 16 T 10.512010; 10’701! &st 677159 71969 16

AB. ’.’E7zsi41029 ,usïÇo’aI tian 16 AB 106 T, 151’904» 195i

T i001! 16 BE, 1667i 51010000 10h! 44E, EB 7101.-).anlaomëo’psalov 601m 7101i 61061] psiçoal. "E0103,719610900 16 AE 611041100 1017 EB, ami 71871011057110:-

0105030) 16 AH, ami 6’010) 046101? 710).).67tla’atov 16 ZH

psïëoar 6V 101? A, ami 600171160161 son 16 ZH 1017

1) Codex a. hic addit: 116 "1M. 13062) tarit-av 9075961,61: 36v flafla?" 1110i 6161.0707 a], «a! 611716111! 611610707 5311m..0159 3’651 ôsîEnu. AL hoc Comllarium, quod idem dicit,quod Rob. Simsonis Prop. B. V. minime ex raecedente pro-positioni conseqnitur: indicare tamen liane ectionem volai-

Inus- i iQuant ELF:M, si Iuerit pàqzt, son pzq-i-l. cr. Pflei-dater. l. c. p. 4. 5. Post banc propositionem Rob. Simson. .

t

I

n

Lisznouru’rus. 109lisdem enim constructis, similiteij ostendemusi, ae-

qualem esse A ipsi E; alia verotquaedam est Z: siigitur superat Z ipsam A, superat Z et ipsam E; et Vsi aequalis, aequalis; et si minor miner. Et est Zîquidem ipsius F multiplex; ipsae autem d, E ipsaruinLA, B aliae utcunque aequo multiplices; est igitur9utF ad A, ita r ad B (v. Def. 5.). Acqualesiigi-

tu. etc. l - ’P 11 O P O S I T I O VllI. (Fig. 318. a. b.)

lnaequalium magnitudinum , maior ad enndem ma-i0rem rationem habet quam miner; et eadem ad mi.norem maigrem rationem habet quam’ ad maiorem.

Sint inaequales magnitudines 1113,, T, et sit maior .ÀB, alia vero utcùnque A; dico 1B ad A maiorémyrationeni habere quam F ad A, et 41 ad I’ maioiemrationem habere quaml ad AB.

QuOniam enim Imaior est J43 ipsa F, ponatur .ipsi F aequalis BE (I. 3.), miner ipsarum. AE, EBmultiplicata erit aliquando ipsaIA maior (V. Def. 4.).Sit primum AE minier ipsa EB, 9et multiplicetui JE,et sit ipsius multiplex ZH minier, ipsa A, et tinam-multiplex est ZH ipsius 11E, tam multiplex fiat ct-

addit propositiones A, i 8,: C, D , que» aide in Èxcursu ad

hune librum. ’ 9p .’ PROPOSITiO vu.

Cor. Eodem modo osteuditur,-aeq’ualin ad aequnlia eau-

ûem rationem habere. i :

v.

HO sniuznronum’ ’’AE. 10000100160101! ysyôals’1w ami 16 Mia! H9 1017..1312, «a a; K 1017 P ami 02.100.» 1017 a 6171160101),uèal 16 il , 191711601017 6è 16 M) ami 5:77; éaIi 711.9101!1’109 .017 16 10791118017611.8701). 71011071160101! 102w 7617711011

1017 Â. 719161011; dè [1.525011 1017 K. E177’Ipe9œ, ami-è’dtw 16 N 10190111020101! [lË’V-TOÛ’Â, 719161th 6è psi.

goal 1017 K- - p I ji ’Emi 06a! 16 K 1017 N 719161019 601M: 11011011, 16”9K 6’90 1017 0171 50111! 510111017. KaiÀnai 1’001’mg

ê01i 71011017116on1! 16 ZH 1017 74E ami 16 H9 1017EB, [001’119 6’90: 301i 71011071160401! 16 ZH 1017

ami .16 Z9 1017 A3. 70ng dé écru 7to11an1a’0ioil16 ZH 1017 AE ami 16 K 1017 F. ’Iaœ’xtç 02’901 Étui

71011071160101! 16 Z9 1017 A3, ami 16 1017 T- 10’Z9, K 6’90 1071! 11E, I? 100’119 601i 71011071160107.-

1761w, 19101206119 êo1i 71011071160101! ’16 H9 1017. EB ami 16 K 1017 I’, i001! 6è 16 EB ,19)" T’ Îawâ’pa

’ ami 16 K 197’119. T6, 6è K, 1017 M 017:1 501w 1310:1-

1011’ 066° 12’901 16 119-1017 M 610111611 601w. MsîÇoai

6è 16 ZH 1017 4’ 61014 6’90 16 Z9 ’01110410011’90711

10711 A, il! 1111567 301w. 241102 01190111061190: 103 A,M. 197 N 0301W i000. (67101667159 16 Ill’1017 A 1917110”-

01617 son, ovalocmpéuçda 6è 16 A, M 1017 21 ê01i 1s-1907110’1-10, êo’ri 6è, ami 16 N 1017 A 15191171160101:- a

00111710616901 0190102 M , A 197 N i001 601W. 24110:.16 Z9 1067 d, M 921*561! 501w 1)- 16 Z9 61’901 1017 N

’7 r Ûv , i .il) Qune "nous incluaimus e ’Cod. s. Peyrardus addultt.Polel’ant [amen egregie abesse, sut cette saltlm usqüe ad ’vo-cem 10190711120100 illustratioms caussa admet.

91109081110 V111.Rob. Simsona’in nota ad liane propoàitiotlem primo. 9x.

z

1Lrnzx quinine. 111H9 ipsius EB, ipsa veto K’ipsiuslI’; et,.sumaturipsjus A duplat quidem A, tripla vero M, et deincepsuna maior, quoad sumpta multiplex fiat ipsius A etprimo maiOr ipsa K. Sumatur, et si N quadruplaipsius J, et primo maior ipsa K. ’ l

z

.1, .Quoniam igitur K primo minor est quam lN, non’erit K ipsa M minor. *Et quonîam aeque multiplexest ZH ifisius iAE ac H9 ipsius EB, aeque igiturmultiplex est ZH ipsius AE’ac Z9 ipsius A3 (V.1.). iAeque autem multiplex est ZH ipsius acK ’ ipsius F; aeque igitur multiplex est Z9 ipsiusAB ac K ipsius F; ripsae Z9, K igîturipsarum ÀB,P aeque multipliqes eum. Humus, qubniam aeque estmultiplex HO ipsius EB ac .K ipsius F, [LB autemacqualis F; aequalis. igitur et K ipsi H0. Sedipsa M non est minor; non igitur est H9 minor quamM. Maiorvautem xZH ipsa A; tota igitur Z9 attis-que simul 41,, M maiorest. Sed utraeque simùl A,M ipsi N sunt aequales, (quandbquidem M ipsius Aest tripla, utraeque autem simul A ,1 M ipsius A sunt IquadruplaIe, est nero et N ipsius d quadrupla, utrae-que. simul igitur M, A ipsi N aequales suinta Sed,ZOl ipsis À, M maint est); Z9 igitur ipsam N su-perat. K veto ipsam N non saperait. Et sunt Z0, "

plient, cul: dçmmmratio in textu graeco obvia non eadem con-urn’ctione pro utroque casa, quem habet, uti potuerit; iure ldeinde illud potissimium ineptum esse «lioit, quad utrogueca’su magnitudo K. demonstrationi inserta sit. quae nulli alirai inserviat, nisi ut demonstmtio pnolixiol’ fiat. Denique ad-

x

11?. Ü ELEHBNTORUMfinsgs’zst, id âè’yK mû N ou): ünspëxçt. KaL’ ion

a) [Liv Z9, K raïs! AB, [If 1’005ng wollamlu’ala, 163è N 1017 z] aïno .5 53’1va noÂÀanÂdmov- 16 AB taïga

and; 16 dipsz’Çovœ 1.6704! au insu s6. P n96; tu; A.’ 115’710 il?) au sont nid n96: æô T micelle: 1.6704!

au, insert; 4 n96; zô’AB. ik iTuîv 7029 00151611 natuaxwaaâslfièwv, (incitas 681’50-

jèi’, au ’56 ,uèv N 1017 K ûnsgëxec, 16 6è N 1017

Z9 0th ünsgéxsz. Kas’ Sou 16 psy N r01? A no].-ÂanÂoÊozov, 1d a); Z9, K raïa! AB, Î d’un a? grille?

induis noÂÂanla’om’ I6 A taïga. npôg Id F peiCovœl

1.67an 51a, finet) v6 A ngôc 16 1113..’11Md 6.7i ’56 AIE 1017 E13 peîÇov ë’trvw’ 16 J5].

flemme! Id ÉB noÂÂanÂaawÇôpsvov sinua sural 1017

d pejÇov. ,1ÎenoÂÂan).aUtoloôfw, mi ËIOTÙJ T6 1197:0).-

Âwnla’mov MW rot? EB, yeîëov 6è r06 4- and 60a:-nÀa’oto’aI-ëoù 16 H9 sati EB, rooamqnla’owv ye-

glovértw nul r6 "sa: ZH 1017 AE, 1è (Te Kami F. «lÛluoIœç à») d’agents! au Id V59, K raïs! dB, Tinduis fini noÂZanÂa’om. Kai sîl’étpôw .0700in 16 N

uoÂÂanÂu’mow pina! Ëotî A, ngdzœg Je page)! rot? ZH-

(5915 nullw 16 mû M [ni élancez! d’un, ’ysîçov

Je Id H9 1017 41’ 51.01! d’9!» se Z9 1031! A, AI rou-

15’0le rot? Nünepe’xu, ,16 0è K sot? N ou; finsgéxst.

dit, esse etismltertium canum specislem, cuiusimentio non[un si: in demohstratious, nempe si JE in primo, Mit EBin secundo casa msior si: quam 4, in quo sumendae sin:

1 qusevis ipsius 21E et El? acquemultiplices, v. c. duplae ipsi:-. Nm. (Quint deest etiam alias adhuc casas generalis. Casas

enim, que: gl’aecus texans habet, sunt 1) si 11E(EB 2) siJE)EB. At potes: etiam esse 5) AE.-.-.EB.)W Ex bis omni-

. bus Simsou. concludit, Theouem sut alium geometriae non

i LIBRE octhvs. . t 113»K ipsarum dB, 11 asque multiplices, N veto ipsiusA alla lutaunqne multiplex; AH igitur ad A maioremrationem habét quam’ Î ad A (V. Def. 7.).

Dico autem et J ad I’ maiorem rationem babel-e,lquaml d ad JE.

,lisdem enim constructis, similiter .oëtelndemusl, Nsupin-are K , ipsam veto Z8 non superare. Et est Nquidem ipsius z] multiplex, et 29-, K ipsarum .413,T aliae utcunque aeque multiplices; .4 igîiur 3d Pmaiorem rationem habet quam A ad A3 (V. Def. 7.).

Sed sic *11E.maior ipsa EB; minot EB multipli-csta,:erit aliquando ipsa A maior. Multiplicemrf etsi; H8 multiplex oipsius EB, maior vero ipsa 21;.etquam multiplex est H9 ipsius EB, tain multiplexfiat 2H ipsius JE et K ipsius T. Similitèr osœn.demus Z9. v K ipsarum AH, P aeque multipiicesesse. sumatur similiter N multiplex ipsius A.primo autem maior ipse «ZH; quare rursus ZII ipsaN non miner erit, maior autem H9 ipsalditotaigitur Z9 ipsas A, 1H, hoc est N superat, K vetoipsam N non superat, quandoquidem ZH quae maintest ipsa H9, .hoc est ipse K. non saperait N. Et

mis peu’mm pr0posit’ionem liane viciasse. Quamvis autem

banc Simsonis repiæhsnsio satis iusts esse videstur, et facileester, superfiuam ilhm magnitudinem K e demomtratione clininitiais, noluimus tamen e mers coniecmrs fatum corrigere-

. lCastel-nm Rob. Simsonis deinomrruio simplifier omnino cmet (amusa casus aimai] somplsczimr. Es SymbnlÎ-ce expressoin habet: si A)B, cri: A:C)B:C, et.C:.-3;C: A. Pvïmipe,si magnitudihum (À-B) , B, en: quae non maior est âlleiù,

EuclidÂ Riemann P. 11. Z H

1114,, i ’ ennmeu’ronum*p

a

j ênsIMnsp mil nô ZH page)! 511 .101? H9,.rovrtùnta; .K, 1017 N aux finsçs’z’èl. Kal «lacérais amazo-

Âovi’hsiiwsg TOÎQ 531de ylegat’vopw qui énéôszâw.

To39! aïno; Chimay, mi 10E éffig.

Ïl’P Û T1212 0’.

TcÊ figes 16 «un; sûr «15164! è’zowa 2.6701! , l’au

(illülotç éon? ami ngôg a? se; mîtô 1611 mîtes! 6’16:

2.67011, ensiliez l’au 022.2111019 émiai.

.EXe’Œw ydç éminçai! saïs! 4,13 71969 a; 111’635

misât! 10’701!- Àt’yco au ïmw ëa’çi 16 A 193 B.

’Ec’ yole fini; (un; vît! êzdæegov cuis! A, B 71969 16

Î tout «13167 sils 2.670? élu dès ïaov d’çulëozl s6 A

si; B.l,’Exæ’*tw «in malin! 16 11 ngôg émissent! 10h! A, B

16v mitais: 3.67m" M70) 51L 1’001! 5012 s6 A sel Ba

sic ÎC, summum ètA-B), et 2B, ne] generaliter thÇA-B).

m3: sin autem magnitudinum (A-B), B en, que non muaior est slters, sir (C, sive es ait (Ai-B, sive B; exit ali-qusndo sliquod eius multiplum In mains quem C; hemps valnabi-Bi) C, vel mBoC. Et quant multiplum m eiusfqusemon maint est altera, panamas )C, erit idemAmultiplum Il-tarins tante magie pariter )C, i. è. erit tempe;- tain m(A-B))C ,1 quant mB)C. Sit deinde omnibus essibqs nC illudmultiplum magnitudinis C, quod prima mains est quem mB,

nempe sit nC)mB, a: (n-J)CÎmB, vel’. mBÎ(n-,1)C,

au, ob m(A-B))C, xr-(A-Il)-l-mB)nC i. e. mA)nÇ.Quum, itague mA)nC, et mB(nC, exit a V. Def. 7.4,A:C)B:C, et C:Iâl)C:A.

l

LIBEA’QUINTÙIU. Y l 115

similiter ut in lis, quae ante’diximus, sbsolvemus ds-monstrationem. Ergo inaequalium etc.

s "pipo p o 31 T I o 1x. (Fig. 3:9.)Quae ad eandem eandem habent rationem, saquais:

inter se sunt; et ad quas eadem eandem habet ratio-nem, illae aequales inter se surit.

Habeat enim attaque ipsarum A, B adT eandemrationem, dico aequalem esSe’A ipsi B. ’

Si enim non, non attaque ipsarumx A, B ad Teaudem haberet rationem (V. 8.); habet autem; ae-

qualis igiturkest A ipsi Il. vHabeat autem rursus T ad utramque A, B ehndem

rationnai) ;. dico aequalem esse A ipsi B.

I

PÈOPOSITIO 1x.Magis explicite banc propositiouem Rob. Silurien», et si!

eius exempluni Playfajr. in fera demonursL. l1) Si A:CaB:C, en! Air-3s Si enim non fuerit Afl, cris alternas«mm niaior altera v. e. A)B. At mm, ut in proposititionepneeedeme, duo numeri m-, ’n passant inveniri, in ut mAV)nC,I et inBKnC. Quum vero ponant A:C::-.B:C, prit

. (y. Dot. 5.), quoties mA)nC, etiamkmB)nC- Erit itaguesima! mB)nC, et mB(nC, quad fieri naquit. Nequit iu-que esse A)B , et similiter nec B) A, itague A23. Parue!si C:A--.C z B , val simili rations imihediato demonstrabitur,ut Nr. 1. esse A:B , quad Rob.» Simon. facit, val , ut Phy-fair. docuit,- ope inversionis ex Prop. B (vid. En. ad hunelibruin) concludetur A: C:B:C, nulle tu redites! Nt. 41;.

a

u

116 ’ [Lamas-rouvritEl yoÊg 111;, 00’s: (in! 16 Il. 9196.2. 51618904! 1071! A,

B 161! 06161! 6715 26;!01!’ ile: ÙÈ’ 5’001! 0790 0’011 16 A 7

Il)? B. Td 6’90 91969 16 «1516 mi 103 555g.-

II’P O Tu»! 21 z 1’.

d . , ITan! n90; 16 0016 2.07m! êzôwwv, 16 161! 1110!;on

a Ï - n .. .y.’ a; - i a i ’ l1.0704! 5104!, maya petboa! 501w. 11909 o 6è 10 0401054012010: 1.6701! glu, émétine 301161! s’01w. I .

’ WE1510) 5’69 16 A 71969 16 neigera 16700, 777169

l - u - r a16 B 91909 .16 Ils 1670) ou Won; 5011 16 A 100 B.Ei 769 mi, 9’10! i001! 501l 16 A 19? B, a? 0.00-

a: , T î n i a , I4101!. I001! ,uèa! 001! aux son 10 A 1go B , 01015901!

li ’ - i i .9 ,709 à!!! rson! À, B 71969 16 T 1m! 00161! êtlê 167w.06» 5st 6è, min 65904 2’001! 601i 16 A 11,5 B. 00’641:

pafs! 52.00061! son 16 A 1017 B, 16 A yoî9 (in! 7196916 T .161! êldoolwu 5713 10’701! 679109 16 B 11969 16’

T. l 00’s è’xss 6è, min (2’90! 5100064! 6’01; 16 A 1017 B.

’EÛsI’XÜn 6è 51s 0’661 ïoov, "flics! 02’912 t’arl 16 A

106 B. yil. ’Exé1œ 61j mais! 16 I’ 71969 16 B nattera 1.6704!

Jim? 16 I’ 91969 16 44’ légua 0’11 52.050064! 6011 16 B

1m? J. » . I ,s " 7: a I ÜEn M9 ln) , me: 1001! 501w, 9; 952’500; [001! psi!

1’ 7 n l . - i . s in ’ ! Iou!!! 01m 8011 1o B 1go A, 10 I’ 70:9 on! n9og 6104156900-1464! A, B 164! 00’161! sïxs 16760. 06:: au 6è,9’65: 6’90: ïoo’u Êo1i 16 156 B. 013 6è (nia! ,usiÇo’v

3014 16 B 106 A,- 16 T 7029 (la! 11969 16 B 32.600070

PR OPOSITIO X.Rob. Sîmson. Id banc propositionem observnt: "En, que

huio- propositionis demomtratio exhibelur, in editionibussuçoit le: latinip. sliisqiu, ,legitims non est. Verbe enim:

s

l

’ . mon: connus. 117 z

Si enim mon, non F ad utramqùe ipsagum A, Bcandem haberet rationem (V. 8,); habet autem; acqui-lis igitur estoA ipsi B. Quae igitur ad eanJemctc.

p a 0.19 o si T 1 o x. , (Fig. 320.)

Magnitudinum ad eandem rationem habentium, quaemaiorem rationem habet, maior est; éd quam autemeadem maiorem ratidnem habet, miner est.

Habeat enim A ad I’ maïoremlrationem,’quam Bad T; dico maïoremresse A ipsa B.

Si enim non, vol aequalh est A ipsi B, vel miner.Acqualis autem mon est A ipsi B, utraque enîmipsa.mm A, B ad Î eaudem haberet rationem (V. 7.).Non. habet vero; non igitur aequalis est A ipsi B.Sed neque miner est "A ipsa B . mon: À ad, F mina-"rem haberet râtionem qua m B ad P (V. 8.). Nonhabet autem, non igitur miner est AîpsaB. Ostensaautem est neque aequalis’, mâior igituz est A ipsa B.

Habeat autem rursus P ad B mqiorem ràtionemquam Î ad A; dico minorem esse B ipsa A.

Si enimnon, vel aequalis est, vel maïor. Acqualiàquiderfi non est B ipsi A, nam F ad utramque ipsa-mm A, B candem haberet’ rationem (V. 7..). Non.habet vero, non igîtur aequalivest A ipsi B. Sedneque maie; est B ipsa A, mm F ad B minoiem ra-

maior eadem sivc aequalis, miner de magnitudinibua et ratio- nihus diverso prorsus sensnydicunmr, ut. ox.Def. 5. et 7. bu-Îus Iibri patch Ope igimr harum oxàminemus demomlruîo-nem propositionis deoiroao, in ou: vis ratiocinii hoca est: pi

a

11-8. * annulu’ronufil1631m! J19! m’imq ng6g 16 A. 06x élu 6è, 06:: d’oc’peîÇôy écu 756 106 A. ’Eâel’zâæj 6è (in oüùè ïoov,

ËÂQUO’OV 02’906 807i 16 B To1? A. T451! 62’904 ne6ç 16

«6’56, and r03 êSfiç. ù IH ,P O T A 2 I 2 ni.

02 197 «671,5, 1670; oi cuirai, nui 611171:20:43 doit!

a; crural. ’ . A"Estomac! 7039 0;: ph! 16 A nçôg r61? 017wa m6F 71969 16 A, 05g 6616 T 7196!; a; 401’5sz 16 E

" 71963 16 Z6 2.67a) 67a t’a-fiai tu? 76 A 7196;; 7:6 B 017-

, vous 16 E M69 16 Z. fEïlùpâw 7029 vain! 1&1! A, Î, E iodates nouât»

nidatu’ 16 ÏH, 9, K, m’a» B, z], Z 01Mo: à? 51111511

îadztg noÂÂanÂoÊam tu? A, A], N -- ’

. I Kai âne! 301w .aïg T6 A ngôg v6 B 01710:9 16 În96g r6 A, and d’infinæt m’ai ,uèv A, T iodais no).-

lanÂdam ni H, 9, raïa! 6è B, A tilla ë grilla! i06-mg noÂÂanlœ’moa roi 11,,le si d’oc: «Impéxu 1:61!

un? A, Ûneçs’zu and m6 9 2001!? and si ïaov,’ ïoov’

mi si è’lawov, amow. 11017.11! , êneî 3mm gis r6 Tngôg 16 .4 01716:9 T6 E krrgôg T6 Z, fiai cilfinmz 1157pèv F, E imbus nonçla’om 16.66., K, raïa! 6è À,

fuerit 11:13, foret A:]L-.:B:I’, unde sumtis ipaarum A, Bquibnsaunque acquemultiplicibus, et sumta quavis multipliéipsius 1’, si multiplex ipsius A maior fuerit multipliai. iosiusÎ, crû (V; Def. 5.) multiplex ipsius .B maiur eadem [nul-n’-

plici ipsius F. Sed, quonîam ex hypulhesi J:I’)B:F,cran; ex V. Def. 7. quaedam ipsarùm 1,3 aeqnemulu’plîces,

et quaedam multiplex ipsifus Filles, ut mulçiylex ipsius Amaior si: multiplié ipsius F, a! multiplex igsius E non maintlit multiphci’ipbiuil’: banc autem propositio directe repugmt

z

blasa qum’rvs. x 119fionem haberet quam ad .4 (V, 8.). Non habet Vera;non igitur m’aior ce: B ipsa A. Ostensa autem estneque aequalls, minot igitmr est B ipsa A. .Ipsarum

igitur ad Eandem etc. a13 11.0120 s 1 T r o x1, (Fig..32l.)

Quae eidem eaedem sunt rationes, et ’inter se eum

eaedem. . , ASint enim ut A ad B ita F ad A, ut me F add, in vE ad Z; dico esse ut A. ad B in E ad Z.

OI

A

Sumantur enim ipsarum LA, F, E aequo multi-puces H, 6, K, ’iesarum vero Bh, A, Z alîae ut-

cunque aeque multiplices A, M, N. ’Et quoniam est ut A ad B ita I’ ad A, et sumptae

sunt.ipsarum A, F aeque multiplices H, 6, ipsarumveto B, A aliae utcunque aeque multiplices A, M;si H superat ipsamljl, superat et (9 ipsam M; et siaequalis, aequalis, et, si minor, minor (V. Def. 5.).liursus, quoniam est ut’F and A ita E ad Z, et samp-tae suut ipsarum F, E aeque multiplices 0, K, lpsa-rum veto A, Z aliae ntcunque neque multiplices M,

Ipraecedenti, qua" A non est aequalis B. Peu-gît demomtratio"au! neque minot est A quam B, lnaberet enim A ad F mi-norem ralionem, quam B: atqui non baba minon-cm, nonigltur .4 minor- est quam B.n Hic dicilur: haberct A Id Iminorera ratiouem quam B ad 1’, sixte, quad idem est ,. ln-berct B ad Il malorem rationem quam .4 ad P, hoc est (V.Dcf, 7.) forent quaedam ipsarum B, A aequamultiplices. et

u

’ .quaedam ipsius 1’ multiplex talla, ut multiplex ipsiui B mulot A

oit. multipliai ipsius F, a! multiplex ipsius A non maior ait

a .

T

1’20 A enamax’ronum

, tZ d’un a? è’zvze’y indus nouanla’am 103 M, Nt et

Il I I l - K l l Iaga 1170695150 10 6 10v M, empalez nul r0 K un;N’ ami si l’ami, îaov’ ami si 510400015 67.006015. ’AÂÀoËe

si 651596101 06 91017 AI, 67109510; ami 46 H rot? 11’

nul si ïoov, i003" and si 5.001041, ümrov d’un mlsi 67059515: 16 H 1017 A, 6700015150 dal col K 1017 Anami si 1’001! , 5’000" ami si üawbv, 67.06170”. .Km’ in:

00E (du! H, K161i A, E imbus noidunla’mœ, r56 6è.4, N un; B, Z tilla 0? 510100 500’th nouanla’ma:èbzw 6’90: ois 16 A n06; r06 B 0610:9 16 E 74169 WZ. 04’ deo: 103 040’055, and 102 êë’rfç. - .

IIP 0 TA 212 03’."E61! 3; 67001100641 peyéôy 0500510705» gaïac 0l; à!

2031! iyovpévwv 71969 à? www Énoyc’vwv, 017ng ënavïw

cd 9770251105110: :1969 d’au-Won 003 6716051105; .

’ "Ewwaow 67100050077 [0576017 05003107011, 10? A, B ,

T, d, E, Z, aïs r6 A 7096s :06 B 017w; ’06 F9196;L16 A nul 16 E ngôç z6th 157w. du ëmiv 063 r6 A70969 06 B oiz’twg a) A, F, E 70969 ni B, d, Z;

Eilæitpâw 95029 1050 plat A, T, E t’admç nulla-

nloltnœ Toi H, Q, K, 70311 6è B, d, Z ânon 65 è’w-xw îooËmç nouanldmœ me? A, M , N. V

multiplici ipsius 17, et ostendendum fuit, hoc manquant con-tingere poste, ai ait Jaf) Bgl’; demonstrandurn igîturfuit,in hoc caau multiplicem ipsius J semper superare multipli.eem ipliua 1’, si aequemultiplex ipsius B eandem sapera; hocenim ostenso, manifesmm calot, non pesse esse B: Î)A:P,b. e. non passe esse A :P(B : F. NIÎnimc autem hoc ostensumest in demonStralione propositionis decîmae, and, si decîmadamonstrata esset, immcdiato ex cal deduci posant, velum sinedu! ope non facile idem ostendetur, ut damonstmtionem ten-

H-----v---.

iman QUINTUS." 121N; lsi superat G ipsam M, superatet K ipsam N 5 let lei aequalis, aequalis; et si miner, miner (V. Def.5.). Sed si superat 9 ipsam’ M, superat et H ipsamA; et si aequalis, aequalis; et si minor, minor; quemet si-superat ipsam A , superat et K ipsam» N; etsi aequalis, aequalis; et si, minor, minon Et sunl:H, K ipsarum A, E’ aeque multiplices, .1, ,NiveroiPsarum B, Z aliae utcunque aeque multiplices; est.igitur ut A ad B ita ad Z (V; Def. 5.). .Ergoeidenz etç. y t

, P a o p o S-I T x o x11. (Fig. 322.)Si sint quotcunque magnitudînes proportionales, cric

ut uns antecedentium ad unam consequentium, inomnes antecedentes ad cintres c0nsequentos. l

Sint quotcünque magnitudines proportionales A.’ 13,1", a, 12,62, ut A ad B ira rad a, et E a

Z; dico esse ut A ad B ita A, 1’, E ad ipsas B,

11, Z. v I . .Sumantur enim ip’sarum 21,11, E aeque multipli-qes 1’100, K, ipsarum vero B , A, aliae utcunqueaequo multiplices A, M s N ’

(anti patebit. Quatre denmmtratîo decimae legitima non est.Videtueautem is, qui demonstmionom decimae, quae hmllabetur, posait vice eius, quant Euclides veI Eudoxus dedei’at,deceptus fuisse transferendo id; quod manifestum est magnitu-dinibus adirationes, magnitudinem se. quamvis non poussi-mul maiorem et minai-cm asse alia. Çuae eidem aequalia, etinter se sunt aequalia. axioma est maxime evidens. si demagnitudiuibus intelligatur, Euclides autem se non utitur adostendendum, mimes, quae Gide"! rationi sunt nedem, iman

122 v ,ELEMENTQAUMKai ênei’ 60147 uig’ 16.21 71069 16 B 0171079 16 F

aguis ,16,A nul 16 E 7196s 16 Z, 706 Ë’Â’Ijfiïat 1077

’uvè7 .11, I’, E 1005th 71021671160707 103 H, a, K,1057 0è B, , Z 6Mo: à? ësty 75067179 710).Àu7tÂa’0m ;

16 , MI, ,N’ si 02’902 671.905st 16 H 106 A, 67109-

610! and 16 9 1007 M, and 16 K 106 N’ ml si i007,î’007’ sur) si. 5100007 , 5100007. "J291; nul si 67169-æ’xst 16 H 1015 311, Üflcçê’ZsL and 16 H, (9,-K 1057

,71, M, N’ Ml si, i007, 1’007 mi si 52.070007, 31.600070.

,Ku!’ son 16 1103w H and 10E H, 9, K 101i A ami 1077A, Il", E intime nolianÂa’otw ënstrlfi’sltsç J7 y? 671’0-

000177 7575377 67100077067 706751967 100w 16 71113909,5724050107 5160107 t’admg 770).Âa71).u’am, 60671260767 son

f7 1067 710701967 ë76g, 10,000-1a7tlu’om 5010:7 nul 16’

716716 1077 71671077. .416 16 07’103 67? «ai 16 A 7706 .

16 ’11, M, N106 B and 1037 B, A, Z iodais 3’011710).Âan).a’atu° 001w 02’000 ais 16 A 7196ç 16 B, 061m i

16 A, P, E 71069 102 B, A; Z. I’E67 02’900 si 6710-

000177, miel 103 éëæig. r l « v i

,, . HIPOTAZIZ 77’.’ ’Ealy 71005107 7196g 607515907 167 006167 s’y] 16707

701i 107’107 71960151059107, 197’707 6è 71969 161049107

Itst’Çoælu 16707 67:7; aînée 71511177107 71969 1341077 706

71907107 71969 66610907 710120707 2.6707 5507 777109 au)». l

77107 7706; 57.107; I1’Ï907107 près! 760 16 A 71-96: 65615907 16 B 167

076167 37’510) 2.6707 Mal 101’107 16 Î 71969 16109107 16

» A, 194’107 d’à 16 F 71.96g 16179107 16 A psI’ÇWa 16-

00 easdem esse, sec! hoc explicite demonstrar in V. llf’ HincSimsou. aliam Ptop. Y. 10. demonstrau’onem dedit, que:

x i v mua canif". l (sa[Et quoniam est il! ad B ira P ad d et E ad Z,

et sumptaç sunt ipsarum A, P , E aeqne multipliaiIl; G, K, ipsarum vero B, .4], Zi aliae utcunqueaeque multiplicea A; M, N ; si H sapera: ipsam A.

’ sapent et 0 ipsam M, et K ipsani N (V. Défi 5.);

et. si aequalis, aequalis; et si mihor, minqr. Quinteet si superat H ifisam A , superfin: et H, 6, K ipsi:A , M , N; et si aequalis , aequales; et si mirmr, mLmores. .Et est H quidem et H , G), ipsius A aipsarum A, T, E aeque multiplices; quoniam si flintquotcunque magnituflines quotcunque magnitudipumaequalium mnhîtudîne, singulae singularum aéque mul-

tiplices, quain multiplex est ana magnitudin’um nuius,tam multiplices erunt et émues omnium. Ex eademrationa- et A et A. M, Nipsius B et ipsarum B, iA; Z aéque sunt multiplices; est igitur ut A cd B,in A, T, E ad B, Â, Z (V. Def. 5.).1 Si igimrsint lquotcunque etc.

1

P11 o P b s 1 T 1.0 xm. (Fig. 323.).

Si prima ad secundam candem habeat’ ragionem’quam tertia ad quarram; tertia autem ad quarmm mn-

’iorem iationem habeat quam quina ad sextant; etprima ad secundàm maiorem rationem hahcbit quam]

quinta ad sextam. l ùPrima enim A agi secundamÏB eandem bahut tu,tibnem quam tertia T ad quartam J, tertia veto T adquartam A maïorem rationem habeat quam iquintaï E-

f

candem esse eum sa, quam Euclide: val Enduits nimbai,minus duBint, Quum ex ipsn dcfinitionc mniotin ralipnic V.

124 nzannu’rokumI

707 élémi 177189 nèpmoal, 16 E mais Entov r6 Zi7.03710 au nui ngcôzov 16 A ngôg 88518904! zô B pei-Çoalœ Myoviê’ëu fineg m’pmov 76 E aiguë 339104! r56 Z’

’Enei 3’039 nî- F nçôg m6 A pu’Ço’m’ 167m; ê’xec

fineç’zà E n96; 976 Zi être 111103 maïa! "a T, E taoï-

auc noMunÂoËtmz, flair 6è A, Z tilla a? èiwxev l’aria;

noManMom, mi 7:6 MM un? F noÂianÂoËawv 67169-,Élu me? un? A floÂ.Âàn).aae’ov, 1613.1: un? E wolla-

. Whitney ïOÜ,TO’Ü Z wollanlowt’ov 01;)! zinguiez. Ei-

. Miqnîw, ami fait» n61! pin! Ï, E faims nullard.qune H, e, maïa! æ .41, Z ma è’wxeæg indu; m2.-ÂanÂa’mu frê- K, A; (bigre 16 ph: Il ŒO’ÜNK finag-

æ’zew, 16 8è (9 To17 A mi üflsçizstv’ nul 60anÂa’mov

,uè’w ému cd H101? T, Œcaqmanldowv 501w and a;I.M mm? A’ âwmâa’azov 19è tu) K 1017 4,1Œocavw7tld-

(me! 3’010) ami m6 N 106 B. i i " ’ K4»), final 501w aïs Œô’A ngôg 16 B 671,1"er au; F

71969 r6 J, mi eiîmrwz un ,uèv A, T iadmç nol-mxnÂoÉam 1d M, H, 7054! 49è B; J valu (ï è’wzwiodmc noÂÂanÂa’am tu)? N’, K’ si 02’911 ânegéxu m6 M i

3mn? N , ünagæ’xu mi "nô H 7017 K’ and si ïaovz ïaov,

and si èlàaaov, 31050007. iTmps’zu 6è tu; H mû 19

7. lare-virer et directe ostendatur. ha autem habet: si J: I’).B: 1". est A)B paritprqua ni F:B)I’:A, erit 13(1.Si: enim 1) À:F)B:F: eruntque (V. Def. 7.) quaedamipshmm A, B acquemultîpliceo, et ipsius Î quaednm multi?plot, ira ut. multiplex quidam ipsins .4 superet multiplicemipsius P, imultiplex veto B non superet tandem; Sumanlur,et sin: ipurum A, B aequeniultiylices mA , m3, ipsius veto

P milltiplex sir nI’, in ut mASnI’, ac mBZIII’. Estigitcir

mJ)mB, adeoqae Ail? (V. Ax. 4.). Sit 2) T:B)T:A,

LIBEIIQUI’NTUS. 125ad sextam. Z; dicoset primam A ad secundam Bina-iorem rationem habituram esse quart: quintam E ad

sextam Z. e ’ 7 L"Quoniam enim F ad A maiorem rationem habetquem. E ad Z, saut quaedam iipsarum F, E multi-plices, ipsarum veto A, Z aliae utcunque asque mul-üplices; ita ut ipsius F multiplex ipsius A mïdtipli-cem superet, ipsius veto E multipleinpsius Z mul-tiplicem non superet. Suma’ntur, et :sint ipsar’urn’ ,7

E aeque. multiplices H, 9; ibsarum vero d, Z aliaeutcunque aeque multiplices K , A; ita ut H quidemipsam K superet, ipsa veto 9 ipsam A non superet;et quam multiplex est H ipsius Î, tam multiplex sil:et Il! ipsius A; quam vero multiplex K ipsius A, tammultiplex sit et N ipsius B.

Et quoniam est ut A ad B ita T ad A, et eumptaesunt ipsarum A, Î aeque multiplices M, , ipsarumvero B, A aliae utcunque aeque multiplices N, K;si superat M ipsaml N, supenat et H ipsam K; et siaeqlialis, aequalis; et si mînpr, minor (V. .LDef. 5.).Superat autem H ipsam K , super-a; igitur’ et Mipsam

«il 8(1) Brun: enim (V. Def. 1,) qusedam .nP, mB, mA

tallai, ut nI’)mB, a: nFÎmJI, adeoqueen’t’mB(m.d, et

3(1! (V, Ax, 4:); Atque iem, demohstrata V. 10., ut Portoobservai: Rob. Simson., facile ldemOllstrabitlll: 9a propositio,que in vulgari eixis demonstratiohe tacite supponitur. Nempo,si 42P)B:P, et sumantur utcunque mA, m8; nl’, sitquemB)nF, cri: etiam m2!)nI’i Nam 0b A: Î)B: F, cri]:(ex v. 1o.) lbs, adeoque- mA)mB, une», si ganser,miro magie exit m1)n[’-.

1’26 w 11.1311557770an

l .cina9e’zu 6’907 nul 1611H 106 N. T6 6è 9 mû .4 0111

tine-951.51- ml 31m 16 ,uèy M , 6 1054! A, Eiaa’xzç.l nollœnla’oml, 1d 6è N , A 103v B, Z 65Mo: à? 52211215?

îadzzglnoüanla’azw 16 69a A :1969 16 B NSI’ËOWG

167w 51e: 713159 16 E 71969 16 Z. ’Eoial 67’907 719031017;

mi 1d ibis. ". ’ jIl P o T21 2: [12.07.’EoËv 71907101! 71969 6561.5907! 167i 011’167! 5p; 16704!

and 191’104! 71969 167059101, 16 6è 719061011 1017 197’100

neigea! nui 16 6661è9ov 1017 151691011 neigea! 501049«Je! ïaov, l’aùvi :4651! 437.0400011, 510900041. L i l ,

11975107! 769 16 71969 6215159071 16 B 161! mî-161 exerce lôyov Mai 197’107: 16 F 71969615109101! 16

A, psîÇov 6è 5’010) 16 A 106 Î” 16707.61: Mai 16 B

1017 A ,weîëo’v 36ml. * i Ix

7 ’ i .l .’Enel: 7039 Mamie! 501; 16 A 1017 T, 652.10 6è 6’ 5111p i

piyeûog 16 B6 16 A 61’907 71969 16 B pet’Çovà 1.61107

au 757159 16 P 71969 16 B. ".129 6è 16 A 71969 16’«B, 0171m9 16 71969 16 d’9 mi 16 F 6’907 71969 16.11

ysz’ÇOflaiÂo’yov 51e; fine9 16 Î 76969 ’56 B. H969 lV Je 16 07676 peîfovq 163mm! Élu, ëzeîvo glanée! 5’017in

limonai! 6’90; 16 A 101? B- 6391s mach: 3cm 16 B

106 Æ IPRÔP’OSITIO KIL.

V Pater, banc bropositionem tum naltim loeum halicte, simagnitudines, Ide quibus serina est, onines sin! eiusdem gos»

mais, - lPÈOPOSITIO xmp

. . s . lObs. fil versions lutina, moneme Rob. Simson., nonpusniimus, tu in graeco textu. est: ,,et x’nultiplex 1’ supcrnk’

un" enim-us.- 127N. ipse veto 8 ipsarri A non sapent; et suntÏM,6 ipsarum 11, E aeque multiplices, ips’ae ver-o A;yl ipsarum B, Z alias utcunque aeque multiplices;ergo A ad B maiorem rationem habet (1113m Elarl Z(V1 Def. 7.). .Si igitur prima etc.

P a o P o "s 1 T 1 o x1v. (ne, 3211.)

Si prima ad secundam eaudem ihabeat rationem(1113m tertia and-quartant, prima veto terris maior sir,et secunda tertia maior erit; et si aeàualis, aequalis;

et si minot, miner. ’Prima enim A ad secundam B eandem habeat n-üonem quam tertia f ad quartam J, maior autem aitA ipsa T; dico et B ipsa A maiorem esse.

Quoriiam enim maior est A ipsa F, alia autem utè .minque magnitude B; ergo A ad Bmaiorem rationenaHabet quam 11 ad B (V. 8.). Ut autem A ad B, inÏ’ Jd J; et P igitur ad .4 maiorem rationem habet"quam P ad B (V. 13.). Ad quam autem eadem ma-iorem rationem habet, illa miner est (V. 10.); minor ligitur A ipsa B; quare maie:- est B ipsa r

multiplicem ipsius J etc. sed ad rem, accommodatiun in. ut

supers: etc. Caeterum Simaon hoc addit 9Cor. Et si prima ad secundam endormi rationnai ln-

ben, quam renia ad quartamt ternie autem ad quai-nm eau-Â(lem rationem liabeat , quem quints ad sextam: similitor osten-deum, primam ad secundam maioremvrationem lubine quemquintnml ad sextam. (Àd hoc corollnrium facile illnd reduesium-quel! Clavius hiclhnBet: siA :B:C:D, a: C:D(È-2F,

l v 128 v insinua-000m

. I - 9 .cQu’oïwg 66 6513011007! 6’11. 7:67! Îaovjî 16 .4195 lai

i007 è’01az ami 16 B 11,5 A 7767! 51070007! ,7; 16 A 1061’, 51000007» 5010:0, 770616 B 106 de ’Eoîv 02’900 77963-

V 1 En107! un 10; 0,719.

II 0 T A 2 I 2 té.4T6 65’977 10i9 [1600161679 770110772001’079 167i 076161!

2’100 lôyov, 174.7007107 770016117716. ’fiEo’tw 7039 717057079 71011071160107! 16 14.13106 Final .

16 JE 1017 Z’ Âe’yw 61L émiai «69 16 F 71969 16 Z I

0771079 16 AB 77969 16 JE. ’ 0lEnel 7029 00de inti 71021071260707! 16 A3 1011 l

T 7707i ,16. 412.1017 Z° 0’00 6’90: êo-riv ëy 196 JE ps-

ye’fiv; i007 14,57 T, 10006107 770:1 à! 193 JE i012 195 Z."’ 111?]977’01900 16 "à! AB 01’9 105 14.6 Î 100766726000, 10;

111,716, (73,711.60? JE sis-103 0,; z i041, ne AKK11. AEe è’010u 67) i007 16 011751909 1457i 11H, H9,93 195671177007 1037i 4K, K11, 11E. K06 3770i 1’0003012 103 AH, 9H9, 9B 00.161009, 8010 6è ami 103 4K,K44, 11E 1’007 057.1051009 E0107! 02900169 16 AH 71969

, 16 4K 0171079 i166 H9 77969 16 K11. 770:2 16 OR 7196916 lAEe 501074 J907 7007i (69 à! 1067! 6700774571017! 77969

à! 1034! 170070671077! 06109 07770710: 10? rfyoüpew 77969.â’nawœ 103. 0316770007 501w 02’907 :69 16 AH 77969 16’

4K 0171109 16 AB 71969 16 JE. "1007: 6è 1647ivAH

’ cri: et A:B(E:F.’ Mimi autem, quad; ClaviuI addit, corol.larium non hac patines. Habetut illud in!" in appendice

Prop. .morosx’rto xxv.- Came duos posterions expressis verbis in demoustnt Rob.sinue... Si il: --I’.J, nique Jar, en’t 1:B:sz (V.

x

- 1.131st qanrus. 129Simîlîter ostendemus et si nequalis ait-115ml T,

’aequalem fore et Bnipsi A; et si miner sic A ipsq F,l minorem fore et B ipea A. Si igimr prima etc.

P a 0P o s 1 T 1 o xv. (Fig. 325.)Pattes inter se comparatae eaudem tubent rationna

, quam earum aeque multiplias.Si: enim aeque multiplex AB ipsius Tac JE ipsius

’Z; dico esse ,ut T ad Z ità AB ad- JE. -

Quoniam enim aeque multiplex est ÀB ipsiïu Il.ai; AÈ ipsius Z; que: in AB sunt maglaitudines ae-quales ipsi, T, to: surit et in 2E aequales ipsi Z.Dîvldamr A13 in magnitudlnes ipsi T aequales AH;H0, 93’, JE vero in ÀK, K11; AEipsi Z ae-quales; erit aeqùalié multitudo ipaamm AH, H6, 6B l

1 multitudinî ipsarum 21K ,’.K11 , 11E. Et quonîain ne.

qualee sunt AH, He, 93 inter se, sunt autem et4K , K11,. 11E aequales inter se ;’ est igitur .ut AH ad 4K ira H6 ad K11, et 03 ad AE (v. 7.); erîtîgitur et utluna antecedençium al! unam consequentium»

’ in émues anteçedentes’ ad omties consequentes (V, 12.);

vestligitur u; AH ad 4K ita AB ad JE. Acqualis

aL), aâeoque hl (V. 9.). Si: porto A: Bàfld, et. lit At (1’. exit F)A;ZeÉ, quonîlm P:J:A:B, ait d)l! par

«mm primum, qui est in tenu. graeqo; l» ’66h Clavius hoc nadir corollarlum: si J: 3:1”:d, au- I

que 1b:çar, cri: et «il-2l r. Quod brevlter la...»lhomtrari potut. Si A:B:1*:d, mît et inversé (Prop.B. in a

nœud. Elemcnt. r. u.- .. V .1

130 ELEMENTORUM. 195 1’; r6 à?! 4K 197 Z2 filma! taïga aïs 10’ P 1:96:16

l

Z maïa»; cd AB n96: T6 11E. Toi «feu uépy, un)

«ne 5575;. , lup o TA 21 2 zs’.

’Ecîv rétroagi» myém; d’âwlloyov , mon! évacuai;

(Molloyov fait)". l’Ecmo cëooagaflusyc’fin &w’loyov, id A, B, T,

A, aïs hl A nçôç 16.3 051w; 16 F n96: 16 4’1.53m .57: nul ëwaMoÊE oËwdÂoyâal 31m4! , (zig rad A 91969

416 Î 017er c6 B ngôg T6 d.Eiloy’qzâœ yoîg raïa: un A, B 4’06ng noÂÂaanu

«tu? E, Z, 7:51! (là T, A. 60.2.0; a? è’rwxsv imbus nol-

Âanla’ma tu? H, Q. . .Kal êmi, iodmg étui wollanléow’v 76 E 1017A.

ami 16 Z 106 B, vol à? nèpe; mais. oïoav’rrwç noua-tnÂaUÎotç Ida! «21’164! ê’xu 167011 Â’mpfiëæ’w zardllfllw

5mn! (figez gals tel A 71969 c6 B où’mç 16 E 7:96:11;

Z. :129 3è t6 A ngôç 16 B oifitwç 16 F 75939 r6 d-;eal (Je olgœ m6 P ngôg 16 A 0171019 m6 E 1196916 Z.JIa’Âw, E7161 me? 111,0 11542 T, A Zoolmg fieri nouu-nÂa’atw é’oïwkà’pu «Î; 16 F nçôg ml J 017-10); a; H

nçâg 16 6. 3129 (là i6 T 71969 16 A 06mm 156 E

Excunu ad hune librum) B:A:J:F, undç ex V. il. con-

stat propositum. lI PROPOSITIO XV.I

Obs. I. Paf panes in bac propositione intellîguntur partesaliqpota’e (cf. dicta ad V. Def. 2,). ’Asaen’t itague hach pro-

positio, esse A:B..-..pA:pB, vol ;A:i:-IB.:A:B.I Addi autem

poteur, quad lnlnt Pfleiderer. (.Exposit. et Dilucid. V-

Man quines. I filautem AH ipsi F g 4K yero ipsi Z g est igjtur ut F331 Z in. dB ad JE. Ergo partes etc.

PROPOSlTlO XVL. (Fig.326.). Si quatuor magnitudînes proportionales sim, et al.

terne proportiohales erunt; Sint quatuor magnitudînes proportiOnales A , .B,

1’, A, ut A ad B in 1’ ad A; dico et alterne plusportionales esse, ut A ad T ita B ad A.

Sumantm enim lpsat’um A; B aeque multiplîcesE, Z , ipsarnm veto F, d Aline utcunque saque mul-

tiplieras 11,. 9. .Et quoniam aeque multiplex est E ipsius A ac Zipsius B; partes autem inter se comparante eaudem ha:ben: rationem, quam earum aeque multiplices (V..l5.);ergo ut A ’ad B in E ad Z. Ut autem A ad B itaI ad J; ergo ut I’ ad A ita E ad Z (V. 11.). Buresus , quaniam H , 6 ipsarum P, d aeque multiplia»mut; èst igitur ut P ad A ita H ad 0 (V. 15.). Uta-xtem T ad A ita’E ad Z; ergo ut E ad Z ita Had 6 (V. 11.). Si autem quatuor magnitudines mon

5. 45.), etiam partes aequenliquautal ululer!) émane... baht-fa.

qu tu magnitudines ipsas. Sit nempe p.R:A, p. 5:28, sen

Rzè-A, StàB, srit (ex V. 15.)’R:S:pR :PS, vel R:S’:

A:B; patina-que (ex V. 15.) R:S::mR:mS, un 11:6:- I

EAMER , made (V. il.) EAZEBzA:Bt

P P PP

PROIPOSITIO XVI.. Obs. Applicni patent hue prnpmitinluntum; "bi on.

4.132 y ELEntntn-onuu"71069 16 Z’" and (6g 6’96 16 E n06; 16 Z 061m: 16apôg 16 .9; ’Eolv6è 1600090. [0675M 600510.;(04! 16 s6è 71015100106 195100 Haïti»? , mû 16 651516901! "1017

15160100 mm», l’azur mît! 2’001, l’ami, 160 39.00000,

39.00007. Et 02’909 üflGQËXGl 16 -E 1017 671896186 nul 16

Z 106 6’ Mil si l’on, î’0’or nul si 51.01100, 51011011.. K96 l

63’011 16 ,uèv E , Z* 1:54! A, B. iodlas noÂÀanÂolow,1d 6l H, se 1051! T,’J d’un: 6? 3:10sz îooïùtè 1109.10;

abîmer 6’01"! 6’90 (63 L16 Â n96; 16 T 6171m9 16 B *rigide, 16 A. ’Eol’y-â’ça 1150005909 noël 16 6569.. z

in, o TA se]: .ç’.

ÎEdw wyxalpewœ’ [11876197], 6063.0700 ,, «al (houes-ï

08’010. 057610704! 5010:1. l v î . n"E010: 01171851084141; 10075491] 6161.0700 1o? JE, 3E;

TA, AZ, (69 16 A]? 91969 16 BE 06mg 161217006516 AZ’ 18’710 61; nul 6twgefie’v1adwa’loyov émut, «la

16 AE 71963 16 EB 0610m 16 TZ 95069 16 Z4. - -Eihigoôw. yole 10641 ph! 11E, EB, TZ, Z4 i066

mg» 71011071160401, 16. H0, OK, JIM, MNs-10îv 6èE3, Z4 16’110; 0? 5111st 1’06th 71012057116010, 1d K3,

I N11. « .l -Kal, 27151 106m; 5011 :71011091160100-16 .116 106JE and 16 OK 106 EB’ L’océmg 6’905 êo1l noManÀoz’d .

0107 t 16 H9 1017 JE and 16 HK 1017 AIE. ’IaoËzzg65’ écru 910....unla’tzov 16 H9 106 11E 10616 AM

and quatnclr magnitudinus eum eiusdem generis. De carollarioai vulgo lndiecto vida ad Prop. A. in Excul’su ad hune librum.

au orolst’TIo xvn.Mite: haec propositio ita elferri poreux si quatuor magnîo

radines propomionales situ, et prima earum. maior est, quant

fifi W-ww

l

"au Quum-us. I 133portiomlesl alnt, prima autem maior ait tertia, et Ie-cunda maior erit quarta; et si aequalis, aequalis; et si.miner, minor (V. .111). .Si igitur superat E ipsam H,saperait et ’Z ipsam 9;th si aequalisk, nequalis; et siminot, mînor. Et sunt E, ipsarum A, B aequomultiplices, H, 9 veto ipsarum Il, 4l alias utcunquoneque multiplices; est igitur ut A ad F in B ad 4(V. Def, 5.). si igitur quatuor etc. - r

I lun o p o s 1 T x o xvu. (Fig. 327.)...Si compositàe magnitudines proportionales sint, et

divisae proportionales erunt.Sintï composîtae. magnitudines proportioneles 4B,

BE, T4, dz, ut 4B ad BE ita T4 adIAZ; .dîcoet divisas proportionales fore, ut 4E ad EB ita PZ

ad Z4. . . 4 * lSumaÎntnr enim ipsarum 4E, EB, FZ,.Z4 ae-4 què’multiplices H0, 6K, A M, MN; ipsavrum- verd

EB, Z4 alise utcunque asque multiplions K5, N11.

Et quonîam àequè multiplex est. H9 ipsius .AEac

9K ipsius EB; aeque igitur multiplex est H9 ipsius- Aie-ac HK ipsius A]; (v. 1.). Acque autem. multi--plex est H9 ipsius Ali. ac AM ipsius TZ; aequelocanda, adèoque etiam (Prop. A. inExcursn ad hune librum)tertia maiorl quem, quarta: erit etiam excessnf pignes superIecundam ad secundam, ut excessus tartine napel" quartant ad

quartam. Cf. Pfleiderer. l. c. p. 21. . xCor. l. Si quatuor magnitudinum A. B , C, D, bina.

funin: in eadem retiens, et prima A minot: quem tacaud.

134 » nnsmau’ronum1017 1’20 2041m; âge; afin) nouanlémoy 36 HK 1m?

* AB ami t6 AM 1017 F Z. 11(1ch , 3ms) 1’06ng 301inbllanlémov 16 le 106 TZ and T6 MAT 106 Z4.4’044,th dieu 3011 wollanâoç’mov 76 111V un? [Î Z 1900de

AN 3106 TA, ’Iaa’mg 63’501 nollqnldmw 16 AM7

un? TZ aux! t6 HK 1017 AB’ imine âges étui frank

762.0504014 v6 HK 1017 A]? nul 16 AN 106 Td’ 7dHK. AN 6590; i071! 113, F4 iodais étui nouanldqza.11151511., 3915i fading 5012 nollunldwoæ T6 9K finiEB’zai T6 [VIN 1015 ZA, âne 6è aux) 16 K3 mû

EB 1005th nouanldowv and 16 NII 101i Z11! amiavwaüèv m6 65 101J EB facial; 3011 nollqnlcâmçwaux? 16 MU un? Z4. Kari 43ml ému! (Je 16 A8 759x69»16 BE 017er ’56 T41 95969 æ6 dz, and cargua; 105v

h! AB, P4 Indus iollwplu’om 103 HK: AN,mît! 3è E3, Z4 tilla a? 511)er l’anime noutmlu’eaux roi 9.5, Mll’ vei oïga Ünegëzu 16 HK 106 93.,ûmçe’xu nui 76 AN 0017 M11! nul si î’aov. î’oor ami.

si è’lœwoy, à’lanoy, 6Tnsqsxæ’zw 615 r56 HK I017 03,

ami uowoü dtpœtçæôæ’wog cm? OK, ümgs’zu dieu, nul

16 H9 1017 K5. 34).)! si üneçëxu ’56. HK 706 05,.6714595516: mi c6 AN 101511110 finagéxu 02’905 and 7611N

102.7 MI], and novum? drpugpcôe’wog un? MN flaquiez

ami 16 le un? NIP fière si 69160616; r6 To13.K3, 031596165 nui 16 JM 106 A711. 60.1401’wç 65) 654’-

Enfin! au mimi i004! 16 H9 193 K5, 1’001! 50m; nui76 AM 195 N113 uâv è’Àawov, è’Àa’nov. Km’ Eau tu? 6

B, «160.41.12 etiam (Pl-op. A in Excursu) tamia C..miuor quamquarta D: erit etiam inverse (l’rop. B in Excursx) B:A;’-

. D:C, ubi iam B)A, et D)C, adeoque B-A:A;D-C:C-Cf. Pfleiderer. ’l. c. p. 23. ’ 6

4.!an 001x105." 135v« igîtur multiplex est HK ipsius AB ac AM ipsius TZ(V. 11.). Rurshs, quoniam aequè multiplèx est-112Mipsius FZ ac MN ipsius Z4; acque igipu multiplexest AM ipsius l’Z ac A N0 ipsius FA (V. 1.). Aequeautem multiplex carat. AM ipsius TZ ac HK ipsiusA8; aeque’Iigitur est multiplex HK ipsiùs .AB acAN ipsiuâ FA (V. IL); ipsae HK, AN îgitur ipsa-mm A3, 611A aeque sunt mnltiplices. Humus; quo-nimn aeque multiplex est 6K ipsius EB ac M N ipsiusZA; est autem et K3 ipsius E13 neque mulülslex En:NII ipsius 2A; et composita (93’ ipsius EB nequeest multiplex ac MU ipsius Zd (V. 2.). Et quOniamest ut AH ad BE ita FA ad AZ, et sumptae suntipszlrum AB, FA aeque mulüplices HK, AN, ipsa-mm veto .EB, ZA aliae utcunque aeque mulpiplicee95, Jill ;’ si superat HK ipsaËn (93:, superat et ANipsam MIT; et si aequalis, aequalis; et si miner, mi;nor (V. Def. 5.). Superet autem HK ipsam (95, etcommuni ablata 9K, sapera: igitur et ipsam K5.Sed si aupèrat HK ipsam 65, superat et AN ipsamM11; superat igitur et AN ipsam M11; et commuai

k MN ablata, apparat et AM ipsam NU; quare si au-A peratÀHO ipsam K5, engager et AM ipaam NU. Si-

milîterpsteudemus et si aetfnalis sit H9 ipsi K5, ae-qualem fore et AM ipsi 2VÏI; et si miner , minon-cm.Et sunt H0, flfll ipsarum’ AE, FZ aeque multiplifces, K5. N11 vero ipsarum EB, ZA aliaelutcunque

Cor. 2. Generatim igitur, ni dune magnitudineg inac-quales A et B candem mutuo habeant rationem, quam aliasduae inacquales C et D: differentia quoque duarum priomn?cri; ad earundem minqrem, uli differentia dunrum posterio-

136 ’ 51.5111511101!quHà» H9, AM m’y AE, PZ’ taïgas 71011671105010»

16 6è K5, N11 1154! EB’, NZA 65Mo: (ï 5111151306319

nouanla’tmx- 501w 61’905 (69 16 AE 91969 16 EH 015-

1wç 16 FZ 21969 16 ZA- ’E611 690: 01130181108701, and

10? apis; v AJIPOTAZIZm’. 9ÎEoîy 619917113112 pays???) 6105163107 fi, and aman.

«9511101 670510701 50101:. . . 6. "E0119 619797111616 Mafia"); dvéloyov, 1d AE, EB,

TZ, ZA, 059416 AE 71969 16 EB 017mm 16-129196s 16 ZA° 16’702 6’11 nui GUN’KGÜE’VTŒ 1611670701! 501m,

ois 16 AB .1969 16 BE 0171199 16 FA 71969 16 Z4. .v’4’ 76.9 p1; écran! (6g 16 -AB 71969 16 BE 0171m:

16 TA 11969.16 ZA1 501cc; 46g 16 AB 71969 16 BE06mg 16 TA, 1’101 u96ç 510100611 11 1017 AZ, fi n96;

peîCo’ll. 1 1 ’. .."Ea’rm 1196169011 11969 11.»an .16 AH. K02 Mai

501w aïs 16 AH 11’963 16 BE 0171:»; 16 FA 91969 16

AH, ovyùeipwu 11531077 610510761! 50111" 0791s mi61011950611111 6110310701! è’ouw 5011165901 16g 16 NAE

7196;; 16. EB, 0171m3 16 PH 71969 16 HA. 731616141m 6è nul a)? 16 AE 7196g,164EB cajuns 16 PZ 1196916 Z41 mai (69 61-91 166 n96; 16 HA 0171m9 16

ljkum gui ipsam mînorem; val adam invar" (Hop. B in E11cursu), minot duafllm priorum cri: au ipsarum differentiam,mi miner duatam posteriorum ad carundcm differendam. Bre-viter, si A i B.-:-.C :D , exit miam dividendo

vel divisim A-B :BzzC-DzD , un B:A--B:D:C-Dvel B.-A:A:D--C:C, un A:B-«A:-.C:D-v-C. .

Cf. Pfleiderer. l. c. I . v r -

’ une: 90111.61. ’ 137«que multiplices; estigîtur tu AE ad .IEB in TZaddZ4 (V. Def. 5.). Si igitur compositae etc.

1211013051110 xvtn. (Fig. 238.)Si divisae magnitudines propoi’tîonales sint,1et com; 1

positae proportionales emnt. .Sint divisae magnitudines proportionales AE,.EB,

TZ,. ZA ut AE ad EB ita T Z ad ZA; dico et com.x ppsîtas ’proportionales fore, ut AB ad BE in: FA

ad ZA- 4 d v v ;» v .Si ’enim non est ut AB ad RE ita TA ad ZA;

erit ut AB ad BE in; TA, val adminorem ipaa AZ,vèl ad maiorem. ’

Si: primum ad minarem AH. Et quoniam est utL43 ad BE ita TA ad AH, compositae magnitudinesproportiohalés sunt; qu’are et divisae propbrtionales

crunt (V. 17.); est igitur ut ad EB ita PH adHA. Ponitnr autem et ut AE ad EB ita T Z ad ZA;ut igitur PH ad HA ita Paz, ad ZA (V. 11.). Maiordans? prima PH tertia FZ; maior igîtur et secunda

PROPOSITIO XVIII.Obs. Ira saine satis breviter demonstraretut V. 18. dame

9 modo samare liceat proposiçis tribus magnitudinibus, quarumdm saltîm sin: eiusdem generis, quartam semper existera ipsi;proportioùalem. Verum enim veto, quamvip Clavilù i6 yroaxiomate Mimi possolîeenseret, dudum tamen Sacchelîius inEuclide ab omni meyo vindidato p. 111. eq. tindecorum hui.assuma naevum inesse confessun est, cui quidem mederi file.

-l38 6 ELBMHN’IÏORUM -T Z szçôç 16 Z4]. Meiçoy: 6è"16 7196103! 16 PH 1017

191’101; 1013 PZ- neigea! taïga 10616 68618901! 16 H4

1027 151691611 1017 Zzl. 24116106 «5161100, 57mg émit! 6661114101!- ov’n 0390960111! aïs 16 A13 7696s 16 BE 027-

1619 ’16 Fa nçôç 67.60001! 106 Z41. 601401109 61) (Ïèiq

EGflêî’, du Odin npôgfieîà’ov’ 71969 «616 69a. ’Eoîzl

aigu 615917146414 ami 16 éëîîç. ’ 6 ’

HPÛTAÊIZ I196.1 ’Edv 46g 610v 71969 67.01! 061m 6720919319327 ngôg

itpatgéâèv, nui 16 Âom6v 71969 16 Âmnôv 501.24 639

51m) 1.9.5; 6104!. ’A "E610: 769 «69 51.07 16 dB 31969 51.04! 16 TA 017-

10:9 dmcugeûèæ’ 16 AIE 91969 dçpmgçôèy 16 F Z1 167w

au and lomâv 16 15811969 7.049164! 16 Z4! ËGTOIVUJÇ

6’107 16 A3 719696101! 16 FA.

’Emi 769 .4010! dg 16 AB 71969 16 F4 0171619 16

AE 91969 16 FZ’ nui 962.165 aïs 16 Br! 7196s- 16.JE 10111019 16 .411 71969 16 FZ. K62 chai ovyxefpsvœ116761911 6116107611 ion, mi (Ytazgeüéwœ 611610701!

tînm- (6g 6’ch 16 .BE 7196ç 16 E11 oiitwç 16 dz 71,96;

16 ZF, 204i 37612.65, ais 16 DE 7196g 16 dz 06mg

àt ex Rob. Simsonia et Pfleidereri iudicio irrite promus co*-nain (amuît. la ou autem eum Saccherio consentit Rob.Simwn., baud legitimam esse, et a gonio Euclidis abhorrant,quae vulg0 in Elvmentis habetur,.proposixionîs huius damon-suxuiouem. l Nunquam enim Euclidem aliquid in demoustra-donc propositionis sumac, qou non prias cumulait, sallim Vquad existere passe "Ion perspicuum sir; ope enim proposi-tiouîl làccrlae conclusiouem cenum clici mu: page. Aliam .

k itague demonslntiouem subsumât Sinxsuu., quam, quamvisprolixiurern, legitimam et Euclidis gonfla mugis conformemune inde: uiaximdçuncludit, qiwd, [nuiter au; Prop. 17. de-

1 xAnna ennuya. 139

HA quarta 24 (V. 14.). Sed, et mimer, quad fiainaquit; non igitur esi ut 11E ad. DE in F11 ad mi-nqrem ipsa Zd. Similiter utîque ostendemus nequequi maintenu; ad ipsam islam Si igltur divisa: en.

r

.PROÊOSITIO xlx. (Fig. 329.)Si si: ut tata ad totam in ablata ad ablatam, et.

reliqua ad reliqùam exit 11’: tata ad totaux. 6.

Sic enim ut tota A]? ad totaux 1U in abÎata JEad ablatam TZ; dico et reliquam EB ml reliquat:Z11 fore ut tata AB ad totam TA.

Quoniam enim est ut AH ad, TA in JE ad PZ;et alterne erit in 13,4 ad 11E in AF ad rzçv. 16.); ,Et quoniam ’compositae magnitudines proportionalelsunt, et divisae proportionales erunt (V. 17.); ut igi-fur BE ad EA ita AZ ad ZF; et alterne (V, 16.),ut BE ad. JZ ita E11, ad ZI’. Ut autem JE ad

monstruur are Prop. 1. et 2. huius libri, in in ma [ne de-mousn’alione Propositionis l8. mm Prôp. 5.. mm ulerque «au:

V. Prop. 6. adhibeamur, quac quidam propositionis convenutint primne et aecundae, neque ulli proposiliuni bains libri,ut eum nunc habemus, demonsu’nndae inserviant, quin nullipraeterqunm huic 16. inservire posàim. Simounis demonbtulio,quam bruitais mussa symbolico’ éxprcudm hic siatimus, hneaest. Si filetât A:B.-..C:D, cric eliam coniponendo A-f-B:BcC-l-DzD. Summum enim neque multipra qnnocunque ma-gnitudinum B, D, pariterque,maguitudinum (A443), (CH-D),v. c. mB, ml); m(A-l-B), n1(C-I-D), paritqrque alias quia»

140 81.5113191031)»:16 ÈA 91969 1o Z1". "Il: 6è 16 11E 9196; 16TZV9614»; 6716151169 51.04! 16 AB 91969 31.09! c6 FJ’ and

1099164! 6904 16 EB 9196ç 1.099166 dz 301m (69 6’10616 .43 91969 67.09! 16 1’11. ’EcÊy 6’904 97 ami 1d 6575!,"

z v H Û P I 2 M A. 4K06 69116 êôsixôvj (69 16 A3 91969 16 TA 0971m916 EB 99969 16 Zd’ mi êwllâë «fg 16 A]? 9196916BE 051w: 16.1114 91969 16 ZJ’ 011718126570: 6’96 pœ-

76’1997 a’vdÂoyo’v 501w: ’EÛez’xÜn 6è (69 16 1439196;

’ 16 11E 0171m;- 16 dI’.9196g 16 FZ, nui anal dm-a1961pmç1z. .En 66 1061091 ŒOMIGQÔV, 661c Euh! (raflai-

;ww [1521.22.19 6116110701! , and 67601963004111; 67610-

701! 15’016» 1). .0659 5659 6sî5m. ’

1) Ira hune locum habeut edd. Oxon. et Basil., eum qui-bus teste Peyrardo’çoxtsentit Cod. a. Peyrardus ex ingenio,uç videtur, locum ex chgorii quoque senfentia corruptiuiorhum nec ope veterum exem lariumLx’estituendum in muta-

* vit: un! in) aïe 16 dB 7196: To Il 031w: r6 JE «96: 16 T29’ un) 87.11365 (Je 16 AB "969 16 JE ob’rwç 16 F4 ngôc 16 TZ’l avyxêz’psm 6’96. "9457134??- 61610764: 591w. ’Eôu’zfi’rj 6è (6: 16 .48

9:96: 16 EB 0mm 10 d[’ 91909 10 Z4, aux! 661w 6911619261691:a. r. 1. Quamvis autem fateamur, lectiouem receptam vida-sain esse et omnino corollarium hoc non hua pertinare, neccius aemonstraüonem, qua ad V. 16. tecunitur legitimameue, quoniam ita contra, ac res est, hase propositio tantumad quatuor magnitudines eiusdem generis pertinere vida-crut (Cf. rClavius, Rob. Sjmson., Pfleiderer. ad hune locum) noluimustamln Peyurdi lectiones, nuUa mscptorum aglctoritate nixat,in texlum œdipe-ra, prneserum quum vilia vulgarit lectionîlhac rarioue non tollamur. Caeterum Edit. Basiloenais aliudulhnc. bic .additamentum lubet, quad, eum promus non huepertineat, nec omnino’ ullius momenti Bit, eum 066. Oxon.

et Paris. omisimus. 9 - ’cunque aequemultipliccs magnitudinum B, D v. c. rB, rD,

eritquc vel r)m, me! r.-..-m ,1 vol r(m. Sir 1) rÎin, adeo-

insu qunnub. I 141 ’PZ ira posita est tota’AB ad totam T4; et relique -igitur EB ad reliquam dz exit ut tata .113 ad totam .1V (v. 11.). Si igitur ait (etc. e

l- e COROILL,ARIU,M..Et quoniam ostensum est ut AH ad FA in EB.

ad Z4; et aïteme (V. 16.) in ABtad BE’îtaWI’A ad.

Z4; compositae’ igitur magnitudines ptopo’rtionalee

suut. l Ostepsum autem est, ut .43 ad. 11E in AnalTZ, et est pet conversionem. vît hoc manifestmn.est, si compositae magnitudines proportiônales sint, etpar conversionem prôportîonales fore. Quod en: de- v

thonsmmdum. ’ Ique IBÎmB, u rfiÎmD,. Quum igitur m(A.;.B»mà.(v.s

Ax. 3.) ,. erit eüani, velltahtomagis m (A-I-B))rB, eademque modo m(C-i-D))rÏ), adeoque A-i-BzBËC-f-DçD (V. IDef. 5.). Sit autem 2) 15m, àdeoque rB)mB, rD)mD,et, si ab aequomultipüs magnitudinum AàI-B, nempoa m(À’-l-B), mÇC-l-D) aufaramur aequemultiplâ magnitudinum

B, D’, trempe m3, mD, relinquentur aequemulüpla mA,mC magnitudinum A: B- (V. 5.). Si autem a rB aufenturAm8, Pariterque a "1D aufetatul’ AmD , relinquentur (r-m)BI, Î

(r’--m)D, èritqne vel (r-m)B::B, et sima! (t-in)D:.--D;vçl (r-m)B.:nB, et simul . (r-m)D:nD (V. 6.). Si! a) -(ra-m)B:B, et (r-m)D.-.-.D. Quoninm igiçur A:B:C:D.,exit etinm V. 4. Cor. a. mA :16sz (D - i. e. mA:(r--m)B::

. mC: (r-m)D. HincL, si" mA):((r-em)B,"erit adam m0)’: ç(r-’m)D (Ptop. A; in Excursu ad hune libnujnf) Sxiç .autem b) (I-m)B:nB, adeogue etiam (hmDDmD. Quo-niam* igitur AiB:C:D , erit, quotie’s ImA):à(nB, «hmm9):KnD i. e. iunclim iam sumtis calibua a et b, and»

x

x

142 inauguronbm1 11120142121. ’ 1 ..

’Eoîaî 101’111 11075191], 1101i d’un 01171019 î’001 10 anhi-

1909, 015116110 10111191411011.2110: à! 11,5 010’115 10’79” (912’001:

3è 10 119071011 1017 191’101; paîÇov 3101110 15510191011

1017 5311011 [1075011 Karma. au) 30h! i001! , 1’001" 11011 3121!

1111000011, 57010007. . .p a x ’"Eaux: .1950 peyéâo; 10? 14,13, T, uaê 0512.11 on)-

110E 2’001 16’ nlfiô’oç 101 A; E, Z , 01541150110 1051113014164

1151101 51’ 11,17 011’193 1.670), aïs phi 11) J] 111109: 16 B

0171109 1d J 11909 16 E, 059 0è 16 B 71909 10 F oÜ-’

11119 1c; E n90; 1d Z, 512’001) 0è paîÇov 5010 .16 À1017 F’ 11’701 511 11012 1d A 1017 Z peïçov è’010uf 111??

1’007, 1’001" 111:1! 57.010001, 3510100011. . .’Enei 7039 peiÇo’v :3011 16 A 101i Î, 617.10 06’ «a

10 B, 1d 8è païen! 11969 10 011510. 1101201101 1070111211;

13mg 16 32.011101" 16 11.021101 11001; 16 B [110501101 10’701!

Élu fineg 16’ Î 71969 10 B. ’AÂÂoE 039 111111 16 A

11001; 1d 30171019 16 A 11969 10 E, 059 8è 16 F 1196910 B 0241017101111! 0171m9 10 Z ngôg 16 E- aux? 10 A07901 71909 16 E 1101201101 10’701! è’zel 13159 16 Z 71969

16 E. T151! d’à 119139 1d 011.116 10’701! 15101110111, 10 161!

1161501101 2.6701! 0’101! 11615611 écu. 113501! 02’901 10 A 1017

101101109 31) 0115011111, 0’11 111.231. i001! 10 A 195T; 1’001! E0101: 110d 16 A 193 Z’ 1&1 52.011011, 11111101..

Æâv 0’590: au! 102 551:9.

IIPÛTA’Z’IÈua’a z0 v ’Eg’w 19101 11.97501], nui 02’110 0151019 i001 16117.17.

in; 015110110 20111150111111.5101 11012 a: 193 0115115 109150, 6è

mA0:-;1(r-ëm)tB , etiam mC):((1-*hm)D, adeoqne quo-lio; mA-l-mB):,(rB, etiam n1C-f-1nD):(rD, yrl, quoi

17

1

un"! 001111115. 143P n 0 P.0 s xçr I o xx. (Fig. 330.).

Si slnt tres magnitudines, et aliae ipsis aequalesmnltitudine, binae sumptae in eadem ratione, ex aequoautem prima tertia maint sitl, et quarta sexta mnîorerit; et si aequalis, aequalis; et si minot, minon "

tSint tres magnitudines A, B, T, et aliae ipsisaequales multitudine A, xE, Z, binae sumptae in ea-dem ratione, ut A ad B îta A ad E, ut vero B adF in E ad Z, ex aequo. autem (maior sit A ipsad T;dise et A ipsa Z maiorem fore; et si aequalis, ne.qualem ; et si, minor, minorem. t

Quoniam enim maîor est A ipsa F, alia autem.quaedam B, maîor vero ad eandem maiorem rationembabet quam miner (V. 8.); habebit A ad B maioremrationefnd quam F ad B. Sed ut A ad B ita d. adE, ut vero F ad B per inversionem itas Z 11thet d igitur ad E maierem habet rationamquam Z adE (V. 13.). Ad eaudem autem rationem ,habentium,maïorem rationem’ habens maior est (V. 10.); maiorigimr est A ipsa Z. Similiter ostenderfiu’s, et si Aaequalis sit ipsi F, aequalem fore et A ipsi Z; et siminot, minon-13m. Si igitur Sint etc.

p 11 0 p10 311.10 xxr. (Fig. 331.) ’

Si sînt ures magnitudines, et aliae ipsis .aequalesmultitudine, binae sumptae et in eadem ratione, sit.

des m(A-f-B)):;(IB, erit etiamn m(C-I-D))::;(I:D. ndeoque(eum) casa 1. cri: A49B:B::D-l-D:D.1 Endem modo de-

1M r tannin-0116:1- o - ., 10101901311161») 011710711 1; 0711011071?» ,-,6Ë001) 6è 16 11907101!

1017 191’101) peîçov 11012 16 11510191011 1017 511101) plaî- ,

fait 601m. 11’171! 70011, 70011,110711 610100011, 119.0100011. .

9 "E0110 19701 paya-’01] 16 A, B, P, ami 072.101 a1710îg

7001 16 nlfiâoç 102 A; E, Z 06.116110 16101901600116 nui 7à! 11,5 0117197 2.671,11, 17’010) 6è 10109017116111] 111710711 156101--

103601, (6011711 16 À 71965 16 B 0171109 16 E 91969 16

Z, 165 6è 16 B 11969 16 F 0171109 16 A 11963 16 E,611*001) dè 16 A 1017 T page»; è’010r 2.6710 611 Mai 16

A 1017 Z MsiÇov 6011111 110711 70011, 7,0010 11611 510111015 ;

37.011101). . 7 I I’Ensi 1’029 ,usîÇ611 73011 16 A 1017 T, 67.10 66116

16 B1 16 A 07901 n96g 16 B ,ust’Çova 167011 5101 177169 .

16 P 11969 16 VB. 242.): 169 111111 16 A 71969 16 B 10171109 16 E 11960 16 Z, 16g 6è 16. T 11969 16 B 6116-» 191011111 0151109 16 E 71969 16 A 1106 16 E 07901 91961; 16 f2711167501101 10’701! 11’161, 67m9 16 E 71961; 16 A. H96:

3 6è 16 01616 "(sigma 1.67611 63161, 61157110 67.010061! î80111" 617.0100011 02’901 6017 16 Z 1017 A ’11eîë611 1’011 07901 i

7 16 A 1017 Z. 70,1101œg 66 601501161 61L 111211100111; .16 A 11,5 Î, 1’001! 501011 1106 16 A 197 Z4) 11071! flan.0011, 310100016 ’EoËv 6’901 19101 11011 16 3517;.

ÏIP OàTAZIIX ufi’.’

’Eâv 61100010171! 11076191], 11017 617.101 01171011 7001916

011171709 017116110 10111601611010 ’31! 11,17 016197 10’119). 11013

617001171511 1917 01611,17 2.6710 501011. ’

1) Rectiua in e Cm]. la. legit Peyrai-dtxs, quumlin E1111.Oxon. et Basil. habsatnr: 6.110113: 61,7 61515014511, 311.1112211i15w’h I

, y ’ 1 . .Yoov’ 6111011611 mît! 10011 9] r6 A 119 T , i001! 5’010; 1101i 16 A 119 Z".

monstratur’, en. ’etiam .Ahl-B:A:Chi-D:C; unde V. Props’18. 30110:1]qu in enunciari patent: si quatuor magnitudinfl

’ LIBEn QUINTDS. 145autem perturbant entum «proportio, EX 3311m autemprima tamia maior sit, et quarta sexta maior en’t; etsi aequalis, .aequalîs ;yet si minor, miner.

Sint tres magnitudiires A, BNT, et .aliaelipsîs se.quales multimdîn’e J, E, Z, biture sumptae et inen- dem rat-mye, ait «autem peaufina eamm pmponio,utrA adrB in E ad Z, in vers B ad Fin dmE, ex aequo autem .4 ipse: T mnicr sir; dico et Aipsa Z maiorem, fore; et si aequalis, aequalem; et si

miner, minorem. IQuonîam enim manier est A ipsà T, [alfa moqua.

clam B; A ad B maiorem rat-ionem haha: quem P adB (V. 8.). Sed ut A ad Byîta E ad Z, ut vero I?ad B par inversionem in; E ad A (Drop; B., -; qua"et ad Z maioremx rationem bahut qnam E ad)!(V. 13.). Ad quam autem eadem ymiorem rationauxhabet, ana minor est (v. 40.); minor igimr est zipsa 4-; maior est igitur A ipsa Z. : Similiter "09mn.demus et si aequalis sit .4 ipsi T, aequalem fore et.A ipsi Z; et si minon minorem. Si igîmr tacs-Verte.-

P B. 0 Il? ’0 S ,1 T I ’0 XX-H: ïFig. 632.)

Si sînt quotcunqne m’agnËtudines, a; aliae «ipsis gag

quillés multitudine, binae sump’ta’e in "eadem ratiche;

et ex aequo in eadem ratione enim.

fuerinr proportionalea, mm: quo’que duamm pridrttm en’t tu!thetirtram’ varan, titi Iumma (111mm posteriorum’erit and un!

hmm, qnae "priori in proportionin nomma. ondine respondets

Cf. Pfleiderer. Il. c. y. 26..., 4I Euclid. marnent. P. n. K

146 - miniaturant]:"E0116 67100410177 parian 16 A, B, 1’, and .6110:

06101: ïau 16 711619019 1d J, E, Z, 06126110 lapât:-916mm: à» 197 096195 lâyçz, aïs p31! 16 x11 n96; 16 B

05109 16 À 7596946 E, aïs 6è 16» B 75969 16 T 017-10: 16 E :1969 16 Z’ 167w 51; au) mûron êv 11,6 616195

k 16793 301m, aïe. 16 4,7196; 16 F 061w: 16 A 71965:»

16 Z.. - . . l ’Ellæitpôm 769 1037 phi J, A ladmg nolÂunÂu’am

16H, 9, To74; 6è B E (3.1qu? ëwxev indus no).-10975160105716 K, 11, mi a; 1671! T, Z6111 a? à’w-

169 iodai; nollunidmœ 1d M, 11V. 4Kal 3716i iêo1w (69 16 A 71969 16 B 061m 16 A

n96; 16 E , ami 50.171109: 19:74! MW A, A ladins 7102.- r,ÂanÀa’am 1o? H, 9, 11541 6è B, E d’un a? 5’111er

6011,th nouanldam 16 K, A1 501111 (2’909 .16; 16 H11963 16 K 0171003 16 9 71969 16 A. Ami 10è 0061661)nui aïs 16 K 4196s- 16 M 061109 16 A néôg 16 N;’Eml 06v 1910; pcyéa’h] ëml 1o? H, K, M, ami 60.7.04

mais î’oœ 16 912215309 6, A, N 0611600 lapflavo’qpava aux) à! 195 006155 lôyço’ 611*000 6’90: et 67159618: 16

H 1m? M, ’Ünrge’xea mai 16 9 1017 N nui et ïaçw,

PROPOSITIO XIX.Symbolice in: si A:B:A-C:B-D, cri; «51:11 A63 l

’.::C:D , nbi patet, eiusdem generis en; magnitudiim A, B,C, D.. ,Addit hic Rob. Simson. laquons Cor. a. Si Inuit,ut ton un! totam, in uhlan ad ablntam: cric et reliqun ad revliquam ut ablata ad.ablatnm,- hoc éuim in il». demonm-adon.onunjum en. mua aunm Corollarium, quedwulgo huit: pro-positioni adiungitur, quodquc, ne quid textui deesse vide-"ntur, et nos in textù posuimm, non hue-paumera, in!) invatiantîbus locdonibus diximul. Legitime hutem mut! de:monlmtum ou infra in Excuuu Id hune librqm .Prop. E.

1.!an çunn’vn. , 4M?Sînt quotcnnqùe magnimdinçs A, B. f, et dîné

ipsi: aequales multitudine 4, E, Z, bîuae sumpnçin eadem rations, ut À ad B ilzi A ad E, ut B veroad F in E ad Z; dico et ex aequo in eadem rationsfore, ut A ad Pità ad Z,

I 1I

Sur-nanan enîry’) ipsamm A, d arque multiplias

H, O, ipsarum veto B, E alise utcunque aulne mm-tiplîcés K -, A, et insuper ipsarum T, Z 11131: utcun-i

que aeque’multiplices M, Aï I. 6Et quoniam est ut A ad B ils-a A ad E, et suin-

ptaeAsuxlzt ipsarum A, .4 aeque multiplîces H, G), ipla.

mm Vera B, aliae utcunque aeque multipliez-s K,A; est igitur ut H ad K ita 9 ad 4,). Ex ea-

6 dam ratione en: K ad M ira A ad N, Et quoniamne; magnvitudïines suint H, K, M, et aliae ipsis ac.quales multitudixie 0, A; N binae sampan; in patiem-ratione; ex aeqùo igitur si. saperait H ipsam M, su-per-al et (9 ipsam N s 6et si aequalis, maquilliez; et-çi :

’ minor, miner (V. 20.). 6E: sunt H, 9 ipsaium A,

PROPOSITI’O XX:mposîrionis bains demohptradongm mugi! explicitant du

dit Rob. Simson., que in hablt: si sir. A:B:.D:E, etB:C::E:F, si: aut’em’ A);e(C, cri: ex aequo D):-;(F-.

151: enim ,1) 4x2, emqu”. A:B)C:B (v. 8.), ndeoque, oh

A:B:D:E, prix etjarp D:E)C:B (V. 13.). A: F:E::,CtB (Flops 3.), adeoque etiam DgE)’FV: E (V. 1.3), undoD)F (v. 10.); sa 2) A-..-.C, «in: 13:17. Nain 0b A;C,erit A;.B.-.C:B (V. 1.). En autem A;B:D:E,.et en;:F:E (En). 3.), mac Ü:E:F:E (v. 11.), adeuqu Dç? (V44 ,), sa: 341c, exit et mon Nam aman l

148 FLEMENTORUM.5,001,161 d 6101101, 610111041. K06 3011 10? fièv H,G 1031! 6A6, A 2005119 71011011260101, 103 6è M 1054;T, Z 67.2.01 è10x00.z’0051:g noZÂanlu’om- è’01w 61’901

05g 16 1.71969 A 061m9 16 A 7196s 16 Z. 659:17; 67100010131, ami 16 551k, 6 6 0

11110 T1212 17’. I’EoÊv 1910 peyéâæy, :106 65Mo; 061d; 3’001 16 911.17-

âoç, 01541600 26013016118001 à! 106 046105 10’750, 6è

18102901710601] 0161071! 6.0500103600 ami 612’000 à! 107 0:1;-

197 16790 6010:1. . " 66 7173010) V1910 110761917 16 A, B, T, au) 6912.01 w6-10îç î’opc 16 flaflas, 061600 lapfiavôpwa il! 105 m]-

195 2.6710 103. A, E, Z, 5010) 6è 15101907111617] 0151077

a; 6704107600, (69 phi 16 A 71969 16 B ohms 16 E 97196s 16 Z, 6è 16 B 9196g 16 F 0171009 16 A 9196916 E° 10’740: 611 60131 46g 16 À 71969 16 T 0171m 16

411969 16 Z. ’ V I l I13111511900 1:54! [un 24, B, A 2005109 71011091160101

103 H, 9, K, 1071! 66 T, E, Z tilla 635101612005-mg 91011017116016 1o? 11,,M, 1V. A . ’

K06 S7151 iodmg 3011 71011002116010: 103 , 9 1071!À, B, 102 6è [41691] 10îç douchons 101101711010!on 16v006164! 6x01 161’040 601w 6’90: 06g 16 A 71963 16 B 017--

10): 16 H 71969 16 (9. dm? 103 006108 60j 10011 c6; 16E 91969 16 Z 0171103 16 M 71969 16 N1 116i ëo1w 46g.16 A 71969 16 B 0610M; 16 E 71969 16 Z0 and (69 07901

cri: C)A. Iam ver?) (P101). B.) est C:Ba:F:E, et B: .-.-au), 0nde, 0b C)A, au un (Cas. 1.) vel D(F. E.dam fac-ruina rem Claviul demonstnt, Vniai quad casant

K

r

nua XQUINTUS. ’ M9 ,A neque multipliçes, èt M, N ipsarum F, Z alise

utcunque aeque multiplices; est igitur ut A ad I1 inA ad Z (V. DeE; 5.). A Si igitur quotcunque en.

P 11-0 r 0 s 1 T 1 o. xxm. (Fig. 333.) l

Si sin: ires’ magnitudines, et; aliae ipsis aèqualea’multitudine, bipae sumptae in eadem ratione, si: amlem perturbata earum proportîo; et ex aequo in eadem

radôme erunt. vSint ne; magnitudines A, B, F, et aliae ipsis,ae-quales multitudîne, binae sumfntae in eadem ratione A,

. E, IZ, sit antem perturbatà earum proportio, ut A a’d’B ita E ad Z, étutfiad Pimdad E; dicofissentAadTitaAgdZ.

Sumahnir ipsatum A, B , A aeque multiplia; H,9, K, ipsarùm vero T , E, Z aliae utcunque aeque

multiplices A, M . N VEt ’quoniam aèque multîplîces sunt H , 9 ipsaruni

A. B. partes veto candem habent rationem quam ea-rum aeque mulüplices (V. 15.); erit ut A ad B itaH ad 0. Ex eadem ratione ut E ad Z ita M adet est ut A ad B ita E ad Z; itaque utIHàd 6M ad N (V. 11.). Et quoniam est ut B ad F Iita A

(miam non au! primum radaciz, 5011 palmer immediua Id-

uruiç: .

.160 * ’rerzmzu’ïÇJnu’zçt

16 -H n96; 16 6 du»: 76 M flQôÇ’Œô N. Kan) au;

3mm «î; 76 B aguis r6 Toôzwç f6 A n96; c6 E,and î) saigna! 1154! MM B,v4 :1011,le nullanléaqa

- 102 9, K , wifi” 3è Î, F 651M, a? 3!sz indus mûr-Slanla’ow roi A, M les"! dieu aïs» 76 6 ngôg ’56 .4,«hm: 76 K ngôç ’56 M. ’Eôslxân 3è. mi uîg 16 H

:1069 56 G, d’un); 16 M figés ni N* Mai 067 qui:psyéây fini, me? H , a, A, mià’Ma mitois ï"0,a .76 ’

nlfiôog, w) K, M ,v N ,Z 00731:0 Âogufiavëpsva à! rugi1674p, nui Garni uüraïæl umgaypæ’myfi (faldimyl’a’

041*001! 01’904 si Ünage’xu 76 H mû A, ônegést-mpi

1rd K zou" N* nui pi ïmw, ïaov’ ami a” élogrvoql,107.. Kou’ écu Ïâ’llzè’l’ H, K raïa! A, :Ëbümg- ne)...

lanla’om, au? 6?: A, H511 F, Z d’un, (Il 5711180,Intime vzoÂÂanÂoËm-a 2)’ lè’àww (2’994 05936 A ngôc- ’06 F

05mm 16 A n96;- àvô Z. l Œdv oïeafi relu, nui-idèâvïc.

1) Lœo corum, quae hic habentur, Peyrardus a Codd.a. c. d. longe prolixius et manifesta erronee .demqnsttat «se,

du 9 ad .4; in K ad M. Nemp’e ex en, quad B: Î:J:Ecouinait, esse ’alterne B : 4-;I’: E (V. 16.). A: 13’: 4::9:K(V. 15.), adeoque FzE:9:K (V- 11): au: .4:.M:F:E’(V. 15.), adeoquc 6:K;-.-.4:M (V. Il.) ç! itetum ahan!9:4:KzM. ln veto propositio locum tantum baba: vide-t’etur, si magnitudines A”, B, 1’, et reliquat! A, E, Z fue-Ifint omncs einsdenî generis, quad longe accus en. . Reszùùiemus izaqqelocum, ut est in erî. ’Oxoniensi. Ed, Basileensisin loco, du nô Idiïp’ulàmns, (mm Oxoniensi consentit. Po-’Jgea autem a sarde eadem addit, quae vix e Peyrardo aux;

xmus ’2) "Âllni, È gnan, l’anime noÂÂanÂtiam. vertu. que«nonante Rùb. Simsohz omruuo necessaria mm, eum; uneCodd. auctoritate nddidunus.

PR 0P O S-I.T.IO XXI.Raids quoqua Propositionis demonstrationcm "agis (à;

plicita’m (ioder. Clavius et Rob. Simson., aimileni promu cit

Luna.quxxrva. Z 151ad E, et sumptae eum ipsarum B, A aequemultîplicel6, K, lpsarum F, E autem aliae utcunque aeque ulul- ’vtiplîces A, fil; erit, ut 9 ad A, in. K "ad M (V. 4.).Ostensum autem est, et, ut H ad se, in «se M adN 3 quoniam igiturvtres magnitudines saut H, 6, A,et aliae ipsîs’ aequqles multitudme K; lui-N, biqueaumptae in eadem tatione, et est earum perturbatn .prpportio; ex. aequo (V. 2l.) si H ’superat A, supe-

rat et K ipsam. N; et si aequalis, aequalis; et si mi-nm, miner. Et suqt H, K ipsarum A, A nequemultiplices, A, N vero ipsarum F, Z; alia uçcuuque.aeque multiplicia; est igitur ut A ad I’ ira A ad Z(Y; Dcf. 5.), si igitur sin: ces etc.

quant in proposition puma..." vidimus, lande tuile in.

derivlbiçur. , ’PROPOSITIO XXlI.Expreesis guident verbis in textu graeco hues pr0posiüo

demohstrau tantum est eo casu, que sunt ne: mlgnitudinol,a: alise ’igsia numero aequales, Ramdam autem valeta gone-nliter, ut in emmciato propositionis napel-kat, eadem rationdemonstrari potest, m: monuerum; Campanile, Claviul, Rob.Simson. alüque. Nempe si sin: quatuor magnitudinesZA, B,C, D, aliaeque ipsi; mimera aequales E! F, G, H, eitqueA:B.-.:E:F, B:C:F:G, C:D-:G:H, criteA:D:E:H.Quum enim ’pro 115qu magnitudinibuaiam demonatrâtum ait,

esse A:C:::.E:G, et iam denuo sil: C:,D.-..G:H, res paria!redit id ne: magnitudinu. A,.C, D , et totidem une: E , G,

Il. Alguefin guiper, si tu denionstran fuèrit pro m mn-gnitudînibul, inde demomlnbimr pro (In-In!) magnitudini-

but, edeoque demomtntio est granulie. V

152 ELLMEN’IORUM t

IIPÛTA 212 .317.. ’Eoü! apôtre» made 88613901! 16v imite» En Myov

fiai zpizov êtgôg- rétama? , à?) 3è mi négaton! suçât:chéneau! Tô’ll ufiiôv Myw aux.) 51110? n96: rèvggtov*

mi 6117159351 729151071041 trépana! ngôg Jeunet»! Ida)«1h61! sien léyow ml 190’701! nui Survol» 25969 Té’BIXQIO’V.

1 ngîrzoæl, 7&9. mi A]? n96; Ûeüegw, ’56 F T611 a1;-æôv gym , 10’701! mi 19H04! .73. JE 5596s. ræ’wïzg’vw 176

Z° fixa-m 6è aux! népmov zô EH 91963 (humage? cdF qui» «:6161! 1.67m! and 5mm! 16 E9 71969 157419191!176 Z’ Âëyw. (in au») owzeflè’v- flQUÏ’FO’H ma nélznrolr

16 AH 91969 3615159012 tu; F 161! m1516? 5’561 2.63401! zai-

TQIITO’II’ËOAÏ ëmow ’56 J9 figés cément! 16 Z.

’Enu’ 2’069 361w ois ’06 EH ngâg 76 F 033’ng 1:6

I E9 ngôg T6 Z; (humain! 02’904 aïs 16 F 715965 t6 EH01??th a; Z 11.969 m6 E9. ’Eneè 0511 Ëozw aïs me;

JE n96; a) I" 013’sz 16 JE n96; U6 Z , aïs à" 76I T ngôg a; EH bâta); zô’Z ngôg ’56 E0 ôzïqov d’est

Écrit» aïs 16. AH 2.969 16 EH où’æwç 16 JE vrçôg m6

E9. Kœl fini âcyg’rjlm’voa 9.87.934] dvoëloyo’al 3mn, ami

ovweüe’wop 0511051011011 émut? è’ow 02’964 aïs 16 AH m1133

Cor. Spomg inde fluât, rationna) aequalium duplicatpe,triplicatas. etc. etiàm aequales- esse (Baumnnn.). Nempe, siA;B:;.B:C, et P:Q:Q:R,l sitque A:B:P:Q, erit et (V.Il.) B:C:Q:R, lande ALCdtfi, et similiter de triplicataratione’etc. me demdnstrabitur. (Conversam- huiuevide in

lExcursu ad Prep. m.)

m1101, o s [T 1 o» xxur,Hum: quoque propositionem valerc de quotcunque magnir’

tudfnibus, quamvis in textu grues non un: generaliterx ennu-

tanna emmena.- 153p B 0 P 0 s I T10 xxw. (Fig. 334.)

-Si prima ad secundam eandem habeat rationemquam tertia. ad quartam; habeat autem,et quinta adsecundam candem rationem quam sexta ad quartant; ,et simul sumptae prima et quinta ad secundam eandemrationem habebunt quam tertia et sexta ad quartam.

Prima enim JE ad secuudam I’ eandem habeatratibnem quem tertia JE ad quartam Z; ,habeat veroet quinta EH ad aecundam T eaudem rationem quam.sexte] E9 ad quartam Z; dico et simul sumptas p15..mam et quintaux) AH ad secundum F eaudem habi.taras esse rationeni quam tertia et sexta J9 adquar-

tam Z. .Quoniam enim est in: EH ad T ita E9 ad Z;d per inversionem erit (Prop. B.) ut ad EH îta Z

ad E9. ’Et. quoniam est ut AE ad T ita JE ad Z,ut autem P ad EH ita Z ad E0; ex aequo igitur estut AB ad EH ita JE ad E0 (V. 22.). Et quonîamddivisaewmagnitudines proportionaïes sunt, et compo-sitae proportionales erunt (V. 18.); ut igiturIJH adEH ira J9 ad 0E. Est autem et ut EH ad.T.ita

data sût, similique ac praecedentem ratione demomtrari, mo- (nacrant Campanus, Clavius, Rob. Simsôu. aliique.

PROPOSITIO xx1v;Huic propositioni Rob. Simacn. sequentia addit corollaria:Cor. 1. Manente hypothesi propositionis, erit excellas

v primae" et quintae ad secundam, ut exceasus tertiae et seine5d qu.artam. Demonstratio eadem est eum demonstratione pio-

. positiorîis, dummodo vice componendo utamurddividendo.

a ,1

1514 taillada-cavai.16 EH 61716:9 16 J9 11969 16 9E. "E01; di- zaï aï;16 EH 11969 16 P 0171m 16 E6 196g 16 Z’ 6112101:dieu émia! 6g 16 JH 91969 16 F oïi1wg 16 J9 91963

’ 16 Z. ’Edv 659171905107, ami 1d «65173.. - d

HPÛTJ-ÊIZ né.’Eoîali damages flafla"); dya’ÂoyoæI 7;, 16108710101! ami

16» iléxtœov 660 1051 10151151! [tutoyé 501w. Il

"Etna; finança 51.575197] 0570007011, 1d JE, TJ,E, Z, 95g 16 JE 71969 16 TJ 061m 16 E ngôç 16Z, 5011:1 dé 1145710104! ph! «6161! 16 JE, êldxtnov 6)

16 Z- 2.5746 61; 16 JE, Z 1151! TJ,’E (tutoyé 301w.

Kelaâw 769 11,6 ,uèal E ïaov. 16 JE, 195 6è Z

Tom! 16 m. V . à’Eneî- 0171! 501w (69 16 JE 71969 16 TJ 0971m;16 E 71969 16 Z, î’oov 6è 11,6 pèv E 16 JH,’«155 dl

Z 16 I’O’ 501w c’z’ga’aîç 16 JE n96; 16 I’J 0171m

16 JH 7156; 16, T9. K06 ënu’ 501w 055 610116.JE ngôg 6’101 16 TJ 6171m dtpwçcfièv 16 JH 9196;âçoœtçeôèv 16 TO’ mi lama? deo: 16 HB 7196s 2m-

,’ v-n6v 166J E0105: aïs 6’101 16 JE 71969 67.04: 16 TJ.

Neige? l de 16 JE 1017 TJ’ ,peZÇoyo’ÉQa au! 16 H31017 OJ. Kaî .3718) 1’091! 301i 16.11351 JH 19? E, 16de P9 196 Z’ 16 02’900 JH", Z ïaa 13012 1oîg F9, E3

Km! inti, 561! timbale î’au ngqmeây’, 1d 61a! âme:

sCor. 2. Ipsa autem ptopositîo vera est de quotcduquemagnitudinibus. quarum prieras ad communem eecuudam en-

Îdem bubon: rationes, quae habent reliquae ad communem quar-tnn’, singulae 50.- pliorum ad secundam, enndexfi, qulm’sin-

v gulae reliquamm adtquartam; ut patet. (Nempe, si A:M:.-LEN, B;,M:G:N, c;M;H.N, ED;M:1:N etc. erit

t

.

un" quantum. I 155EGIad Z; ex aequo fgîtur est 22.) ut JH s ad I’ t

l in ne ad Z. Si igitur. prima etc.

’p n o po 31110 -xxv. (Fig. 335.)L Sidquatuor- magnitudines proportionales sint, maxima

et minima duaLus reliquis maiores simt. VSint quatuor magnitudines proportionales JE, PJ,

. E, Z, ut JEhad T11 îta E ad Z; sit autem maxima.quidem- ipsnrum JE, minima veto Z; dico VIE, Z

, ipsis FJ, E maiores esse.Ponatur enim ipsi E aequalis JII ipsi vero Z ac;

qdalis To. -Quoniam igitur en ut JE ad T4 in E ad Z,’.aequalis autem E ipsi AH, Z veto ipsi F0; est igi-sur ut JE ad’FJ ita J H ad F9. Et quoniam est.ut tota JE ad totam TJ îta abîma JH ad ablatamTo; et reliqua 11E ad reliquam QJ etitlut tata JE ’ad totam TA (V. 19.). Maior autem. JE ipsa TA;major igitur et HE ipse GJ (Prop. A.) Et quoniamaequalis est J1] ipsi E, F9 vero ipsi Z; erunt JH,Z aequales ipsis F0, E. Et quouiam si inaequalibuaaequalia addantur, tota inaequalia sunt (I. 4.);eum igiturt H5, QJ inaequaüa sint, sitque maîor

atiam .4434.qu etc. :M:F-l-.G-.i-H-4-.I etc. :N, valetiam excusas quaruudam priorum super reliquas prierez adsecondai-n, ut similis excessus teliquarum ad quantum v. 0.1A-f-B-i-C-D : M:.I’-l-G-!-H-I3N, and A-l-B-C-D 3M:-

F-i-G-H-laN etc.) e »

156 stemnu’ronum"intis" 3d? de!» 103W HE, OJ dation»! 6711011, ami psi--

CWOQ un? HB, 11,6 pic! HE mmgnây" 16 JH, Z,«’6’. 6è GJ nennsâfi 16 T6, E, 6111675164 1o? JE,

Z palma vair TJ, E ’Ecîv aigu zincage, and 102

. a gifla . h vPnorosnno XXVÇOburvante Rob. abusons, si aumitur, primant quatuor’

magnitudinum proportionalium maximum esse omnium, sponte, sinde duit ope hop. A. et V. 14. quartam «se omnium mi.

i

nanan qum’rùs. 157F3, nui addantur AH, Z, ipsi vero’ 64 addanturT9, E, fient AB, Z maioies ipsis T4, E. Si igi.tur quatuor etc.

nimam. (hem-nm au!) linon! 1min: libri 30h Shannon. quatuorIdhuc addit propositiones. F, G, H, K, qua! non «mon!!! ’in Excurlu ad librum V1. M. 9. 10. 15.

EITKAEIAOT.1.2 TO 1X E1 92V

13113111037 EKTON.

"O AP 0 I.

a .d, Open» enfilant, w’âüygappé 307245 3m flic te

(«"1ti î’aocg 5’15: nard yiav, «ai 1&9 flapi tu? ïoac

ywm’uc nlwpdç 021105107011. I L (3’. ’AthnoæIâüœ 49è (mégotai êmw, 6mn! inca-b

tëçcp 106v appétant]! iyov’pwoi Te ami 3710214670; 16a

font 1J aïeul.

A!

y

1) Édith) Bali]. et eum ca plurea’Elementorum edîtîones.qune toxtum graecum defmitionem et enunciatorum prqpoaitioanom habent, nominatim Orontii Fineii, Ioach. Camernrii,Scheubelîi, Pelctarii, Daszpodij habent 10’701. Endemîlectioest etiam in excer ci; 5’»!ko zou "flemme n59! ira?” 11’: yangs-arelu: infinitum a nsypodiq editis Argent. 1570. E . "Oxon.legit 39m, quam vocem etiam Pur. Ramulgponendam puti-

,. vent. Confen’ntur lumen, que Id V. Dcfin. . de soriore un:vocis 390; dicta mm. Candalla iam quapicatua cm, Iegehdumeue 167ml, quam lectionem Pe ardus e Cod. a. etuit,’ et incd. Patin. panic. Quod ex guanine seulentia in intex re-nndum crit, utramque fi unm bimmm rationum antecepns,et manquons compreben ere: IciliCet antecedens primas etconsequens "cumin ad priorem, conuqncm veto primae ctantocedans ânonnant rationis au] steriorem fi nrnm patinera(lobent. Pflcidorer. 80h01. in La ’I. Elem. ê27-162. ForteIegenda fumât "nuque vox: 1.670» 5905, au: potins: 1Ïyoüpwa’

n tu) inégaux un". A , ï ’

z

EUCELIDIS

ELEMENTOBUMLXBER SEXÀTUS.

QDEFINITIONES.

1. Simîles figurée rectilineae eum, que et singulouangulos singulis acquales habept, et circa aequalee In-

gulos laiera propoftionalia. .2. Reciprocae oautem figurae eum, quando in unaque

figurarum antecedentee et consequmtes rationum 531m.z

DEFlN. I.Austin. contra hune definitionem manet, non and!!! pp-

tere, un sima! consistere posait in duebul figupis rectilineip rmatu: aeqmüms a’ugulomm , et prOportionnlitaa Interum dropEeqmles angulon. Atque in haec definitio ponenda au: «Mmexplicanda foret detnum post V1. 4. Al, quum in fuguât re-gulu’ibue, qui; libef quartas descfibere (lacet. mutua 3": ne-qudins angulorum, et proportionalitu laterum locum ’habeu,si figuue istae eundem numerum’hterum haBeem. excmplum

cette eiusmodi figurerum promu, nec quinquam generaliter u-. Heure parait, esse jam dindonna. Et, quod.Pfieiderers obser-

var, (Schol. ad Libr. V1. Elem. Euclid. Tub. 1800. eqq. S.397. lue [tempe scholie me integra, ses! slltim ad j. 238.

160 . BLEMENTORUM7’. "dupai! and pâmai 10’705! 515mm TEŒÀHQÎO’Ü’ŒL lé-

ysrcu, liron! y, (59 û 6’17] ngôg ’56 MeîÇoerpnîm 017-

cœg r56 ,ueÎÇMI ngôg cd 510500011. * ’6’ Il" T4109 êwi méfies olfiua’rog o; (inô mis xoqunîg

êvü niai fléau! Mena; dyogcëmy.

liman rpublicnm viderunt, integra [amen in. scriniis suis eh;borna habuit hennis auctor et benevole ’mecuru communica-

vit, unde, ipso permittente, nonnulla in nostrum usum con-vertimus) Euclidea rectilineorum similium definitio ipsnm com;munem similitudinis- notionem (quae lineamentorum similemsitum ac proportionalitatem requin-if) ad il]: àdplicatam et 1c.-curate duel-minutant sistit. Et Euclides. codem huonente, de-nominntionem similium lriangulis. in VI. 8. demum applicat,poatqunm in V1. 4-7. aequalilatem angulorum ac proportio-nalitatem laterum cirez angulos aequales. non solum semai-alitercoexistere posSe, Sed sub quibus conditionibus reapse coexi-nant, ostenderat: hum rectilinea universim , que iuxta suamdefinitionem similie dici passim, in. VI. 18. desctibere docet,mlequam ad propüetates corum discutiendas progrediatur. Cf.Phil. mathem. Abhandl. (on Kîîstner und Klîigel. .Halle 1807.

p. 15. sqq. Ipse Austin. contra similia triangule ea esse (Heinin quibus anguli unius eequales eum: respective engulis alte-rius. Similes autem rectiljneas figuras plurium quem miam lir- ’

, terum eu esse dicit, que dividi passim: in aequalem numerum ’triangulorum similium, eimiliter positornm. Cil-ca ha: Austinidefinitiones Pfleiderer. L c. observat, definitionem triangulorumsimilium communem figurarum nimilîum norionem non exhau-rire, et demum adiecta propositione V1. [leur]; exhauriri. Crie;terorum veto rectilineorum defi’nitionem Ausünianam, eum et

multifariam en passim in triangule dividi, et, quid bimilillriangulorum au" involvat, ab annote non fleclaretur, "sur:

et ambiguam esse. Praeter necenitatem igitur, ,nec sine in-commoda, uni Hefixütioni du" substitut. . .

. D E F I N. n. .Rob. Simon.’observat, definitionem non vidai Eucli-

p

LIBER se’xITus. ’ 161

3. Secundum extremam et mediam rationem. rectasecte esse d7icitur, quando eSt ut tolà ad mains segmen-

tum itapmaius’ad minus. .2. Altitude est omnis figurae a vertice ad basin

perpendicularis Hum. s I ’.

« ldia esse, ses! cuiusdam imperiti, quum au": figurarum rcoi- Lprocarnm mentio fiat ab Euclide, nec a quoquam clin geo- ,mette, et defiaitio practerea obscure enunciate sil. Ipse au-tem Simsou. clarius eam in: (exhibait: ,,re4ciprocno figuras,triangule se; et parallelogramnn sunt, quando Icirca duos au?gaies leur: ifs suer pr0portionaüa, ut latusi plimne si: ad la-tus Iecundae, ut reliquum secundae lattis ad latus reliqunmIprîmaeft In adiectis deinde nptis aliam generaiiorem vice cius

- posoit, nempe ,,duae màgnitudinea dicuntur reciprdce proporhtionales duobus aliis, quando site" priorum est ad alterna 110-;steriorum, ut reliqua posteriomm au reliquamtprioxjum.fl Sim-sonis iudjcium de Def. 2. confirmat Pfleiderer. Sahel. ad Libr.V1. Elcm. 5. 152., du’m observa, Prop. V1. 14., V1. 15., XI.Mucha. nonidicere,réninsnrwâéra parallelogremma, triangule:etc. sed : 07v ininmurôwûaow ai «lamai u. r. Â. , quarum for-mulatum sensus praeterea in singularum propositionum anonechtione V1. 14., VI. 15. etc. diserte indicetur. Caeterurn Pflei- -(leur. moues, Rob. Simsonis definitionem, perse ad quatuorhomogènes magnitudincs restrictam, ad salas libri V1. pro-

pïitiones quadrate. *i ri sDËAFIN. 1V;

Pileiderer. in Sahel. 5. l. observat, banc definitiOnem nongenuinam eue videii,-Icum in parallelogramnia, parai-lelepipPerla, .prismata. cylindres, quorum altitudines in clamentiscommemorcntar, non quark-et... Praeterea eam deesse in ver-sion; Campani; nec Proclam éd -I. 38. oins rationem barbue».Nempe laititudo in figura rectilinea non absolute dicitur,.sed

semper refertur ad aliquod [igame lattis, quad pro basi sami-Vul’,i Cl signifiait maximum perpendiculum, quads pulicto

mais. Element. P. n. L ,

I

t

162 ELEMINTORIJM.é. (,46on ën’lôyuw wyxsîaâm Àëyemt, 34m4: aï

un hijabs! animâmes 89’ sautois nolÂan).aowaz96îom

notarial www 1). A v tH P O T A Z I MS à.

Toi roiyàwœ and sa? nagauozlâygappœ, qui 6nd m6I 401:6 171m9 15m, 71969 âèlqzoï’ëœw (Je ai fiducie.

, "Etna: soûlassiez ph! se? a4.311, AFJ, .nagallæylo- n.19644400» 0è ce? , T Z , 6nd ’06 MÏŒô Jules ô’wœ, V

nia! dm; mon? A éfll mais! HA unifierez! âyope’wjr 3.67mdu 501141 aï; 95,31" fichus 7196s ’MÎ’V TA fléau: 017w»;

r6 vçtfilwwo’y ngdg 16 vAFA 191771941011, and.tu; ET nuèœM’Ijlo’yQaMww 759695176 TZ nagallæjlô-

youppo’y. V r’- ’Enflefilq’afiw 7039 a; Bd Ëtp’ 515053891» sa? M97], 5’911

mât 9, A amuïes, ami usioâmoow Œfi [Là-w Br fléauïoou Lôoazdîinotoüv a1 EH, HG, ni d’à TA fléau itou

ôoacdmo’roüv à: VAK, KA, «ou êneÇeÜxômoow ai 11H,

.49 , AK , .411.me. ênsî ïocu son. ai 1’B,vBH, He miam,

ïou 6’011, ami se; AOH, AHB, ART Œgîywwa cilloi-

1) Hem: definitionem quintam, quae apud Peyrardum de-eSt, a: ipso teste in omnibus codicibus (quanquam in Cod. a.tanmm in margine) reperitur (niai. quad pro ami legunt tu.

, mie) ex ed. Oxon. hue reposuîmus, non quad ipsam gantai-nam eue utaremua, aed que mehua ea, quae vn-i docti deV1. 5. Dell.) disputant, intelligi passim. Campanule hem: «lofi-nitiOnem’ non habet. Ed. Basil. pro uni, quod Oxon. habet,legit couic. Vide caeterum Exclu-e. ad finem huiusqlibrL. .

aliquo figurao in hoc lama demitti poteau Iam veto vol unumaliquod figurae punçtum ab bac baai mugis distat, quem re- Il«liqua lignine puncta quaecunque, et tum perpendicnlum ab hocpuncto in basin demiunm altitudo lignine, quatenua ad’hancbasin vrefertnr, vocaux"! vol plura figura panera unam un. ’*

Luisa SEXTUI. 163l(5. Ratio ex rationibus componi dicitur, quando i

rationaux quantitates inter se multiplicatae iliiue fadant’quantitaterù.)

PROPOSÎTIO 1. (Fig.373.)Triangula et parallelogramma, quae endetta altitu-

tdinem habent, inter! se sunt ut bases. vSint trianguia ART, .4121, parauelogramma veto ’

ET, T’Z, quae- eandem altitudinem habent, nempeperpendicularem ab A ad Bd duçtam; dico, esse utbasis ET ad FA basin in triangulum ART ad trimagolem AFA, et parafielogrammum EI’ adp’parailelo.

grain’mum rz. t i iProducatur enim Bd ex attaque pain-te ad panet:

9, A, et ponantur basi ET aequales Iquotcunque EH,. H9, basi veto TA aequales quotcunque 21K, K11.

et iungantur AH, Je, 14K, AA-

Et quoniam aequales aunt 1’131, EH, H9 inter se,aequalie sunt et AGI], AHB, ART triangula’inter

demque inter se a hui distentiam habent, adeoque 1. 34. Cor.4. in recta baai patafiola site sont, en ipaa distantia a baliautem, maior est quoeis perpendiculo ex alio. quocunque ligninepuncto in banc basin domino, tut-n iterum communia illa pun-etorurn a baai distende eel perpendiculum mains quovis alioa reliquia lignine punais non in recta ista balai paralleia sidademisso altitude figurae ad banc basin relata vocatur. I laquein triangule quidam perpendieuluan a venise in oppositam ba-sin demiuum, in pareillelogrammo autem perpbndiculum e

ipuncto quoeunque rectae basi parallelae in basin demissumsi: altitudo lignine, quatenua ea ad banc basin refermr. Quum iigitur dune figura inter eadem truandas constitutae tint,

r

164 - ’ BLEMÈNTORUM101;," gîodnlwiwv à’èœ émia! 1j GPfirz’atg "Hic ET flé-

cewg ,r moowwnla’aw’v ému nui r6 AOF tgiywvov mû

ABF rgzyufvov. la)? 103 min? âmnlœalwv êorà’v , ,TA flânas twist FA 130505199, coauwanla’mo’zl écru ami

me; AAP ægiywvw 3:06 AFA æçzyobv’ou’ tu) si 1’01]

Eddy ci 9T [Mots ni T11 fléau, i’oov Servi ml fuiAGT wçîymlov fifi ÀJII’ wgzyw’yçr "and, si Ûnagélu a;

911 fid0lg mais. T11 fldoewg, Ünegéxu agi 16 [191’195-

"yowoàl «par? A1117 zgtyaîvov mi si accolai, ê’laaaàv.

Teôaoîgaw. 4M 611va pasysâaîw, (Mo ,uèal fléaewv raïa!

Br, FA, (Mo 8è 19;)!de maïa: ABF, AFJ, aï-Âmwptr 1’095ng àollœmïdam flic, phi B1" fidosœg ami

TO6 ARE rçtyw’vov, 7ÎT8- 0P flétris mi cd 119F rugi-

7owoai’ flic 8è FA fidaewg mi TOÛ ÀFA mgzyaîvoucilla (3 5171151! îadmç noÀÂanla’tna fin F11 (3050:9 ami

16 ÀJIÎ. zçlywvov’ mi dédaimm au si ânegëxé’a ri

61". flétris mis; TA fidaswç, finsgéxel nul cd 2491",œplywvov 106 1111T rgzyw’wo’u- nui si fan, i’oov’ ami a”

,êîanwv, glanai" 501w taïga (fig 0; BI’ fidmç nçôç

min! TA fléau: 013’in 16 ABF 1917021101! 719654 16,412!

191’7wvov. ’ î - - L t Kali 3755i mû MW ABF Tgtyw’vo’v ômÂoz’mo’v ému

twÎ nagaÂÂaÂo’ygamuow, ma? 0è AFJ Tptyaïvoilâtnldozo’al êmz (a) ZF nagaÂÀnÂo’ygalmov, roi (il

eaudem ahitudinem lnaÉent,’et vice versa Cor. ,5. et I. 54.

Cor. 4. . .-D E F I N. ’ V.

De hac definitîone vide Excursumk sub*finem hum: libri.

PROPOSITIO,I.0bs.*1. Demonstratio liards priori: supponit corollarîum

3x1. 38. deductum siînile corollçario A2. ex Prop. 56. dedacto»

une; ssxrus. 165se (L 38.), quam multiple); -igitur est basîs 91’ ipsiusBF hasis, tam multiplex est et triangulum AQI’ ipsiusJET tiiangtüî. Ex eadem raflent: quam.mu1tiplex estbasi’s FA ipsius FA balais, tam multiplex est et trian-gulurri ÀAF ipsius AFÀ trianguli’, et (I. 38.) si ae-’-

qualis est ansis 61’ ipsi basi TA; acquale est et triéÎangulumàzAGF ipsi triangule AzlÎ; et si superat ba-lsis 91’. ipsam bâsin FA, auperat çt triangglum AGF

ipsum trîazngulum A111"; et si minor, minus. (2111.mon" igitur existentibus magnitudinibus, duabus quidebasibuà BF, FA, duobus vero triangulis ABF, AFA, sumpta sunt aeque multiplicia basîs ET et trianguli. -1B1; ipsà basis 9T et triangulpm AOF; basis .veroT Â et triangnli AIZ alia utcunque aeque multiplicia,hagis PAIN: triangulum JAR Et ostensgm est sisapent basis OP ipsam TA basin, superare et nian-

. ggllum AQT ipsum triangulum .AAIII; et si aequalils,aequale,’et si mino.r., minug; est igitur, (V. Def. 5;)ut basis BF and-basin I’dîta’ triangulum ABF ad tri-

.angulum API. . I . ’

Et quoniam trianguli ART duplum est parallelo-grammum EF (I. 41.), ipsius vero triangulf 11121duplum est parallelogrammùm Z1”, paires autem èanflem

quad Inviter 10mm. habeie dikîïnus ad I. nempéïrîàïïguh

in iisdem parallolis constitua, c’ed super basib’us inaequalibùs; .

inaequalia esse, mains nempe illud, ’cixiuàbauis maior sir. Cf.

Pfleiderer. l. c. 5. 4. l l a -Obs. 2. Quamvis autem enunciaïum prppositionîs et e15:-iposiu’o nappons! triangula et parallolognmma invicem 130x11figna, super buibus in directumîqcentibus constituta, et qui-

. I Idem m adiécto schemate ad opposnas partes latent communîs

o

166 zLIMINTbnàm 1l p.591; 5619 «badinas noÂÂanÂowlotc 1’61! «15161! ê’xs: 16-:

J101" 5’01sz taïga de 16 ABT rayonna! np6c 1:6 AH!rrçl’yawov dans 56 ET nœgallqlôygalzmovwgôç ’56

ZT . waçallnlo’ygamwwp ’Eml 0137 êâsl’zâvj, (561i

pèv .BT fidmg 71969 1:67 Tl ohms c6 ABT ægipa-ww n96; I6 ATA wglywyo’y, (Je 6è 16 ART wçîywvov«969 76 ATA vglymîv 013’sz 16 ET nœçaÂÂqÀo’ygap-

"in! lngâg 16 ZT -napaÂl1;Âôyçu,u;wr’ fiai 0;: (i905 fi

ET fichus 91969 17,31 TA fla’ow 017th 16 ET napal- 6Âyl6ygappoy n96; 16 ZT flâgalî.’l;).6ygœp;wv. To3

6’96: zelywm, and tu? êëfig. 6

116p o TA 212 p”..ÏEoËv zgtyœ’axov nagé ,uz’ow raïa! niabga’iv 6’197; mg

y - a I - 6 .. r . rcalifaux 1),-owalo;lov trapu mg zou rrçlyowov vuevguç

a V 4mû Mal ai mon zgtyw’uov nlwgai 03110510707 noyüwaw,a; êni fuis ŒOMOËQ êmÇwypë’w; EÜ-Ûeïa 7m96 mit! lm- 6

77’)? 50m; torii cgzyuîvov Yzlwgu’v. ’

,1) Edd. Basil. et Oxon. hic et au!) finem propositioniladdunt nagéünloc. quam vaccin, 411mm in n’açà hm cantioneatmj, ex fide Cod. 1.- eum Peyurdo omisimus. ’

delineata, demonstratio ramon ae’que pet-Liner ad trianguln etparalielogramma aeqqalium ahitudînum: quibus ira disposizis,

,ut bases illorum sin; in eadem recta linea, et figurera igue ad’easdAem bains. Irectae partes recta par varices triangulorqmduaux ci, in qu. bases sunt, fitlpargllela (I. 28. I. 35.);Ipa-ràlleÏogrammorum veto huera basibus opposita in eandem in-cidunr rectarn, ci, in qua bases sunt, parallehm (f. 28. I. 35.)..Quarç .triangula adam et parallelogramma aequealta" saut mibases. (Pfleiderer. l. c. M. 5-8. Rob. Simson. Cor. ad VI-L Cf. demonstratio et figura ClavÉi; et expon’tip Procli ad

.I. 53., qui in habet: 16 (1616 3500: 06631! ÜLanÉpei" 1’) à m3«ôtais Juan nueaÂÂIilmc. 1167m flip tf2 à: faÎG ahuïc’ô’na.

x

)

i

l

Mute: nitrura. I . 167habent rationem quem earum aeque multiplies! 15.);est igitur ut niangulum JET 1d triangulumt ATAira Iparallelogrammum ET ad parallelogrammum ZT.Quoniàm igitur ostensum est, ut buis ET ad basin’TA ita triangulum 1113T ad triangulum ATJ: utautem triangulum ART ad tfiangùlum ATA ita pa-nnelogrammum ET ad parallelogræimmum ZT; igîtur(V. 11.) balais ET ad basin T21 ita parauelogiammum.ET «il para’llélogmmmum ZT.’ Ergo triangularetc.

PROPOSITIO Il. (Fig.338.)Si uni latërum trianguli paraHela ducatur quaiedam

« recta, illa proportionaliter secabit trianguli latera; et!si trianguli lattera proportionaliter secta fuerînt, recta.sectiones conîurigens relique .trianguli lateri parauela

erit. h y "mapaüüozc 151:6 16 «5:6 Surf» 31,009, mziâvumilw. "W0: 7&9

301w a; 87:6 1:17: 51590:: naguürjlov 11549610: 6’711 "in 10min

Ohs. tir Propositionea I. 55-58. theoremate V1. 1. qui-dam comprehenduntur, (cd, cum huius demonat’ratio ilüsknî-

,ntur, noix simul eum hoc un; stabiliri demomtratione dici "ponant, qunmvis Produit l. c. contrariait) usent. Pfleiderar.

l. c. 5. 10. VObs. 4. Parallelogramma et triangula rectanguh, quao

unum Iam: circaIanguluin rectum commune, vel aequale ha-bont, [eue ut altera ipsorum. lutera cires angulum rectum, u-serto generali’ V1. 1. et LObs. 23 contînetur. Hinc paralleloxgramma etttriailgulax priinu’m rectangula; mm (I. 55. I. 57.)quaeliBetsuper eadem Ve] nequalibul basibus commun, suint tmi altitudinea. Quod ipçum Clavius simili mode infert , Com-mandinus P olixius, nçciegiüme dedanit.’ Pfieiderer. l. c.M. 11. 12.

168 I ELEMEN’ÎORUM

Tgiyduov .769 vos? [ART «.9022»;on mg? En?»711809631! in]: ET 67’100) AE’ Âéyœ au être.» aïs q:

Bd ngôç mima» .414 01’110); si TE aède mir E4. s A’Emçædlôwocw 7&9» ai RE, T21.

710w dé son m6 34E 191709001! 1’97 T4E zpryw’vgu,

I 3512.7039 zig mimis (90506169 ion vis 4E mi s’y rais.mima-ç nagallfi’êmç mîg 11E, BT. ’A)J.6 dé et r6

14E zgl’ywvow moi dè fait noôg t6 «rhô 167.05676118’13: 167011. 501w à’gœ’ (6g r6 3.4173. ægiywvov neck m6

AJE Tglycgvov 017er ’56 TAE Igl’ywvov ng6g 16AAE vçlywvov. .1111. (69 pin! 16 BAE ’rtglycôvov

i flgôç 16 114E O’Ürwç 1; Bd 75969 tufs! 44’ 43716 31029

A Obs. 5. Ea,- quels Obs- 4.-àd initium dieu suntgleoni-plectumur Lenimata Elem. libre X. vulgo inserts, nempe anteX. 25. X. 52. Lemm. 2. ante X. 31. et Lemm.’ 3.411110 X. 54.

Pfleidercr l. c. 5. 13. i ’- Obs. 6. Per deductionem ad impossibile similem ci,que demonstundis I. 39. I. 40. ndhibetur, facile demonman-tut V1 Prop. 1. esObs. Q. et Obe. 4. conversa: nempe tri-

languis Ier parallelogramma, quae sunt inter se, ut bases, ae-qnalcs habere altitudines, vel eaudem; et «pas; xsùnt’inter se,

lm altitudincs, (tequilas habere bases, si unam et candela non19m.... caïman... 1. c. g. 14. Clavius, sliique.

PROPOSITQIO n.Obs. 1., [n Bray-2. sumitnr, rectum , ème basi trian-

gtlli ,pqrallela mafflu, necensafio convenire eum rendais lri- .-.auguli,lateribus ipsis sut pi’oduotis, quod quidam unecessu’ior

.fieri palet ex I. 29. C0115. Cf. Pfleiderer. l. c. 5. 15.0 bs. 2. Ex VI. Pr0p. 2. quod nempe si: BJ:JA:TE:

r i111, sequitur miam, esse inverse JA:BX:EA:I’E (hop.l B in Excursu ad, Libr. V. Blum.) et compoqendo (V. 180248 :

I’ (’33)::AF: et alterne (V1. 16.), Bd:I’E;-*ld«::EA,

Liman suez-rus. , .169Trianguli enim ART Iaterum ET paralleh du-

catuf JE; dico-esse ut Ed ad’ldA ira TE .ad.E24.

11mgantur enim. EE à .TA. . t .Âequale igitur est triangulum EAE triangulo T4E

’.(l. 37.), in eadem enim basi sunt AIE et inti: easdem’parallelas JE, ET. .Aliud autem quoddam triangu-A.lum est 114E ; aequalia vero ad idem candem habeatrationem (V1 7.); est igitur ut triangulum 134E adtrianguth AAE, in triangulum TÀE ad triangulum *14.4152 Sed ut triangulùm .EJE ad [AAE ita Ed ad411; nam eum sub eadem altitudine oint, nempe euh

et AB:AT-’:JJ:AE:BA:EI’. Cf. Pflsiderer; l. c. 16:

17. i i I I e - -Obs. 3. Pariter earum propositionum omnium, quiaObs. 2. contineutur, conversae eadem mode locum baisent,ac in parte alleu V1. Prop. 2. Conversa partis priori: do-

monstraturs Nempe ex suppositionibus 4B:(jg 2:11?

Ç dividende (V. 17.), pariœrque ex suppositions 34:12:.

:411 :EA alterne (V.16.) consequitur, esse Bd:dA:JE:EA,unde ex patte. airera V. Prop. 2. consequitur, omnibus hi! en;sibus esse rectam 4E parallelam basi. Cf. Pfleideter. I. c.

sa. 20. 21. 22. - I iObs. 4. Quae in VI. Prop. 2. similiterque ca, ,quae inObs. 2. et 5. continentar, ,pariter locum habent, si [son JE .ita ducatur (Fig. 339. 3110.) , ut non ipsis trianguli 43T leur )

’ ribus, sed saltim iis me! ultralverticem .4,Àvçl ultra, basin ET

produetis occurrat, quad facile eadem modoiprobatur. Cf.Pfleiderer. l. e. 55. 25,424. Undeîet Rob. Simaon. et Piny-fair. rem ita enuneiant: si. uni laterum trianguli [tunnels quat-dam recta linea duels fuerit, Progortionaliter secabit reiiquaxtrisnguli hmm, val latera page... et, siliatera tl-ianguii, nilamera producta prpportionalitel’ secta fuerint, quae Sections

s

l

17,01 ethmeu’r’onom16 «:616 61,00: 661cc, 1’61! 6716 196 E in! 11h! AB nui-1

and»! 6,7095qu, 91969 611-1716 stow si; ai 560519.2146 16 6616 66 (69 .16 TJE 19t’yœvov .9196; 16 AAE91710); 7j TE 71969161 EA- and 16; 6’91 15 Ed 7196;;

1614.4 01710:9 6 719691171 EA. .”AM.6 de?) ai 106 JET 19Lyaivovinlw9ai tri 121E,

v JE 61619707. 181M00woav une? 16 A, E annela,(69 Ed 71961; 161 21A 061w; TEngôç 1641 E11,dal ênsÇstixâw) 75 JE’ 1.670) 61L 91019411111163 êo1w si -21E .7; BP.

» :1154! 769 661161 ua1œonswoôe’wwv, âne! sauvais

175-34 71969 161 4.4 061w; ai TE. 71969! 161 E1,du: si; ne)! 1; Ed 71969 107W 11A 0171039 16 ’EJE 191’-

yœwïv 7196; 16 AdE 191749101, (zig 6è TE 7196g 16v- EA 01710): 16 T JE 191700101 7196s 16 AJE 191’710-

Wov’ mû (69 6’90: 16 EAE 19l’7wvov 71969 16 114E 191’-

7mm! 027161916 T4E 1917014194! 71969 16 .AzIE 191’-syawov. :EMXTE’QOW 6’90: 103V EdE, TAE 19zyaivwv

91939 16 AJE 191719701! 164i «6164! 8’151 2.6701. "1061!

6’901 5611 16. EAE 19131104101 1go" TJE 1913105419)- ami

coniungît recta linea reliquo trianguli lateri paralleh eût. 0m.un, etiem en, quae in observationibus 2-4 dicta nant. sicetiem lice: complecti: que ab cruribus eiusdem nilgau" velduoru’m engulorum ad verticem oppositorum par dans recrupanllelu nm verticem inter et alteram earum, quam ipse:biter palanche abscinduntur segmenta, sic proportionaJia suut,ut ,f quem retie’nem mutuo habent duo segmenta unius crut-i8,enndein invicem lutinant duo segmenta homOIOga, sen simi-ilîte’r site cruris nicotine; et ut siugula unius cruris segmentaad .Asegmenta"h6m010gn cruris alterius sint in eadem ratione.Viciuim pan-allons eum; rectac, quae ab cruribus eiuldem an-guli-g vol duorum jugulai-nm ad verticem oppositorum, seg-

u ,. )

t

x I I

Luna aunes. l7].perpendiculari ab ad AB ’ducta, inter se eum utbases (V1. 1.). Ex eadem rations a; triangulum FJEad AJE in TE ad Ed; in igitur Bd ad JA iraTE ad E11 (V. 11.). I . 1

Sed irianguli ABI’IIatera dB, AT proportiona.liter secta sint in punctie A, E, ut Bd’ad A»! inTE ad EA , et iungantur JE; dico juarallelam esse

JE ipsi Br. V 4 " ,v

üsdem enim constructis, quoninm est ut Bd ad f4A ’itahth ad EA, sed ut Bd ad 4A in trian-gulum BAE ad triangulnm AAE, ut TE vero adM ita triangulum TJE ad triangulum A4E (V1. 1.); . erit (V. 11.) ut triangulum BJE ad triangululen 144Ein uîangulum FAE ad triangulum AAE. Utrumqueigitur triangu-Iomm BAIE, F 4115-3411 triangulum’AdE

candem habet rationem. Acquale igitur est. (V. 9.)triangulum BJE triangulo FJE; et sunt super eadem .bagi JE. Acqualia autem triangulà auper eademm basi

menu alterutro ordine indicato proportionna abneinduur. Cf. lA Pfleiderer. 1. c. S. 25. Denique observai patent, .similee pro-

portionna locum barbera, si non fluas tantum; eed pluton ne-crac parallelae a cruribus anguli, vel duorum angulorum adverticem oppositorum segmenta abacindant, et vice verne. Cf.Tacquet. V1. 2. Cor. 1.

Obs. 5. l’amer dans recta: non contiguu, «imbue in-terceptas parallelis, parue: ab ténia bis pétuna: propouîonaÀ

liter nenni, et vicissim, facile probatur, et ad icgmenta etinmP1lu’ibu8, quem tribus mais inter se parallelis abscisse amenai

*poteu. Cf. Pfleiderer. l. 1c. 59. 29. 50; 51. et, glue ibi cinn-. tu, demonatretionee Euclidis in V1. 10. et; X1. Il. Idlxibitu.

,172 . n’LuMEN’ronum820w ênî fig cadmie [3&0st bic JE. 1T3 (1è aux «mi;

’ 7mm 5752 nie whig 75’050an 67m, mû à! mais admisnagulloilozg 8015M HagoËÂÀflÂog 12’912 émiai 7j JE Tfi

ET. 1Eoîv «2’909 190017011, nui fiai ëëojg. ’

.11 P o TA 21.2 7’.

.’Eoîv 194701on 7mn?» 61’104 ïflfifii, 0è céfivovaœ

miel &œviow amen» 1531.0797 nui min fla’cw, ce? mis (5’05-

1;st 71554151166721! 1611 «finie! ÉZH 167ml fraie lamaîç uni

19170111011 nievgaîg’ mi 3024! Toi mi; [3050.0.9 navigant156v u’ÜŒôN glyelo’yov fiais 191750159 To21 rgcyoîæzo’u 727.611-

941:9, a; dm) rnfç zogvçmjç ënl raja! I0]L’))fl êmÇwyvv-

, péan] Jeux 161’an trimiez n’a: 1017 ægzyuîvov ywwléw.

PRO P0511" I o m.Propositio Jxaec va1et de tl’iangulis aequicrnris patinai: ac

. non aequicrlu’is. Et de, aequicnu’is quidam pars prior Propo- U

aidonis inm ex I. 4. pars postal-i0: ëx-I. 8. parez. CE. I. 26.Cor. 1. 2 Quod triangula non aequicrûra attitrer ,- illud anteIomnia (bâle, ostendetur,. rectam, quae angulum ml vaticenîbifan’am secat, basin ad angulos obliquas (in aequicruris an-guÎj fiant 16011) et in panes inaequnles secare, sic. ut rnînus’

segmentum adiaceat cruri minon-1, arque i3 angulus acutus sir, 1qui and minori opponitur. Nempe, si (F ig. 342.) APeJB,et Al engulum BJÎ bifarinm dividit, 0b angulum B)!’(1. 18.), 51ml: anguli B4-dg’4D)F-I-JÂF, ideoque (1. 32.)44511148. Et, ab AI’ abscisse JhAB, et juncta recta13.31111: (1. 4.)-JE.-:IJB,-et 311g; AEztzled. Quare, ère-ductax AB hersas Z, est mg. ABZ:JEI’ (1. 13.). At ABZ’)I’ (1. 16.), ergo 4ER) T, ideoque dF)4E (I. 19.5 i. e.JI’)JB. Pfleiderer. l. c. 3’2. 33. . . r 1

1 , Obs. 2., Quae igitlu: trianguli non aequicruri basin ET bifafilîn semi: ex verlice trinnguli A ducta recta AH in huius

1 segmentum IF incidit; proinde in inaequales dividit angulnkm”ad aVerticem 134T, ski, ut maior sit angulus BAH, qui mi-

’LIBER sax-rus. 173.constituez et inïra easdem pataudes eum (1. 39.). Pa. Vrallela igitùr es: (1E ipsi BI’. e Si igitur nianguli etc. v

v

l

»P Il O P O S 1 T O 111. (Fig. 341.).41.. si trianguli angulus bifazfiam: secetur, eecans autemangulum recta secet et basin; segmenta baeis.eandemehabebùnt rationem-quam reliquæ trianguli laiera; et sisegmenta ’basis enndenx habeant rationem quam relique 1

I triai] un latera recta a vertice ad sectionem ducta bi-g .9fariam eecat trianguli angulum.

noïi cifln’i dB adiaceti eademque AH obliqua est 1nd,- oh en.

gulum AHF) obtuso AJF, ce AHB( acmo .418 (1. 16.), ,quai: poucrior pars miam ex I. 25. consequitur. Cf. made.ter. l. c. M. 34. 35..

O bs. 3. In demonstratione V1. Prop. 3., que campiezen, quine Obs. 1. 2. dicta sont, ostendendumi est ante omnia,rectamîTE (Fig. 341.) convenire eum producta DE, quad fa-cile ope]. 29. Cor. 3. fiel, vel simili modo, quo in daman-i -

l stratione V1. 4. vres id 1. Ax. Il. vel 1. Pou. 5. ’redncitur.Patent autemecOnstructio etiam in absolvi, u: a producta 3.4abscindexetur segmentum AEzzIT, ubi Èum facile ex parieposteriore V1. Prop. 2. ostenderetur, iunctam I’ E patellelamesse faciale JE. Et forte hues ipsa appliéntio partis posteriori:V1. 2. indicaverit, Îlanc constructipnem , et, quae inde Huit,demonstmtionem genuinam potins esse, quem que nunc indemande exstant, quae, nisi suppleantui’, quae initie haineobservationis diximus, quodammodokmanca videri posait. Cf.

Pleiaerer. l. c. 37-40. j i * VObs. 4. Rectae AZ, EH, TE (Fig. 3’43.) bit-niait: se-

cantes angulos cuiuslibet trianguli, et ad bien nuque oppo-site: productae, ira se mutuo in plume sectionù (mimi d

s

.174 ’ ELIMENTORUH.

. "Enta; 1917va c6 ART, ami saïmiaôœu 139:6BAP rondo: dilua 6nd mîg A4 GÜÔGIËGQ’ 16’710 du Émis!

mais si Bd amis mimi .411" mime fi BA n96; 119,37 AF.’ ’Hxâm 7&9 ôtai mm? T w" 4.4 ndgoïllæyïog o; TE,

qui ôzaxô’sîtm a; 13A acumen-"téta; Mhfi zonai 16.

, la»: en. si; àwgallæflmig 1&9 A4, EF wwwhémosw. si AI’, a; des» ünô APEyww’a î’mj 5011 ni

136011.44. :411, 7; «inti PAM agi mimi BAA limi-usth- i’mr ami 1131:6 13.44 tiges 197 mimi AFE Émis!

i nm. Huile», 3nd eîg nagalloflo’vç m2. Al, ET sti-

Osîa estimant! si BAE, fi êmôè glanda 6nd 13.4.4a»; and en; êwâg n; and AEP. ’Edsr’xân a. ami 1;

(Obs. 2. «1.1V. 4. Cf. Pfleiderer. M. 41. 42.) dividunt, utcuinelîbet segmentaux adiacens anguio trianguli sit ad eius seg’.

mentum adiacens lateri opposite trianguli, ut summa Internattrianguli comprehendentium illum angnlum est ad lune 110eLei opposiçum; rota autem recta si: ad segmentum ipsius ad-

biensummum lateruu circa hune un ulum

bos lattas. g NGmPe ex V1. 5.

imans ("19110) .nianguli, titi perixiteter «n’ianguli est ad

i 43:82, 0b an . 18H34duluz: (aux, 0b «à Alu-.1212:JB-Pdszl’ (v. 12.) 1

"a. .44; - , ana-.41"a lune .42.(dz .434-4r4-3r.( 81, ç ) çV.18.).

Beaumque m0410 ostenditnr, esse f.LBH:BÂ:JH:JB.i-BF4-ÂPIË AB-I-BI’: 11’y DE: r4: dEzle-I-BIY-I-AB: JP-I-Bl’: .13.

’Nominstim itaque in trianguio aequilatero eum;

,AzmdxdzBE:B4:JB -3:2:1.ITA:JE ’ ’

Pfleidenr. 1. b. M. 43. 44.

Liant szxrrus." 175. esiti triangnlurn ART, et, se.cetur anguille 3111s

bifariam ab ipse. v Ad recta; dico esse ’ut Bd ad AP

ita RA ad 41’. i A i l vDucatur enim per I’ ipsi 411 parallela TE (1. 31.),

et producta RA conveniat eum ipse in E. A -Et quoniam in parallelas A4, E F recta incidit 4T;

ergo anguluè AFE aequalis est angulotl’Ad (1.29.).

Sed FAJ ipsi BAJ ponitur aequalis; ergo et 3A4ipsi AFE est aequalis. Bursus, quoniam in pat-alle-

* las Al, ET recta incidit BAIE. angulue exterior B144Vaequalis est interiori AEF (1. 29.). .Oetensus autemest et ATE.ipsi 3.4.4 aequalis; ergo angulus .AFE

Obs. 5. Vicissim, si recta dz trianguli perimetro ter.minuta, et a1iquem "eius angulum ibifa’riam divisions in son;

1 tut in puncto A, ut si: 14:42:.413-1-4 1’:Bl’ s acteras miam

rectae par Punctum huius sectionis d ex verticibus mgulorumtrianguli duetae bifariam bos sngulos divident. Non enim bi-fariam dividant angulos B, Î rectae Bd, P4, Sed 39,79(Obs. 2. Id 1V. 4.): itague Toto! (Obs. Il.) Je: 9Z:B.l-I-

i AP:BI’ (Obs. 4.): ideoque 449:92:AJ:JZ (V. 11.), .42:9h42 :12 (I. 18.) et 92.-:JZ (V. 9.) contra I. Ax. 9.

. Simili modo enonciantur, et vol immediste similiter damon-atrantur, vel ad proximrpraecedemem casum ope V. 17. te.dueuntur convenue reliquarum partiütn Obs. 4. Pdeiderer. l.

c. 55. 45. 46. 1 1Obs.*6. Quodsi iam ne... dueatur, que bifsriam divi-dat angulum exteriorem ad verticem trianguli, recta in Jacta1) in triangule aequicruro ABI’ (F 15. 344.) pataude ait basi

Br. .Nam, qunm ex supp. angulus ZAË:OJB:z-Ë.B.-BÎP

(I. 32.) :B:F.(1. 5.), adeoque 9.4’para11e1a rectale Br(I. 27-). Et çonversa quoque, trempe, si 94 pataude-psi: re-ctae 81’, fore .sngulum Z4B ad 9.4 biseauta, ope «29. etL 5. facile ostendetur. 2) In niangulo autem non aequicruro

. ’ A . l. .

4

z

176 (SLEMENTORUM’15756 ATE tfi’æinô B14 1’017, and si 6nd ÂTE 02’905,

7031110: wifi"; JET émia! finit digne ami enlevez? 7;JE nÂsvgçî tr; AI" émiai 1’073. [on 43ml 19171611014

vos? BTE amen? ,m’ow maïa! nlwgcôw en)! ET aima;14’ 0241061034» Jeu 30’521! aïs Bd ngôç nia! AT oil-

lme- si B1 Ingôg mis! AE. "[017 dè AE (si AT°ois Ltaïga! 7; Bd nolis mis! 4T ’où’uog si B14 ngôg fait!

«.411. z A l . ’I ,’AÂÂOÊ à) un... «zig si Bd ngêç zûvvÀT offrais si

Bd nolis 11,341 AT, nui ËneÇeÜZÛm 7; Al 1.67m du111’711: zée-toma; a? «inti BAT yawls: 67:6 T69 A4 eû-

0siug..Î 1 s ’ J ,(Taie! 7039 attirais! umœans’vaoôæ’wwv, gavai être"! (Je

L 35”31 n96; finir JT 0’5sz9 41’ BAI floes Trial 11T;

dual nui Bd 71969 m)?! 4T 017W): émis! 9; BA11969 MW -.AE’ ægzyaivov 7029 To11 BTE mon? ,uiowmais! 70.509611 mît! ET 777mm a; 111 3101-1 oignions ai BA

345.), si angulus’ exterior Z AB bisecetur recta .49, bêlez:ipsa recta com bnsi ET productâ ad eam pattern, ad quem est ’

crus minus JE, conclure: in puncto aliquoIL Nam, ont;enguiiu ZAB:zI’-1-ABT (.1. 52.), at JET) T . (1. 18.) cric.

Z

.. v AH . .h 2443(1211811, adeoquq 9113.: T(AB1", et 018-1-ABH

’ (ART-EABHE2Vrect. (I. 13.) mule 94, EH ex hac parte lconcurrent (1. Post. 5.). Pfleiderer. M. 47. 48.

. l’Obs. 7. Recta .49, quae angulum externum ZAB uian-" guli nOn aequicruri bisecat, eum basi ad pattern cruris mino-

ri! producïàm concurret (Obs. 6.) et ita. quidam, ut segmentaI in ipsa inter puncmm hoc concursus et terminas basis abscissa

BH,’ PH cardent ’habemt rarionem, quam"triànguli emmi Bd,

FA’quibus adiacent. Abscindatur enim 11.117111 recta AEde,

et iungatür BE, eritque angulus ZABèABE-i-AEB (1. 32.)

- A LIBLR saurs. a 1’77

) sipsi JET est aequalis; quare et laïus lateri ATest aequaile (I. 6.). Et quoniam uni laterum trianguliBTE nempe ET parallela ducta est 11.41; erit (V1. 2.)ut Bd ad AC ita Bd ad AE. Acqualis autem est11E 193i dl"; ut agita: Bd ad dF ita Bd ad .411

1

sans: ut Bd ad 41’ a. 1M ad ,41"... angon.

1d; dico bifariam sedum esse angulum BAT ab A4

recta. ’ . xlîsdem enim censtmctis, -quoniam est ut Bd ad

dl1 ita Bd ad AI, sed et ut Bd ad dT ira est Bdad .ÀE. (V1. 2.); trianguli enim BTE uni jaœri ETparallela ducta est 4d; cri!) igilur Bd ad AT ita Bd Aad AE; aequalis igitur AI’ ipsi AE (V. 9.); quare

1* La:2183 (I. 5.), adeoque OAB:(-2È)ABE, et AH pasrallela rectae BE (I. 27.) , adeoque EH :1" 11:48:14 T (Obs.2. ad V1. 2.) :ABufl" (V. 11.). Vicissim, si En: THÉ:.412: 41’, ’iuncts A]! angulum 2.4.8 hisecabir. Raisins enim, ,facta AE-JÀB, iunctaque BE, erit 13H: TIL:.ÀEV:ÂT (V.11.), adeoque rectae AH, BE Parallelne (V1.. 2. Obs. 3.),proinde angulus suez-435 (1. 29.), et 249:1,458 (r.29.), adepque, 0b 4313341123 (I. 5.), eliam 911322.46:

ZÊB. cr. Panda... 1. c. s. se.

1 .Obs. 8.. Poterati autem iuberi, ut mon DE rectae dépataude agstur, et Idemonstratiio eadem modo abso1viacyinlextu e1ementorum V1. 3., atque hacmalione rem efficiuntRob. Simson. in’Prop. A. lpost V1. 3. inserla, quae idem ennu-

ciat, quad praecedens Ûbs. 7., ne Playfsir. Et Simson. qui.

Euclid. Element. 12.11. M

ITS. - o ELl-ZMENTOKUMn96; (nia! Aï 0’5th ai, 13.4 91969 nia! AE’ 1’01] d’on

zip 1g] AIE, 03’915 «(à yww’a 9; 11’716 JET 71011:1;

1?; 6nd AFÈ E0723! ïor. VIH: Mal 17716 AEF rfi1nd; ni Ünô BAL, 1’017, fi 6è mû 1; 6nd AF E 7’?muas 1.1i 0nd 1’114 50124! i’mr and 15m; B144 taïga

ni 11316 FAÀ êtrüv 5’07]. 71 taïga 15m3 BAF rowin-ôï’zu (réanima 6m; nig- Ad eüâsiag. ’Eoîv (I904 nu-

7uîvo’u ami fui êèfiç. ,

(IIPO TAXIS a.Tuîv îaoywviwv zçzyoîmunv dva’).oyôv dan! ai aigu-’-

oçuî ai negi mais ïaaç yawûxç, hui 6,461070; aï 5nd

n29 ïoag ywvlag «57101617011012: alangui.

dom manet: . nanas secundo: , qui habetur in Prop. A, pari-lter unifia ac primo), tertiae pr0positioni additus est, videlice’tin, que angulul trinnguli exterior bifariam aecaiur recta finet.Demonst’ratio ains simillima est demonsn’ationi primLcalus, et

’ 0b llano forum causam mm ea, tum enunciario casua, omisuou ab imperito quodam editore. Pappus cette; hac tanqumproposition elementari (si mul eum ipsa V1. 3.) utitur inVIL Prop. 59. Collect. Mathem.fl Utramqne eliam proposi-tionçm, nempe V1. 3. et glteram ci similem Obs. 7. allatàmuno enunciato complecü licet, quad et Playfair. notai. Cf.Pfleidercr. l. c. M. 49. 50.

Obs. 9. Quodsi simul angulus triahguli non aequiicrui-iBAT (Fig. 345.) recta .44, et anguli uxterni RAZ recta B9 bi-

aecetur, angulm 319, quem recta: Al, 19 effioiunt, remuacrit- Nam, quant BAZ-l-BJ 11:2 Recl. (1:13. erit 914::

(1’355 B312: Recto. .Quodsî super eadem hui Br aliud

triangulum «81” constitutum ait, ouin: mura candem inter serationem habent, quam crural trinnguli ABF, in, ut sir. «B:«l’a-.AB : AI, et bisecetur etiam bains trianguli angulusmd ver-

. ticem Banet’qui ci deinceps est, L113, [cette ho: angulqs binan-

Lnsun’sux’rus. l 17S!

et angulns JET angulo 44le estacquçlis (I. 5.) Sed-AEF exteriori BzIJ Aaequalis (l. 29.); AFE vero ail-r.terne F114 est. aequalisf angnlus 31.4 igiturvangulo11.411 est aequalis. flaque angulus 12.417 bifariam se. ,

au: est ab 11.41 recta, Si igitur trianguli etc. l

z

P n 0 P o 51T rio 1v. (Fig. 347.)Acquiangulorum triangulorum’proportionalîa 811m lu-

fera circa aequales angnlos; et homologa, quae maqua;le’s angulots subtendunt, latera.

les ad eadem puncta J, Il banon ipsius et producteur vengent,ad que recrue Al, AH, quae angulos’ BÀI’, 2.41 bifax’inm

levant. Si enim fieri potest, recta v. c., qua: angulum En?bifafiam sont, secet basin in puncto K, quad a A divagantait, truque ex V1. 3. 3K: ÎKzBa: TæBA: F4 0mn») ’

l

l :81: Id (V1. Il.) , adeoque exit 31’: FIL-48]”: T4 (V. 18.),et TK:IOJ (V. 9.), quad est abéurdum. Et eadem modoYes de recta, quaetangululm ËaE bifariam secat, probatur.

Obs. 10.x Quum recta Ha, du pariter inter ne rectumingnlum officiant, idemque obtinrent in omnibus triangulis nonaequicruris super eadem basi BF constituât, quorum entra

ttandem inter se nationem llabent, vertices. omnium eius’moditriangulorum, erunt in semieirculo super [Il descripto, simaiste semicirclulua erit locus geomen’icua verticum omnium tri-

angulorum, quorum buis est Br, et quorum aura eandeminter se rationem habent, quam lubet dB ad A!" (1H. 31.Cor. 2.). Cf. Apollon. Loc. Plan. Il. Loc. 2. De m’augullsaequicruris vide I. 26: Cor. 6.

Chenil. Quum ait (Obs. 7.) EH:PH:AB:ÀF vel

l . .. tu . r412H.rH-.(Hd-BH),(HFHJ [renne sa, la, HI

ldl) r. L r. vr’,r-. r; T n n 1.. n

i"Etnw icoyw’mu 1917104111 tu .ABT, AIT E fanal12204112): niai un! à") BdT glorifia? 117 6716 TÀE, I7)?3è ont; ATB 1?; 75716 JET, «(à En TTh’ 6716 ARTpi une; ATEO 116’511» au Étui): ART, ATE 19171157011!

151105107611 eîaw a2 911.5119111 ai vagi 103g- ïaag” glandag- ,

ml 611610701 ai 15716 mais î’oag 71.171219 inactivation;

717.8090111 , l . l . ’Ket’qüœ 7029 En, siffleux o; ET ni TE. Kai Enslai 6916 ART, ATB 70071011 660 690154! ëldaqovéç si-îl

ou, 5’09] 8è ’Ii 6916 ATB Œy’ un!) JET, ai de!» 67m -7,11313 4E1" ado 6919454: üdoaow’ç 11’011!"th 13A, Ed

dieu. ênflcË-Môflwm uv,11neomîww. ’Eup’slflofofiœmw,

«(à wymvnæ’woœu and 16 Z. l ’ A

erunt harmonîœ continue proportionales. ’ Cf. dicta ad Libr.

. V. Defin. 8. Et conversa quoque facile demonstrabitur, nempe,’ si sit HB:HT:BJ:I’J, fore ’etinm .AB:»1r.-.BJ: r4: -

Hleil", et rectam J4 angulum BJI’ paliterque notant AH

angulum Z411 bisecare. V l.PROPOSITIO 1V.

Obs. 1. Triangula, qualia in hac propositione occultant,val (I. 52. Cor. 5.) quorum duo saltim angnli unius duobusallefius, singuli singulis aequales sunt, iuxta V1. Def l. si-milia dicuntur. Propositiones lutine 1V. 9. et ÏV. 3.. dotenttirculo data inscribere et circumscribere triangulurn similedam. Cf. Pfleiderer. l. c. ’59. 511. 59. Quum autem in trian-gulis imbue propopîtione occun’eutibus latent, quae angulos

aequnleo” sublendunt. homologa dicuntur, id ex V. Der. 12.diacre ("du asse JB:BT;;JI’:I’E, et BT:AT::.FE:JE,et AB:AÏ:4T:JE, ’unde et alterne aequitur, AB:J.P::"BT:I’E::AÏ’:JE; vol , quam rationem habcant duo duorumtriangulorum acquiangulot’um lattera, aequalibus. angulia, op-

Lissa ssx’ruls. N 181Sint aequiangula triangula JET, JTE, aequalem

liabentia angulum BAT angulo TJE, angulum -veroATB lapgulo ’JET, et praeterea. angulum JET an-

.gulo JTE; dico triangulorum JET, JTE propor-tionalia esse latera cires aequales angulos; et homo-loga, quae aequales angulos subtendunt, latera.

Ponatur enim. ET in dirscmm ipsi TE Et quo-nilim anguli JET , JTB duobus rectis mmores sunt(I. fia), aequalîs autem ATB ipsi JET, anguli igi-tut JET, JET duobus rectis minores saut; rectaeigitur BJ, EJ productae convenient (I. Post. 5.)’Producantur , et conveniant in Z. i

posita, candcm halicte bina illorum relique litera sequfllbulnangulis oppositn, et (V. 12.) Parimetros-utriusque triangulice. paumera-L ,1. c. sa. 51. 52. ’

’ w Obs. 9. Recta, quae in triangule parallela ducitur unisi... latcri, abscindit (I. 29.) triangulum nihilo xtoti (Paci-deror. l. c. 5. 60. Clavius Vl. Cor. 4. -alii.). Boots haecse habet ad latus trianguli, cui est patafiola, uti segmentum.

. V alterutfius reliquorum trianguli laterum ipsam inter et verli-com anguli oppositi comprchensum est ad hoc lama (Pflciderer.l. c; 5. 61.). Endem par reclas ex vertice trianguli oppositeducat in eadem rations scutum, ac buis trianguli, «son lamaoins , Acuiest patafiola (Pfleiderer. l. c. S. 62. Claviusîip Schol.ad 1V. 4. Tbeor. 2.). Quod idem valet, si recta trianguli la:teri pal-allah secat eius relique; lattera producta (Pfleiderer. l. e"5. 63. sq.). Des-nique, si trianguli alicuius lateri pluma rectaeparallelae (lucuntur, quae eum i’eliquis lateribus trianguli con-

veniunt, erunt hac omnes inter se, ut homologa crura triantgulorum a parallelis his abncissorum.

-’ O ba. 3. Praemissa IV. 4. Prop., tillac non pondet a VF. F. fa

cile adam VI. 3. et quae ci adiectn fuir similis propncîrirr Vs. 7

V

. I18” I ELLMENTORUM»

liai 37151 l’or; 56111! 6716 JT E ywvïa 1:77 6710)JET, 1161913111109 6’901 ,ëa1iv 7,5 BZ 16T J. ’116).w,

être) lm] 501w a; 15:16 JTB 17) 15716 JET, 7101911121;-Â6ç 601w 7; JT13] "ZEt na9a11771679atmov 6:90: 301i 1d

ZJTJ’ fin; 6’900 û 11h! ZA 1?] JT, 6è AT 12,: Z4.K11) final 191’16on 1017 ZBE 7101962 jalon! 1151! 212.5119150 1159

ZE 1177.1011 AT, 50117 6’911 ais-fi BAI 7196; 17h A2

061499 ET 71969 1773! TE. "101] 6è JZ 1,171211m’y 6’911 1j RA 7:96; 161 T J 0171029 â BT 11969 11)?

TÉ, ml 98111111025 ais a; AB 7196ç nia! ET 0171019 âJT 7196;; 17,34! TE. 11017.11, 81181 11119151117169 1’61"!

7j T4417] HZ, 501w 6591163 0; ET 71961; 161v TEoiiwç .ZJ 71’969 fait JE. "lm; 6è fi ZJ 17? A T -.«Le 69a 1j BT 71969 [niai TE 0171m ü JT 71969 16vEJ, êwaMdE 12’901 169”); BT 71969 117W TA minis ri

Obs. 7. ita probati potest. Si recta J4 (Fig. 34.8.) bifnriam dividat

angulnm BAT trianguli non aequicruri JET, etit JE: AI":Bd : I’ 4. Demittantur enim ex B, Pin JJ perpendicula Bd.To,- etuntque triangnla 3.44, To4 aeqniangula, pariterquetriangula 13.4.4, MJ, unde etit BJ:JT.:B.J:I’0:;BJ:PJ(Vl. 4.). lm rem demonstrat Thom. Simpson. (Elem. of

.Geom. IV.l18.). Et nimiliter res de recta , quae angulum ex-ternum bifariam sont, demonstrçtul’. l l «

Obs. 4. Si (Fig. 549.) latera Br, 41T trianguli .4811bifariam secqntut pet rectal 44, BE.ex verticibus angulotumoppositorum .4, B ductss: recta quoqueyT Z ex tertii anguli Tvertice ducm par punctum sectionil 9 duatum 44, RE bifan’am

j sccat tettium trianguli latus dB. Quippenb 34:41", BAL-:ET,uttumque triangulum .484, 1141? dimidium est trianguli 194B(l. 58. vel VI. 1.): igitnt ti’iaxig. 4B4: tl’iang. BJE, demto-

que communi triang. .489, etit triang. B49: triang. J916,Pariterque Q triang. B40.---2 trinng. 49E. h. e. 0b BJ 741”,et 43:11:11, triang. me; tl’iang. r94 (I. :58. veI. V1. 1.).

r

1.131111 sax’rus. 183Et qumiiam aequalis est angulus JTE angulo JET,

parullelaïgitur est BZ ipsi T4 (l. 23.). Bursus, quo-niam aequali’s est ATB ipsi JET, parallela est ÀTipsi ZE; parallelogrammum igitur est ZJTJ;’ae-qualis igitur Z4 ipsi 4T (I. 34.) , 11T vero ipsi 24.Et quoniam uni laterum trianguli ZBE nempe ZEdocte est parallela 44T, est ut. B11. ad JZ ita BTad TE. (V1. 2.). Acqualis autem JZ ipsi T4; utigitur Bd ad Id ita 13T ad TE (V. 7.), etalterne(V. 16.) ut AH ad ET ita JT ad TE. Bursus,quoniam parallela est T4 ipsi BZ, est igitur ut B Tad TE ita ZJ ad JE (VI. 2.). Acqualis autem Z4ipsi 41’; m igitur Br ah r]: in 41" ad EA.(v.7.), alterne igitur (V. 16.) ut BT ad T4 ita TE adE4. EtI quuniam ostensumnest, ut 4B quidem adM21?.ïï:î.*;n’è’îî:.îî:î.gî’ 555):re:rz m. 1.). E10

(V. 11.) triang. FBezttiang. FEZ; triang. T941: triang.TAZ,et bine (V. 14.) triang. FEZ: triang. TJZ,-ac conv.).32:42. Cf. Pileideter. l. c. 6. 66.

l Obs. 5. Ttes rectae, que ex singulorum trianguli cu-iuscunque JBI’ angulorum verticibus A, É, P (Fig. 350.) 9ducuntur ad puncta 4, E, Z, laterum oppositorum, ubi luecbifatism dividunt’it, .in eodem intti triangulum "puncto se se-cant. Duas enim 44, BE, quae se in puncto 9 secnnt, tra-iiciat, si fieri potest, tertia I’Z in Punctisl K, Il. Pat punch1’. 9 agatur recta T94. Cum haec bifariam secet lattis A]:in paneto .4, ubi ailoccurtit (Obs. 4.), etque hoc non coin-cidere riotait eum puncto Z (l. Post. 6.): foret 48 bifatiamsecta in duobus punais Z, .4, quod fieri nequit (I. 9. I. 7.Ain). Cf. Pfleidetet. l. c. fi, 67. -

O bi. 6. Eaedem ttes rectite (Fig. 549.) in se in punctocommuni 9 secant, ut segmentum .cuiuslibet idiacens lateritrinnguli, eiusdemque segmentum adiacens vertici anguli 0P-

1

I . l .184. ’ ELBMENTORUM -T1524 91969 Hier E11. Kui ênèi êôsr’ZÔ’muÏg MM ’r; A]?

n96; nia! Br 017mm â AF 71969 niai FE, dg 6è 75BF 11069 [117W FA 01’51’ng 0; FE’ngôg 117W EA’ ami

011*001) d’on aïs 7; RA 31969 Tli’ll AF 0171409 FA flçôg ’

raja! 21E. Toi? (2’905 Zooyw-w’ow mi roi Éëfig.

I

Il PlûgTA 212.5.E1121: 1Mo malouin "n29 alevgràg .u’wa’loyov .597, îao-l

705W; (mon Té IrgI’yoww mi ïauç (En ""29 Vywæ’u’ag,

’ÜQ, dg (xi 614.1431070; ulwgùi daronc’wo’urrw,

Î’Earw Mo remuant qui ABI’, AEZ Mg nie’vgâg.

dvu’lbyow è’xovm, uÏç golem! mimi AH ngôg- trahi Br 017E:

TOIQ 171:1! JE srgâç r1jæfEZ,, oÎç 6è 7:61! B!" 7t96g fiai

T11 017m9 1;;2’ EZ 75965 n’y Z4; nui En dg n’y Bd91969; 172v AF (117»pr 11h! Ed 75969 5121! d’Z’ légua) au

ioàyw’wâv 501: (a) ABI’ ægl’ym’oy 195 JEZ Œgtïahlçu,

,positi, ac Lot: recta sin: mi 1:2:5; triangulhm 6811), in ne):tïiungula aequalia àividunt; ad puuctum autem nèctionîs cqm-

munis usque tamum duclne lriangulum dividunt in tria ae-quan. Nempo 1) 0b Ed:dlL-.JE:EIO::BZ:AZ (supp. etV. 5. Dell), sunlvdfl et 111?, dz et. AF parallelaé (VI. 2.):Ouate (I. 15. et L. 99.) triangula 49E et ÂGE, 492 et 49Tsunt, aequiangula, adeoque 49:91:

2553?:1â51fim 4’) :3212? (w. 4. 2- on) :-

122 et 49:91:4A:GE:QB:BE.:.GZ:9F;ZI-*:l:2:3 (V.18.). a) 593.4213191; (Obs. 441km.) :WFzéEF (I.33., et n i ang. 253:):92 : or (VL’ 1.) .421 f2 (ni. 1’.)

92321943.. QQZBzerflzfièÀB . l"mil" lueZA;9r,tgneAE °’ lm"tel 924:9,43-

a) A9BÎ:94F.(Obs. 4; ng.)’;: A943: (3352

Ü. 58) fur. 93. Cr. PHcHerer. L à. S. 68. *

x

a-

1.1321! ssxng. - - 185Brin 4R ad TE; ma veto Br ad FA ita TE adEd; et ex aequo igitur (V. 2°.) ut RA ad AÏ inFA. ad 4E. Acquiangulorum igitur etc. ’

z . I1? une p 0 s 1«T 1 o v. (Fig. 351.)

Si duo triangula htera proportionalia habeam. auquidngula eruut triangula; et aequales habebunl: angus-

* los , quos homologa Ïatera sbbtemlunt. l* Sint duo triangula [LB-F, JEZ lattera proportio-tionalia habenïia, situn ut A]? fluidem ad ET iraJE ad EZ, ut BI’ vero ad FA ita EZ ad Z4; etadhuc ut 13A ad A? ita Ed ad AZ; dico aequian- ’ gulum esse tilangulum JET triangulo JEZ. et: ae-

a quales habere angulos, quos hoinologa Iaterasnhten’;

Ohm. 7. Cum in triangulis nequilaterîs recta bifarîamdividentes mugit): bifariam quoque sedan": latera opposita, etvicissim. (I. 4. 1.8.); liguer identitas conclpsiohum (Chu: 4.ad V1. 5. è! V1. 4. 05;. 6.) ad’ipsa applicnufum. Endemque

par renias J4, BE, FZ in sax, par rectas Je, B9, F9 intria triangula similia et aequalia dividuntur. Cf. PHeiderer.

l. c. 69. vObs. 8. Vieissim, si recta .44 ab renies ’aliquo trian-a

guli au! punctum, bisectionis latcris oppositi 4 ducta ira secs-Àtu: in 9, ut segmentum ipsius Je adiacens vertici trianguliduplum lit nlterius segmemi de aldine-mis lutai opposito tri-anguli; acteras gliam rectae par punctum 9 1min: secrionis exverticibiu trianguli ductae bifu’iam Intel-a i5: opposite: accent.

Dnctict nempê mati; BOE, arum trianguliabgjgîângv(v1. 1.) igitnr ABAE;234E. .Sed ob 1:11:21»; (suppq’

nm ABrE.-.2ABÆ (V1. 1.). .Quaro ABAEsABI’E,

186 ELSMEÏN’ÏORUMI

. Isur) ïaag flouez flic fœyiœç, 11(p à": oflôloym alanguiônouc’ælovzn; nia! un «En; ABI’ r”; 671.6 4EZ, niai.

6è 07:6 BFA zy- Ünô EZA, aux) En Trial 6nd BAR

4m. 13716 EJZ. , aZwaow’w 7&9 7196;; pi EZ dôu’qz, nui voîg

"969 .6445 onpez’mc arois E, Z (de! and ABF7mn; a», .5 0nd ZEH, p; 6è 157:6 31:47."; .j 15m;EZH’ lamai dieu ai à"; BAT 103m] T]; «5nd EHZ

. darda! fox.’Iooyw’mozr Jeu 307i 1:6 ABF zgîymuw 197 EHZ

çglyw’vça- whi- d’çu ABF, EHZ rgzyüvwv dvéloyo’v «

damai alangui al mol mis îoag 7ww’ag, ami 651.6-loym ai 69:6 1033 ïaag 70171119 alevgoù ânonl’ælovauv

leur 659;: (59 dB ngôg nia! Br 017cm9 a; HE 71963.16v EZ. Un): (59 4B ngôg nia! BF 045w); 137:6-uetjwt a; 4E ngôg 1er EZ- 16g âges a; JE ngôg nia:EZ oiæ’tœç ai HE flçôg mW EZ’ éminça. c390; raïa!

JE, HE èrçôg niai EZ 167 «65611 a" et 1.6701" a",taïga 3m21! û JE ni HE. du)? me? a’v’zu à) nui dz

et. bine (I. 38. conv.) 412.-.I’E. Similiterque ostenditur, volnunc on; Obs. 4,. infertur, ducu F92 recta fieri adam .423:BZ. Cf. Pfleideret. l. c. Q. 70.

v0 ba. 9. Pariter, si tu: nous 94, 93, OIF ab puncto9 hum triangulum ad vèrtices angulomm eius dilata: triangu-lum in tria aequalia dividunt: rectae hac ml latera lutine tri- .aneuli oppolita continuums bifarîam "ca divifîunt. Est onini(v1. 1.) A4919: A94B:AO:94:49P:49F. Quum, ohA1982A49P(supp.), etinm AQJBchQI’ (V. 14.) ethino (.1: 58. con v.) 34:11 Et similiter in relitiuil.. Cf.

Paciderer. l. c. S. 71. .l P R O P. V. VI. ’04h15. I. Propositions hac convenu sont pnecedentis

quarue, algue agi bacs propositioin I. 26. in illaoâpropositio-

unau saunas. b 187,dunt, angulum quidem JBF angulo JEZ, ’angulumvero BFJ angulo EZJ; et insnper angùlum leF

angulo EJZ. EConstituatur enim (I. 23.) ad rectam EZ; et ad )

puncta in,.ea E, Z, angnlo quidem JET saquaisZEH, angulo veËn Br]! aequaliss angnlus IIZII; re- Vliguas (I. 32.) igitur BJF relique EHZ est aequalis. l

Acquîangulum igitur est,triangulum ART triangnIoEHZ; triangulorum igiturEABl", EHZ proportio-nalia sunt Iatera (V1. 4.) , circnm aequales angulog, ethomologa latera aequales angulos subtenduntz’est âgi-

- tut ut Ali ad. BF ita HE ad EZ. Sed ut JB ad "ET ita ponitur JE ad EZ ; ut igitur) JE ad EZ inHE ad EZ (V. 11.); utraque igîtur ipsarum JE,

l HE ad EZ eandem habet rationem; aequalis igiturest JE ipsi HE (V. 9.). Ex eadem ratione et JZ

- ipsi HZ aeqlîalis est. Et quoniam aequalis est JE l

nibm I. 8. I. 4. respondent, ad quas earum demonurarionelredoountur, et au!) quorum conditionibul triangula nimilin etaequalia sont. Cf. Pfleiderer. l. c. 5. T2.

Obs. 2. Sub quintae conditionibus Iimiiia esse rrianguhpropositio haec neque immediale ac quarta efficilaposiçis ana-

-tem sexta’e conflitionibul, mainate quarta (remum proyer-rio.nahua reliqnorum c’ircn angulos aequales laterurù, ad triangu-

lomm similitudinem par V1. 1. Def. requisita, colligitur. Cf.Pfleiderer. I. c. 73.

Obs.. 5. Opc sextae demomtnntur convenu hennin".-rum propositionumyquae Obs. 2. ad VI. 4. comprehonâumnt,nempe quod, emmi; (Fig. 358. 359.) in eadem recta tribu-punais A, B, J, et pet duo corum B, A ductis (imbus pn-nl’lolis Bi", JE ad c’a’sdem (val opposiras) nono illihs partes,

a

I

188. :Lamsuroiom ’ a1,1) HZ 30m! à"). ’Emi 017w. in»; êtniv JE zfi EH,

2mm) 8è ri EZ, chio M «xi JE, EZ 8110i tous HE,EZ l’au; sial, and 1905m5 fi ZJ flânez spi ZH «ËWÏN

ïtm’ ramie: aigu aïno JEZ rouilla 13j aïno HEZ émia!

j’ai]. Kul 16 JEZ rpiywælov 155 HEZ fovéal? i’oow,

ml a! lamai yww’m mais lamais yw’ylmg îoaz, ütp’

«in ai. îom aleugai Ünowsivoww’ fin] aigu étui ami 1i-

pèv 6nd JZE yawlœ 19;" «me HZE. i (9è 6nd EJZ .,7 2?] 6nd EHZu Kari ënei ü phi 15m3 ZEJ in? 6714i

ZEH êmiv a"), in, a; Üflâ HEZ 6716 ABF3m14! 5’07]- ual ai 157:6 ABF 07904 ywviqa zfi 15756 JEZ301i» fin]. Jtoi a)? miré à») ami Üflô JET ïy’, «inti

’JZE émia! in, nui a?" 15 95969 un" A n96; T56 J.ic’ooyaiwov aigu. ËO’TÏ 16 JET Œglywvov :195 JEZ un?

yuivgo. ’Èdv d’au Mo ami rio? égrisa i

IIPOT)A212 5’.’Edq (Mo zplyw’yœ pion! ywviow mg? yww’q: ïmjv

En]; nsçi 8è To39 j’oaç ywviœg très filwçoig dæ’dloyov’

prouü pianota B, J in en iacent ad ’easdem (val Oppositas)

putes panai A, tic, ut si: BF:JE:JB:JJ, panera J.1’, E varia! iaceant in directum. lundis enim J1), JE ro-ctis, 0b angulum JBIL-..-JJE (I. 29.) et Br :JE:.JB: JJ(supin) est ahgulus BAI’:JJE (V1. 6.), ideoque priori mon

o rectarum AI, JE nua inzallçrnm incidit (Couv. I. 8. À»);posteriori eaedcm rectne in directum sibi invicem sunt (Can.I. 15.). Clavins posterius,eoden1 modo, prius indirecte de-monslrat. Cf. PfieÏderer. i. c. 5.. 76. I 1 I h

’ : - 01... 4. Si... (Fig. 555.) .413, p.4 "and... et o, n, recta: quaecunque imequalos. Utrimque) a punais E, Z iu-

parallelis ,ubicunque sumtis, abwiudantur in prime ZIL:.-Zy---:0, in posteriorc Fer-1319:: Il, in ut punch! Il; 9 sim. ex ana

.- recta: EZ pane, 1,, 19 ex allefai tics redue EZ, 6H, 00 in -

u

1.111,51! sari-us. 189xipsi EH; communis autem EZ; duae JE. EZ dua-bus HE, EZ aequaies sunt, et basis ZJ basi ZHest aequalis; angultts igitui JEZ afigulo HEZ en .maquons (I. 8,). Et triangulum JEZ triangule HEZaequale, et teliqui snguli reliquis angons aequales,quos aeqùalia Iatera subtendunt; aequalis igitur est etanguille quidem JZE ipsi HZE, angulns vèro EJZ

. ipsi) EHZ. Et quoniam angulus quidam. ZEJ ipsi, ZEÏÎ :estiaequalis, sec! iHEZ ipsi JET est aequalis,

I et JET igitur angulus ipsi JEZ est aequalis (I. Ax.1.). ExÏeadem ratione angulus JET ipsi JZE estaelqualisï, et insuper angulus ad A ipsi ad J5 aequian.

p gulum igitur est triangultim JET triangulo

Si igitur chio etc. .Il

pp. 0p OSITIO v1. 033.352.)Si; duo triangula unum angulum uni angulo aequa-

lem habeant, circa aequales autem angulos latetaïpro-

codai: extra patafiolas puncto K concurrent: et, si duo seg-menta ZN, EM éd easdem rectae E2 partes ab pu’nllelii J13,

TJ abscissae suint, in ut si: ZN:EM.-.:0:ÎI, recta quoqucNM, altdn eomm extrema N, M intrigant par puncmm Ktransibit. Quippo rectis EZ, 9H se in pnncto K sécantibuo

i (paigaliehe enim esse nequeunt, quodsi enim patafiolas casent,foret ZH:E9 (I. 54.) i. e. 0.-;II,contra supposil.) est (Obs.2. ad v1. 4.) 211.29: 12:13. Sed 0b 20:21.1, 20:39. ien (V. 7. Cor.) Zngfl;ZH:EO, se (hyp. et V. 7. V. 11.) ’est"ZN :EM:0; 11.:ZH :EO, idenquc (V.’11.) tam 2mm).zKZJKE; qpam ZN:E11 :KZ:KE,’et hinc (Obs. 5.) (ampanera 1;, 0,- K, quem punch N, M, K iacent in directum. vIisdem porto, que supra, salmis et factis (niai quad rectiteO, H nunc etiainjpossiint esse aequales): tu: rectae EZ, H19,

190 . . ELEMEN’rdn’uM’ H

choyâmes Écrou tu)? wigwam, zizi Yang 3’eq 10;; glandas,

zig; (Ï; aï âpâloym ulwgœi ânoteiw’uow. ."Etna; (Mo æglywvœ 1d ART, JEZ, ,m’ow yww’ow

’5qu 6nd BAT la; 710719: 0?? 6nd EAZ ïmyv è’zovrm,

nsgl (9è Mg i’oozg lywviag 1&9 ululais oïroÉÂàyov, «fg

niai RA ngôg midi AF .o’b’œwg w,» Ed 91969 mil» dZ’

15’310) au iaoyalmd’u ion rrollABI1 cgiywvov fifi JEZ, 1915103715), nui i’qml é’ëu raja! au 6916 .41311 yww’av

fi Üflô JEZ , ruila! 0è 11316 AFB 7?; 17ml JZE.. 1211118070510) 7&9 ùpôg ph! mg? AZ s’u’ôsz’gx, and toïç

71969 «in; millél’olç toi; 4, Z, zinnia; ,uèy 103w 6ndBAT, EAZ un; fi 6nd ZzIH, mg; 6è viné APR un,

.5. and AZH. - - . .Actmi âge: q; nçôg zçî B yœvlœ 1mm? «pi 71969 r97

H 1’07] ëœl’w Zaoyw’wov Olga ËGTÏ cd XBF zglywvovfi

197 JHZ zgzydvtpà oïwéloyov Je?» émia! (59 à; Bd

9196911)» AF 017w; [il 71965 W1! AZ. 73162:6;-un 0l; mol aïs 9; 13A ngôg nia! AF 01710197; Ed 74169nia! dz. gai aïs (2’90; ci Ed wgâg min: dz 0’17ng 7;H41 wgôç mini ÀZ’ il»; dm ü E4 T’ai AH, aux]; muni

AZl 8150 M ai Ed, dz 000i "tonic HA, dz i’aou’

m9 se in eodenl intra parallèles puqcto a: cacabant, et, si sagn-menu Zy, En. ad alternas reçue EZ partes ab parallelis dB,’l1" J aboulas: 3mm; ut 0 ad Il, recta adam w; alun-a connuextremis iungens pet punctum n tramibit, quad eadem-modo ldemonsmnur. Cf. Pfleiderer. l. c. M. 77.18. . ’K

0133. 5. Qune in Obs. 4. vidimai, innerviulnt’nolvendoproblemati. quad in Loc. l. et 2. Libri I. Apolloniî de Se-cticme talionis habetur. Pueterea inde pater, in qùadn’lateris,quorum duo laiera mm. parallela, rectam, quem lues lutera bi-feu’am dividit,, et diagonale. figul’ao in leadem inma (lundi-Ha;-

terum puncto se nous; et ai alumina lutera pâtallela non

u

1.1351: 532x705. l 191 pogtionalia; aequianguln e’rùnt tâahglfla, et aequalei

lhabebunt angulos, quos homologa halera subtenduut.I Sint ’duo triangula ABP, JEZ, unum angulum

BAF uni angulo EdZ aequalem habentia, cime ae- lquales autem angulos latera proportionalia, ut 13.4 adAF ita Ed ad AZ; dico aequiangulum esse triangu-lum ABF triangulo JEZ, et acqualexn habilurumesse angulum ABF quidam angulo JEZ, augulumveto AF B ipsi AZE.

Constituatur enim (I. 23.) ad reckam dz, et adpuna; in ipsa .4, Z, alterutri angulorum BAF, E42aequalis ankulus Z4111, angulo vero APR aequalis

ipse 4ZH ’Reliquus igîtur angulus ad BIrelîquo ad H neque-

lisl est (l. 32.); aequiangulum igitur est triangulumART triangule JEZ; proportionaliter igitur est (V1.4.) ut RA àd’AF in: H4 ad AZ. Ponitur autem et lut 3.4 ad Al" ira Ed ad dz; ut ’ignur (v. u.) EdId dz in HA ad AZ; aequalis igitur (V. 9.) EdipsiAH, et communia AZ; duae igitur Ed, dz duabusHA, AZ aequales eum, et angulus EAZ angulo

tint, haec, arque rectum! Bifariam litera pataude dividentelnin eadem extra figurant puncto caouanne; in pal-indagua:-mi: igüur diagonales, et recta: bina mon opposita bifuiundividentes codem in puncto se "au: quod il: fieri alio mode«stendhal: in demonstrnüone XI. 59. Cf. Pflpiderer. l. c. M. l79-82. ’ ’

I Obs. 6. Peçpendicula e tribus angulis trianguli alicuiusin latent opposita demissa in eadem puncto se ilntersecant. Si:(Fig. 554.) 413F triangulum, in quo duo perpendicula ex op.positis ahgulis in leur: AI", dB domina le internant inpuncm Z, iugatur .42, et ptodueatur, si opus est, aquarium I

l

4192 . zuamzn’ronumrsial, gui ;mw:’cc tînt; E112 ytoa’içz "a; 17,716 H212 1’01].

[3&on (2’941 JEZ fléau T); ZH fini» ïaq, and r6 JEZ

190mm? un; 4111Z Iglyolwp i’oo’yle’ozl, and aï lamai

www mîg lamons 7owlulg ïaal ébowuz éxatéga ém-æépç 1.)" 159?) à? ai ioaz nlevçai Ünozst’vovotV’ ïm] (âge:

ÈRE? o; ph! and 42151 a; Éva; ÀZE,1iô*è 69ml AHZ ’

a; and JEZ. t une and 42H T7? and AFB en»l’on, mû, 17m; APR âge: ni «Mû JZE émût! l’or]. , A

lTflôxsno’u 0è- zai ai Üflô BAT 7?; .6916 EJZ l’an, me

1017M taïga 77’ wgôg nô B iomy’ ni 71969 14,5 E l’or;

ilru’w 5007157va d’au 8012 r6 ABF fgiywvov 14,5 JEZk’tgcyœ’ælç). ’Eoîv 02’900 8150 ïçw’ywva ami à) astis.

l

HPÛTAZIZ QI. I j’ ’Eoîw (Mo 1917024212 pion! ymw’cw pic; 310111123: ïorjv

u l 1 n I î ï ) I-am, 71th Je mg «Mac ywwag mg alevgag uwaÆoyov,105v 0è immolai ëuazëçav (flua 1km adornera, à" [miëlddoova ôgâfiç- iaoyalwu à’o-rw ru) æçl’yœw, ami Yang l

55a mais ywm’œg, vagi aïs 03110510764! aïeul a; n).evgal’..

x,

l 1) Verbe inculpa Émrlgç, quae Peyrardus consentienteGoa; a. omittit, ex odd. Oxou. et Basil. resmuimus, quumalias adam Euclidi solemne ait, verbe pro ositionum antece-dehlium exacte dure, et in I. il. haec ver a expresse sint.

même Br mourra: if: 9, cric Je perpendicularis ad DE Iun- -gaur enim JE, et cirez lrianguluml JEZ desçribatur eirculus(1V. 5.3, crique, ob auglxlnm gecturn JEZ, AZ diameter cir-culi (Obs. 1. ad 1H. 31.). Endem modo ostendctur, yjz essediametrum circuli ciron triangulum AZJ circumscn’pzi: itague

pianota A, E, Z, d in eircumferentia eiusdem circuli positalerunt: At 0b angulum EZBZAZÎ (I. 15.) et angulnm [IE2

. -:sz (Intel-que enim reculs est), triangula BEZ, F42 au":aequ1ian5gla, adeoque BZ:EZ:.IZ:4ZV(VI. 4.), nuthàlterne ,

l . Lutin serre; ) 193aequalîs 5 basis igîmr (L 4.) EZ basl 2H (et aequa-lis , et triangülutn JEZ triangule zlÏIZ acquale cet.-et reliqui angull reliquis’ angulis aequales lemnt, allerIltel’l, (11105 aeqmfliu latent subteuduut; aequalis igîtur

est AZIÏ quirlem ipsi 412E, angulus vero 411Z ipsiJEZ. Sed ipse JZH ipsi 11T B est aequalis (comma).et B igitur ipsi JZE est. aequalist Panimr autemet BAÏ ipsi EdZ aequalisg’et r’eliquus igiturladBrell;

(11mm! E aequalis (I. 32.); aequiangulum igîtur est tri-Iangùlum ABI’ triangule JEZ. Si igitur duo trian-

t gala etc. lPÈOPOSITIO vu, [FlgæSÈÏVJ

Si duo triangule: unum angulum uni angulo acquêt-Âlem habeant ,. eirca alios autem, angulos latera propor-tionalia; reliquorum vero utrumque s;mul ire-l minoarem, vel non minorem reeto; aequiangnla eruut trian-gala; et aequales habebunt ahgulos, circuquos pro-n

pardonna sui: latere. l 1 VBZ:I’Z::EZIJZ (V. 16a); Qnonigm igitur latere cil-ca ont.galas aequales BZÎ, E24 mut proportionna, triangule BZ I142E un]: aequiangule (V1. 6.), adeoque Ingnlus 21132-4342:

) A: nagea (tu. 721.): itague EJZSZI’B:ZIÜ. Pne-(que autem.et,BZA:-;GZÎ (L 15.): itague «jam Alma-mil.(I. 51.), adeoque, Quum LIEZ recule lit, rectus erit etiamZGP, vvel Je perpendicularis erit ad ET (Playfair. V1. Prop-H.). à Paulin brevius- in demohstntur, esse mgulum il?:Ede (hmm 15E!" lit reclus aeque ne BIT, ex COL 2- flalu. il). umicirculus super diamante 31’ descriptue par B et4’ lransibit, me ce: mangez au. 21.). Via. KlügehWanerbl Il. Thup. 925. et, qui au p. 926. laudanum salerasin Nov. Commentan Petrop. Tom. XI. e. l765o - Ath-ü P9)

l mais. mènent. r. u. y . N

19’! ELEMEN’TORDM

"E070; (Pire ægiywa’a 16 JET, JEZ, pion! flaflas!(n’y fouliez l’ami 6’101’Ta, 1’737 1771053111.Q î]; 17916 E412,

flapi 6è tillac 7wwiug et); 6,16 ABF, JEZ, maisnlts’pâç dtulloyoæ’. 014: un .43 wgog 11,11! 31’ 017’th

a» JE «7:96; fifi! EZ. ":er 6è ion-mît! fait! 97969 TOÎÇ

F, Z agora-90v intrigua! élut» Eldooovœ 690i? 2.57m

au iooynlmév (ou 76 JET miyœâlov T9; JEZ 19(-7:6vç:,- and 7m; 5mm 617916 ÀBF ywi’l’a et; final-JEZ.

«(à 7.04916. (l’yÂm’tln 1; n96; a); I’ 10mg] 17; 7196;; a;

z âm- Â tEi 769 à’woo’; (ont: 1; 1.5716 ABÏ’ ywvia et; 57:0l

JEZ, [m’a 041.7161! partage! imita "E011!!! guéiez! 7;

1516 ABP’ ami www-161w 91969 17; ÀB 617.3Mo, andest? 41969 aficionado) (le; B, tu? 25916 JEZ .ywm’ç ïo’q

1: 15-1156 J811 I . v.liai «En? fat; 8612:! "la! A 7min 7)] d, r: 45.1- «En;1113H fonda 1]; 6:16 JEZ, 1mm) aigu 726916 ÂHB gémi? A

Tfî 15ml leE Écrit! for liunyolmov (59a étui 18 A]!!!Igfywrny "a; JEZ tolydfvço’ è’otw d’çu aïs a: A]? 7:06;

11211]!!! 0131m9 JE n96; fuis! EZ. la; «là 11E«:096; in!!! EZ 00’th tîno’xsnuz 7; AH ngâg wâvBP’ mai

sic aigu (Ï Al? :1669 16v BD oiîmg Afin-963 mît:

I.

"ont: et v’îce versa , si 19’pci’ftendiculaîis est ad En transit-e

debet -per Z. Si enim non transat, nh’a recta pei- Q4 et Zdut-ta ex demonstratione-pnriter erit ad ET pet’pendictdaris,Quod fieri nequit (I. 17.. Cor. 4.).

enoroèxTxo Vu.L Osb a. I. Bob. Simson. duobus hac proposition ennme-relis casibus tordant adam ,,omissum, et in demonstrauonibusmon l’arc occurrentem’l quo rclîquorum angulprum nhef oit

nous. "Donnonstntio autem Julius nous eadem fer: est, guet,-

Liman sath-s. l 195Sînt duo h-îangi’üa 1B1", JEZ, unum angnlnm l

uni sanguin aequalem habentiag angulum hampe 311F V Vmagma EJz, rima alios autem) uhguloe ABP, JEZ;

filature proportio’nalia; ut AH ad Br hardi) ml EZ,reliquat-nm me ad P, Z primo uttumque eimul mi.

4 norexuxccto; (une àeqiziangulumesse tüangulum Al?!”

triangule JEZ. et amination: fore engulum ABP en»gulu JEZ, et, reliquaire hempe angulum rad P reliquead Z arquaiem.

Si enim immuns est englua dBÎ’ angnto JEZ)mans ipsomm maie: est. Sît malot- :1131" ; et Confli-tuamr (l. 23.) M rentant 113 et ad puncmm in es B;anghlo JEZ aequelvie ragtime 1431:1.

l il quonîam aeqnalî’s est angulns q’uïdem A angulô

À, engaina veto ABH ipsi JEZ. relîqmts igimrv AHBrelique AZE est magnolia (1. 32.); aequînngdium igimr

est triangulum ABH triangule JEZ; est igimr (W.Il.) ut (13 ad EH in JE ad ÈZ. Ut autem 11E ad14.2 ne pontant A!) ad ET: ut igimr A]? sa ont.118 ml en (M. 14.), recta igim’r AB-edptrampxeipsnmm .131”; 13H est-Idem tuba mionemtaerpulit

culte saunai; me omnino hecësee. Viâeiaf. tatin". luttât: 13e-Sum nom-inanim affirme, quem cm fiston minot recta"eum «Un!!! «sont, quoengulm mm est. compmhandan

O b5. 2x Pater, hale proposition"! regpondere lei, quemml l.’ 26. Obs. 2x ut chum quintuln, quo duo n’imgule je?

quelle esse possum, tmtavimtm ,Et hac triehgulnrum "que. "lium "sa: ln-uennisso potes: nosm hue propoeitio codent mode.quo’phecedemes dus: demonnrariu Cf. Mamans. l. ’c. P. Il:

9. t6. l I ’

196 - snanuawronumÉH, 7,: 1113690: 1196; (intrigua! suiv Br, 13H rôv(1131614 1’15: 9.631011! à»; d’oc: émia! 1; BF ni Bile (55”58

and ywvùx 91965» tu? F yww’c; ty- tînô 311F 501211l’or). - ’EÂa’nuw 6è 6932?; ’tÏn6netmt a) n96; 74,5 P

flotteur Jeu-307W ôgâfic a) 67:6 BHT, «En mi irps-Etjg «un; ywvîœ v) 6716 A11B [lEl’çŒ’l’ écrit! 6’9197ÏQ.

Kai 3681101; l’or; 06m et] ngôg tu; Z, ami 95 fige? fifi" Z aigu palma; écrit! 690159. lTvzâuenat 6è 52.660.217

690*979; 6’an ahaner 0th:- (fou oïwoôç. 501w la; ont;

ABI’ yawia 6716 JEZ, l’or] 69a. "E0146? nui 1;ngôç «r55 A ("01; ri 71969 14;] J, ami 1mm) 65900 91965;ce? T 1047W: en: n96; T96 Z 1’01] t’on’w- L’ooyw’wozl âge:

ËOTÏ 16 JET Toijzwvov 197 JEZ requin». à s2412.02 197) mille! tînoxu’qâ’w «hampe: 10314 71969 mis

T, Z [mi lêldoamï 69199)? 2.57m m1111! (in and Minusiooyalwôv écu 16. ABP ægl’yœvov 74,5 (JEZt-tgtyolvgu;

Toi?! 7129 4161051! umaouwaolâévrow, Quota); 6d-50,681! , 351.701] 30th! 7; Br T1); BH’ alors and yw’m’œ

ai n96; rap" I 1.1; tîn6 BHF ion iodai. 0152 êldnwv6è 69197); 1,7 11969 qui R afin ËÂG’ŒWM’ 61’904 690i; OÜJÈ

7,5 67t6 BHF. Ibrahim: 1017 BHT ai Mo zœw’at)6’60 690454! 66:4 club! àÂoÉ’nweg, 57:89 imbu didyme».

06x âge: m5147 07114069 561w 6m) ART yww’a 1??15916 JEZ; l’or; taïga. "Eau 6è nul "969 a; 11.17553969 193 A fini, leur?) 69a 67:96:16 P lotszy’ fi11963 14,5 Z ion Envie. iaoyolwov oïçaü’mïæô ZBF»

qu’ywwou ’59? JEZ 199’679». ’Edv ripa Mo foirail

nui 1d (à); , s - Ï »:

on. a. . Triangulà euh conditionibus v1. à. mon. esse,

mi ex V]. 6. (vid. ad V1. 6. 055. 2.) Menu. Cf. Pfieiderer.

1. c. 5. 8:. I ’ .

mais]! serras. 197, t I 7 igitur est Br ipsi EH ’(V. 9.);lqu’are et angulus ad

T angulo BÎIF est aequalis (I. 5.). Minor autemrecto pouitur angulus ad F ; minor igîtur est recto an-

. gulns BHF, quem (I. 13.) qui ci deinceps est angu-lus A11B maxim- est rectd. eEt ostensus est seqmlîsesée angulo ad Z, etZipse angulus ad Z igitur maiorest recto. Ponitur autem mîuor recto, quad est ab.surdum; non igitur inaequalis est angülus JET un.guzla JEZ, aequalis igitnr, Est autem et angulus ad4 aequalis angulo ad A, et reliquus igîmr (I. 32.) adF teliquo ad Z aequalis est; aequiangulum îgitutj esttriangulum MET triangule JEZL

Sed et rut-sus ponatur marque angulorum ad 1’,Z norrrhinor recto; dico rursùs et sic aequiangulum

jase triangulmn ART triangulo JEZ.lisdem enim constmctist, similiter ostendemas ae- ’

qualem esse BF ipsi 13H; quare et angulusad ripaiBHT aeqnaÏis est. Non minor autem recto est au.gurus ad F; non est igitur minor rectorBI-IF Tri-spguli Vîgîtur BHF duo anguli duobus. rectis’ non aunt.

minores, quad fieri naquit (I. 17.);1rursus îgitur noninaeqllalîs est angullis ABI” angulo JEZ; àequalisigitur. Est autem et angulus ad A angulo’ ad d ae-qunfls; reliquus igitur (L 32.) ad P relique ad Z ae-quaîis est; aequiangulum igitur est triangulumlleI’.ipsi triangulo JEZ. si igîtnr dab triangula etc..

O Es. 4; Notari etiamekpotent, cesum priinum, canonnons!»angulorum and P, Z Marque miner est recto, scraper existere,

’ si latere dB, 4E adincentia angnlis (supin) nqualibul a, d

z

lm. 3 ELLMI..NTORCM

IlPÛTÀS-I: 6. .1.2321! à; 6980wa? ægcyaîmp (4’716 zig 698ng lyca-

skias du? vît! fléau! xdfim’ug zip??? ni leôQ 1,1: enfin,»

ceignant 5190:4 (ou rçî 8è 6511;: gai éüq’lozg. . .

-- "Rasa: tg’yuwov- ôçâww’ymy 16 ART 1 69W?

à?» 11h «hui Bd 1’ (urinal, nui ohm. mimi zoé A:(a): Tl)? BF iodèrent-Dû 44’ léym b’u 51:40:67 301cv

imines)» 1017 4B4» AMI L’rëtyuîywy 67-92 erg? 213F

mai à! 05.1352711249. * w. v’Eïvsl 1H29. 1’07; ËGÜV 7j tînt; BAT 2,013550? fifi tînt;

44418:3 6919:;- ydp ézqrégay, un) zoawfi vair 6’150, 791,013.

sans! rot? ce ÀBF nui un? 113.4 1; rigôç il? 13’ lama;(2’90; 1; «En; 411B 1mm] Î]; 6216 B4441 Écrit! i151]t faon-t

yuîwov 65904 Étui cd ABF -t91’7œ1’ou fui ARA merdait».

VLEnuvv (2’90; (Je 1j 3P ünozu’vovoa tu]? 693121! ses?ABF «5941145701! 71969 "mita 13.4 ünossîyovamfi 1151,: 0,93173!

"un? 1!th ngtyaîvov, oürwçm’mj 9j A3 17750731702400; Mg:

nazis un": F ymiow mi ABF 19524451100 nolis Wh Bd, Mahomet» wifi 301;» 7g? n96; 11,6 F, à")? 6nd 8.44

un? 43.4 maniait)". m’a à; AF szgôg T1)? A4 ôZUOR

emmy niai 7196; fui Il www, www raïa! Mnvgz-nivœw ré ARE déçut teignent! me 118,4 wapitis.600314114!th ré éon, nui voie moi ais ébats rowing- aisy-V

.9639 .cîrdloyw Exer- ôÎ,uo.eor aïeux fieri 16 ABF www-Ï

minou un: ami. gr, sa a. 18; et 1, 11., Con a, ce Pfleîaacter. l. ç. S. 85.

O tu. 5. Neccasitas tertine conditionit propositioni VL, aadiante: simili (ne ration: ovincilur, se in Obs. 2q ad I. 26.vidimuS, duo triangule, in quibus duo hués eum sagaie. uni60mm. appâta "trinque «gaulis dut, mon umper requalia

’ un; et ne" ad banc aequalitnccn; determinatioue opus me,

QI. PRaidoter. Xt c. 55. 89. 90. i z

Lus-en "amusa 199P a o P 0 s l T 1.0 VIH. (Fig. 3565

Si in. triangule rectangqu ab angulo recto ad ba-r sin perpendicularis ducatur; glu-de ad perpendicularem "

sunt triangula similîa et toti et inter se.’ Sit triangulum rectanguluxn :181", rectum habens .

angulmn BJIÎ. et ducatur ah A ad .BF perpexltlieu-luris ,44; dico simile esse utrumque triangulorumx1114], AJF totîgIBI1 et inter se, 4 .

Quonîam enim aequalis est angulus BAI’ angulo

AJB, reculs enim uterque, et celnmunis duobus ni.angulis ART et ARA augulus ad B; reliquus igiturAt" B relique 13.4.1 est acqualis (l. 2.); aequiangu-lum igitur est triangulum ART triangulo ARA. Estigitur (V l; Il.) ut’BIî subtendens angulum rectum tri-

anguli .2131" ad Bd subtendentem, angulum rectumttianguli 111341, ira eadem AB subtendens angulumad. 1’ trianguli ABI’ ad BJ subtendentem angulum ’

’ aequalem àenglua ad F, ’nempve 3.44 ipsius trianguli

.4341; et etiam Al.” 9d A! subtendentem, angulum adB, communem duobus triangulisr; triangulum igiturABI’ triangulo 11le aequîangnuum’ est, et lutera ciron

serpules anguios pr0portioualia babel; simile îgiturest triungulum 113F triangule! .4134. Similiter osten-

PROI’OSITIO VIH. IObs. l. Robert. Simson. manet: ,,mnnifestum est, alî’;

quem mutasse demoustratiouem, quant Euclides 1min. propoàairionis dederst. Etenim auetor ains pnetqnnm demollltlïverat(l’innguh esse inter se. aequiauguh . particvflatim ostendit, latxera enmm cire; aequaîes angulas pl’oportionelia ce», quasihon - un" factum fuissct invepropositione quarta 1min: libri.Ilaec autem Superflu: non inveniuutur in version: (Campani)

900 y ELEMhuronufirNov 4B4! .rgtyw’rip. ZOpm’wc 31) Julëojlâî’yîfl’tl

gai r95 AJF zelyuîvça (fumât! in; a; ART Vtg’lymlow

émingov 02.987157 4B3, .44? envenima! 5140:6? être:

619 9:91 JET 19946750. l t ZAérer) 015 , (in taxi dlhjîmg loch! «Mou! sa? ARA,

AJF Igr’ytuvu. l’Eflei gaie 09W 1,5 tînt; 1311.4 0,91977 if 13m; AAP

30-3111 5’01], «7.103 Ma; mi ’r,g 15216 3.44 ni neck 1137.1”

àhfxôr; am, anti jenny! (2’912 1j ngôg 193 B 9.04m)? 1?;

6nd 4A1" Iam! iooyoîwoy (59a étui t6 1:1le qu’aywvov 11,6. AAF Tgli’ltîvl’l), ."Eotw stipe: lis Bd«:017 ABd 79741312011, ânoreiuowoç en)? 67:6 BAJ, ’ngôç

’51)? 44 101? 214F revolver; , üflovsz’a’ovùotv rôti n96:

se? 1" ywm’uv, Ïch 1:7; 152ml BAI, Miro); min; :141m? 484 vetfaîvov, ünmsl’yovtm 1155! mâg 11,6 Bye)-

w’ew, n96; très: 41’ aînoniwvaay tût! 67:6 JAI’ mû

.441? réanimai, âme! mg" n96; rugi 8* and sa 1; BAI’ünozec’vovw w)? o’çââ-v mit! 1511:6 .448, n96: wifi (4P

I ânorsl’vovtmv finis! 6919,51! 11,311 157:6 mm Quotas! diga*45012 16 ABJ 1917104161! i9? 411T zgzyw’yç). ’EoÈy doc:

Gy. ôefiofm’z’ge, and ’70? 52179.. , .11.0 ,P I 2, MA,

u

’Ex 191) 1015100 çœvegdv, (in êoiv à! 691907:0le- rgz-. -

yôwp déni mi: 6937:9 ramiez; ëni 17;? fichus! néflnfig

v ex lingue arabicaiet nunc (a Simsone) omisse mut.n Ostçnsunempe ungulorum aequalitate, inter: Rob. Simson.: "Jujubenllgùlfl igitur mut niangula, aune lutera cires aequnles aligna.los prpportionalia habent (VJ. 4.); et propteren interne simiwlia sunW (V1251. Def. ), Et eadem fare est demonmstio ,

Campaniç . . - .I

t 1

une: amans. 201X

demns et triangule AAFsimile me triangule!!! ART;ntramque igitur triangulorum 1113A, AJF simile esttôti triangule ART.

Dico etiam et inter se esse similis triangule ARA,

AAF. ’ v iQuoniam enim rectuæBAA recto ÀJF est acque-lis, sed et BAA angulo ad 1’ osteusus est aequalîs,et reliquus igiture (I. 2.) ad B relique AAF est ae-qualis; aerjuiangulum igitur est triangulum ABA tri.angulo AAF. Est ligitur (VL 4.) ut HA trianguliARA. subtendens angulum BAA, ad An! trianguliAAF subtendentem angplum du! F, aequalem .îpsj.8114, ita eadem A4 ipsiustrianguli .4le, subten.dans angulum ad B, ad A? subtemlentem angulum..41.4!1 nianguli JAN, aequalern anguload B, et etiam

’BA subtemlens rectumeAAB; ad AF subtendentem. rectum AAF; simile igîtur est triangulum ARA tri-:nugvuloîleÏ’. Si igitur in rectangulo, etc.

e

COHOLLARIUM.Ex hoc evidcns est, si in triangulo rectangulo ab

angulo recto ad basin peu-peuqicularis ducta fuerit,

V

Obs. 2. Austin. p. 65. corollariltm etinm propositioni.Idiunctum repmbnt. Pfleîderer. I. c., fi. 93, cires banc rentra!»

servat: "prime lutins corollnrii lune, ipsis du! verbîs promore reluit,demoustnliones nitumur V1. 15. partis tafias:Lemm. l. ante X. 54. se Lcmm.’ post Kart; Contre ou".

d dem Pars filera in demonstrationibm partis fisc Lemm. l.ante K. 54.; partis tartine X111; 15.; Lemm, post calus-Parti;

l

202 i ELLMl-LNTORL’M

, v - AJ105, a) «facies: 7151! si; (ÏLÆIOEŒQ ryyyder luter;dettïloyo’æ’ ÊDTl’V’ fiai En 1129 (30206019 ami 4!de ânon-

povoüv fait! Ipsflultéw si figes tu? quittas: 512411913(lier; deimyo’v t’a-mu

.11P0T421l2 saTES doôsimjg tüôel’ag çà n’gogtazfrèv (145m dçpe-

un. . "En un si ôloüsîâu allât-id fi AB- dei (la; 1159 A

se signp-rttzfl’àw pæ’gog clips-isba n U v’Emrna’zâw dû 26 miter ami, (Milan; mg fillüéïa

de") 1917 A la; AF, pugilat! myélome. puni si»; AHqjqotînuv’ and eîÂ’g’qaffw vexât! amusies! irai mie AF cd

A. nul xat’eâwaay AA ïam ai AE, EP’ and âne-;eézüwîof. BI’, mi du? un!" Alnagdurglogt fixât»

v: JZv hultimae mu. 18. se m. a. Collect. matlletllt. Pappi, a Pro-positibnihm V1. 8; et Vl. Il. deducta manu; serins itague,mus illius frequentis causse, mm lacis citatis, mm alibi, utlin deutonurationibus xux. 14. xm. 15. xm.16. mua (sonun restituta) est censenda." Addit deinde Pfleideret’., prame:dans proportiones corallin-le hoc enlmcïntas uotarl mereri ed-me .s’eqnenteszï 1) latins, quad trinngulis rectangull angulum

nectars: subrendit, est ad qlterutrnm eius lntns cires Ingulumrectum, mi reliqnnm ipsius lama cires angnlum rectum estau! perpendiculum ex veules anguli rectl in hypotenusam de-niîssum, et alterne (1V. 2) Unum trimguli rectauguliyLues cires angulum rectum est ad alterna): mi, quad priori

A 3:15am, segmcmnm lnypotcuusse, perpendiculo in «in ex val.’ lice àngulj recti’demisso abscissum, est ad ipsnm hoc perpendi-

cùlnm; val lui-hoc perpendiculum est ad segmentum hyPote-nus-as ndiaceut’lateri posteriori (ulV. 11.). ’

u

meneaux-res. . 203ductam inter basîs segmenta vmediam proPOrtionztlemesse; et etiam inter basin et .utrumlibet segmentez-nm,huit: segmenta adiàcens talus, metliuiu ln-oportimtale

esse; I A l ,il PROPOSITIOt 1X. (Fig.357.)Ah data recta imperatam partetn auferre.

, Sit data recta A8; aportet ab ipsa A8 imperiumpartent enferre.

lmperetur pars tertia; et distant" qunedant recta’4P ab A, quemlibet angulum continens deum ipsaJE; et sumatur quodlibet punctum A in Ali, et po.

. nantur ipsi AA aequales AE, EU’U. 3.); et tungattu-BI’, et par A parallela huic ducatur AZ (l; 31.).

Obs.: 3. Cam suguli in lemicil’cnln sint recti (HI. 311.);perpendicularis ab quocunqne peripheriae circuli ptlncta il!alignant eius diamantant ducta est media prnportionalil inter«gluante diamant lutins à!) pet-pendieulo illu fana: et quas-libet cit nli chorde pet ceutt’um non tramions media propor-tionnant est inter diantetri pet alternant!) enta extrenmm due.tu segmenlum iysi adiscens, quad perpendiculttm ab alterachat-da: extrema in diametrum banc demissutn ah sa abscindil,ipqemque diametrum (Yl. 8. C013). Cl". PHcidcranr. l. c. 5. sa.

PROPOSITIO 1X.Obs. l. Bob. Simson. monet ndemomtratlia lxuiul flet;

est in à": psttieulari , in que seilicet pas tertin ebseindendaest ,1 data recta" (pantes teuorem’, ut Pflddet’et. addit.. un:prupositianis, quem expositianis, et Abaque un. mentioue up;plicatianis solutionis exhibitn paniculstit ad enteras cama),

n

204 .LLEJIÆNTORUM

’73 t I .. -un) am! «(urinait 70v ABP 17(le pian tu"!

. - t ï ”flfiflïwn’ me BIÎ final ZA- dvu’loyow «galet-2V

,th si FA 71969 nia! AA 041w: 75 DZ 71969 me! ZA-AmM 6è FA flic AA’ 8m29; aigu ml si BZ nieZAt qualif- taïga si HA mît; AZ. -

I Trie aigu doâet’tmg affiche rie 44131:0l Entrazfièv

mitas! pipes (Mignon se AZ; "Once Eau neuf-am;

IIPOTAZIZ 41’s.75)»- Ûoôeïatw stiæhîtw tinteras! 13,7 3008M]; sti-

fiet’ç zeltptjpévy tipule): sapent. i -"Etna; 1,5 pub! domina aiment Émettre: si AH, si

de, fantasmées; 7; AF (dei à) "nia! A]? d’ami-zest s’y;

AF serpenta!!!) cipolins vapeur. "Etna: remmdvy siA!" 1), une? tu? A, E amuïes, mi nelaâoiaavtdicrs70)?!th esquiver mett’zsw, aux) 371555151190) F8,aux! t’ai Tait! A , E ni Br negoilloylot oîzâwaew aiAZ, EH, ôte? de e017 A ni AB 7105905194110; filme

si 49K. I I1) Quae uncis inclus: sunt, denim in cd. Parisiensi et

Codd. a: le. d. Quum rumen in expositione aptid Euclidem,en quae in problemate fieri iubentur, ex vesse repeti saleuse,gamina illn omnium esse videntur; et li ratii tantum incuriain Mas, omisse. laque me restituimullex «la. 0mm. et

Basil. t l.1 l"quatre minime videtur Euclidis esse. l’Iu’tetetvesw iniquement

magnitudinibus propartipnslibus A concludit mâter, tex-tient se.quemultiplicem esse quartae, atque prima est sec-anche; quad, ’quidem in .libro V. ut eum nunc ltnbemtu, nullibi ostensum

x est. (Vid. Prop. D. in Exc. ad L. 1V.) Sed hoc, ut kalis,stsumit edimr ex ennfussnea apud vulgate- t’ecepta proportio-mlium -notione.fl , Generalem deimle Simson. addit damon-stratianem, dum trempe iubet rectam -AI’ mm multiflicerh

,Lrnzit senties. t 205[taquer quoniam uni lateri Br trianguli. ZBF pas»

rallela ducta est recta, ZA; erit (V1. 2.) ut TA ad. 4,4in BZ-ad Z11. Dupla autem FA ipsius AA; duplaigitur et EZ ipsius ZA; triple igitur BA ipsius AZ.

naa

A!) ipsa igitur data recta AB imperata tertia palsablata est AZ. . Quod apartebat face’re;

PEO’PÔSITIO x. (Fig. ses.)Dçtam rectam insectam similiser secare, ut ’data

1

recta secta est. Ï

I Sil data quidam recta insectn Ali, secta.vero AF:opfirlet insectam rectam AB Siluiliter secare, ut AHsema est. Sic AF secte in .punctis A, E, et poum.tm- ita ut angulum quemlibet contiuemt, et iltngatprIl], et (l. 3l.) pet A, E ipsi Blvparalle’lae ducau-tur AZ, EH , yer autem ipsi A3 parauela ducs.

un AGK. t ’ ’

mini rectae A.) pro lubitu sumac; quant multiplie: essedebet AH partis abscindemlae, et reliquis pernods, ut inmais graeco ,i condudit, esse (V1. 2.) 12:44:32: dz, et;(V. le.) companenda JÏ:AA.-:.AB:AZ, imide (V. Prap.D.) AH nm multiplex exit mue dz, que!!! multiplex sunnafuit A? restai: Il adeoqne [Z eadem pars erit rectae 71111,, vque pars est Al matie 41’ i. e. AZ erit liât! a recta .43 si);scindeudq." Endem démousmttia, nomme Pfleideter. l. e. 6. 98. t

in «in flasque subsidio Prap. D. ebsolvi parut, ut-s Baer-mana in scholio adiuncto ramures. A 0b [annelas Br,34 est JP:Adc-.-.JB:JZ (Vil: in Obs.. velleliente (V;16.) JÏ:ÀB:JA:ÂZ.1n4XJ:n.ÂZ (v. il. V.15.) me; i«me n numerum éntegrumy’iuxta quem duel)? multiplia:f ’

esse debet partis abscindendae. Quate- "eum. si! AÎàXAl(enlisa) ; retâter est ABsnXAZIV. 14.). . l

206 lïLlïfrlllîîTORrMIïagalàofifiylkguflpov figea êotëw-éxu’ngw 1451) 29,

I613! 3’09; [591945 [tu 49 tu) Z11, âè 9K "5;; HB. K12) 2nd rptynh’ov nô JKF nagé pima (raïa! 1:2.qu

9:64! To)? K P «Maïa «61mn 92 OE’ (bidioyo’y tïgu étui?

. 0;; TE minis "j’y Ed 0’17sz 1; K9 n96: fifi? 9.41.11mg ’d’è v; n31! KG 1.1? En, il)? (9d 1?; HZ En"!(59a (Je o; F E «:367; "je! Ed 05mg zî EH .ngôg 11,33!

HZ. 110w, 3nd zgzyw’wov 10:7 11H13 71.an piavraïa! alangoîv 1&1! EH vinait a; Zd’ (iærdloyav 1390:.35m 1593);- EA HQÜQ 11,31» A»! 013’er 1,5 HZ n96; tria:

2A. ’Eôeiz-Ûr; 6è- mzi 059 F E 91969 nîvEd 017ng. ri B]! S’IQÔÇ.WI;’V HZ’ ému) 079w «Ismaël» I1; TE 51969

mis! Ed 017qu EH i196; 11)?! HZ, ois 0è 0,5 Edn96; tu!!! A]! 01774:); ri HZ ngôg fifi! 2A.

YÏ 129c 00mm 5635m chymes 75 AI? n; âoâeioy611.06? 757,1";pl’ry En] AF Cîflül’çJQ tinamou. "0m39

586L flOUÏGal. l ’ ’

HPOTAÊIZ «ifù .460 6019510151! lmîâeuôa’, rein-v a’wcÊÂoyoai arecs-

avgæîr. 0 bu 2. ËnJan ratione ab du: rçcta JE abschdetnt mg.

uranium, quad ’ad ton-1m habeat rationom dans racine minesris M ad maint-cm M-I-N; W] quad ad seglfienzum nsjdnumfinirent reticuem dame racine M ad datant N 3.31m dm rami18 speabitur in du. ratiche, même [lithium du!" If ad da-[un N, abscisça Hampe Adè-M, dlïzN, religuisaue tu inVt. 9. ’peraczis (Vida Pappi ad’Libros du Sect. ranimais Imam,

Il. Contrer. Mathemn Halle. p. XVllI. XLV; murins, Tacqnet,fifi) Pflcideœn J. c. Q. .Similiquc ramone dans renne JEaiia ab pixncto inde À in dircclum adiicietur, quae ad ipsamlubënt dçzam raliuncm, datât nimirum mon: à! ad chum N;

D

LIBER SEX’rlrç. 207.Parnllclogrammum igiilur est ’ntmmque ipsomm

Z6), (91); aequalis igitur (I. 34.) Je ipsi Z11, 9Kveto ipsi [1.3. Et quoniam uni laterî trianguli dix’I’

ipsi nempe KF parallela ducta est recta 9E ; est (W.2.) ut FE ad Ed in K9 ad 6M. Acqualis autemest K0 quidam ipsi BIT, (94! veto ipsi HZ; est âgi-tur ut T15 ad Ed in EH and IIZ. Humus, quonînmuni lalcrum trianguli AHE ipsi nempe EH parfilaitducal est Z4; est (V1. 2.) ut Ed ad (la! in: ÎIZ mlZ411. Demonatraium autem est et ut TE ad Ed in13H ad HZ; est igîtur ut FE quidem ad Ed inm1 HZ, ut vero E41 ad 41A in. HZ ad 2.4.

U

natal igitur recta- insecta .ÀB dame rectale sectae

. lAP sirpiliter sema est. Quod Oportebat fanez-e.

PROPOSITIO xi. (Fig. 359.)Duabus datis mais, tartina: proportionalem invite

tire. *. , .val adam in. n: composât: a; du: 18, eiqne ab «InputindoA versus npposims parte! adieu: hauban: ad chah (1e! adadicclam) rationna! darne maiol’is M au! chum minorem N(Püeizlcrer l. c. M. En). 101.). I Caewmm apùç’ Campannm

proposicio nastm 9. est Vl. Il. -

PROPOISÎTIO X. Obs. ,1. Demanstrnjo. 1min; propdaitionis (que xipud

Campanum est VL 12.) m peditior redditur, praemiuç propu- - mon; in Obs. 5. a v1. 2; coùrepta.’ cr. Pfleiderer 4. c.

s. 102. ’ -

208 ELEMENTOIHJM"anoav a? âoüaïaua 8150 amena a: î) A3; A11-

and ucioâuaav yuwitw ,mgzæ’zmrmn wzlofiauvzikî 07jdu AB,’AI’ 791’154! chÉÀoyov wgqçeq’geîv. I

’Exficfllrfaümauv 7129 ai 11.8, AF Sari Toi A, Eautem, and «61004» "a; A]î ("on a; Bd, and ênsÇeûzâw

1E Br, and (Mi 1017 d ziagd2.5.a;).0g «th-[ri i100) 1j JE.I’Emi 017v zgtyaîvov (mû 14E, nage? 44-qu 1ko

713.6119159 71j? AIE vina: If Br, dvdloyôv 501w (Je 9;13.5195: 1.7:? BAI 0171m9? 11T izgôç 12))! TE. "101]3251i BAI ty’ XI, ému! Jeu «à; 1] 411B ngôg 11:3! AF

017ng a. A? ngôç «43’ TE. "" l A .4150 (59a âoâewuîly sûfleæîæl n63! 118, AF, 7915m

Jvdloyov «0’ng nycgeügerm FE. "07:69 58a mu-

0700!. . ’ ’ . .IIP 0 TA 21.2 (p’.

T9161! 000516051! æüÜéwîv, 7814591le 0270510701!

agogevpçîv.

-’thwvav a! domina! mais 4605m1 al A, B, FJe! dû 167 A , B, IF Iranien-11 «516110701! néogwgeîv.

’Exzu’aôwaav 3150 515mm; , ai JE, dz, ywm’cw

naçte’zovam zazoiîaav niai Üflô EAIZ’ ml 251’600) pi

phi .4 ïcn] 1,g AH, pli d’à B 5’01] 11E, zut En t); Pla?) 1; 49’ ami ivrzçwzüefaqg 11,79 H6, staèdlâqlo:

uôzg’ 1,7100) du: un? E2; I 1c , ’Î ’ . r.1) Verbe: 8:30 album, une Peyrardns, calment à secutus.

Marina, ex edd; 134511. et Mm. restilujnms ex mon: Euclidiin maraudons salami;

Obs. 2. Si «gadin fnc’rint uhîus lrianguli lateris A?

segmenta, alterius mm mais .48 segmcnia. rouis tertio4’ kari B!1 parallelis fuel: arum: aequdlia (V. P1131). A.) Rectal

nuque du. AI! Il] parles quutcunque aulnaies secabîlur-simili

I

r

LIBERlSEX’TUS. 209TSint. dame duae rectae AB, ,AT, et ponantur in

ut angulum quemlibèt comineant; oportet ipsis dB,AI’ tertiam proportionalem ifivefiire. ’ T I l

.Producantur AH, .41" ad puncta d, .E,’ et pana.tut ipsi AT aequalia Bd, et iungatur ET , et par Aparallela huic ducatur JE (l. 31.). A ,

Qupniam igitur uni laterum trianguli AJE,.nemp. ipSi AE- Rarallela ducta est ET, est (V1. 2.) ni A3. ad Bd ita 11T ad TE. Aequalis autem B4 ipsi AIT.T est igitur ut A13 ad AF in A? ad-TE.

’ Duabus igitur datia mais ’AB, AT, tel-fia propon’o L

lionaîis inventa est TE. Qùod oportebat facere.

5P a 0 P 0 s 1 T 1 o 1x11. (Fig. 360.)Tribus datiez mais, quartait] ’pr0portionalem in.

"venin. . , ” - ’Sint dame tres rectae A, B , T; oportet ipsi: A.B, P quartam proportiqnalem invenîre.

Exponantur duae rectae JE, dz, angulum coati.mentes. quemlibet EAZ ; et ponatur- ipsi quidem A ac-qùàlis AH, ipsi Veio B aequah’s HE,’ cit. insuper ipsi,

1 F aequalis A6; et iùncta H9, parallelarîlli ducatu;Tper E ipsa EZ (I. 31.).

mode, quslpropositum V1. 9. fiefm (Pfleiderer l. c. 55. 103.104. Clavius, Tacquet., nui). Cf. I. 54. Cor. 25. -

’ Obs. 5. Hua proposition nituutur solutions: variorumproblematum, figuras rectilineas dans varia lmodo in panesquotcunque aequalel, sen etiam in agrandi, ut partes (15mlinvicèm hnbeam rationna. .Talù problempza habentur in. En.

Euclid. meulent. P. Il. » i . 0 ’ -

’2l0 amaigrir-roman:’Evisi 034! îçcyaîvov mon? JEZ nage? [défi 003v

flâwguîv wfiv EZ inca: ci H93 En"! 02’904 «à; 4H

. 71969 tu)!!! HE’, 01700:9 de mais nia! 62. "I061 ü.5 a» AH 1,151,663: HEryiB,1ÏJÆAOWfiPè’azw 02’904 aïs fi A wpôé w)? B 017m; T aguis nia!

OZ. aT9161! 02’905 Joâsèoaîv dans. 105v A, B, T 15-"T m’y"; oïva’Âoyov nengsügemz OZ. "09159 En au?

fluât. IImago TA; 1 2 .y’.4150 6019810030! ev’ôawîy; péofiàl 05701,).on arqué;

evgsîv. 1 I - . ."Eazmaav ai Joôsîaçà 800 ’süâeîal, ai dB; BD

(hi 81j maïa! A8; ET pauma: 030.1107042 agogwgeîv.Keiafiwtmv 595 60.98109, ,uui yeyga’zpüw êni fuîç

AT intuüuhw 16 114T. mi fixâw 057:6 105F 01;-,uu’ôv (ni 21T 613196113: 70909 ôgôoîgï Bd, au). fins-4

gadzaœaau (12.44, 41”. 0 .clidis, ut quidam arbitinntur, vol, ut alii talant, in Macho; I0mati Bagdedini de Djvisionibus lib’to; apixd VVilkc neuo quierleichterte Methode du: Inhah geradlinichtey Fl’âchen zu fin-den; il; I. T. Mayers practiach. Geom. T. HL; apùd Pfieide.tir. l. c. M. 108-118.

PROŒOSITIO KITObs. Tartine proportionali duabus reçtis amis inveniènààé

insetvil quoque VI. 8. Cor, Sunna nempo (Fig. 556.) monB4 icquali priât" s’estimant datamni, et dilata ad nm par dperpenâiculnri A]! aequnli nounàno, jaguar Bd. Ducn de,-ildo in A Id Bd perpendieukri 41’, que ploduone B401:-cdrret in P, cri: E4:dd:u::d1-:N (V1. 8. Con). (alvin;ad han: Prop. Pfieidelær. h c. 9. 125.). Mite: Hem fiai pet

Lues vexa-lis. 211-,Èt quoniam uùiwlateruntt trianguli JEZ, nempe’

ipsi .EZ parall’ela’ ducta est H6; est igîtur ut AH ad

HE au dam 92 (v1. 21). Acqualis, autem AHquidam) ipsi A, HE veto ipsi B, dB autan: ipsi T;est igitur ut A ad B îta T id 92. h U

Tribus igimr datis mais À, B, T, quartai pt0poi-ationalis inventa est GZ. Quod oportebat (acare.

T tp ne o P b s 1 T 1 o xm: (Fig. 361.).Dumas. datîs "mais, mais... prôpottîàfiàiëfli in:

venin-e. ISint darne duae rectae JE, ET; oportet ipsîsET mediam proportion’aîem invertira. T

Panama: in directum, et describütur sùper 1Tsemicücdus AIT; et-dueàtur a B jaunets! ipsi 11Trecth au! rectos Bd (l. 11;) ,zket iunga’mar A1, .417.

partent alterna eÎusdem V]. 8. Ôor. Rampe, si prima testédata maior est, quem secunda , fiat BPTaequalis pristi", et,,descripto super eam circulo , est altet’o eius extremo .B apteturB4 aeqndîs secumlae, et ex au... Indus extremo .4 dentine-

Tmr in B!" pexyendïoularis .212, crique ET:BA.’:B;!:BJ(VIL 8. Con). Sin autem pfinia recta a... minim- est, quàmsecunda: super fila v. c. Bd tanquam eatheto triangulum con-uitunlur recta’ngulum- .418, enim hypotem 43 saquant dusecundao (ut in Il. 14. 1H. 17.). Tum ad banc B1! à: paneraeius sxtrsmo duetum perpendiculam AI productae occur-ret in I’ (I. Pou» 5.), eü’tqha É]: PEP (V1. 8. Cor.)

.Pfleiderer l. e. 5.7124. Pappm Collect. Mathehn HI. 7.- a: 1H.8. (Nostn Prop. Il. :9111 Campanun est VI. 10.) Guarani;si ratio duunm magnitudidum express. âtre! dans fiche;

.1

*2l’2 aLmrEN’ronum’

Kai ënsî à! aficmmligu yawicc (midi 17m; AAF,.6961; 3m17: Kui êyzei êv o’gâoziwviço 1907059143 T93 111T

051:6 .zoig: ôeûæig finaliste 3m 117:1! (70’041? unifieras rîmes

fi AB’ lai-dB c390; 1.071! mie (Musa); mangeâtes! mais!

.43, Br péan dwdloyôy 301w. Î ’ . .dv’o taïga 190.9510051! 456.9st ce?» JE, ET, M’a);

dvdloyov agogeügewz ri Bd. "07189 «2’65; flOl’IÎOœl.

B11? o TA 212.02To21! i’auw n ami Tîooyœw’wv 1) napallnloygaïppwv

a’wzmno’vfiœaw aï 7016119042, al flapi tu? ïoag yœw’aç

nul aïs! 10070:1!in maguMflloygâpflœv, .dWmenôv-. 000w ai 70.511001 ai rugi ride En»; 70075059, foot-émis!

émula. » , - ’"EG’tw 2’00: me me Zooyaîwa flœgdllæylôyeuppœni.

11R, Br, î’oag 51011009003; neufs T95 B yww’uc, andneiaûœaecflënî Æâslag ouï JE, RE, in" süâez’ag, taïga

sial une api Z3, BH’ 15’700 En èdvbAB, BT d’alu-

nsnôvâuow ouï nlavpai, ai flapi nie 100:9...7àw’œg,- woveéorrw ô’ru écria: de 1; dB n96; 17h! BE.où’1wg oi

HB n96; niai .BZ. ,1)(Locd îeoywvtwv, que v0x omnîno sufficir, hic et hi -

lequentibus edfl. Basil. et Ozon. habent: plus! 2’070 3169-1010 ywm’au. Utraque lectio ex I. 29. I. 54. eadem redit. Cae-temm ethm infra in demonstratioine V1. 16., ubi nostra lucepropositio ndhibetur, vox z’aoywvlwv ponitur.

x

douer hase yropofirio modem inveniendi rationaux duplicateur

adonis datae. APROBPOSITIO XII.Obs. Facile puez; e tribus mais dada, quiibus quarte

proportionalis inveniende est, secundam, que in figure textusI gneei prima 4H in direçtum ediecta-est, poste adam ex Il

"ne tss-rev- wm- ’"m

.w..--...--..,.... ..

-----------*. .....,..-- fi... 5..."...-

x i . ri . tissa SEXTUS. , 213Et quoniam in semicirculo angulus est 414T, rec-î

tus est (HI. 31.). Et qu’onîam in rectangulo triangule414T a recto singulo ad basin ’perpendicularis duètaest ZBE ipsa dB inter basis segmenta AH, BT me.die proportionalis est (V1. 8. Con). A -

.Diifabus igitur datis rectis 118, BIÎ, media pro».

portionalis inventa est B4. Quod oportebat facereÎ

P11 O P O S I T I O XIV. (Fig. 362.)Parallelogrammbrum ’aequaliùm et aequiangulorum

reciproca sunt latera, quae cires aeqnales angulos surit;et quorum aequiangulormn parallehgrammorum reciwproca surit latera cires .aequales augulos, illa sunt se.

k qualia; rSint aequalia et Iaequiangula. parallelograrnma JE,ET, aequaleshabentia an’gulos ad B, et ponantnr indirectutn dB, RE, in directum igilur sunt (I. 14.)et ZB, EH; dico ipsorum AB, BTrecipioca esselatera circa aequales angnlos , hoc est, esse ut dB adBE ita HB ad BZ.

x

versus H4, Ve! etiam (coll. Obs. 2. ad VI. 2.) e verticeiJ exeadem parte, ad quam est recta 4H, vel in cuire 4H angull

i H41? ad partes opposites ultra d producto mini, et mm reli-que in [cruribue enguli assumti, vel ad verticem si oppositisimili ratiche ac in textu grseco persgi. Plïaeterea étiam se-cunda et tertia alterne inter se permutai possunt, in ut iamnon, ut ente prima et eeeunda in uno anguli assumti crure,terrir et quarta in altero, verirm prima et terris in une, se-cundo. et quarta in altero sint. Pfleiderer l. c. S. 119. 120.Si quis’ veto disideret, ut prima et quarte in une, sheunda ettartis in eltero crure anguli tint, hoc quoque fien’ poterit, si

.214 .fiLEMEINTORUMZvynenlqçw’oâœ 7089 cd ZE nagœlbylo’ygappov,

’vaî 0151! ïoo’v Étui» ’56 AB nagalbjlo’yguppov

mi Br wuçaüqloyga’ppçî, 60.2.0 85’ il 161 ZE’ foi-w

âge: aïs ’56 A3 n96: rad ZE aimas mi ET m3139 çà

ZE. 140.1! (zig MM 1:6 AB 95969 cd Z1]? 027cm: 05 dBn96; min BE, aïs 0è cd 3T 75969 16 ZE 0’51’er

HHB 95969 nia! BZ’ ami aïs 0791» ci 431416: min! DE

017ng ri H3 nçôg mir BZ. TaWIAB, BF 0791; nœ-gœ-Mnlquoç’lupœy dvrrmmôvûoçaw ai nlwgaë, ai 70892

mais âmg glandas. . pl ’AÂÀoÈ ôfi dwmmoyâa’rwouv ai alangui ai 15692

de ïaœg yùviug ,1 au) gara: de dB n96; 7173! BEoù’zwg H13 p96; mi» BZ- lira) .614 i’mw ËG’û I6

113 nagoçlhglo’yèaM-pwu T95 BI1 naçoçÂÂyÂoygoËpmg. .

’Emè 7&9 ému! dg ri dB n96: niai DE oüwg ’IÏ 1

HB’nçôgï’âv EZ, cm3 aïs "à! ri dB aguis rial DE

021wa Id JE nœgallylâyçqpuoy m2139 16 ZE na,-çœMæyléygamwv, 9k 6è fi HB n96; miel BZ affiné

cd :1311 nugallylo’ypoomwv ngâc f6 ZE mguülqlé-nommez" mi aïs (2’90: ’56 AB n96; 16 ZE 01350:9 çà

BP ngôc "Ed ZEO Ïaov âge: 3012 16 A3 «mm-lôyçappov il]; Br nagœÀÂqÂoygdpplp. I To51! taïga,

îawv , nui. foi ibis, ’ ( 111). o TA 212.7 le;

Taie! 121m: and pion! un; 517ml ëxômœv ywm’au Wh

9’va dwmmévôumy (xi nhupoà , ai mgl 7&9 i’aaç

ex vertice anguli prbpositi prima in une orme, secunda in altero sumatur, (et gluau; hqmm rectarum panera. extrema mon *

aquun iungantur, deinde in codem crut-e, in quo sumu est

* ,neurula, J’vertice abscindatur renia , atquoxab airera eius ex-

x

a 4.3 w A»

LinnnASEX’rus. 215Compleatur enim parallalogrammum ZE.

Et qùoniam ampute est parallelogrammum AB pa-rallelogrammo ET; est autem aliud ,quoddam ZE; estigitur (V. 7.) ut A3 ad ZEjta ET ad. ZE. Sed (V1;1.) ut quidam ad ZE ica 4B ad BE, ut veroB1" ad.ZE in HB ad B2; exit iëimr (V... Il.) dBad DE if? H3 ad HZ. Parallelogrammorum igimr.48, ËF repiproca eunt latera, que cirba aequalesangulos sunt.

Sic: autem réciproca laiera fige; aequa’leslangulns,

et ait ut dB ad BE in HB ad BZL; dico aequaleau; vparallelogrammum AB parallelogrammo

Qnoniam enim est ’utlsz ad BE ita H5 ad EZ,Sed ut dB quidem ad BE in (VI. 1,) parallelogram-31mm: 4B ad parallelogramnium ZE, ne H5 vem adDZ ità parafielogrammum ET ad parallelagramvmumZE; erît igitur (V. 11.) .43 ad ZE ira BP ad ZE;aequàle igitur est (V. 9.) parafielogrammum A]? pa-

jalltalogrammo En, ,Frgo aéqualigxxi en. ’

I

PROPOSITIO xv. (55.3634.Acqualium et uhum angulum uni aequalem haben-

çium niangmomm reciproca sunt lattera ,7 quae aima

tremo ducaux: talmud ergs, in quo prima suinta fuit,lrecta, ». qune ait, ut’yocalnit, lutina-allah si, glue prima: ct çecuhdàq

entama mugit il a. in ducatur, lit eum cuire unç oundçhçpgulum gracia; quem 311d, cui antiparallela e339 «lober. 9mn

0 * .21.6 6 ’ ELBMENITORPLM

yww’uç- ami «25v, pion! 191669914! êxcîwœv yœvùxv 19c-

6yw’vwv, sznenôflâaa’èv ai nitev9al, al m9i mais ïaac

rowing, i’aa ëwiv agira. . ’ ."Emma i’oœ wigwam me? ABI’, AJE, pion! pu;

l’ami è’xowa ruminai! Mai 67:6 BAT 1.1i Ünô AAE’

Âéyœ blutait! ABF, AAE r9’tyw’flw’y émmeno’vâww

ai 711.6119043, ai ne9i mais hm; glandas, mome’çnw 6m

’ luth: aïs TA 7196991175» A4 oiîwg EX n96;

nia! AB. A ,.’Kst’oüw 7029 dîne in, 660435059 d’un 1767 FA ni

AJ’ ên’ 5,603142; 6’90: 5’012 nui 9; Ed zyi AB. Km)

www; ai En. v 1’Emi 06v i’aov étui m6. ABI’ r9z’7wvoal ni AAE

Ç9zyaîtwp, 66Mo 6è 1:6 ABA’ à’t’ww 65’943; raïs 16 FAR

. z9z’ywvov n96ç W6 B144 7917017011 017sz 1:6 AAE ægi-ywvov n96g 16 BAA æ9z’ywvow. ’AÂÂLuïg MM c6

PAR 75969 16 BAA 0171409 1; FA 3:96: mimi 441, aïs6è r56 EAA fl96c’ 16 134.4 017mm EA W969 mivA39 ml mg 6’906 TA n96g-r’âv 144 0171m9 a; E1n96; 961! 4B9 cuir ABF, AAE 6’904 z9tyw’æzœv ohm-ï

neno’vôaow ai 911811906, ai m9i rais fous 70:46:29.

alter» et vice versa. Hic quoque situa secundae et tertiae in-ter se .permutnri pçssunt. Cf; Pfleîderef l. c. 5. 121. ApudCampçnum Prop. nostrn V1. 12. non neparatim numeratur, andpraoceaenti VI. 13. (apuzl Campanum -VI. 10.) tamtam aubina-

gnan Iï PROPO-SITIIO x1119

l O b a. Pars posterior 0195.6. ad V1. 8. etiam adhuc bu-ius problematia solutionem éxhibet, facile inveniendam. Paci- .dorer l. c. 5. 126. Caeterum VI. 15. PropL est apud Campa-num V1. 9. Docetjlla ahi: verbis ,,si ratio duarum magni-

LISER’SQXTUS. - 217aequales angulos sunt; et quorum trianguÏorum’ unumangulum uni aequalem habentium reciproqa saut laterecirca aequales angulos , illa eum aequalia.

l Sint aequalia triangula ABT, AAE, unit-In angu-çlum uni aequa’lem’ habentia, ’scilicet angulum BAT

angulo 6TA’AE; dico triangulomm JET, AAE reci.» proca esse latera, quae circa aequales angulos suin,

hoc. est, esse ut TA ad 2h] ita E14 ad dB, 6

A Ponantur enim ita ut in directum ait TA ipsi Jar; -in directum îgitur est (L ,14.) et 1M ipsi A8. Etîungatur Bd. 6

Et quoniam aequalezest m’angulum JET triangulo *

, est autem aliud triangulum, ARA; est igitur -(V. 7.) ut triangulum’- TAB ad trianguluîn BAÀ ita

trianguLum AJE ad triangulum BAA. Sed ut TABquidem ad au ira (V1.-1.) 1:4 ad A4, ut E14vero ad au ita E1 ad AB: erit igitur’ (v, 11.)TA ad A4 ita Ed ad AH; triangulorum igitur 113T,AAE reciproca saut ’latera, quae circa aequales angu-

Ios sunt.l "v ’ h -tudinum expresse si: par datas meus invenite rationem lub-daplicatam rationis datae.

..

P’ROPOSITIO XlV.O b s. 1. Exemplum huiusmodi parallalognmmorum prac-

’bent, que in I. 43, vocautur parallelogmmmorum cires din-gonalem complemcnta. Cf. 4Pfleiderer I. c. Q. 134.

LObs. 2. Demonstratio,.qaa ex aequalitate sngulorum adB ope I. 14. infertur, si dB, BE sin: in derectum, fore etZB, 8H in ditectum, puent morem praecepà videtur, etrectius deduci pusse videur est ea conversa L 15. Prop.’quam

218 ELEMENTORUM . 7’AMcÊ (hi dwznmovôëwmw ai nlw9aî 1151! ART,

tAzIE 1977761191, mi ému) (6g i TA 71969 17741214!0171679 7j E1 71969 nia! dB. 15’749 au En»! 501116

’ABT 19lywvov 11,5 AAE 197705790. ’

ÏEntÇwzüel’ovg 769 7762.77! 17,79 Bd être: 301w 76g

fi TA 71965 17])! Al 0171073 7j E1 7796s 17h! JE,il)! ois ph! 75 TA 77969 161 A4 0171975116 ART191701707 77969 16 3.44 191’7wlyov, ois 6è 7) E11 71969

164i AB 017th 16 EAJ 191’yawov 77961; 16 3A1:19z’7wvow aïs- oïgœ 16 JET 1913107071 71969 16 BAI

9610:9 16 E44 19i7œuov 71969 16 BAA’ 619051690176’91: 1:51! 4131", 14E 77969 16 13114 160 «chôv

53’391 16701. i’oov (7’907 5011 16 11.81w 195701701! vgî E114

, p . 7 4 4 a19zïuîvço. A: Tow (7’90; ïaow, and 1a (557752

IIPO T421): si’Eoîv damages 4261951077 05105107041 «Je; , 16 77716 70h!

. . I6379707! 71397839317510? 6919070571794’ 3’001: 501i 196. J716.

1:57! néons! m9cszopëvgn 6973076711937 79657! 16 6776 163v

in)! Proclns desideuvit, et nos ex eo soma attulimus. (Xi.

Pfleiderer l. c; Q. 156. a ’ " t , l *PROPOSITIO XV.

. Obs. 1. Propositions: 14. et 15. une enunoiato, parian:ne dune propositions V1. l. partes comgxehendere, atque etiamope I. 54. Imam exv altera infen-e licet. Coninnctae autem,

-quem seiunctae ont facilita intelligerenlm’, quad" Austin. vult,leur! apparat. Cf. Pfleiderer l. c: M. 159.440.

O be. 2. Propositions 14. 15. parallelogùmmî Ve! trian-tguîi dati transformationem in diud du; lateris , cites condomvel aequelem angulum teducunt ad probl’emma VI . fuira casecîlicet quarta proportionalis latèri dam, et duobus parallvery

V stimuli, lrianguîive dali aima angulum designstum lateribus,Ï

..-..

. -.-- -4....- .

Lista serres. 4 219Sint autem reciproea .leteta flinguions!!! JET,

14E, et sit ut TA ad A4 in EA-ad 41.8; dico ae-quale esse triangulum ABT triangule 44E.

tuners enim musas Bd, iquoniam est ut TA 1a.441 ita Ed ad AH,» sed 111.11.11 quidam ad Alain(V1. 1.) triangulem ABF ad triangulum 314, et Ex!vero ad .41? ita triangulum EAAatl trianguium B44:erit igitur (V. 11.), ut triangulum JET ad B114 iratrianguium- E14 ad 13.44; utrumque igitur ipsor-umtART, 14E ad B144 eandem habet nationem; se-quale igitur est (.V. 9.) misas-aluni ART trianguleE1441. Aeqnalium igitur etc. ’

i

.PROPOSITIO. xv1. (173.3544Si quatuot rectae proportionales sînt, rectangulum

euh extremis contentum aequale est rectangulo sub me-dûs contenta; et si rectangulum sub extremis conten-

exit-ibet shaman aires hune angulum Issus patellelogranni ni-angulive .construendi. Nominatim ope Flop. 14. in oom-diem redigitur solutio prohhmatis I. 44. Cf. Pfleideqet 1,. c-

es. 141. 142. , iObs. 3. l’utile etiem Prop. 15. t’attend; polar ad trien-

guis, quorum un" angulus nains, et anus manias drains simulsumri sunt duobus mais ùquales. Cf. infra ad V1. 23. Obs. 9.9

. PROF. XVI. xvu.’Obs. 1. Prqp. 16. et Corentin-ions 14. et Bray. 17. ut

Cor. 16. sisti, vel etiam utnque immediete «lentement-i potes:iisdem modis, quibus 14.. Ambae adam sic snunciari pos-

» sunt: parallelogrammorum I’ectangulorum seqmliumlbues sunt V* shimdinibus reciptoce proportiondeo ;» se viciuim aquilin "au

2m ’ ’ Z anzmznçonunz

&uçœv nsp’texôyaàiov âgâoyw’woy i’oov ni 67:6 To54!

pëawvr meulage»? ôgâoyœw’lp, ai zéoaœgss êÜ-fieîat

oïw’loyov àbowm. . N I’Eorwaav ai (réoccupes aimaient 0170510704, ai A3,

TA, E, ’ZZ 059”); ABZvrgôg mimi F41 officié fi E ngâg

nia! Z- 1457m 5m ’56 0nd nia: JE, Z neecexôpewvôoôoym’mov îaoy êazl r55 mimi 1:57 TA, nsgzéxopévrp

ôgôozmvlçu. v Z . A Z71710000041! 7039145956 mis A, 1," oqpeiwv mis AB,

TA sûôæim: n96; 6919029 al AH, F9, and 1:6in» 1;)? ,uèv Z î’cn] 9i- AH, raid? E ü»; 7; F9,.mxi onu-

mnlnçw’aüwowl roi EH, de nagullæylo’ygœpm.

Kal ênsi ému! aïs ai ABZ ngôg m3! T4 affinas 1; E

ngôç 11h! Z, hm 3è ri pèv E??? F9, 9; 3è Z wfiAH’ è’azw 02’906 (Je a; AI? ngôg mimi FA ohms fi P9

ngôg racial AH’ 1074! EH, de 0’590: nagallflloyçdppw;

parallelagnmma rectangula, quorum bases un: altitudinibus(eçiproce prbgortiomlea Cf. Pfleiderer l. c. S. 14.5.

Obs. 2. Cum quodyif parallelogrammum obliqumgulum.534!!!an sil: rectan’gulo aequd alto super «du; hui (I. 55.):generatim etiam (V. 7. V. 11.) duo quaecunque battuçlogtnmmalequalin hauban! bases gllitudinibus rebiproce proportionalen,ac vicissim. Unde opeZ Il. 4l. V. 15. idem de trimgulis ae-qualibus deducitur (ibid. 95. 144. 145.). r

Obh 5. Quodsi prions 16. et 17. putes ad corollarù 8;in Elementis ac in Obss. 2. 5. ad V1.8. subiuncta applican-un; hue emergunt propositiones. Perpendiculo ab vertice an-gulâ recti trianguli rectanguli in hypotçnuum domino, 1) qua-dratum 1min: perpendiculi nquamr rectangulo suh segmentishypotenusneZab ipsé funin. 2) Cuiuslibet cntheti quadratumnequale est rectangulo tub hypouînusa, et subaigu segmenta,quod anhèle haie adiacet. 5) Rectangulum sa!) latîrlbus ciron.angulum rectum aequale est rectnngulo sub hypotenusa et par:

’ tenta.

ID

un"! ssxrus. 221U I

mm a’equale est rectangulo sub extremis contenta, qua-

tuor rectae proportionalee emnt. *en

SintZ’quatuor rectae propdrtionales AB, TA, E, Z,

tu: AB. ad. TA itae E ad.Z; dico rectangulum sub A3,Z contentum aequale esse rectangulo sub TA, E con-

Lchantur enim ab îpsis A, F punctis ipsis AH.TA rectis ad reçtos angulos AH, F9, et ponamr ,ipsi quidem Z aequalis AH , ipsi vero E ’aequaliaT9, et compleantur parallelogramma EH, A9. ,

Et quoniam est ut AB ad TA ita E ad Z, ae- ’qpalis autem E quidem ipsi m, ipsa vero Z ipsiAH; est igitur(V.7.) ut .413 ad M ha ne «1,411;parallelogrammorum igilur EH, A9 reçiproca’sunt la-

pendiculo. 4) Rectmgulum Iub alterutro latere circn nngulumrectum et tub perpendiculo acquitta: rectangulo sub altero les

jure cirez mgglum rectum et sub segmento hypotenqsae, quodpriori adieu: catheto. In circulo 5) quadratum perpendiculiab quocullnque petipheriae puncto. ad aliquam eiu: diamantinducci aequatuf reclangulo sub segmenïis. diametx’i ab perpendi-

culo factis. 6) Cuiuslibet chotdae pet centrum non transeuntùquadratum aequale est. tectanghlo au!) chamarra par unumchordae emleemum ducta, et sub diametri huila segmentechordae çontiguo, quad abZîlh ablcindit perpendiculum inman ex altoro chordae entama demissum. Unde porro con:

1 aequitur: parpendiçulo bypotenusnm trianguli rectanguli(diametrum circuli) flamine ex vertica anguli roui (punctqquoéunque pefipheriae), et in circula ductis ab hoc puncwmais ad exhuma diametri; 7) hypotenunm (dinmeprum) esse«3* alterutrum ipsius Segmentqm, util quadratuïn hypotenusae ’

(dimetri) ad quadratùm cubai (chou-âne) huic segmenta ad-

222 LELE’MIH’NTGKIUM

dWmma’vâauw ai nkvgaè; ai usé) ne? kits rendue.31211 a; iooywvz’ww netgœklæçlorgéyèflœdi Ëwmwnôv-à

49010:4! 0d alangui, al mg)! qui; ïaug glandas, 1’00: 3011:!"

8mm». kW (in 5003 i6 EH nagalhîléyeupwov up.49 nagallfiloygdflnço. K0) être; tu; phi 13H r6 41316div AB, Z, ïmr 7029 r; AH r7; Z- 166?: A8 18 6706Tub: FA, E, î’my 7039 «î F9 tr; E. ’06 02904 «En; naïv-

AB, Z WSQlé’XO’flÆî’O’V ôgâoyuîmow ïbov Sari 195 67084

me 1’4, E negzsxoyæ’wço êgfibyœviqn

’AMoË 87; ’56 17m;- A19 5 Z neçzsiôflaèov 690075:03-

W 2’007 5mm 131.507061th FM, E 7089031011579 0’9-ôoyw’yllp’ 10’740 au ut TËGUapEç 31519555050 âvdloyov 501w-

e un, 059, a; A8 «27963 mW TA oôïwg Ewgôç n)” Z.T54! 7039 0:61:50 mmuüe’yœaâe’wwv, 59105 16’ du!)

w"En A3, Z item ÈME 093 6906 10301 TA, F, rab émissi: W aîné maki-Æ, Z04) EH, 3’01; rée êarèvAH wfi Z’ 160.1935 6nd 103v TA, E T6 A0, fan 7039

mm: va un un. cintrai (èhôràae) qui.de .0 quadtz;«un influa negmemi; vel- un quantum cafhetï (dundee) ne.kentia and vegmento 0d quantum perpenaièuü. Neràpe

(Fig.- 566.-) .QI: ÎlmiFFXFJQGÜ. 4.- ad VI. 1.) :El’qd’Aq:dH’XFI r nm A A »:*.4Pq : PJq

« :ÎB’XBA :19de daman

hm 2. 6; 18) lpu autem hypoteirdia’d (amati) regmenta me; mi qui-d’un cathletom’m (chëtüâmm’) adiatelitium’ B]: A": TBVXBJI:

.rzxjr (ou; 4. üd’- w. a.) :anm-I’q (un 21 6.);9) .Eoderhque, qun’ in: 8.*mddoe osten’ditur, ex’ océan pori-

pitaine plincto (fieri! dimetro et daubas pluribmve phordin;peipéxidîcnüsqlïo il) «au Rama ternfinil in diamétraux dè-

miuis: quadhta" emmura une ut segmenta ipsi: adhcemia’

l

Lumen. serres. - 223leur, que aima aequalea ,angulos saut. Quorum anaton: aequiangnlomm parallelogrammorumn reciproc’a

sunt bien nirca aequalea angulos, illa sunt aequalia I(V1. 14.); aequale igitur est parallalogrammum EHparallelogrammol A0. Et est-EH quidem subAB,Z cdptdntum, uqualie éliim AH ipsi Z; parench-grammum veto A9 sub TA, E continetur, .aequalis

enim F0 ipsi E; rectangulum igitur sub AB, Zçono.dlentum aequale est rectangulo sub TA, E contenta.

Sit autem rectangukxm sub A3, Z contentum ae-quale rectangulo sub. TA, E contenta; dico quatuorrectas prçportionalés fate, ut ad TA ita E ad Z»,

liedem enim constructis, quoniam rectangulum sub-AB, aequalë est rectangulo sub FA, E contenta,et est rectangulum quidam sub AB, Z ipsum EH,musais enim AH ipsi Z; rectangulum veto sub TA,

diametri. Cf. Pfleiderer l. en 5. 147. (Caeterum quatuor pri.mas in hac observâtibne occurrences propçsitiones iam vidi-

I mus in corollan’is ad I. 41. et I. 45.).

Obs. 4. Frapositionum Obs. praecedento expositardm tu:primae, mus in denîonsmmdis X: 34. X. 35. X. grilla lFlâduntur in Lemm. 1. ante X. 34. dt ope V]. 17."V1. 16. anhi-liuntuÉ mHeâi’mtibus analogiis une abHVJ; 8. Cor. parte prisai Z

pana, engrais ex ipsi: propositionibas’ V1. 8.- VL 4.,- daim(fié. Obs. 2. m Yl. 8.); tertia imager demorstrntur, rectumsgluis sub RA AIT, 281" et .44 dateripzh ,- colligendo ex la.34. utrumque .duplllxm esse trinnguli’ A31? Prince. et 6:ch4âac demomtratio eadem, que in Lemm. 1. une X. 34. repe-üzur in Lemm. pas: X111. 13. a4 etficiondam peaufinaisseptimae (Obs. à.) pattern rufians. Eiusdem copinas parafrima in demonstrnrionibus X111. 14. X111». 15. X111» 16. un.

z

224 - gramenroxwm.5 P6 c7; E3 16 d’en 1311.1210. Sari 793 A9. ami ê’oow

iaoyw’wa. T151! Je ïawv nui îoo’yww’wv 7101900119716-

ygdmmv dmmsnôwâaaw ai alangui, ai «anet trèsTous yww’ug- 5’01sz 0794» de ci AB 70969 niai I’A naîtra);

7) T9 n96; mir! AH fin; 8è a; pèv F6 a? E, 6èAH m" Z. 801w 02’904. ais si BA ngôç min! TA- 0:7-rang, E n96; mir! Z. ’Eoîv 0790: réarmes; , nul un?

557k,

.HPO TAÉIZ la’EeËIv tous côchiez; 05110516701! 05m, 16 aïno mais!

ânon»! nsgtszôpevov 6919070141001! î’mw Sari 795 tin-d

zig gémis ringaycôvtp’ mû! 16 45m3 raïa! oïupœv aspre-

zo’pevov 6919070541101! 5’004! 9,! la; 05706 Tri; [108’on ze-

rguyw’mp, ai rosis .w’âaîat dvéÂoyow.èbon.

”’anaow rosis 56mm dvéloyov ai A, B, F,I de 7j A 71969 fifi B affirme-ai B ngôg mais! P 183m:

ou 76 dm; e031! A, P nepzsxôps’yow 693907057404! focalEn! 191 057:6 Mg péage mais B tergayw’wlu. .

Ku’aâœ ni B i211; ri A.

quem notrflsimpüciter qumitur: parkerque bis in demonsrrnorionerXIlI. 18. «fiel autem, bisve, eum rainurera rations»,2001050509 rée s’en et; ÀBI’ fairway a? I114 www: inde.

. monstralionibus X111. 13. autem, pariter ne secundr 11)an inXIIL 18. ex proportions BF:PA:AP: FA, vel PA:AF:AszZ’ rnrsus utrobiqne ab V1. 8. VI. 4. deducta infertur petV1. 20. on. 2. Quae 0mois, juncta fis, qùae Obs. 2. adV1. 8. sont; fuere, nimis, quam ut auctori Elemcntorum tri-bui pouint, ab methodo abludum alias ipsi solenni’, praemù-

’ pas demonumionum lubsequentium suis lacis nd perpetuunrdeinceps usum stabiliondi; nominatim etirm theorematurn ge-nenliorum ad (peuhles «sa: applications: frequenter déficela .

Luna ssxrvs. .. .225E àpsum de. aeqmlîs eum; ne îpbi E; crampon].lelogrammnm EH aequale parauelogrammo de et aunéacquiangnla. Acqualiumv àùtem et icquiengifloxuni in;rallelogrammoru’m réciproca sunt laterav(Vl; 14.), cirai

. aequales ànguloe: est igitur ut AB sa TA in T9 adAH. Acqualis’ autem F9 quidèni ipsi E, ipsi meAH ipsi z; est îgitur ut 1.8 ad m in E ad Z.- 1Si igitur quatüor en;

ÈRÔPOSITÎO nu; m5465.)81 n’es rectale proportionales aintgrrectarzgulum sub k b

ennemis éontenmm aequale est, quadrato ex media; et Asi b rectanguluni sub extremis eonten’tum aeqùale ait qüa-

drato ex media, me rectaé propdrtîonales orant.-

fl Sînt ires mue proportiônales A, B, 1", ut adB in B ad dico rectangultim sub A , F hourets;tum’ serpule esse (zoarium ex B. A

Fumoir ipsÈ B aequalîs A.

I qdbibendu. quamvîs obvias a: mofles; seonini,mnnchndî;ut imnietiiato «leur ad dans Marron!» parme. C12, Obs. 2.

J611. 5. Unie, quina incuries et osciuntine maori. isr-lfibuere baud 11cm, probabilo fit, ni hodîonnm. in et olim(6mmunibul, tironiumIPTiecîpne’ caïn "sibus pante faîne ale-y

mentorqm exemplarii variis media respectibnsqne, compo-«fifine facilitnir -gïatil., forlane: «cricris lystemntîs. puamm-(vid; maclas in libr. Il. p. 21.) minage, sieque pl un; proto.tartina, ’quae Colis X. le XI". in praecedentibdi libril insorvi-nnt, bis excidiue ne multifariam, me que semper et uni-1’faillira; illo’rum rextui aimât lemhiaribus 01m 5. sa

Euclid. mènent.- r. u. - P

0

26 ILIIINTORUHKM 571d 601m! (:69 A. 51069 117W B oi’mog 1; B

flgôg mir F, à»; ôè 4j B en: A’ 8’0sz «"90; (fig 7; A

aigrie m3! B oüzwg ci A ’ngôç 17114! T. ’Edy 6è n’om-

gsg’ eiïfisîw 6162.0764! 07m, 16 tînô 10341 ânon": motel-

zôpu’ov 690070311104! ïoor 8017 156 tînt; raïa! [n’iront m-

pzszapëvçioçfioymvl’tp’ ’tô d’or; «ïrrô ToiVA, F Tous!

Sari fg: 17m3 raïa! B,- A. ’AHJÈ 16 17m1 115v B , A s6

ciné ni; B 301211, foi] 7039 B niA’ 16 69a. 15m3107v A. r neptszôllâz’ov ôgôoyw’wov F0012 in) a];

(En; "fg B margaym’ællp. I

V1. 1.), insertisque aucun-ü: nnsam dedissu Cf. Pfleiderer

g. 148. I .Obs. 5. Ope Prop. 17. àemonstrali passe I. 47. dixi:mus in Exclu-au ad l. Q7. Cf. Pfleidcrer 5. 149.

Obs. 6. Eadcm Prop. V1. 17. explicat identitaxem con--structiorlis problemaLum Il. 14. et V]. 15., quae aequipollere’Janet. Cf. Pileidercr S. 150.

Obs. 7. [hi came pariiculm’is Prop. "Î. quern shuntassertum Obs., 5. m’. 5. ac solutio problematis Il. 14.. (via.Obs. a. .a’ 11. 14. sub finem) in libre n. et m. ope Il. 5. 1.

47. demonstre’tur, heic perÎII. :51. VÎ. 8. V1. 17. adstrnitur;

n univexsim Hop. 1H. 55. ex 1H. 21. V1. 4.-VI. 16. potes:fanferri" Ostendimr nempe; dm: radas intra circulum se se-cantes se mutuo secàre in partes reciproce proparlionaleb,unde caetera-ex V1. 16. fluum. Cf. Pfleiderer. 5; 151.

Obs. 7. Similiter Prop. Il]. 56. ipsiilsque con’v’ersamLHÏ-

37. ex HI. eiusque éonüersa, et vVI. 4. Ï’I. 6. VI. 17. au?tare licet. Ostendetnr trempe, duabus r’ectie in circulum 11161-

- dentibdsxquarum una cil’culuchontingat, airera secet, contin-genrem mediam propurtionaleh’l esse inter secantem, eiusque

’zpnljcmf exteriorchi, et coinîùgentis quadratum rami: 3H rectan-

gujo sub [ou somme, bipsiusque parte. ex’teriori’, et x icç. versa.

Cf. modem.- g. 152. ’ - n v- 1I

LlBEJt sexrus. i 2.27"Et quoninm est ut A ad B ita B ad F, aequnlîs

autem ipsi A; est igitur ut A ad B ita A ad T.Si autem quatuor rectae proportionales sint, rectangu.lum sub extremis contentum aequale est (V1. 1,6.) re-

r-Ctangulo sub mediis contenta; rectangulum igîtur subA, P aequale est rectangulo sub B, A. Sed rectan-gulum sub B, A est quadratum ex B , aepmlis enim

.B ipsi A; rectangulum igltur sub A, Î’ contentumaequale est quadrato ex B.

Obs. 8a Quodsi (Fig. 365) Ali circulum contingat in’P,IF secet in A etÎ T, triangnla AABÏ. ABI’, ab angulum Aattique communem, et AAB:AB1’ (11L 52.) aequiangulnl

erunt (I. 32.), adeoque . I. .JA:AB.-:-AB:BI’ (VL 4.) :ABq:ABXBI’ (Obs. 4. adAB,:AI":AB:BI’: :ABXBF : BTq Vl. 1.,itaque AA:AI’:ABq:B1’Æ(V. 22.) b. e. ab pnncto extracirculum ductin recta eum. contingente, et alter: ipsum secanle,duclisque in circula rectis inngentibus ’punctum contaçtnspl’ioris et punota eecgionum alterne; tata secans recta est adpartent ipsius exten’orem, uti quadratum rectae ab pnncto con-tactus ad extremum aecantis rotins ducr’ae, ad quadratum recraeiungentis punctum contactas, atquc .alterum sectionis punctum.Vicissim, si AA:AF.-;AB41:BI’, cum duels recrue AH p.1-Irallela TE, etiam sil; AA:AÎ:AB:FE:ABq: ABXFE(Obs. 2. ad Vl. 4. et Obs. 2. ail V11. 1.), ideoque (V. 11e.)Jeqzerqzxaqmnxre et (V. 9.) BquABXTE, et;,(VI. 17.) AB:BI"::BÎ: TE, ac sit angulns ABI’:EI’E (I.29), est angulus A:ABI’ (V1. 6.) et hinc AB circulum in Bgominât (Obs. 2. ad Il]. 32.). Cf. Plleiderer 155.

,0 b5. 9. Proposita Obs. 7. 8. sic etiam enllnclnncur: cirestriangulum non aeqnicrumm descnjptn circula, et pet verticenttx’iauguli ducta. recta circulum tangente: Mec basilproductaeciel occlurait, ut rectangulum sub rectispuncto latrie acculent

l .

228 ’LLauzu’ronum’AÀM 09) 76 67:6 1h34! 21, F 5’001! è’tmo 195 dard

vois B’ 3.3700 (in à")? aïs û A nçôç nia! B 0’11’ng 1,7

B 71969 "nia: F.To34! 7:29 «257qu xamazwaoôæ’viwv,’ 3nd «Mimi

«(61! A, F ("00v ÉGTÏ 156 oinô 19,79 B, 05Mo? a; oïnô

17:9 B 16 «En; 1157 B, A 391w, i217; 7&9 7; B in" d’16 (2’91: 6m; 164! A, F ïooy Étui r97 aîné B, d. ’Etiv

anémique buisjnîterincentibul aeq’ualé Iit quiadraio rectae nli

eadem occursus puncto Id vorticem trianguli claque: rectalevero inter punctqm illnd occursus le termines basîs id ipsiabscisnae enndeni hàbennt rationem, quani crurlim trianguli,quibus adiaccm, quadrata.’ Nempe, si triangule APR ,- cuiui

. crus .413 131 , circuxjus circumacribiiùf, et hune in B cen-tiggcns agitur recta Bd: 0b angulum JBF:À (1H; 52.)(4173 (I. 18.), ideoq’ne angnlos dBl’4-JPB(AÏB-f-JPB11’ e. (I. 15.) 2 irai" ad pâtre! angulornm 413F, AIT.cpncumun rectae 41’ ,, Bd (I. Pour. 5.). Ac tum rectang.JIdXdïdeq (Obs. 7.) et Ad:dÏ:ABq:EI’q (Obs. 8.).VÎcissim l) si triangnli non neguicruri APR buis .441; ad par-te: murin minoris EI’ sic proâucitur, u: rectangulum sub ad.iecta T4 et sub composila 4.4 ex hui 11’ et adiécta P) ac-quale si: quadràm rèctaé dB ab termine" J continuationîn Ba-

ais ad trianguli vermem il ductile: recta hase circuliIm frian-gulo circumscriptum m B contingit (Obl;8.nr.’. 2;) eÊ segmentabasin Ad, 41’ tel-minis ipsiul À , 1’, ac puncto J ihtèrceptà,

mm mi quadrata crurum trianguli dB , 8P, ipsis adiacenïium(Obs. 8. un 1.). Argue 2) si tringlai n’on aequici’hri APÉ

bali: JI’ ad partes cruris minoris sic in A naqùp producitur;u! segmenta éius A4,- dl’j panera hoc À, temriùisque basin

.4, F intercàpn, sint, ut garum trianguli AH, ET ipsi: ad-iacentium quadratz; recta ab punctd d ad verticem B trian-guli ductn circulum triangulo circuniscriptnm in B contingit(Obs. 9. nr. 2.) et renne dB quadratum aequale est rectangnlo:ub segmentis «Id, 4P buis puncto 21 ne germinis du: A. 1’

Lusa agnus. , 229Sed rectangulum sub A , P aequale sit quadrato ex

B; dico esse ut A ad B’ita B ad F.

Harlem enim conqtmctis, quoniam rectangulum subA, P aequale esthundrato èx B, sed quaclratum exB est rectangulum sub B, A, aèqnalis enim B ipsi4; prit igitur rectangulum sub A; F aequale rectan-

interceptin (Obs. 8. m. 1.). Postuler conversa est Lemma 2.Libri Il. Locorun; plauorum Apollonü. Cf. Pfieiderer. 5. 15-1.

Obs. 10.- Patin: immedinte par 1H. 21. vel HI. 22. etV1. 4. V1, 16. demonstpntur, quod a Clavio et Baenmnno lll.Prop. 56. aubinngitur corollarium (vid. supra Il]. 56. Cor. 1.),pampa ni g pgnçto extra circulum ducantur duae recrue eumsecantes, tœçangnla sub lotie ’Iecanu’bus, et partibus enrum

encrioribqs noqlçalia «se, sive, quad codçm redit, tout, se-mas un partibus luit extcrioribus reçiproce proportionalos.

Çf. Pfieidçrar. 5. 155. , ,Obs. 11.. Ex Vl. 16. porto comequîtnr, culiqslibet trim-suli 4184 (Fig. 566.) angulo quocunque d bifariam accro parrectum 41’, rectangulum sub oins lateribun 114, dB angulumd comptelnendexptibus squale 955e rectangulp sub segmenth

l 1?, Il) tertii lateris, ab recta dl" factis, una cum lnuiuarecta.) 41’ quaduto (quae en. Rob. Simson. Libr. V1. Prop13,)". Cirçumscribarur çnim triangule 4B4 circulas (W. 5.),cul recta 41’ producta rursus occlura: in E, et iungatur alter- Vun: recta JE, BE. Posteriore ducta, est angulus AzE (HI.21.). (Mare, eum miam lit angqllua JdF:BdEI (hyp-) estJl:dl’.;Ed:dB (V1. 4.) et bine rectang.44XdB:de[Il (V1. 16.) :4FXIE-f-4Fg.(ll. il.) :AÎXFB-l-Jllq(HI. 35.). Cf. Pfleiderer, 5, 157.

Obs. 12. Porto rectaugulum sub duobus quibuscunquelaten’bul cuiuslibet lrinnguli aeqnale est rectangulo sub dia-’metro circuli triangule circumscrîpti et sub perpehdiculo ex

venin anguli, quem. lutera hm comprehendum. in Iam: ter-

230 ELSMEN’x-ontin0è a? 17ml Tub! 65::ng ïgaw wifi final raïa! yëoœv, aï150006033 süfiaïaa oËvdloyo’v siam" ému! âge: dg 7) A

l u ( î l n tflgôg m4! B emmy 9] z] agas 1m! I’. la?) (9è a; B

4 Ü il Il 11,; (1’ mg aga fi A n96; "nia! B omwg" ü B ngôç mon!

I 1 Il . l 1 (l.-F. En! aga ring, nm ra anis.

. v lIIPOTAZIZÏ m.24716 Mg 301961.0er süâst’ug 195 doüs’vru 511191)-

7ga’fl4lutp- (filmât: n nui «fluoit»: wigwam! 5151911790946-

, ,pool a rama 41m.

tium demisso. 1) Si ipsum altemlrum latus JE (Fig. 567.)tertio BI’ est perpendiculare: alterum 11’ diamantl en: ckculi

triangule circumsctjipti (HI. 51. Conv. vid. Plu. ad HI. 31.,vel HI. 55. ut. 2.) et propositio ad banc identicam redit:rectang. BÀXAIlzl’AXAB. 2) Si uterque ad basin sen ter-.tium latus BF (Fig. 368,) angulul est acarus, quicunque si:jugulas BAT duobus lateribus B1, AI comprehensus; valsi alterulcr ad baèin angulus JET (Fig. 369.) est obtusus,par verticem A ducta dinmetro 12E, et iuncta BE recta, per-pendiculuque .44 in basin B11 demisso;,ob augulos .ABE,ÀJP [celtes (HI. 31. et Canut.) atque E::F (HI. 21..) in tri-angulil ABE, AJF est BA:AE:.-AA:.AF (V1. 4.), proindorectangnl. BAXAÎ-zEAXAA (V1. 16.). (Rob. Simson.Prup. C. Libr. VI. Pfleiderer. 158.). Hinc rectang. BPXAJ:BAXAF:BPXAJ:EAX.AJ (V. 7.) :BftEA (Obs..4. ad V1. 1.), Dubi rectang. BI’XAJ duplum est arcaellr’ian-

guli CI. 41.). Ouate duplum areae cuiusvis m’anguli est adrectangulum sub duobus ipsius lateribus, mi tertium Iam: addiamettum cit’culi triangulo circumscripti. Cf. PHciderer.3: 159.

O bs. ’15. Rectangulum contentum dingonalibus Aï, Bd(F 1g. 570.) [igame quadrilaterne circula inscripteur aequale estduobus rectangulit ABXdP-l-Bl’XAJ contentia bpposilis du:lateribus. Fiat enim angulua ABE agnelin ungido 4811, et l

-A--- --F-. «et- .7. r-

hum; SEXTIJ’. ) - 231 7r

51th sub B, A. Si autem rectangulum sub extremisaequale .est- reqtapgule sub mediis icontenlte, quatuor.rectae propertienales. sunt (V I. 16.) ;1est igitur .ut Aad ita A ad Il. Acqualis autem B ipsi A; ut igi-un Alad B ita B ad 1*. Si jan... ne. etc. *

P à Ô P 0 à I T I 0 xvm. (Fig. 374..)

A data recta liuea date tectiliuee, bimile et timiliterpesilutu rectilineuux describere.

unique ,nddatur, val ab ulroque tubttalmtur, angulns com-muais E84, eritque angulus ARA aequalis angulo EDF. Et,qunm praeterea ait angulusl 14413:.BÎ E (Ill. 21.),Çquippe.’

in eadem eum illo segmento pesitus, exit triangulum .484gequiangullun triangule B81", adeqque (V1. .4.) BF:I’E:. ÏBduIA, ideoque .reerangulum BPXAderXBJ, Perm,"qnum augulus JBE aequalis bit angule 4B1; et angulus B4Bnegualis angulo B4B (111.210, etit triangulum ABE acquîm-gulum triangule JET. edeoque (V1 Il.) BA:AL’:-*BJ;.JF,

.idcoque rectangnÎum BAXAF:AEXB4. At ostensum fait,

esse rectangulum BFXflderXBJ. Eruut itague rectan-gula BAX4F-F-BIIXA-421FXB4. Haec proposition esttheorema ,l’telemalei in 14571173] dénuât: L. 1. c. 9. et apud

Quum fnndameuti leceyiuservit tabulis ains trigonomen-icis.Habetur illnd etiam apud Rob. Simson. P1109. D., VI. in ed.vAngl., apud Plaifayrq’ Kraft. lnsüt. xGeom. Sublim. S. 91’

aliosqqe. Ad candcm propositiunem refen-i potes: magnanstheerema, Quod est npnd Plaifnyr. Prep. El, V1. Si segmen-lum aliquod circuli ÀBl’,(l’ig. 571..) bisectum sit in Il, et e

panaris extremis A, B segmenti, pariterque e Puuclo bise-ctienis F inllexae sint ad punctum aliqueçl d reliqune circum-fçreutiae rectae ,44, B1, F4: gemma rectnrum Md-l-Bd aPuncti: extremis basis 1111123811101 ad la rectum a Puncm bi."fiions inlluxunt canulent mielleux habebit, quant .1113 basis

’

.232 À ’ suçmnnronnnI ’Ecrm ni pin! domina niveau o; ÀB, 1:6 et docile!

çüaüyqappov 76 TE dei a.) cirai de 1B eûhiœç155 TE 66011790211409) ëpotôy in mi timing guiperai

eüâôygamuzovl dvaygiitpm. i’Efieçslixâw æi ’ 212, and 01.1780141110 7»on cfi A13.

gémit; mi (peignage: mir); annelets rois A, B. cg)’ p v n96: 196 yœw’a 1’01; 671611.43. cy’ 0è aïno

RIZ in?) a; mimi leur?) aigu ciné EZA 2.01719:t5 «6nd .4le êetlv ïmr. iooyoiwov aigu and" col Z121ççt’ywvtw Il); HAB miroitier dvoiloyov taïga êoviv aïe

a] Z41 nQÔGfDÎ’V mime ZF n96: "je! HA ml

segmenti ad JI’ basin tagineuti dimidii. Quum enim ait. .4ij quadrilaterum circule inscriptum, cri: ex praeeed..Adxam-deAp-sdnxar i. e. 0b salir (HI. 29.) (.44giàJB)x.4F;-.ABXJF (Il. 1)., ndeoque 444-34: 1’4deup (v1. 14.). (Pleyfnir Prop. E. v1. cr. 94, "Il... en apud

Bob. Sima. pat. 92.), )Oba. 14. ’ Continent pueeedentium, prester hm Obs.sqq. expositat neumm adhue tequentes. Si quidratum per-pendiculi Al (Fig. 356.), quod in trianguli ABI’ lutas Bran-gulis ipsius alentis interiàcens en varice eppesito X domini-tur, nequale est rectangulo sub segmentit Bd, 4P lutai! Brab perpendiculo .44 ficus, un (V1. 17.) si perpendiçnlum.44 mediutn prbpertionale est inter segmenta Bd, 4T laterisBr: trianguli ad veïtioem A, angulua est motus. Qltîppe 0bB4:JA:JA:4P, et ungulee ad A rectos, est ungltlueïlBAJ:F (171.35); Ingulus igitur BdfzIH-ng: tente (I. 53.Cet. 5.). Pfleiderer. si 160. Pappua Collant. Metllemt

. l. 7H. Prep. 203.Vprepoeitieni huic ndiungit: si qltthtnw"perpendiculi 14 (Fig. 572.) gnian; fluait rectangule qub leg-mentit Bd, 4P lateris DE, angulut BdF erit obtnsus, si mains(F 15. 3’375.) neutun. Semiciroulo enim super dînmetro EI’ de-’

scripte, qui perpendiculum [A in plume E leur, ne tutti!

Ltnnr serras. l A 233Si: data quidem recta AB, datura (autem rectilîueum

TE; eportet a recta linea AB rectilineo. RE simîle et y. similiser Posîtum ramena; «scriban

h Inngatut 42. et constituant (I. 23.) ad rectam.JE et ad panet; in en A, angulo quidam ad Faequalis angulus HAB, angulo vero I’AZ aequulisangulus ABH; teliquus igitur FZA relique AHBest aequalis (I. 32,); vaequiangulum igitur est triangu-lum ZPA triangule 1111B; est igîtur (V1. 4.) ut Z4!

ad ita ZF ad et La! ad dB. Rursus, con.

DE, TE. iunctil 0b E41: rectangule B4X4F (Obs. 25. nr.à.) prierihcuu cri: 44(E4, et bine angulut BAP)BEI’(I. 21.);àïlyesterier144)E4, arque Ingulus sueur (I.21.). Recrue autem est angulus BEF (111.51) Cf. Pfleiderer.5. 161. Propositerum in ihac observation casas specialis, quesegmenta 84, 41’ aequalia saut, comptehenditur edam iis,quae nr. 2. in Excurtu ad I. Prop. 47. etc. ad finem libri Il.diximus. Cf. Pfloiderer. 5. 162. Et, quum ostensum ait, rectum«se angulum BAI’ (F ig. 3.56.), quem ab extremis B, Î 15eme

Br ad extremum A perpendiculi. J4 ductae Bd, F4 yompre-bandant, si rectang. BJXJI" :4411, leu si B4:JA:AA:41’:pet conuersatn HI. 31. consequitut: cit-euh super diametro [31’

descripti peripheriam nransire pet-«verticaux A rectaç 44 dia-mptro Br inter. extrema ipsius normalis, que: media lit-opot-tieualis estimer segmenta diametri BI’ puncto 4 faon, soncuius quadratum rectangulo sub Iegmentis illis est aequale.Cf. Pfleiderer. 5. 163. En que ad lune propqsitionem notaissuint,solutîon1 adam plurimorum problematum inservire pos-sunt, quorum exquisitam cepiam exhibez Pfleiderer. l. a. M.166-194, quae bl’evitatis studio hic practerimus. plus hante.un; ad Propositions: libri V1. obteruaÏa and. dexumsimu: pie.raque ex, lecidereri scholii: in libre Yl. Elenantorum Eu-

"234 , . IILEMENTORUM9j :12 .7596: du AB. 1140441, 0,111150?de ngôczjEH .5130qu nul mais 7196s mini oypeimg mis E11"!tfi phi Ünô ÀZE ywyt’ç 11171 a; dan; B119, 8è 6nd , v

ZAE fin] 1] 0nd HBO’ leur?) aïeux ngôç fifi E lomfiri figés (596 a 50121! ïmj’ iooyw’mqw taïga étui T6.ZÂE ;

wglywwov 11,5 H80 wgzyag’wçrldw’loyov taïga êazivdg ’

fi AZ n96; 701W H8 06’er fi ZE n96; nia! H9, un; vri Ed 71969 11,17 (9B. ’Eâæizfiæfôè and aïs ri Zdflgôg

71,34! HB 0131029 ra ZP 91969 fifi! HA mi 1j FA71969 wok! AB’ and aïs (2’904 ZF fiel)? "rial AH 017m9

fi a 4 ngôç 121W AB and ZE 71969 miàl-HOÂau») En a; Ed. 71969 w,» 9B. Kal âne) î’m] émiai 7;

.qu aîné F Z11 yowlœ 7?; 671611417113, 1j 6è ünô AZE:

(97 6nd BHQ’ 67.1; dieu 1j 6nd TZE (il?) ni 13219AHG êoriv 1271;. 4402 102 ahé-61) ami 7756716 FJEm7): 6nd 11130- 50th! l’on, 501; 3è and 1; MM ngôg tu;

F 131i n96; 11,5 A fin], ci 0è ngôç r95 E ni ngôg a;(9’ îooyw’alwv tige: étui wô A0 195 TE, mû 1&9 negi

mais ïaug yww’aç 1113th nÂevgcËç (5110.0701! îlet. 5500103!

0790; 51011 16 .40 etWüyQappoæl wifi F E sÜI’Ïvygciplutp.

clidù, quorum P. I. Tubingae 1800.; P. Il. 1801.; P. HI.1802. typât expreuae fanant. Pars 1V. prodiir ibidem 1805.,in qua unies de V1. pr0positione 23. et V1. definitiono 5..unipare qua nilitur V1. Prap. 23. agitur. Quippe han: ipsamVI. 23. inepte loco ne matant a! intèr proposition: ad figu-ra: n’milu pertinente: positam fuisse îudicat ancrer. De hacflaqua ponta loco ma, et in cancana ml hum: librum vidai,mut. Dolendum nutem est, 50h05:: Pfleitlereri in reliquat:lib-Ï V1. propositions, quae iIIe iam clabo-ratq in’ serinâtbaba, sublata in Universitate Tubingensi consuetndîna, acoq-siom Magistcrii philomphici qunlanni; dissertatiohe: publiai:comcribendi, non in publicam hum exirc flamine. E (fid-bu: beauvais ab ancrera niobium): communicatir, unanulla

un" ôsx’Tusp V 23:5stitliatur (l. 23.) ad reètam EH et ad puncta in à: B,H, angulo quidem AZE aequalis BHG, angnlo verôZAE aequalis HBQ; reliquus igitur ad E relique ad6 est aequalis (I. 32.); aeqùiangulum igitur c5: trian-gulum ZJE triangulo H39; èst igitur (V1. 4.) utdz ad H8 ira ZE ad H0, et Ed ad 93.Ostensum est autem etîam,*ut ZA ad HB ita ZF adHA et TA ad AI], ut igîtur (V. 11.). ZF ad AHîla et TA ad AB et ad HG, et adhuc Ed ad.OB. Et quoniam açqualis est angulus quiglem FZdangulo AHB, angulus vero (IZE angulo BHQLto-tus igitur FZE toti AHO est aequalis. Ex cédeniratione Et TJE angulo A39 est aequalis, est aulemet angulus quiilem ad 1’ ipsi ad aequalis, angtllîusvero ad E ipsi ad 6; aequiangulum igitur esç’AQipsi F E , et circa aequales angulos latera proportionaliàhabet; simile igitu: est rectilineum A9 recLilineo «IF

(V1. l. Dffl).tarte in "quantum: breriter lectoribus nostri: du": voluîmus,ne: rem 1’in: admadum’gratam facturas un, pan-uni. Cf.quae ’supra diximus ad V1. Def. 1.

rPROPOSITIO xvm.’

Obs. 1. Quod ad sensum problematis, et maxime verbo-tum "similiter positumfl nattinet, Clavius eum in axprimit:,,dicuntur rectilinea super lineas recta: descripta en» simili:et cimiliter posita, guinde anguli aequaleïconadtuunmr superipsas nous lineas, et un) reliqui aequnles lnguli, quant lauraproportionalia sempeù ondine sese ,t:omu:quuntur.fl BorolIusnulem rem, in expiiez: (Euclid. rosât. lib. IV.. Prop. 16.):problemn posoit, super data mon linon describero polygonaux)

936. SLBMÉITOIUMI .1756 wifis Joâsimyç 69a râblas mis AB 795 Jo-

0!’714481;81179&]1’[.&? FE 5,500464! ce mi 6,10le uci- I

puma! süôüygappwv dwyæ’yçanmc 16 Je: "Once

1’th inanition. ’ I

.UPÛ TAZIZ M9”.To? anaux wçlywvœ ngôç (ÎÂÂ’PÏÂŒ à! ôznlaolow

1671p étui 1:54! 6,402.6wa nlevguîv.

i’Etrm ôpoza teiyùva Id ART, JEZ âme! 510710:

mir wgôg 195 B yàw’ml 1;; avec? 195 E, ais 0è 112vdB 71969 à,» 13.11 oÜzœç enfla JE ngôg m3! EZ, «13’ng

61061070» sîmu niai BIT zy’ EZ un» au ’56 ABF

191703704! ngôg r56 AEZ ægiywuov ôtnlam’owa 2.6701!

Élu cime BF 71969 rufv EZ.HEÜ.’IIZ(p19w 7:29 raïa! BF, EZ 191’797 0051.0707 fi

13H, fiscs du" (Je fifi! RI" ngôç mini EZ pâtuç 71,411EZ n96; ciel BH- mû ênsÇe’U’zôœ 1; HA. V

’Eflçi 017v écru! aïs AB aguis niai BF’où’ïwg

. fi JE ngôg 1173! àalldâ 059c: émiai «fg 9,5 43n96: niw 4E 017-va fi BF ngôg 17sz EZ. ’11): oïç -

fi Br 97969 wifi EZ 017er écria? 1; EZ ngôg nia!BH’ nul aïs 02’942 9; AB ngôg tafia! JE où’wg a]. EZ

n96; nia! BH’ «Je! ABH, AEZ d’en cgzytâvœv civ-

çtnmôyfigzaw ai nimbai, ai mgi n29 ÏÛŒQ raflas.

duo laquiang’nlum, et habens circuin angulm acquales laura[mportîonglia lateribus filins, in ut data recta homologl citdm kari polygoni. Necusiutem Imam vocqm "similiterpanama qui" Rçmua definiri debuiase non sine ration: mo-in, iota "salit Tartalu contra Campqnum (in «du: versioneV1. Prop. npud ipIum 19. filao tamisage mm). «Nempe omissisbis vocibus plan uno rectiliueo super data recta construi pos-nunt, in ut duo rectilineo sint similia. Cf. Pficiderer. SchoLa.msc. fi. 256. 257.

441-. A, Ll - .i

nain aux-nu; 237A data îgitur rectaIAB dato rèc’tilineo TEdsîm’ile

et aîmiliter positum rectilineum .49 descriptum est.Quod oportebat faute. ’ ’

v! lp n o p o s 1 T 10 x1x. (Fig. 376.)

Simili: triangula inter se sum in duplicata tadornehomologbrum laterum.

Siht’similia tu’angula-ABF, JEZ, angulum ad B

aequalem habentia angulo ad E, et si: ut 4B ad Brita JE ad EZ, ita ut homologum ait BF ipsi EZ;dico Itriangulum JET ad trianguluni JEZ düplËèatanirationem habere eius quam hab’et Br éd EZ; ’

Suinatur enÎm Il.) ipsis Br, renia pub"portionalis B1], ita ut si: ut DE ad EZ ita EZ Id

EH; et iungatur HA; fî- 5EÈ quohinni est ut JE ad BÎ’ ita JE ad EZ;

alterné igitui est (V. .16.) ut JE ad JE itaxBP adEZ.. Set! ut Br ad EZ ita est,EZ ad 3H; ut metut (V;i].j JB ad JE in EZ ad EH; triangulorum’igîtur ABH; JEZ reciproca sur): latera circa aèqualesangulos. QuOruni autem’ trianguÏorum ununi àngùlum

uni aequalem habentium; reciproca sunt lacera circh

055. Ë. ECirca demomtrationeni huius ptdbotilîonila ni

est in tenu graeco, iurd monet Rob. Simson., vitintml «Ilvidai, quad in quadrilateriïl tantuni ostendatur propésitio.’ nec

dicalur, que modd extendi pocsit ad rectifia" quinqua lutplurium laterum.’ Idem Praeteroâlob’servnt, id duobus trin-

’guliü inter la aequiangulis hic concludi, 1Mo litas uniuo ad .lama homologuni aherius, ut latin Iliud primi salami ahuri»haie homologum; sine permutltione proportiohflium contramorom Euclidis, ut a: sequcnte Prop. 19. manifestant du

l

238 tumturonun’3121» au.» [dur me; ânier 316111401! y19440511 rgzyaîvîw, d’ami-1

«69167300141 ai nichon), ai nsgl n29 i’oag yww’ac,ïou 56th! èzsîvw ïooæl d’oc: inti r56 JEH æplyw’uowwgi

JEZ æglyoiwp’ Kai gazai êorw’oîç a; ET 91969 nia!

EZ 0131109 0: EZ n96; "nia! EH 602v dè 79579 mîââméva’Âoyoæi (Jo-w, 1; ngw’w; 91969 w,» zgîràja! dmÂaafoæla

3.6701! 515w ligna; 6,37159 n969 191:1! dev’ræ’çav’ a; Br

0790: 91969 m9211 EH dem’pva 10’701! fis; 9:51.59 9;.EP

71969 «a,» EZ. "129 6è r; Br n96; w,» EH 06m.76 JET T91,;’U)’VOŒI 71969 .16 JEH 191310111011. Essai r6

JEF d’on Igl’ywvmzjzgôç m6 JE]?! dlnlam’o’uœ 2.6701!

Élu ivre!) 1,5 E1,1 671969 n31! "100v. dè 16 JEHTyr’ywvov fg? JEZ Tçzyw’z’lp- Mal 16 JET 655m rein)-

a’ou ïr969 761JEZ 7917017041. 61912040101104 16704163181

977189 a: ET 71969 T’EŒIVEZ. T6 taïga 67mm, 124121035513.

HOPISMA, j. En. dû. 1;)th moula-96v, i (in 5de rgçîg Is’U’Ûsîcn

dwdÂpyov (61ml, ému! (69 1j nocif"; 71969 tafia! Frein-1g.m’v’çwc ,16. (27:6 fig ngtu’n;9 19170111041 4.596916 01’916 1,779

tdæwéçuc 16510101! nui 6,101299 da’œyçamôpwoæl’ émince

38611191]; L691; FE 91969 fifi! EH oflzçng r6 ABEzgl-gamma! n969 16 44E]? 191744111011, rom-ion i6 JEZ.

-» ’ï IIPÛTAÆÎIÊM’.To? aflblw nolv’ywva d’9 me gluon; rpl’ymva dm:-

gshw ami dg i’cm r6 70.51909 mi 6po’Âoya cois 51019"

Nidemque vitium madrure in conclusiono. Contra hanc .tamnh. obserxïationem forto baud ininria mener: queas, niti conclu-

:Ïonem a Rob. Simson. repiehensam mon quidem enunciato aidemonnratione VÎ. 4. Cf. Pfleiderer. l. "c. g. 261. PerfectiotInutem demoùstmtio plïobIematis solutionem ostendere potestLprirrdmm in triangulis, ab’hits procedere lad figuras quadrilateras,ab hie Id quinqueluefas , et dix: ’semper a quaÏ’is figùra recti-

Ill

I

«A.

--.’-*!---. Â. MM-flfi

4.....--zl- -

---.,...

amen szxrus. i j 339qùales anguloa, illa saut aequalia (V1. 15.); ’aeqliale

igitur est triangulum JEII triangulo JEZ. - Et quo-niam est ut ETO’ ad EZ ita EZ ad EH; si autemtres rectae hoportionales éint, prima ad tertiam du-plicateur) rationem habere dicitur (V. 10. Def.) du:"quam ad secundam; ET igitur ad EH duplicatam ra-tionem hâbet teins quam ET ad EZ: Ut autem ET ad B Hne (VL. ,1.) triangulum JBI” ad triangulum 43H;ergo et triangulum ’lJETI ad JEH Iduplicatam ratio-nem habet eiùs quam ET ad EZ. Acquale autemest triangulum -JBH triangulo JEZ; gilde et trian-gulum JET (V. 7.) ad triangulumi JEZ duplicata!!!)rationem habet eius-quam ET ad EZ. Ergo similisa 1

:etc. . - v -COROLLARIUM. 97 Ex hoc manifestum est, si des rectae propor- h

tiornales’ sint, esse ut prima ad tertiam ira triangulnmksi prima ad triangulum ex secunda simile et. similiteï

descriptumyquia ostensum est, ut TE ad EH intriangulum JET ad triangulqu JEH, hotc-estJEZ-

-’ . . . . , ’r9 PRÔP OSITIO xx..(Fig.373.)n,Üt Similia polygona in similia triangula dividuiltur; Et

humera aequalia et-homologa totis; et polygonum ad

linea ad aliam, quae habeat numerum laterum unitate maïorem.

(Inde deinde generalitet propositum tbnitabitl IOble. 5. Alium modum paullo expeditîdrem, super fines

data JE constituendi figuràm rectilineam similem et timiliterpositam duto rectilineo 24121152 (Fig. 575.) glavius docs: infaro. Ponatur data i113 Super huais J1”, quad-ci hoinologugnesse (lebel,- ducnntut deinde ex A ad vertices ongulorum figurae

240 ennrenu’ronuniau) 16 nohiym’oæi n96: 16 nolv’ymvov deoioalu’

167w au aime 6.14610709 nlwçd «069166 6mi-

Âoyov 7116119110. 9 I I IiEtmn 60m nolôyuwd un? JETJE, ZHOKJ,

6;;6Âoyoc de 15’070) 15 JE cg; ZHO lira du cd JETJE,ZHGKJ 1101670)?!» si: n ripent tgt’rmvukdimgelma«a! si: foot t6 nifiôoé and 6,461070; «volé 51019,10)

16 JBTJE noÂdl’yww n96: t6 ZHGKJ Hold-yàwov 649610501070: 163m? ëxu’ aime fi JE n96; a)?

- . . .’EmceüLamay a: DE, ET, HA, Je.

. K01) 3915i 6p0t6w ému 16 JBTJE nolv’ywvovZHGKJ 71010746750,- ïmi- émiai 1; 6916 BJE 7Mo;

. 1g" 61:6 HZJ" ami éculai (69 ai 71969 JE 017w;fi Z11 n969 ZJ. ’Emi 06:5 866 egiyœya’ ion ce?JEE, ZHJ m’en? 70:47:06; me; 701019: En"? 510910.flapi à flic 500:9 flaflas” mais nlwng «hélium? i00-

g’iaimov aigu inti c6 JEE eçiymww tu); Z1111 fret-yaiwp, aigu ami 3,400404" ïm] 69a émiai 6716 JBE

. rêche «Il; JE etc; pet É doutai Bd parailola’ ne"; ÎJÉ

par a pariai 61 patafiola net-e JE «ce et facile ostendllmvun uioügull .4199; du: AGI,- 443 etc; adeoque manod-lim 431911; aimez simili: et cimiliiei pbiin.’ 4

Gin: 4.- an pminet promenai (vid. X"; 2; et In. il.)duo circula inni-ib’ondi (cirqumcribeaai) 55mm! rectilianng

datte circulo da inscripne’ (cireumscripne) Iimilem et m"-litei positon; Cf. Pfieiderer; l. e. fi; 265; 264.

’ maronna XIX;Chenil. Seuil! Infini propanitionii au aigri ad V.

Dois 10.); similii .tringuli intei ce babel-e rationna; CI"am m M duplique vlateiul’ilï homdogoi’um; val trin?-

« vg-luni Anna ad du! a simili a: sa «de. mon"!,9.

IILIBBR 862x103. - t 241polygonaux duplicatatxl ralinnem habet eius quam ho-mologym lattis ad homologuant latus. v

Sint similia polygona ABTJE, ZHOKJ, homo.logum veto ait lattis JE ipsi ZH; dico (JBTJE,ZHOKJ polygona in similisa triangula dividL et innuâtefo aequalia et hoinologa .tolis, et polygonumJET JE ad polygonum ZHOKJ duplicatam ratio-

. nem habens eius quam 13.11":th ad l

Iungantur.EE, ET , HA, JQ- VEt quoniant simile est dpolygonum JET poly-v ’

gono ZHGKJ, aequalis est arggulus EJE anguloHZJ; et est ut EJ adJE in ZH ad Z11 (V1.Def. 1.). Et quoniam duo trianguia JEE, ZHJ -unum angulumu. uniïangulo- aequalem..habentia, circa’

aequales autem angulos latent proportionalia; acquîm-gulnm» igitur est triangulum EJBE triangulaiZHA(V1. 6.), quare et (V1. 4.-) simile; aequalis igitur est

qua en lama B? priori! trianguli ad mentir aliquam; ad quantIl? baba rationem duplicalam ains rationis, quant ET balletad lattas E2 ipsi homologum in altero triangule, veI, si su-mitur (VI. il.) BI:EZ:EZ:.BH, esse triangnlum JBI’ ad ’lriangulum JEZ’in cadota rations, in qua est Br ad EH.Calcium palet, loco Interum ET, E2 quais dia 1101110105.poni potuiuo. Et inverse erit ratio trimguli JEZ ad triangu-Ium JBP duplicata loterie EZ Id Br, vol erit triangulum4E2 Id .triangulum JBF ut EH ad ET (Cor. a! B. V.).Pfleideror. au sched. me. 55. 269. 270. 211. 273. ’

0l". 2. Quodsi in triangulornm (similium (Fig. 377.)hamologn lutera Br, EZ perpendiÊuls Je, JK démâtant.ex verticibus nngulorum homologorum, exit, 0b jugulas B etE, paritenque 9 ctLK, adeôque (l. 33.) miam reliques inqua-

Euclid. Eiement. P. Il. I Ql

238 I’LIMINTOIUN’Ulm 6è. fichu, lm; l’ami ixo’wœælyœw’œv rgzyaïviw, d’un-1

nenëwâaaw ai alangui, ai flapi 1925 fous rowing,ïou 3m24! ëzeww i’aov 02’942 inti 7:6 ABH 1917014103! T35

dEZ 191701’1’9)’ Kai 3716i ëorw 169 a; 13T 91961; 171:1!

EZ 017w"; 0: EZ n96; 197W EH 3&4! 6è rçéîg süafiîm

(hélerez! («70111, 1; 7190111; ngôg (nia! mima! ôtnlaofo-va

3.67m! 515w 257m1 92mg n96g 161! ôwrræ’gœw a; B1"

6’90: 9196; fifi! BH 61704610121: 167011125; aînée

7’196; «a,» ".er 6è r; Br 7;de m» EH mm76 ABT T91’vaov 71969 .16 ABH 19171011011. laçai ’56

111317 du: miywvoalflzgâç m6 ABH ôlnlœm’olya 2.67m!

Élu 6,37159 Br 71969 11:4! "[001! 6è 16 A311ng’ymvov fg? ÀEZ 1976414,»- mî 16 ABF 02’900 wifi»-

4’014 ngôg rôldEZ miynwoy 6111106010110; Â674w 8’318:

ana) a: ET 7196s 11:7EZ. To3 taïga (ficela, mû Toi 55x79.

HOPISMA; ,. d’à 1011101) moulage? , I à?" Mil. ïgçîç .s’u’âsïru

dmüpyo’y (51mg garni dg tr; nçw’m; ngôg fifi! mini?Infigwç 116. (2nd mis ngtu’ryg ryz’ywvoæl -n96çft6 01’916 1179

.Jmégaç .ô’p’ozoo’ Mal âflOI’wÇ da’aglgamo’ps’uow’ ênu’nsg

ëôeizflrj, 0kg); F B wgôg 112v EH oiifvçug 76 ABF 19!-709004! nçôg t6 A317 igl’ywvov, ïO’U’têle vôvdEZ.

le l1 IIPOTAÆ’IEN’.To? «gym!» noÂv’ywva si? ce ânon» 11113106410: 6m:-

pslma mû de ïaœ r6 rillafâog ami 6M6Â67a vois 51015"

idemqno vitium montrera in conclusione. Contra hanc ramai:obserfi’ationem forte baud «ininria monere queas, niti conclu-sionem a Rob. Simson. repi’ehensam non quîdem enunciato ai

damonstratione VÎ. 4. Cf. Pfleiderer. Lb. g. 261. PerfectiorInutcm damonsmtio pÉoblematis solutionem ostendere pgtescPrimum in rrianguh’s, ab Illiis procedhre .ad figuras quadrilateras,

ab hi! Id quinquelueras ,6 et in "semper a quais figùu rem.z

I

Luna sartas. ! j 239qùales angulos, illa sunt aequalia (V1..15.);’aeqùa’le

igitur est triangulum 11E]! triangulo JEZ. L Et quo-niam est ut ET" ad EZ ita EZ ad EH; si autemtres rectae hoportionales èint, prima ad tertiam du-plicatam rationem habere dicitur (V. 10. Def.) eiusquam ad secundam’, Br fgîtur ad EH duplicatam ra-tionem hàbet laïus quam ETadEZÆ Ut autem EFad EH

in: (V’L .1.) triangulum JET, ad triangulum ARE;ergo et triangulum ’VABF ad ABH ’duplicatam ratio.-

*nem habet eiùs quam ET ad EZ. Aequale autemest triangulum 1181.7 triangulo AEZ; gilde et trian-gulum ARE (V. 7.) ad triangulum AEZ duplicatamrationem habet eiuanuam ET ad EZ. Ergo similia ,

etc. I 6 6COROLLÀBÏUM. E

x. Ex hoc. mànifesèum est, si ’ tres recEtae propor-Ïiçnales’ sint, esse ut prima ad tertium ira triangulum Và”; prima ad triangulum ’ ex secunda simile et similitehr

descripmm; quia ostensum est, in TE ad EH irar triangulum ART éd triangulum AEHI, hoc est JEZ.

’ . . . . , rP R t) P 051T 10 xx.v(Fig. 37s.)-.,ÔSimilia polygona in similia triangula dividufltur, Ct

numero aequalia et homologa totis; et polygonum ad’

Iinea ad aliam, quae habeat numerum laçerum unitate manierem6

unde deinde gèneËaIitet propositum tÈJnStabitL 6Ob-é. 5. Alium modum paullo expediüorcm, super lima

tinta AB- coûstituendi figuram rectilineam similqm et bimilîœr

positam dam rectilineo "AIMEZ (Fig. 575.) 9mm tique: infera. Ponatur du: un; saper lump 1P, quod-ei 11031101091!!!esse dçbet, ducantur deinde ex A ad verticea ungulomm figuras

z 6 l2’32 xnzmxu’ronun6 noyiez 112*Ün6 ZHA. "Eau 6è and 07.1] 7; 6716 JET

67.7; 1,1" 47716 ZHO ïmy’, ôtai wifi (huma m’y m-

3.17464le Mimi taïga fi 67:6 EBP yawl?» 10mg" cf67:6 Aile émir à»). K6? 3nd 6m? wifi âmzôrmœ«un: 213E, ZHA zçzym’vwv, ànlv aï: 6ER npôc

Bd 01710:9 npôg HZ, 11’116 p69 ami fini m’yoflaozôvnpa ruîfinolvyœ’wwv, 3m14! «fg JE 75969 BP

9’6th à; ZH 7m69 HO 011*000 taïga au» r59 fi EB

71969 Br 0171029 9; AH n96: H9, mû 91te flic ïaag7min r69 6116 EBT, AHO aï nÂwgal 4570510761!dan" 1007057107 c790: 3012 r6 EET Œçt’ymvov 135 1130ïplzlw’îllp, dîna and 3.10000? (à; 16 EBF wgz’yuwov r95

x1110 tglyaïvg) 4). dm? tu? afin? 66 ml c6 EI’A igl-ywvov agada! ému .197 119K 79176419). rai 65’905 5mm

nolv’yowa un? ABFAE, ZHOKA si? 1e 5mm tei-yawa âzjçmm ml et; î’aa 16 nÂfiâog.

I - Aëyw à; au) 021061070; mais 510cc, rouîëœw, (En:

03116M707 chleu ne 79:70:71», un) fiyoüpwu phi chou6 7:2" JBE, EBF, E114, éna’ywœ 6è 0465153! ce? 2H41

Aile, 119K, ami au Tô-ÀBFJE nolüywvov 91969m6 ZHOKA flolüywvov âcnlaat’owllôyov flet 937159

6,661070; 91151196 n96: 11211 ânéloyov 71115119421! ,- zou-

«n’arw 95 111B 71969 nia! ZH.

1) Verbn and: inclus: dosant in Ed. Oxon., nec multlunrefert, uuum en poum au omitw.

les, in triangulis aequiangulil..49:dK--.AB.AE (V1.4. de-maxima) :BF: EZ:AI’:JZ, «icaque (vid. dicta. ad V. Def.10.) ninuguln JET , 4E2 «un: adam in rations dupliciu al-titudinum Je, dl , vol perpendiculomm Iimilonrsùum ha.benzium. Pfleidergr. M. 280. 281.

0 b a. 5. Quum pardlelogummn camper clapi: oint "in.

, lLIER]! sutras. 6243angulus-- ARE angulo ZHA. Est amen: et tout;ABP loti ZHO asqualis, propler silnîliludînem poly-gonorum; reliquus igitur angulhls EBF reliquo AHOest aequalis. Et quoniam propter similitudiuem trian-gnlotum ARE, ZfIA, eqt ut EB ad RA ita AH

’ ad HZ, sed et proptér similitmlinem polygofiorum,- est ut AB ad R11, in ZH ad HO; ex aequo igîzurest (V1224, ut EÈ ad Br in AH ad flâner clima-aequales angulosu EBP, AHQ lutera proportionalia

î sunt; aeqniangulum igilur cpt (V1. 6:) triangulum EEFtriangule AHO, quartz (V1. 1L) et similajtriangulum

EEI1 triaingulo Allô). Ex cadeau radant: et triangu-lum EFA simile est triangulo AOK; ergo simjlîa po-lygonal AETAE, ZHOKA in similis triangula divil

duntur crin aequalia numero. A

I

Dico et homologg totis, llqc est, ut proportionalia Asin! triangula, et antecedenlia quîdem sint ARE, EEÎ,E12], cornsequentia vero corum ZHA, AHQ, 119K,et ABÎAE polygonum duplicatam rationem habereeius quam homologum lama and homologum latus’, hoc

est, AB ad ZÏI- l

gudorum eandqm balin , eandamque altitudinem habenu’um’U. -

41.), arum. adam (V. 15.) aimilia pnullelogramma in rationJalorum duplicata, vol miam (Obs. 2:) in rations duplicataperppu’diculorum limilitor positorum. Pfleiderer. 5. 282. sqq. ..

Oba. 4. Quum porrodquadrnn omniusintlpaËuuelogI-ammadmilïa (I. Dcf. 29.; I. 28.; V1. DL-f. 1.) arum duo queeçun-que quadnta in lralione duplicata laterum homologorum.Unde, si super realia bomologia BI’, EZ triangulorum simi-lium 113F, 4E2 quadrants contracta imagiuel’iS,-ernxlt un:

u x

I

24”! ELBIEITOIUI’EneCedxâwàuv 7019 ai AF Z9.

K01 Eus) 616 wjv 61100609700: 0030 nolwoîmv à»).

(0130.3? 67:6 ART yowiœ 701i 6706 Z119, mi édité!(6g 1j AEÏ 90963 ET 017w: fi ZH 74361; HO immé-wôv écru 06 AEF wpiywvow 193 ZHB zgzyoîvq’ ion

(Feu 301M ai (têt! 6706 EAE 7mm?» ni 6706 HZÛ,6èI6n’6 EFA Œy’ 69:6 HOZ. K09) ënsi 1’00) émia! 9;

671.6 EAAI yww’a cg 6706 HZN, 360111901 6è and q:6216 AEM 7g" 67:6 ZHN ïofl’ ami Â.on 0’591» 0; 6706

AB!.BË).01nfi ty- 6916 ZNH à»; ioda» 3007:6th ripar 1’011 16 AEM ægiywvov 097 ZHN rgzyuîvçr EOpm’œc

,67) dea’âopw au ami r6 RMF 091700707 i007œ’wo’v écru

14.5 IINQ zgtyuïwp’ 6410510700 6’900 lady, de ,uèv fi

451719.39 MB 00’er æ; ZN 91969 NH, aïs u aiB-Mn06; MF ot’æ’wc fi HN 91961; N9. dicte nui dcïaov,(69 1; AM 91969 MF 0171m9 fi ZN 7:96: N9. F’AÂÂ.’

de p21! ci AM 7096:: MF où’uog 061A36! 0917037000 70969 MET, m2106 .AME ngôg EMI’, «963 652117105

769 slow (6g ai 13606:5" ami (69 0’500: à! i050! impe’vœv

yiçôg à! TÔV 5710,06va 017th ânonna 16 induction979643 (brama 16 ênôpwa’ 0:2: 0790: 16 AMB 191700704!

5’196; r06 EMF 017ng 16 ARE «(Mg 16 TEE. EAU:dg 16 AMB’azgôg r6 RMF 0171m3 1; AM n96; MT’and (6g 0’590: AM n96: MI 051103.06 ARE ïglyœvov

n96; 16 EBF 191701707. A10? 76 «6102 69) nui 159 fi

triangula, quart: quadras in ration. duplicata rectamm En EZ.adeoque etiam triangula cimîIia arum in ratione quadratdrumlaterum homologuant. Pfleiderer. 5. 278.

Obs. 5. Quodsi Inter: homologn duomm similium trian-gulormu (parallelograrumorum) acqualia suint, in: triangnla(parallelogramma) lequalîn «un: (V. 22. Cor.) ’et vice versa.

(Cor. Prôp. m. in Excursu ad Iibr. V.)

r

1x in" sen-us. . 2:15Juugantur enim AT, Z9.Et quoniam propter similitudinem polygonorum ne-

quelle est angulus ART angulo Z1719, eues: lit Al”ad ET in ZH ad H9; aequîangultim est (Vl. 6.) 4

Ïtrîàngulum ART triangulo ZHQ; aequalis igituwtangulue quîdem RAT angulo HZQ. angulus ver-o’BTA angulo HGZ. Et quonîam aequalis est au.

plus RAM angulo HZN, ostensus autem estet ARA! -angulo ZHN aequalis; et reliquus igl--tur (L1 32.) AM3 reliquo -ZNH aequalis est; acqui-angulum îgîtur est triangulum AEM triongulo ZEN;Similiter ostendemus et triangulum EMT aequiangu.lulu esse triangule HNÛ; est îgiturj(VI. Il.) ut MIDI *

quidem ’ad ME ita ZN ad NH, ut vero EM ad .MT in: HIV Id N9; quare et ex aequo (V. 22.) ut,AM ad MF ita ZN ad Ne. Sed ut AM6 ad MF

-ita triangulum AE.Mzàd MET, et AME ad EMT,’ inter se enim sunt ut bases (V1. 1.); et (V. l2.) ut

unum antecedentîum ad .unum c0nsequentium in: omniaantecedentia ad omnia consequentiafl Ut igitur trian-’gulum AM8 ad EMT, ita ARE ad TEE. Sed utAM3; ad RMT in AM ad MTâ ergo ut (V. Il.)AM ad MT ita.trîangulum ARE ad triangulum EEIÏ VEx neadem ratione et ut ZN ad N9 in triauguln’m

*ZHA ad triangulum H449. Et est ut AN ad MF

. Obs. 6. Corollnrium Prop. 19. adiectum, quodectAustîn.observa, nonnisi ipsam Prop. 19. allia verbis, substituendo

. nempe tcrmîuo "ratio duplicataN definiu’onem eius, emmcîat, 0

verumtamen expedirioris in sequemibus (vid. Demonstr. Vl.22.: Vl. 25.; V1. 51.) largumentationil cause diserte en expo-note a te erat. IdeËn obéervandung est de Cor. Pmp. 20. V].

2. Cf. Plleiderer. 5. 500. . lz

* lz

2’16 » ELzmznronvmZN 71969 N9 017m: 1:6 ZHA zfiywvàv’ngô: 16MAC-3 791’wa07. Kai 50m; aïs ri AM ngôé MF 017-

wg 9; ZN n96; N69- mxi uî’g aigu 16 ARE vglymvwngôg çà BEF zèl’ywvov 017!er cd ZHA rgiyœvovngôg m6 H011 zgiyœwov, «a! êyaMdE «Î; 16 ARE

’ vgiywvov ngôç. 26 Z1111 TQÏ7W07 d’un; 7:6 BEP

æglywvav ngôg a) H119 wgoywvov. ’gpoz’œg â!) dei-

âopsv, ëmçwxôswuîv un Bd, 11K, (in and aïs v6 «

BIEF zgiymvov ngôg 16 zgiyœvov 05mm me;1’7le remuiez! ngôg 1:6 119K zgl’ywyov. Kai finet

lamie «fg 76 ABE ægiywvov n96; "nô .ZHA wgïyœvor017th r56 EBF nçôg 103.4110, mi è’n [En] n96; fui119K ami «Je: dieu à! un! fiyovliznéæëwv ngôç Pr «5:51?

énoyëæzàw 061w; (ÏWOWZ’Œ cd æiyoülœva wgôgnà’mwœœ

PROPOSITIO XX.e Obs. 1. Quum polygonn hac varia radant: in trianguh

dividi passim, dîstinctius die; oponebat, qua ratione id fieridebeat, ut. in attaque similium polygouorum respective similiaexistant trimgnln. Nempe si in nno polygdnorum a val-liceangnli cniuscunque v. gr. a verdet: E ad verti’ces reliquorumnngnlurnm omnium (exceptis duobus proximis) dileantur recrueE13, ET etc., pariterque in ahan-o, polygone a varice ains an-guli, qui cum angulo E aimililer pomme est, ducmtur adverrines reliquomm angulorum recule .41! , .49 etc., tum etc.Aulne; niangons in formais, diagoqales homologae, Le. cap,que val-lice. angulorum respective aequalium iungunt, ut exdemomtrationc patçt. in lianes respective aequnlcs dividuntangulos, par que: franseunt, et ipsaè lue diagonales 81m: la- vterib.us figunrum homolugis proportionalel. CE. Pfleiderer.

Schol. 292. . IObs. 2. Quod dgrflonstratiouxem attinet, pars secùnda,quod nemye bomolnga oint triangule: ARE, 211.4, pariterqusEBF, 1H9 pfaeter ralionem pralin esse vidant, quum, de- ’ v

I

’ mana ananas. . 2517ita’IZNIad Ne; ergo (v. 11.) m triafigulum ARE. aagit triangqum BER, in triangulum ZHA ad trian-gulnmnHGA, et alterne (V. 16.) ut triangulum AB E

’ ad triangulum ZHA ita triangnlum BEM ad triangu. ,ilum H119" Similîter osœndemus, iunctis Bd. 11K;ut triangulum BEF ad triangulum 11010 in: triangu-lnm EFA ad triangulrim JIQK. Et iquoniam esprittriangulum ABE’ad ZHA îta EBI’ ad .AHG, et

insuperEI’Aagî A910 eritut (V. 12.) uuum anteceden-

Iium ad unum gonsequentium in omnia anteceuemîa2d. omnia consequentia; estiigitur ut triangulum ABE .ad triangulnm ZHA in polygonum ABFJE ad po-lygonum ZHGKA. Sed triangulum ARE ad trian-gulnm ZHA duplicatam rationem habet eius quam

n castrat: une niangulorum similitudine, res smim ex VI. 19.i et V. il. pneu, ut in altera damonstrationead fincm addin

osteniiitur. Unde haut! panais potier vin fait huer: posterior ’demonstratio, quam multi adirons lolomillbent (v. c. Cla-vinsyGiordano (la Bitonto, Candalla. Billingaley, Oronlîusl’imam, Henrion, Borellus, Barrow., Cousins, Rob. Simon;Playfaîr. ahi) val aluni adduht (Il: Clnrpsnùs, Zambertus,Cominandinus, Boermannus, alii). Pfieiderero ramon (5. 294.)prier illa, subtiliori ana, -et par consequemiu margis imme-diatas suppositi argumentanl, potins gamina videur, qnnmairera sxpeâitior, a: reinetiori consccnrio nient, et damon-stntiouem parti: tartine imitant. Guarani, ai huec alter: deo,monstratio eo untum comme millibar", quad inscriplio in»dinar, usurpe. ut amendant, homologa «le in: triangula, ni-hil opus du ver-bis in EdiiOxon. ad finemraddiu’s, quine invariamibm notavimus: sin autem tarti: qnoquc propositionis"pars, trempe, similis polygona eue in ration àufilicau laternt’nhomologorum inde dcrivurda tint, son: in. omnino acculs-ria

0b». 3; Giron corollafia buic propositioni addita obser-

248 o . raguau’ron’u’n

1d éçrâpww En"! (Zou 45g 16 ARE agiymfov ngôc a;ZHA 1917014104! 06mg ’tô ABFJE nolü’yowov W969

la; ZHOKA nolüywvov. ’AÂM mi ARE agi-7031101brode c6 Z111! aglyquv dznluoz’owz 167ml Élu 977559

15 A8 614610709 ulstigd n96; 11131 ZH âMÂofov9115129th me? 7&9 à’pom 19!wa à! dmlaor’om 167:,»

fini cuit! 6,402.67ch 751611967. nui r6 ABTÂE de!» vro-Mywà’ov 91969 tu; ZHGKJI nolüyrpmw dmùwlovœ267w è’xec cinq) a; Al? ôpéloyog aduler)? ngôg 117W

ZH 010610703! nlevga’y. Té aigu âpazu, nui ce? ibis.

Il Û P I 2 M A a’.120426sz à) ami étai 103v .ôpolœv accoutumions!-

w d’uxfhiowm, (in à! dtnlam’ow 167g; étui raïa! (fluo.-

Âliyow nlevenîv. ’Edck’züæy 0è ami fini Toit! retraivwaf

vins and 1041961011 in? bateaux sifiygapma azimut ’72969 0217.1710: à! dm).aoc’ow 167;» n’ai mûr-«molâyœv

70.609037. - . IW 110191251447. .! Kaî édit! 203v AH, ZH mimis! 40570510707 Âdfiàmev

fait! E, ai .43 ngôg mit! E dznlam’owœ 1.6707 è’xec

firme A3 n96: fût! ZH. "Exec dé aux). a6 adira:-wînf trek tu; noltiywwov, ami r6 cargoËnÂwewrzgôc

i 7d urgez’nlwgov (imitation: 10’707 aime si émiions.

ut Audin, quomvil lectorem videra, vomit) pofygoni hicadhiben’ de qunvil figura rectilinea, que plan-41mm tria la-ura bahut, and: nilril opus si: ’ùediosis Iris corollariis, quein ipse proposition contenta sinr. Vomm cairn veto, praetçr- iqui)! quod v0x nolôfàpwv ’le nolénlsvpov in allo. lensu au-

menda foret, ac in I. Def. 25. «adam etiam rational, qua: inObs. 6. ad V1. 19. vidimus, coronal-ü «candi «lancinant

. o une: eux-rus. 249lama homologua AH habet ad Z H lama homologum;sifnilia enim triangula in. duplicata ratione sunt*(Vl.19.) laterùrn homologorum; ergo et polygonum

34812115. ad polygonum ZHGKA duplicateur ralionem.habet- du; qui-1ms honfiolognm’ lame AB ad Homologum

lainaiZH; Ergo similia etc.r

COROLLARIUMJ;Similiter et in aimilibus quedrîlateris ostend’etur,

ca in duplicata ratione esse laterum homologorum.Ostensum auteur est et in niangons (Vl..19.); quareet unîverse similes» rectilineae figurae inter se in du-plicata ratione sunt laterum homologorum.

’COÆOLLARIUMILEt si ipsis dB, ZH tertiam proportionalexp suma-

mus quae si: E, B ad E duplicatam ralionem habet’* (V. 10. Def.) eius quam dB ad ZH.. Habet amen)

et polvgonum ad polygonum, et quadrilaterum. ad qua-,drilaterum duplicata!!!) rationem eius quain homologunr

tuentur. Praeterea observa: Austin. in eorollmio hoc secundoprimum occurreredvocem 04’309, quant alias Euclides, quia ,recepa: semcl dicendi forma recedero non solen, vote 117;:chmon", ut in -l. Def. 14. ad indieandum spatium terminis cir-cumscriptum. Nec vocem eider aplati-Euclidem recul-rare, niai

. in demonstratione V]. 25., nbi hoc ipsum corolllrium mollominus necepario in muni, vocgtnr, et in Prop. Vl. 27: Vl.

350 , stmeu’ronumnlevgd wgdç 4&1! élidions! nhvgolv, tonnaient» .43ngôç vair ZH’ êdslxâq défendra and. dal fait! tgtyei- .

sur «Sera and «41.962.011 «pangôr, du div agas! 815-.-’ 0cm; 6702107010 «dont, 51mn (de a; 75min; 7:ng nia!

mina! 01’5sz et; (inti "fg ngairiyg 61609 ngôg cd ciné

«ni: (landtag, 16 6’th ml 69091109 dyaygmpdgwov. g

AAAax1161501154: à) «al ’e’zégmc agozszgdugov «indien»

tu; rgt’ywva.’

Enclaôwoav 7029 ruila! tu? ABFAE, ZHGKAl goltîywvu, ml êneçeüxôwguv ai BE, El’, H11, AG’

En» du fait! ais cd ARE rgiywwoæl ngôg cd ZHAcuirais r6 EBI’ngôc Id 11H69 and in; TAE ngâc cd

9K1. . a w 4’Enel gidg 6[WI67 ému cd ABE Églywælov 11,4; ZHA

mandale), 16 :ABE aigu cgz’ywyov ngôgflôl ZHJl dt-nlaoz’ova 1.670?! è’zsz fimg ci BE ngôc fait! HA. du;

7d (ni-ad (W ml a; BEP rglyuwoviazgôc cd H119rgiyœvov dtnluoiqala 1.6701! èïec fimg ai BE n96; 11,”)!

111*5on aigu ais fui ABE rgiywvov ngôç mi ZHA. rgl’ywyoal du); 16 EDF ngôg r6 A116. 11412411,

28.: Yl. 29; V1. 50.; Vl. 31., quine hoc ipso nomine su-:peeta videan.tura Nec omnido cdnsequi hoc eorollarium inEncraliter ontpreuum ex proposition, in que sermo rit tantnmdclfiguris reclilineil au: polygonis, non de quibusdunque.pntü speciebus sut figuris. v- Forte [amen non sine rationeresponderî possit, ad vocem 21806 subintelligendam eue vooenlacidulera", val nolriywvov ex anteoedentibns facile suppo-nondam, et id ipsnm, quad corollarinm non de figura quafconque ex propoailione consequatur, Euclidi causae fuisse,mitigeant-lion voce 1:sz hic mi nouera

a

&IBER saunas ’ 25Llama ad homologuai lattis, hoc est AR ad ZH; osten-sumest autem hoc et in triangulis; que": et universemanifestant est; si tres rectale proportionales sint’, utprima ad tertiam ita futurarn ces; figurant a prirîia adfignram a escalada, similem et similiter descriptam.

A L 1 T [E à.

a Ostendemus etiam aliter expeditius homologa esse

triangula. l I ’ - , g* i Exponentur mini rursns polygone AR PAIE. Z H 6K1! ,

et’iungantur RE, En H1 , 119; dico esse ut trian-galon: ARE ad ZHA in EBP ad 4H9 et 1m:

ad ÔKII. .Quoniam -enim simile est triangulurn ARE trian-gule ZHA, triangulumg ARE ad triangulnm ZIIJduplicatam rationem habet (Vl. 19.) eins quem RE adHA. Ex cadota ratione et triangulum RE F ad triangulum11119 duplicatam rationem habet eius quem RE ad

. Hz; est igitur (v. 11.) in triangulum ARE ad "sa".gulum iZHA ira ERF ad, Alla. I Humus, quoniam

I

Obs. 4.. Furet chum, Polygone similis, quornmiromologalatent sunt Inter se aequalra, esse quoque aequalia inter 5e.Neme quum ratio bomologorum laternm sit (SIIPP) ratioaequslitstis, ratio duplieata laterum homologorum pariter eritr.Itio sequslitatis (V. 22. Cor.) li. e. ratio polygmlorum silo).linm super homologie iuis lateribus descriptorum erit ratioaequalitatis, ndeoque polygonal aequalia. Et.contra, si poly-gona siniilia filerint aequalia, val ratiorrem aequalitalis lraheant,ratio subduplicata connu, Il. e. ratio Interdm laomolngurumetism cri: ratio aequalitatis .(Cor. ad Prop. m. in Exeursu ad

252 . nnsmanronuuau; ôpmôv 31m tu; EBF zg’yowov ni 11176 un»767w 96’ EBI’ aigu 71969 76 AHG dmlam’ova 10’707

au 451569 fi TE mima: 91969 1va 9A. ’ lui un? «ôtai

1H mi 16 El?! 1915401101! n96; v6 AQK zgiyœvov«macadam: 16701! è’zu finsg ai TE 71969 niai etê’ww 69a nie 16 EBF wgt’ywvov iode cd 111901.htm16 ETA ngôc a; AGK. ’Eâelzafh] 6è and aïs-16 EBT

W3 16 Allô 0177m9 Il) ARE flgôg 76 ZHJË andJe taïga :6 ABË nqôç zâ’ZHjl 017w: t6 BEFn96: .16, H116 mi I6 EFA n96; cd 119K 1). "Once

au daim. ’ - If IIPÛTAZIZ mi.

Té «fi afin; «5.9.7906.1449: 6,40m ,, mi (indium

307i, époux. V i ’ I l’Eouo ydè éud’ngou 115v A, B v9?r s’amov’ 1577:» (in mâté 14’795 B féodal anomal.

’Ensi 7029 6,14064! ému 16 147197 T, Moydwôv té

kW «61:95, nui rois vagi mais ïoac ywviag alangui:«3610100 glu. IIdlw, Ë-nai 5,110467 écru 16 B 797 P,lourdauds! 75’ émut «été, ami «à; flapi nie foot; 7m-

. n’a: nhvgdgoïfla’loyow Exa- ézduçow’à’ga 103v A, B

«,5 F îooyw’mo’v ré écru and rais mgl mis fous ronflas

7:).wa dydloyov-è’zsi, (559w ami 7:6 A T9; B 1’00”11;-

nôv vé in; and. nil; vagi ni: (ou: ywvz’ug aimais

- I). Edd. Bail. et nOxon. nddnnt: au! (Je Ëpukv. 12.) ïvun infiltrons! neck 3:! 107v énoplrwv. 031w: [indura-ni 137m;-[ava «(me (1,7!qu tu baigna , au! tu? lourd uïsflëv r], ’nomëeq.Ju’êu. Do lue [actionne "de infra, que ne! banc Propos. ob-

urvnvilnus. xx

Libr. V.) i. e. laura homologa «un: actionna. (Quod poste-:iua en Lemmç-ad V1. 22.) Cf. 0b; 5. .141 V1. l9. Boulin:

z , -

"in: euh-va. , 253simîle est triangnlum .EBIl triangule 1H9; EBPigitnr .(VI. 19.) ad 11116 duplicatam rationem habet’ains quam TE recta .ad I911. .Ex éadem ratione ettriangulum E114 ad triangnlum AOK duplicamn ra-tionem habet tins quem TEad 011; est higitnr (V.Il.) ut flingulum EBT ad 11116 ita EFA ad 119K.Octenlum. est autem et ut EDF ad 11H69 in AREad ZHA; ergo ut ARE ad ZHA in BET ad 11.49 - -

x

et ETA ad 40K. Qnod oportebat entendue.

l liPROPOSITIO- XXI. (Fig.379.)

Quae eidem rectilineo saut similia, et inter se saut

amuïe. i .Sit enim utrumque rectilîneorhm A, B ipai P ai-.

mile; dico et A ipsi B esse simile. I.Quoniam enim est simile rectflineum A .îpsi T, et

aequiangnlnm est ipsi (V1. l. Def.) , et cira aeqlulesangulos htera proportionalia habet. Hui-sus, quohiamsimile est rectilineum B ipsi T, et aequiangulum estipsi (V1. 1.’ Def.), et cira aequales anguloa latentproportionalia habet; utrumque igitur ipsomm A,.Bipsi P aequîangulum est et cirez aequalea angùloa latera’proportionalia habet, quarta et tectilîneum A ipsi B

Cor. 2, ad Prop. W. 17. Pfleiâcter. I. m5. 299. Paliter, siyolygonorum similium ne" funin: «guzlas , lrÂÀnguIa quo-que, (une diagonale! homologie nbscipdunt, et simili: et no-qualia orant. Cf. Pficiderer. S. 298.

01).. 5. Ut duo rectilinea M, N (trimgulis «moque tubhac douomimtione compnhcnüs) simili: eam lubeuit ratio- lnana; qua’m lulu alignai! A priori: baba a! mon!!! chum F,

254 snamsuæorbm«mû-0707 ixia î). "0,14on 590: tu! v6 11,5,"Onee i536: iôcîçm. I . . , - * . .

IIPO T.4212 «fifi.’Eoîv flocage: «Melun 611051070604, qui qui (in.

’ miton w’ôv’yqapw, amati ce tu; 071ml»: évan-ypappæ’m, avüoyw .è’qæat’ 1?;va dn’ mini» 56664

Nappa .Iô’powi ce and Quoi»: üwaysyçappéyu ibé-

loyov , na) «15m; ni «Maïa: (bailleroit éboutai.’Eaïwoav zincages av’âeîat éraflent! a! AH, T4,

EZ, HO, (Je AH nçôç «wifi TA 017cm3. 1j Eanôç

I ni? HO, and dvuyeygdtpôwcav 05m; W 150;? AH; F4(J’y-oui in ml 6,00in ulmw Mygamm tu? KAB,

i 11T A, «inti dirait! EZ, H9 3,40m? ce nui épelas; ,«d’un: stïôüygaypa ni MZ’, N9 18’703 au fait!

uÎg 76 KAB 7:96; 16 API 0135m3 ni JIZ neck 16 Net. . - Eihfrpôw ydp’ 4m?» "à! AB, FA tpim changea!

1j E, m’yôè EZ, HO 191’177 dwéloyov i Q. Kai1915i 367w: «il; ph! 7j A8 9196: raja! T4 0171m; 9; EZ91969 a?! H9, aïs 6è FA ngâc w,» E oÜzwçnÏ-HÛ A

91963 17h 0 ÜIÏUOU dieu in» aïs dB ngôg tût! E061019 1; EZ n96; min! 0. ’AM’ «le. pâti 1; A3 flgôç

fifi! E 051w; 16 KAB npôg T6 mu, 40’s 0334i EZ91969 "il! O 01710): t6 MZ mgôg 2-6 NO’ étai (59 taïga

t6 KAB 71969 76 AFA ouïrais 16; MZ n96; 16 NO.

i1) Verba hue ab à?" inde ad àbsolvendam demonstratin-mm promis -neceuaria, quao ex C011. a. sine ’dubio tantnm exOscitantia, librarii exciderant, omittit Peyrardus. Nos moremEuclidi tolemnem seculj sa restituimus, ut-sunt in Edd. Basil.

cr. Oxon. *pôlterioria lama homblnguni dobet eue magna prâportionalis

i

unau sçx’rus. . Î 255

en àequiangnlum (I. 1.) et latera circnm aequalesnasales babel: proportionna (V. 11.). Sihmile igitm- ’est A ipsi B (V1. Def. 1.). Quod oportebat ostendere. r

l.

» P11 0 Po s I T 1 o xxn. (Fig; 380.)Si quatuor restas pro’portionalealsînt, et quae rab-

ipsîs fiant reétiliriea, similia et similiter descripta, pro-

portionaiia erunt; et si, quae ab ipsis fiant rectilineasimili: et similiter descripta proportionna sint, et ipsae

’recm’e froportîonales erunt.

Sint quatuor rectse proportionales .43, FA, EZ.r H9, ut JE ad T4 ha EZ ad HG, et describnntur’’ab ipeis quîdem AB, TA similis et similiter pocha

rectilinea K13, .4121, ab ipsis veto EZ. H9 tîmiliaet similiter posita rectilinea M ,, N6; dico esse utK43 Id 11114 ita MZ ad N9. V

Sumatnr enim (VIEIL), ipsîs quiden’: ,43, 114tertia proportionalis E, ipsis vero EZ, H0 tertia pro-portiorialis O. Et quoniam est ut AB quidem ad TAin EZ ad H0, ut FA vero ad 3’ ita (V. Il.) M0ad 0; ex aequo îgitur est (V. 22.).ut AB ad E itaEZ ad O. I Sed (V1. 20. Cor. 2.) ut AB qnîdem ada ita KAB ad .4114, ut EZ me ad o ita MZ adN951 ut igitur (V, Il.) KABIad ATJ in MZ ad

N9. .inter lama mon! ’11, et rectum datant I’. Sil enîm il]: media

proportionnlis B, iu ut 4:13:1le", dico, hlm illud homo- lognm posteriori: lignine esse :8. Quodsi euim non filetât28,1 cit illud alias recta qunecunqua A divers: a B, sitque

* AidP-l’ltE, eritquc M:N::A:E. At, goum ratio 41:4diversa si: a ’mdone 4:3, divers: quoque erit ratio 1:3

256 , ELEMBITOIUÜune: m2 en.» «à; a; La; me; ai 11m du»;

U6 MZ n96; ’56 N9 15’701 au Étui and Je 9; AB

neck wifi F4 0171m9 t; EZ. 7196:: wifi H6. lPsyom’w 7&9 1J ois o; AB n96: en» F4 017m: i

EZ B7196: nia! Il P , au) éwyeyçdtpâœ aïno flic "Il?

(inflige 16’; MZ; N9 (incuit! ce ml 6min: usi-pwov eüâüygappov t6 2P.

’Ensi cour «in a; JE n96: a)? Idoô’ms 7;EZ 719692 nia! H P, aux! dmye’ygunwt aïno ph taïvdB, A fluate; ce m1 6,601,016 ’uet’peïvœ’wd K43,

.1112], (inti 6è fait) EZ, 11.? liguai ce ami 6min:minera cd .MZ, 2P? .è’o-rw «igue aïs et; KAB n96:c6 APA Dôme v6 MZ n96; ’56 2P. Thorium deau) ois t6 KAB atonie 16 APJ du»; 16 MZ-neôs:

"nô Nehùuxi ois 02’904 cd MZ 71’969 1:6 2P 01’511»; 10

MZ ngôc t6 NO 2) 16 MZ dieu n96; êuars’pov 1h70N9 , 2P 16v mirât: Élu 16763" ïoov 0790: 301) ce N9fifi 2P. ”’Euu 0è «1;ng opium! ml timing scalperez!-

il»; taïga H6 wfi 11?, Kai 3nd écrus! aigri A3 .ngôgfiztfiv FA 017w: 75 .EZ 71969 To)? IIP, ici; Je1; HP "cg" HO garni taïga cuis ri ’AB n96: W1! T4

ib’Ü’th EZ ngôg mît! HG. ’Enîv d’en 150018983, and

qui êëûc. 1) Loco verborum 7570751!» 7&9 Peyrardul ex Coi. l lu-

bet: 52’ 7:20 w; En»! aï: 1; A]? «966.1111: Il, 031w: EZ n06:a): 119. 55’014» u. z. 2.. ’At, quum ira indirecte démon-trafic,sequi debere videnur, Euclides entent (birectam bahut; pne-ferenda omniuo videtur lectio Edd. Oxon. et Bail.

2) Vous uncis incluse! omittit EQ. qun. et mon: in"omnino abuse.

a ratione A.:F (Cor. ad Prop. m in Excursn et! Libr. V.).At ulluque ratio 4:1? (suppos.) et J:E (demonstn) aeqpnlieest ratioui Mm: itague (V. il.) miam ratio 11:1" eadem en

r

nous sax-rus. u 25TSed ait ut KAB ad 11121 ita MZ ad N6; dico

esse et ut AH ad TA in EZ ad HG.

me enim (v1. 12.), ut A]? ad FA a; EZ adJIP, et descrîbatut- (V1. 18.) a IIP altemtri ipsorumMZ: N9 simile et similîter positum rectiliueum 2P.

n Et quoniam est ut AB ad TA ita .EZ ad IIP,et descripta sunt ab ipsis quidam AB, TA, similis eteimiliter puits KAB, And, ab ipsis vero EZ, IIP,

’ L similis et similiter posits M2, 2P; est igitur (perpart. prier. hui.) ut KAB lad AIÏd in MZ ad 2P.Ponitur autem et ut KAB ad 11121 îta MZ ad NO;et ut igitur (V. 11.) MZ ad à? in MZ ad N9;ergo MZ (V. fil.) ad utrumque dipsorum IVG, 2Peandem habet rationem; aequale igitur est (V..9.) N6 ’.ipsi 2P. i Est autan ipsi simile et similiter positum;aequalis igitur (sequens Lemma) H9 ipsi ILP. Etquoniam est ut AB ad F44 ita EZ ad IIP, aequalisautem Il? ipsi HG; est igîtur (V. 7.) ut A3 ad F4,ira .EZ ad H9. Si igitur quatuor etc. s

I tlrationi’Azü, quad est sbsurdum. Lstus igimr homologumposteriori: figuras «il; :B. Cf. Pfleiderer. Q. 501. .

i0 b8. 6. Hinc facile solvetur problemls describendse fignraerectifiasse similis dans figurae,M, et quse ad banc figurem.1! candeur rationem habeat, quem recta du: 2 ado rectumhum II. Sumstur nempe lattis quodcunque .4 figura: Mset fiat II:2:.-1:F (V1. 12.). Inveniatur deinde motif-4. Pmedia proportionalis B (V1. 11.), ut itaque oit 4:13.28: 11.e: . tu: recta B qdescribstur (V1. 18.) figura similis et simi-

TM- . Elenent. P. 11.. . - ’ R

258 ELEnIENTokum. A H M M A.

"On 8è, êoîv ev’ôüygalcpa î’tm ami 5,10m, ai 6,06-

).nyoz «610w nÂevgai ïam (influas m’ai, ghiëopav

017:0)9. ’313010» 70a mû 6,100104 ’eüâ’v’ygœppœ TO2 N9, 2P,

and 507w 16g 0H n96; 11131! EN 047m3 1; P11 9096911,511 112 157w 310î’017 3min! 7j P11 ni (9H0

n Hi 7&9 chimai. situ, [du 0411500511 pattée! ëa’u’v.E010) [ce-[Quai 1j ,PIÎ wîg (9H. Kai âne! 301w w2- 0;

l’Il. 7!ng trahi IL? 0170m9 ai 9H 7096:; zûv’HN, mi

êmÂÂdêtuîg a; P11 nçôg niai (9H 0133:ng a; 112 70963

rival HN. Mez’Çow d’à 0; Il? 17k Mez’Çwv 02’905

mû 1j .112 mis HAT’ (3916 m2 Id P2 Neige? Eau 1007QN’ 04’110? nui î’mw, 57009 dôüm’rov’ afin 02’904 âvcaôg

300w 7; IlP W]; H0, ü»; 0590:. "01089 Mec ôeîèa-t.

.IIPOTAZIE nef.T.2 iaoyw’ùm nagallylôygalulm 71969 027.1503104 167ml

5X8! 16v ozvyuelluvov æ’z rubican nÂsvguÏw 1).

1) Crimes quidam editiones legunt saltim: 3321151! nÂevpoÏw,nec Peyrardus aliam ex Codd. Mu. lectiouem lxoanil. (hmmLune", ut recta manet Rob. Slmson. in N01. ad VI.’23. p. 576.vulgaris lectio si: abaurda, non dubilavimus i111 aliam verio- -rem substituera.

liter posita figllrlo M, in ut laura B, A, sint latere homo-loga, un figura descripta, quam N vocabimus ca, quae de-scribi iussa cran Est enim M:N::A: F:H:2, vel N:M::2:11. Cf. Pfleiderer: S. 502. Nominatim codent mode solva-tur problema, triaugnlum datum pet reculs designato eiuslateriparallelaa dividendi in panes quolcunque aequalcs, vel miamqua;mationes invicem habeant aequales ratioxlibns rectarurhdatnrum. Cf. Plleidel’el’z 5. 303.

0 bs. 7. Quum nominalim miam quadrant super bougo-

1.1an suxrus. 259 L’EMMA.

Si ’autem rectilinea aequalia sint et âimilia, homo-

loge ipsorum lattera aequalia inter se esse, sic osten-demus.. Sint aequalia et similia rectiünea NO, 2P, et sir,ut OH ad HN ita P11 ad 112; dico aequalem esse

PII ipsi OH 0Si enîml inaequales sjnt, una ipsarum maint est.Sît maior P11 ipsa OHÂ- E0 quoniam est ut 1’11 ad

172 in OH ad HN, et alterne (V. 16.) ut PIÎ’ad8H ira H2 ad EN. Maibr autem HI) ipsa OH;maior igitur (Prop. A. libri V.) et 1127 ipsa HN;quare etl(VI. 20.) P2 mains est ipso ON; sec] et ae.quale, quod’ fieri nequit; non igitur inacqualis est 11,9

,ipsi HO, ae’qualis îgitur. Quod’ oportebat ostendere.

En o P o s 1 T 10 xxm. (Fig. 381.).Aequiaugula parallelogramma inter se rationem ha--

bent compositam ex rationibus laterum.

logis lateribus figm’arum similium descripta sint in ratione du-pliqua 110mm latetum pater, polygona similise qnaecnnque(triangulis quoque et quadrilateris similibuo euh hac denomi-Hamme con’wprehenais Obe. 4. ad V1. 19;) esse in ratione qua-

àratoxum laterum homologorum. OPROPO;8ITIO XXI.

.0!) s. Poteau. haec propositio deduci ut corollarium Prop.V1. 18. 1m est apud Borellum hi Cor. ad P1013 16. Libr. 1V. .

PROPOSITIO XXII.Obs. 1. Proposilh haec derivnri facile polest e): V1.

20. et ex Cor. IV. 22. et Cor. Prop. m in Excursu ad Li r. v.

260 .ansgnu’ronumA "E010; 10070611101 7101901119167901111101 un? AP, TZ,

Tom! 57.011101 16v 17716 RIZ 701411011! J716 EPH117w au 16 AF 71a9allrllây9al11po’v 71969 c6 T Z 7101-9a7.2.7;Âo’y90111pov 10’701! 5111 164: 00711311101104! in 107v

703v 712.1091511 1), un? me au 0’101 7j BD 71969 175v PH -

mû 1017 511 5181 a; 7.4111 71969 17731 TE.

’ [(11030) 7039 1331s ën’ 561981015 sima 7min! ET 1j

171° 1371:, 5619010607901 3011 Mai a; AI" 175 I’E’ :1011

014171871199160190) 16 4H 71119017.).77167901111107, nui 371-

6116!,61901) 11g 1.17.9110 fi K,’ ami yæyo’væ’no 169 phi 7; Br

71969 175v PH 017’th 7; K 71969 niai A, (6g 6è 7; AI"71969 7671.1’E où’rwç 7; A 71969 11,511 M -

01 02’911 10’701 mais 1.9 K 71969 ("fat A ami mis A

71969 177v M ai 116101 situ mais 2.67019 raïa! 71101191511,

mîç 15 BF 7196: 17151! PH 71011 7779 AF 7196: qui TE.

.1) Hic quoque ex eadem -nLiono ne in ipsn propositioneex lngen.o adlecimua vocem un. .

Lemma Iubseqnens deductum est supra in Obs. 4. ad V]. 20.Miner ne in textu graeco Boermannus, et accuratius, omise:etiam permutatioue superflue, 110c lemma in demonstràt. Silomnium N9, 2P sint similia et aequalia, latçra quoque ho-mologa HG, JIP aequalia orant. Si ehim non sial: aequalia,allerutrllm velu: IIP matins exit, unde, quum ait (VLDef. 1.)HP:HZ:HO:IIN, cri]: quoquc HE)HN (V. 14.) adcoquell’iaugulum 211F ipsi N119 impositum mon congruer, xedmains crie (Cor. ad. I. 14.). Est autem rectifia. 2P: rectilin.N9: triaug. .ZIIP: triang. NHG (V1. 20.) huque recülin.A?) reetilin. N9 (Prop. A. libr. V.) contra hypothelin, ergo

IIP:.HO. - ’ ’Obs. 2. Prop. 22. ednm valet de quatuor figuria recti-linoia, non binîs solum, en! omnibus similibus. Spcciatimquatuor lectarum quadra! sunt poporüonalia etovicinsim.

1

li

n

une; 53x103. - 26lSînË seqlüangula parallelogramma AP, PZ, aequa-

lem babentia angulum BPA angulo EPH; dico pa-rallelogrammum 4P ad parallelogrammum PZ ratio:lien; habere compositam ex rationîbus latex-nm , nempeex ea, quam habet BP ad PH et ex ca quam habet

4P ad TE. LPonantur enim ita ut in directum si: BP ipsi PH;in directuni igimr est et 4P ipsi PE (I. 14.); et com-pleaturparallelogrammuru.AH, et exponatur quaedam

tracta K, et fiat (v1. 12.) ut Br ad PH in K sa A,ut 4P veto ad TE ira A ad M.

Rationes igitur ipsîus K ad A et ipsius À ad Meaedem saut quae rationes laterum, videlicet lateris.BP ad PH et ipsius AP ad PE. Secl ipsius K ad

PROPOSITIO XXm. .V Obs. 1. Sensus huius propositiouie, ut ex deinonstratioue

eiue peut (collet. Examen ad hunc librum 5. 8.), hic est:cognitie laletum ciron aequales patellelogfammorum aequiangu-lorum angulos rationibus mutuis, colligi ex iis posse ratio-nem, quam une parallelogrammorum invieem habeaut. Velrationem mutuam parallelogrammorum aequiangulorum pan-9âcre ab rationibus [stemm ipsorum cires aeqùnles auguloa, etmodum, quoilla ex bis eliciatur, propositio luce dam. De-monstrationis enim momentum ce redit, ut, si vel ipsa paral-lelogrammorum circa «guzlas anguîos laura, proinde et corumradeuse dentur, recru, quarum rational eaedem sint rationibuslaÉemm binorum parallelognmmorum, ouendatur, duas quo-

Ique exhiberi pesse recru, quantum ratio mutua endem sit m-tioni panllelogrammorum. cr. Pfieiderer. 1. c. p.179. 195. Pflei-dater. simul observant, cum proposiüo hue, parita- ac V1. 14-nonuisi iterata propositionis V1. 1. application: nintur, et ar-gumenti 14. coepti continuatîo ne supplementum ait; transpo-

262 ELEnIENTORUM242.13 6 11:9 K 71969 77,11! M 20’709 06717511011 s’en vos?

11:9 K. 71969 771:7! A 7.6;Io’u sa? 1017 1779 A 71969 mis!31’ 16975 and ü K 71969 761! M 1.6701! 5161 7157611771812

1z-sv07! Su raïa! 1161! 717.0179051! 1). K06 ênsz’ ému! 169

7j BP 71969 :1761! PH 0171009 16 AP 7169611771679690-pas! 71969 ’16 PO’ 05H: 169 7iïBP 71969 (nia! PH 01335019

r; K 71969 fifi! 11’ 7101i 169 12’901 fi K 71969 mis! 11 017-

7109 76 AP 71969 r16 PO. ÏldÀw, 5710i E0711! 169 â 1P

71969 "nia! PE 017er 16 PO nagall’rjlôywplpoh! 7196976 PZ’ dÂÂ’ 069 fi AP 71969 1777! TE 0171m9 611 71969

761! M° 7106 169 61’901 A 71969 7761! M 0171079 ’16 PO

7101911119167901111107! 71969 c16 PZ 71696117716790101107.

’Enaï 067! 56551199, 169 1117! ai K 4 71969 161! A 0177m9

76 AP 71agœlkrfl679011110m! 71969 16 I’O 7101901117716-

7.961111011, 169 6è 7; A 71969 11,34! .M 0171m9 16 ne 7104-9aÏ.Âv7]Â6;!9a,w,uov 71969 . ’56 PZ 71019011.).77167901111101!’

Miaou 6’901 serin! 169 7; K 71969 77:4! Ml 0171m9 16 AP

9 1) Hic quoque et pariter ad fincm demoustrationis vocemtu»! altera V100 positam ex coniectura ediecimus.

sitione baud apte propositiones inter ad figuras similos perti-nentes, nec une mode cum ipse connexas, insertam fuisse vi-deri. Caeterum 41’ et [E in directum fore, si BP, PH indirectum ponantur, simili ratione ostendi potes: Inc Obs. 2.ad V1. 14.

Obs. 2. Ratioucm. qune ex duabus datis’ rationibus par

lincasirectas expressis compouitur, dari, h. e. (Eucl. Dal-Def. 2.) ipsi aequalem lineis rectis exhibeii passe, efficit de-monstratio Prop. VI. 25. idemque similiteriad plates, quamdues ratioucs sic datas, ex iisque composites extenditur. Cf.

Pfleidcrel’. 212. A I ’0115. 3. Eaedem conscquentiac, quae in demonstrationz:

inde dcducuutur, quad rationcs BIEI’II, et 4P: TE demi sup-

LIBER SEXTvs. L n 263M ratio componîtur ex ralîone ipsîus K ad À et exraflane ipsius. A ad 131 (Def. ratinais compos.); quareet K ad M ratiohem habet compqsitam ex ratînnibuslaterufn. Et quoniam est (VI. l.) ut BF ad PH in14T parallelogrammum ,ad I9; sa! ut .BF ad Filin K ad A; erit îgitur .(V. Il.) K ad A îta le adT9. Rursus, quouiam est (VI. 1.) ut [IF ad 17E inT9 parallelogrammum .ad TZ; setl, ut up ad TEin J1 ad M; erit nu igitur (v. u.) A ad M ha pa-rallelogrammum F9 ad parallelogrammum FZ. Quo-miam igitur ostensum est, ut K’ quidam ad A ira pa-rallelogrammum ÀF ad parallelogrammum 9 , dtvero ad M ita pamllelogrammum F9 ad parallelog’rnm-

mum FZ ; ex aequo îgitur est (V. 22.), ut ad A].ita parallelogrammum AP ad pafallelngrammum FZ.

. At veto K ad fil rationem habet compositam ex ratio.uibus laterum; et AF igitur ad FZ rationem habet

pénuntur, nectuntqr, si rationea solum posterions (Prop. B.in Excursn ad Libr. V.) invertantut, et rationnes B ’:I’H, ct -I’E:4F dari pomntur. Tarn nempe 0b parallelogr.

.411: I9:EP:PII l , l21’: [aermr (V? à ,

eimili rations consoquitur, dari rationem mutyam parallclo-grammorum AI’, 21’, si utriusque ratio ad idem parallelo- "grammum T9 deum Cf. Pflciderer. 5. 213;

Obs: 4. flac ipsa methodo Exlcîidca .praernissis propo-sitionibns (Dan 1. 2.): duarum magniludinum homogçncarumflatarum dari raticucm mutuam; et vicissim dari magniludinemacuiua ad damm magnitudinem ratio detm"(si nempe, quadRob.’Simspn.. acrlclît, duabu: magnitudinibus, quibus haecratio exprimitur, et magniludini dame quarLae proportionnlispossit inveniri), generatim ostendit, duas magnitudines, qua-rum rationcs ad eandem tertiam dentur, pariter-muluo habc e

264 snanxnnronuunugallîylo’ygullbluov ngôg 16 FZ nœpœllnlôyçuppoy.

71 6è K flQôQ mât M 2.6707 è’xsz 761! wwsipevov à:m’y raïa! nlwgaîw nul 16 AI’ ripa n96; ’56 TZ 10’707

flet r64! wyxsiywov êta 107v un nlweuîv. To? (5’90:iooyw’wœ, nui ce? êEæÏg.

JIP 0 T4212 m7;Henné: nœgullnloygu’mwv tu? usez fuir 01051057907

naçallnlôyguppa 311,010? écu 11,5 ra 51.50 mi 0311,;-’Âotg.

"Etna; nœgœlhylo’yçappov a; ABI’J, ôtdpnçoç

d’à 00’101; 7j AT, negi 0è niai APflagalÂqlôygappœ

è’azw un? EH, QK’ En» au éminçai! 1151! EH, 9K

yzdgalbfloyga’ppw’v- amtôw 34m1! 519) 797 ABÎÀ and.

dilüocg. ’ .’Emi raie wombat: 1015 JET 9m90? play raïa:nÂsvggîv nia! ET ânon a; EZ, 0511410va Etna! (Jeai BE 271969 mimi Ed 05mg FZ nçôç niai Z)!-

- .ÏIdÂw, êmsl œgcjraîælov c017 AIE nage? Mm! caïd!

70.809151 1721; FA rîmm r); ZH, âvoïloyov taïga émît!

03g cf FZ 71969 11h ZA 013’sz ri AHngôç nia! HA.

datam l’atîonem in Du. Prop. 8. (apnd Rob;8imson.et Schwab.

Prop. 9.). Cf. Pfleiderer. S. 214. Quo nixus principio Eucli-de! deinde 5mm (hlm-am tractationem absque rationum com;positiorie instruit: nominatim Prop. 70. partent priai-am (ApudRob. Simson. et Schwab. ProP. 67.) Elcmentorum VI. 25. re-spondentem demomtrat. Cf. Pfleiderer. 5. 215.

Obs. 5. Quatenua ab modo,’rationem ex Interum BF etPH, 41’ ac TE rationibus compositam, lineis mais astis ex-hibcndi abstrahimr: demonnratio V1. 25. praeennre Candalh,eo redigî potest, ut observetur: rationxem parallelogrammorumAï, I’Z com’pqni ex rationibua pamllelogrammi 4134119, et

1.!an sextine. 265compositam et radenibus laterum. Ergo.aequiangula,

PRÔPÔSITIO xxrv. (Fig.383.)a

Omnis parallelogrammi, quae circa diamequm suntparaHeIogramma similia eunt et toti inter se.

.Sit parallelogrammum ABFJ, diameter autem eiusrecta AF, circa AT autem pafallelogramma eint EH,9K; dico utrumque parallelogrammorum EH, 0Kaimile esse toti ABFJ et inter se. v ’ .

Quoniani enim uni laterum trianguli ART vîdeli.cet ipsi BI’Iparallela ducta est EZ, erit (VI. 2.) ut13E ad E14 ita TZ ad ZA. Rursus, quoniam unilateri trianguli AFJ nempe ipsi FA parallela ductaest eZH, erit (VI. 2.) ut FZ ad Z1 ita AH ad 1L4-Sed ut TZ ad ZA ita ostensa’est et BE ad Ed;

huinl ad T Z (Exc. ad hune libr. 9. 3. nr. 1.)4quae eaedemeint rationibul laterum ipeorqm BF:I’H, 41’: TE (VI. 1.);infixe etiem dici ex hie componi (Exc. ad hune libr- 5. 5.un 2.). Cf. Claviue et Rob. Simson. Pfleiderer. 5. 216.

Obe. 6. Quodei desideratur, ut ratio pardielognmmo-mm 41’, 12 (Fig. 582.) sen composita ex rationibul lalemmcorum, exhibeatur per- rationem quam ipsum prioris lame el-

- terutrum Br habeat ad aliqnnm rectem deum; bacs erit quartaRroportionelie duobus reliquis parauelogl’nmmorum lateribue d 1’,

TE, et lateri T Il posteriori; TZ, quod responde: lutai Br. priorig 1T.

266 L " 20501504100000: l

317.13 059 T Z 709on rial ZA 0170m 580111907 and fiBE 71969 (nia! EA’ ami 05g 02’900 1; BE 90965: min! EA

0170009 AH 70969 017W HA, fiai 0110105051100 «En; BA

71902: «0va AE 5170009 AA 70969 nia! AH, and éval-Âd’g aïs ai .BA 7090? 0173! AA 05mg EA 90969 zfiv

’ AH’ 105v 02’900 ABI’A, EH 70a9alloyloy9ém0wv n’aid-

loyâv 50’004! ai 702.0119000 ai 9009i nia! Mamie! yww’ow 097W

95706 BAA. Kai (37060 na9dllrllôg émue! a; HZ ni AI”0’01] 1300201 ai (0&4! 6706 AHZ glanda ni 6-706 A4117; â 3è

6706 HZA Œy’ 6706 APA, 000d .uowfi 0031! «Mo. 091705-

00274005? AAF, AHZ a; 15706 AAF 7000100 500706on07900 6’010 16 A1111 090700110» me? AHZ 090703010). A002 n

003 0060i, à; nui r06 AFB 090700704! 20070600611 3000 et”;

AZE 090706419 10000 53.04! 02’900 06 ABFA 7000900170916-

y9apl0ov 096 EH I nœ9allyloy9d00p0) iaoyw’vio’v êtruv.

dvdÀoyov 01900 30001! (59 1; AA 709169 ruât! AF offrons-

0i AH 70969 mie! HZ. 10.9 0è AT 90969 Toi-v FAoa’J’wç HZ 70969 mimi ZA, aïs dè a; AF 70969 10,111

T B 017-0009 AZ 70969 00,31! ZE, 910000 ë" 05g fi F13n90? miel BA 0610009 ai ZE 00969 mie! EA’ 00000 801:3

Pacte enim (VI. 12.) dl’:PE---I’H2I xarum: perallelogr. AI’0I9 z 81":]?! (VI. 1.)

19: PZ:JP: ÎE(VI. 1.): III:I(V.11.)I

proinde 1111:1de :I (V. 220J Cf. Pfleiderer.

g. 217. A . ’Ohm-7. Si ab recta F8 (proclama, quando opus est)abscinditur 1’N.--..I (Figlssz) (quud inxta Obs. 4: ad v1. 2.).

immedinte fit, diagonali 4H parallelam4EN agenda par pan-clam .12) ac pet N ducitur rectae A!" patafiola: fit pan-allem-gmmqnum 1î0:I’Z (VI. 14.), et bine

un rz:.4r:m (V.1) En 313V (VI. 1.)

«"Q.

un" sax-rus. 267ergo (V. Il.) ut BE ad EAnita AH ad HA; et com-ponendo (V. 18.) , ut BA ad AE ita AA ad AH, etalterne (V. 16.)» ut HA ad AA in EA ad 4H; p -rallelogrammorum igitur ABÎA, EH proportionaliasaut latera, que circa communein angulum B144sunt. Et quoniam parallela est HZ ipsi AF, aequa-

’ 1is est angulus AHZ angulo AAF (I. 29.), angulusvero HZA angulo AF A, et communie duobus trian-gulis A111", AHZ angulus AAF; aequiangulum igl-tur est trianguîum AAF triangqu AHZ. Ex eademratione et triangulum AFB aequiangulum est trian-rgulo AZE; totum igîtur parallelogrammum 11.8leparallelogrammo EH aequiangulum-est; ergo (VI. 4.)ut AA ad AF ira AH ad IIZ.’ Ut amen: AF adTA ita HZ ad Z11, ut AF vero ad FB ita AZ ad

I ZE, et insuper ut Î’B ad BA ita ZE ad Z1: ita.’.que quoniam ostensum est ut AF ad TA ita HZ adZA, sut vero AF ad TB«ita AZ ad ZE; ex aequoigirur est (V. 22.) ut AF ad BF in HZ ad ZE.PaËallelogrammorum Ligitur ABFA, EH v pmportio-

Quare sic eliam potest Prop. VI. 23. endnciari: si parallelo-gramma AI, [’Z sint ecquiangula; fiatque, ut unum lame IFprioris ad, upum lame TE postefioris, sic Indus alternm [musPH ad rectum I: cri: parallelqgrammum AI ad 17., ut ahe-tum lame BP priorie ad banc rectum I. Cf. Pfleiderer. M.218. 219. -Unde, data ratione .parallelogrammi AI’ ad TZdatur ratio daterie BÎ pljiorie ad rectam I z estque, utdlumm

dans 4r prioris parallclogrammi AI’ ad Lumm [une FE po-sterioüs FZ, sic haine aJtcrum latus 1’11 ad hapc rectaux l.ad quam aherum parnllelogrammi primois AP [anus BI’ habet

dacam rationem mmnam paulielogrammomm A10, P2. Quae

l

268 anm-znroaun30.1100; 039 pin: à AB,70969 060 FA 0170009 7; HZ. f71969 77,37! ZA, 069 6è AF 70969 0720 TE 0170009 05AZ 70969 0760 ZE- 600’000 07900 50007! 069 fi A17 70969

7727! BF 0270009 ü HZ 70969 060 ZE’ 0050 60’900 ABFA,

EH- 70090110107960470000 05410510760 eîaw’ 002 701009000

ai 70090 0029 70009 yww’aç’ 6,000000 02’900 dm) 06 -ABF A

70009011916790.100000 097 EH 7000900Mæjloy9dppçr. 406

06 00600? 67j 70002 06 ABÏ’A 70090119167909.0007! 700d

04,5 9K M9allqloy9a’ypqn 5000060 300w- énd0s9cw60’900 0070 EH, 0K na9allæjloy9dppaw 01,6 ABFA7009001.).1710796001090 690060 3004. To3 dé 055 0005046 mî-

0117900’009010 6,000000 000d 007.191.009. 30007! 6,00000? 70002 06

V EH 60’900 na9ullqldy9ayp0ov 095 9K 70090119107901.0409)3100060! éon. 110071069 60’900, ami 00E ègfiç.

IIPOTÀZIZ 706.T95 609551100 06.9079690050 6,000000, 10002 67.2.0,» 00,5

600967100 7001! 06 00606 0000750005000. 7"E0000 06 .1000 0000.1 06667900101007, (,5 dei 6000700

0000y’ouoâw, 06 ABF, (la? de i007, 06 A’ dei 67) 04,6

phl- ABF 5,000007, 093 6è A 5’007! 06 00606 0000600006000:

est Dator. ProP. 56. (apud Rob. Simson. et Schwab. persprior 63.). Cf. Pfleiderer. 5. 220.

Obe. 8. Triangule quoque unum engulum aequalem lu-bentia Iunt in ration composite [ex retîonibus hmm ciraaequeles engulos. Qnod ipsum vel immédiate simili rationedemonstrari potes: no V1. 295. vel ex V1. 23. ope I. 54. V. 15gdei-iveri. Cf. Pfleiderer. in sched. me. 5. 239. Commandinqs

Cor. .0 w. 20. ’Obs. 9. Parellelogremtlu quaevis aequiangule un: interse ut paulielogremlna rectangula euh üedem respective lauri-

’LIIBER ssxrus. Il 269 -nalia sunt latere, (lime circa aequales angulos; simile

V igitur est (VI. Def. l.) parallelogrammum ABTA pa.rallelogrammo: EH. Ex eadem rationé et parallelo.grammum ABTA parallelogrammo OK simile est;utrumque igitur parallelogrammorum EH, 6K parai.lelogrammo w141312 simile est. Quae autem eidem9rectilineo similis 8111H, et inter se sunt similia (VI.2l.) ergo et parallelogrammum EH parallelogrammo9K simile est. Omnis igitur etc. . ’

p ,

PROPOSITIO XXV.(Fig.384.)Data rectilineo simile, et alteri data aequale idem

constituera. 4Sit datum quidem rectilineum oui oportet similecon-l stimere, ABF, cui vero aequale, ait 21; oportet igitur

ipsî quidem ABF simile, ipsi veto A aequale idem

constituerai lbus comprehenel. Qnod lipsnm etiam asserit Pappue CollectaMathem. Libr. VIL Prop. 172., Seu in Apollon. Conic. I.Lemm. 8. Cf. Commendinus et Clavius ad VI. 23. et Pflei- ’derer. 55. 24.0. 2M. Idem valet de triengulis, quorum un!"engulus aoqualis est (Cf. iidem, PBeiderer. 9. 242. et PappusLibr. Vil. Coll. Math. Prop. 146. vel i1 Porism. 1. Lemma20.). l’appui addit (ibid. Prop. 14.7.) idem valets in triangu.lis, quorum unum angulum hebet, qui deincepe est alteri.Plleiderer. 5. 2’15. immuns un: ad p.ucedenlem Prop. 146.mincit, dam anus lame eius enguli, qui in uno triengnlo ae-

270 I stmmu-onurn.Hugafieflhjoüœ 7059 7m9oË W mivBI’ 795 ABI’

790057150 1) î’aov nu9aMeÂôy9appov ’56 RE, 7m90? 0è

zâv’F E 7’97 i’coy nœ9aÀÂfllO’79appov r6 FM à!

70:27:19: zy’ 6776 ZFE,’ 307w à»; ci 6776 F311. ën’

stÏBæI’aç. 0’590: émiai 7; m’y BI-v Tfi ÎZ, 9; 6è 11E 19;"

Kal eîlrjrpôw raïa! ET, PZ péan oïw’loyw 7;H6, and dvayey9a’qim’îw (Z776 mis H6 igu’IABI’ (maté?

7a and 0770in mût-87104! cd KHG. ,Km? êmi 507w aïs 1; BT 779637713: H9 057’079 fi

HO n9ôg’vr)w FZ, ëtîw 6è 793m côchiez; ciwéloyov

450w, é’mw (zig a; 7191617; 77969 712v 7591571711 0177m9 7rd

(i776 zig 7197151179 67’609 71969 76 02776 «n71; âevwe’9ag, 16

01101011 mi 6,410in dwy9arpôpwov’ è’oww 02’907 (5g 1;

9 BF 77969 nia! PZ ohms ART 794’779on 77969 1dICI-I9 z9l’ywvovfl 341.102 nui aïs 7]. BF 779697,,» TZ

0771109 nô BE nugall’rjlôygapmov n9ôç 76 EZ non-4

9aÂÂyÂo’y9uppov’ mi 059 079c; a: JET 7917va 71969

76 KHQ ægiywvov où’zmg .ïrô BE 7m9alÂyÂây9appov’ 7196ç r6 EZ na9aÂÂrM679alupow’ êWaÂÂoÏE 6’90: aïs 76

ABF 2977107207! 77969 16 BE 7zœ9aÂÂy1679apyov 017-

7m9 Œô KHO 79174941011 71969 id EZ nagullrllômap-,uoæl. "1007 0è 16 ART 7913!wa un? .BE 770904117,-

1) Vox 19Lyw’vq1, r9i7wvav et similia proprie non hue per-tinent, quam mamfesto de figuris l’eclflineù quibuscun negerme sir. Vid. observationem Rob. Simsmüs ad hune n-cum. Quum tamcn illa in omnibus, qui haclçnus comyaratimm, codicibus leganlur, noluimlu ca expungere.

qualis est nngnlo deinceps posito,alterius trianguli, prodncic,usquedum latus in productum aequnlc sil ci ipsi, quad pro-ducebatur, lateri, ubi lum res facile panet. Potemciautem idem

etùmdaliiqmodia demonul’nrip .Obs. il). î’er .VI. 23.’ et Obs. 8. duo pux’al-Ielngramma

(triangule!) rectangula, et bine quaevis (l. 55. I. 572V. 7. V.

* LIRE]! aszus. 271.Applîcemr enim (l. 44. et 45.) ad reclam quidem ET tri.

angulo ABF àequale parauelogrammùm 13E, ad rectamveto T E ipsi A aequale parallelogrummmn F M in au.31110 ZFE, qui est aequalis angulo F1371; in direcmmigîtur est (I. 14.) Bi" quidem ipsi TZ, et 11Eipsi EM. Et sumalur (V1. 13.) inter ipsas Br, FZmedia proportionalis H9, et describatur (VI. 18.) exH9 rectilineo ABI’ simile et aimiliter positum recti-

liueuin KHQ. ) . )Et qunniam estiut ET ad H9 ira H9 ad FZ. siautem tres rectae proportionales sint, est (VI. 20. Cor.2.) ut prima ad tertiam ira figura ex prima ad figuramex secunda, sîmîlem. et similiter descriptam; est igitur

ut ET ad FZ ita triangulum ABF ad triangulum1019. Sed et (v1, 1.) ut Br ad rz in. parallelo-grammum DE ad parallelogrammum EZ; ut igiturtriangulum ABI’ ad triângulum KHG) ita parallclo-

logrammum BE ad parallelogrammum EZ; alterneigitur (V. 16.) ut triangùlum ABF ad parallelogram-mum BE îta triangulum KHO) ad parallelogrammum ,EZ. Aequale autem triangulum ABFp,arallelogrammoBE; aequale. igitu: et trian’gulum KHQ parallelo-

’ 11.) mm: in ratione compoaim ex rationibns basium et altitu-diqum, quod et aliter demonstrari potest. Commandinus etClavius ad V1. 23. Pfleiderer, Ml. 2’17. 248. Cuiuslibat igiturpargllelogrammi ad quadratum cliquer! ratio’componitur exrationibus, (pas basis et altitude parallelogrammi Ixnbent adlama quadrati. Unde pet Defin. Simson. (in Exc. ad h. libr.5.. 3. coll. 5. 7.) consequilur reg’uln generalis dimensionis pa-rallelogrammorum. Cf. in Prop. Il. 1. Cor. .4. Pfleidercr. S.249. Schol. in MM. u. Elem. p. 1. g; 5. et].

Obs. Il. Ex V1. 23. indeque dcdnctis Obs. 8. 10. par

1272 p ELEMBNTORUI! » w;loygu’pwp- Tom: 69a ami 76 KHQ 791707707 «,5 EZ 7m-

9aÂÀnloy9épvmp. billai 76 EZ nuçœllqlônappova; A émiai ïaoafl ami id KHG d’9.» 70.5 A émia! îaw.

’an (1è 76 KHQ and 74,5 ABF ëpozov’ ’59? 590: Jo-

a’h’vru eûflvyçdplmp fifi ABFIô’powv, and tille) fifi

00.9.4777 un? A i’oov ’76 07676 0117107057079 ce; KHG.

"07mg 5054 nominal. . l.)

1110072421; aga’Edv giflé na9aÂÂyÂoy9éppoo na9amlôy9appmv

dmaz9ea9fi, 390.64: ce 71,6 31.911073 6.14.0in 4ueipevov,MLMÏU yawicw 51m! 0715795. Inegi wifi 07157123! (97419081967!

in: 7:96 511p.

34776 nu9allæyloygdppov 7’059 mû 113121 napal-An16y9appowfirpy91foâm 76 AEZH, üuowv 755 .4de

1 and ôpolwg 281217571041, uowæiv yww’ml è’xov «614,5 c v

67:6 JAB’ Âéyw au 7759i 171W av’wfiv 07051797961 (En:76 11de 797 AEZH.

en, quae in Exc. ad hune libr. fi. 22. 5. 25. notnntur, couse.quantur propositions! V1. 14. V1. 15. et Obs. 52.111 Prop.16. 17. libr. V1. Pfleidel’er. 5. 250.

Oba. 12. Sint nous A:B:C:Det E: F:G :H

«un: adam (pet V1. 25. et Exc. ad hune libr. 5. 10.) mon...gala Axn:BxF:c’xG:DxH. Vicissim .i AXEŒXF

. :CXG:DXH, atqneyE:F.-.:G:H, pariter mit A:B:C.D(V1. 23. et in En. ad hùnc libr. 5. 14.). Cf. Pfleiderar.

5. 251. 1Obs. 15. Par Obl. 10. et Exc. ad hune libr. 5. 15.71110.rumAuorumvis parallalogrammomm, triÂngnlot-umve altitudi-ne: nunc in rationne compositn ex directs nom-nm .et inversabalium; bases in ratiche çompogita ex dînera arenum1et2inn 9

versa altitudinum. A Pflçidmr. 5. 265. I

1.111128 sunna. .473grammo EZ. - Sed parallelogrammum EZ ipsi A estaequale; et KHO igitur ipsi J est aequale. Est au.tem KHG et ipsi ART simîle; data igitur rectilineo11131" simile, et alteri dato A Ecquale idem conatitu-mm est KHO. Quod oportebat facere.

I

I

PROPOSITIO xxv1. (Fig. 385.)Si a parallelogrammo parallelogrammum auferatur.

simile toti et similiter positum, communem cum ipsoangulum habens, circa eandem diametrum est circa

quam totum. ,9 A parallelogrammo enim ABTÀ parallelogrammumauferatur AEZH, simile îpsi 4311311 A et similiter po.

sium, communem angulum habens AAB cum ipso;dico circa candem diametrum esse 1413114 circa quamipsum AEZH.

Obs. 14. Rursua (quae est alter! Prop. 25. et praeced.Obe. 8. conversa), duo parallelogrnml’na vel triangule, quorumareae suint in ration composite ex rutionibus duOI’um lnlerumcontiguorumfhnbent augulos lateribun bis comprehensoa volüngulos a’equnles, vol 01mn] neguales duobus rectii. Quodapaum facile , sumto contraria, probatur. Pfleidorer. 5. 254.

. PROPOSITIO xxrvyObs. 1. Rob. Simaon. m6net, videri impuitun quen-

dam ex duabua divorciez 1min: proPoaitionis demonstrntionibu!banc; quam nunc habemua, composais", ex un: nempe, au"par V1. 2. et ex alleu, quno pet V1. 4. fieri putest. Pun-

* quam enim, in pergit simien" pet V1. 2. et oomponendo,permutandoquo ostendent, lutera chu communem .nngulumparallçlognmmorum (tali- enim’ parallehgmmm: obscrvnnlc

Euclid. Elemcnt. P. 11.. 7bn.

274 A zLannN’ronnm51-6769, 61:1. si warôv , 501w 661017 1) ai amine-

1969 AOF, mû 2) ËflfiÏJjÛ’IÏGEç 7; HZ ôtæizôâ) êni

76 Q, and 7210m au)? 106 9 67(orë9ç: 775v A4, Br[71119711119109 9K. l ’

’Eml 067! 71’te 71511 967612 d’m’yèwo’v ùru 7:6

ABI’A "51,5 K11, 5,410161! écru 76 ABFA 74,5 KH’è’mw 72’907 «fg ai AA 77969 niai, AB 0277199 7j HA -

71969 mimi AK. "Eow 6è and ôtai raja! (Moderne racialABFA, EH, (69 7; AA 77969 "min AB 1657109 7; HA71969 nia! AEt uval (69 67’954 7; HA 279697611 AK 613’-

rwç HA 77969 16v AE’ fi HA (Z954 N969 êuom’9av

775v AK, AE 7611 mirtôv è’xèt layez" i277; 69u 50721! 1;

AE 7;; AK, 1; 731.05me ni peigna, 677.59 émia! (261i-alazow min 61907 5’071 negi 77))! mimi! 676.1191901! et;A3114 195 3) 77891 77,141 04677,31! 69a :ËGTÏ (hépa-

7904! 16 ABFA na9aÂÂ1jÀo’79agmov Igu- AEZII 7m-

1) 1m recto ex Cod. a posnit Peyrardus, quam edd. Bail.et Oxon. licheront: «67071:, qunm tamen de diameu’o [minatanlum parallelu rammi AB TA hic sermo sit. V

2) Pro mugis: mû ËuflÂnâu’au 1; IIZ 6467,00: 5’771 16 9 me).1721901 5:12 Il); (9, que ex Cod. a. [mentit Peymrdns, cum qui-bus consentit etiam versio Commandini, in edd. Oxon. etRani]. solum legiturtuul flûta été 705 (a. Utraque lectio bouebabel, prout schema ira furmatum imaginais, m: diameterx1011 rectam HZ roduetam, aut ipsam reclam HZ in punctoaligna 0 secet. griorem casum et figurant leetxo codicis a,posten’orem lectio ed. Oxon. suppomt.

0 5) Pro hie vetbis Cod. a. et ex en Peyrardus, correctismendia lypogra biais 9nd cglcem 1ibi;i indicalisuhalxeL6min 61906ov’x 5012 77591 un (21277111 Lïtapswov to Al? FA en; E11 (na cum]chcndum est, non EH). Nos veriorem lectionem ex edd.Rani]. et Oxon. restituimul.

Clavio intelliguntur, que .Ihubeant nnum angulum cum totoparnllelogremmo communem, quad ctinm Candalla, Henrionaliique nominatim addunt’ptoportionnlia essq,.immediate con-cludere potuisset, prôportiomlia esse latere circa reliques angulos aequales, ope milice: Prop. 1. 54. 91V. 7. Vergxm ille

i

tintin 53x108. ’ . 2’75Non enim , sed si fieri potest, sît ipsius (Hamme;

:4011, et ducta HZ [producatur ad (9, et ducatur peri6 alterutri ipsarum AA, ET parallela 9K (I. ’31.)

Quoniam igitur circa eaudem diametrum est paral.lelogrammum ABTJ circa quam parallelogramnnmKIT, simile est (VI. 24.) ABTA ipsi ; est igitur(VI. Dot". 1.) ut 4A ad AB ità HA ad AK. Estautem et propter eimilitudinem ipsorum ,ABTA. EH,ut AA-ad AB in vHA ad AE; ut igitur (V.11.)HA3d AK ita HA ad AE; ipsa HA igitur ad utramqueipsarum AK, AE candem ’habet rationem; aequaliejgitur est .(V. 9.) AE ipsi AK, miner maïori, quadfieu" nequit’, mon igitur est circa candem diametrnmparaflelogrammum ABI’A ciron quam ,ipsum K11;cime candem igitur est diametrum parallelogrammum

’hoc negb’gens peréit ostenâere, niangnla et parallelogramma

eue aequiangula, et longo eircuitu, ope V1. 4. et V. 22. con-clndit rem "candem. Manifestum propterea est, banc inuitefatum demonstrationein minime Euclidia euse. Ipse deindeRob. Situer», aupei’fluis reiectia, simplifioient exhiba de:monstrationem, postquam ostenderat, aequian’guh esse triangula

411Z, 441F 0110 V1: 4- I. 54. et V. 7., quoad maximam par-lem similem ei, quae est apud Campanum , niai quod is proV1. 4. adhibet V1. 2., et triangula, qnae diximue, aequianguh I ieste manet quidam, at non’ demonstrat. Simaonil demanda-tionem bahut adam Playfair. et Peletarius.

Obs. 2. Perspieuum est, quod Clavilu monet, parallelo.gramme cilice eandem diamemmi non velum similia «se andetiam simüiler poaiu. Cf. obsewata nd V1. 18.

Obs. 5. Pnetel’ea, eodem Clavio monente, etiam, niciron diKnmen’um alicuius parallelogrammi productam consista:

parallelogi’ammum aiiud, in, ut duo huiua luxera nous. due!

276 I SLIMEITORU-M91111110791111.1192. ’Edv (2’91: 05716 na9allnloy9oipmv,

and 112 191:9.

Il PCV-TA 2 .1 2 74’.

1112111101! 1031! 7101903 11h! 010’161! 815051174! 710190119011.-

20111611101! 7111901111110790111’11011, :1011 1115171611101! 8111601

71(1911).Â1;î.0y9ti,u,uozç, 61101019 1e 11012 6,101109 "méfiez;

755 11’716 17,79 172111061019 dalay9mpope’1itp; 116710161! ému

16 11’716 1779 17311061019 71a9afiaÂÂ6pevov 7101901117716-

79011111107, 6,110104! 61! 155 êÂÂez’luluqu.’

"Eortw 86191101 7; AB, ml 18111101910 617:0» 110010?16 T, 71011 nagaflefihj’oâw 710190? 1’64! AB w’âeîaæ! 16

AA 71a90111716y901111101! ËÂÂEÏTlO’V ei’âet 7101901117710:

791211140197 TE, 6,1101’ço Ta mi 61101109 1151115150 191

12:16 159 riptoez’uç 67017961117511; 169 AB, 101116011 1179

TB’ 21’710 611 710111101! 1051! 7104913 11)»)! AB 71129115901).-

Âoyæ’vm! 71019012.).72207911’ppow, mi 13116171611011! 82’650:

7111901171207911’11111019 61101019 T8 nui 611101109 1184167013

componant Iineu cum duobul latcribus alter-iris, vel cette il].hie siut parallell, eadem fera ratione estenditur, hoc illi esse

simile. I L- ’Obt. Il. Parallelogramma, qune unum angulum uni en-guio aequalenf, et circnm ou: proportionalia latere bahut.simili! sunt. Hoe.Corollarium addit Boermanuus. ÉtapeObs. ’ . ad Prop. 5. et 6. 11in V1. et nomme un... proposi-

tionis id facile probant. oPROPOSITIO xxv.

O b1. 1. Rob. Sinison. ad haut: propositionem manet::Jiquido pare]; demonstratiuhem huila. guam Euclides dedent,viliatam fuisse ab editore quodam geomelriae minus perito. Post-quarn mini ostenderar, ,,ut rectilineum 181’311 rectilinenm REG,

ne parallelogrammum BE ad parallelogrammum EZfl opusfuit

uma: narras. 277.4de quam perallelogrammnm ÆZH. Si igltux apainllelggrammo etc.

P n. o P o s x T 1 o. xxvn. *) (Fig. 386.)

Omnium sëçundum eandem rectam applicatorum pa-raillelogrammorum et deficiexitium figuria parallelogram.

mis, similist et similiter positis ci, quae ex dimidia.describitur; maximum est quad ad dimidiam est appli-catum parallelogrammum, simile existene defectui.

I

. Si: recta AH et secetur bifairiam in P, et appliceturad rectam A8 parallelpgrammum Al deficiens figuraparallelogramma TE, simili et similiter posita ei, quaeex dîmidia ipsius AB descripta est, hoc est ex TE;dico Omnium secuudum JE applicatorum parallelo-grammorum, et deficientium figuris’ parallelogrammis’eimilibus et aimiliter positîs ipîi TE, maximum esse

A4. Applicetur enim ad rectam AB parallelogram.

’ zW ’) Ut eequentel trou propositions malins intellignnmrRob. Simton. pneuma: aequentia: 1) Parallelogrnmmum adrentant epph’cm dicitnr, quando en et recta il]: describitur.Ex. gr. pardlelognmmum Je (Fig. 356.) applicni dicitur, adrectum JE, quando super .48 describitur. (Hoc cesu diciturPfieiderero monente: âmyçaîqamôm son napafiaïüeaôm dm; 1176.413. 2) Sed parallelogummum A2 dicilur npplicari ad (ne-oundum) rectum dB (naçaflûüeaôm "qui 11h! JE) defioiensfin. perallelogtemme, guinda AI buis eius minot en: recta

t, et propret-en parallelosnmmnm dz deficit lb ipso Je,quad super; recta A]! denenbitur in codem angulo, et inter«Idem parallelae figura pmllelogremme K9, que quidem di-citur defectua ipsius dz. 3) Et dpatelle!ogrammum .45 (Fig.293.) applieari dicitnr ad (ucun nm) rectam dB (711194:59:21-1500m noçai tu)! AH), excedem figura parallelogramma, quando40 basin iFsiue JE mnior est recta JE, et propterea AS ex-cedit pua] eIOgrunmum .411 et! dB eppliceum figura parafie-

Iogramma H0. .colummodo nddere, est lutent rectilineum 412F quulle pa-

278 ’inLEùzuro’nun -zçî- TE, m’ywæto’v 30401 cd M. HaguÂ’sfilfidfiœ 7&9

mage? «mir AB «3mm r6 AZ nagœllylôygappow’êllsînov aidez nugalâæylojlga’ppça «r95 0700120 ceami 6,00050); www? r95 PE’ un: au pæîÇo’y son çà

DM un? AZ.WEYIEÏ 7039 agada! Eau 16 TE naçallqlo’ygappov

14,6 K9 naçaÂÂnloygéluup, mgî 117W «15min! situ dui-

pwrgov. "111190; anémiai dta’pergog 1j dB, ami ennuya-

ygoÉtpôw m6 017;]!12. ’

’Emi 013v 2’001! êazl r56 TZ n’ai ZE, uowdw n90;-

neîofiqz r56 K6) 510v âges ni T9 511p wifi KE (’0th1’007. 34110? r6 F9 1:55 PH ËOÏÏ!’ 1’001" 2915i and 1;

AI’ ni F B i271] émia» and 16 HF taïga 195 EK émiy

î’oow. [Kowôv qgonu’oâw m6. TZt 510v Jeu id AZ195 AMN yvdpovi Ëarw 1’004» «3’918 r56 TE magana]-

Mygœpmov, emmène r56 A4, To17 AZ naganjlo-yqdltmov paîÇo’v 501w. ï) .

1) Ed. Basil. hic in!) eddit: mîymv âge: 1071i muni njv et:-Üeïuy àuçuflaüqulvvw, aux! tu? êëïjc, que Gregorius , quamvisen in omnibus codicibul mm mas. quam impunis invaniret,iure ad casus «candi linem reiecit, quem miam Peyrudus,nullnnmeni lectionn- verniras mentione facta, socutue en.

rallelognmmo DE, lequele igitur est rectilineum KHQ paral-lelogrammo EZi videliçet pet V. 14, eed inter ha; dans nen-tentias interposuit ,,quare alterne, ut rectilineum ART ad pe-rellelognmmum BE in rectilineum KHO ad Parallelogrammum.EZn putavit seilicet, non nm perspicuum eue coùcludere ae-cundam quatuor propqrtionalium quartas aequalem esse ex ae-qualitate priniae et tartine, quad quidem demonstratum est inV. Flop. la. quam cnncludere, tertiam aequelem esse quartet:

70x aequalitate primae et secundae, quoi] nusp’iam in Elementil,

quaeiem hebcmus, ostensum est. Verum quamvie Intel: propositio, -terrien: tcilicet quatuor. prbportionalium aequalemk esse quinze , li

, Luna sutras. ’. 397mum AZ. deficieris figura peralleiogramma KG], si-mili et similitèr pesita ipsi TE; dico mains esse A4]paraHelogrammo AZ.

Quoniain ienim. simile est parallelogrammum FETarallelogrammo K0. eirca enndem surit diamenuin.(V1. 26.). Duëatur eorum cliameter dB, et describa-i

tut figura. A ’Quoniam igitur aeqnale est FZ ipsi Z E (1.43.), com-mune addatur K9; totum igitur Î (9 totiKE est aequule.Sed To ipsi PH «est aequale (I. 36.), 41110:;sz lectaAF ipsi TE aequalis est; ergo et HFiipsi E11 estaequale. Commune addetur FZ; totum igitur AZip5i gnomoni JIMN Est aequale; quare et! parallein-grammum FE, hoc est A41, paralleiogramma ÀZmalus est.

i .prima aequalis fuerit Iecundae, fuisse: ab Euclide Elememis suisinserta, utveïisimiie est eam fuisse, n unquam nmen ille in praosem:i

casu eadem usus fuisset; qhoniam, ut dictum fait, eineredundautehac proportionalium permutatione eadeni conclusio directeelici peint. Haec autem fusius ’ogtendimns, mm, quouiamcertain praebent indicium, textum Euclidis vitiatum fuisse,idem enim error invenituv in textu graeco XI. 23. bis, et bisin xn. 2. et in lit-Op. 5. 11. 1-2. 18. eiusdem, in quibus mmX11. lacis, excepto ultimo, recte omisse est lnec permutatinproportionaiinm in versionis Commandini editione Oxoniensi;tuai, ut caveant geometrae ab usu permutationis in simili casu,non raro’ enim recentiores, et inter alios ipse CommanJinus in

Commentario ad 1H. 5. pag. 6. b. Pappi Alexandrini et alibiincidunt in hum: enorem: praeoccupavit scilicet multorummentes vulgaris pi’oportionnm idea,,qna fit, ut accurslam vix

x

r

280 e ELEMENTORUM"Etna; 7029 mil"! 7; A3 nimbions tilla zani la; T,

nui. nagafibfiièæl 16 .411 elleiiwv aides 197 FM, nuiytœgafleflMofiw mâta! 7m90? mit! AB 76 1E magot).-Àijltiygwmov alunai) 745 dz, 6,5qu me nul tipm’wçmaniait,» ce? (inti mis flemmes- zig A3, W97 TM’ ’le’yw

5a nagée être; 16 01’756 mie émacias nagufll’qâèæl Mi

.411 r01? 11E. i ’’Ensi 7059 agonit! écu fui AZ et); FM, flEQÏ mis!

minis! situ dttx’psrgor être) mirait: Ménages E13,and zwaysyçœ’tpfiw 16 opina.

r Kai 5756i 1’001! ëtni T6 AZ un? 110, suai and oiZH

ni HG’ psZÇovr taïga lui AZ F5017 KE. "Iatw de Tl;AZ wifi 41L psîÇov d’un and ni 411 coti EK. Koc-alô’v ngoçzst’oâw 1) r56 Kilt 6104! tiges Œô .411 33.01!

y 1017 AE neigea! t’ai-w. Huy-met 02’906, nui me? 65179

IIPO TAIZI 2 mi;11an mit: doâsîtmv suife-Mu tu? 6005W! 611’00-

7gtx’pwp ïaov nugal).171679a,1t,uov nagufialeîv, Élimi-

nov aidez ,nagalbflwygtiyyzp, époi?) e95- vdoâe’v’u’ dei

dû c6 dtdôlusvcv eûâv’ygtxlupov, dei î’ao’u nageâte-

- . n- , a C llent, m) MGIÇOJ’ chleu zou and wjg minceurs nageo-

l) Il; rectius omnino Peyrardus ex Cod. a. hubet, quamut vulgo legitur: minuit! i’tn-w et; K4.

.percipiant. bramera, quamvis rectilineum Al? F, oui simiJeecieud am est, posait esse euiuscunque generis, in demonstra-ione t amen graeei codices Julien: lrianguiuln vice rectilinei,qui error correctus est in versionis Commandini editione, quneOxonii impressn est;u Huit: Simeonis ObICÏVItioni midi potest,Campeni qu’oque duplicem demonstmtionem dîfferre a deman-

"une SEXTIIS. . ’ 281Sit enim rursus AB secta biFariam in T; et appli-

«mm sit A11, deficiens figura FM, et applicetur rur-sus secundum AB parallelogrammuin .AE, dcficiensfigura dz, simili et similiter posita ei, quae ex dimidia

’ JIB describitur, nempe FM, dico mains esse parallelo-

grammum, quad ad dimidiam applicatur, nempe A]!parallelogrammo AIE.

I Quoniam enim simile est dz ipsi FM, circa eau-rTem surit diametrum (VI. 26;); sit eorum diameterEB, et destribatur figura. i ’

Et quoniam (I. 36.) aequale est AZ ip-si 11(5), ete-nim et ZH aequalis est ipsi HO; mains igitur JZipso KE. .Aequale autem AZ ipsi .41 (I. 16.); ma-ius igitur est dz! ipso EK. Commune Vaddatur K4;totum igitur AA toto 11E mains est. Omnium igi-

turietc. ’ IP E O P O S I T I O XXVIH. (Fig. 390.)Secundum datam rectam data rectilineo aequale pa-

rallelogrammum applieare, deficiensl figura parallelo-gramme simili alteri dato; oportet autem datum recti-

s ’ lineum, aequale applicandum est, non maius esseeo, quad ad dimidiam applicatur, similibus existenti-

stratione sextine graeci.’ In eorum priore sine permutationsproportionaiium res refertur ad partem posteriorem V. 9. inposteiiore permutatio proportionnlium pariter adhibetur.

Obs. 2. Plieiderer. in schedis mss. S. 508 manet, inepte’ inter V1; 24. eiusque conversai-n VÏ. 26. insertam esse liant:

VI. 25. quae nuliem nd illas liabeat relationem, contra imme-dinte nitetnr V1. 20. Apud ÇamPsnum id vitiuln non repe-ritur, quam, quae vulgo sont VI. 24., VI. 26. sintapud ipsnm

282 . tiensnsnronunzl

(Savent-Won, épeloit 5mm: mais! antimite)!» coti ettînt) mis wigwams. mi 1017 t’ai dei gnome Ëzlsc’néw.

"EU’Iw si MÈ’V ÜOÜ’GÎO’Œ Médoc a: A3, ni titi-300M

sûfiüyçuflyoa’, du" 1’000! nage? 1mn! AB nagafioleîv,

id F, p9) psïÇov 5V 1017 04’706 Iris simouns flaquât).-

Âozzévov, dyolwv (imam son! êMezltqua’wv, çi de dei

ôlzozov 5).).sz’nstv, 16 A dei titi flood mît! do-âsîowyséminal sût! ABq’zqî doâe’wz eüâvygalllbluç) 7:55 P i’oov

nagaüijltiygozltztzow nagœflalsîv, ensimai citiez na-gaünylquct’utztp, âyolç) 61m me; A. L

Testm’oôw 17.413 62’104 nard 16 E owzsîov, uni.

âwœysyga’tpôm i étui (zig EB 1g; A aflOlOW ami ôyoiœç

nez’llzsitow 16 EBZH, nui rovtznsnlyoaioâw ni JEnugullqlôyooctzyov: T6 dès AH film; ïatw sari 195 111,r)? Maçon! miroir, deo? sont ôgzozzoal. El un 0271! i’oov

I Sari 16 AH rztfi F, 7syovâç du d’1] Toi âmwxüs’w’ na-

gafls’fllmm 7029 flood wifi! dofisioow süâsîow mût! 4B

ce; 0005m sûâtygu’pluu) me; Î ïtîov nagallijlôyetxltz-

114,011 16 AH, ÊÂÏÆÎJOV aidez nagallsjlojtgtilzlzzçi TgôEZ

Vl. 22., VI. 25., nostral bien autem nuiter V1. 25. Quae nu-tem vulgo est V1. 23. apud Cempanum est V1. 24. l

Obs. 5. Huc referti potest problema, quod est apudThom. SimpSou 14.1ibn’ VL, que iubetur describi figura simi-

lis darne [igame rectilineae, quae ad aliam datait: figuram recti-

Lineam oit in ratione data. i

PROPOSITIiO xxvr.Obs. 1. Si qui: numere velit, dari posse rectam .49F,

quae non trament perspunctum Z, necessario i3 panera debetnectain HZ ipeam au: pi’oductam convenire in puncto aliquo

Q cum recta AGI. Quoniam enim, 0b angul. AIIZ:AJF(supin) recta HZ parallola est rectae Ali (I. 28.) et dF scout

unau unes. t " ’283bus defectu ains, quad ad dimidîâmqet parallelagrammo,

sui apartet simile deficere 1). . I iSit data quidem recta AB, datuni veto rectilineum,

oui oporteti aequale ad AB applicare, sit F, nanïma.fus existens ca, quad ad dimidiam applicatum est si-.milibus existentibus defectibus, cui autem oportetsimile deficere,isit A; pportet secundum datam IreCtàmA34 data rectilineo T aequale parallelogràmmum âp-plicare, deficiens figura parallelôgramma, quae simas

V sir .ipsi A. I lSeeetur AB (I. 10.) bifariamvin puiicto E, et de-seribatur ex ipsa EB (VI. 18..)*ipsi A simile et simi-liter positum .EBZH, et compleaturparallelogrammumAH; itaque AH vel aequale est ipsi F, vel mainsipso, tob deteiininationem. Et Î si quitlem aequale lestAH ipsi T, factum erit picpositurn; applicatum eritenim secundum datam rectum AB.dato rectilineo I"aequale parallelogrammum AH , deficiens figura paral-lelogramma EZ ipsi A simili. Si autem non, mains

1) Ad finem imine propositionis in versipne lutina prac-.qunte Boermanno paululum recessimus a textu graeco, que w-»rius rem ipsam exprimeremus. Neque enim de dnobus defe-ctibus.eermo esse ponant, quorum alter pertinent ad pu’auelo-rammum illud, oui o ortet simile deficere. Itaque grue;

qiiloqueqita. hqbere debe am": épelant ail-TU)? 105 ce ËMEt’jzurostrou une ne miaulas Mal eau (aidons) a) Jet". ùpozou. filables-y.

leeterum, monenle Plieiderero Pl’OpOSltiu banc ira miam pa-tu: exprimi: dans lignine rectilineae «squale describere p3-i’allelogrammum sui) angula data. cuius unum lattis circa huneengulum si: segmentum rectae dame, alterum veto lattis llabeat

, rationem datait: ad ,reliquum segmentum rectae dame: dum-rnodo figura rectilinea data major non sit parallelogrammo sui)codem angulo date, cnius unum’ lattis circa hune angulum estsemissis rectae datae, alternai vero ad seniissem rectae dette,leu ad prias eius latut habet sandem rationem deum.

rectum AQI’ in F (sans), un?» HZ ipsavel produeta undem

l

2S4 eteueurmwndito’tp dans: 103 A. Ei 6è- 06’, peîçtiv êovzcô 6E e06

Il. "I001! 6è 76 (9E 107 HBt ,ueîçov 0700s nui v6 HB106 T. z..Qz 6’?) page?! ému 16 HB W015 1", mûri); ry-

tinsaozfi 1’000, me; de A thomas! aux) 6min): acclimatoit16 06-06 001100105000 06 KAMN. ’AÂÂeË ’56 A s93 HB.

êtrrîll ëuozov’ and ’06 KM dans 1:95 HB 6min! 600mm

730100060 60610709 fi un: K11 qui HE, 717625 AM1?? HZ. ’Kal ënel ïaov.ëwl ’06 HB vois T, KM,peigna! d’au êtni HB W00 KM’ plaigne! 6’904 Sari mû

si pis! HE 177:9 AK, 1; 6è HZ flic AIPL Kslafiœni ,uèv KA ion si H3, ni 6è AM a»; HO, nuiovpmsnlyaaiaâw ’06 511011 nagallæyltiyatxwzow i0076’000 nul ëpaztiit Eau 156 KM 106 HII. C4110? ni KM

7:0; HB 500mm! 3010 ami 16 HH d’au 156 HB 5,00167êatz’ mai nia! 00’19le 6’00: méfierais! 30T! 06 I111

T9; H31 "E000; laôraivdwipevgog si HIIB, ne) natu-

ysyga’tpâw 76 0195,00. . l t’Emi 064! i004! 3011 16 EH mais T, KM, (de! 16

HII 71,6 Kjll émia! i001» Âoznôg 02’904 6 NX yitw’pœy

200107 up" F i009 iodai. K06 45ml 2’000 sari 16 OP007 52,1u0z060 nçagzsz’aâœ 06 IIB- 0’107 02’000 06 ÛB

5qu Tçî 3B 1’001! émiai. ’AMoË 06 il? et”; TE êariv

2’000, 37in nul flÂôUgd si AE flÂE’UQlIÏ et; EB émir

au]! ual 06 TE (2’906 r55 DE 50021! 1’000. Kowôvvigognez’dôw ’56 52’ 07.04! 6900.16 T2 07.50 155 TŒX

711050001 sont: i000. ’AÀÂoË 6 TÇI’X 7060014! un" F

ëdsz’xâiî ïaoç’ x06 A11 64’905 103 F êmiv i000. h

11006 miel dofisîaow d’au «10.3010 e170! A]? n16 60-

663111 196307001000: 003 F i001! nagaÂÂ’rjltiyatquv nu-

AQI’ secabit in pnncto aliquo 9 (Il 29. Cor. 5.). Hinc proPrie

duo calus disringui debere videntur, prout punclum 0 in ips:

’ un" "une. 285est 49E - ipso P. Acquale autem A 0E ipsi H13;mains igitur et HB ipso T.’ Quo autem mains estH3 ipso F, ei excessui aequale, ipsi autem A si-mile et similiter positum idem constituants KAMN(VI. 25.). Sed. A ipsi HB est simile; et KM igituripsi. HB est simile. Sit igitm homolaga quidem K11ipsi HE, AM ve’ro ipsi HZ. Et quoniam aequale

. est HBV ipsis 1’, KM, mains igitur est HB ipso KM;

q msior igitur est et 117E ipse 11K (V1. 20. Cor. 1.),l HZ vero ipse AM Pônstur (I. 3.) ipsi quidem KAaequalis H3, ipsi vero AM aequalis HO, et complea-tur. parallelagrammum 31-1011; aequale igitur et,si-mile est ipsi KM ipsum HII (VI. 24.). Sed KMipsi HB simile est; et HIltigitur ipsi HB simile est:cires e dem îgitur diametrum est H11, circa quam.HB ( . 26.). Sit cornu: diameter HIIB, et descri-

batur figura. . A ,Et quoniam aequale est EH ipsis F, KM, quorumHI! ipsi KM est aequale; reliquus igitur MX gno.mon reliquo P est aequalis. Et quoniam (l. 43.) ae-quale est OP ipsi ES, commune appanatur DE; to-tous igitur 0B totî EB aequale est. Sed 5B ipsi TEest aequale (l. 36.), quoniam et lattas AE lateri EB

[est aequale; et TE ipsi 0B est aequale. Communeapponatur 52; lqtum igitur T2 loti gnomoni TQX Vest aequale. Sed gnomon NX ipsi F ostensus estaequalis; et A11. igitur ipsi I’ est aequale.

Secundum datam igilur rectam AB data rectilineo.F aequale parallelogiammum applicatum est 2T, de-

i-ects HZ, vel in sa produota poni sumss. Atqiie hase ipse causaftrisse videurs lectionis varierais, quam ad hune locum ubscr-

.286 . , ngnzN’ronum !pafia’filmat t6 2T, gamma: aîâsz nagœMnÂona’ppç)

mi IlB 6,140190 ôwc’ 14,5 J, ênszôæinee a; 113 up" H11

31140464! 802w. "0m59 3851 nonîaazm

IIPOTAZ’IS uâ’y

. me; min! âoôeîqav, eüâeîcm, 71,5 30.95er 50’591)-

ygu’waq) î’ow nugallylo’igappov flagafialsîv, limag-

fioÉÂÂov 57625; napœllyloyçu’pmp 074019) 1:55 àbflé’wu.

"Etna; ai p.351) 3005m0: eâôaîœ 7j A3, a; 19è ôoâëv

w’ôüyqawcov, quz d’aî ïaov 9m90? nia! dB amgafiœ-

MW, 16 F, (pt 6è (kl ëyozov Ümgflalsîv, m6 zl- ôtai31) nagé midi AB eûôeîow T97 T 66011791511549) 1’001!

nagallnlôygappov nagafialeîv, Ümgfia’Mof 52651 7m-

çuuqylçygéfmç) 6110;? 1’927 A. ,Terpny’oâw .AB (fixa 1(qu a; E, «au cipaye-

ygtïyüw 029:6 mis EB Il? ô’pwtov nui ôpoz’œs usi-

psww nagallæylôyguppov 76 BZ, mi ’omlapcpozs’gozg

Mèv avois BZ, F î’ooaI, T95 3è d ô’luowv and 6,150in

«wigwam! m6 w611i omœmw’w c6 HO (igame: taïga étui

16 H6 up" E11; 0,116110on Jè è’cmn [un KamiZA. a; 3è KH ŒgîZE. Kui 5nd ,LoeîÇo’v èiru 16119

me? ZB, flattai! oïpufëaæi nui a; ph! KG mis Z11,fi âè KH mis ZE. ’Enfiefihy’oôwoow ai Z11, ZE,’

19;? ni MM K0 i2»; 2’010) .ZAM, ni 3è KH 1’017ai ZEN, au») ovpnmlngw’ofiw tu; MN’ a; flIN taïga

qui H9 ïotw vit-5.50151, ami ôpotov. ’Ælo2 16 HO 197

y’vênfuî. la 791149:le Çommandini uterque siçus punctî 9 ex-

preslus est. Neque rumen id necessario fiez. dum observes,rectaxq Jet, m’ai par punctum Z transat, necessario altern-

’ (un: rectarum HZ, .EZ suite, ubi lum èunctum a pro puncio

x

- Luna sunna. ’28"!ficiens figura paraHeIogramma .IÎB simili existentilipsi’

A, quaùdoquidem IIB ipsi H11 simile est. Quod

oportebat facere. 1 i iP R o p o s 1 T 1 o xxxx. *(Fig’..393.) ’-

Secùndam datam rectam ddato rectilîneo aequale pa-

rallelogrammum applicare, excedens figura parallelo-gamma simili datae.

Sit data recta JE, datum vero rectilineum T, cuioportqt aequàle secundum A]? applicare, A autem ouioportet simile appliçare; Oportet igitur secundum ABrectam ipsi F rectilineo aequale parafielogrammum ap-plicare,’ exoedens figura parallelogramma simili ipsiid.

Secçtur AB bifariam in E (I. 9.), et descïibaturex E13 (v1. 18.) ipsi A simile et similiter positùmpaiallelégrammum BZ,’ èt utrisque simul quidam BZ, ,

11 aequale, ipsi vero A simile et similiter positum idemconstituatur H9 (VI. 25.); simile igituriest H0 ipsiE11. Homologa autem si: K9 quidam ipsi Z11, KHveto ipsi ZE. Et quoniam mains est, parallélogram-mum HO ipso Z B, Ç maior igitur est et Rectal quidem

K9 ipsa Z A, recta vero ipsa ZEV ProducanturZ1], ZE, et ipsi quidem K9 aequalis si: Z111" (I.3.), ipsi yero KH aequalis ZEN et compleatur pa-vrallelogrammum MN; ergo MN ipsi H0 aequçle est

imençctionin cum alterutra harnm rectarum Mimi potest, adeo-que in ba ipsn positum est. Aulne in rem expedit Claviusn i

Oba. 2. In conllitiqnibulTheoremntis, ut moue! Ciavius,baud negligi «lebel en, pnrallelogramma non tannin" simiha.

288 ’ SLEmsuronun..EA émia! (ipomw nui 16 MN iâ’ a 093 EA dpozôvéon” 91692 raïa! «finiroient âzdpwgw Eau 16 E11 197

MN. "H160; 01511541 61021405909 ci Z5, nui amuïs-ygdrpi’îw fui afflux.

’Emi 06v ïaov fini 06 130;on E11, T, (52.2.02mi H9 tu? MN i004! Eau” ami ’56 MN taïga lacis E11,

I’ 1’001! 501171.. Kowôv dçgçy’oôœ 06 EA’ louais taïga

«a miam aimiliter. potin «se (lobera. .Hno enim ptaetermiseamon valeret propositio.

Obs. 3. Idem Clavius (limona: quoque huila Proposi-tiom’s damonstrationem nddit, ductanonpo mon, qu" aux..-que rectnrum dB, BI’ binent, cui dcinde (mondât paulielnnesse utramque rectarum dz, I’Z, unde, quam par paneton: Zuna tantum mon alten’ dans patafiola esse pelait, naceuarioin directum arum punch A, Z, Î. Cf. infra DE». l. ndA

VI. 52. ’O bs. 4. Denique Claviua monel: Propositîmum. lune ad-huc valeta, si duo parallelogrammn siinilia, Iimiliterquo panât:mon baba-ut angulum communem, lad unum si: extra alterumhac amen loge, un. duo lutera uniue cum duobus lateribua al-teriul dual nous lineas constituant, nempe, adam hoc casuparallelogumma cire! caudaux consistera diametrum, quad eo- Idem modo directe vol indirecte demonstrari porerit. Idemqueetiam mouot Rob. Simson. ad V1. 52. (Vide infra.)

’ PROPOSITIO XXVII.Obo. 1. Robert. Simson. mon: secundum mua. huiun

Propositionis habero in Editione nempe Balai). 6011m amev’erba;

2’010: 7&9 «au puefixum, quasi alia esset damonatratio, abim-

perito, u: videatur, librario adiectum, quam vocçm recta omi-serit Gregorius (Peyrardus quoque eam iure omiltit, min; Vl-riàmis huius lectionil mandent; fileta.) Librarü autem non.animadvem’sse videntur, a vocibus inde l’ami yak; mélia: ca-

wm aecundum iucipere, enim negligemia: causa fox-Le in en

mat-m. TERTIÙS. 289’vafn ciiüumferenti’am cadunt, rectarum maximàm esse

vdflrqua’e pet eentrum; semper autem propinquior eiquae par. centrum remotiore maior erit, nempe JEmaïa: quam dz; et dz quam 4P; earum autem;quae in OAKH c’onveiçam circumferentiam caduntj,

’rectamm, minima quidem AH, quae inter punctumA et diamatfum AH; semper autem propînquior ipsiAH minimae minor est remotiore, 4K quidbm minor iquam 411, et zizi quam 119.

Sumatur enim centrum circuli JET ("la 1.), etait M; ét iungantur ME, ME, MF, MK5 MA, M9;

Èt quoniam aequaus est 1M ipsi EM (I; Dame),-bommunis addatur MJ; ergo A4 aequaiis est ipsisEM, M4. Sed E1115 MJ ipszt Ed m’aimes eunt (la20.); et .44 igitur ipsa.EA maior est. Rursus, quoa

V miam aequalis est EM ipsi , cOmmunis addaturMJ; ergo EM, MA ipsis ZM, MA aequales surit,

. et angulus EMZI angulo ZliIAmaior est. Basis igia’tur Ed basi Z1 maint est (I. 24.). Sinfiliter àutemostendemust, et Z1! ipsa TA maiorem esse; maximaigitur est AA; maior vero JE: quam dz; et 42,

quam ÀP: d 1 d ,’ Et quoniam ME, K21 inaiores suint quam MJ(I. 20.), et ME aequa’lis MK5 reliqua igitu’r VKJ rea-Iliqua Hz! ’maidr est; quare et AH minci eSt quam21K; minima igitur est. i Et quoniam super triàhgitliMAJ uno latere MA; duaè rectae iotas constituüntuîri;

MK, K1 îgitdr ipsi: J111, M minores surit (I;J Extra omnium posito plates mon: inti cireulum ducan’tùf,

quarum nm MJ pet cantrum :0 ce, quam par centrnm pio-r ducat est; usquedum iterum cum circulo confienin, lumps

290 A ILEMINTORUMK41) 103v MA, AA ilénow’ç siam" î’01] 62:: 7; MK

in; NA’ lamai aigu AK lamie raïs A11 flâna)?301w. iOyoiwç dû deIÇopw, ou nui a; A11 01;; A9flâna»! émia" fluxion] pin! aigu 9; AH, êloiwnw 0è

a; [du AI; Tris A11, ri de A11 riois A9.Aæ’yw du nui chio [1.6707 ion; oinô 106 A amadou

noomwofiwmz) flçôç’ tôt! 11511.07, ëtp’ édifier; ni;

[AH 6102101179 20112011110) mais ni MA 15151954311, ami

qui 71969 mini Gflpêt’lp 093 1V, tu? 6nd KMA 7mm?à"; yww’a 7; 6nd AliIB, ami Éneçeôzfiœ a; AB. Kai

inti i077 émia! a; MK mi ME, nono) 3è o; MA. 6150d’1) ai K51, MA, 600i mie 3M, MA Éva; chiai,ému’ga énars’gq, ami yww’œ a; 67:6 KMA ymviq: If

15716 BJIA ibqt fléau; aigu â AK 50508: a? AB in?)ÊOTÏI’. 11570) dû au fig" AK 61319140: du?) i011 01; upas-I

amenai flQôQ 06v xüzlov (inti mon? A Ufllbêl’O’U. Et

7129 (baladai, agognmu’îw , nui è’œœ 1; AN ’Enei

017V 1; AK 075 AN écriai i091, oill’ 9; AK fifi AB

1) Pro: a; ripa MK, K4 Peyrard. a Cod. a habçttnntum(Yen. Nos en ver-ba ex edd. Oxon. et Basil. restitmmus, utetmm Peyrard..1n versione lutina et gallican habet. v

2) Lectio haec "gocmamiflrai, quam e Cod. a. babel Peyamrdins , praeferenda omnino videtur alteri bvpnæoîvmi, quamhabent edd. Oxon. et Basil.

.’ 4.4 , erit omnium maxima, ca autem ains par! AH, que ad

puncturn H inter A et centrum intermcdium ducitur, omniumminima; reliquarum autem tempe): en maior exit, ad cujusintersectionem cum circula recta e centrQ ducta angulumcum recta MA maiorem efficit, quam en, ad cujus intersectio-his punctuiu recta e centra ducta minorem cum MA anguiumeflicit, et ad utraz’que rectae MA partes biture tantumaequa-les arum.

Gor. Neque extra. circulum igitur ullum punctum est,x

LIBER TERTIDS. - - 29121.); -àeqtlalis. autem lilK ipsi reliqua igitufAK relique; A11 minot est. Similiter autem ostende-mus et AA( minorem esse quam A0; minima igiturest AH , minor vero AK quam A11, et A11 quam

A9. , VDico et dans tantum aequales a puncto A caderein ’ciroulum, ex attaque parte ipsius AH minimae.Constituarur ad MA rectam, et ad punttum in ea M;ipsi KMA angulo aequalis angulus AMB (l. 23.), etiungatut AB. .Et quoniam aequalis est MK ipsi .MB,communia autem 11A. dune KM, MA duabus B117,.MA squales surit, utraque unique, et angulus KMA , Aangulo B1111! aequalis; basis igiturddAK bàsi AB ac...

qualis est (I. 4.). Dico autem ipsi AK rectae aliamaequalem non cathare iin circulum a puncto A. V ,Sienim fieri point, cariai, et-sit AN Quoniam igiturAK ipsiAN est aequalis, sed AK ipsi dB est aequn.

l lis; et dB igitur ipsi AN, propiuqnior minimae AH

a que plates .qnnm binae rectite aequaIes sa circttmferentiamcirculi duci possunt. i

O in. comitial-titis hac rations in Prop. 7. 8. punais,que .Vel nitra .vel intra. circulant posita sont, nocessario voeu-cummt niant panera, que in ipsa Icircumferentia cita sunt.In bis idem fermpbtinet’, quod in, Prop. 8. et 7. Nempeg sie puncto aligna in ipsa circnli .circumfetentia posito pintessache in chtulumducantnt, quatum nm par centrum trans.Bat. haec quidam omnium maxima: «in reliquarum autemau, ad cuius- intersactionem cum circula linon recta a centramaintem augulum efficit cum ca, quae a dam puncto ad cen-troit) doigta est, minot semper etit, quam ea, ad cuius intersectinnem’

cum circule dilata recta e centra minorant nngulumcmcà cum en,quae a dato puncto ad centtùmducra est. Etoduabua punetidnti tpartibus àbinaç mon» tactile saquais: si! circulais-dm ponant.

292 ELEMENTORUMimbu i’mr ami AB ripa 4:77 AN émis! ïam- 377thmis AH sanglotois 0,1? 057105159641 301w i211], dizeQZdâti-t

www 38511011. . a; .h , . ’H ami tillais. ’EnsÇeÜ.zôw si MM Kai étui2’01] 3min! ri KM 17? MN, 1mm) 6è MA, nui fléau;

si AK.floioet si AN i’mr ymvt’a aigu a; cimiKMAMulot 1?? 67H; NMA i707] imita ’AM’ denima? 15m3 BMA émiai i’tm’ mi si tirai BMA 0790 wfi

tirai NMA émiai i0", si élimait peignait, 5mm.êotiv- (imitateur. 015:9 0’190 70431003 9? 6’60 ï0ou 7:96;

0611 ART minier (inti 1017,, A amnios: êq)’ êtaséçqt

si; AH éliminois noocnsooôww. Î ’Eoiv aigu mixtion,

nui Inti 3559. -in - - 11301121; 0’.

i ’Eaiv minima loggia?) et minent! èwdg, 0’106 il! 1:06 .

«smalas: ngôgmôw actinies! nèogm’nwwm tritium fi 3150

in: «Mains, cd imamat. aqueîov NÉVÇQOÆI 30121017

7415x1011. ’Quod codent modo demonattatur ne 111.; ’8i Hum proPosiationem septimaeùuius libri subiuugit Commandinus , qui unquoque demonstravit in commentario in propositionem ocra-

v. 11m libri Archimedia de spiralibuo, paritarque sans affm vanSwhden Aufangsgriindemdcr Meùkunde. q *

4 Cor. .N:0"in ipsa i’gitur circumfetcndayadeoque gents.ratim nuaquam-in. en; plana, in qui: cit’culuazdescriptus.est, qputter centmm , 11mm Pllnclnm, e quo pluma, quam binasrectae aeqnales ad circulum- duchpoissunt. IBinas àutem in .omnibus iris- «propositionilius .diçere, maluimus,» quam dans,

quad ut. Gamin-u: montait, ucnsustlenunciatitita iustiua expri-- mitan. Çaetetum, Ï qnod mode de mm» m in ipsat circuli cir-

cumferentin-- pomoiïdiicsrnuagad idem fate redit, quad infra

LIRE]! TERTIUS. 298remotiore est aequàlis, quad fieri non ’posse ostensum

est, . . .Val et alitèr. Iungatuzv MN. Quorçiam aequàlis

-cst KM ipsi MN, communis autem MJ, et basinJKA basi 41V aquualis; angulus igitur KMA anguloNMA aequalis est (I. 8.). Sed. KMJ ipSi 3M estàequalis; et 13le igitur ipsi NMJ est aequalis, mi.nor maïori, quad fieri nequii. Ndn igitur plures quamduale gequales gin circulum A317 a puncto .4 ex una-qgle parte Aminimae 4H cadent. Si igitur extra du.culum çtc.

.0

PROPOSITIO 1X..(Fîg.215.)Si intra circulum sumatur aliquod punctum, ab en

autemv puncto in ci’rculpm cadant plures quam duae

rectae aequales, sumptum puuctum centrum est cit-Iculi.

lII.- 15. dicetur, niai quad in HI. 15. non de rectis t-nntum rsermo est, quae ex eodem omnes puncto cxeunt. 0mnçs.trçs

.proposifiones, hampe HI. 7. 1H. & eunuque, quam Obs. 2.subiunxünus, uno enuhciato complectitur (quad facile fieri*pesse perspicunm en). Thom.. Simpson. Elem. cf GeometryLand. 1800. p. 45. et Gilbert. p. 153. Quae porto Austin.de bis propositionibus manet, dicemua ad Prop,»9.

Obo. 3, .Facile pâteth conversaml qhoque lymposiu’ohum.7. 8. eiusque, quam Obs.2. habuimus, locum babel-e. Némpè.’

si e punch aliquo I. in circuli plane posito, qu.od non.si.t cen-hwhxm , ducantur plates rectae ad circulum, sitque una omniummaxÎma, erit in hac cirçtllicent1 IIm: ca vero, quae omnium

. minima est, eût, si puncmm illud intra circulamfùeril’jînt

294 i annunnronum ii "E010: 16x109 (i ABF , ëwôg 6è aüoü afin-2’07

16 A, and 6716 mû A 7196: juin! 113F minas! agog-nmzërwaqv filetons a; Mo i’mu eüâeîaz, ai .414, dB,

AN 1:70) au 16 .4 «muent! xæ’wgov fini 106 ABF

adulai]. .’Emçs’tîzôwoav yoig ai A3, ET, aux? remâcha»

ou? 04’710: une? vrai E, Z tupaïa, and êmçwxâeîom

ai Ed, Z4 âaüzfiwoow 6’712 in) K, Il, A, 9 amuïe.

’Eml 013v émir à"; a; JE 17j EB, Mimi 6è riEd. (Mo à; ai 11E, Ed 01101 mis BE, Ed Écroudab ami flémg q; .414 fldastiïî dB i217," 70171:: 0790:

1,5 67:6 AEA yawlç: ni 6nd BEzI fin; êtm’w 691?"); du:êzazæ’ga raïa: 13m; 111M, BEd ytnww’w HK 0791»

miel AB (me: tzæ’lcwo’voa, and 71969 (infinis wëpvaz. Kali

ênsl, Mal à! mizllp us aüfieîa éüâeidæl avec 6710: 18

and 7:96; o’gâoËg film]; fini 17k 1511410601]: ëa’ü a;

uéwgov 106 mîxlov- mimis 11K 59a ÈME v6 név-

directum geî, quae par centmm transit; ex parte puncti 61390.sin; si veto punctum extra circnlum fuerit, en, glue omniumminima est, erit pars oins, quae par dentrum transit, exit:circulum du (si puncLum in ipya circuli circumferenüa fue-rit, nulla dabitur omnium minima): omnibus porto casibus.en, du» maion est alitera, circulum in acabit, ut recta ad’une ad punctum intersectionis maiorin filin; recule et circuliducta maniai-cm efficiat mgnlum cum recta e puncto ad cen-lrum ducta. quam sa, quae e centra ad punctum intersectio.ni; minais cum circule alncitur, efficit cum recta q puuctoadIÇençmm ducta: denique binae recule aéqualcs e puncto ad

circulum duotae puncta intersectioniæ cum circula in positahnbebnnt; ut rectae ad luce puucta e centrq ductae aequalesutrimque 5111541103 efliciaut cum sa,y quae a puncto ad centrum

. glaciaux Quod facile sumtov contraria evnncitur. Couveisambanc; guaranas Tespicit III. 7., baba: Claviua.

manu rainura. 285I Sit circulus JET, intra autem ipsum punctum d,et a d in circulum JBF aidant plures quam duae

. i i Irectae aequales dd, dB, 41’; dlCO punctum d cen-trum esse çirculi JET.

Inngantur enim JE, ET, et secentur bifariam’ inpunais E, Z (I. 10.), et iunctae Ed, Zd produ-cantur ad K, H , J, (9 puncta.

Quoniam îgîtur JE est aequalis EB, communisautem Ed , duae JE , Ed duabus BE, Ed aèquales.sunt; et basis dJ basi dB aequalis; angulus igiturJEd angulo BEd aequalis est (I. 8.); rectus ignat-uterque angulorum JEd, BEd (I. Def.i10.). HKigitur JB bifariam secans et ad angulos rectos ipsamsecat. Et quoniam, si in circule aliqua4recta rectamaliquam bifariam et ad rectos angulos secet, centtumcirculi est in secante (HI. 1. Con); erit in HK cen-

PROPOSITIO 1x.0135. Haec propositio facillime Iconseqnitur ex ÏII. 7.

Cor. se! generalius etiam, nulla ipositionis fanai intra circu-cuiurn mentions Iacta, ope HI. 8. Obs. 2. Cor. ita [ut un":aiia demonstrationet opus foret. t Atque in Borellius rem expo-ài: (Euclid. restitut. 1658. p. 72.). Caeterum debebat in de-

’ menti-arions priera hic 311m, si onmia iusto ligote pernquivelis, distingui is clans, quo rqctarum JE, BI’ (Fig. 215.)alterutra pet punctum d transit. Et, quum prieures in medemonstratione sumalur, quad apud Euclidem maque inter axio-mala deprehendimus, nec alias demonstratlunyidenms (quoamen etiam utitur in demonstratioue priera Pmp. 10.) dansi’ectas nonnisi unum punctum commune habens, suspicn’ri

faite liceat, spuriam esse, quae primo loco habetur,- demon-slrationem. Ed’itorum nonnulli priorem, nonnulli posterio-rem demonstrationem omittu’ut. Piiorem omitlunt Tlcquet,

296 ankmsnronuu ’ J194w 1017 JET Mission. divisai «site? dû au! in! Mg9d, à!!! 16 us’wgov c017 JET minium Kai oûdèvüsgov nonidi! è’xovow a: HK, Ollflsüâsîdc, 9; wifi

amusie," ni d taïga amnios! ne’wgor écrit) un? JETguidoit. ’Edw âge; minou, ami «ni éE’îg.

J A A 12. 2.16321.01: gaie woü JET silrfcpbw’u amieîov êwdg ’

. cd d, dnô 6è 1017 d ngôg. 16v JET minima» apocynacé-

i’ ramon! uhlans 9? (Mo i’aou cziâsîaz, ai dJ, dB, dT!

157m (in mi lwâèv amusiez: ni d névzçov êozi (mû

J JET adulai]. i - i7039, olM’ si 81141421611, ème) 16 E, au) êm-LL’evxfieîoa a; JE (il-2,51190) ênl 1d Z, H ormaies, f

ZH (1’90: dldpellgtig son 101:7 JET minium. ’Enei-0511 minou vos) JET ëni 11:5: ZH (flaquâmes; am].niai au ("matou lui d, 3 gui s’ou ns’wgov 1017 301552.00,

flaflas] "sa; genou si dH, peignai dé 7; ph! dTmir; dB, si dè dB wiç dd. 241.109 ami ici], 52169émiai ddüywvw et?» (29a Id E us’vçgoy étui ŒMÏABT

Rob, Simsou., Playfair., posteriorpm (Campanus, Ambros. rRhodius, Orontius Fineus, Candalla, Giordano du Bitonto,Fournier, illatif? in Vars. German. Austin. manet, proposio.tionem .9. adeo facile deduci. ç septima, ut credi vix Possit, ’Euçlîdcm id non animadvertisse. Recentioiel quosdamgeometras reapsp in postefiore 9. demonstratione, quae piioriomnino pracferenda videatur, uses esse. At quum Euclidesipse, ad quem nempe Priorem demoustrationem 9. rgfeiendunputat, 7. maque hic, neque alibi unquam utatur, nec 8. anususas si; quid Euclidem , guum gigoterait theoria circuli etiamlino 7. et 8. perfectus çssp, videatur, aunai! recta: ad circulum(bien! propositionibus- m. 14. in. 15. HI. :55. et m, se.

Lulu TERTIUS. , i 297ih circuli JET. Ex eadem ratione et in 6d est

centrum i circuli JET. Et nullum aliud communehabent rectae HK 9d qualm punctum d; circuliJET punctum igitur .d centrum est. Si igitur cir-

Çuu État ’I AA L I T E B.- (Fig. 216.)

- ’ lntra enim circulum JET sumatur aliquod put).ctnin d, a d autem in JET circulum cadant platesquam duae rectae aequales, JJ, dB, dT; dico 51mn-Iitum punctum d centrum esse circuli JET. i

Non enim, sed si fieri possit, ait E ,i et innetaJE broducatur in puncta Z, H; ergo ZH diameterest circuli JET. Quoniam igitur in diâmetro ZHcirculi JET sumptum est aliquod punctum d, quad-n0u est centrum circuli, maxima quidem erit 11H,maiôr veto dT quam dB, et JE quam dJ (HI. 7.).

T Sed et aequalis, quad fieri nequit; non est igitur EV centrum cirhuli JET. Similîter autem ostendemus;

7. et 8. serins saitim inventum eius auctoris videri, qui pmçpositionis 9. demonstrationem pastel-imam addiderit. Obiiciquidem posse , in Theodosii Sphaericis adhiberi bas proposi-

À lianes, et simili; nonnulla de sphaeris demonstraii, et quamThéodosium tribus fera seculis post Euclidem vixisse perlu-beiant, ab illp quippe ab auctoris elementorum aevn nimis

Aalieno non addisci passe, quaenam ab initie huius. operisforma fluait. «Qui: quamvis satis speciose dicta sint, procertis tamen et indubitatis sumi posse non videntur, quum -nondum evictum ait, posteriorem Prop. 9. demonstrntionemmon esse Euclidis, et propositiones 7. et 8., si non ad dl:-moustmudas’propositiones sequeutes, celte (amen sa pieniorcm

298 enemnu’ronumuüniomt gQuoùm; de) dsiçouw, au n’aide d’un u ah?»

un? d’ sui, d âge: empalas! uéwgov étui mû JET

minima .IIPÛTJZIZ i.Künloc uünlow on; wilaya; votre? nÂsîova (myste: fi

0150. l lEl 7039 dvvwvôv, mâche ci JET téflon! 16v dEZrepaissez) «and nimbait: ("maïa 7; chio , ni E, IL (91)aux) êmçwzôeîoat ai E0, EH tilla zepwéafiœpaal zonai

ru) K, J (musico ami «inti suiv K, J mais E0, EHironie ôçüâg dzûeîaat ai KT, JM dzâxôwoaw ëni

1d J, E (musiez. i’Emi 0137 à! x6319) T97 JET aidait)? «ne l’î’JT

- «Maîu’af un"): 117W E9 ôlzœ ami ngôg 690dgwé;wu,

571i 175g JT des: étui r6 ue’wgov un? JET miniez).H’cÉÂw, 5715i à! miam,» qui 416*597 fifi JET 6151951715 zig 7;

N3 süâeîu’v raves «niai EH dilua nul 91969 "690129

réparai, ëni Œfig NE d’un; m6 n’aimez! ëori 1017 JET

313x101). t ’Edufih] de and fini mis JT, mi mutoüdèv ovlczfidlloww ai JT, N5 niaisiez; vindicte

,1) Editio Parisiensis, nulla exhibita Cod. auctoritate, adexem lum tamen cd. Basil. ponit B, H, Z, 9. At, quumosten endum ait, ne tria quidem panera duobus circulis POIS.esse communia, restituendam omnino putavimus lectionemcd. Oxon.

inccuratioremquei circuli theon’im omnino Peninere videantur,cuius rei exempla etiam infra ad Prop. 11. videbimus.

I

ïPROPOS’ITIO X.Huius quoque propositionis, quae generalius adhuc ira

exprimi, et eadem ratione demonstrari poterat: cii’culus cumme circula non plures quam .duo puncta communia habere

Liner: Tenu-rus. 299neque aliud praeter d; ergo pu: ctum d. centrum estcirculi 41311 ’

0’ q ll

PROPOSJTIO X. (Fig. 217.)Circulus circulum non secat in pluiibus punctis

quam duobus.Si enim fieri potest, circulas JET circulum dEZ

secet in pluribus punctis quam duobus, E, Il, 9,et iunctae B0, EH bifariam secentur in punais K,J (I. 10.); et, ah ipsis K, J ipsis E9, EH, ad re.ctos angulos ductae KT, JM (I. Il.) producantur in

puncta J, E. ’Quoniam igitur in circula JET recta aliqua’JTrectam aliquam E0 bifariam et ad rectos secat, in,JF erit cenuuniICirculi JET (HI. 1. Cor. 1.). 1m.sus, quoniam in eadem, circula JET recta aliqua N5rectam aliquam bifariam et ad rectos secat, in.73 centrum est cirCIiIi JET (Hi. l. Cor. 1.). Osten-

sum autem ipsum esse et in JT, et in nullo’ punctaconveniunt rectae JT, NE inter se praeterquam in

potest (in quo enunciato illud otiam continetni, circulas seinvicem contingentes cette riait pinta quam duo punçtn com-munia babere) in textu graeco duae sium demonstrntiones. lnlirions illud desiderari possit, quod non satis accumule deman-st’ratum sir, notas, quael in punais biséetionis rectis ex liyp.intrique circula inscriptis ad angulos rectos ducm’ltur, oibi Lin-

’vicem in plincto aliquo et quidem unico acclimate ,t qui de-fectus t’amen facile expiai porest ope I. Ax. Il. et; I. Ax. 10. Và et l. Ai. 12. Demonstratio pasterior sumit sine rationne,p’unctum, quad pro centra unius circuli suniium fuit, essehum aherum circulum. Neque ramon" neccssc au hoc sumac,

30a enemeuroauma; 10:10.? 16 0- 1d O 5905017106107 167.1905! 8011.1017JET minima. ÎOpos’wç 07,! delçopw, (in ami 1013dEZ 36x100 ue’wgav ë01l 16 O 6’60 dans xôulœv

16117671401! diioy’iovg, 1:51! JET, dEZ, 16332513165011 54.501901! 1d O, lime E0134! 41315705101. 015x dans

acculas, nul 1d égaie. q ’

J J J Il 2.Kziulog 7039 mil"! ci JET minimal 164! dEZ

apaisa» «and 713.6101111 amnios 17 duo, 10E E, H, Z,n’ai dirimât; 16 us’wçov 101i JET minima 16- K,ami ênsÇeüxâœaav ai KE, KH, KZ.fi ’Enel 05v «15x100 106 dEZ eî’bjnmi 1; amnios!

êwôgj, 16 K, nul mimi 1015 K ngôg 164! dEZ mission!

agognennimxtn 91161009 17 3150 amena iman, ai KE,KZ, 1d K aigu «musical 3411901! 80121017 dEZ21521011. "E01; de nul 1017 JET minier; us’wgor 16K. (i150 dans minimal 1m16me (infini); 16 015160.611907 ë01l 1d K, (inca a’cl’v’wwov. O’U’u dieu mi- i

zinc, nul 1d 55.59. rsi praemissis propositionibus 11L 7. HI. 8. et ea, que Obe.2. ad HI. 8. continetur, propositionem 1U, 9. genet-aime ex-primas de puncto quocunquo adam non intra circulum posito.Aulne ita propositions: HI. 7. Il]. 8, et HI. 8. 0l». 2. ne-cessan’ne forent ad demonstrationem posteriorem 111. proposi-sitionie 10. perficiendam. [Etiam hic alii ediçotes omittunt de:monstrationem priorem v. c. Orontius Fineus, Borellius, Tac.quet, Coëtsius, Giordano de Bitonta, Fournier, Rob. Sixnson.,Playfair., alii postcriorem, v. c, Campanns, Candalla, Ter.talea, Ambros. Rliodius, Hauff deutsche UeberSetz., Lorenzdeutsche Uebersetz. 5re Ausg. 1809. Caeterum sequexitia cd-huc ex hac propositibne et maxime ex demoxistraçione primeperficiende ante ut diximus, corollarie derivari possunt;

mais]: mantras. i301O; ergo O punctum cehtruin est circuli JET. Si.militer autem ostendemus, et circuli dEZ centrai).esse O; duorum igitur circularum AsesersçcantiumJET,- dEZ, idem erit centrum 0, quad fieri rie-quit (HI. 5.). Circulus igitur non -etc. l -

l

q A L I T E R. (Fig. 2i8.)Circulus enim rursus JET circulum JEZ secet

in pluribus punctis quam duobus, E, H, Z, et su-maturq ceutrum circuli JET, K, et iungantur KE,,KH, KZ.

l Quonîam’ igitur intra circulum dEZ sumptum est’

ialiquocl punctum K ç et a K in circulum dEZ inci.durit pintes quam. duae rectae aequales, TKB, KZ,KH; ergo punctum xK centrum est circuli dEZ (HI.9.). Est autem K et circuli JET centrum; duorumigitur circulorum sese secantium idem centrum est K,quad fieri naquit (in. 5.). Non igitur circulus etc.

i i Cor. 1. Par tria putiets non in cadeau recta posita circu-las describi potest, inventai nempe illius centra eadem, qu.prim- demonstratio utitur, ratione, et tribus itaque Plxnctisdatis omnimade dcterminanii circulas , qui par en transit.-

cor. 2. Recta, que duo puncta, quibus duo circuli sesecsnt,iungit, non Par utriusqueicitculi cana-nm transit, vel’non est utriusque circuli disaient. Quodsi enim me: dia-meter utriusque circuli, val idem centrum «se: unique cir-cula, quad fieri naquit (111. 5.) vol recta hase in duobus panscris bisecaretur, quad partirez. fieri non panet (I. .Ax. 9.2 Cf.

Pfleiderer. ’ i iCar. 5. Quae rectam puncta intersectionis circulorum sesecantium iungentem, sive liaec pet commun unius circuli

x

302 " :LtMgNLr-ogumHIPOTAZIZ lé.

’Edv. 860 mixiez êtpoËnzmwrmz 917.1171004! 3016; , ami

lofipâfi intimiez 102 uëmw, a; au un? uéwçœ 0101051!

ÊmÇEvawcÉW] «mm êzfiulloye’my in) wjv ovvazpæiv

nmsîïal raïa) zünlœv. .460 7029 Mulot ai JET, AAE êtpan’n’oôœaav i)

dlhfimv êwôg un; c6 A squaw, mi elÂæizpâm 1’017

(du! JET minier!) uéwçov 16 Z, 1013 6è 114E 16 H.1570) au 1; dnô ne? H lui ’56 Z êmCevywvye’vq eû-

. mm ëzfiallo,uéw;,ênl cd A (musical mouftai.

1) êqaanu’oflwoav e C08. a. ponit Peyrardus pro sim liaiénra’aôwaav. uod est in edd. Oxon. et Basil. C1. qua: ’ l-muà ad Det’. . huius libri.

trament, sive non, bifariam accu recu, eîque ad angulal re-ctos insistit, par centra duomm circnlôrum tramait, et viceversa. Cf. Pflejdorer.

Cor. 4. Diptamia centromm duorum circalorum, qui 8.0intersecant, miner. est summa radiorum enrum (I. 20.); etquod pariter ex L 20. conseqnitur, si rgdü inaequaleç sint,dintantia cenn-orum maie: est diffa-enlia radiorum 90mm: eti: radius, qui altçro major est, minot est aumma sizerinsradii et distamigç cçnçrorum. Semper nempeniangulum efficî

debet inter utl-umque centrum e;- punctum sectionis circulo-rum. Cf. Pflcideru.

PROP0 S ITI0 XI.Obs. i. In 1min: proponitionis enuncigtiono (lutinait):

dicondum xerat, quo nahua vox êufiaüope’wy sunna ait. film!

nympe volebat motet, ut a demonstratione attaque panet, re-ctam, que cçnni utriusque circuli coniungit, Productam admin partent , ad quam est centrum circuli interioris, in contac-zum, vel potins in illud ipsum punctnm cadere, in que duocirculi sa contingere oumebantur. Han demum radians , Accu-

Lrnsartn’rws. 303PROPOSITIO XI. (Fig.219.)

Si duo circuli sese intus contingent, et sumanturcorum centra, recta centra comm coniungcns productain circulorum contactum cadet.

Duo enim circuli ART, MIE sese comingantintus in puncto. A, et sumatur circuli quidem ABPcentrum Z, circuli’uutem AAE centrum H ç dicorectam ab H ad Z ductam, si producatur in punctumA cathare.

fait" sensu enunciati determinato, patet, eut in figura pun-ctum H ceutrum nempe circuli minotis vel interioris sumtnmsit ex en parte puncti Z centri vcirculî msioris, val sherumComprehendcntis, e que sunt puncta li, 9, in quibus rectaZH circulas in’demoxisn’atione semesumitur. Dixi, unum

» circulorum necessario sitemm comprehendere, adeoque maie-i

rem esse sltero. Quamvis enim in iis, que ad HI. 5. Def. iobservatrsnnt, duos cireulos intus se in puncto aliquo canatingere dixerjmus, sien saltim punch unius circuli, quae intipuncto proxima sunt, ex utraque parte posita sin: intis alte-rum circnlum (adebque ea. putiets alterips circuli, qnae istipuncto proxima sunt , ex utraque parte posita sint extra alte-rum) ex iis tamen, quête. bectenus demonslrata sunt, colligeraiam licebit, unum eotum circulorum necessario intcgrumintrs alterum positum esse. Quddsi enim imaginai velis,duos circulas intus se in puncto aliquo contingentes, quorumtas-nm ncuter intra alterum cOmprehendatur, necessario il,cujus puncta spuncto A proxims intra alternai posila sînt,extra hune exire, et deinde Per aliud eius puuctum, val paridem punctum titerum intra .1 circuluni redire deberet. At, sisamare velis, posse esse (Fig. 220.) circulum 111241", quislterum ABFE intus contingat, et in B extra hune exeatversus A, in F veto intra cum redeat, duo hi circuli plant

x

304i . i anamnnsronuuIl”; ,- dix si (balancier, fumets) des; 5H95

au) ëçseçssilfiwaav ai AZ, AH A -’Emi où” ai AH, HZ si; ZA toôz’ se»; mais

Z9, Un»; 7&9 ZA si Z6, aussi us’wgov l’oiechipa) 1) psÏÇow’ç des, zanni oïtpflèæ’y’oâw ZII’

Zomfi d’oc: AH louais mis H6 pattus! Emily. i101]«it- ’AH 11,: AH’ and Un! bigot si; HG nattas!30721! , adam: mis pelé-Mas, (une 30111! sikhism-zow. Oün 0?ro si (i756 c017 Z ëni sôH èmëevywpéwq

mimiez êzzôç 115g and mi A aqunîg mucher à;minis: (igue. ’Edv aigu 8150 minas ami soi 3559.,

A A 11 Il È.24Mo? Je massera: sa]; a; HZÏ, n’ai ÊuflaflMdfiw

Ën’ suâeiaç fi HZÏ fini sui (9 «311mm, ami lëqeÇe’ÜS-

10100117 ai AH, AZ4

l) Verbe uncis incluse, que Peyrsrdus cum God. a; iomittit, ex au; Basih et Oxon. i-esfituimusq

quam duo panera communia Îxsbebunt, quad fieri naquit, ut

in Obs. ad HI. 10. monuimus; Sis! autem imagiuafi voliscirculum 4848.4 (Fig. 221.), qui altermn ABE intus :eonètingat, et amen extra cum in puucto B egrediatur, Par idempuntum E autem intL’a illum regrediatur, siesessario me-noùdiformis crin etc duabus figuriez vol gyris, ana .48, alter:Bd undequaque clausis, et in panera B cohaetentibus comte.bit, in quantum alitera v. g. in A]? centrnm cit-euh P positumecrin Ex centra F ducstur ad punctum aliquod Z alteriusgyri recta P2, quae, quam necessario e gym AB cuire nie-x.beuh, hune acabit in p’uucto aligne 9 (I. Ax. 15.), eruutquo

item quam redû circuli, adeoque 19:12 (Defa I.15.) pars itague aequlis loti, quod est absunîum. Quumigitur circulas, qui slterum intus contingit, et cuisis itague

t

LIBER SSIX’TÇS. 3.05

natur APR: angon igitur AF E ç APR ipsis PAF.JET, 11T B aequales sunt. Sed (l. 32;) B il F, ABIÏAPI! duobus mais aequales sont; et ipsi 441’125 zl-l’B

igitur duobus semi: aequales 511m.- Art quandam igi.leur rectam AF, et ad punclum in ea F, drue renneBr, TE, non ad easdesn pattes positàe, angulos dei"ceps 111113, AF B duobus rectis aequales faciunt; inilirecmm igitnr est Br ipsi PH (Il14.).Siigitnrduoem;

13 11 O P O s t T I Ô Xxxm; (Fig. I100.)

ln aequslibns circulis anguli èandem ranmwm in:bent quam circumfetmliae quibus insislnntg 5ch id

ipss figura B5 exceisüs ’dicitui, inquè excessus in [ne pilum."

skions 29. similis esse debet duo parallelogrammo J, et io-mm pnAIlelogrammum A; debet aequale esse spatio dam IfClfllel’llm etinm hie duplex salarie locum hiber, at panetier

cum prime codem redit. i . I0 ba.- 2. si deum: istud rectangtilum J quadrdiudi fliéiît,

problems sic efferetur: Ad dstnin rectum dB duo rectilil è’o’l’

teqnsle rectasvgulum applicnre excedens quadrslo (ne YVllis’run

in Cor. l; ad VI. ’29. et Rob; Simson in Net. il! h. l.) Âmesne: Datam rectam 1B producere ad punctnm iliquod U; in:ut recungulum domemum segËnehtis inter lace puuctum’ etI-uncta extrema nous JE interceptis aequzle sic spatio’ dam.Il: Playfsir.’ rem exprimit, qui etiam bio in casa hoc particu-lari subsislif. Ve! eüsmr dans AB differentia lem-nm rectau-guli, ipsoqne rectangnlo magllilddine’ duo, invenirè leur"Vid, Rob. Sinumu la c. Erit autem spatium datura, cui .ÆNque]: fieri debet recungulnm, (le! quadtutum, sel un"; Prime(me: problema solumm est Supra in Ôbs. 4. Id Il; H: Pu-sleriotis cnsu’m particuhrem, que spatinm denim est "eussé

1mm. uléma". P. un V

306 ’ E-LEMENTORUMl"ou; mîç zæ’vr’rgnzg, 6’111! TE 71969 un"; nèplçpepes’atç

«la; fieffyzvïaz- a"?! de nui effraye]; (du n96; toi:m’angorç 001’10Tdflu’0t f).

f’jâmwam’ 1’00; mimi oî ABI’, dEZ, and n96;

filai qui; m’y-7961; miroir 701: H, 9 yawls»: faîteau!ai «lm; BHF, EOZ, ngôç de mis nsgtrpagèîalg aï45-116 BAH EzIZ’ ligna du 5min! (6g siBI’negupe’gsuz

I. 74969 71,5! EZ negzrps’çstcw ofirwg in 69:6 BETyawlu

7:96; tafs! 6716 EOZ, mi 177:6 BAFng6ç mis! M6EJZ’ au) du 6 HEP topais 3:96; r61! GEZ rouée.

g 1) Verbe, quae "mais inclusimus, Rob. Simson. omît-tenda censet, utpole imperiti cuiusdam addiumentum. Ses:-

. burgh. etism indicat, hase verbe absurdam continue nome margine in textum receptam. Et reapsefiquum ex HI. 10.Der. Ïi’ufli alii dentu: sectores circuli, quam qui ad centraemmitmi sunt, superflue carte sont luce verbe, quibus inse-rennis praecedeutes angul: sivo ad qcenlruàml, snve ad circumfe-

’uemias insistentçs occaçlonem. dedisse v1demur. In Cod. a.omuiu, quse de séctorsbus dicta suint, nec non Corollariummanu ahena vel inter limas, vel in margine exarata sont. vo-cabulis contractis. Ilino Peyrardus indices, in Praefat.ad Tom.l. quoniam Rob. Simson. in Ed. Angl. monuerat, pariterjc

q Scarburgll. additam esse liane secundsm. Propositionis pattern,quae moram sallim afferat, Euclidi et nusqnam in sequentl-bus adhibeatur, a Theone ipso referente in Commenter. adPlnl. Jilfij’oldî] (flirtage: pn 50. Ed. 1558, ubi me: du dé a;E75 l’ovni téflon: tupaïa 7196s- tÎÂÂy’Âovc eîalv, «le ai yww’ac, Êtp’

(51» flsia’æl’xam, didemras finît: En! 1j]. 1526606; ruîv oroczelwv n06;14;; du; qui; gnou flzflÂz’ou.

gulum (qui palmes ope Vl. 13. et V1. il. vel ope Il. 14. .spl’iorem reduci potest) exhibct Rob. Simson. in net. ad VI.29.. et solutionem similem ci, quae in problemate simili ad

,VI. 28. habebaulr, in hune modum affert. Sit data recta AB(Fig. 391.), dalum autem rectangulumeit id, quad mais Il,d continetur: apostat secundum (islam rectum 118 data rectan-gulo FXJ aeqlxsle rectangulum applicsre excedens quadrstoDucanllur 11E. DZ ad rectos angulos ipsi AH, et Id contra.rias eius parles, querum AH sequslis si: ipsi Î, et. B2 rectae l

nous sunna. .307centra, sive ad circumferentias insistant; adhuc emmiet sectores (quippe ad cenuà constituti).

. Sint aequales circuli ART, dEZ, et ad centraquidam ipsorum H, (9 sint anguli BHF, EGZ; aucircumferentias veto anguli BAT, EAZ; dito esseut ET circumferentia ad EZ circumferentiam ita au-gulum BHP ad angulum EGZ, et angulum B11 Fad angulum E42; et adhuc .sectorem HEP ad sec.

torem QEZ. IÀ. Inbgatur E2 et bifsriam secetur in I, ceiitfoque I, intei’svsllo IE-describntur circulas, occurratque renne JE cursus inH, et iungutur ÈZ, et ad JE ducats" 1.4 parallala ipsi JE;occurnt veto circulus rectale AB ,pt’oductae in M et N, etsuper EN describatur quadratum NBOJI, et compleamrreclan-gulum JNIÏG. Quoniam igitur ang lus EHZ in. semicircnlosequalis est lingule recto E4B, para! elae orunt JE, IIZ: acaquales igitur sunt AH, .EZ, et rectaugulum EAX 411.:JEA,XBZ h. e. rectangulo FXJ. Et, quoniam aequnles suintMA, AN, ut et .44, dB, erunt et MA, BN aequales, et prop-ter’ea rectangulum ANXNüzMJXAN: (HI. 55.) EzlxAIIzI’X’d. Rectangulum igitur ANXNB h. e. ipsum 11Haequale est rectangulo ÎXJ. Secundum datant igitu’r renaudA8 dato rectangulo TXJ aequile rectangulum 44411 applica-mm est excedens quadrato En. Quoi! oponztebat facere.

Obs. .3. Data recta linea dB, et rectilineo,.per lianepropositionem et observationem pluiecedemem habebilur NEvol NII latus quadrali, quo excedit rectangulum (latom-AH secundum deum .rectam AI) .applicatum Pro quan-lime incognita :NB ce! NI! ponatur y, .unde AO:ABx-y, etNO.--.-yq, ergo AH;AIIX)’-fy.’,, i. e.PXd:AliXy-rsq. Pariterque, si ponntur ÂNzxzzfll-I-y, erit BN-x’:1]B, (indeAH:74NXBN:-.Xq--xx.dlî. Et hala aequationum quadmiicarum effectarumvspecies ex lune Prop. k29. solvcrum Octane?

l . v .

l

308 [LEMENTORUMKk-I’ovfhomw 7&9 ni ,uèv ET negupeçer’ç î’oas aurai

76 5572; 60411651710506? ai TK, K11, 17] (là .EZ negu-rpspu’ç ("ont ôoaadynwoûv al ZM, AIN, mi éne-Çuizthuoa’y a2 HK, HA, 9M, ON.

’Emi 061! l’ont sials! ai Br, FK, K11 negrqw’gemc

(ilioflmg, l’au; sial and ai 15916 BÏIF, 171K, KHJIparia; élinrflalç ducaluoiwv ripa émis! si .811 néoc-rpæ’gsm si Br, roaavsunÂam’wv être; ami ci tînô 3H11

7mm ni 21’916 BHF- Ami coi mini de) mû ducale:-

m’my ferla! 7j EN assumions: sui-g EZ, comma-u).um’wv Étui nul si 6n6 .EÛN glanda sic 6916 EGZ.

Eî aigu 7m] 30111! B11 nepzços’paœ cf? EN flegme-(.6124, 1’01; En) ml yww’a 6716 3H41 1,1,- ün6 EGJV’

une veteres, inveniendo quantitatem incognilam’BN val JNpar applicationem rectanguli data rectangulo aequalis secnndumdans]! rectamLAB et excedenlis quadrato. Et ipsa criam te-gula, qua and solvendss sequationes harnm formant!" utuntur"centiares, facile ex huius Prop. 29. cOnstructione, val, quodidem est, ex constructions in Obs. 4. ad Il. Il. allais deducipotes: simili rations se factum est in Obs. 5. Il V1. 23. lin-i;

nempe BAL-;V( 53g)94.1x4)-lïë, et JN:V((Ç;E)Q

tAB. -l-T)(J)-i--2-. Cf. VVhiston. Cor. 2-5 ad V1. :9,

Quum impie lises problenma in Hop. 28. et :9. contenusi": maxime milia, et in solutione aliomm ptoblemstum sac-pissime Iadhiblla, maxime etlam in libre docimo ElemenlorumEuchdls et in Conicis Apollonii, ubi applicatiu 25. adEllipsin, ’29 autem ad Hyperbolam spec’lal, Rob. Sinisoniuise’ctnset inuite admodum ab Andr. Choquer. et Claunl.nDe-

chalets in in, que: dederqnt, Elementorum EdlLluuÎbus lmpropositiones onu’ssas esse, et insulse sdsnodum ab u. 63clnullins fare un» «se. Cames-nm vide sdlauc ad- calent:Yl. Prop. 31.

LIBEn sucras. l 309Ponantur enim circumferenliae quidam ËF aequales

quotcunque deîncæps TK, Kg, . circumferemiae Vera.EZ aequaïes quotcunque Z111, MIN”, et ,inngaulurHK, HA, (9M, (9A7.

Quoniam igitnr aequales sunt circumferentiae B12TK, Kzl inter se, aequnles .sunt et anglill BUEËHK, KHA inter se (1H. 27.) Quam multiplex igilur(a: circumferenlia Bd circumferentiue En mm multi-plex estyet angulus BHJ anguli RIME Ex cadeau,ratione et quam multiplex est tiItume-renlîa EN cir-cumferemîae .EZ, tam multiplex est et angulus EQNanguli EGZ. Si igitur aequalis est circumferemia Bdcircumferentiae E; , aequalis est et anguluvsx Bill

pnoposleo xxxrx,O b1. l. Pfleiderer manet in scheJ. rusaR 5.. 506. proposi.

Iionem 31. incongrue a V1. 20111111 qua proximg colmate-al, 5e.iunctam, et propositionibus 27-50 minime mlÏ en): parmenti-

bus subinnctnm esse. lObs. 2. "Rob. Simton. obsaxvat, in. demoustralione bis

omissam esse inversionem ope Prep. B.. V. val , n: vulgn 113-.hem, ope Cor. V. 4. faciemhm, ha enim demnm demonstralil nexn.ope V. 24. rite procedere. lande et Glu-in: en inversioneensyuî-sir, Ncmpe in habcre debet demonstrau’o: Ut [Il ad E4. in

e agar! ex 1’333 figurant similem et simililer pedum ex Exilet invertendo (B,V() ut Bd.nd [a Su figura ex RA ad figu’,nm exPB:, mule ([240 ut 84-4. T4 ad F3 in figuraaex BITet Il ad figuer ex LB.. Animales autem sunt Bd-f-lfd. ipsiEn: undc (An V.) figurae ex 3.4 et l’Alaequvalea cm: liguane ex TE.

Obs. 5.. Ergposîtio V! 51. genu’nliorem raidit www.titiouem I. 47., etin demoustxationo prime ex vraemissis Il.) hale-

iadependenübus nuit (Pfleidercr l. c. se05a 4..- Converü. quoque- potesr. luce pnqposilio auburn

Weiakn .

1.10 ELEMENTORUMmi 51 psIÇwv êmivfiBA negupe’èsm mis nagtqaegsiqa; , peigna! 301i ml o; 6nd BHA yœm’a mis 6nd EGNïrrwiçcç ne) si 52.0500va êlcx’aow’u’ æsacdng à»? ôwœv pe-

7.500515 6’156 pise! nagnçegewîv mWBÎ, EZ,- Mo Je fœ-

Ëwohl 107v 6716 BHP, EGZ, enflamma (ni; phi .BI1’ueglqegæl’ag mi n’y 6nd BHF ymvlag fading nona-l palatial)? ’J, 77 Te Ex] negupz’pela’ nui a; Ûnô ra)-

w’a, mis (Îè .EZ negzqegefug nui 17:9 6nd EGZ 7m»

«dans, Te EN nsglrpe’gsm nui fi 13916 EQNyuwÏa’

un? flânant au si Ü7Ikegæ’zet 1; B11 nsglçégua misEN mgzçagez’uç, 021.59.53; mû 7; 6nd EH]! ywviaræîg

z

1) Hic inserendum RohÏSimson a]! Émile iure censet, cola,

. . . ç .. . elat. mV. 5. Def. verbls: nm? unazovow noLlanÂaotwaluov et su-pra in praeparatiunc ad demumuauouem voce: oaacômrotovy.

fatigue ne L47. Praeterca ope V1. 31, déducla qunque ex I. 47problemata genenliorem formam induunt. Cf. Pfieiderer. L c505. Clavius ad h. l. chquex et X’Vhislon. in Cor. ad banc

plppositionem. ’ eA O b5. 5. Deniquc nqtabimua, Annule 0mm: propositions22-5llspurias esse vidai-i, pou quad ipsarum utilitatem nager,quam potins de Proposhionibus 27-729 agnoscit, et non suffi-cet-ç puîat ad cas Euclidi vindicaudao, sed maxime 0b usumVocis alêne alias apudl Euçlidem non oècmjrentis, de qua dixi-piiulsjn (lbs-5. ad VLZU, et quad dempnslrationuru conealenaüointer V]. 26 et V]. 52.. quae juter se cplzaereàml nbrupta n’yPraelerea V1. 50. adco facile ad Il. "mafflu-i, nua non opus sil.runique, quoad V1. 31. paters (j: is evideut) omnes figuras

I çinmiles l’eciilinças descripîas super quibusdngn mais ad se in-

vivem in egdem Intime esse, ac alias quaacunque ’bimiles figu-ras remilineas super iisdem mais descrlimas, unde l’es facile exl. 42’. epnficiauu". Nqbis turbàms quidcm urduplroposivlionum

vidlcuur.’ oulueg autem ha: proposiliçnes zinnias esse,

tu); adducimur, ut credanwsz l l

ç .unau SEXTUS.* 3l!angulo EON; et si maior est cirtumfereutia Bel lir-cumferentia EN maior est et angulus 311.! sanguinEQN; et si minon, minou, quatuor irritur distend-tibus magnitudinibus, duabùs quitlem jcirtuxnfere’ntüs

tBT, EZ, duobus veto angulis 131*113 E92! sunnptat ’

gant circumfetentiae . quidem. BP, et anguli Bill1aeque multiplicîa, et B41 circumferentia et Blltnfv an-gulus, ipsius vero EZ cirbumferentiae et ipsius 156Zanguli et EN circumterentia et [KG-N anguhts; et os-tensum est, si sapera: circumferentia B11 cirrumferen-tiam EN, superareet angulum 19H11 angulmn .196) Net si aequalvih aequalem; et si minota minon-cm esse;

PROPOSITIO XXXILObs. 1. Rob. Simaon. manet enunciamm propmitionis

l V1. 26. non esse satis, generalem, sed cum en diatn senau aluni..posse! quem inldicavimus in Obs.j4.v ad Vl. 26. Addit, forte«tiam mm EuiisSedemonatrationem prepositionis V1. 26- ("4rectamv (dvivelîsçm ab ca, quam Clavius habet,’ vide Obs. Ü-

nd .VI. 2G.) Deinde exhiba aliamïpaulo brçviotem. demonstva-.

lionnemt propositionin V1152. in hmm mloduni a Sil); duo. tui-angula. 1192, 2H1; (f. 398.). quorum duohlatega. 49,92- dua-bus latcribust HZ,HT propagtiomlia sintl se. sil. tu 119. ml92 in HZad III’; pat-allah autem Sit- 9.12 ipsi HZ, et 02. ipsiIIP: erit 421w zp in directum.» Datant r1; pal-511.13 ipsiZH (I. 51.) occurratque. recule 62 ptodnetae. in K. Quonîânt.

. igitur [111311116 A9, (A: paraUeIa, est, insiIAZII, emnt et A9,Kl’

inter se Parallelao (I, 50.),thun’e anguli A632, ZKF sunCinu-rse aequales (I. 2.9.), Est autem .40, ad (02e ut. (ZII ail” HI;1,1- e- (I. 3-1), tu) I’K ad KZ; et,suut ciron manille-3 angutos;ergo (VI. 6.) æqxliattguln 5mn A92, TA?) trianguln, et lump-xhlm angulus AZQtaequnlia est anguio LZK, est autem fijZKl’eau huez; igitur AZv-ipsi [Z- en in directumv (I. 11.). Opo

luths Progositiouisx and; VIM 26. in dgnjuusudlt Sik du;

t

(in - çnæmanroxun6716 EGN’ au; si 3’01], ïmr au! si adaowvfêldootbw

(mm ripa de Bl’ négatps’psm 7!on fait! EZ, 017mm 1;

(tu; BÏII’ 70min n96; nia! 6nd EGZ. i411, chai12113 [un 7min 71969 "in! 69:6 EGZ off-mg 1; tînt;1311! 27969 ’Iprjv 157:6 EdZ, ômlam’wv 21029 éxmæ’çu éna-

n’ççzg? nui 0:9 159;: 1] Br nsgtqrëguçc n96; rif? E73

tu u t aux 07-! du 1;- ôBHF («l’ai "KM «n’y tînt)h4.9.1360 7:11)ch [z y Luogk,ÆQZ, 1a) 1; 6nd BAFnQôg Mu à"; E42,

731 (foot. ms îpotë attable ai renvia; tôt! aütdfl8’1th 2.6701! 11113 negtqsget’atg, ërp’ tu? flefitj’xamr éu’v

le 9196; fois ué’wgmg, ski-v Te 7106: mn- éteçtgtsçsz’mg

du; fleflmwîaç. ’Omç è’d’çt Ûaîâua,

parallçlognmma simili: et similiter peut: mmmunem habitaun; anguhun aut angulm ad venîcem opposites; cran: illommdiqmetri in un; linea. Primo, habeant parallelosrammn .401241:29 communem nngulqm 11,44, sintque simjüœ et similiterpotin, arum. 118174, 41279 cit-ca 33,1!de diametrum. Produ-cmtuf enim 52,1" Z ad H,K et iungantur 24,21". Quoninnigiçur signifia un: 411114, 4226 parfilelogrnmma, agit 44 ad

z P37g.

...cïs’

.48, tu Q4 Id JE; quam reliqun 49 cri: rçliquam 3B ut ’94 ad JE (V. 19. Cor.) En. autem aequnlis ipsi ZE,EBipsi par, tu .41; ipsi ez. Ergo ut zzz ad tu in .4 92;et parallelne quul ZII, PH ipsi: Je, 925 a: triangnln 492,sz fiel. "Hum angulnm comBoqitq sua; in puncto Z; quamcrut", .42, ZF sjbi ipsi: in dirççtum (VI. 52.). Secundo. lin:parallelogramma K21! F , 92124 simili: et similitor posita, ha-bçilqlqlle ausIIÎOI KZH, E20 ne! verticem opposites; cum:étament: Al, ZF nibi ipsi: in (liteaux!!! Quoniam enim. pa-mllolac un]. Je, 03 ipsi! 2H, HI", et est Je Id 92 ut 2H9d 11?; quint dz, ZF in directqnlt (VI. 32.), »

Obs. 2, Clavius manet, ut Vera si! PrOPOIÎCÎO. V1. 53.

duq un, a." quibus 59mm en. trianguh, in accungm unqu

1.18511 SEXTUS. -3’l3est ijttur (V. Def.5.) ut circumferentia B? ad cireumfcqrentiam .EZ ira ,angulua BHF ad angulum EOZ. ASed (V. 15.) ut angulus BIII’ ad angulum EOZ itaangulus BAT ad angulum E42; duplus enim men:-que utriusque; (HI. 20.) ut igitur circumîerentia BF adcircumferentiam .EZ in et angulus BHF ad angulum

EGZ, et angulus EdF ad angulum E4Zeî

ln aequzdibus igitur circulis anguli leandem dhabentratïonem quam circumferentiae quibus insistunt; sîvead centra), sive ad circumferentias insistant. (2110:1.oportebat ostenderet

angulum composite esse debere, ut marque angulorum a lente,filma proportionalibus comprehensus alternas Lit Mi (même,æcundum quem tlfiangllla componuntur.

d [PROPOSITIOXXdXIILObn. 1. la praeparatione demonstrationü 10cc; arcuum

Il, K4 areni DT aequnlium nngnli TEK, 1014 auguloBHI’«guzla poni possuut iubeü. Modum hoc faciendi immedialedans: L23.Modua prit» faciendi nîtitur IV.1i I". 281 imme-diate autem non exponituri niai addere velir ut 1V." 1.. Con.

(PagidererJ ’ la 0b a. 2. Si injurie seéunda propositionis sectorex cocufiantaemipireulo aequalea au! maiores, biaecando, illî facile ad sur",tout minores semicirculq reducentur. Cacterum angullos’ gib,bos eçiam par damonstrarionem partis primat non excludj

passe diximus ad HI. 20. LObs. 3. Ex hac propositions aequentîa adhnc derivan,tu: Corollaria, ’qune mm apud Clavium, Tacqllemm ,I Bach.mennum, Pfieidererum, aliosqne. l. Ut est angulua ad cen-uum ad quatuonangulo; rectos; in nous isti qngulo mbtonsus

3l4 i ELEMENTORUMI, 11570) Q du nui ais 7; ET negtqtëçaw izçôg 7&sz

[mentionnai 017th d HBT tomai; n96; 16v QEZ

k cope’a. i li ’Errsçctizfiwaw 7&9 al ET, TK, midncpâëwwvêni raïa! ET, TK nsgtmeçewîyww E, 0 Gîflœl’m’v, i

âneçezixâwoav ami a2 DE, En TO, OK. aKui garai Mo ai 13H, ET rivai mais TII, HK,

Écrou sial, ami yww’ag i’oag neçit’xo’vov nui fichus ET

cg" TK émia! (on, ami i’oov fini 2) nui 16 BHT 191’-

. 7mm; 14,5 HTK çgiyoivçh Kai étui i211] écrirai BTnegupëgua 11,: TK àeçzqnegel’çç, ami ni 1mm) 1j sic rôv

67.04! ABT utiulov negzqar’çam ion inti ïfi Mimi (risi; r67 miam! 215x104! neçirpwez’qg 3). aigre ami yww’à a;

13m; BËT rfi 6nd Ï OK ébahi hm," 5,40m aigu êoril fui 35T 17677,54! r55 TÛK (clubman mai sic-w ëni ion"!

aidera?» vair ET, TK. Tri 0è 1311i i’owil 5151981454!

5,100100 unifiant minium! inca (illyrflozg écria" i001! pipa301i T6 EËT quipos riff T OK Tfl’q’jluït. ”.Ea*n 6è

ami r6 BHT 19:70;pr 755 HTK (591706qu i004» gai,5109 6’90: 6 HBT velum); 511p un" HTK Topëî i009foriez. moi me? ufiroidæi ami 6 (1,1L! mixa-213g énoètëgtq

1) Peyrârdua in Praefar. ad Tom. I. ait: ,, In zen-cru "unemanuscripti 190 val Cod1 a ncquaquam agitur de -c1rcu arumsectoribus in ultima acxti iibri. propositione. Mana: alil’nainter [incas et in margine manukcripti exaravit omnia qua: ail:ecrorstrertinent. et quidam, ut in lent. Variant. addit, voca-bali: contractis." Quum igitur polte’a ad Cod. a provoœtPerrardus, id sallim. de leçtione in: ad marginem notant in.tel igi debet. ,

2) Pro: faon; 59a Sari and vulgo habent, legendum esse;sa) Foot: and recta manet Ho . Simson.. 3) Ira. leg. .Gregoxius, cuîus Iectionem hic restitnîmus.

’ ’ t t a c. w a q. ,Peyrardua ex Cod. a habet: mu 1; 7.01277] 1l 6970H ul.or amidon.

v u y v a» u 1 a u r . lflêgtçieêtü un) and in 10mg] Il] a: un! 01.011 nanar mgnpepuç.

ad totem peripiteriam! et vice venta1 Nil miam, ut angulus

x

Liman surins, ” 315a

Dico et ut circumferentia ET ad circumferentiam. qEZ ita sectorem HEP ad sectorem OEZ.

Inngantur enim ET, TK, et sumptis in circumfe.rentiis ET , TKI, punctis E, O. iungantur et ES.

3T, ’TO, 0K. - .Et quoniam duo EH. HT duabus PH, HKaequales surit, et angulos aequales comprehendunt;et basis ET- baâi TK est aequalis et aequale est etiam

* triangulum BHT tfiangulo (I. IITK. Ethuoniamaequalis est circumferemia ET circumferentiae TK, etreliquat circumferentia quae complet totum circulumABT aequalis est (3 Ax.) reliquae circumferentiae quadeundum circuium complet; quare et angulus EST an.gulo POK est aequalis (tu. 27.); siniile igitur est (in.Def. Il.) segmcntum EST segmenta TOK; et auntsuper aequales rectas ET, TK. Sed similis segmentacirculorum super aequaies iectas aequalia inter se surit(1H. 24.); aequale igitur est segmeututn .EEI’segmento

T OK. Est autem et triangulum EH T triangulo HTKaequale; et tatas igitur senor HET’toti sectorin-ITK

ad centrum est ad angulnm rectum , huron: isti-angnlo lub-zeneua ad quadrantem oirculi. 2) Diversotum circulorumr nousqui «squales subtenduut auguloa, five ad centra, sive ad peripheïrias, suuLsimiles. Et vice versa arcua aimilea "qui!" angulon nib-tenduru, ubi nempe similes duorum eirculorum area; dicunmcü, qui ad integras circumferentias, quarnm pane", çoilçtjmum,

eaudem utrimque rationem barbent. 3) Dirac semidiameu’i aconcentricis periplieriis nous auferunt similor. 4) Iliacoinnititur vulgaris ratio Illglllûl mçtieudi par ’nrcua, qui illualsubteuduu. Si enim, dans rota circumfcrenlia cuiuswunquecirculi divisa in certum numeruxn partium aeqqrh’um v. c, 360,qui gradus vacanlnr, diaquiritur ope histrumemi goniomctrici,

K

L -am [LEMSNTOIHJM’ w

, «n57. TIK r. HI’B î’oog émir ai mais J905 topai; oi

H81; HI’K, HKA ïaop cubilots viciai. (luirai agha?(M; and 1,7 ÛEZ, GZM3 GMN top-aïs î’ooa dllqi’lozg

Ieioîv"ôuu.1haoiwv taïga 30th a; RA mgupëgem 17k.BF neplqlegcz’uç; zoouv’tmzlum’mv 607i and 6 HBjI

tancés un: H131" toloe’wg. lui mû MÊME à) notifica-

7110:0in écu-hl fi EAT nepnps’qew mîg EZ ncgzçspeîaç,

vouavravzhwz’mv inti ami 6 GE N Tapez); won? 9E270,651»; Et. 62,96! 5’01] 50’551! 7; 311 negupæ’gem 117.)? EN

fleçtqacçsfgt, ïaog inti ami ô H311 10m6; 196 QENrapt? ami a" 137159416: a; BJl-negzqop’gam 11:9 ENneçt-

mepu’àç, 1576695181 mi 6 H311 mimais 1’017 QEN myélog-

mû ai élieiwu, élis-57161. Tsmùm’gœv à); 51mn! peyaâaîr.

360 un 103v Br. EZ wægupægæwîy, 6-150 8è m’a! H8 n

0E7) roluz’my, eïîyynwnîodmg nolâunidm’a Ü luis un

Br wzgtkpçgelag, nui coti HEP qutzëwg, izba B11 na-(nrpëçuçt Zizi ô 1113-1 TOpeÙg, 11:9 (ÎË EZ nagtgpsgsl’aç

mi un] QEZ 10)!le 4’06ch nolÂanÂoÊom 1), 071:6 EN’

"coagulum ami 6 ’9EN falztalïg. Kai Üëôemmz (in si177Iççt.;(èl 1; LUI 77.1.9441 595m 11?; EN angupegal’ué, fianç-

J’Zu .262! ô 171le ioloeôg 1m? BEN Toyëwg’ nui si hm,

îaog’ hui si éllslnu, fusiner è’arw d’oc; uîçæiBEyu-

QIWIQHŒ 7506.4: n)? CEZ 017*sz â HEP ’IOflEŒÏQ 27965

16v ÛEZ wye’çç.

1) Verbjs :1 faim: aloüanlàam addenda 8534:1 ë (au, reçumon: Rob. Simaou.

que: gradus tint in duobus arcubup circuli andains, peut yerV1.. 35, rationam nngulomm, quns hi avens Iubteudnmt, innumerjs exhibai passé. Et si unus augulus considera’qlut. et

nanan; graduum in "ou. Id cum pertinente inventas en:

un": sen-us. 317aequalis est. (2. Ax.) Ex eadem rationeetsectorIIKAËunique ipsorum HKI’, HPB aequalis est; tres igitursectores HEP, H176 HKA aequales juter se suubSimilitel- et aectores 9E2, GZM, GMN aeqnales in.tu. se saut; quam multiplex igitur est circumferemia 13.4 circumferentîae Br, tan: multiplex est et sacqu-HBA sectoris HEP. Ex eadem ratione et quam mul-tiplex est circumferentia EN ci’rcumferentiae E2, taramultiplex est et senor QEN sectoris OEZ; si igituraequalis est circumferentia Bd circumferenlia’e, ENaequalis. est et sector [1le sectpri BEN; et si supe-rat circumferentia B11 circumferentiam EN, superat etsector HBJI sectorem GEN; et si deficit, ».!eficit.Quatuor îgitur existentibus magnitudinibue, duobusquidam circumferentüs ET, EZ, duobus vero sectoribusHEP, GEZ, sumpta suntaequemultiplîciaipsius quidamtircumferentîae Br et ipsius sectoris HBBICIrcumfe- Irentîa 311, et nectar HBA, circumferenliae vem EZet sectoris GEZ aeque multiplicîa, circumferentia ENet sector GEAÎ Et ostensum est si sapent circumte-renfla 3A circumferentîam- EN, superare et sectoremH311 sectorem OEN; et si aequalilsisit, aequalem esseet si deficit, deficere; est igitur (V.,fDe,f.5..) ut circumeferentia B1", ad. circumferentiam EZ, ira sector HEP

ad sectorem GEZ. t ’t

coxtàtat ratio anguli m1 4. rectos par un I. Sit’ e gr. numerus ’

graduum, quos Item habet z 45, ont angulus ad cum arcutnIperlinem: 4 raft. 2:: 45: 560 :1 l: 8’. Caelcrum locopanium val graduum, in que: vulgo circuunferenu’am qunmvcnnque dividerc salent, recentiores Cam eam tu 1100, ddeoquolqxtàdrgntem in 100 pattu aequales dividere instituerunt. 5)[V1.-mura quoque angnlomul circula imistentium, quorum

r

318 ELEManonumIl 0 P I 2 M .-

Kaî (kilo? sanza; «Je â topez); n96; 16v zonée:051019 étal 1; rutila 71969 mimi ywm’av.

vertex intn vel extra. circulum est, facila’hlbeturper summumvelv.difl’erentiam.arcunm, quibus insiltunt. 6) Intequaliumeirculorum nous sunt in "Liane compatit: ex rationibus an-;ulorum Id centrum’et pariplteriarum. Denique potandumest! apud Chvium’ad calcem libri V1. plats ndhuc aldinun theoumus etproblemlta, quorum malta vannant cire:

I unau sartas." 319Il ’VCOROLLAIBIUM. .,Et manifestum est (V. Il.) et’ ut sector ad seetorem

in esse angulum’ ad angulum. ,

inventionem superficiernm proportionnlium. Et Inn: guident.me, ut Clavius ait, sein: non iniucunda, et lagmi adam conninnumerus. facile poterne a scriptîs vota-nm et recentiorum Mrthematicommt At mentons, ne: in Elmentis Venu-i, mohai-sur!" nimü eue.

EXCUBSUSl

A!) "ELEMENTORUMIL. V; et maxime ad Def. 5. et 7..

A primis inde :littefntum in Eutopa restitutlrum temporibusad nostram usque aetatem baud defnere Mathemntici, qui inlibro quinto Elemenlorum Euclidin malta diflicilia, obscutu.baud suis explicata esse contenderent, quum conta alii huneipsum librum pulcherrimum ingenii Euclidei factum indictarent. Gravissima autem dubia, que eontrn demonstrnüones

’ in hon libre obvias affurant, ipsa fundamenta, quibus illae ni-nmtur, spectsnt, dcfinitiones uempe ruionum tequaliuiu au:ixiaequalium, et ad luce fera redcunt. Euclidem aiunt (v. c.Botellus Euclid. restitut. L. Il]. Ax. Vl. et que ad illud ob- Vtenu) multifru-iam ratioucm et proportionem (sut, ut elii di-cunt, pruporlioualitatcm) magnitudinum delinivitse duplici mu-do, primo quidem’fin libre quinto, et aliter deinde in libroseptimo, quod ipsum indicio sil cum sibi ipsinou donintîsse, au:[tu]: in primis isLis Alcfiuitionibu: ipsum sibi non satisfecine.Barn autem yotissimum delinitionem raliùnum acqualium au:iuaequdlium, cui integer fera liber quint-us superstruatur, nemlJe5. Def. V. et 7. Def. V. esse subobscuram, nec nattai-am leidefitiitae unis dadaïste au: distinguera a quavis ailla, et no-tissimas ndco magnitudiuum proportibnalium proprietates in!deduci non passe v. Cd propositionom: si quatuor maguitudiuev,propos-limules fueriut, et prime saperez secuudam, tertiam gno-que necessfl’io acculera quartant. Defoctulnliaulem delîuiti-

z

AD 8L.V.DEF.5et 7. ,. 321anis Sue et 7mn in sa potiuimum latere, quad es quse inbis Definitionibus de magnitudinibus, quae candem au: nonessuient ntionem inter se hebesnt, licantur, non sint proprietnprimslet omnium notitsima, quse istis mngltiluJinibus eampe- 4tu, qualis amenasse debeat ills, quse definitionem scientifiosmconstitua. Plut: alia adhuc cal-pi: in bis definitionibus Tliorn.Simpson, de quibus infra videbinius. Consulte omisimus (il)-iectianes manifesta faisan, a Rama, iniquissimo illo EuclidisreprehensOre sliisque factss, qui male intellecla Euclidis deli-nitione - in quem errorem s Campano (vid. obs. supra tu!Def. V. 5.) influai fuisse videntur - alumnîantnr Euclidsmgenerslem datorum proportionem definire par specialem "qu.-multiplicium proportionem. Et fartasse falss in; Cumpani ext,positio causa fuetit, eut multi primo post flueras remuas lem-pare Euclidem male intelligerent. (Cf. Barrow; Lectulfiôfi.Lect. VIL) Tacquelus etism plus: (Elemenr. Enclid. Geo-metr. plusse se salicine L; V. ab initia) Euclidis definitionemnon naturam sequslium rationum ses! affectionsm solummodoaliqusm expiions. Et illsm mnltiplicium propriemtemAdduci vel tanqusm signum infallibile ralionum sequi-lium ut, quandocunque à. demonstrata fuerit de quibus-vis rationibus, infeste cet-to lient, sequales en esse: valcum illius sensum esse,.ut par magnitudines enndem ralin-nem, ltabentcl nihil aluni intelligi velit quam en guai-unmultiplias-mode in!!! dicta excedsnt vol excedautun Si prias,demonstrare debuisse Euclidem, eam sflçctionem omnibus etsoli! stationibus sequalibus inesse. Id veto nec Euclidem necdium tqnemquam demonstnsse. ’Si posterius, secnros nosquidem esse de vetitste theorsmstum in sensu deliuilionis 10’ceptorum, minime tamen ex vi demonstrstlonum nabis con-state de sbsoluts rationurn sequalilate. -- Taquetus ilsqueîun-damenti loco samare videtur, sliuntle constate, quid sit ratio-num acqualitas et demonstrsudum esse, cum vulgari isto couceptu de ratiounm aequnlitate necessario caniunctcm esse un. .quam ’Euclides alleu, propriettttem, et vice versa. Endelufare redire videntur, quae Gelilasi manet (vid. ptjncipio aldin

mais. Flement. r. u. X

.522 nxcuasus’ lQuint! Giornsts 11cl Galilea dettats ad Eving. Torricelli-inElcm.*Euclid. Ital. edilil n Carlicri Flor. 4769. p. 117;)qui in habet: Quodnsm ingenium adeo felix est, ut entasciat, quatuor msgnitudinum proportiOnIlium sequemultiphscraper (Euclideo mare) inter se oonvenire? Aut qui! novît.istn aequemultipls non sampot. convenire, etismsi hue me?njtudines n0n sin: proportionsles? - IEuclidls itaque muaassertum Theorema potius esse ait, quam delinitionem. Etvaria hsec contra Euclidis theorism (lubie slii allia modo evi-tare vcl refellet’e studuerunt. Arque ii quidemg qui nulleEuclidis rations habita diversam ab eo qtundtatum promu.tiomlium thcoriam dederunt, hue non pertinent. Inter cosautem, qui sua cum Euclide conciliare valuerunt, ii maximeperfunctorie vers-li esse v’idemur, qui ut Tacguetus, Torioel-lius, van Swiuden aliique Elnxims ab Euclide demonstrmIheorcmats v. c. 7. V. 8. V. 9. V. Axiomstum fera loco lu-buerunt, quippe quae declarstione patins subinde aliqua, quamdemonstratione egere putarent. Alism deinde rationutn sequ-lium notionem sumentes, demonstrare sategerunt, Euclidisnotianem cum en que ipsi usi eraut, convenire, «que ex endeÏ’ivari passe. Perfunctorie diximus eos in hacl te versstosesse. Neque enim hoc est demonstrare v. c. dans rationes,quae eidem tex-lias sequales sint aequsles esse inter se, si tantumaflirmaveris, rem ira se liabere, nec provocare licet ad Ax. 1.1.quam id, quad (le duabus maguitudinib’us valet, naquaquamspplicsri semper possit ad duas, que» inter magnitudines ob-tinent, rationes au: relationes. Ad demonstrandum autem Eu-cliilenm nationem retionum aequalium cum sus notione con-venire, plerique ut pet se clarum sumunt, datis tribus quen-titatibus A, B, C, dari semper quartant, cd quam Ceandem ra-

rtionem habeat, quam habet A ’ad B quad pariter sine de-monstratione, que rutione illa quantitss D inveniripossir, Sumerea ligote Euclidi solemni alienum esse videtni’. Id tsmçn.praeeunte Campano et Clavio, qui cseterum cum Tacqueto inbac re niliil commune habet, sibi petmiserunt Tacquetns.Galilsei, Carlieri, aliiqtie. Sucherius contra (Euclid. ni) omnimevo restilul. p.411 sqq.) quam maxime instar, illutl postu-

’w

"b-um

1m

AD en. V. par. 5. et 7. . 323Juan) in Geomelria samare baud Ilicere. Cf. Plieiderer.’ dedimens. Circuli P. Il. Mu 51. 52. et Rob. Simson in noussd V. 18. Plurajptaeterea lslia notant dignissima contre Tac-qaeti similesque slicrum obiectiones habet Barrow in Lection.Csntsbrig. habilis 1666. Lect. VIL à quibus haec adltup silen-mus. «Nulle, inqait p. 297 sqq., definitio rei cuiusvis nata-ram aliter explicst, quem aliqasm eias sffectionem uecessariamet seciprocam, id est, haie nostne puera, nssignando. Quicircalum e radiotaxi) paliure, tiiangalum e triant rectsrnimcancana spatium includente site. definit, quid allllll quam. figa.nrum istaram naturam ex afl’ectionibus quibasdsm suis ex-plicst? Nec dsri aut coucipi poum nature ab affectionibaseiusmodi necessariis distincts, iisve prior. Habere talem ali-quam,affectionem ipse rei nstura est, ei essentiale est, sans can-stituit. Unde qui dicit: res talem habens affectionem, eiusstatut-am explicst. Igitur Euclides cum pt’oportionalium effec-sionem necessariatn exhibuerit, eius naturlm,’qu’autum fieri

sale: et.potest, abunde declaravit et explicuit. Caeterum Eu-clidi reliquisque definitionum auctoribus lex iniusta ultim-possibilis figitur, scilicet, ut demonstrent, definitionis prnedi-ratant [subiecto convenire: non tenentur, neque passant iddemonstrare, sed gratis assumant, hoc est, sttribttto propriutusubiecti nomen imponunt ex srbitrstu sua. Num incumbitmibi demonstrsre, circuli nomen salis pares radios babemibusfiguris competere? Minime sera, sed iis omnibus et salis juremeo circuli nomen ndsigno. Eodem plane modo pro lnbilume (quàmvis non temere nec imprudenter, st certis de (nuisisinstit illis’et idoneis) seqaelium rationum nomen entubait.1:.fi10116l0ltîlç omnibus et solis dicta proprietste pneditis rani...-

nibus; propgrtionalium sppellamentum appropria: quantis"coneditionem islam obtinentibas; unde propteres hoc ipsum ratio-num sequsliam et quantarum proportioualium nomeu censeu-dum est iis omnibus-et salis congruent. - Unîcum est, quotlxlrfiniticnis autlor attendent tenelur (fixenlplù militer ml "munidurit tu! pey- enidentem discutant) attribuant definiüonis im-possibile nihil au! mare imaginariym complecti, sed revna plus!res existera pr0ptietate sans conditions supposim praetlilas. -

:324 i nxcuxsus"Clin igitur ’perfacile perspicueque prubari posait, idque punira

praestemr ab Euclide, ubicunque definitionem banc applicetmalt-ria. suivis de!erminatne.. dari quanta, quibus conveuiatlnn’uccq definitionis hyporhesis, nihiL amplius. en exigendum.

eique licet optimo iure quanti! iis omnibus et mu. propor-tionnalium nomen affigere. -- Caelerum quad, banc proprio-u(31cm propmlriomlibus accidere, theorema «se dicunt, tarpon-deo, quad secundum rem ipsum omnil definitio est theorema,prupositio scilicet demonnrabilis ex aliis subiecti definitionibusau: ex aliis reciproeis aEectionibus priul attributis subieclo.Vicissim omne thcorema poterit in definitionem compingi."Simili fera rationne iudicat Saccherius (Euclide: ab omni nuvovindicatun p. 125.): "Licitum est unicuique definire. proutipsi libuerit, terminas une facultatia, dum [amen ex un: panecos mmqunm usurper, niai iuxta Definiliones iam otabilitas;et ex airera accusan’ istae non passim de confusione uniusIermini cum ailero ii CF. idem p. 125. Reapse ctiam àlii baudnegnut, iure suc EuÇÎidem-definitionem mngniludinum. pro.-

punionalium eam, que est Def. V. 5. date poluisse, Il eamxamen intellectù difficilem, et subobscuram, et ab affectionealigna magnitudinum proportionaiium, quae minus obvia air,limitant esse puant, unde- lmnc Euclidis definitionem. val ex-plicate, val paiiter ne Tacquecua, fix’mioribus amen argumenté:

nec tut p:opositionibus Axiomatum loco habitis ’ex alia facili.

on: ennudem definitione quasi Theorema derivarc studuerum,quo facto ucmum scoute illa uti se passe putamnt. ’ Alguehi: ipse etiam Clavius annumernndus videtur. Quamvis enimiHc asserat, potuisse omnino Euclidem iure suc. quantitatesproportionalea au: non proportionales appellare, ut der. 5 et 7.stabilivit, et quamvis adam causam, qua permutas Euclide:illis definilionibus usus sir, afferat veram omnino ab incom-mensurabilîbus pedum, addît tamen, ex definitionibus istis 1mn

vidai conigi passe, velue magnitudiues, qnamm aequemultîphg cum conditionem llnbeant, esse proportionnles, vel non pro-

purliomles, etiamsi cas solum Euclide: volitita appellare. huquead excusandas Euclidis definitioues hac-c fera habet. ,,Si demngniludinibus saltim rationnabiIibus ,quaestio ’ fuissetnpotuisset

au u. Mona 5. est 7. 325omnino Euclides magnitudines proportionnalei codem modedefiniro le VIL 2b. Def. numerus proportionnales. Diacreinempe poteur: Magnitudines ramper-limules mut, cum pri-ma "candie et renia quartae neguemultipla est, val endempars, vol eaedem. partes, Ve]: cum prima’secundam, etrenia quartam aequnliter mutiner, eandemquo insuper il-lius partem, vel easdem Pattes. Et simili rations poterntdefinire magnitudinei non proportflmalos. A: quum irratio.nales quoqu’e complecti vollet, hm non mi poteur lm: dermi-tione, quod in irrationalibus maior magnitude nuque multi-plex «ses potes: minais, aeque eam semel, am aliquoties, etinsupcr aliquam ains parlem au: partes continue. hm purta: Euclidem, cum omnis proportio rationalis sivo mag-uitudinum commçmurnbilium si: ut propurüo numeri ad nu-.mçium, circumspexissn primum aliquid, quod cermm si:convenire quibualibet quatuor numeris, sivc magnituainibussandem habemibus proportionem, vel pou enudem, ut siidem ,illud convenire demonstretur quaiuor magnitudinibusadam incommensurabilibua, iure optimq maguitudinal illaequatuor Proportionnlel eüam dici posSinr, vol non proportio-nales, quandoquidem enhdem habent proPrieLarem, quam quas-liber magnitudinca commensul’abilcs; eaudcm habentes propor-

tionem, vel nonl enndem, mcessnrio lrabere demonstrunLur.Primum itague, mmtis proposirimiibus libri VU, que"; nullom0410 ex V. :5. nef. et V. 7 au: omniuo libre V; pendent,«tendit: propositis quatuor numeris proportionalibus, lum-lisque primi ac tartii aequemulriplis ingrat iguamvi: multipliacatîouem, item secundi et quarli aequemulliplis iuxta quam-cunque pariter multiplicationcm; si multiplum prlmi mains si:multiplo secundi, fore etinm multiplum tertii mains multiploqlurti; et si multiplum primi aequale sir multiple secuudilfore et multiplum tenii augurale nmhiplu quanti; si deniqul:multipllim, primi minus si: multiplu secundi, fore et multi-plia!) terril minus multiple», quart-I. (gland in demouurat.Sint qua’tuor numeri pmpmhionalrs a, l), c, (l. Quoniamjgitur

a:l)::c:d, cri: (Vil. 13,) permutaudn, a:c::b:d. hm, si.Y il. 17,) guiper.minium [unit un, mu. cri: mua: au

326 I nxcunsvsque, si oumtum fucri: th, id, cri: rb:rd:b:d, unde ex lem-mais quod Clavius habet ad V". 14, cric ma:mc:rb:rd, etpermutando (VH.13.) ma: rbàmczrd , unde, si mae:( 15,«rit mo):(rd, quad ex V". 20. Def. Conuquitur i. e. exvulgari numerorum proportionalium Delinitione comequitnr enenrum proprietas , quam Euclides V. 5. Def. exprimit. -Deindesimiliier demonszrat , si a: b)l: : d , sumi ponce eliquamultipla,ma,’mc,let rb, rd, in ut ma)rb, a: non monial, quad sarisprolixe avinoit. Iliaque ex vulgari numerorum non proportio-nnalinm Definitione conaequitur’ea eorum proprietas , quam l

A Euclidea babel: 7. Def. Y. Pariter deindo vice versa entendit,e Definitiouibus Euclidis 5. et 7. libri V. ad numeros appli-catis, consequi vulgates numerorum proportionalium et monpropnniomlium Definitioues. Addit deinde, in magniludini-bus , quae aliis incommensurabiles sin: ,I et quae ex Def. 5 , V.proporlionalcs slnl, eam ’plerumque reperiri proportionem, quae

in numeris exhibai possit, nec unqaam bactenus aliquid (315iau! absurdinex applicatione Def. 5. et 7. ad magnitudines in-

ieommensurabiles deductum esse , onde colligit, generaliter raclese llabcre Definitiones 5, ’V. et 7. V. Quae [amen argumenterioau kalis cens sir; quam maxime dubitamue. Coniecturn illa Polius,satisx forte probabilis, quam demonstratio mathemnzica fuerit.4 Giorxauo de Bilonto explicatiônè saltim. aliqul opus esse

putat, quo melius Definitio. 5, V’, qliae multi: obscure, et aprincipio ramon) peut: esse visa ait, intelligi posait. Halle lu-tem explicationqm seqnemibus Propositionibus Definitioniistipraemiltendis, facileque probnndis exhibai paseo punit:

Prop. 1. Si dune maguitudiues sin: multiplae-alicuius terrine,erunt illae aequnles, si nequemultiplae illius terrine fuerint; sinautem non aequemultiplae fuerint, en, quae tartina supins

confluer, mamr erit. I hl’ion. Vice nurse, si duale -mngnitudines,sint jualtiplae

,alicuius rcrliae,lsintque istae magnitudinen aequales, erunt il-liu: terrine aequemultiplae: sin’ autem fuerint inaequaleénma-

iur èaepius eandem tertiam continebit, quam miner. lFlop. 5. Si sin: dune magnitudines A, B duarum C; D v

acquemultiplae (v. c. Asz, B:m D), et sin: alise dune

AD en. V. ou. 5. et 7. 327E, F parfiler aequemultiplae earuudem C, D (v. c. E:rC,F.----rD), erit, si A):(E, etiam B):uF. (i. e. si lmC):(rC , "il: etiam mD):(rD ). IProp. 4. si sint 4 magnitudines A , B, C, D, sitque priame A aequemultipla ont aequesubmuvltipla secundae B, ne ter-

. scilieet, si 1&sz, et simul C.-.-mDV vol 45-53-13 vol CzâD a,sumantur primas et tuties qusecunque aequemultipls F! Us

tin C esi quarras D (

(pute F::pA, GzpC), et secundse et quartas aequemultiplaH, I (v. c. H::rB, 111D) erit, prout F);(II, miam05:0 (Le. prout plissois, adam peul-«D»Algue hies iam sufficiunt ad probandam DeliniLionis 5, V.possibilitntem, cive ad ouendendum , ut Barrow lit, auri-butum delinitionis niliil impôssibile aut more imaginatium ,com-

plecti, sed revers poste res existera propriume sen conditions,enpposita prseditas. Simili deinde rsti0ne possibilitatemLDc-

[initionis 8, V. oltendere studet. .Galilnei (in Dialogo supra’ citato) primum quatuor

magnitudines A, B,-C, D proportionales esse dicit, si vol.-.-.B, pariierque C21), vel si AzamB, et CçmD ile; si

primai .secundse Bkaequemultipla fueri: ac terris C quartas D,val, ut postes (ut Definitio irrationales magnitudines quoque

.eompreliendat), et faire minus perspicue dicit, si excessusprimae A super secundsni B similis sil. excessui terrine C su-per quorum D.’ Algue ad hune casum invertendo reduci pesseni: cum, que prima minot si! secunda, et terlia miner quarta.Idem: deindo Definitionem ( quam caeterum irraiionailes quo-que magnitudines clare satis domplecti vix putavprim) cumEuclidea convenire osteudere vult hac fers ratione. Facile p.1-tere ait, si A:B:C:D, fore et 2 A:1l:2C:D, et gene-raliter mA:B:mC:D, parilerque A :2 llzCzl l), et gene-IalilerA :pÛ:C :pD , et adliuc Ëeneralius mA : szzmc : pl),unde ex Delinitioue (inlilaei comequaiur, si si: A : R20: l),adeoque et mA;Pl’»:mC;pl), fore et, quoliesmA):(plâ,.imul nice-:qm , ,quae sir conversa Dcliniiiouis Euclide»;"sec est Galiluei hop. l. l

l

’ .

i

.323 i laccasesSimilner deincle, poslquam quatuor magnitudlnes A, 8,0 :D

non propui’liOnâllat esse ldixeret, si A aliquante lanier fueris en

’magnimdiuc A-E, que in campent: est, ut AË-E:B:C:D.ex hac Dcfiuilioue salis prolixe ostendit, conaequi Convernmnef. 8, V. nempe mm esse pesse aliquando mA)pB, quam-vis non sir mC)pD. Sumaiur nempe magnitudinis Etalemul-tiplum mE, ut. si: mEoB, pariterque sumantur magnitudi-num A-E’, et C aequemultipla m (A-E), mC. Puits! au-matur maguiludinis B tale multiplum p13, uuod ex multipliamagnitudinis B primum meius sic magnitudine m (A-E 3, innempe, ut lit quidam pB)m (A-E), ne (.p-l) BÎm(4*E), Vel, (1qu codem rediL, m (th-E) (p-1)B; pa-Iizerque magnimdiuia D lumnmr aequemultiplum p. D. [unsi addanlur 111E et m (xi-E), cri: "enrum sumnia , .nempe mA

(oh mE)B, et m (il-E) î (p-i) B) semper ) pB. Al,quum A-E:B:C:l), erit ex (ialil. 13ml). 1. quotiesim

. (11-45) (pli, etiam mQ(pD. SumLum autem est m (A-E)(pl): itague necessario mC e120, quamvil sir mA)pB. m;que , si quatuor magnitudiues A, li,- C, D non proPoriiona-les sunt, sempar talia aequomulciplu primas et terrine, pari-!erque aligna acquemnliipla secundnc et quartais înVOniri pol- Asurit, un: si: quidem multiplum primae mains multiplo secun-dae, a: multipliim terrine non mains nulltlplo quartas, queest Converse 8. fief. lV. scu Gslil. Prop. 2.

Hi. prao-minis, fan) Definil. 5, V. et 7, V. ex luis De-finitionibus consequi, in osts-min Galil aci. Si sin: 4 mag-nitudinesÀA, B, C , Dira compamvae, in, quoties mAmr-nPB’

criam* mC):(pD, erit A:B::Ç:D. Si enim nm: si:A:B:-.Ç:D, si: e. g. A maint ce nmgniludine A-E, queira’mmparata est, ut si: A--E a 820:1), poteruntque ex Pro-iyosiiione Galilfiei 2 malin acquemultipla mA, mC primaeac terrine,- parilerque quuemuhipla pB, pl) secundae et quar-l.ieinveniti, un si: quidem ruÀ)pB, a: non simul mC)prquad est contra hypolhesiu. Aique hncc est (ialilsei Propos. 5.

influer denique Delinilioiiem 7, V. ex suis Delîuilionibniin duducil G a l i l a el. Siv sim il nmgniludines - A , Il , C, 1)

l

A!) n..- V, pas. 5. et 7. l 329 ,in coupantes , ut si: quidam mA) p13 , et non sima! mC)pD,erit A:B)C;D, val A maior erit en magnitudine, quae incampane est, ut ad B eandem rationaux hibou, quam limbe:C ad D. si enim A non maior est ista maguitudine, illi ans

l aequalis, au: minot sa erit. Si illi aequalis sir, exit ex Prop.1. Galilaei, quoties mA)pB, etiam mC)pD, guindes:contra hypothesin. l Sin autem prima A minor lit en magniqtudine, que: ad secundam eaudem rationem babet, quam untin babel ad1quartam, id indicio est, tertiam maiorem esse sa,quae ad quartant enndem habet rationem, quam prima ad secun-dam. En: itaque aliqno C-.Eita comparus, utA a,B:.C-E :1)nadeoque ex Prop. 1. Galilaei, quoties massons, eritm(C-E))---*(pD. A: posuimul mA)pB, .iuqne’ exitm(C-E))pD, unde multo nia-sis mC)pD, quod est son,ne hypothesin. Fieri igilur naquit, ut A non nuior sit samagnitudine, quae ad B candem rationaux liabez, quam Cari D A.maior itaque erit, sive erit A:B)C;D, quae est Propositio;

4. Gal il ne i. i lBorellus autem, de cuius dubiis contra Euclid is me-thodum mox videbimus, patito: ab alia magnitudinum PÏOQportionalium et non proportionnalium’Delinilione progrediturzdistinctis rasibus, quibus illae magnitudines vel commensura-bilea nuit, Avel non. Nempe si quatuor quantitatum prima;secundae , et tertia quartae aequo multiplan fuerint, vol eadempare, vol eaedem parles: quatuor quantitates vocantur propore -tionales commensurabilea, et proportio,(ratio) commensurabi;lis quantitatis primae ad secundam eadem vel ’aequalis propor»

tioni;(rationi) quantitatis tertiae ad quartam. sin autem quai)». du: prima maior (val muter) fuerit illa quantitaie, qui» si t

secuudam candeur rationem commensurabilem habet , quamtertio lnbet ad quartam: vocatur ratio primas ad secundamimasior (vel minot) commensurabili ration: tartine ad quartam.Si ver-o quatuor quantitatum antecedentcs fuerint incommensu-rabiles cousequentibus, et ratio quantitatis primat: ad secun-dam maior (minor) fuerit, arque ratio quantitatis terrine adquartaut minot (maiolr) sit eadem tertia commensurabili l’alin-

330 nxcumsaa1m: vocaux ratio primas qumtitatil a8 necundnm maint (mi-not) in; incommensurabili talione, quam tarti: babel: ad

I (Inn-nm. Douiqueisi hi quatuoç incommensurabilibus qùanti-v llaliblli ratioflprimte ad Iecundam non Écrit maior nec minot ,

on rationne jncommemurabili, quam tanin haha: ad quartam:lulu radé Àncommensmahilil 4primaç ad secundam eadem ive?

«tu: ratinai terme ad; quartam , et quatuor istge qumtitnteavoulant proportionalcs incommensurabilesg Hi: ide’gnde Defi-

,niu’onibus 3mm proponionalium theoriam superstruit, et denique ad finem libri Euclideas LDefinirjones ut theoremnn esuit deducit. Et ipçe etiÂm Bain-ovins indien, oins mathe-dum in se spectanm admodum pulchram et elegnntem que(111. ,c. p. 855 et 514.) et, si nulle daremr dia, haberi pensepro milicienne ac satin absolutn, né fuisse cum in sua maho-do oxstruendn foliciorcm quam in Euclidea dirq enda. Displi-cet amen ci in Definirjonibus Boxelli generalis aubiecti di-straclio . et par iuferiom circuims, quam dari possit’ et abEùclide exhibentur rationaux aequalium omnigenarum ( ut et(inaequnlium) proprielas aligna genenlis, ex qua ponçant uni-vornliter definiri. Minus plach rationum incommensura-bilium negativa Definitio, et praepostérum videtur ex inaequa-liure de nequalitate statuera. Omnis porto doctrina. prolixior,ct damomtrntiones plerumque apagogicao anfractuoue viden-mr. Deniquè potiuimum displicet Barrovio harum definitio-num ad Ipecialea manias applicatio. Non enirn, ut apudEuclidemw. c. in 1, V1. au: 35, V1. defiukionum ope statiminnotelcit, au: ex ifs promu: dcducitur rerum proportionali-

Jus, sa! ex intermediis propositionibus, iiique non adeo,com-prehonlu facilibus, et par indirectàm argumentaxionem com-

, probatis demonsu-atur. Ad cas autem, quns contra Euclidisdoctrinam Borellus affert obiectiqnes ,prgeter ca, glue suprahabuimus, Barrovius lipome: (p. 314. sequ. ce". p. 505.)Vub-acutitntem illam, quam Euclidi obiiciat, vel- in te ipsa posi-(un une, Val ex interpretum incuria, vcl a discextuium culparepetendam «se. Rem ipsam quidam habero omnino aliquid

- difficullatis propter asymmetriam quamorum; sic ut uèmo non

i 4D en. V. un. 5. et 7. i " .3131ardunm esse imanat, affectionem aliquam proportionliiitunurique cougruam deprehenderc, defiuitionem aliqualml giflionsi’ationum neqxtalitates compiectentem exhibera. Quod et .iiinc

pateat, quod puccinia viris huic morbo" remodium udiiilinereconniois bietenns acciderit, fit vol nihil pracètilgnrint minimasufficieus, au: viis iristiterint prolixioribul; neo minusvinilpn-ditis, et implicitis, au: metimdos saltim triadideiinlt culpaeycuiquam. graviori subditas: Icaeterum EnclitiiJ Inti): esse oin-riasima, nuliam in vocabulis amphibologiam, nullum. a [frôli-xitate taedium , semperque direbzissimum adliibeije’discuisum,bine tamtam obscuritatem au: difficuitatem tabassa noupnsse,niai guis arcanam, nescio quam , naturam , ’omni defiuitioibm

ingrefiiente Propirtiono priorem, quia cette un": oit, lom-niai-o velit. lute jantes ’bmnino rem "omnem exempiis illuâtÏi-

bus le; appositis illustrarq dobere, nec cos forte ab omni euh pa liberari .posse. 1Maxime veto dis.centos sibi plerumqua de-nesse. Quum enim definitionia verba ciarissima sint, quotus-quisque tnmen siL, qui iis penitus intelligeudis opèram nuiez,qui tamam a sur) otom’acho patientiam impelret, ut trium li- ’

neoIarum semum accul-are perpendat? .Neque vero (ibid. p.319.) Euclidem «pajoter definitionem suam 5. V. insufflaien-tem iudicasse, quoniam in libre VIL adhibuexïit aliam. ’S’ibi

minus probala , neclum improbata prufcrre abliotruisseisnneab Encfidis ingenio. Contra phtius, quia aeplimi libl’i deiini-lionckn omnigenae proportionalitati dèprehendcrit hmd on)».petcutem , salis impute symmetrorum proportioiùbilibus adap-Itabiiem, banc vero compererit universis cousu-mm, idcifeo,dum hic ioci generalcm iniret analogie": tractazum, il]; reiectaliane ampléxatum esse iure meritoque. Hiam veto (20. nef.VU) symmetris proportionnalibus applicuisse non tam noces-isilatis quam comnmditalis gratin, quia nonuihil ad.vulgarem(aptum istius apecialis mazarine râpent: facilior ac simplifiervisa Inuit. - lIis, quae Barrovius habet, addi putest,’mulàlis edimribus, et praecipue Rob. Simaoni, ut supra diximus,Defin. 5, V. et 8, V. in quibus pariter de rationlibus et u-Liouùm acqlmlilale sermp est, sertis add’nauicutum «me vu:

.332 aunantand. -- Unique Ban-ovins addit, 4]qu Boulin: ctiminetur,[minimum Propositionem: si quatuor magnitudinu proportio-ndes maint, et prima lapent «candela, tertiam quoque ne-cesurio saccadera quantum, e Definitiono Euclidit activai non

in»... miam omnino une, et pou. facillinm illun e doctri-au Euclidia demonstrari. [pas «in eiusmodi demonltrationem0:th indireetam, Sed perapîeunm. Atque in omnibus illi:flicage "mis obieetionibus satianctum une videri patent. At«curial tout: Euclidia theoriam «arrime, denuo impugnavitThon. Simpson. (Elem. cf Geomelry Lena. 1500.) la trempe,pontquam ipsius Rob. Simsonis, alangui illi!" Euclidis Admira.-toris et propugnatoria verbis donnent, verba, maior, «Jeux I.ive alqnulù, minon de magnitndinibus et rationibus diversopionna aensu dici, adcoque non licen- Axiomata de magnitu-dinibus un aequaiibus aut inaetzualibus. proposita immediate adrationes applicare, unde etiam ipse Rob. Simson vulgaremglu-open, 10, V. damonstraÏionem reiiciat, addit, omnem Rob.Sima-anis ubieclionem en nili, quod neget, toto sumi posse,rationnent A:C non pose simul maiorem ac minorez; esse ra-!ione A413; At’ila ex Defin. 7, V. nunquam qucmquam scire,pouce, au ratio A:1: niaior au: minci sit ration. C:D. N’em-pe Euclidcm diccre quidam, esse A:B)C:D, si accideritmaquant. ut mA)nB, nec tnmeu simul mC)nD. Verumenim veto, xquum inter multiple leïtile et qllal’lae pro lubimmon: quaedam etiagn in comparu: «se passim, ut sil pC)qDm Dcfinitio aibi constet, demonstraxulum esse, tain uunquamfieri pot", ut ait simul phoqIB. I-Ioc enim si fieri pusset fianet etinm ex Delhi. 7, V. A:BoC;D. Usquedum isixurhoc praestclur, quqd fieri passe baud negare velit, quamvisdifficile ipsi videatnr, nullius usas aise Definit. 7. V. et lulumEuclidit ucdüicium tlleoriae [Proportionum fundamcmo pannavalida superstiuctum vidai. I-Iinc miam ipse Pmposilioncm10, V; 15, V et reiiqlla ils, eut Dcfinidouiiî’, V. innixa PÏUÏH

ana omittit. Caeterum sihi perçussum esse Jicit , iiablliâbe«mutina hémine. ante Euclidis temporal aliquam ration"!!! etixrnportionum nolionem mugis minus diminuait», quam Euclide;

A

i

A!) et. 1V. ont. 5. et 7. 333aliquantum expoÏliverit, quo facilius incommensurabilibus anh-ptari posait, in veto primant et origiiiniam lutins notionis for- .mm adeo immutatnm une, ut aligna ingenii vi opul ait et!nm in Eucliâis Definitionibus agnoldendam. Caèterum nul-mm subtilitatia et neuminis habere banc Euclidia theoriam, etsubobscuram sibi vidai, adeoque tamia laudibns effetïi, ne a

i Rob. Simsone fiat, baud fichera.Gravia haecœomra Euclidis theoriam dubia removeri ta-

irien videntur observationibu: , quibus Pfieiderer et Nordmark«un stabiliro tentnrunr. Prior quidam in Dilsertat. Acndemiea:Exponitio ne Dilucidltio ILibü V. Element. Euciid. P. l. Tu-bing. 1782 (Pars Il. nunquam prodiit), abigotisaimum inDiuerutione inserta Promtuatii.Matl1ematiei Iliadenburs. 7. et»8. fasciculo p. 257. aqquet 4410 sqq. ad dcfendendam Euclilistheoriam haec fera habet, que, quantum fieri patent, biw-

visaime hic aistimus. t x55. 4-8. Qui rationem cinarum magnitudinum chiadentgeneris A, B inter ce commensurabiiium indicare.volunt, do-cent, esse magnitudinem A magnitudinis B au: aliquod mul-tiplum, aut aliquam partent; aut alignas pattu, vel eue lut

A:mB, au: Azj-B, aut Ain-,8, ubi m, 1 æexponenn’n

n . n . n, nnomine veuiunt: sin autem A et (B incommensurubilee situ;

docent. une A);:B et (Lili-B, obi?î et limites el-ponentia rationia A;B vacant. Unde, si quamitatcs aunt com-

mensurabiles, erit vcl Asz, vel nA:B, vol nAsz:sin autem sint incommensurabiies, erit nA)rB; et nA(.(v.5.1) B. Atque in hac ultima cxpresaione de nulh magni’tudinum divisione,: sed de muhipiicationo untnm i. a,repenti ndditione aequo est, quam simplicior est division;Caeterum Euclides, qui llano ultimo bien positam expressio-nem adhibet, h parfiler ac Archimedes (de sphacra et cylindraLibr. l. et quadrat. parabul. Punch) Lucile postulat, eiusmodimagnitudinum homugcnearum minorem iLa mullilîlicari pusse,

ut lnperet maiorem. n

33’1- i, ’nxcuascs" 5.5.9412. Duas rationee A:B, C:D vulgo aequalea use

dicunt, ii comme’usutabilet tint A et B, mimique etinm etD,Îquando eundem unique ratio exponentem licher, eut, ciincommemurabiles suint, quando utriusque empaume intn coa-dem tempe tenninos cadit, h. e. priera casu, li 1::mB,debet etiam esse C.-:mD; si Asl-îB (val, quod codera main.

u 144:3) debet un: 13:? , vel iman; si A333 (velu

n’A::mB), i debet etia’m Oct-SU, vel nC:1nD «se: sin au-

tem incommensunbiles sint, debet pro numero quocunque n,

pro quo est A):-IB( 11-23 adam eue C):-ID( (If-:1) D,

vol, ut aliter dicamus: quotiea nA)rB, et ((r-f-1)B, de-bet etium case nC)i’D, a: ( (PH) D; et vice versa. Eucli.de! autem in Definitidne V. 5. ad aequalitatem rationna! A : B etC z D poatulat, ut quoties nA):(mB,eitsimul nC)’--.-de.Euclidia itaque Defim’tio, quorl ad quantitateé commensurabi-

les minet, eo quidam respecta plus comme: quam citera,quem vulgarem vocabimus, quod non tantum vult, si nAsz,debere etiam esse nCSmD , sed etiam addit, quoties nA) nt,debere etiam esse nC) (mD. Id velonibii difficultatîs ha-bet, et intervit omnibus une expressione complectendisCCon-un autem (55. 35. 56.) e00. quidemcasus (quum’m, n on):prie pro nunieris unitate meiolibua sumantur) non expreosehabet, quibus val Asz, vel nA 2B , tacite tamen cos cum-)ileetitur. Nempe, si Asz, erit simul pA-eme. Ut ita-qne este posait A:B:C:D, ex Eucîidis Defînitione simuleue debet pC:me, adeoque szD. Pariler, si nA.-:B, -ont simul pnA-:pB. Utitaque euse posait A:f’.:--C:D, exit

ex Euclidis Deânitione eimui puÇ à]? , adeoque nC:D.Quod vero ad quantitues incommensurabiles attiriet, ut diciqpanait, esse A:B.-.C:D , ex Euclidis sententia, quoties11A):(mB,’esse debet simul nC)---(mD.q In his autem

v conditionibuc manifesta continentur conditionne Definitinuisvulgaris , quibus ,. si .11A)er( (r-l-1)B , esse debcl eimul

a u .un un V. un. 5. et 7. 335nC)rD’u (H-iIDD. Non opus ont in!) pro multiple alignanA dotermimre multiplan proxîme se îmoquentîa rB, (r-1-I)B,que ad vlimiœs rationiu determinnz’uloa pertinent, :tque lucre-lnul aimplicior est Euclide. ratio. Sémpor inun , glue ex Enrclidis Definitioneeproponionalin sur , propordondia sunl. miam

ex Definîtione vulgari. .Contra veto , quoties ex vulgari Definitioue si: A : 3:0 : D;» eue adam aequalitatem rationuxn et Euclide. Üefinitione, luc-

ter, expositîl 55. 111-50. une: quibuulam propositionibua la.enlisait, que ad doctrininm de multiplie et aequemulzipliz par.tillent, et quorum purs est apud Euclidem Drop. 1, V; 2, V;(kV, aliisque, que? hie pro Axionntibu: vol Lemmntibmsonnera lient; v. c. si 11:1), esse murant), et vice votre:contre, si n)b-, une meemb, et vice versa (cf. Axiom. lainiüum Ïibri V.) in gare M. 31-46. demonstut. Ut dici pas-sit, euse A:B:C:D, si magnitudînes un: oommenuurabiles’;ex vulgafi Definitione erit vel AzruB, et sima! C---’mD,

.vel IlAzB, et sima! nC’---’D; vel mA:nB et simul mC;--nD. (

Sir (il. 32.) 1.) AL-mB, et C:mD, cri: itague, ni pdenotet nungerum quemcunque, etiam pA:meI, et Fezme.huque, quoties pa):(qB (q pariter denotante numerumquemcunque) erit etiam me):(qB ,V adooâuepm):(q,unde et me):(qD i. e. pC):qu.

Sic 2.) nh-B, nC::D, cri: etiam anqu, et qnÇ:qD.’quuel, quoties pAe:(qB , ’etiam pA):(an 1 et3)):(qn, adeoque pC):(an i. è. pC):(qb. .’

Denique si: 8.) nAsz, et sima! nC:mI?, cri: itaque, quoties pAe:(qB, adam npA):(an. At, quamnA:mB, eritpnA val npA: RmB , itague, quotiet pA):(qB,mit PmB)t----"(an, val Pm):(nq, ’adeoqup me):(an. At ob nC:mD (byp.), cri: pnC:me. laque, triode.PA):(qB, cri: pnC)’-’-’(an, vol pC):(qD:r Quo.tien .jgitur ex vulgaAri Definitione dune rationes quantitatumcommensurabilium aequales sunt, eaedem etiam «qui» suntex Euclidea Definilione.

r

336 . z x c u n s u s ’ tSi autem (M. 33. M.) qunnütateà sin: incommensurabilen,

«il ex vulgari Dcfinilione A:Ba:C:D, si quotiea nA)rB((r44) B, timul etiamlfuerit nC)rD( (r-I-l) D. laque,quoties nA)mB , esse debet mB.-:(.-n, .deoquq m:(l.,n mD:(rD. Quoties igitur nA) mB, cric nC (quad. exhuma]. ),.D) )mD. Quotiee autem nA.(mB, eue debetm3213) (pi-ma. Mecque m’-.:»-H , et mDâ (r-H)D.

.adeoque 11C (qllod ex llyROlh. ( D) ait (mD. Et,quam hoc calu nunquam esse posait nec nAzmlB , nec nC.--.-.mD,

purin: que ex vulgari Definitione mappemondes mut que-tuer quantitates incommensurabiles, proportionales arum etiunex Definiüoue Enclidea. Omnibus itague caliban certi «lepaumas, quantitares, que: ex une DeÉnitiçne proportiomlu eue dicimm, proportionalen eue olim) ex altera Definilione . I

aiiudicltas. ’Hactenua de aequalitate duarum rationuln dictum est.(Ve-nilmus nunc 37-46.) ad rations: inaequaleé. Et hic Ignit-dam (9. 58.) distingui pensum varü cucul, prout in attaque’ratione quantitates sint commensurabiles; Vel in (maque in-’.commensumbües, vel in un. commensurabiles, in altera iu-euuuuensurabiles. Siut itaqua 1. (S. 59.) A et B pariterqueC et D commensurabilcs, eritque ex vulgari DefinitioneA:B)C:D, si exponens rationzis A:B nuior est, quam ex-portons ratiouis C:D et vicissim. Itaque , si Asz, debet

eue C(mD: si A::B; erit C(l!lD; ai A2133, bric

C(:-D: vol, ut aliter dicamus, si Asz, at C(mB; li

nA:B, ntnC(D; sinAsz, atnC(mD, etitA:B)C:D,et vicissim. Sint deinde 2. (S. 40.) A et B commensm’abiles,C et incommensurabiles, eriLque ex commuai DefinilioneA:B)C:D, si Asz (ubi sumitur mz) (tif-1), anusvampe amict-nm limitum secundne rationis), at C ) rD ( (r4-1)D,

adeoque C(mD; vel, si nA-sB, at nC(D, vel si nAzxfir;("1m10 iterum m:) (144)), ct nCerD( (l’-l-!) D, adeo-que item!!! nC(mD. Iam hi quidam cnsus, ubi in urraque,

a.

An en. V. sur. 5. ’et 7. 337eut in letton saltixu adonc queutâmes oeeun-unt cominennu.hbiles, non expresse memoramur in Euclidil Definitione,pour mon excluduntur. Nempe (6. 44,1) si ksz, etC(mD, un C-l-E.:mD. Quoties igitur C:(E, cri: 2C:(Cil-E i. e. àC:(mD, at2A(::2mB) )mB, ubiigiturha-bernas aequemultiplaprimae et tertiae 2A. 2C, quorum illud me:îus est multiplo aliquo secundaemB, hoc vero non maius aeque’

multiplo quartae mD. Gin autem cura, sumi potesL aliquodn’ multiplan: magnitudinis E v. e. r13) C, val C (rE, itague rC-I-

C (to-FIE i. e. (r-l-l) C(r (C-Q-E) (rmD: contra vero (r44)«Leu i. e. )rmB. si deiude (544, 2.) quB, az-AnCeD,trempe D:nC-!-E, exit, si 0:05, adeoque nC-l-CenC-i-E;vol (114-1) czen, 12(n-I-1)b:(2 D: a: (u-H) A(nA

’vel )B, adeoque 2 (ra-hl) A)ZB. Sin autem C)E, aitC(rE, en’tque rnCri-C(r’nC-l-E i. e. (ru-F1) Cet (nC-fi-E)

o vol (ID: contra autem ruA-l-Â val (ru-FUAxruA vel e113.Denique (5.44, 3.) si nAsz, a1: nC(mD, nempe mD,:nt

q C-i-E, tarît, si C:(E, nC-I-C:(nC-I-E i. e. (ml):»ac(114.1) Â)nA Le. )mB. Sin autem C)È? et sumatur C(1E, cri: denuo ruC-I-C( rnC-l-rE i. affin-Fi) ce (nC-I-E)i. e. frmD: et (mfi-l) A)!nAyi. e. ermB. Semper im-que hlbemus aliqua aequemullipla primae ac terrine, quorumillud quidam mains est aliquo multiplo eecundae, hoc veronon mains nequemultipio quartae.I Contra vexe (5. 45.) si ex Euclidis Pefinitione est 45:13)

C:D, nempe, si pA)qB, at pC;(qD, silque A; m3, orin:.CemD. ’Nam 0b p4)qB, vel me)qB, .erit et pm)q, adeoque me)qD. A: 9C:(qD, unde ecmpet me),pC,

vol mDeC Le. meD. -Pariter, si, reliquis manenlibue, si: nA:B, exit nC(D.

Nm 0b nAzçB, cri: qnhqB. , A: ex hypoçh. pA)qB, ’itague pAoan, et p)qn, adeoque pDàan. A: ex hy-

’pcm.. pC---:(qD, Ideoque- .pcz((ggg) , .,

adeoque semper puCng, et uchÀ. Denique, ai canarismanentibus nA:u1B, moque pnAzme, val npAzmpB,menu-512mm. p. u. a ’ Y’ I

x

338 ’ entonnerie-erit, oh pA)qB (hyp.) npA)an, adeoque mpBSIq’B, vol

-mp)nq. edeoque mpD)an. A: pC:(qD, edeoque an:quD, et an(rùpD, et nC(mD.s Retionee igitur Enfingeneris, quae ex Euclidù Definitioue inaequeles surit, macque.-les eliam aune ex communi Definin’one. N y A

Veniarnus iam ad eoe .cuus, quibul prier ratio A:B he-bet quantitates incommensurabiles , et tum erunt vel C et Dcommensurabiles. vel non. Sin: commeuaursbilel (5. 41.),

crique ex vulgari Definitione A:B)C:D, si A ) En

«(ï-4.13, st C val .-.-.:-I-D vol (3D, aaeoque, si .

n - .nA).rB, Il: nC:(rD, et vice versa. Deniqne tint(5. 42.) A et B parfiler se C et D incommensurabiles, eritque

. . . r C 1ex vulgari Definitione A:B )C:D, et A ) :8 ( (11;-)B’

a! -l .a: tnnlunl C)1(t-Î’) D(Ï-l D, vel-adeo C( (1:)13, 1m-

que iterum, si nA)rB, et nCCrD et vice verne.Ex hie omnibul deinde fi. 46. concluditul”, Definitionel,

V. (Le: V. 7, continere cônditîoues et proprietates rationumin-

Ier se aequalium, au: quarum nua maior. en ahan, que in.vulgari notione insunt, variosque ibi obvies cirrus, generalie-

Jime, et in, ubac! paucieeirnos terminus omnia reducta eint.Ex eole deinde Euclidea definixione rationna: aequalium

au: ins’equelium, eepoeila promue vulgnri notione, deducitPfleiderer M. 48. 49. 50. live (9. 48.) magnitudjnee A, Cipsas ’cum quibusdamv aequemultiplis magnitudinum B, D;eive magnitudinee iplee B, D eu-m quibuedam eequemultipliemagnitudinum A, C: live darique (5. 49.) quaedani aequo-muln’ple megnitudinum A, C cum quibusdamsiiie aequemul-tipül magnitudinum B; D qurnparemus, esse au: l) quoeeun-que humeras integros, exclura unitetefp, q dcnotent, lamperlima! pA ):(qB, et p6, ):C qD, au: 2) pro niounul-lie-numelis integris n,m .(iterum exclusa uniate) nA)mB,et nczemD. (Esse quidem main pote-sir, ut en!) finem 5,50.obeervuur, nC)mD, et nA:-.(mB, et hic Icasus redit ad

AD en. V. par. 5. et 7. 33èpriorem, iiueris A et C, B et D inter se) permutais). Hincofficines M. 51-54. omnes cum, qui in comparutione qua-tuor magnitudinnm obtingere passim, sut euh Defin. 5, V.au: en!) Def. 7. V. eomprebendi, adeoque rationes aeqnales,nuions, minores «(lem modo sibi invicem opponi, quo vulgomegnitudinee eequeies maioree, minores, ut inque unnm’alle-rumiexclfiudst, nec cum ilio simul consistere pouit. Quod ip-

- sans (5U 55.) Saccherin; quidem demonslrere studnit, et nonpromus felici suecessu. Qnibue omnibus Iimnl tubiste esse du-bie Thom. Simpwn peut., Praeteree 5.56.aiia adhuc rationne idem confirmatnr, maximeope cornu, quae supra ex M. 44, 3. evicte sur". Nempe l)si A:B:C:D, sdeoque ex Defin! 5, -V. semper eimulnA)---(mB, et nC):(mD, adeoque nunquam nA) mBet simul nC.:ICmD, nec nC)mD, et simui nA:(mB:mm non esse potest nec A:B)C:D, nec A:BmB:D ex Def.7, V. 2) Contre, si nec A:B)C:D, nec C:D)AzB, esse de-bet ÂzB:C:D. Nam si nA:mA, non esse potes: nC)mD,narn tu!!! foret cabus (Def. 7, v.) contre hymne";nec nC(mD, nsmquo cum foret (ex 9. 44, 5 et Def. 7, V.)A:B)C:D pariter contre hypothesin; iteque esse debetA:B:C:D. sin autem nA)mB, erit mien; nC)mD; nem-que si esso passe: nC..-..(mD, forez A:B)C:D contra hypo-thesin. Denique, si nA(mB, debec pinter esse ncme,

h mm, si foret nC:)mD, eue: C:D)A:B (5. 411, 3. et Def.7, V.) [taque tnm semper est simnl nA):(mB et 11C)z:(mD, sdeoque ex Def. 5, V. A:B::C:D. 3) Sinon estA:B:C:D, inique (Def. 5, V.) non scraper situai nA):CmB, et nC):(mD, cri: pro quibusdam mimesis inugtisn,m au: a.) 11C) Cm1), dam nAszitum vero primo ossuest apyre; (Def. 7, v.) .lmo est À:B)C:D (s 44:3. etDer. 7, V.), au: crin: fi) nC.:(mID, sium nA)mÈ, et tnmA:B)C:D (Def. 7, V.) au: eril y) nC..-:)mD, dam nA(mB: tnm vero C:D).AtB (Deï. 7, V. et. 5. 5.) (1)85A:B)C:D, adeoque (Der. 7, V.) pro quibusdem mimesis n,en est nA)mB, a: nC:(mD, mm a) non pro rumens qui.buscnnque n,m sima! en: ml): (m3, et nC):(mD,

z

340 A ex’cnnsvsadeoqne non exit A:B.-.C:D (Der. 5, Va)" me p) tant essepotest A:BCC:D au: C:D)A:B i. e. pro nullis nullard; in-

.egris p,q simul esse potes: pcqu, et pA:(qB. Nam ohnA)mB, et nC:(mD (hyp.)est etiem pnA)me, et pnc:(me, sut me:)pnC. Et si pC)qD, est olim anvel pnC)an, adeoque semper me)qu, velpm)nq, uk-oque et me)an, mule lento magie puA)an,.asieoq,ue pA)qB. Argue etiam un Tham. Simpson dubia remets suris.

. Denique observas Peridenr (M. 57-62) si si: nAmB,et nC:nD, fore etiam 11:13, et C:D, sdeoque prout pA’(:(qB, i. e. prout pr:(qA, fore p):(q3«leoque etpC):(qC i. e. pC):(qD,.sc proindenA:B:C:D, volposse Definitionem 5, V. etiam ad aequemultipla omnium 4.magnitudinem applicari, et nominatim (S. 50. Nr. 1.) si fueritA313, C:D esse ,A:B;C:D: pariter idem raine «le Delhi.7, V. Vice versa miam, si AzBi C:D, esse simnl A):(B, et 0),:(D (via. infra Propn): un autem AŒ)C:D,esse dehors C(D, si A:(B; contre veto eue debore A)B, si 0;)1) fuetit. W

n Nardmarkius autem (in Nov. Act. reg. Societ. Upsai. Vol.V1. Upsal. i799. Nt. XI". Lacunae in doctrine ProportionumEuclide: enimadversee expletio.) in in hac re verseurs. Post-quam obiectionem a Titans. Simpson factsm contra Defin. 7,vV. sttulit , fatetur omnino 5.3.liila ipsum probsndi nervnm liu-ius. Definitionis prorsus esse incisum , frustraqne ad PrincipiumContradictiouis immediate provocari, ex rationibus ab ipsoBob. Sinuon exhibitis paters ait. Omnia’ autem, S. Il. «Mit,

r ex proportionum lheoria omitlere, qua’e au rationes inter se -inheequales pertineant, ut T1107". Simron fecerit, non sine idoc-Irinae proportionum iacturs fieri poses. .Adiicit praeterea 5. 5.muita etiam dia esse, que nexnm’ inter ’multipiicinm attributs

spectent, et adhnc quaeni passim, v. c. si nui-1m13, et me(mD , en tum A:B)C:D. Id veto Euclidem omittere.(S. 6.)ipsam etiam,Definilionem 5, V. internae possibilitatisdemonstrationem desiderare, me satis de nexn inter aequemul-tipiicium proptieiatei cogitasse Geoinetrss’, sut cette non satis

canne semper ioqui. Ils v. c. ipsum Barroeium p. 284uhaee

i

. zi s. * pun se. V. par. 5. et 7. 3M.. lobent iAseidmipotest il clique ossu ’simultnneus ’iste de-

Ieetus, survenus eus’lequllitas ensuit quantisminùne proportioÂ

nelibus; est sans proportionslibus univenaliter convenit. a IdIntel: (de sequalitate) fdsum esse. Si enim vel semel situ-ni mA:

a un, et.mc:nD, neeçssario, quotiee pA):-..(qB; esse etiamp8):(qD. ’Psriter (5.3L) si sempersimui mA) CnB, et me)(nD, foreetism scraper sima] mAan et mC:nD, undeprier candide pr0prie sakiehs scopo Definîtionis 5, V. Necessehuque esse (5. 8.) notas-nm cherseteristicnrum in Def. 5, V. etî, V. obvinrum passim pet-maintins nexum sbsolntem messei-

. tirent, partim. compossibilitatem independenter ab ipsis Delàniu’onibus demonstrsre. Quod siinon factum lit in Elemen-sis-Euclidù, idlnon ipsius enctorie, sed sineidnbio temporîs,quo plurs -deperdits inerint, cuipsm esse. Praeterea sibi inlnimo esse, consensnm quoque notionis vel deiinitionis quamvulgo de Propouionibus in Arithmetieis afin-ans, cum Eucli-dea ex ipsis bis Deiinitionibus ostendere. Prumhtit autemS. 10. Lemme Lisupra ad 5, V. ripais anctOris rubis mm...quad brevitetis causes in exprimere liceat; Si sin: quoteun-que magnitudines A,B. C,D. .. . et alise ipsis numero acque-ies me, 7,13.... quae binse sumantur in esdem mnltiplioitste,.sit autem perturbata ipsarnm m’ultiplieitas li. «ait n

- " in B et 7 ---.- m a-B n C - fi z n-yC p D1 a :: p fi vemnt ex aequo etirm sequemultiplices, sive qumtipiex est A

. magnitndinis D, tantiplex erit a magnitudinis ô. Quod qui-demRNordmarkius mon; Geometris solemni vdemonstrst, utisd

Il Il Il

3, V. vidimus, ex nostra autem expressioue satins peut, dansun: AsmnpD, quam azpnmd :mnpd. Atque hoc quidamLemme ab Euclide preetermissum eue mirstur qudmark.quamvis cum 5, V. arctissimo vincnlo coniungstnr, et omnisdectrinae proportionnm arcane eo referentur, praesertim, quamin Prop. 20. 21. 22. 25. l. V. semperi uterqne ossus quentitaoLulu ,ordinete et perturbate sumtàrum ostensus sir. Haie additLemm. 2. quod in hsbet: a) Si dose quantitates commensu-

s

p .

b f

3421 , j inconnuubilet fiat, exit 1) cliqua 1min: multiplex "gadin du;lin! multipliai et 2) vice varan. flânant! du» magnitu-dinu inœmmonsunbilu tint, 1) mon «il: aligna nains multi-plu: lupulin cuidun dru-in. multiplici et 2) vioc "tu. Quo-

4 mm a, 1. et ope Lama]. 1. adam a, 2. facile probant, mulep) 1. 2. apngogiœ «lutinant. Hi: punaisais saquerai: babel:(baal-0mn, ’quae primum «au. inclina d’ennui.

Theor. 1. Si vol me! cuidait, ut existent. mAan.cit urina mC:nD, ait A:B:C:D.

Thon. 2. si, quando mA) (n13, si: adam scalper-ac

)(nD,Ierh A:B..---C:D. . kThon 3. Si, quando mA)nB, [empan aigu si: m0)nD, ç: viciaim,- qmndo mC)nD, lamper etiun si: mA)nB,

cric A:B:C:D. . -(Algue luce quidam 1d ontendendnm maman! mm, quiinter multjpücium symptonnuin Defin. 5, V. interoedit.. na-xum. Ohm": Nordmarfi. midi adbuo pas": si lit A:B:C:D,un olim: C;D:.A:B. Qulmvis enim nimim identintis spe-ciem pipo ne (cran: Thesis et Hypothuis (9nde adam 0min-

l rit) Idumun amen non constituera propositionèm plane idem. ’

deum, que pas evidentia demonstrationem non ldmittct. Ex-cludi enim aemper dehors in Proposiüonibul in minerai: bi- çmi Adsumto contrarias hypotheues.

Theor. 5. Si acciderit cliquando, ut si: mAan, ml me«un. cric A:B)C:D. U V A I

Thcbr. 6. Si A:B)C:D, Iitque mA:( nB, cri: niC (nD.Thoor. 7. Si A:B)C:D, nique mC)nD, cri: mA)nB.Thcor. 8. Si, A:B)C:D, uitqne akian, cri! mA)nB.Atqne Inca quidam ad Dofin. 7; V; ruminant, et nomina-

tîm Theor. 7. obiccüonem ÀSimIPIoniamm directe, et funditus

tallât. Reliqun consensnm notionis vulgaris au: Arithmeticucum Definilionibus Euclidi: ouendunt. L

Theqr. 9. Si (ex Euclide. Definitione) lit AFŒzCEŒ),alquo B et D in tequïmulmvpnrten quolcunque, utrimque«enlum ’aequnles, djvidantur, qmrum unaquaeque in B si!3:6, et unaqaaequo in D sium-:14. du), ut G et H ipsum Bot

. .l a

en se. V. un. 5. et 1.. 343

’ I . . eD eequeiiter modaux; Infernal porto G et AF; quotiupoum; doneo vel nihil; vol le minorai ralinguant: dico,rotiez enfoui poile H ex CE, quotiel G ex’ AF: et «idemmode laperois. vol nihil, vel alignant ipse Il minore!!! (i.e. si quantintel AF, B, CE, D ex Euclidea Dofinitionepropor-domine eint, proportionelee un: etiem ex vulgari notion.) .-

Theor. 10. En: convenait: praecedentie.’

Theou Il. Si fuerit AF:B)CE:D (ex Euclide: Dofinitio-ne): inhuma: eliquae tam parue megnitudinee G et H, que

. ipse! B et D uqunliter meduntur, ut G chien ex AF quad"potes: lupin; in lm oontineri depnhendetur, quem Il in CE,guinda mpe H ex CE iufmur, quoties poum. (Amer: niex Euclide: Definitione AF:B)CE:D,. exit «in: a: vulgelzi

Definitioue AF:B)CE: D). iTheor. 12. Convmunu prlecedentil. . Ut autem methodue viri ecutieiimi une cette exemple pe-

ton, lices: lapone", quam Theoremetie 1. «ledit (innomm-

tionem. r ’ Theor.si vol eemel ecciden’t, ut existante mASnB, eit etiem

i mC:nD, «il; A:B:C:D. (r. ses.) IDom. 8int E, G illee ipeerum A , C «que multiplions, ,

et F, H illee aequemultiplicee lpurum B, D, quia fadent2:17, et 6:11: sin: autem 1,. L ipsum 11,0 uccumque ee- .quemultiplicu, et eimiliter K,M igsarum B,D aequemultipli-ou queeiibet. Kim panifia, qumtiplex ce: M ipsiue D, un-tiplioea eumantur, N,LO, P, Q ipsuum E, F, G, H: et ou"-tiplex es; H iplius D, tantiplicei lumentur R, S, T, U igue-rum I, K, L, M. Erunt ergo N, 0, P, Q, ipeannn E, F, G,H aequemultiplices, et ,R, S, T, U ipserum Il", K, L, M.ideoque oh ESF, GàH, cri; N:O, P30. Preeteree "un"; (3,V.) N et PipeimrnA et CIaequemultiplinfini]ne 0 "î 951’31-rum Beth : periterqueR etT ipearumA et C, itqueS etUipee-rumB et D. Qui: iam Q estipeiusH uquomultiplox ne M ipsiusD, atque H ipliul D tantiplox, quantifie: en U ipeiue M: «il:(Lemm. 1.) Q ipsiueD totiplex, quonplexKest Ueiuedeni D. Ergo,

z

344 incusesQ et U coquelet orant. Sed meQîipiue D; ondoie!est O ipsius B, erqmpiu est Uipu’ub D, toupie: «:8ipoiuenB : «ng et Sent dundee: B uquemultipiieee, monque ethm- aequeles. Ponant iem JàK; 11m eno.L.)M.qui; enim R et Senntïipnrum LetÏ’noquorhuifiiflicll, et i)-K; orin RPS, h. 2.. R)O lil. le. R):N. vaticinant!» un)!quam N est ipeiui A-magie mnlüpkx, qui]: N vinaient A est.Ergo ,etiem T enipeiue C mohiplioïor, quam P biunim C est.-

Unde erit T)P, il. e. T)Q, sen Tenu Sed Let M un:ipeerum T et U eimflee (modem) pertes: ergo une: L)M.

I Si: hm IæK, dico esse L::M. Enfin: 0b finît, enR:8, h. e.- R:0, son R531. Quinine "R et N liantA acquemuhiplices; ’ideoqne otiem T et P ipeiue ce made T

:P, me. T:Q, sen T---U. Ergo etiam LzM. .Quodsi clanique 1(K, (lice, esse L(M. "Nm, oh Kx,

exit R(S, h! e. R(0, un R(N. Ergo’N est ipsius A nul-tiplioior, quem R eiusdem A anglicane «in. P «tipi!!!C multiplicior quam T eiuedem C cet. Unde P) T, son T(P, h. e. T:Q vol T(U. Unde etiam LeM.

Quum icaque osnneum eit, continente I):(K. essequoque L):iM , h. e. quando mA):(.nB , en» itintai mC):(nD, eût A:B:C:D q. e. d. (Aliter 111°C de-monstritio itatsiui poteau Si mAan, et mC:.-.nD. orit,quoties’pA)::(qB, etinm pC):(qD, a’deoqùe (Def. 5,V.) A:B:Ç:D. Nam, si nA-;:.nB, et mczuD, erit et qu:an, et qu:an. huque, eipA)-g(q[i, cri: I?»V:4(ÏÎA ,edeoquo up):(mq, et npç):( adon-qu. pC):(qD. Unde peut, hem: d’emonuntignem ahi!verbie. enndem «se, qùem Pflcidçrer dedit 5. 51. Nt. 3.

Bis praemiseie, Ptoyositionee, ’quae au] theoüem Propor-

tîomirn pertinent, saupe: codent riser: e vulgeri Proportio-nalium Dofinitioue arque ex Euclidea derivan’ pontant, et do-mouetrationes e Yuigari Definitione potine, ni iueto rigolo cesexhibere veiis, piorumqure longions unît. (Cf. Phyfeitwd -

» - Bof. 5, V.) V. c. vPropoeitio 4, V. ouin: demonetretionelnEnclideun eupra Àhabuimm, e vulgeri Definitione in deuton-l

’ t l

AD in. V. pina. 5. et 7. 345xstrabimr. Si AêBnCd), eût criant pA: qBazpC: QI), p et qdenotantibua immuns integËos qnoscunque, nnitate baud ex-cluen.- Nain 1) quendo commensurdbües mm magnimdîneeA et B, C et D; 0b A:B:.C:D (ou-pp.) ex vulgari Definia

V .tione simul enim AzâB, et 0:31), ndeoque et sima!

A En i En :ÊË. ’ :35. ep un , et pCbnl , et pA au qB, et pC q". qD.onde ex vulgeii Definitjone pA:qB...-:p,C:qD.

2) Quodsi magnitudinee A et B, C et D sont incommen-eunbilos; ex yulgaei Dcfinitiono utriuqque naquis Exponene

ce o l i 0 e e p n .aider. contineb’itur limiubue , ne ut 51mn! un: A) b8

V ilet (ri-13, ne Conf-D et ord-37D, vol miam 1mn E. qBi

n - Il » n qu .i . l " 4-1 .. et (P qu . qB ,.ac pC)iE»n.qD et 11D, unde mon:tationum pA:q.B et pC:gD Exponentes iisdem respeçzive limia

fibus gî- et ’PH-I

libri V. Elem. p. 18. 19.)Post genemlioru 1ms Id librnm Vtum observation" cas

hm Propositions, que 1101:. Simxon huit: libre inseruit, voladdidit, codem ordine, Veademquo nota, qna ipse usas est,daignons «exhibebimuq. i Demonetrationee rumen brevitatis

continentur (Pfleid’cren Expoe. ac Dilueid.

aussi symbolioe Iistemus. .Est nempe epud Bob. Simenon: post Va Ô. haec

- l Propolitio A.. (Hue-est en ipse ProPoeizio, quam Bai-alla: magnent exEuclidea theoria demonstrari pouce, et quam dodine. Pflei- L(leur, ut eupra notavimus, sporules): Euclidi: preegoptis flueracannoit l. c. 5. 61. et in Expos. et Dilucid. libri V. p. 5.

Propa V1.) . 1Si prime ad secundam. eamiem hlbllèfit raziofiem; quammon ad qual’lam, fueritque prima maior accumula, un ternelinier qumtî; et si aequalie, "quam; et si minot, minon

Euclid. filament. P. 114 Z 1

346 excusonsNemçe, si A:B:C:D, fueritque A):(By "Î! (il-Axe F5.)

etiern 2A):-’(23. Tum veto, 0b À:B,.-::C:D, ex V. Def.5. est crient 20):(2D, edeoque puiter C):(Dc

Robert. Sinuon observer, Propoeitione lue eaepiuime utiGeometru, unique in V. 25. V1. 31. XI. 34. Xll. 15. ad-hiberi, à Tino" autem cum ex Elemenlis sublimai esse pu-tet, quouiem satin evidens vise cit ci, eliieque, qui confuse-nenni et indietinctem proponipmlium idem epud vulgmreceptem substituent loco taurine idole, quae a DefinixioneV. 5. habeatur. Nullum enim dubium eue, Eudoœam volEuclidrm, qui hac nihilo difficilioree 7 me!!! ce. et 9 "unhuius Libri demonltretione mûniverit, etiem huic in Elena!!-tie Jocum dedine. Commandiaum quidam eem ut V. 16.Cor. eubiunxiese, quod veto recto Claviru repreliendat,quoniam in saltim ad quatuor magnitudiuee eiusdern galeriepertinere videretur. Neque tenon [ipsum Clavium aliane eimdemonsrationem dodine, ceci eucruisec, cum perepicuam «seex nature proportionum. Quo ipso oocesionem dedeiit Boulin,Enclidcm iniuste cevillendi.

Propoeitio B. ’(Vulgo Corollefium V. Prop. 4. ubi vide notate.)

Si quatuor magnitudincs çproportionules fuerint, et inverleProportiomlee erunt. Si A:B.-.C:D, erit etiem invente:B:A:D:C. Sumtii enim ecquemultiplis quibuecunquo pri-nce ne tcrtiae nA, nC, pariterque allie lecquemultiplie qui-buecunque .9611!!le et quartes rB, rD, erunt ex V. Def. 5ogantiez nA):(rBl, etiam situai nC):(rD, adeoqueolim, quotiel rB):(nA, simul rD):(nC, unde exV. Def. 5.. est B:A:D:C (vol D:C::B:A.)

(Cor. Bine consequitur, si AtC rit duplicete un?) rationisAzB, fore Cm duplicatam rationis B:A. Erit enim (V.DeE. 10.)A:B:;B:C, edeoque ex Inc Proposition C:B-----B:A, ruadeC:A en ratio duplicata ratinais C:D, vol rotionie BtÀ. Simi-li: attendentur de triplicata rations etc.)

en ne. V. on. 5. et 7. I 347Pro p. C. t p

Si prima aequo multiplex lucrit, vel cedem pers (vol,quad addi potest, onedem pertes) secundee, arque terri. qui"- ine: erit prime nid escaladant, ut tertio et! quartent: col utPfleiderer rem exprimit (Expol. ce Diluoid. Libr. V. 5. 29.)Magnitudinum A etlî aequemultiplicee, vel partes aequo sli-quotee, vol et partes aequo aliquantae ad megnitudines ipsisA et B cardent respectivo babent rational. Nempe pA:A::

szB; .â:A:Ê:B; EA:A::EB:B. Nun, cum rem n(pA)--.-

(np)A, quem n(pB)::(np)B (V. 5.) erit, quotiee n(pA))..-.:(r11, simul n(pB)):grB, prout np):(r, Idcoque ex

V. Def. 5. pAp:A:pB:B. Sit deinde 52E. ,i adeogueq

Aqu, B:qF, erit per modo idemonetrate qE:E:qF:F,

. A B .edeoqne (Prop. B) E:qE:F.-ql’, i. e. -:A---.;:B. Deni-

. 4 . , q. . A lque, quum ut ;:A-.-,Ë:B, petit etiam (V. 4, Cor. e.)

A Bà :AzgîzB. Haee,Propositio, ut Haï»! Simon observa,

scepiuei à Gcometris ininrpatur; et nocesrarie est in X. 5,et X. 6. Cocterum ex ea evincitur, ut supra è PfleidcreriDîssertet. Promtuario Mathem. Hindenburgii inserts M. 31.32.Illstum fuit, quotied ex vulgeri Definîtione i. e. ex ce, quaelnbctur in Vil. Def. 20. sir A:B:C:D, esse! etiam aequeli-Iatem rationum ex alter. Euclidea Definitione, nempe V. Def. 5.Quod ipsum, ut supra vidimus, CIavius Çin notis post V.Def. 8. in numeris attendit ope quarundam Propositionumlibri V" , se. V. [Def. 5. quitenus mimesis congruet,’ ex ounumerorum proportionslitate, quae in V11. Def. 20. hebetur,demonttrari pesse.

A Prop. D.(Converse antecedcntis.)Si fuerit prime ad eccundam, ut«tertie ad quettem,

. fueritque prime multiplex, vol pers (vel pertes) soeur-die;Û

L

343 ’ nxcunsdscric tamia eadem multiplex, vel eaedem gars (val «adam par.

les) quartae. ’Si enim A:B-:.C:D, fait adam A:qB;a.C:qD, mA:B..-:inC:D, et mA:qB’--.-’mC:qD (V. 4, et V. 4, Con-3.), and.

9x Prop. A, si 11----qu cri! et 0::qu si mA--:B ,5 vel

. k ’ l .421.13. erit mC-...D, val 625D: si ,mAth. ve!

m I, , :3113, cri: mC-qu, un C2310. Obtenu Rob. Simron,banc Prdposltiônem uon nro ad alliai damonstrnüOne: saki;beri, et necosnriam esse ad demonslundam’Vl. 9. *Vidariautem à Timon: omilum vesse propre: radoucit: ad hop, A.moment-m.

I Pro p. E.quam baba: Bob. Sinuon post V. Prop. 19.

Sil quatuor magnitudinos proportionnles Iint, et convenan-do proportionglen arum, vel si A:B:-.C:D, nique A)B,udeoque etiam (P161), A.) C)D, cric A:A-B:C:C-D.Nnm, quuhl A:BIC:D, cri: dividendo (V. 17,.) 4-.B:B:C-DzD, à: invertendo (Prop, B.) BzA -B:D:,C-D.(hm-e rompon’ehdo (V. 18.) un B-l-A-BzAùsB:D-l-C-.0:0 -D i. e. A:A-B:C:AC-D.

Obtenu Emdem domoustrationem habet Gregorii in nona! nunc locum. Caeterum hase Propositio, quia enim V. 17.une nexu colmater, poum adam prêter ne il]: aine opeV. 18. demomtrnri (Pflaiderer. Expos. ac .Dilucid. Libr. V.

p. 23.) ,, Cor. l. Si quatuor magnitndines A, B, C, D proportio-nalàs mut, ekA(B, «160qu miam (Prop. A.) C D; cri:miam inverse (Prop- B.) B:A:D:C, nicotine ex bac Propœ

sitiune B:B--A:.-D:D’-C. V Cor. 2. Generatim itague, si dune magnitndines inaeqlm

les A et B enndem iuvicem hlbent rationem, quam alias duneinaeqqalcs C et D: cri: et maior priomm duarum ad ipsarum

l

difl’el’entiam ,V uti maior duamm posteriorum Id enrundem dife

tatami-m; val adam inverse (hop. B.) differçmîa dan-nm

I

au tu. V. ou. 5. (et 7.’ 349prioru’m ad erundem uniate!!! crin ut diHeIenda dnarumposteriorum ad ipumm uniment. Environ si A:B:C:D,en: etiam convertmdo A:A-B:C:C-D, un A-B:À:C-D:C, vol B:B-A:D:D-C, son B-A:B..---D-C:D.

Cor. 3. Generelimque, ai Juan magnitudinee imaginale:Modem invicem habens: rationaux, quam aliae duae magnitu-dlnel inacqualee: miam alterntra priorum cri: ad ipoarum dif-ferentiam, uti posterior homologa, sen quae priori araine,reapondet, en ad differentiam posteriorum; et havage (V. 17.Cor. 2. et Cor. 2. E. Pfleiderar. l. c. p. 25.)

Su?) finem libri quiuti Rob. Simmn adhuc quatuor addicYl’opositionu, que: nos, cum coheereanç cum aliis ad Defini-

rionem rationia compouitae pertinentibul, reiecimus in Excnr- -eum ad Libr. V1. obi de, ca Definitione a5itur. Plurea prao-teree Propositions de rationibua inter se divertis Euclidù in.tarpans et oommeutatoru libro quinto aubiungere solanum.Malta: arum habet PappuJ’(C0ueclo Mathem. Libr. VILProp. 15-11.), que: ut Lemmata Jpallonii librie de section ,,rationia et sparii praemilit. Ex Pappo daïmio Camptynu,Commandinus (qui expreue se en ex Collectionibu: Pappitransferre nionet, immutato ramon ordine, et quibuadam ad!ditia detncüsve) Clavius, Tacquetur, Barroviul, Baermarinnlaliique bal Propositions hue tumulus, aliasqno similea ad-iecere, ’Plerique cannes (amen in ü: demonstnndia pro Axio-

mate au: Postulato rainurant, poaae tribus magnitudinibnsdulie semper aliquam quartam proportionalem, vol ’duabue(luis uniam proportionniez]: inveniri, quod ipsum pro Axio-mete-aumi baud lieue supra Ml Axioman libri V. monuimur,0x pro Hui: mais demum indIibri V1. Propositionibue

. 11 et 12. Adenomtmur. Rubens autem, vit dootiaaimuanunc Seminarii Schônthaleusia Professôr in DissertationaProposixionum de Rationibua inter ne divan-si: Demonatratio.’

ne: ex aolis libri V. Elemenromm Definitionibul ac Propresitionibus dedlclae Tubing. 1193; sine op: filial Pouuluien .demonunJit, in] a: primait: Propositions ad du: vol

350 inconnusplures rational inter le diverses univem’m pertinentea stabfliret,et deinde ad eoa casua progrederetur, quibus omnea omniumrationna; tennini Inn: eiuadem generis. Ira autem rem expe«dit Hauberu. Praemittit M. 2-4. Lemmatl, quorum par:cum Axiornetibua ad Librum V. lupn «Matis consentit. Nempo

5. 2. si A38, cri: etiam mA:m,B, et vice versa: contra,si A)B,. etiam mA)mB, en vice versa. 5.3. Si A:B,et m)n, erit mA)nB. Contra, si mA)nB, erit m)n,et, si mA:nB, cri: m---n. 5. à. n.(mA)*:m.(nA). Deindelaquent" Propositions, eammque deinonatraçionea exhiber,qua: consentiente amieiuimo aucune hic denuo ristimus.

Propositio a. (Hanberi Prop. 1. Disa. 5. 5. apud 1’anVIL 7. npud "Claviam V.

Si quituor magnitudinum 1A, B, C, D prima A ad lemm-dam B maiorem rationem baba: quam taniaCiad quart-ami);inverse secunda B ad primam A minorera rational: habebir,quam quarta D ad terlîam C. Breviter, li A:B)C:D, exitB:A(D.:C, son D:C)B:A. Demomtratio. 0b A:B)C:D((supp.) eumi poterunt (V. Def. 7.) mA, mC, et nB, 11D in,ut mA)nB, et mC----(nD. Quodsi fuarit mC(nD, »velnD)mC, cum si: nB(mA, conatabit propositum ex V.Def. 7.

sin autem si: mC:nD: quoniam les: mA)uB, si!nB-i-Er-mA, et 1) E:)A, quibus subductis, erit n13:((m-1)A: et, cum nD:mC (supp.) ),(m-1)C, rutila P"V. Def. 7. comtat pr0positum. 11:11,. ai 2) ait EmA, fil!aliquod multiplum E, velu: rE)AJ (V. Def. 4.). Tum, qui!nB-f-EzmA, erit etiam (Vqu. 1.) r(nB-I-E) i. e. (V. l.)m’B-I-rEzrmA, unde, «IL-unis rEeA, erit mB((rm--1)Â-Sed, quia nD::rnC, cri: et 1’nD::rmC)(rm-1)C.- Un!!!

. e13 V. Def. Ï. roustit propoaiturn.

Cor. (Hauber. 6. epud Clavium Schoi. la V. 26-)VPariter, ai A:B(C:D’, erit eriam D:C(B:A, leu B:A)D:C.,Tum enim est C:D)A:B- Omnino autem, si en ratio, quilitera est maior, ex V. Def. 7. hac ipoâ minot dicotur, futile:

-a p.

An un V. on. 5. et l7. .351que de msioribus rationibus traduntur, cd minores applicag-

- lui, si transposieis niioxiibus en, quâ allers miner est, main:

peintura I - l *Propoailio b. (Hauber s. 7.) VSi se: magnitudinum A, B, C, D, E, F si: A:B)C:D,

et C:D)E:F, cri: et A:B)E:F. i -i Demonatr. Cam si: A:B)C:D, et C:D)EzF, si: ex

V. Def. 7. mA)nB, mC:(nD; et pC)qD, pE:-.(qF,designantibus m, n, p, q aemper numeros integros: unquoque (V. Ax. I.) pmh(an, mpC)mqD, un an:)me , me)mqD, hincque an)mqD, et pn)mq , acproinde edam pnB)qu: eunuque si: mA)nB, inique etpmA)pnB, Gril: à fortiori pmA)qu, sou mpA)qu, et11A) qB: et, (luit praeterea est pE--:(qF, pet V. Def. 1.

constat propositum. . .Scholiou. (Haubar. S. 8.). Haut: Propositionem quidam

editorea Elementorum V. 13. . pro corollario subiunxe-runt, et Claviu: quidem expresse addeus in Sehol. sel V. 13.tallent mollo eam demonstrari paseo, quo V. 13. ipsa deman-sn-aulaît: quad non in se habet. i

l

Propoa. o. (minbar. 5. 10. Pfleiderer. in Promr. Malheur.

. Lipa. 1798. 60. Nt. 2.3.)Quatuor m’agnitudinum A, B, C, D si 4:3, et C(D,

val si ApB, et C:(D, erit A:BDC:D, sen inverse

(Prop. a.) B:A(D:C. * ’Demonetretioni prsemissa est .spud Hauberum 5. 9. enPropositio, quam supra ex Promu Lips. 5. 60. Nt. l. attuli-mus, quartique Lemme ad c; vocabimus,’nempe si A----B,

C:D, esse A:B:C:D. Tum ver-ci Hauberus in pergir.1) Si A213, C(D , si: C-f-EzD; eril: ex modo diode A:B:C-i-EzD, -cumque si: C-f-EzD)IC:D (V. 8.) cri: adamA:B)C:D (V. 13.). 2) Hiuc etiam, li A)B, C:D, leuD:Ch et B(A’, eri! D:C)B:A, eeu (Prop. a.) A:B)C:D,quae est Pappi VIL 10. 5) Si A)B, et C(D, si: A:B-l-E, C-l-FzD, eri: AzBZAÆ-i-E (V. 8.) et A:B-i-E:C

352 Excunsns-I-F:D ex Lama; ed initiant Demonlttetionil glisse, ac proinde

A:B)C-i-F:D (V. 13.): quonilmque (H-Œ:D)C:D (V. 8.);crient A:B)C:D (Prop. in). En hase Pappi VIH. 11. a

Prop. a. (Haabcr. ç. u. 1317.11"... in Promt. manqua."

Lips. 1798. 5. sa.)Si A:B)C:D, cri: cd), si 1:05, et cri: 193,

si &)D.Dem. 1) Si A:B)C:D, orque A:(B , sen 8:2)3,

cri: B:B:)A:B (V. 7. 8.) qusre B:B)C:D (V. 15. etProp. b.). Sed, cum sil B:B:D:D (Lemm. ad 0.), erit D:D)C:D (V. 13.) se proinde D)C, seu C(D (V. 10.).

2) Si A:B)C:D, arque Cas)D, «il C:D:pD:D(V. 7. 8.) hincque A:B)D:Dv (V. 13. et Prop. 1).),Sed quia D:D”--:B:B (Lemm. ad c.), cri: et A:B)B:B (V411)se proinde A)B (V. 10.).

H Prop. e. (Hauber. 9.12.)Si A:B)C:D; erit etiem mA:mB)C:D, et A:B)nC:nD,

et mA:mB)nC:’nD, se vicissim, denctantibus tu, n munie-nros integros qiioscunque.

iDem. 1) Cum si: mA:mB:A:B (v. 15), si si: 1:13)C:D. erit etiam mAxrnB)C:D (V. 13.): :pariterque, si silmA:mB)C:D, etiun A:B)C:D (V. 15.).

2) Sic et, quum si: nC:uD:.:C:D (V 15.) si rurausA:B)C:D, crin: quoque AtBonCmD (V. 13.): si vetoA:B)uC:nD, pariter A:B)C:D (V. 15.).

3) Denique, si AxB)CxD, cri: mA:mB)C:D per mododemousrata nr. 1. adeoque et mA:mB)nCuiD par demon-strate un 2. Vicissim, si mA:rnB)nC:nD, erit et A:B)nC:nD (nr. 1.) , arque hinc A:B)C:D (nr. 2.)

Cor. 1. (Hanber. g. 1s.) un... miam, si A:B)C:.Drorit

A:B .l 1 i--A:-B q ,q ,1: a i .m m );C.nD, «que mAxmB) C.D

ÈAzlîB îC:îD.m m . n n

1

un En. Vaux. 5. et 7.. , 353 -.Çor.2. (Hauber s; 14.).’Atqùo adam, cl muni AjB)C:D

lCËI-D 3A: in

. n n m m x . ,cri: mAunB) et )nC:nD’I 16:3. D [11:23 ’n n m mProp. f. (Haubor. à. 15.).

a sa A:B)C:D; cri: etiam mA:B)mC:D, et AgnB)C:nD,

et mA:nB)mC:nD, a m .0: n deupnntihgu, nanan», juçpgr’os

quOUOUHque.

Dem. si obv A:B)C:D (Sam) un pA)qB, yc:«;D(V.Def. 7.) un... (v. Ax. a.) erit 11141:1)qu ; mpcçgmqD,

I n.pA)an; an:( n.qD,mnPA man; mppC: ( mnqÜ,

sen p(inA))m.qB; p(mC):(m.qD Vn.pA)q.(nB); n.pC:1(q(nD) I

nP(mA) mq(nB); Îtip(mC)---’(mq(nD) g

et cum lequemulüpüces magnitudinuyn pA,.pCÏ: qBl qDsin: ipsarum qnoque magnitudinuniA, G; B, D, pariterque aequemuhipliccs magnitudinum PÇmA), p(mC);I q(nB),q-(nD) sin: ipsnmm mA, mC, nB, 13D uquemultiplicel(V. 5.). par V. Def. "l. constat propositum.

Prop. g) (Hauber. g. 16.)

Vicissim, si A:B)C:D son si làAzB)mÇ:D,

- exit adam ’ éîB)É:D h val A:nB)C:nD

[Il nl let A:B-):C?î val n1A;nB)mC;nD .

. n - .-eç A B erit etiam A:B)C:b515-1 m’n,x

Enclid. Eleniem. P. Il. A A a

l

354’ * Excna’usfibarn. 0b mA:B)mC:D, A:nB)C:nD, aAgnB mcmD

(lupin) ,’ fit (V. Def. 7.) p(mA))qB, p(mC).-.-(qDFA )q(uB), PC:(q(nD)

PCmA) q(uB), ?(xfiC).-:(q(nD),cive (V. 3.) (pm)A)qB, (pm)c---(qp

pA)(qn)B, PC:((qn)D 1(pniM)(qn)B y (Pm)C:((qn)D’

proincle V. Def. 7. cri: A:B)C:D. "

Cor. i. (Huubcr. 5. 17.). Bine et Par hop. L, si A43

B .1)1 * 1)C:D,erit!gnA: EB)’îC: H l

513 qbn

A C fil 135k :31).lm

Cor. 2. (Haubèr S. 18.). Itemquo’

1 1 l Â. *B au!) --A ., il n m- mmA: Mac: et :nB :nDJ’il. I Cil) Æ’A 20

n a m mProp. la. (Haubar. S. 19. Pappi Flop. VU. 5. co1l. VIL Il;

’ apud Clavium V. l -Si A;B)C:D, cric componenglo A4-BÉB)C-I-D:D.

Dem. Sit.mA)pB, nue-:91) (supp. et v. ber. 7.),et additip mB, mD, cric mA-f-mB?nB-l-mB , vaf-ntDz:(nD-l-mD, (zutique

ADI En. V. 1129:5. .et 7. 355.(v. 1.) .3: mA-I-mBàflA-i-B), mc-pmnmc-i-n), Ac"(v. 2.), nB4-mB:(h-I-m)B, nD-f-mD::(n-I-m)D, "Fini-dg

m(X-I-B))(n-I-m)B. mLC-I-D):«n-1-mw. parV. Def. 7.,constat plfoèositum.

I Cor. 1. (Hanber. 5. 20.). Aliter banc Frapositio sic expri-meçur: Si différentia duarum magnitudimim adlenrum mille?rem in mniorî ratiche est, quam differemia duarum dînant .

l ad harum minorent; eiiam major priorum Id ipsarum mino-i-rem in maïori rationne erit, quam maint jwsteriorum ad. mixio-

remï Nm] si A-B:B)C-D:D, cri: A-B-f-B:B)C-D-I-D:D

hoc est A:B)C:D. v lCor. 2. Haubor. S. 2l.) Eodem supposito, quad in

’ Prop. 11., summa duarum priorum ad earum priofem in mi-l nori rationo origquam summ- poueriorum ad tertiam. Nain, -si A:B?C:D, inverse prit (Prop. a.) B:A(D:C, ndôoqueA-l-B:A(C-f-D:IC (Prop. IL), un. A:A-i-Bkcæ-ç-D (Pro? a.)

Prop. i. (Haubar. 5. 22. Cluv. V. 29.)

Si A:B)C:D, et C D, ac proinde etinrn A)B (Prôp. L),cri: miam dividende A-B:B?C-D;D , sou inverse B:A-B(

D:C-D. V - ’ «fi .V Dem. Sir mA)nB, mC:(nD (supp. et V. Def. 7.);A mm (VQAx. 5.) quia.D(C, cric IID(11C, proinde a): aequo

val. à fortiori mC(nC , itague m.(n, et nB)mB , .110) mD.lam , demtil mB, mD , erit mA-mB)nB-mB, mCumD:(nD-mD, cumquepar V. 5. mA-mB:m(A-B), mG-mD...-..-m(C-D)aç pet V. 6. nB-mB’:(n-m)B, nD-mD.-?L(n --m)D;

cri: m(A-B))(n--m)B, m(C--D):((n-m)D.Quodsi n-m, qui en numerus imager, si: )1 , propoaimmcomtat ex V. Def. 7. si veto n--m’---1, tarit 2m(A--B))2B,2m(C--D):(QD, quoniamque aequemuhiplices magnitudî-hum m(A-B), m(C-D) cum ipsarum A--B, C-D acque-multiplicel (V. 5.), minus pet V. Def. 7. canna: proposisum.

l

356i I ExcunsusCam". (flamber. 5. 25.) Quod quidam sic quoque expri-

»mi poteur: Si gamma dual-nm magnitudinum ad enrum alte-ram mniorem nûment .lubet, quantumma dunrum aliarumad huant dteram; Id com priorum, quae terminum conce-qnentom ntiofiit miiorit constituit, etiam alter; ipsarum. ma-iorem rationem habebit, qhun litera bostçriorum ad eam ha-rum; quae est terminal conàequens rationisminoris. QuipPe

si, A-l-BiB)C-l-D:D; Àet A4.B-B:B)C-l-D-D-.D

i. e. z B)C : D

I . . I tProp. k. (Hauber. 5. 24. Pappi VIL 6. Clam V. 50.).Si A:BoC:D, et C)D, ac proindo ’(Prop. d.) A)B,

cri: convertendo A:À-B(C:C--D, un inverse A-ÏBt:A)

C-D: C. A ’Dem. 0b A:B)C:D (supin), cric dividend’o (Prop. i.)

A-B:B)C-D:D, ce proînde A-IB-l-B:A-.B(C-D-f-D:C-D-«(Prop. h. Cor. 2.).i. e. A:A-B(C:C--D, sen ç

A-B:A)C--D:C (Prop. 3.).

Cor. l. (Hauberxs. 25.) Sive etinm: si sumnia duarumv magnitudinum ad arum unam majorom rationepr luber, quam

Inmma dunrum aliarum ad lluum unnm; cumula Frioul!!! ado earum ulteram minoiem rationaux habebit, quam summa po-

I

iteriotum ad harum alteram. Etenîm, si

[hl-B a3) C-f-D : D lmit A-I-B : A-I-B-B (C-I-D z C-laDnD

i. e. A-I-B:A(C-I-D:C. ’Qltod etiam bonseqoimr ex Prop. î. Cor. et Prop. Il. Cor. 2.

Cor. (Hauber. 6. 26.) .Generatim, si quatuor magni-tudinumhqgu’um prier ad secundam maiorem rationem habet,

. . . u aquam tçïlla ad qllaïtamy tel-na m3101" ment quam quarta,êdeoque (Hop. d.) etiam prima maint quam secunda; diffo-remia priorum ad carum nlrerutïam maiorem raliouem habe-bit, quam climat-enfla posteriorum ad harum :llterutram, quaenimîrum ci, quae in maiprirrationc assumta ont, ordina re-

sponden. tt

l

a d . au En. V; osa. 5-et 7. 357’Cor. 3. (Hauber. fi. ’27.) Pariter, si difl’erentia dnlrum

magnitudinum ad baïram minoram habet rationna uniment,quam dinerenytia duarum aliaruna ad harum minorem, priorumquoque diHerentia ad ennui majorem in maiori rationna orin:quam differentia posteriorum ad ipsarum maintenu.

Si enim A-B:B)C-D:D * I«a: A-B:A-B-i-B)C,-D:C"-D-hl-D (Prop. a. Cor. 2.)

i. e.,A-B:A)C-D:C. ’Quod etiam-contequitua ex Prop. Vh. Cor. 1. et Ptop: k. * LI]

Ptop. l. (Hauber. 5. 28.) -Si A:B)C:D, et B)A adeoque (Hop. d.) D)Ç, cri:

’ A C .:B-A : .B: )D2 D-C et navetteDem. Cum sit tandem (aupp.),. aeu"

D:C)B:A (Prop. a.) etrBoA (son)dividendo erit D-C:C oB-Aut (Prop. L), niqua etiam

D-C;DNz-A;B) (Prop. k.)undp purine]: (Fini). L) A:B-AdC:D-C

) et BzB-A)D;D--c.Cor..1. (Haubér. 5. 29.) Si duarum magnitudinum diffa-

xontia ad earum maiorem in maiori Fatima est, quam duarumalianum difierantia ad harum maioramt priorumdquoquo maiOtad ipsarum’ minorem in maiori ratione erjt, quam ponction-unimaie; ad harum minorem. )Nam, si

A-B:AdC-D:C .est A:A--(A-B))C:C-(C-D) hop. 1.

L li. e. AzBoCÆ.

Cor. 2. (Hauber. S. 30.) Item, codem supposito, quod inCor. praeced. pariter diffcrentia priomm ad ipsum minoremin maiori ratione erit, quam difierentia posteriorum ad harum

minorem. si enim - IA-BzA oC-ch dest A-B;A-(A-B)dc-D:c-(C;D) Pi’op. l. ni. e. A-Bzudc-DD . "

flood de! comeàuitut ex Cor. 1. et Prop. i.

w ,-4» d ’ a

.358 sicvnauaProP. m. (Ruban 5. 31. .Clau. V. 31. cum 8421101.).

si val A:B:D:E val A:B,)’D:.IE ’vel tan [onyxis.g maya? et B:C:E:FY quam Royal?

’ ex «go etiam en’t tA:CoD:FDem. 1) sa A:B.---DEE et hayon ait mB)nC,

mEî:(nF (V. Def. 7.). Tnm, quia nC( mB eritA:nC)A:mB (V. 8.), et, cum oh A:B.-.-D:E (supp.) si:A:mB..-:D:mE (V. 4.), etiam A1110 oDunE (V.15.), quoniamque

mE.-.(nF, cri: et D:mE:(D:nF (V. 7. 8.), le proiudeA:nC)D:nF (V. 11e: Prop. b.), itague ArcVDÆ (Prop. a).

2) Si A:B eDzE, et B:C.-:E:F, inverse (V. a». et. Prop. a.)

cri: C:B:F:Eet B:A(Ë:D

igitur ex aequo par demonstrsta nr. 1. C:AÇF:D son inva(Prop. a.) A:CoD:F. ’ i

5) si nm. A:B)D:E, quam B:C)E:F, ait mAVnB,mD:II(nE, et pB)qC, pE:(qF (V. Def. 7.) exit etpmA ) pnB, me: ( an, an ) nch ,* nPE: ( anson pmA)pnB, et pnB)nqC, pariterquePmD:(PnE, et PnE:(ane itague bine pd)qu,me:(an. Quare, cum aequemul’tiplicea magnitndinummA, mD, qC, qF sint ipsarum etinm A, D , C, F acque-mulliplices (V. 5.), propositum par V.’Def. 7. constat. »

(Hino sequens dednci potes: Corolllrium: Rationum interle diverslrum duplicatae (triplicatae etc.) etîam inter se di-vers" auna, et miioris quîdem maior. Nempe, si: v. gr.A:B.:B:C, et P:Q:Q:R, sitque A:B)P:Q, .c; mA)nB,mP::(nQ. hm, quam-s mA)nB, cri: et mBonC,et quotiel mP,:(nQ , erit et mQ::(nR (V. Def. 7.)imquo "crunt aimnl mB )nC, et m0 :( nR, adeo-que (V. Def. 7.) B:C)Q:R, ,unde ex hac Proposition un,erit A:C)P:R. Cf. observ. ad V. Def. 10. Il. Algue bineporto facile col]. Cor. id V. 22. par indirectum demonuubi-"11’, rationum earundem inters: subduplicafas (subtliplicatas etc.)

pariant inter se esse «adam, diversarum divans.)

7.....a -

AD en; V. DEFJ5. ’et 7. . . 359.

flop. n. (Haubefufi. 52. Clan. V. 32." cum Islehol.)

Si yel A:B:E:F, vel A:BeE:F, vel un: A:B)E:Fet B:C)D:E. et B:C:D:E quam B:C)ID:E

cri: adam ex aequo perturbate A:C)D:F.

Dem. l) SilA:B:E:F et B:C)D:EI. si: mB)nC, mDu, (nE (V. Def. 7.), et cri: nE:mF:)mD:mF (,V. Ï et 8.) eet, quia 0b A:B:E:F (supp.)’ exista nA:mB.-..nE:mF (V. 4.), e

cri; et nA:mB:)mD :mF (V. il. 13.). Sed ,v cum si:mB)nC, est nA:nC)mD:mF (V. 15. et Hop. b.), undoA:C)D:F (Prop. e.). ’ ’ I . ’

2. Si A:BeE:F ,À et B:C:D:E, cri; inverseC:B::E:D (V. Cor. 4. vel Prop. B.)

et B:AeF:E (Prop. a.) . * eitague par demonmatà nr. 1. Cersz; sen inverse A:C)D:F (Prop. a.)

5. Si A:B)E:F, et B:C)D:E, bit mA).nB, mE:(hF,,et pB)qC, pD:(qE (V. Def, 7.), .igitur et pmÀëi’nB,an, leu pnB)nqC, parâterque qu:(an, mp1) un .PmD.-.-:(qu son qu ,’ nique bine pmA)nqC, mezr(an, et; quoniam magnitudjnum mA, mD; qC,’ qF nugge-multiplicee ipsarum quichua A, D; C, F sua: (V. 5.), exigupet V. Defin. 7. A:C)D:F. n

Prop. o. (Hauber. s. 53;)Si A:B.-.)C:D, et E:B)F:D, eril: A-I-E:B)C-f-F:D..Dem. 1) Si A:B:C;D et E:B)F:D, - sive injoue

B:E(D:F (Prop. 3.), .ex aequo cric (Prop.m.)K A:E(C:F, itague A-l-E:A)C-I-F:C (Cor.

2. Prop. Il.) et, cum si: A:B.:C:D (supin), ex aequo adam

(Prop. in.) A-f-E:B )C-l-F:D. V .2) Si A:B)O:D, et 15:15:75]), sith)nB, mC.-.-*.(nD,

et pE ) qB , pFV:( qD, erit etiam pmA ) pnB, me:’( an; et mpE, son PmE)qu, mfiF unme:( mqD , ergo etiam pmA-I-me ) pnB-l-ran,me-l-me:( an-IàmqD,» un (V. 3., V. 1., V. 2.)

360 . o sxcunsue u. upm(A-I»-E)) (pu-Huq)B , petiterqud

pm(C4-F):((pn-I-mq)D, and: etAOE:B)C-i-F:D pu v. Def. 1. .

Coroll. (flamber. g. s4.) Sive «un. si A: B z ).C : D

et E-A:B)F-C:D

cri: ArIjE-.A:B)C-I-F-C:Ds. e. E:1»F:D. ’ l u- Prop. p. !(Haubdr. 5. 35.)

Si A:B:(C:D, et E:B)F:D. cri: C)F, si Â)E, et

A(E, a cd: u - el Dem. Nm, 0b bar-(C:D, et E:B)F:D (supp.)B:E(D:F. (Prop. a.) ’

eril otilm ex aequo A:E(C:F (Prof). m.)son E:AuF:C (P1017. à.)

made par hop. a. sonna; propoaimm.Prop. q. (Hauber. 5. 36.)

Si 41:8: (C:D , et EzB) F:D , cric.A-E:B(C’-F:D, IiB)E» .09")th (PEP-M (Sur.

eedlE-A:B)F-ÏC:D, IiC(F . . . . . . . A(E.Dem. 1) Si en A:B’:(C:D, et E:B)F:D, et AuE,

hiverne cri: B:E ( D :F (Pl’op. a.)

igitur ex aequo A :12 ( C: F (Prop. m.), et qui! AuE, A-E:A(C-F:C (Prop. k.)

quoniamqùe A:B.-:(C:D (aupp.)x Aadam ex aequo A-E:BuC-F:D (Prop. m.)

a)’ Si en E:B)I’:D,l et manuel), atque’Dl(l-7,

cri: inverse 13:11:)ch (Prop. B et a.) quam ex 415un E:AoF:C (hop. 111.), - ,

l et hinc E-AIEuIT-«Çdr (Hop. î.) qui: C(F, "011qu si: E:B)F:I) (luPP,)

à: aequo client D-A:Bfl--C:D (Prpp. m.)

, Ir

Ah EL..V. un. 5. et 7. - 36!Cor. 1. (Hauber. g: sa) Quod quîdèm mm sic aga-ami mais!

Bi est A-i-E:»B::(’Chl-F:D uE; A : B ) C : D

un et 13:13 (LED;

Sed, si A:B:(C:D Îet A-l-E-Jî ) C,-I-F:D

. leur et E:B.)F:D.Cor. 2. (Hauberl 9. 38.) Pline adam, si

A-EzBfiC-FzDet A:B::( C:D u

eût A-(A-E):B(C-(C-F)’.D (propq. 111.1.)

u seuE:Ï3(F:D. , AEt, si A:’B)C:D uarque .A-EzB:(C «PEU

tarit Aî(A-ÎE):I;)C-(Cv-F):.D (Prop. q. mail.

hoc est EzBul’fl). I’Prop. r, (Hauber. 5. 59.]

- Si A:B)C:D, mm siC)D, ergotez EPIOPÏJ.) A)È, tarît

A-l-B:A-B(C-f-DaC-D: et, si A(B, ergo et (hop. d.)0(1), cri: A-i-BzB-AiusC-l-DzD-C. "-Dem. 0b A :B C :1) (supp.)

1) cri: A-I- BuluC-l-ch (Cor. 2. Prop. Il.)et; si C)D, convertendo A:A-B(C-.C--D (hop.

quam ex «une A-I-B:A-BuC-l-D:C-D (Prop.m.)2) cri: quoque A-I-B:B)C’f-D:D (Prop. 11.),

et, si A(B, B:B-A)D:D-C (Prop. l.)unde rursus ex aequo A-i-B:B-5A) C-i-D:D-C (PSOP.,-ma)

V Prof. a; (Hauber. 5. 40.)Vicicsîru, si Aq-BzA-Buc-g-pœ-D

I I x «il A:B(C:D .Enclid. marnent. P. Il: B b

I

l

362 4 enfancesDem. Nm. 0b A-l-B:A-B(C-l-D:C--D (eupp.)

est A4.B-ç-A--B:A-g-B-(A-B)(c-i-D-t-c-nsq-H)4(C-D)’ (Flop. r.) hoc est 2A:ZB(2C:2D

l et proinde A:B(C:D (Pi-op. u)Et indemne quidem de magnitudiuibïu univeru’m sermo

, fuit, .ive en, qlne id dans diverses ration» perdueut, interse eiusdem, live cliverai generis fuerinr. lem veto fientoit

eueior ed megnitudinel bomogenem. lP101). t. (Hauber. 5. 4l.) ’Conf, hop. c.

Si quatuor homogenenrum magnitudinum A, B, C. D si:me, «13(1), vel, .5100, et 3:0). «a: i

A :B ) C:D.Dem. 1) si 4.-:c, et ne D;

erit A:B)A:D (V. 8:)et A:D:C:D (V. 7.) i

ne proinde A:B e C:D (V. 13.)2):si A)C, etB:(D,

(un neume) (v. 8.)et ClzB..-.:) C:D (V. 7. 8.).

itague et A-B ) C:D (V. 13. et Prop. b.)

Prop; u. (Hauber. 5,42.)Vieillim, si A:B)C:D, cri: B(D, si A:(C, et

’ A(c, u 13:)»D.

Dem 1) Si A:(C, efit’ C:B::)A:È (v. "l. 8.)

et cum ni: A:B)C:D (eupp.)etiam cawas (v. 13 et hop. b.)px-oîndeque B(D (V. 10.)

2) .Si 3:)D, cri: C:D:V C:B (V. 74 8.)x que", cum si: AzB) C:D (enfin)

erit et 41:3) C : B (V. 13 et Prop. b.)itague A) c (v, 10.)- i

en 5L.:V. ou. 5. e; 7., I, 363Prop. v. (flambons. 43. Pappi’ l. Hop. 5. quarta». V. 27.)

Si A:B)C:D, erlt b: alterne A:C)B:D, ieeu invars.

C : A:D : B. kDem. sa: a»... et mCÎnD ou". u V.Def. 1,)

!

exit igitur mA:mC)uB:nD (Prop. t.)et bine A:C)B:D (Prop. e.)

Prop. w. (Hauber. 9. 44.)

l I , Si ÀlB.)ÇxD, cri! A-l-Ezèl-le

Dem. 0b A:B)C:D (eupp.) erit1) componendo A-l-B:B)C-I-D:D (Drop. la.)

et alterne A-I-B:C-f-DVB:D (Prop. v.)2) erit etiem A-f-B:A(C-I-D:C (Cor. 2. Prop. la.)

et turent alterne A-I-B:C-k-D(A:C (Flop. v.)Cot.i.(Hauber. 5.115. Pappi VIL8.) Enfiler, si A:B)C:D,î

«in et A-l-CüH-D: . Nm,ob A:B)C:D(Iuppe) V

I cri: alterne A:C)B:D (Prop. v.) et bine, i IA-i-C;B.4.nf zig (Pmp. w.)-

Cor. 2. Inaequalium dunum magnitudinum Indice en!minotem in mniori arion est, queue suturai mulot]: et enim-cnnque ratine ad eummam minorie et eiuldem tordue.

Nana, si A)B, est A:C)B:C (V. 8.), ideoqueAfi-CzB-i-C(A:B (Prop.w.), eau A;B)A-i-C:B-Û-C.

PIOP. x. (Haubfr. 5 47.)sa A:B)C:D, a C)D, itague (Prop. a.) A)B. «à:

l-kC-D) g sed ni B)A, edeoque (Prop. d.)

D)C, .1. B-Azn-icq êfg.

Dem. Propter A:VB ) C: D (supp.)1) li C)P, erit A-B:A)C--D:C (Prop. l.)

et A-BzBVC-DD (P101). i.)

364 EXCURISUS’ peoinde etipm alterne A-B;C-D)A:Q

j i et A-B:C-D)B:D (hop. v.)si B)A, cuit B-A:A(D--C:C

v "marque A-AzB (D-C:D (Drop, l.)unde imam alterne B-A:D--C(A:C , *

V et B-A:D-.-v-C(B:D (Drop. v.)Cor. 1. (Hum. 9.48. un): vu,9. Clan. 1.33.) suas

( VŒD, et inuit B)D, edeoque (Pi-op. a.) A),C, cric A-C;A:BB-D) z C.D; sin eutem A(C, au proiede (Prague) 13(Dl

Q «in C-A:D-B( g ï;

Nain, oh A:B)C:D (mpr, cri: alterne (hop. 0;). A:C)B:D, etque Mue, si B’)vl)x cri;

A-C;B-D) 3 ; un. autem A461, r *«

A:BC-hAI:D-BV g C:D Prop. x. A

Cor. Q. Inaequalium duarum magnitudinum maint ad mi.norem in minou ragione est, quem excusas maioris importer.tiam quamçunque et! ekcessum minoris eup’er candem’, minoç

rem nimirum. embehusî in maiori Vero, quam excessus tartine’cuiuscunque, que si: ambabne maïor, super mniorem, Çd ’93.

pensum eiusdem super minorem. ’ .fixais), li A)B, est A:C)B:C (V. 8.)

et proinde A-C:B-C)A:B, si C(Bec’c-Azc-B «un, u a»; (Prop. 3..)

(A-C:B-Cl "n Adages-A434; (

. Pmp. y, (Hauber. 5. 50. Clan. V. 34.)si A:B)C:D,ç et; C:DuEÆ etc. erit summe omnium

lilial-am A-i-C-i-E-I- etc. ad summam omnium paneriormB-l-D-i-vF-i- cm. in maiori ratione, quam postremn E priornm

I ad postremam F posteriorum: in minori autem, quam primeÀœriorum ad primam B-posteriorum; et deuique in maïoriquam summa prim’um CAPE-Iv- etc. omnium excepta prima A,

"An en. V.DEF. 5. et 7. 335ad summam pesteriomm D-I-F-àl-n etc. omnium. exceptaie- L

martyrium B. v e i ( 4 tDem. ObIA:B).c:D (enfin) . io en A-bC:B-f-D*)C:D «KM; (Cor. 1’. Drop. v.)

Quoniem autem C:D’eEJ’ (swap); flic olim: e

A-kC:B-f-D)E:F (Prop- b.) , ’etqne bine A4-C-(-E:B-1-.D-Ç-F)E:F, sed (Aq-CŒ-H)(Cor. 1. Ïr. f.) Unde porto 0b AfC:B-I-D(A:B pet daman.

mâta cri! A4-C-l-E:BOFD-ç-F(A:B (Prop. b.)atque Mm; À4-C-I-EzB’feD-i-F)C-1*E:Dwi-F

(Un. l. Prop.)

. , Prop. z. (Haubcr. fi. 51.) I Isi A:B)C,:D, et B)D,.Periœrquaa Cm1), et proinde

(Prop. d. et Pr0p. u.) etiam AVB; et A)C: eumma maxi-. mac et minimae A-j-D ânier esr, quam summa dandin reli-

querum B-f-C. I xDem. 0b A:B)CîD, et Cul) (supp.)dividendo est A-BzBuC-JMD (Prop. i.)

quoniamque B.)D (lupp.) miam A-B)C-D (Px-op. u.) .

h et, addito unimque Bai-D

. l fini-D oB-FC.Prop. a. and... s. 52. Pappi vu. 16.)Si tint quatuor numeri val lineae A, [B’, C, D, in, (un:

M

x

A:B)C:D; cric produotum’ val rectaugulum pxuemorum ma-

il", quam productum aur rectangulum mediozum, et vicis-, Iim. (Hanc Pr0positionem, quamvis iam supponat Fraposi-’ tiones alignas mari V1. val VIL, que tamen independenter

lb en demonstrantur, propter nexum cum praecedentibus, ne.luiront à reliquis Hauberianje saeparare, et .suo démuni locoponere, cui facile eam restiïuet lector intelligents).

(Dem. 1) Quoniam AzBmCÆ (supp.) iet Aznz’XXCzBXC (x711;17.LV11. 18. V]. 1’.) v

erit un... AXC:I;X(»C:D (V. 13.)et qui; rursus C:D:AXC:AXD (VIL 17 V11. 1:5.VI.1.)

366 Excunava .-adam Axcmxcyxxcmxn (v. 13.)et bine BXC(A)(D (V. 10.) «a

. AXD)BXC.2) Si AXD)BXC, pprilor cri:

AXC:BXC)AXC:AXD (V. 8.)et 0b AXCzBXCzAxB (vu. 17. vu. 16. v1. 1.)

A;B)Axc:AxD (v; 15.);et, qui; muas AXC:A-Ir-D.-.C:D (V11: 17. VU. 18. V1. 1.)

patiner A:B)CâD .(V. 13.) tCor. (Hauber. 5. 55.). Proinde, si A:B)B:C, Juana;

tîbus tanna A, B, C maneton, vol linons,

en AXC)B.2, vçl Ba, et vicinim.

I

àvansus. 7* D

ELEMENTORUML. v1. et maxime éd v1. Def. 5.

5- Î- Hue Defihitio in Edictîone Oxom’emi itaîhabet::4570: in 10’7sz wynaïaâaz, 310w ci: 107v Mywv nnbmî’njrec àp’

ignorai: 1:07.14: «10105410195704g amuïe; mai. Editio Basilesmi:

legit: riflât. Theon aeculi post C. N. quarti scripta in Com-mentar. in Ptolomnei Almagestum (HtOÂîpÉlov parfin: «w-raëwc fizfll.’ t7. 95mm: JÂéEowô’pæ’wc à; ni inti inpfivyflaîtdw

. 51152., un Basil. 1538 p."61. poht ambiguum illud et vagua:un; addit nylmo’mw 3.67011. Et Scbolion AnonyÊni in Editf

Elementor. Barileemi p. 67. pro un? aubstituit 10,611. Enterdu." in locum Jrchîmedi: (A’pzmâôovc tu? awÇo’psvà, mm;

ces? Eurasie!) ’Àvleœw’rov inopmpoîtwv iisdem verbis hune

Definitionem habet, ut nunc Iegitur in Edit. Oxon. Plerique’Commentateurs, ut Claviu, TartaIea, David angora: aliî-que vocem milmônlc vertunt: quadras, vel, ut ipsi vocem:quanlîtu interpretantur: rationnant denomimtor vel exponens.Wuliisiu: (Opeta Mathem. Tom. Il. p. 665 sqq.) milady]:interprentur: quantqplicitas, quam exponi ait par exponen-tem adonis. (Pfleiderer. in Sahel. in libr. V1. Elem. P. IV,

Iê qui-bus excerpta surit, glue in hoc Excutsu habentur 5-200.

nm. 7. 8. 9 ce". 202. nm. 15.). I p l5. 2. Vergm enin; veto, ut Bob. Simsan observat, lm-

in: Definitionis, laxo, in quod definit, effara (vide PerîJe-tu l. c. S. 200.) satis suspect", in seqlxentibus apud Eu-

z

z

4

368 EXCURSUS a I

sClillfnle Jrchînœderit, Apallanium. reliqnoaque "tous , quiratione composita saepiul uluntur, uuHum amplius vouigiuminvenitur. -(ld ipsum adam, si non «ibis, tu amen ifs:Inclut Clavius, nec satis excusare studet Saccheriru (Euclizlmab omni llaevo vindicatus-P. 158 aq.)). ha v. cf in demon-stratiome V1.. 25. in qua primum adonis compositae fit men-tio, nihil pumas accul-rit, nuod ad hanc Definiüou’em setaïaut. Campanus quoque Definitionem V1. 5. non habet.

S. 5.1Àliam potins rationis compositae Definitionem, unelogam ei, qnae V. Def. 10. Il. habetur, «perte su’ppouuntdemonstrationea Euclizlix, in quibus de ratio’nibus compositis

sema est v. c. V1. 2". et VIL 5. Eam à Campano iamurictiua indicatam in VIL Def. 19. varii recemiores Mathe-matici, quorum plures nominal: lecizlc’n’r. 1. c. 201. de-dere, uberrime exhibuit Bob. Simxon in Defiuilione A, quam

V. Defin. Il. Subuecljt, bis verbis: ’Î 1. Si fuerint quotamque magnitudinis eiusdem generis,prima ad ultimam habens dicîlur rationem compositam exratione, quam habet prima ad secuandam, et rations secunduad tertiam, et en, quam babel: tanin ad quartam, et in deincepsasque ad ultimam. Ex. gr. sin: magnfilpdines A, B, Ç, D: Vpuma A lxabere dxcnur ad ulumam D raucnem composnumex rationc ipsius And B, et ratione B ad G, et renion- C adD; val ratio A ad D dicitur composita esse ex rationibns AadB,BadC,etCadD.

Z Si igitur 1:31.10 A ad B cadem si: rationi E ad F: etratio B ad C eadem Yucrit nuioni G ad Il; eL dratio C ad Deadem rationi K ad L: A ad D habel’e (Menu; rationcm comëposîtam ex rationibus, quae eaedem sunt rationibps E ad F,

v U ad H, de: K ad L. Idemque intelligitur, quando bruitailis gratia dicitùr A ad D habens rationcm composilain ex rad

lionibus E ad F, G ad Il, et K ad I... l I.5. Similiter, si ratio M ad N eadem sitrlralîoni A ad Î),

praecedentibus manentibus: brevitatis gratin dicilur ratio Mad.N eadem e559 rationi compositae ex rationibus E ad F,G ad H ,’ et »K ad L, (val. quod Plu);fair addit, ipso adam

A!) en. V1. ou. 5, I 369,ratio M ad N composiu dicitur ex rationibus E ad F , G ad ’H, et K ad L.)

v Eodem sensu curetiequoque Geometrae .veteres Graeeidanominationem rationis composites usurpant, v. c. Archim-de: Libr. Il. Prop: 5 de Sphaera [et Cylindre; ’JpollaniusConio. l. Prop. 59., I. 40. 1H. 54. 1H. 66. Plolemaeus locosupra ouata, aliique.

5. 4. Ex bis omnibus non sine rations concludunt magninominis Geomezrae, inprimis Bob. Simxon in Nm. ad VI. 23. ’Pfleiderar. l. c. S. 204. net. 17. cum quibus consentiunt adamphares coaum Mathematicorum, qui Dcfinitionem 5. 5. alla-tam etiam ipsi exhibent, et maxime Scnrburgh (du EnglishEuclide Oxf. 1705. Schol. in V. Def. 10. et.in Def. 5. vul-garons libfi V1.), vulgarem illam Q. l. exhibiram Definilio-

I nem non esse ipsius Euclidis, sed a Theone sine dubio, sub-data gamins 6. 3. allata, substitutam fuisse eam, que. nunchabetur explicationem , que tamen minus apta, et, ut Bob.Sinuon ait, puerilis ait, quippe quae eis solummodo rationi-bus conveniat, quae numeris exhiberi possint. Arque lueratiche omnem de compositione rationum doctrinam sinus-dan!

- et aïyeomeremrjr redditam esse. Unde et Sazïilius, qui vulgao- rem illsm Delinitiouem S. 1. genuinam puni-st, professus est,

in pulcherrimo Geometriae oospore dues esse labos, nec,. quad scias, plures, in quibus eluendis et emacnlandis cum

veterum tum recentionum vigilavefit industriaa Prioremnempe Pour. 5, I: posteriorem, que ad compositiouem ratio-num pel’tineat (Savilii Praelect. Lect. VII. p. 140.).

5. 5. Hum: suspicionem, nempe Theonem Architectumesse vulgaris Definitiouis 5.1. confirmare videntur ca, quae Timonin Commenter. ad Psolem. loco supra cime baba. lbi Item-pe, postquam Ptolemaeu: propositionem aliquam de composi-tione raflonum legitimo mon eo sensu demonstraverat, quemDefiuitio 5. 3, supponit, Timon airerions, quod ait, illustra-tiouis gratis VI. Propos. 25. adhibet, quac vero argumenta-!ionem complies: potins quam cxplicar, mm veto ex abruptoet sine alla ad proposilum applicationc DefiuiLionpm cum

.Euclid. Element. P. Il. , C C

.. r

370 sxcunsusvulgari illa exacte cousentisntem, nisi quad ad fluent addit"mimâmes une" exhibet. Algue hoc primum certum estvestigium Delinitionis s. l. allatse, quam ipsum deinde Eu-wcios seenli post C. N. sexti scripte: in Commentario inArchimadsm en, quem S. 1. dixinus, loco, ut in Elementiaoceurrentem, designst.

5. 6. Aliud procures argumentant. quo vulgarem ratio-nis compositse Definitiouem 5.1. album supposititism .esseprobu’i pouit, in eo deprehendit Bob. Simon p. 374 squ.quod ,Vlll. PrOp. 5. nihil Iliud cantiner, quam quod in 1pllilla vulgari Dsfinidone useritur. Absurdum autem foret, pro-positionem aliquam in Elementis pou! tanquaxn Delinitiouem,et esudem in üsdem demonstrari. Propositionem autem VIH. 5.sa Elementis locum habere debere, non est dubium, idemenim in en demonuratur de numeris planais, quad in V1. 23.de parallelogrammîs sequiangulis; quote V1. Definitio 5. inElementù locum babel-e non polest. Quae quam in dut,"ces: vulgarem illam Definitionem 5. 1. pedum. Definitio-

I nem Theonù, alterna autem 5.3. exhibitam, V.Delinitionibus10. Il. analogsm, adeoque sine dubio magie ex Euclidùmente positam , Definitionem Simonis appellare.

5. 7. Vulgarem illam Definitionem minus spam esse nontentons inde peut, quad rei mere gsometricae numeri, arqueoperatioues in numeris usitutae immiscentur, verum miam qua-rumlibet rationum dam-nm exponenres inlogros fractosque dal-i,m1110 to: rationum numeris inellabilium censu habito, suppo-nitur. Quando autem numeris integris sur fractis rationes da-tse exprimonmr, ex quibus alia baud immediate cognita com-ponitur, son infertur, tum omnino hnec cadeau est rationi,quam productum multiplicationis terminorum antecedentiumrationum babel: ad productum ex ipsarum terminis cousequen-tibus, vel, quad eodem redit: .denominator, (i. e. numerusinteger au: fractile indigna, oui multiple , ont oui parti, qui-busve partibus consequeutis aequelur terminus antesedens ra-tionis) raliones primae quantitatis ad ultimam exprimitur de-nominatoribus mediarum ralionum interse multiplicatis. Nempe,

z

LAD en. V1. DES. 5. 371si A :Bzmzn denotantibus m, n, p, .q, r, l numeroa-dstou,

B:C.---p: q Basque integros (quia madones numero integroC:D:r:s et fracto, val duobus frutti: exprcuae facile

ON).

pet V. 15. nequipollentes numeris integris express: refluant:-tur): exit A:C-.-.mp:nq; A:D.-.mpr:uqs etc. Necesse est autemad banc pmpositionem , in qua de numeris agitur, demod-otrandam, doctrinam de numeris, ut libr. VIH. Elementorum(qui nihil de rationum compositions) Inpponit) tratlitur, ad-hibcre, am, quae hue pertinent, separatim demonslrnre.Oued quam omnino liceat, hues exit Vdcmomltratio.(vid. Pfloi-

der». l. a. 5. 201.) ’ I0b A:B:m:n:pm:pn (V. 15.) :mpznp (VIL 15.)

et B:C:P:q: npznq (V. 15:)est A:C:.-.mp:nq (V. 22.);Tutu , 0b A:Cmsmp:mq (V. 15.) :mprznqr (VU. 16.)

et C:D:ru: s nqwnqs (V. 15.). fit A:D:mpr:nqs (V. 22.) etc.

w! 5:1..qu 5-11-15 a ïfim’Vatios aliomm connus Defiuitiones Theâni: et Rob. Simsonî;

inter se conferendi refert Pfleidercr. l. a. not. 17. ariPse

faluns miam exhiber. Ifi. 8. Usum usionis composine, quum omnia,» in qui-bus sole: cdhiberi ratio composita, passim etinm sine ainsauxilio mm enuntiari, mm demonslrnri, in hoc unies con-Iistere ait Bob. Simon, quod aine ope [antiphrases evitentuf»et in Propositions passim val enuntiari vel detnonscrari bre-.vins, vel uttumque simul fieri posait. Ex. gr. si PropositioYl. 23. ennutinnda essor, non faon rationis composiLae men-tions, id in fient: Si duo Parallelçgramma aeqpianguln.f: erint, et Il, fiut unum lama prioris ad unum posterioris,ils quaèvis recta assumta ad secundam aliquam; et, mi alte-rnm lama prioris ad alterum posterioris, in; secnnda .iNn tintad tertiam: cri: priusPamllelngrammum ad posterius, ut raclaPrimitus assunna ad [une tcnidm. Venus autem cum vidis-

372 - Excvnsusun; lune Iemlnciationem posso breviorem radai, si nonnes:impositum anet rationi, quam habet prima recta ad ultimnm,quo norhine simul indicatentur rationeseintermedise, prima:milice: ad secundam, et secundae Id tertiam rectam, et il:deinceps, si plates fuerint none: rationeni lune pâmas aduhimam dixerunt rationaux composimm ex rationibus primas.ad lecundlm, et Iecundae ad tertinm rectum, hoc est, inpraesemi cala ex rationibus, quae eaedem mm rationibullalerum , algue in brevins Propolitionem denunciarum: Sifuen’m duo aequiangula Tarallelogrammn, habebunt inter serationem tandem ai, quse eompbsitn est ex Irationibua, .quaeeaedem sont rationibus laterüm, vol ndIuIe brevius: tequi-angula parallelogramma inter se rationem habent esndem si,que composita on ex rationibul latcrum. Qnum itague n-tio composite si: tanlum modus loquendi, Euclide: mitai- quo-qne in Definitionibus rationis duplicatae et triplicatae verbo:1575m1, quo verbo sine dubio utebatur etiam in Definitionerationis compositae; quam leon aliusve ex Elementis enim.

slit; mm idem verbum retentum est in inePta Definitione ra-tionis oompositae, quae nunc in V1. Def. 5. habetur. Incimtionibus autem harum Definitionum aliquandoretinelur,un in Dem. V1. 19.; i aliquando omitu’tur ut in Dem. XI. 53.ubi tamen 3’155 sine dubio idem signifient, ac ê’zew Hyène,

et in V. 23. ubi abonna; brevitatis canas: dicilur pro: né -X5103!" Zéysraz. ha fere Bob. Simson I. c. Pfleiderer ramez:l. c. 55. 225]. 223. manet, hac denominatione indicari simul,ragionem, que ex aliis componi dicntuu, un!) bis pendere,par est determinari, sic ut ex hie cognitis iuxta normam quan-

ddam constantem colligi arque inferri possit. Ha: porto etoinnes, et .simplicissimns daignai supponi, que; indolesmagnitudinum, de quarum ruions ex fis compound: pne-cipiatur, reqnix’at, val quas datorum problematil, oui ena-dando earum composilio adhibeatur , condilio auggerat- i

S. 9. En Defiuilione Bob. Sinuonis P1111138 dûduCÎ P05-sunt consequenlîae, qual’um panem habet ipse Bob. Sinuouin Proposit. F, G, Il , K. Apîiend. ad Libr. V. Nos cas hie

V fi .

AD en. V1. ber. 5. - 373’ite sistemus, ullsunt apud Pfloitlerer. l. a. , Eerum primeluce est: Redonne ex ruionibus respective inter se iisdem

. oompositne (sensu strictiori Defin. Sinison. sir. 1.) en": interse veaedemf (Est buen Sinuon. Propos. F in Append., ad Libr. IV. vel, si mavis, V. Prop. 2l. et 23. (entai-nm antes de- Jmonurmidae. ut ab Euclide factnm est) suis verbie in exqprimi poesnnt. Pfleitlerar. 5. 208.)

Sitveuim A:B:D;E i iV B:C:E:Fcri: (V.22.) A :C:..-D:F

Vel, si: A:B:E:FB rCz-TD:E i

*eril: (V. 22.) A: C:D :F.Et similiter, si. fuerint phares rationes in utroque casu. V

- 5. ’10. Pariter, si drue pluresve rationne eaedem sinh toti-dem aliis; terminisque singularum ac magnitudini daiae vé!assumtae quarra proportionalis inveniri potes: (quae tandem)detenninatio propositionibus analogie sequentibns est apiplican-da): istioii etiam sensu Def. Simmn. me. sq. enedem erunrinter se rational, quarmn una ex prioribus, alter-a ex poste-

rioribun componitur. iQuodsiienim A: B: Ë:F ’

A C:D:G:HâArA:B:K:L .v et E:F:N:O.C:D::L:M G:II:Û:P;eruntque ex V. il. K :L:N:O *

L:M::’0.P

adeoqne V. 22. K:M::N:PEodemque modo assertum de pluribns, quem duabus ralioni-bus, comnositioneqne rationnm iuxt’a. Def. Simmn. nr. 3. lib.ceptas demonstratur. (Bob. Sinnon. l. c. Prop. G. J’fleidersr.

L c. 209.). V uIn esquentibue raticnem ex duabus pluribusve sensuDef.Su’nuon. un 2. 5. compositam, ubi e reprit, compendii causa 4designabimus, bas Setie verticsli scripta! uncis includendo.

I V

374’ v [sconsesSic mode prucedens propositio in exprimeras:

(A:B -(E:F ,A:B:E:FC:D)- en; ’uC:D:G:H.s. 11. Esedem porto inter se saut rations, qusrnm litre-

que sensu Def. Simyou. nr. 2.-ex iisdem ruionibus compossi-tssr. H01: quippe sensu. si mm retio A:B, quem allers C:Dex rationibus 2:17, 6:11 componizur, sinxque E:F:K:L

G:H’--L:M:

erit un! A:B:K:N (Def. Simr. un?) quam C:D:K:M;situ: A:B:C:D (V. 11.) Pfleiderer. 1. e. 5. 210. )

S. il. Sicut ruinais igname invesügstio compositioneeius ex rationibsis scepo congmis dirigitur, et, quando liseliquent, sbsolvitur: in vicissim iudsgstio rationis, quemunaus esse constat earum, ex quibus l’alio date componitur,ed determinsndam sitersm, elterssve liane eomponentes redu-eitur; que facto me divisions, quem vacant, dame rulionîscomposites par notam comPoneutem sitersm vel ex slteriscompositsm innotescit. (Pfleidersr. l. c. S. 224.).

5. 13. Reductionem divisionis indus ad compositionemdoeet Paypi Propositio 111. Lib. VIL Collect. Mathem; unLemm. 7. in Lib..l. Conicor. Apollonii: que, si A lit Id Bin retiene composite ex rstionibus C:D, E:F : vicissim ratio-nesn C:D ex rationnais A:B se FîE sen inverse ipsius E:F

i comyoni ostendit. Fscto enim E:F;D:H; exit (Def.Sinuon.)une, que ex rationibus C:D, E:F componitur, h. e. (supp.)

A : B: C! H. .Quatre, cum in sin: C:H:A:B

H:D:F2EAtB

est (Def. Siuu.) C:D: F: E)Eodemque mode, ex quotcunque rationibus C:D, E:F, 6:1! etc.componatur ratio 11:13; entends E:F, G:H etc. ad ImamP:Q ex iis compositsm reduetis, demonstratur, rstionem C:Dcomponi ex rationibus A:B et QzP; son C esse sd D in re-tiens composite ex directe A ad B et inversa rationis P ad Q.(Pfleiderer. l. c. S. 225.)

s

en EL. Vl. une. 5. y 375.- n5. il]. Hine resedemetism inter se sunt rations, quaerationibus iisdem inter se A:B, C:D pet alias EzF, 6:11 pari-:er inter se easdem divisis obtinentur. Quippe 0b E:F:G:H’(supp.) est etiam F :E:H:G (Prop. B. in Excurs. ad Libr.V.).- i IQusre, cum quoque sis A:B:C:D, ratio ex ALE ne F:E com-posite «dans est rationi composiue ex C:D et H:G (5. 10..)

. * h. e. (fiÎ 13.) quee rationem A:B pet alterna E:F dividende

mais"

prodit, ratio endetta est rationi divisione rationis C:D pet d-tersm G:H orinndne. (Pfleiderer. 1. e. 5. 226.)

s. 15. Idem, in Propositionibus H, K Elemen: Libr. v;annexis Bob. Simson ubesius sic enuncist: ,,Si ratio ex qui.busdsm rationibusii (sive stricsiori, sive latiori in Def. Sires.exposito sensu) "composite esdem si: .rationi ex quibusdsmsliis rationibus compositae, fueritque uns retio ex prioriblsl,

l val ratio ex quibusdsm ex prioribus composite; esdem uni.redoni ex posterioribus, val rationi ex quibusdaim ex posteîfioribus contamine: cri: relique retio ex prioribus, vel reliaex reliquîs prioribus composita, esdem. rationi relique expesterion’bus, vol rationi ex reliquis p08terioribus compositee.(mon... 1. c. s. 227.)

. (Iz i V i e l z l5. 16. IQumdo A:B..--..- ( E ), parâtes est AzB E r).: C:D

. C:D:KzL V K;L ’Flans enim E:F:L:M, est A.B-. LzM ..K:M(V.22.)

:M EZFet 0b K:M qucque :G:L) (V. 25.) :(ŒD):

; E:F . 1. .penser est A.sz (31)). Similiterque rationem

ex pluribus quem duabus compositam, muleta horum ordinobaud mutari ostenditur (Pfleidsrer. 5. 228.)

, C:D . i ne l5. 17. Inverse. quando A:B::(E:F)s cm BiA:(Ir:E)’

Â 1 Cu :KzL. I K:LFicus enim ETth est a.D.-.-.(L:M)--K.M,

376 i I s x c u n s u s

. . h , L:K -et B: A:M:K (PropJ3. in Excursu ad Ltbr. V.) (V.23.)

me i ’« : (Fa) (Prop. B in Exc. ad Libr. V.). Quod rusas si-

militer ad rationem ex pluribus quam titubas compositam ex-tenditur (Pfleiderer. 2’29.)

Ï- 5. 18. Si A, B, C, D saut magninidines homogeneae, est

A:B)-- A:D F , , A:B:K:L . A:D::K:O(C:D -(C:B I mus un". C:D:L:M’ C:B.-:O:P

ut sin: :K:M , (à?) :Kz p (me Simson.)

0l) A:B:K:Li B:C::P:O.(Prop. B in Exc. ad Librpv.)

C:D:L:M

. K:Lest A:D sen (coussin) K:O: on-

i l L:MI ’ I K:o kmmac 5.15. (O:P)-(L:M

I I ’ . , sa; ’ sa)Il. e. (V. 22.) K:P:K:M, sdeoque (C:D):(CÆ . V

(Pfleiderer. S. 230.) I . .

, z- C:Dg; 19. si A:B:(E : F D, asque E:F.--D:AI, est6:11

A:B::(C:I . Facto enim G:H:I:K, fit

G:H .d :. A:B:( à: I) (ç. 10.):C:K (1M. Sim..):(î;)

IzK . il(Def. se...) .-.-. s. 10; (Pfleiderer. s. 251.)

5. 20. Sis A ad B in ratione composite ex adonibus Ed?

,AD 5L. VI. une. 5.. 1377et 6:11: asque B:C:I:K:’erit A sa C in satione compositeex rationibus E:F, 6:11, I:K. Factis enim

P:Q”-”E:F r t E:F’ 1’sz .[Q:R:G:H; unde (Gin IE:FES: 11K I P:S:-.(G:H)

I:Kerunt A:B:P:R 91.)

B:C..-.R:S (V. 11.)

’ .E:Fmesas (v. 22.) : (ont). [dengue simi-. :K .

liter et ad pliures magnitudines A, B, C, D,ele. et ad rationalipsarum rstîonibus mutais sequipollentes simplices composites-

ve quasiibet extenditur (Pfleiderer. S. 232.)

s. 21. sa sa: et A,4B, c, D, E, F sunt ma-

.gnimdines hlomogeneae: oh B:C:B:Cr

B î 1E

(C:D 15:0 B Dau... me: E:F )’-.: C:D ): 5 ’’ me sur (135F) I

g. 20. s. 16. s. 19. s. 18.(C:D C:D i

A:E--- E117 C:D g 33DB:E v :F (M) (0’17’ (Castillan sur une nouvelle proprieté des sections coniques in

Nouv. Mem.de l’Aesd. de Berlin. Année 1776. p. 298.) Cotes-se,

quse. ibidem ex deducuntur. retinssesr ex," 5. 13. 17. 18. et nunc 5. 21 ostensis consequunmr. (Pfleidt-

in. s. 233.) . s ’ s

S. 22. Ratio composite ex eiusdem rationis directs et in-

. versa est ratio se lita ’ " . ’ i) que tu. seu sequslsum Quippe, si x

3781 sa x c u a s u sA: B:E : F

et Il) :C :F : Ea. A:C:E:E (v: 22.), proînde sa: (Excurs. ad mue-y.(Prop. A.) mais"... s. 254.)

9. 23. Compositionem veto pluriusnJ redonnas hâte.dientss eiusdem mimais directs et inversa se munie destruuno.

(But

A;Bau"... (95:3 :cm, 3:3):(g;g m,(11:4)

FactisenimA:B:K:L

I C:D:LsM1 E:F:M:N En5

’51

,2.8’.Ë

. a.A0xBa:vIlFE

0b B:A::L:K (00net. et Prop. B. in Exclus. ad Libr. V.)

A:B ..fiant (C:D :L : M:C :D (Cousu. et V. 11.)

( :A) ’ AV 9.20.

( 53) ’N l ent - K: ’- . .. :.(EzF)-- n-LoN- En? (CommetBus I(Mouflon 5.

5.24. Hisse, si. , atque C:D:G:H;petites exit A:B:E:F.

I

(En? )5.15.: ( En) ) (supp. et s. 10.)

QuiPP°’ 0b (ÊÊÊ):(ËÊi1

est .1sz (G

. t :C12:17

:II(ne )

:EZF (5. (Pfleiderer. 6. 236,)

x

an En. V’I. 0151?. 5. e .379.

g. 25. Vjeislim si tutie, qune ex dauba. componitnr, estratio aequalintis: rationnum, ex quibue componitur, une [ou

alterius inverse. I. A: z 1P . :INempe. 31 mgr-là; ngltue A:C:(Ë:Il; :

et A:-.:C , Mecque A:B::C:B (V. 7.) a 5.: E:F.-.-H:Ô (supp. etFlop. B in Exc. ad Libr. V. et V. 11L) (Pfleiderer. S. 257.)

5. 26.. l’amer, li in Compouitione trium pluriumve n-tionum dune se macao descruunc, harum une drelin: entu,

inverti. ’

(A:B ’ A:B::K:LQuippc si C:D .-.-.A:B, et C: ::L:MY (sa?) E:F.-:M:N

est (Def. 85m1.) K:N:K:L, Mecque (V.9) NzL, et (V. 1.)L:M:NzM; proinde C:D:FÆ (Prop. B in Exeuu. ad Lîbg.

V. et V. il.) , -( A:B A AzB: K:L. . C:D ,- :B . ’C:].)-....L:Mmm" "(En -’ C:D ’ a mener

61H 6:11: :0ou (Def. Sima) K:O:K;M9l: (V. 9.) 0:;Met (v. 1.) M:N:0:N; itague E:F:H:G.

Et de ulterius. (Pfleiderer. 5. 238.).

BONNAETvrxs BüscnnnnlAnËs

I a 11825.

4.; 4.4....»

HIIHHHIIIIHIIII"?

CORRIGENDA

IN TOM-O I.XI. 1). 24 Boermann l. Bnermnnn .

KV! v: 1 Ptolomaeo l. Ptolemaeo27 :59. l. 39’, codemque mofla p. 5. v. 52.

202

20620:;214

v.neUn

1).Un

1,).1’.

1)-

U.1).

v.1’.

1).1).

unUn

.1).v.Un

’Ue

1).

1;.

v.

1’.

Il.

x

52 circuli, quadrati l. cireuli qludnti .11 e l. et .5a et l. la35 que ne l. ne nolait. ql. 28Il q29 Id’oculos l. 0b coulas29 prope l. to.24 Coila I. 0d. a2620 et 21 (n-2x-2P. 1.

4

ult. duobus I. quatuoracalerum l. Icalenum

.434 l. 111Wgemma

25 et 25 hypothenusn 1. bypotenun21 fiovüqtèïv l. flovûvtèïv

.10 haben: I. lnbent 2Bpermit. Quadrata 1. quadrata23 ostende: l. ascendantun. et. p. 182 v. 20 patafiole ammum l. pu.

antipan. tout l. recta30 1111-1113 I. 113-1111

2

ni alogummotum.

2 , ,l5 411:11P-I-I’ISIÎnI-JzJIT-IIB

25

21

2l. dIîszI-f- Îdflll- AH

Ad-Bd l. 141-34

2 250 I. N50 .Il. ad 10. Obl. 8.’ l. ad Iterpuyw’vov l: nrpaycu’rou L 10. 01390

382

P. 218- 215- 218- 219- ibid.(- 223.- 1 232-- 240- au- 252- 255-256-258-- 262- 212-- 283- 308-- 309

- 352- 328- 355- 379-- 381-- ibid.- 393- 403

lIII Il!"Ï. a:

lÊ

v. 4mm. 43344 I. 43-34unou

Un

un

ou

vu1).

v.0e

v.v.vaUn

v.Un

11-

Un

v.v.v!

1).

U.vuun

v.u ù

v0Ü-

89t9 114L 11429 e si oit l. i. a. si si:18 - Adq-l-le) 1; quai-ni)19 2.Pqu-2(PIIq-I’dq)

1. 2 rnq 4121-. 2(r11q- r11)9 E2 z. dz

24 212 l. 21141l13 Il. Il l. Il. il.15 recul: lus I. recungulum15 on». 1. ou. 5-5 .41" z. 413

29 Obs. (. l. Obs. 4.21 11qu l. HEq16 aimoient I. aeficienl24 Id Oba. 6 I. Id Obe. 412 sen l. «à19 ARE I. IRE22 Br I; B, P23 312.122 1. 32,122î (Je ut l. «ici .

16 differemia I. diffamant!"(En 1.04.5?2 fi1:7 l. [LEV4 .811; I. B11,9 APR l. 41”13 1 ’8 dB L JE13 El: angulul I. Angulus flaque

16 BB0 contento l. El) contente25 nounullun I. nonnullas

IN TOMO H.2 on? pelng l. 05, .1451;va e-uh. 0mm l. omuh ’ -10 te .1. et ’

21 04 I. 04n16 BAI].w l. HIE13 31.4 I. E41ult. si; (Il-fi) l. lit (n-â) plus enguli la!

verticçm, in ut v- gr. Pro «(05mm

28 sin j. m . .

ibid. v. 16 et 11 2m-l-1 I. 2m-I-I1

. . 1ibid. v. 22:: Tô- l. : w-

383

v. 26 211 I. 2n .v. permit. 1:11:25; l. :Rectï

3

v. ’25 2r ,1. 2:

v1 16 (20-21) Salas-03 (22-15-16) ’

” (204-1),(21-F1).(22-r-1)

Ç A b1- ’11 v. 5 Pou quindccagona’addc: lequilnero etlequiangulo ’

-- à? u. 1S2, confirmera l. command-- v. aimera i l. évasa! i- 88 ’ v.’ 11 flavrùwzi. minai au?"-- 101 1:. 22 pA B I. pA:gB ’ .- 108 v. 4 a me propositioni I. proyolitione-- 113 v. ultim. en: une l. en, qui»-- 111: v. 19 (A-B .(A-B)- 1’21 v. 6 a fine me nitudinibut l. in magnitudinibus- 123 v. ulu’m. TA . FMI-- 140 ive 6 a fine "floue l. ratione- 158 v. 12 definitionem I. defiuitionum- 161 v. 5 -- 2 l. 4-- ibid: v. 16 duobu! l. duebul-- 213 v. antopenult. diiîdcret l. deviniez-e: .- 214 v. 14 p95: I. 1:96: I--220 v. 8 T4 l. Il, E- 222 v. 11 a) I. 16- 995 V v. 6 a fine compendii l. compendii-’997 p. 11 alfine BI! l. qu- 928 v. î afine in l. Id- 932 v. 2 niveau l. sv’ôeîa- 234 v. 8 301w: l. 031w:- 240 v. 14 a fin; 4ABF I. ABE- 2’15 v. 1T hac I. haec- 247 v. 5 BEM l. BEY- 963 v. 3 a fine quartae l. quarta-- 269 v. ultim. unul I. unum-- 270 v. 15 in) l. 16- 215 v. 10 a fine lingules l. singulos- ibid. v. 9 a fine spsum l. ipsum- 280 v. 5 ba fine aciendum l. faciendumI:- 281 v. 8 a fine un!" l. textus-- 290 v. 14 umeqaapæ’wp l. mmgaapémv

a fine un l. eta fine es, l. en ’-a fine Euclide: et l. Euclideaea fine a l. ut

ni l. fa; na fine: trianguli l. routin lia flua verba: un: 31,12, et 4E delaantur.

J

2......» .

Documents

Notes du mont Royal ← · 2019-06-10 · Notes du mont Royal Cette œuvre est hébergée sur «No tes du mont Royal» dans le cadre d’un exposé gratuit sur la littérature. SOURCE