Di r ecci ó n:Di r ecci ó n: Biblioteca Central Dr. Luis F. Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel. (++54 +11) 4789-9293

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Tesis de Posgrado

Nuevos desarrollos en laNuevos desarrollos en lasimulación numérica de la capasimulación numérica de la capalímite atmosférica con modeloslímite atmosférica con modelosestacionarios bidimensionalesestacionarios bidimensionales

Aiello, José Luis

1979

Tesis presentada para obtener el grado de Doctor en CienciasMeteorológicas de la Universidad de Buenos Aires

Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la BibliotecaCentral Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe seracompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente.

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Cita tipo APA:Aiello, José Luis. (1979). Nuevos desarrollos en la simulación numérica de la capa límiteatmosférica con modelos estacionarios bidimensionales. Facultad de Ciencias Exactas yNaturales. Universidad de Buenos Aires.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1613_Aiello.pdf

Cita tipo Chicago:Aiello, José Luis. "Nuevos desarrollos en la simulación numérica de la capa límite atmosféricacon modelos estacionarios bidimensionales". Tesis de Doctor. Facultad de Ciencias Exactas yNaturales. Universidad de Buenos Aires. 1979.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1613_Aiello.pdf

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NUEVOS DESARROLLOS EN'L'A SIMULACIONNUMERIUA

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NUEVOS DESARROLLOS EN LA SIMULACION HUMERICA

DE LA CAPA LIMITE ATMOSFERICA

CON MODELOS ESTACIONARIOS BIDIMENSIONALES

AUTOR: Lic. José Luis AielloDIRECTOR: Dr. Gustavo Vi'ctor Iïecco

1613»;El 74

A mi familia

Agradezco

Al Dr. Gustavo V. Necco por el invaloreble apoyo recibido.en el desarrollo de este trabajo de Tesis y por el constantealiento en las numerosas reuniones mantenidas.

Al Dr. José A. J. Hoffmann por haberme orientado en miPlan de Doctorado y por sus valorables sugerencias.

Al Dr. Mariano A. Estoque, quien a través de su fructíferacorrespondencia disipó varias dudas acerca de su método deresolución que fue aplicado en este trabajo. l

A1 Lic. Guillermo J. Berri con quien tuve el placer de tra­bajar en varios aspectos de la cepa límite atmosférica.

'Al ComputadorCientífico Oscar Geffner por su apoyo en laparte de computación.

Al personal del D.I.S.C.A.D. (F.A.A.) que me brindó una va­liosa colaboración en las numerosas corridas de los programasde computación.

RESUMEN

Se desarrolla un modelo numérico de simulación,estacionarioy bidimensional de la capa limite atmosférica con el objeto deencontrar soluciones de las variables medias dinámicas y ter­modinámicas (Ü ,V ,63 , í , é y á ) en la región de resolución,bajo distintas condiciones de contorno en la superficie terres­tre y en el tope de la misma.

El sistema de ecuaciones diferenciales no lineales en deriva­das parciales que se resuelve comprende las ecuaciones de movi­miento de Navier Stokes con la particularidad de la retenciónde los términos advectivos en la ecuación de la componentever­tical de la velocidad (es decir, no se hace la suposición hi­drostática), la ecuación de energía termodinámica (sin procesosradiativos), 1a ecuación de conservación de humedad(sin cam­bios de fase del vapor de agua) y la ecuación de conservaciónde la masa.

Se ensaya una clausura de primer orden haciendo uso de lateoría de la Longitud de mezcla de Prandtl, aeoplando la partedinámica y termodinámica del sistema.

Se emplea un método iterativo mediante el uso de un esquemaimplícito en diferencias finitas propuesto por Estoque y Bhum­ralkar._Bajo distintas condiciones de estabilidad atmosférica se ob­

tienen resultados para las distribuciones deü ,9 ,w ,6, e yíáen'tres simulaciones correspondientes a un salto de rugosidaden superficie (para el que se discute el efecto de la incorpo­ración de los términos advectivos en la ecuación de la compo­nente mide la velocidad), una fuente de calor en superficie(con una fuente de humedad asociada) y una ciudad.

Dadoque la bibliografía de los tratamientos y estudios de lacapa limite atmosférica, que comprendeuna serie de libros detexto y de publicaciones cientificas, abarca un amplio espectrode enfoques, en la primera parte se incluye una monografía que

,muestra un panorama de los mismos y se hace hincapié en aque­llos en que se encuentra fundamentado este trabajo

3.1.3.2.3.3.3.4.

3.5.

5.5.1.5.2.5.3.

6.1.6.2.

CONTENIDO

INTRODUCCION

SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMA DE ECUACIONES DE LA CAPA LIMITEPLANETARIA

Ecuación de movimiento

Ecuación de energía termodinámicaEcuación de humedad

Resúmeny consideraciones acerca delsistema de ecuaciones de la capa li­mite planetariaEcuaciones de energía de la capa límiteplanetaria

PROBLEMA DE CLAUSURA

SUBDIVISIONES DE LA CAPA LIMITE ATMOSFERICA

Capa de superficieSubcapa laminarCapa de transición

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE MODELOS DELA CAPA LIMITE ATMOSFERICA

Planteo GeneralModelosestacionarios de la capa límite at­mosférica en espacios de una, dos y tres di­mensionesModelos no estacionarios unidimensionales dela capa limite atmosféricaModelosno estacionarios bidimensionales dela capa límite atmosférica

PAG.

lO

11

12

13

16

20

20

32

33

36

36

37

42

45

6.5.

7.1.7.2.7.3.

8.

8.1.8.2.

8.3.8.4.8.5.8.6.

9.

9.1.9.2.

9.3.904o

lO.

ll.

Modelos numéricos de la capa límite atmosfé­rica con clausura de orden superior

MODELO ESTACIONARIO BIDIMENSIONAL DESARRO­LLADO

Consideraciones previas.Sistema de ecuaciones

Descripción del métodoutilizado

PROBLEMA UNIDIMENSIONAL (PRIMERA APROXIMA­CION)

Sistema de ecuaciones e hipótesis de cierreRegión de resolución y condiciones de con­tornoEcuaciones en diferencias finitasMétodo de resoluciónCaracterísticas del métodode resoluciónConsideraciones acerca del coeficiente dedifusividad turbulentaConsideraciones sobre esquemas en diferen­cias finitas

PROBLEMA BIDIMENSIONAL

Ecuaciones en diferencias finitasRegión de resolución y condiciones de con­tornoMétodo de resoluciónCaracterísticas del métodode resolución

CASOS ESTUDIADOS

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

ANEXO I; DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMAFORTRAN IV ICSDIM

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABLAS

47

49

49

50

51

53

53

53

54

55

56

57

59

63

63

65

67

69

71

99

100

106

109110

1. INTRODUCCION

Granparte de la energia solar que llega al sistema tierra­atmósfera es absorbida por la superficie terrestre. Se generanentonces una serie de transformaciones energéticas que cumplen,en el límite tierra-atmósfera una cierta relación de balance oequilibrio (1).

Parte de la energía que recibe la atmósfera proviene de estosmecanismos, y se generan en ésta, perturbaciones, circulacionesy formaciones nubosas. La respuesta de la atmósfera en gran es­cala no es inmediata debido a su gran capacidad para absorberenergía, y a que los procesos característicos dentro de la mis­maproducen transferencias de energía hacia la superficie te­rrestre. El resultado es un complejo intercambio energético en­tre la superficie terrestre y la atmósfera, del que surge laformación de la capa límite atmosférica. Se la puede caracteri­zar comoaquella región de la atmósfera, cercana a la superfi­cie terrestre, directamente afectada por el efecto de fricciónde la misma. Su altura es variable y puede tomarse, para lati­tudes medias, un valor aproximado de l Km.

Las distribuciones de las variables dinámicas y termodinámi­cas dentro de ésta capa tienen relevante importancia para lamayoria de las actividades del hombre. ESto muestra 1a utilidadde conocer su comportamiento y evolución.

De lo anterior se desprende el interés que tiene en la inves­tigación meteorológica el estudio de sus características y lasimportantes aplicaciones que de ella se derivan, citando entreotras, la agrometeorología, los cálculos de estructura en inge­nieria, el diseño de aerogeneradores para el aprovechamiento dela energía eólica, la contaminación atmosférica y la hidrometeo­rología. En la última década, dicho interés se vió incrementadopor la necesidad de parametrizar los efectos de la capa limiteatmosférica en el pronóstico numérico de mediano y largo plazoy en modelos para 1a simulación de la circulación general de laatmósfera.

La estructura de la capa límite atmosférica, dado el carácterturbulento de la misma, es compleja, debiendo tenerse en cuentalas variaciones de la superficie terrestre (rugosidad, albedo,cambios de temperatura) y de la atmósfera en gran escala.

Es interesante mostrar a COntinuación algunos aspectos queseñalan la complejidad de su estudio (2) y que además remarcanalgunas características de la misma.

La mayoría de los estudios suponen el caso ideal en el que secumplen las condiciones de homogeneidadhorizontal y de flujoestacionario.

En el caso neutral, o sea, cuando no hay flujo de calor, losparámetros que determinan su estructura son: el viento geostró­fico Mgcnsu tope, la rugosidad Zoy el parámetro de Coriolis f(es decir, el efecto de la rotación terrestre).

Cuandohay presente un flujo de calor, Q‘ es 1a situaciónmas frecuente, hay mas complejidad, pues ( flujo está rela­

cionado con una fuente o sumidero de energia turbulenta (de em­puje), de acuerdo a que el mismosea ascendente o descendente.En el caso neutral la única fuente de energía es 1a mecánica.Mientras la energia mecánica decrece rapidamente con la altura,la de empuje es casi constante hasta aproximadamente 50 m (he­cho éste, que permite definir la denominadacapa de superficieo de flujos constantes). Hay entonces, una altura en la que di­cha energia de empuje se hace mayor que la mecánica y se puededefinir una escala de altura para la capa límite no adiabática,tal comolo hicieron Moniny Obukhov(3) al introducir la lon­gitud L , que es función del flujo vertical de calor y de losefectos de fricción en superficie. Tambiénuna relación entreéstas dos energías, permitió a Richardson (4) definir el pará­metro adimensional RL .

La.estructura de la capa limite en este caso, es fuertementedependiente de la energia de empuje y se toman como parámetrosde estabilidad a ;A_ o RL. La altura de la capa límite quedadeterminadapor el flujo turbulento de calor y por la estrati­ficación de la atmósfera por encima de la misma. En el caso es­

' table (flujo de calor hacia abajo) queda bien definida, comoenel caso neutral, por una relación entre los efectos de.friccióny rotación. '

La Figura 1 (2), muestra un diagrama en el que se representanlos distintos fenómenosque ocurren en la capa límite. Los ejes

-verticales representan a las alturas adimensionalesz/Hy loshorizontales a Hh.. El tope de la capa se usa comotope del ejevertical, esto es,z:H.

La estructura de la capa límite atmosférica real es muchomascompleja y es de utilidad describir la evolución que la mismamanifiesta durante un ciclo solar diurno, pues comose señalóal comienzo, la fuente de energia solar es crucial para com­prender su comportamiento (5).

Las variaciones en la radiación solar generan un ciclo de ca­lentamiento y enfriamiento de la capa limite que afecta al cam­po de velocidad de la misma. Antes de la salida del sol la es­tratificación es estable. Si se supone un día sin nubosidad, laradiación solar, a partir de la salida del sol, comienzaa ca­lentar la superficie terrestre y un flujo de calor se generadesde ésta hacia el aire adyacente, el régimen de la capa infe­rior de aire se torna inestable, es decir, el aire calienteasciende y el frío desciende, y si existiese un ajuste inmedia­to al ascenso generado por calentamiento se formaría una capacon temperatura potencial constante y de igual valor al de lasuperficie. Esto no sucede pues hay un retardo entre el calen­

'tamiento del aire y el de superficie. Sobre suelo seco, si elaire no contiene vapor de agua, su calor lo recibe de la super­ficie terrestre y comojusto sobre ésta la velocidad del airees nula, el único mecanismode transporte es la conducción mo­lecular y entonces aparece un fuerte gradiente de temperatura.Esta capa de conducción molecular es muy fina y se transforma

en una de convección forzada en la cual el transporte de airese efectúa por turbulencia mecánica. A mayores apartamientosde la superficie hay un decrecimiento de los gradientes de tem­peratura y de velocidad y también de la turbulencia mecánica.La distribución de temperatura se mantiene superadiabática, pe­ro a mayores alturas se incrementa en la turbulencia el efecto

CAPADETRANS|CIONI

l I l l l I lL. I ll I

CAPADESUPERFlCIE

ï__

ELEMENTOSDE

QUGOSIDAD

Figura 1:

HH

ONDAS DE GRAVEDAD |NTERNASF- á

BASE DE LA |NVERS|ON

1 r *'" 1CONVECCION

CELULAR DE g z ONDAS iNTERMlTENTEsMi 4% YTURBULENCIA

MHC Q y_1 TURBULENTA < Lu 4

D e __ ____ V —w

;\\ PERFlL LOGARITMlCO-LINEAL/ \ DELVlENTO/ \/ \

162 / \\ —1o2/ \PERFIL INESTABLE / \

DELVlENTO / \ \\-3 / \ -310- / \.\ dm/ . \

/ PERFIL LOGARlTMICODEL VIENTO/

-4 / /v,/ -64/

.5 -r10- -1o’

l J

—1oo -10 H/L 1 1o 1oo

Diagramaaltura (logaritmica)—estabilidadde la capa límite, indicando varios fenó­menos observables (2).

de empuje. La capa de convección forzada cambia gradualmente auna de convección libre. Fuera de la capa superadiabática, lasparcelas turbulentas de aire caliente penetran en regiones masfrías y se genera un proceso de mezcla muyagitada debido a quelas térmicas tienensignificativasvelocidades de ascenso y lasmasas transportadas, asociadas a ellas, crean un movimientoha­cia abajo de aire mas frío y turbulento. El resultado es unamezcla de aire tan intensa que provoca en esa capa de convec­ción libre una distribución de temperatura potencial aproxima­damente constante.

La capa dentro de la cual el campode temperatura es influen­ciado por el flujo de calor.desde el suelo se denominacapaconvectiva. Está limitada en altura por la base de una inver­¡sión, es decir, por una distribución estable de temperatura en­cima de la misma. Durante el curso del día, a medida que la su­perficie terrestre se sigue calentando continúa ese flujo decalor hacia arriba y dicha capa convectiva adquiere alturas ma­yores que dependen de dicho flujo, que a su vez está relaciona­do con el gradiente de temperatura de la capa superadiabática.

Mas tarde, luego del mediodía, se alcanza un estado de_cuasi­equilibrio y la superficie terrestre tiene la mismatemperatu­ra potencial que la capa de aire por encima de ella, haciendoque el flujo de calor no-exista y entonces las fluctuaciones detemperatura se amortiguan y la capa limite neutralmente estrauetificada está asintóticamente libre de dichas fluctuaciones entodas_partes. Esta es la_situación en la_gue las condicionesidealgg__de la denominadacapa limiteneutra pueden ser bienconsideradgg_x constituye un estado mugjparticularde la atmgsrfera.

En horas posteriores la temperatura del aire se hace mayorque la'del suelo y el flujo de calor se invierte, es decir, esen dirección hacia el suelo, apareciendo una capa con estrati­ficación estable y un enfriamiento gradual de la capa.convecti—va. La altura de la base de la inversión superior disminuyey la altura de la inversión generada por éste último procesoaumenta, modificando la capa de temperatura potencial constan­te que existe entre ambas. Si el enfriamiento del suelo persis­te, esta capa intermedia puede desaparecer y toda la estructurase torna estable. Esto continúa hasta la próximasalida del soly el ciclo se repite.

Este ciclo es ilustrativo pues se puede conectar el estado dela capa límite con la teoría descriptiva que se mencionóante­riormente. En esta sucesión de estados con estructuras inesta­bles, neutras y estables se deben explicar los hechos mas sa­

‘lientes de la capa límite atmosférica y los distintos modelostratan de reprosentarlos con distintos grados de aproximación.

Dadoel carácter no lineal del sistema de ecuaciones diferen­ciales en derivadas parciales que gobierna la capa límite at­mosférica, los primeros intentos de resolución involucrabantécnicas dc lincalización y bajo ese enfoque se ubicaban lasprimeras investigaciones. Dc relevancia resultó el empleo del

análisis dimensionalpermitiendo encontrar soluciones análiti­cas para las variables del sistema. Con el advenimiento de lascomputadoras electrónicas y mediante el empleo de técnicas delanálisis numérico, se comenzóuna línea que aborda en solucio­nes cada vez mas reales, pues se retienen los efectos de lostérminos no lineales y se tornaron eficientes los experimentosnuméricos haciendo uso de modelos teóricos estacionarios y deevolución, en espacios de una, dos y tres dimensiones (6),(7).Pueden mencionarse también aquellos modelos que combinan losenfoques anteriores.(8) y los basados en experiencias de medi­ción en túneles de viento (5).

Los libros y publicaciones científicas acerca de la capa li­mite atmosférica, tienen la particularidad, en su gran mayoría,de tratar extensamente a la capa límite de superficie y no a­bordan el estudio de la capa límite atmosférica comoun todo(7). Esto se debe a que la capa de superficie es la mejor cono­cida pues en ella se hicieron la mayoria de las mediciones, yal ser constantes los flujos turbulentos de momento,calor yhumedadse elaboró una teoría.consistente.

En este trabajo se hace una monografía sobre el tratamientode la capa limite atmosférica comoun todo, enfatizando en lalínea que se usa en el desarrollo de la tesis. Tambiénse pre­senta una subdivisión de la misma, mostrando las aproximaéionesy resultados en cada uno de los casos.

Se muestran las caracteristicas del modelobidimensional de­sarrollado, señalando los aspectos físicos y numéricos emplea­dos y se simulan tres casos correspondientes a un salto de ru­gosidad en superficie, a una fuente de calor en superficie ya una ciudad, discutiendo para los mismosdiversos aspectos delcomportamientode las variables estudiadas.

2. SISTEMA BASICO DE ECUACIONES

En el tratamiento que sigue, se considera a la capa límiteatmosférica sin subdivisiones. '

Se toma comopunto de partida el siguiente sistema de ecua­ciones, que comprende la conservación del impulso, de la masa,de la energía y una relación diagnóstica para las variables deestado.

Ecuación de movimiento:

33:; (v.v)\v+ 21.7va: 449-34% Jr? (mr) [2. ]Ecuación de continuidad:

95’ . \V =—_o 2.2ï'tv ) I: ]Ecuación de energia termodinámica:

Üïïávvfii, (.CC_':_1)T (v-xv):57‘} [2.]Ecuación de estado

donde: . ­

5:: su) [vv+vv_g_(v.v)e] [2.5]

E=Gu+flfl+H2H2 [2°5]

Este sistema, de 6 ecuaciones con 6 incógnitas, que son losvalores instantáneos de las componentes de la velocidad (U,V,W), la presión.P, la temperatura T y la densidad y , es cerradosi se hace'alguna suposición para dar el valor de las fuenteso sumideros de calor SCl.

Constituye un sistema no lineal de ecuaciones diferencialesen derivadas parciales.

A continuación se harán una serie de consideraciones simpli­ficadoras que permitirán obtener el sistema de ecuaciones quegobierna a la denominadacapa limite planetaria.

3. SISTEMA DE ECUACIONES DE LA CAPA LIMITE PLANETARIA

Siguiendo a Wippermann(7), se define la capa límite planeta­ria como1a_capa límite atmosférica que cumple las siguientescondiciones: ­a) El flujo es turbulento.b) El flujo medio y las propiedades de la turbulencia son

estacionarios.c) El flujo medio y las propiedades de la turbulencia son

horizontalmente homogéneos. yd) Los transportes moleculares de momento, calor y humedad son

despreciables respecto a los correspondientes transportesturbulentos.

El carácter turbulento del flujo, dado por la condición (a)es abordado haciendo, para cada una de las variables dependien­tes, la'suposición de que sus valores instantáheOS resultan dela suma de un valor medio mas una fluctuaciónK

Siendo LVuna de dichas variables, se toma su valor mediocomo:

+At

‘ _ 4 . É .Mmm www [33]_At

o +At

A 1 e d

uwazgm¿íügwe+) E [L4. Estos promedios temporales constituyen un método de separa­

ción de movimientossobre distintas escalas temporales.Esencialmente, el efecto que se logra es la eliminación de las

componentesde corto período sin afectar aquellas de períodoslargos (9) '

Pueden definirse:

W=q7+w' , Geo [3.31‘

w=©+w" , Quo [L4

La condición (b) establece que:

ar): ¿(“Fo [3-5]DtLa (c):

excepto para

VH‘p:Útílth/g [3.7]

wifi: _Íq‘?nzx%‘:¿ [3.8]

y la (d) está dada por las siguientes relaciones:

¿C IV'(YV"V")I

9h ¡Vía/Í?” ‘< CP IV‘(9V"9")I [3.10]

9a ¡VZG(“DI << IV- (9V"<1")_I [3.11]

siendo los primeros y segundos miembros respectivamente, lostransportes moleculares y turbulentos de momento,calor y hu­medadespecífica.

En la capa límite planetaria estas expresiones se transfor­man en

3-55 << lg; (S'W'IV")I [3.12]

d2(v'”) 'dV“ “ C” 32(96 V)I [3-13]

2'“ a TnVa di?) << la; (le [3.14]

3.1. Ecuación de movimientoEn primer lugar, se determinará la parte dinámica del siste­

ma, es decir, se obtendrá la ecuación de movimiento, teniendoen cuenta las consideraciones anteriores.

Reemplazandocada una de las variables instantáneas que apa­recen en las ecuaciones [2.fl y[2.fl por sus valores medios yfluctuaciones, según [3.ï]y B.{L una combinación de las mismaspermite obtener:

_gf(g@)+v.(g©0)+ 251mm? = —5’*V<1>-VP+ V'ï * “(Ñ-VW) [3.1.1]

¿“o A-VG J’l\*'>=—v —¿\7"1.:!erva Hx +W J +2 X T g P+f ( S ) B1 4

Esta última es una ecuación para la variable promediada <9 enla que aparecen las fluctuaciones wfl'a través de los denomina­dos términos de Reynolds.

Aplicando y [3.4]a ee tiene que:

. 3355+V'(ï@)=° [3.1.3]

y ésta, porl3.fl yl3.q queda de la forma:

gï(€®):o [3.1.4]o sea: k

Igób: C+2 [3.1.5]

Esta constante es nula pues la superficie terrestre no actúani como fuente ni como sumidero, es decir ‘w(z=o)=o y entonces:

A

w:o [3.1.6]

Aplicandolas condiciones[3.5], , [3.7], y [3.1.6]ala ecuación[3.l.fl se llega al siguiente par de ecuaciones:

wwe =¿amm [3.1.7]95 ’ _ 3L ' V -4 d nz35+s<3 — 2| ¡“5‘91 1.El ¿35(9(W))[_‘3.1.á]

y despreciando los términos del segundo miembro, que son delorden de Kïhóíróufirespecto de los del primer miembro, del ordende íqï”flflfizla.B.l.@ se transforma en la ecuación hidrostática.

Si se escribe la ecuaciónl3.l.Ï]en componentes,se tiene:

16094€): Z ea a — ­

3.a T + ÉZES [3.1.9]_ K" __ d Zx 3x d - ­

{(v Vq)i a __ + El; 3-28 [3.1.10]

donde ¿xr-90W” , ¿y=-gv"w” [3.1.11]son las componentes según X e y del flujo turbulento de momento

Considerando además que:4 JE 1 dz

312: “ ¡ïaï [Bol-12]se llega a:

ANA c] a

16€“ U6)= CTE [3.1.13]

'Ï(°-Oq)=:í—z [3.1.14]y este par de ecuaciones representan 1a parte dinámica de 1acapa límite planetaria. ­

3.2 Ecuación de energía termodinámicaHaciendo uso de 1a relaciónkque define la temperatura poten­

cialG: e P z=T(-Pi) , [3.2.3]

donde

_ c —cz-—PCP—V [3.2.2]

se puede escribir la ecuación[2.3]como:De , _ 4 e_Üïi' VV)6—C—P?SQ [3.2.3]

Mediante el uso de las ecuaciones[3.j y[3.fl , se puede obte­ner:

¿6+ (93%? = ¿,- (%SGO-¿W We") [3-2-4]

La cantidad fllcontiene los siguientes términos:___ 2 _A

a) (SSQL:vhv (cng) |3.2.5|

que representa la divergencia del flujo molecular de calor. Se­gún 1a condición[3.Q, su componentehorizontal es nula y laparte restante, o sea, su componentevertical, también se des­precia por 1a condición p.13 . '

b) (QE): gsm 2 em >° [3°2°6]0) (Ésa): É ¿t l Et 7° [3.2.7]Emyáfi;sonlas disipaciones de energía cinética del flujo medioy turbulento respectivamente y las expresiones representan con­ver31ones de energía cinética en calor, siendo válida la si­guiente relación:

Es decir, la disipación de energía cinética del flujo medioes muchomenor que la disipación de energía cinética turbulen­ta, pero aún esta contribuye poco, comparada con los demástórminos, al aumentode energía interna, por lo tanto, se des­precian ambas.

d) (Jah: 47.?) {3.2.9}Este término es el de divergencia de flujo radiativo y se re­

duce tan solo a la divergencia vertical, quedando:

(EL '= -%;ÏS [3.2.10]Una interesante discusión acerca del efecto de este término

fue dada por Busch (10).

e) ((56% = —5“*LVSCS, [3.2.11]

531>0'representa evaporación y Sá<o condensación.Con estas consideraciones anteriores y haciendo uso de las

condiciones[3.fl ,[3.Q ,[3.1.fl y[3.1.6]se obtiene:

¿Pj_z(gw"e")+ 2013:; +gíLvSá=O [3.2.12]Siendo ésta la expresión de la ecuación de energia termodiná­

mica de la capa límite planetaria. 'Denominando:

FH: p SW“9" [3.2.13]

al flujo turbulento de calor'sensible, 1a ecuación[3.2.12]ex­presa que una divergencia del mismopuede ser compensada poruna convergencia del flujo radiativo o por una liberación decalor debida a la condensación del vapor de agua.

Si no se consideran procesos radiativos y se supone una capalímite planetaria "seca", entonces[3.2.lfl se transforma en:

í (CPW)=0 [3.2.14]de donde surge.que el flujo turbulento de calor sensible esconstante.

3.3 Ecuación de humedad

Se obtiene a partir de la ecuación de conservación de humedad:

dq V64 2

.E __S,_V(g'o+)+5gr [3.3.1]El primer y segundo término del segundo miembro representan,

respectivamente, a la divergencia del transporte molecular devapor de agua y a 1a fuente o sumidero de vapor de agua debidoa un cambiode fase, con la convención siguientezsa)o , signifi-.ca evaporación y Sg<o condensación o sublimación.

Es de notar que en el sistema básico de ecuaciones que se to­

mó comopunto de partida, no se incluyó la ecuación de conser­vación de humedad. En caso de hacerlo, se introduce una nuevavariable, la humedadespecífica q y dicho sistema será cerradosi se parametriza el término que contiene a 83.

Mediante-unacombinaciónde con uSando[3.3]y [3.4]se tiene: '

A A A Z_A A 'T"

%}+(WH = ¿“Usan SQ-ÉV'C’VQ) [3.3.2]y con las consideraciones , [3.6], [3.1.4]y [3.16]se obtiene:

íkw'ïi") = í 5% J [3.3.3]

que representa la ecuación de humedadde la capa límite plane­taria.Llamando:

El: SW"‘-ll" [3.3.4]

al flujo turbulento de humedad, en caso de no existencia decambios de fase del vapor de agua, el mismo se mantiene cons­tante.

3.4. Resúmeny consideraciones acerca del sistema de ecuacionesde la capa limite planetaria

Resumiendolo anterior, el conjunto de ecuaciones que gobierunan a la capa límite planetaria, puede escribirse, ordenandolo visto, como:

Ecuaciones de movimiento:

¿í = 407-065) [3-4-1]

%ï(%) z lau-“3) [3.4.2]Ecuación de energia:

a A A - A

avi) =¿Hang-s Ls [3-4-31Ecuación de humedadá

934%) = 55% [3.44]

Resolver este sistena, significa encontrar, bajo determinadascondiciones de contorno en 1a superficie terrestre y en el topede la capa límite, las distribuciones de O , O , 6 , a , ¿x ,ay, F.4y Fa respecto de la Variable independiente! .

Constituye un sistema de ecuaciones diferenciales no cerradode 4 ecuaciones con 8 incógnitas, y por lo tanto, para poderresolverlo, hay que ensayar hipótesis de cierre, problema ésteque se ha denominado de clausura.

3.5; Ecuaciones de energía de la capa limite planetaria

Siguiendo a Wippermann(7), donde se hace un excelente tra­tamiento de las distintas_energías que deben considerarse enla capa límite atmosférica, se muestran las ecuaciones quecumplen las mismas:

3K

Ecuación de energía cinética del flujo medio:A2 A“! A A A A'—I_ — A

o -v . - v __ - _ , — .. ,. "" - "La“ _2_)+v (g_v_2_)__gv vd>_vvp+v(v ar)_v(vng)_gFm+gvv vv[3_5.1]

Ecuación de energía cinética del flujo turbulento: [3.5.2]Ecuación de energia interna:

%t_(cng)+v.(cpg\0?)+v.(c,gv"ï") = 59W +V-VP+V"-VP+ sSQ [3.5.3]

donde:

—— 2 _/\ _ _ — Ang :VkV(CVgT)+ng+gE{—V-‘R—ÏLVS<1 [3.5.4]

Ecuación de energía del calor latente:

._I\ _An ’T; z_ __ A%t\9‘1)+V-(SV<3)+V-(3V9rima): gsq [3.5.5]

Este conjunto de ecuaciones de energía de la capa limite at­mosférica, escritas en forma reordenada se muestran en la Ta­bla 1.

La Tabla 2, muestra 1a forma que adopta dicho sistema en lacapa limite planetaria, cuando al mismose le aplicar las con“diciones (a), (b), (c) y (d) que la definen.x El doble punto indica una contracción de los tensores diádi­cos definida por:

Album) = (A-D)(B-<I:)

Divergenciadeltransportepor movimientomovimientomovimiento promedioturbulentomolecular

IIii.Ifi

Ecuacióndeenergíacinéticadelflujomedio

l

+V-(‘A’Ï+V(‘Q-9V"\v")-VW-Í):_5'*v.v<b_\Y.V¡3

Ecuacióndeenergíacinéticadelflujoturbulento

_V(VT.H7):—\);'-Vp

o«W*W3-497]+V’[VST]+V‘3Vz

Ecuacióndeenergíainternaypotencial

——.

2

ifkfififl]+(CP?+CP)]+V.(CPg\Y"T")47thEcuacióndeenergíadelcalorlatente

(5h?)+V-(‘QELfi)+V-(ngV"q")—quVvZ(ga):

:+€\9.v<p+\9.vp+\v".Vp+36",+58;c

Conversionesdeenergía

+S'VHV'LVC’

¿a¿vw-ví)

4335614/55?

Tablal:Conjuntodeecuacionesdeenergíayconversionesenlacapalímite

atmosférica

14

Ecuacióndeenergíacinéticadelflujomedio-34W.)=-Ü“¿'(‘CÍJ‘‘93)-56m-(3%)

Ecuacióndeenergiacinéticadelflujoturbulento

d"VHZ_'|—;-'—IA¿[swízl]__ssw-gïw¿simg)

Ecuacióndeenergíainternaypotencial

¿(CPWTW=+&€*°(%><Vq)+3s'w'+j—z(w_'P')+gsm¿et¿35Adt?!

Ecuacióndeenergíadelcalorlatente L‘.dw""_.g¿(Esq) —

Tabla2:Conjuntodeecuacionesdeenergíayconversionesen1acapalímiteplanetaria

15

4. PROBLEMA DE CLAUSURA

El sistema de ecuaciones de la capa limite planetaria,B.4.u a[3.4.4, con las consideraciones:a) Noexisten efectos radiativos.b) No hay cambios de fase del vapor de agua.se transforma en:

lldz (É) ° [4'14]

Las ecuaciones[4.fl y[4.fl, comoya se ha visto, representanla parte dinámica y forman un sistema de 2 ecuaciones con 4incógnitas, que son éx, 5 , Ü y Oclausurarlo hacer dog hipótesis.

Por otra parte, las ecuaciones B.)]y[}.fl, tal comoestán ex­presadas, no dan información acerca de 96H y ¿(2) , esto impli­ca la necesidad de dos hipótesis mas que relacionen E. con ¿GQy Fm con ¿102) .

Las necesidades anteriores quedan satisfechas mediante elempleode las relaciones de flujos gradientes, que se repre­sentan'por:

. Es necesario pues, para

EngKmï[-1

4; O

¿24

¿_-K 5Qy"g r" dz [-1

.p. O

L2}

F _ c"K ffiíH_'_ PS h dz r-fi

4:. O7 c:i

ïu-quïïdz

que representan una clausura de primer orden.El sistema se transforma en:

r—1

.p On93

a; (así) =—í-(Mg) [4.9]

íwmdïi‘): Ï(O'oq) [4.1.0]

im É):o [4.11]

" í (Kq¿(já-fio [4.12]

En las ecuaciones[4.1fl y[4.lfl se despreció la variación ver­tical de densidad. A

Ahora el sistema es de 4 por 7 ( u ,‘3 , 5., a , Kn1, Khy Kq) y entonces se necesitan tres hipótesis de clausura.

En lo que sigue, se señalan algunas alternativas de clausura.

a) Haciendo:

Km=Km (a) [4.13]

K 4161;?m dz

y esta relación es conocida comorelación de longitud de mezclade Prandtl, siendo necesaria una hipótesis adicional acerca de

9 .

c) Relacionando l<mcon Q y b , a través de:

b) Mediante:

[4.16]

4/2

Km: -'b [4 .17]

siendo fib_ n

4%)“ [4.18]

de donde se infiere que hay que hacer hipótesis para Í y b ,y'a ésta última, en general, se la incluye usando:

KmiQ_I< ¿a d dbde h íï‘akbïg‘ét ° [4.19]CD)IQ

y sc necesitan dos hipótesis mas, pudiendo ser:

KB=KH [4.20]

¿+.= C 9" bala [4.21]

Estos modelos incluyen a 1a ecuación 4.11 y es necesaria unahipótesis acerca de Kh.

d) Si la parte dinámica del sistema se considera desacopladarespecto de las ecuaciones[4.lg y[}.1 , pueden considerar­

se éstas con sus variables 9 , QI, Khy KCl, siendo una posi­ble clausura:

Kh=Ks [4.22]

e) Si en cambio, se supone acoplada la parte dinámica, laclausura consiste en encontrar relaciones entre Km,\fi,y Kg .

En los últimos años, algunos autores ensayaron otros tipos declausura, denominados de orden superior y que consiste en evi­tar la parametrización directa de las dos componentesdel flu­jo turbulento de momentoéfrgwüeryngw", utilizándose ecuacio­nes adicionales para los mismos. En la capa límite planetaria,éstas son:

¿[Orwflï 80"(W")z]-f {EÍÉÑÏÏ «¿Eb? +WHÏ- D '0 [4.23]3x XE'

A 7 _u—..2'. fi. *_AA un .—.fi T1+í8UW-íÉUV+SUV]+qSV+\/3_PZ+W29%__Dy¿:o

Dxa y Dyz son términos de fricción molecular y 5*=2-QCDSWSe ve en este caso que para determinar los términos de Rey­

nolds, que son de segundo orden, hay que parametrizar otros,entre los que aparecen los de tercer orden. De la mismamanera,se se escriben las ecuaciones conteniendo términos de orden n,hay que parametrizar términos de orden n +1, y esta es la de­nominada clausura de orden n.

Las distintas alternativas de clausura de orden l y superiorhan sido empleadas por distintos investigadores. Wippermann(7),Hanna (6) y Tsaan-WangYu (ll) muestran características y lis­tas de autores que han usado clausuras de primer orden. Busch(lO), Walmsley (12) y Moor-André(13) tratan distintos aspectosde la clausura de orden superior.

Es importante señalar que la principal ventaja del uso de 1aclausura de primer orden está dada por la simplicidad de lossistemas de ecuaciones resultantes comparados con aquellos quese basan en clausuras de orden superior. Los resultados que seobtienen con métodos de primer orden son aceptables si se supo­ne una buena estimación en los perfiles medios (13).

Formulaciones haciendo uso de la teoría K son incapaces deexplicar el fenómenoconocido comoflujo contragradiente, talcomoseñaló Deardorff (71). Este se da en turbulencia convecti­va, en la parte superior de una capa limite de superficie ines­table, dado que al ser Wwe , con -°¿}5¿>o, deberia tomarse un va­lor negativo de Kh en la expresión B. ]. Referencias a este

fenómeno pueden encontrarse en los trabajos de Wyngaard (72) yWalmsley (12). Deardorff (55) en su desarrollo acerca de mode­los tridimensionales señala algunas limitaciones del uso de laclausura de primer orden y Donaldson (73) relaciona el uso declausuras de primer orden y superior. Busch, Chang y Anthes(49) señalan COmportamientosde modelos con distintas clausu­ras en el desarrollo de un modelo numérico de la capa límiteplanetaria para uso en modelos de mesoescala.

20

5. SUBDIVISIONES DE LA CAPA LIMITE ATMOSFERICA

Habiendoarribado, en el tratamiento anterior, al sistema deecuaciones de la capa límite planetaria y puntualizando en queel mismono admite soluciones analíticas, se mostraron las dis­tintas alternativas de clausura. Convieneseñalar que, bajo de­terminadas condiciones de contorno, es posible resolver dichosistema, mediante el uso de técnicas del análisis numérico_(l4)L

Noobstante, los primeros intentos de resolución, antes deladvenimiento de las computadoras electrónicas, se basaban entécnicas de linealización o en argumentos de similaridad. Ac­tualmente siguen siendo ampliamente usadas y aún con el empleodel análisis numérico, distintas parametrizaciónes y suposicio­nes fisicas se basan en dichos métodos.

Busch (lO) escribe: "Sin excepción, las aproximaciones hechaspara obtener descripciones de la capa limite turbulenta han si­do basadas en argumentos de similaridad. La idea general es quelos flujos de interés pueden categorizarse en clases, dentro delas_cuales, las propiedades estadísticas de los mismospuedenser descriptas y pronosticadas usando un conjunto de relacionesy funciones empíricas, en conjunción con una serie de paráme­tros externos que caracterizan las condiciones bajo las cualesse_desarrollan los camposde los flujos.

La utilidad de tal descripción depende del numeroy compleji­dad de las funciones empíricas necesarias para obtener resulta­dos satisfactorios asi comodel número de parámetros externos."

Se mostrará ,'en lo que sigue, el empleo de algunas de di­chas técnicas que permiten soluciones dentro de distintas sub«capas de la capa limite atmosférica. Estas subcapas o subdivi­siones se muestran en el esquema de la Figura 2.

Dentro de la capa de superficie o de flujos constantes, semostrarán, siguiendo el planteo de Businger (4), distintas ca­racterísticas de su estructura. Respecto a la capa laminar, seseñalarán alguna de sus particularidades (4) (9) (15) y en lacapa de transición se darán las soluciones obtenidas por Ekman(9) (15) (16).

5.1. Capa de superficie

También se la denomina capa de flujos constantes o capa dePrandtl. Se la define usualmente comola parte inferior de lacapa limite atmosférica, en contacto con la superficie terres­tre, caracterizada por la constancia de los flujos turbulentoscon la altura (en realidad las mediciones determinan variacio­nes que oscilan entre un lO y un 20 %). La_intgracción cgn_laasp 92:; c_ie_teI‘r G.8tïfisflgbfllfi r.t e J‘__e1._elsa; e__de Lu 3.9.2J:rasta­ïafis fill. an 101122-(Lasumiigia _e_s._I:-e.1ati 31mm}e r ¿mid0.412gggí_gug_sg_puede asumir dentro de la misma un estado cuasi-es­tacionario. Su altura es variable y puede darse comorepresen­

21

aún)

ATMOSFERA LIBRE

221.000

CAPA DE TRANSI- CAPA

CDN)ESMRALO LmMTEDE EKMAN ATMOSFE‘RICA

2220-50 _

CAPA DE SUPER­FlCIE, DE FLUJOSCONSTANTES O DEPRANDTL

CAPA2:0 l LAWNAR///////////// ////////////-/

O

Figura 2: Subdivisiones de la Capa limite atmosférica

‘tativo un valor entre 20 y 50 m.En la descripción que Businger hace, relativa a la capa de

superficie (4), se puntualiza comoobjetivo principal de losestudios de la capa límite atmosférica y en particular, de lacapa de superficie, la obtención de expresiones tratables paralos flujos turbulentos de momento, calor, humedady de otrosconstituyentes de la atmósfera.

Debido a la complejidad de la turbulencia han sido desarro­llados tan solo relaciones semi-empíricas y estas pueden divi­dirse en dos categorías principales:

22

a) Mediante el empleode coeficientes de transferencia en for­ma integrada. .

En particular, si se trata del flujo turbulento de momento,la expresión es de la forma '

-2, Fm: gCDu [5.1.1]

El coeficiente de transferencia,coü, que se piensa comouncoeficiente adimensional conveniente, es función deE , pues ües función de dicha variable. ,

Varios investigadores encararon la problematica de encontrarexperimentalmente el valor de Coy también los relativos a lastransferencias de calor y humedad, que son respectivamente CH

’(denominado de Stanton) y CE (denominado de Dalton), para de­terminar: Fm: 5-Co (IL-¿1.0) [5.1.2]

Fuchscu (ü'uo)(eo'é) [5.1.3]

Fe ='—SCs (¡L-Mo) (qa-é) [5.1.4]

Businger (4) hace referencia al problema. Un tratamiento delmismo.se encuentra en el trabajo de Boullery (17), donde se dala teoría respectiva y se muestran las estimaciones de CDenfunción de rangos de ü.(10 m) realizadas por distintos investi­gadores, para los casos en que se considere constante o varian­do linealmente con el viento. Dichos resultados se muestran enlas Tablas 3 y 4 respectivamente.

b) Usandocoeficientes de transferencia turbulenta K (denomina­dos también de difusividad turbulenta).

En el caso que se ejemplificó anteriormente, la expresión es:

Fm: _S.¡("1% [5.1.5]

Comparada esta expresión con la dada en [Á.fl se debe puntua­lizar que se toma una notación distinta, suponiendo que el vec­tor V , admite solo componente según el versor ñ . El análisis

'es similar, pues dentro de la capa límite de superficie se ad­mite una variación en el módulo de pero la dirección se consi­dera constante. El uso de distintas notaciOnes y distintos sis­temas de unidades es frecuente en la literatura de los distin­tos enf0ques de la capa limite atmosférica.

Si se consideran los demásflujos turbulentos se obtienenexpresiones similares.

Es claro notar que dichas expresiones permiten, a traves deestimaciones de los coeficientes de difusividad turbulenta, ob­tener los flujos turbulentos a partir del conocimientode los

AUTOR

co

Wilson(1960)

RANGODEVELOCIDAD

lm-Sec31<A110<lOm-seq'1

10m-seq"<A110

1,49.10’3 2,47.10-3

BrooksyKrügermeyer

(197o)

(1,23:0,25).10"3

IfiitsutayFajitani

(1974)

3m-secj1<LLC<9m-srecj1

1,22.10-3

(1972)

5m-secj1<1110<15msngl

(1,3o:to,3o).10’3

DückelyHasse

(1974)

1,39.10-3

Kitaygorodsdy

(1973)

(1,07i0,43).10'3

Tabla3:ValoresdeCoobtenidospordistintosautoresenelcasoen

queseconsideraconstante

23

AUTORRANGODEVELOCIDAD‘Co

Sheppard

-1_-1__3

(1958)1m-seq<11-40<20m-seq(0,8+0,114.¿¿10).1o

DeaconyWebb

-1__1__3

(1962)1m'999<“1o<“rm-seg(1+0,o7.u10).1o

Sheppard1_i-3

24

Sheppard

.-1_-1_-3

(1973)3mm<u1o<1007-399(0,82+0.039—u1o).1oSmith

_1__1-_3

(1975)3m'se‘3(“10<21m-seq(0,€3+0,066-u1o).1o

Tabla4:ValoresdeCpobtenidospor-distintosautoresenelcasoen

queseconsideravariandolinealmenteconelviento.

25

perfiles medios de las variables.La estructura de la capa límite atmosférica y en particular

la de la capa de superficie es dependiente del tipo de estabi­lidad y entonces se distingue entre capa de superficie neutray no neutra (estable o inestable). '

Si hay neutralidad vale el siguiente análisis:Partiendo de la definición del flujo turbulento de momento:

Fm: —|z|=gTw’ [5.1.6]

e introduciendo una escala de velocidad conveniente, puede de­finirse:

1m

“¿(1%) [5.1.7]

Entonces, haciendo uso de [5.1.5], dentro de la capa de super­ficie se tiene:

K .E_u2m 32" * [5.1.8]

dondeliües independiente de la altura.Esta ecuación permite la obtención del perfil de ü.con z ,

haciendo para ello una suposición acerca de Km. Dicha suposi­ción puede hacerse usando 1a teoría de longitud de mezcla dePrandtl (9) 0 por consideraciones dimensionales. Si se hace loúltimo se deduce que las dimensiones de Kmsonlas de velocidadpor longitud y se considera pues:

Kmu ¡(ix-Z [5.1.9]

Km= Quay-z [5.1.10]

A esta constante de proporcionalidad h se la denominaconstantede Von Karman.

CombinandoE.1.ld]con b.1.&]se llega a:

9ü_u . .3}_ízi [5 1 11]

Segúnesta expresión, en superficie (Z=o ), el perfil es infi­nito, y de ahí que se introduce un parámetro de rugosidad Zotalque:

EzL [5.1.1'2]Dz h.(a+¡!o)

Integrando sc obtiene:

26

¡1; %.ln(*;:°) [5.1.13]

que es el conocido perfil logaritmico del viento.Este perfil está considerablemente verificado en forma experi­

mental. Las constantes h y iose deben determinar experimental­mente y su significado no está claramente entendido. Businger(4) se refiere a dichas constantes usando el postulado deVon Karman:

- 4 .,u'wL "¡22' (3-?)

_ (3211)Z. Daz

Integrando esta ecuación usando É.1.Q se puede obtener[5.l.1fly consecuentemente5.1.13].

El valor de hes aún dudoso. Los experimentos realizados entúneles de viento permitieron obtener un valor de 0,4. Los rea­lizados por el grupo de AFCRLen Kansas (18) determinaron unvalor de 0,35 y aún son necesarios mas experimentos para defi­nir esta cuestión. Se necesitan mediciones independientes de Zy del perfil de,ü bajo condiciones de neutralidad. Si las medi­ciones se realizan a alturas z» zo, de [5.1.12]se tiene:

k:_“_*__ [5.1.15]¡SML

DE

Esta ha sido la relación usada en las experiencias de Kansas.Una interesante relación acerca de h se obtiene a partir de

la ecuación de energía cinética turbulenta (10), que en condi­ciones neutrales queda expresada como:

3a

El espectro unidimensional de varianza en el subrango inercialestá dado por: ‘

[5.1.14]

un) = u-É/a-¡6-5/3 [5.1.17]

'Sustituyendo[5.l.16]en[5.1;lfl , se tiene:-2 —2 -5

Eos): mui-E252 B-Krala [5.1.18]

o —2 2/3 5/3

(“Z ¡5: Ecb), z .Ko [5.1.19]Mi

De donde se infiere que d , denominada constante de Kolmogorovy h son interdependientcs y una determinación experimental delsegundo miembrode E.l.l9]permitiría conocer el valor de h .

2?

Planteos en esta dirección, acerca de la teoría estadisticade la turbulencia en la capa límite atmosférica se encuentranresumidos en Munn (l) y con extensión en Lumley-Panofsky (19),Busch (lO) y Moor (20). '

Si en la capa límite de superficie no existen condiciones deneutralidad, la estructura turbulenta de la mismaestá afectadapor la presencia de un flujo de calor.

La importancia de los efectos térmicos fue estudiada porRichardson, tomando en consideración la ecuación de balance dela energía cinética turbulenta teniendo en cuenta la aproxima­ción de Boussinesq (5) (21):

DE —vn9a q—w a '—'1—‘_¡-p:)é vDUJLDM';_=_.I.LW_ +_W9___ €W+_ W_. __ __ 5.1.20Dt DE To 32( Po P 32 ) 0X1 [ ]

Tomandoel cociente adimensional entre el término dg_produc­ción térmica (%%Aub' ) y el de producción mecánica (WWÏ%?L ),definió el denominado número de flujo de Richardson: Z

szíü [5.1.21]u’w’. 911

___ DiPor definición wb“>ocuando el flujo de calor es hacia arri­

ba (inestabilidad) y‘NB'<o cuando dicho flujo es hacia abajo(eStabilidad), y al ser negativo el denominador, salvo en cir­cunstancias muyespeciales, se tiene:

En condiciones de inestabilidad \Nb“>o Rf<0

neutralidad w'e' :0 Rg:o [5. 1 . 22]

estabilidad w'e'¿o R;>o

La determinación de Qges dificultosa pues hay que determinarcovarianzas (¿Lw'yÏÍÑÏ ) y Para esto se necesita instrumentalmuy elaborado.

Si se hace uso de 1a teoría K , entonces se tiene:EL 2€

R5:————T°Kk3‘71 [5.1.23]Km gif

_ 92

y si se supone Km:=Kh(no exactamente válida) se llega a:QE.

RL:1-3-3. [5.1.24]s (9_u>2

conocido como número de Richuiáson. A partir del mismo puedeestudiarse la importancia relativa de los efectos térmicos ymecánicos tan solo con el conocimiento de los perfiles de ü,y¡5.

Para las distintas clases de estabilidad se tiene:

inestabilidad 29%<o [2¿¿o

28

. Dé .neutralidad Si=c> RL=o [5.1.2fl

estabilidad ‘ Dïéïw R¿70

Es posible obtener un parámetro de estabilidad usando argu­mentos de similaridad, tal comolo hicieron Monin-Obukhov(21)conaiderandoB.l.2Q]e introduciendo una velocidad característi­ca Mg“y una longitud característica P-Z .

En efecto, multiplicando cada término de 5.1.20 por bz/MÏse tiene la ecuación de balance de energía cinética turbulentaen forma adimensional:

E 3b_ 9'2 E'Lü+ h-z_g_w_'9ï_h-z C)a: ot a: o: ¿tu F L'—'-vi-2 Mi( w+%PW Dz) A} DKÍQXJ E.1.2q

Definiendo un gradiente adimensional de velocidad:ha DE

Óm=-Z:'ÉE— E.l.2fl

5.1.26 se transforma en:

¡2.1 DE 4) kz q—n. 12.2 1) I ' 1 ' 1 DE h-zVOMÏ'LDAfi___.._: +.__._.we——-a—- w“v——--——- .'__" 5.1.28123 31 m M3 T0 332G S’oP 92) uf 3xJ 3x1 [ ]

dondehd)myi5%u%;WÉ'sonrespectivamente los términos de produc­ción mecánica y térmica en forma_adimensional.

En éste última, a menos de 2 los demás son constantes dentrode la capa límite de superficie, o sea:

,w—‘e':de [5.1.29]¿iiaLA;

Monin-Obukhovdefinieron una escala de longitud haciendo:3

L_-1 __MJ(TO o._ k q__ _ [513o]

denominada longitud de Monin-Obukhov, cumpliéndose:

inestabilidad L <0[5.1.31]

estabilidad L >0

Entonces,[5.l.2a queda de la forma:

Ei Lb- i‘ PE ¿(Ïp ¡57v_vE)_h_-Ev._9“__ï°“ï[5.1.32]O 92 af DXJ‘ OXJ‘13' Dt“ m L 11,? Dz

29

y entonces, los efectos térmicos pueden ser representados por­z/L , de aqui que se define el parámetro de estabilidad deMonin-Obukhov fi como:

Í =% [5.1.33]

Puede notarse que

l- inestabilidad g ¿o

neutralidad é] :o [5.1.34]

estabilidad g >oLos tres parámetros de estabilidad cumplen

RF‘É‘RLÉC‘T. [5.1.35]

Se retoma aquí el planteo de la obtención de los flujos tur­bulentos a partir del conocimiento de los perfiles medios­

Si bien los esfuerzos en encontrar soluciones analíticas noprosperaron, ha sido posible, mediante el uso del análisis desimilaridad, la obtención de relaciones semi-empíricas. Desa­rrollos de los fundamentosy del uso del análisis de similari­dad pueden encontrarse, entre otros, en el texto Manual deFisica (22) y cn los trabajos de Monin (3) y de Vasques (21).

Una completa descripción, usando los datos de Kansas (18),hasido dada por Businger (4) mediante un desarrollo de las deno­minadasrelaciones flujos-perfiles.

En dicha descripción, los perfiles de viento y temperaturafueron expresados en forma adimensional definiendo:

47m= Eli [5.1.36]y.

cbh= :_:.39_Í [3.1.37]COT:

e».= [5.1.38]

Tantod%1como<bh son expresados como funciones de É] . Los re­sultados de las observaciones se muestran en las Figuras 3 y 4.

Un ajuste de dichas observaciones permite obtener:

30

I Ó“

4> 4" °no.” n-oao 7­

7..'-‘-—I.c

,2_—I.4 ...' 0’ 6-.

¡:4’ 6...

casao_ora 5,. a

0.6- 5­-0.6 l____l__

' —OIO -005 0 0.05 OIO0.4- C

—04

C 4“0.2-_o_2 ¡.040 4_ , O-0IO -OO'» 005 0.IO o .f" —'—1T-‘_l"l

-o¡o' -oos o oos ono ..cl-Olb 3- .1.3..

-l/2. .—-—-- - .74 l-9

qm 95h o ( L) .-...... Óm:(|-|5C) 2_ .

3 2— __ 4) 074(H4lglsm)—2/3 'n.___qS:n-9;ém=.¡ h ' '

———-4>m=|+4.7g L —-d>h=o.74#4_7.; |­

sfl' ¡fi’_"..‘=8—-."""'"-"‘.."'.‘fl.v’;.?t6. -.-M-'fi-WMJ

l l l I l I l l _ I

fi 1 ' ‘ ' 7 ' ' —2.5 -2.0 -|.5 -l.0 -05 0 0.5 ¡.0 l.5-2.5 -20 -l.5 -IO -05 0 0.5 I.0 I.5 2.0 z

C .' C

Figura 3: Comparación en- Figura 4: Comparación en­tre observaciones del per- tre observaciones del gra­fil adimensional del vien- diente adimensional de tem­to con fórmulas de inter- peratura con fórmulas depolación. (4) interpolación. (4)

31

Para fi <O(inestabilidad)-M4

49m= (4‘15?) [5.1.39]

4h=o.=4-(1-95)” [5.1.40]

Para gw (estabilidad)

Óm=1+4íá [5.1.41]

©h=qm+évg e L44

Cuándo g =x> , eh: 1' y el perfil de Viento es el logaritmi­co y al ser d)“: 0,74 se infiere que

Ém=fi 1,35 [5.1.43]‘t’h Km

Esta es una relación mayor que la que usualmente se usa paracondiciones neutrales (se tomaba igual a 4 ), pero coincide conlas mediciones de laboratorio. '

Las ecuaciones[5.1.39] 8.5.1.43 fueron integradas por Paulson(23) llegando a los siguientes resultados:

4L%(hí-%) E444

é-eo= 074% (lni-qu) [5.1.45]

donde las funciones de estabilidad ug y wz están dades por:Para fi<o '

km: 2-In Eme/21+ Ln[(1+x)2/¿]— 2-tcg‘x4% [5.1.46]

7.: “[UWHZ] [5.1.47]COD _1

x: CISrn [5.1.48]

-4

7: (ha [5.1.49]

?ara í7o%=%=-4iá Edóq

El uso de estas relaciones semi-empíricas puede encontrarseen los trabajos de Berri (24) y Aiello-Berri (8), en éste úl­.­timo también se supone la siguiente relación para q :

32

21-360,74? (mi- wz) [5.1.51]

con ___

° (1x=‘\ï: [5.1.52]

Las relaciones Óhfiny'Óh(fi)definenla estructura de la capalímite de superficie no neutra y se deriven las relaciones

mi.) y ¿(go usando:

RL: í‘ =___í‘.d>k 5.1.532€ .d3m (bzm I: ]

_ d>m95- h [5.1.513

a partir "de [5.1.39] a [5.1.42] , obteniéndose:Para á <0 .

14RtLMM [5.1.55](4_9q)1/Z

. 1/2«MM 5.1.56" 0-152)“ [ ]

Para i>oZ

R-Lzosm-g + 4.? 5 5 l 5,7(1+4,792 E ]

.4:¿Qjfifií [5.1.58]"' 0,14 + 417€ .

5.2. Subcapa laminar

En ciertos casos, cuando Zoes pequeño, o sea, para aquellas.superficies suavizadas, el valor del coeficiente de difusividadturbulenta Kn=ltuwiopuede llegar a ser del mismoorden de mag­nitud que V , que en el análisis realizado para obtener laexpresión 5.1.13] de 5., no fue considerado. Entonces, cuandoello ocurre, en vez de considerar 5.1.Q] , se debe tomar:

(Mmm?)-90%:uf [5.2.1]

Aún mas, cuando:

km:k'uy'zo¿¿j)

35

la estructura de la capa de superficie está dominadapor los e­fectos de la viscosidad molecular y la transferencia turbulen­

'ta es despreciable. Esta condición permite la denominaciónde"flujo aerodinamicamente suave".

La teoría muestra que cuando:

R ._22;E11 , . .e_ .v 7 25 B 2 fl

entonces es lícito no considerar “9 en 5.2.fl , con lo cual va­la la expresión 5.1.13].

Cuando:

Re < 0,13 [5.2.4]

el flujo es aerodinamicamente suavizado y la expresión a usares:

.47 [5.2.5j

de donde:

¿1 55'11: a [5.2.6]

Se ve que el perfil es lineal, y esto es válido en una capade pequeño espesor en contacto con la superficie terrestre encuestión donde es dominante la viscosidad molecular y se ladenomina subcapa laminar.

5.3. Capa de transición

También se la denomina capa espiral o de Ekman, pues la so­lución del perfil de Viento fue lograda por dicho investigador.

Un tratamiento matemático para arribar a dicha solución puc­de encontrarse en los textos de Haltiner-Hartin (15), WiinNielsen (9) y Holton (16).

Siguiendo al segundo de ellos se muestran los fundamentosde la teoria de Ekmany los resultados obtenidos.

Se supone un balance entre las fuerzas de presión, de Corio­1is y de fricción, con lo cual puede escribirse:

o..__LV"_ h V .i_23. . .1_ g HP f x +8 32 b 3 ]

La Figura 5 muestra un balance de dichas fuerzas para elhemisferio sur.

34

/Í —1;|‘zxï/ IMS?

Ñ. W-Vg'

e‘—VHF

Figura 5: Balance de fuerzas en la capa de fransición

Se plantea el problema de determinar V(z) cuando el términode fricción está expresado en función de Z , o sea:

1 oz _ a dvíï_53__5ï(Km___) fi.3.q

y se hace la suposición de que Krnes independiente de Z , conlo cual

o .2“¿73: Km% [5.3.3]

Esto permite linealizar el sistema y entonces la ecuación di­ferencial lineal de segundoorden a resolver es:

ng _ÏHZXÑ+fÏkag=O [5.3.4]

Escrita en componentes:

Kmil;- +Íïf =° [5.3.5]

Km03:2’ “‘Ï'Ms) =° [5.3.6]

' habiendo tomado ‘Vg=ligú.Suponiendo que ng = ete, o lo que es lo mismo, VT=<>, se lle­

ga e la siguiente solución del sistema:

a=ug+vïug.seno<o-éz/H‘- cos[(do+_3.w)—:7] [5.3.7]

55

__ -Z/H¡ z,U.z _fi vgsenuo-e . sen[(do+%ï)-El]

Esta solución es la que determina la denominadaespiral deEkmany de ahí que a esta capa se la denomina también capa es­piral.

En estas expresionesfü=ÜZWV4 y does el ángulo entre el vien­to real y el geostrófico en 2:0 .

En esta región de la capa límite atmosférica, al igual quecomofue señalado para la capa límite de superficie, es posiblehacer uso de argumentos de similaridad para determinar las ca­racterísticas de las variables en cuestión.

Un exaustivo estudio de dichos aspectos fue encarado por Te­nnekes (74), donde muestra comomediante la definición de dnsescala de longitud neutral k , de una altura adimensional gde un parámetro de estabilidad/M y de una altura relativa.A ,expresadas mediante:

= S [5.3.9]

5: %=%7 [5.3.10]

M=_Ï_:___*:Ï* [5.3.11]

412%:LL [5.3.12]huse llega a poder dar la estructnra de la capa límite de transi­ción en función del parámetro de estabilidad fl. (tal comosehizo con á en la capa limite de superficie), para lo cual sonválidas las siguientes expresiones:

%:JL=.A.[M) [5.3.13]s ;A(_“). 1*_*end h W [5.3.14]

h2V 2 2 1

ln%=8(#)+\n%+[htg-L_A(M] [5.3.15]

M: ¡<_m tn r2 11* _ c 5.3.166x (thíl (0|My\ (flfl [ Jdonde Ro:[%%%oes el denominado número de Rossby.

Las funciones.A(#L A(#]. B(#]y C(fi0fueron obtenidas a partirde datos experimentales y Tennekes (74) muestra gráficos de lasmismasobtenidos por Zilitinkevitch.

36

6. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE MODELOS NUMERICOS DE LA CA?PA LIMITE ATMOSFERICA

6.1. Plantea general

En la extensa literatura acerca de esta cuestión, que com­prende libros de textos y gran cantidad de publicaciones cien­tificas, es posible encontrar diversos planteos sobre el mo­delado de la capa límite atmosférica.

Los mismoscomprendenel estudio de distintos aspectos delcomportamiento de la capa límite atmosférica y conforman meto­dologías con las que pueden examinarse relaciones entre diver­sos factores externos y los parámetros internos que son estudia­dos.

Tal comose estructuró hasta aqui esta monografía, es intere­sante enfatizar que el planteo que debe hacerse_para la denomi­nada capa límite planetaria comprendeel uso del sistema de e­cuaciones B.9]a.@.12](o algún otro en el que se cumplan lascondiciones que definen a la capa limite planetaria). Su reso­lución implica, con el uso de alguna alternativa de clausura ybajo ciertas condiciones de contorno en la superficie terrestrey en el tope de la capa límite planetaria, encontrar las dis­tribuciones de las variables dependientes ¿(2), (¡(2), ¿(ay 63(2).

Las condiciones a que se hace referencia fueron dadas ante­riormente y es claro notar que por ejemplo, en el caso de inten­tar la resolución de un sistema no estacionario, no se cumpli­ria una de dichas condiciones (la (a)) y entonces, no se puedeestrictamente hacer referencia a la capa limite planetaria, ylo mismo se extiende a los demás casos en que no se cumplan unao mas de dichas condiciones. De aqui es que en lo que sigue sehace mención a sistemas de ecuaciones diferenciales de la capalímite atmosférica, entendiendo por éstos, a sistemas simplifi­cados respecto del sistema completo de ecuaciones[?.1]a.P.7],sobre los que no se imponen condiciones tan fuertes como aque­llas que determinan a la capa limite planetaria.

Conformansistemas de ecuaciones diferenciales no lineales,estacionarios o de evolución en espacios de una, dos y tres di­mensiones.

Es importante mencionar que, debido a las dificultades de cos­tos de instrumental, son pocas las experiencias realizadas paraobtener mediciones de 1a capa limite atmosférica, de ahi quemuchos de los modelos realizados conforman fundamentalmenteaquel tipo denominadode simulación. En el desarrollo que siguese hará mención de las experiencias mas importantes que fueronusadas para los tests de alguno de los modelos que se mostrarán.

#En adelante, por claridad en el texto, se obviarán las barrasque indican variables promediadas, aunque las mismas se sigantomando como sus valores medios.

37

6.2. Modelosestacionarios de la capa límite atmosférica en es­pacios de una, dos y tres dimensiones

El autor, en el trabajo de Tesis Doctoral aquí presentado,hace uso de una metodología propuesta por Estoque-Bhumralkar(25). La misma conforma un método para resolver el sistema deecuaciones diferenciales no lineales en estado estacionario quegobiernan al flujo de la capa limite atmosférica. Es aplicablea movimientos sobre superficies homogéneas (caso unidimensionalen el cual puede hacerse referencia a 1a capa limite planeta­ria) y sobre aquellas en que-las propiedades varíen en una di­rección (caso bidimensional) y en dos direcciones (caso tridi­mensional). Tambiénes aplicable a aquellos sistemas denomina­dos aCOplados (atmósfera-agua y atmósfera-suelo).

En el caso de estudiar un flujo sobre un terreno homogéneo,el sistema de ecuaciones a usar es el de la capa limite plane­taria:

o;__;_93_:+fv+g_í(Km%%) [6.2.1]

o: -1ï23fg_fu+%(\<m%) [6.2.2]

o= %Z_(Kh%22) [6.2.3]

o: É [6.2.4]La clausura es una de primer orden con la suposición:Km:

y para K se adopta una expresión similar a 1a obtenida porBlackadar (26). '

Sobre los gradientes horizontales de presión se suponen

fue: ¿PD-F; [6.2.6]

gv3=_%°°Ly [6.2.7]

y tomandolas siguientes condiciones de contorno:

.En Z = 0 , ÁL(O)=O V(o)=0 Gb): 9° = go

En z :H , u(H)=uq V(H):V'g- 9(H)= GH q(H)=qH

es posible resolver el sistema comouno de valores de contornomediante un proceso iterativo con el uso de un esquema centradoen diferencias finitas, con el cual es posible simular, defi­

38

niendo distintas condiciones de Goy OH, diversos casos de es­tabilidad atmosférica. Particularmente, detalles de esta meto­

- dología se dan extensamente en el trabajo de Tesis.Estoque (27) muestra algunas características de uso y compa­

ración de esta metodología con las usadas por otros investiga­dores.

Aiello (14) muestra resultados de dicho método usando distin­tas condiciones de contorno y considerando distintos casos deestabilidad.

Wippermann(28) presenta un método de resolución del sistemade ecuaciones de la capa límite planetaria, planteando un sis­tema de ecuaciones adimensionales que forman un sistema de e­cuaciones diferenciales ordinarias y usa un métodode relaja­ción según un procedimiento de Liebmann modificado. En dichotrabajo, se alude al método de Esthue—Bhumralkar señalando co­mo desventaja el que puede ser usado para un número muy restrin­gido de puntos según la coordenada z , a causa de la necesidadde inversión de una matriz (la que resuelve la distribución deLuz\y'v(m) en el proceso iterativo.Recientemente, Aiello-Berri (8) desarrollaron un método de

resolución de las ecuaciones de la capa_límite planetaria, con­siderándola subdividida en una capa de superficie y una detransición. En la capa de superficie se empleó la teoría deMonin-Obukhovusando las expresiones integradas de Paulson( 5.1.44], B.l.4í]y B.l.51]), a través de un sistema iterativo,acoplando las soluciones asi obtenidas a un esquemaimplícitoen diferencias finitas para resolver en formadirecta el siste­ma [B.2.1]a 5.2.4] de la capa de transición, en ésta capa,para calcular el coeficiente de difusividad turbulenta, se a­doptó una expresión polinómica cúbica deducida por O'Brien (29).

_Retomandoel método de Estoque-Bhumralkar, se considera elestudio de las propiedades del flujo de la capa límite atmosfé­rica en el caso en que las propiedades de la superficie terres­tre varíen en una dada dirección. Los parámetros cuya variaciónes permitida son, el de rugosidad, la temperatura y la humedadespecifica.

Suponiendo que dicha dirección de variación sea según x ,proponen entonces el siguiente sistema de ecuaciones no linea­les para el estudio en cuestión:

u%+w%-5v=-¿%+%i K 23%) [6.2.8]

u%+w% qu: -á%+%ï(Km5’3—‘g) [6.2.9]

M%%+w_g_: ._. gía“? [6.2.1q

¿law-3,3; = ese) [6.2.111

39

25%+2;L;:0 [6.2.12]m .

.375. : -%:— [6.2.13]

En la región bidimensional se supuso la incorporación de lostérminos advectivos en las ecuaciones de movimiento para u.yM‘, en la ecuación de energía termodinámica y en la de humedad

La ecuación de movimiento para la velocidad vertical Vdfue a­proximadamediante la consideración hidrostática y se conside­ró incompresibilidad.

A1 igual que en el caso unidimensional se ensayó un cierrede primer orden, siendo válida la suposición[5.2.5]y la consi­deración de Blackadar en 1a elección de K .

El sistema es cerrado, las variables dependientes son LL,v-,VV, P , e y q. . El método de Estoque-Bhumralkar permite

calcularlas en toda la región de resolución (coordenadas Xyz )'tan solo a partir de las condiciones de contorno en 1a superfi­cie terrestre (se puedensimular distintos casos reales) y enel tope de 1a capa límite atmosférica (a través de estimacionessinópticas). Con extensión e introduciendo nuevos aspectos, elmétodo en cuestión será explicado en el trabajo de Tesis. Elmismoconsiste en ir incorporando, a través de un proceso ite­rativo de solución de.un sistema implícito de ecuaciones en di;ferencias finitas, los distintos mecanismosfísicos que carac­terizan al sistema de ecuaciones diferenciales. l

El método puede extenderse al caso en que las propiedades delflujo varíen según dos direcciones ( x e y ) y el efecto de lano homogeneidad según y se traduce en la incorporación de nue­vos términos advectivos en las distintas ecuaciones y la intro­ducción deDVflwen 1a ecuación de continuidad. ­

El sistema adopta la forma:

u?3_‘;_+'v%%+w% JV: --;—-%—:+%2—(Km2,3%)[6.2.14]

M%«¿+v%g+w2;;+íu=¿aga-¡(msn [6.2.151

u%%+v%3+w9ïz = _g_z(\<%) [6.2.16].

u %ïï(+v%_+x-a%% = g—Z(Kq%} [6.2.17]

¿0% +93_*;+_93_‘; = O [6.2.18]

se)” [6-2-19]

40

Valen las suposiciones mencionadas para los casos en las re­giones uni y bidimensionales.

Es interesante mencionar que Esthue—Bhumralkar extiendenesta metodologíaal estudio de acoples entre la'capa limite at­mosférica y una capa de suelo, incorporando a este efecto, unaexpresión simplificada de la ecuación de balance en condicionesestacionarias, detalles de la mismase encuentran en el trabajode dichos autores.

Comose mencionó al comienzo, son muy pocas las experienciasrealizadas con el fin de obtener mediciones de la capa limiteatmosférica. La mayor parte de las efectuadas han sido llevadasa cabo buscando aquellas zonas con muy poca rugosidad y bajo

.adecusdas condiciones sinópticas. De importancia entre éstasúltimas son la de Great Plains (30) y la de Wangara (31), y esen base a estos datos tomados en algunos días particulares,que se hacen los tests de alguno de los modelos que se mencio­naron y también de otros que se describirán someramente mas a­delante. Es importante expresar que las verificaciones o testssólo se realizan_en casos muyparticulares, de ahí que la deno­minación, en 1a mayoría de los casos, sería la de modelos desimulación, enfatizando que la principal importancia de dichosmodelos, es el conocer el comportamiento de los distintos efec­tos o mecanismosfisicos en la capa límite atmosférica.‘ Muypocas fueron las experiencias para medir parámetros de lacapa limite atmosférica sobre terrenos no homogéneos,y en par­ticular lo que fue mas medido es el campode velocidad horizon­tal sobre una superficie sujeta a un cambio de rugosidad, y secitan, por ejemplo, las dos experiencias importantes llevadasa cabo por Bradley (32) y Peterson-Kristensen-Chang Chun Su(33). En ambostrabajos se mencionanlas distintas teorías ela­boradas para explicar el comportamiento del campode viento endicha situación. En el segundo de dichos trabajos se categori­zan los enf0ques en forma clara. Es de mención aquellos traba­jos realizados por Elliot (34) y Panofsky-Townsend(35) basadosen argumentos de similaridad. Mazzeo (36), haciendo referenciaa la aplicación de la teoría de semejanza lagrangiana en 1a ca­pa de superficie en el conocimiento de la dispersión verticalde contaminantes emitidos desde superficie y mediante una modi­ficación de dicha hipótesis, obtiene las variaciones de la capa

'límite interna originada por un cambio abrupto de rugosidad.Descripciones de la capa límite interna están dadas en el textode Plate (5). '

Estoque-Bhumralkarhacen referencia a los trabajos de Nicker­son (37), Onishi-Est0que (38), Onishi (39), Taylor (4o) yPeterson (41).

41

Estas últimas consideraciones versan sobre uno de los muchosaspectos que se investigan en el modelado de la capa limite at­mosférica, tal vez el concerniente al salto de rugosidad en su­perficie sea uno de los mas estudiados.

Es interesante el trabajo de Onishi-Estoque (38). Dichosinvestigadores estudian la distribución del campode velocidadcon la altura en una situación de cambio de rugosidad mediantela integración numérica del siguiente sistema de ecuaciones:

o 5uá+w%=—g—x+%(‘<%) [6.2.20]

Dw 0w_ 35_ Juñï+wï_—ï q [6.2.21]

%¿X+OT\Z=0 [6.2.22]

donde ¡5: P/g .En este sistema, se despreció el término de Coriolis y los

autores supusieron que el coeficiente de difusividad turbulen­ta varía linealmente con la altura. Se hacen comparaciones en­tre sus resultados numéricos y aquellos que derivan de estudiosteóricos y experimentales.

Nickerson (37) estudia el ajuste en una capa limite neutral­¿mente estratificada a un cambio de rugosidad, tratando el pro­blema comode valores iniciales. Los cambios de la velocidaddel viento se obtienen a partir de la integración numérica deun sistema de ecuaciones no lineales de la capa limite y searriba a resultados que son mayores que los previstos por lasteorías que usan argumentos de similaridad.

Peterson (41) estudia el mismoproblema, usando el hecho deque la tensión 1 es proporcional a la energía turbulenta, pos­tulando que el campo de movimiento está gobernado por el si?guiente sistema de ecuaciones diferenciales:

9a D\¿l“gl; +wïz. = T2. [6.2.23]

Du Dw

2?. _ m 3_M_¿w—‘b'—e

Esta última es la ecuación de energia turbulenta. Las conside­raciones hechas son:

W :Ofió-b [6.2.26]

e = ¡zf’z/cqa-z) [6.2.27]

42

u tu abwe=_ [6.2.28]OZ

Este sistema se resuelve numericamente y se comparan las solu­ciones con las teorias anteriores.

6.3. Modelosno estacionarios unidimensionales de la capa lími­te atmosférica

Se toma comopunto de partida el modelo desarrollado por Es­thue en el año 1963 (42). El mismoautor en su tratado sobrela modelación numérica de la capa límite atmosférica (27) dis­cute características de dicho modeloy de varios aspectos con­cernientes a 1a problemática del modelado con modelos no esta­cionarios unidimensionales de la capa límite atmosférica.

El problema planteado es el conocimiento de la estructura dela capa límite cuando es forzada a cambiar temporalmente a par­tir de una variación de la temperatura de superficie. Dichoforzante depende de relaciones energéticas debidas a las ra­diaciones de onda corta emitidas desde el sol y de onda largaemitidas desde la superficie terrestre. Los calentamientos yenfriamientos de la superficie terrestre son transmitidos a laatmósfera y al suelo mediante mecanismos de difusión moleculary turbulenta. Las variaciones inducidas en la temperatura delaire y la estratificación térmica afectan a los camposde velo­cidad y humedad.

Es importante señalar que hay dos formas posibles de introdu­cir las variaciones temporales de la temperatura de superficie.La mas simple es mediante la suposición de una temperatura pe­riódica arbitraria en superficie en función del tiempo. La o­tra es mas realista y consiste en la determinación de la tempe­ratura a partir de la resolución de la ecuación de balance enla superficie terrestre, para lo cual hay que acoplar una capade atmosfera con una capa de suelo. Esta última alternativa fueuSada por Estoque (42) y en su trabajo se hace referencias alo hecho por Krishna (43) y Sasamori (44).

El modelo de Estoque considera tres capas, tal como se mues­tra en la Figura 6.

Las ecuaciones usadas son las siguientes:Capa de suelo o sas —D

3 Í) T3-22-52- Ks-í) [6'3'1]

Capa de superficie os 2 e ho l33 (K_3;Y_z_)=o [6.3.2]

43

gïoaïüfi [6.3.3]

%2_(K%):o [6.3.4]

Capa de transición

DTÏ: f.v_É__33É+3700?) [6.3.5]

-ïg;-’=—í-u»;-%3+g; 0%) [6M]

DTÏ: 37 Kgïez)+ se [6.3.7]

¿mig [w]Serepresenta los cambios de temperatura debido a procesos de

radiación. '

21

H

CAPA DE TRANSIC|ON

h

CAPA DE SUPERFIClE

o 5777777777777777777777777CAPA DE SUELO

-D

Figura 6: Capas consideradas en el modelo de Estoque (42)

44

Los detalles de las soluciones de las variables en las dis­tintas capas, sus acoples y el cálculo de la ecuación de balan­ce en la interfase se encuentran ampliamente detallados en eltrabajo de Estoque. _

En términos generales se puede mencionar que se suponen váli­das.las igualdades expresadas en E.2.5]y Se considera en:Capa de superficie: . l

_ í l. > Lc [6.3.q1h 1m 1

K=C1(z+zo)2(á) RLSRLC [6.3.10]

'dónde Ru =—Q03, C1=<19 y «.=—5 (deducida de la experienciade Great Plains).Capa de transición: Variación lineal de \< a partir de K(h)yconsiderando K(H)=o .

Las distribuciones delVI, e y q son calculadas analítica­mente en la capa de superficie y en la capa de transición seusa un esquemaen diferencias finitas (45).

La integración del modelo fue comprobada usando las observa­ciones de uno de los días de la experiencia de Great Plains.

Walmsley (46), en su Tesis Doctoral, desarrolla un modelo pa­ra acoplar las capas limite de una superficie de agua y de laatmósfera. En ambos fluidos se suponen capas de flujos constan­tes. Mediante un método predictor-corrector de Hammingse inte­gran temporalmente según la coordenada í las ecuaciones de mo­vimiento, la ecuación termodinámica, la ecuación de humedadyla ecuación de la conservación de la salinidad. Los coeficien­tes de difusividad turbulenta se consideran dependientes de lacoordenada z , de los perfiles de las variables en la capa desuperficie y dc la estabilidad. Se usa un espacio transformadopara mejorar los errores de truncado en el esquemaen diferen­cias finitas (47). ­

Berri (24) realiza una experimentación numérica con un modelode dos capas (de superficie y de transición) usando comoforzan­te un flujo de calor de superficie tomandouna función sinusoi­dal del tiempo. En un trabajo posterior (48) desarrolla un mo­

-delo cn cl que introduce una capa de suelo y el forzante se ob­tiene a partir de la incorporación de una ecuación simplificadapara el balance calórico en la interfase suelo-atmósfera. Losresultados son testeados con las observaciones realizadas du­rante el Sexto período de la experiencia de Great Plains.

Es interesante notar que en todos los trabajos a que se hi­cieron referencias, se usa una capa de superficie, en donde deuna forma u otra, se supone válida la teoria de Monin-Obukhov.

Busch, Changy Anthes (49), plantean la problemática y desa­rrollan un modelo de la capa límite atmosférica para uso en mo­

45

delos de mesoescala. Escriben: " Muchosmodelos de la capa lími­te atmosférica de variada complejidad, han sido desarrolladoscon el propósito de estudiar detalles de procesos físicos den­tro de la misma. No obstante, el tratamiento de la capa limiteatmosférica es también una parte importante de modelos numéri­cos de meso y gran escala. En dichos modelos el comportamientode la capa límite atmosférica en sí mismaes de interés secun­dario, lo que se requiere es una adecuada representación entredicha capa y el flujo atmosférico en el resto del modelo."

Usos de modelos de la capa límite atmosférica para parametri­zar fenómenos en modelos de gran escala se encuentran en eltrabajo de Long y Shaffer (50) y en una publicación del Euro­pean Centre for MediumRange Weather Forecasts (51).

6.4. Modelosno estacionarios bidimensionales de la capa límiteatmosférica

Una discusión acerca de este tipo de modelos se encuentra enel tratado de Estoque (27). A modo de ejemplo se mencionan acontinuación tres modelos.

Estoque (52) desarrolla un modelopara analizar las propieda­des de las perturbaciones inducidas en un flujo de aire por unafuente de calor aislada en la superficie terrestre.

Considera una región bididimensional, tal 00m0se muestra enla Figura ’7, ensayando el siguiente sistema de ecuaciones:

Lu- ¿Lama ¿miga ug; (K%%)+(9_M)PC+Kxï‘i [6.4.1]Dt 3x oz 8 3x Üt OX‘

OI

3%; -A%_ï;_w% +5(Mg-M)+%(K%)+(Q%)PC+KXo; [6.4.2]

o P RkP _ g 'TZ .30) = __CP_e [6.4.3]

%ï (gu) JFÉ (gw): o [6.4.4]o oe oe o o oe 329TÍ: -Ma_wï+ï(K3—Ï)+(-ï)?c+ Kx 3x2 [6.4.5]

P = quT [b.4.qRKF

e Po74?) [6.4.7]

Es de notar la incorporación de los términos con subíndiccPc que representan el efecto de mezcla vertical por penetra­

ción convectiva y el término de difusión según la coordenada)<.El cálculo de la presión se basa en una combinación de las

ecuaciones[fi.4.fl ,[6.4.j y[6.4.fl . Derivandola ecuación[5.4.flrespecto de x y promediandoverticalmente entre E :o y z=Hse obtiene:

13- _ 34:3” "37(36) [6.4.8]

donde:

g o o su Ou _ 32M6:“Tï+w%“Ïv'ï(Ka—z)'(ï)pc K" 0x2 [64'91

Integrando por partes y usando la ecuación hidrostática se ob­tiene:

H P P R/CP

FH=P_R‘JTISOEB_ dz [6.4.10]

Se muestran dos ejemplos de integración numérica para obtenerlas perturbaciones de las variables en distintos tiempos de in­tegración.

Z

H

h .._.

o V7/// ///j/A XFUENTE DE CALOR

Figura 7: Región bidimensional en el modelo de Estoque (52)

Gutmany Torrance (53) desarrollan un modelo para determinarlas respuestas de la capa límite atmosférica a fuentes de calory rugosidades de superficie. Se encuentra en dicho trabajo unaamplia discusión de 1a metodología usada y referencias a inves­tigaciones de otros autores. .

El último ejemplo es el modelo de Tsaan-Wang Yu y Wagner (54)para estudiar los distintos mecanismosfísicos dentro de lacapa límite atmosférica en condiciones nocturnas sobre una CiU?dad. El modelo es de dos capas (una capa de suelo y la capa lí­mite atmosférica) y se basa en el siguiente sistema de ecua­

47

ciones:Capa de suelo:

ÏÉ:%E(K.3%)gt [6.4.11]

Capa limite atmosférica

9_u+u')u+w%t_)cv= -101 +°_(|< LM) [6.4.12]ot 5? S 3X 92 m QE

3‘ CW 9 9_%+M37+W%+ÍM={/43 [6.4.13]22 AAQE 29 — o K 29

El acople se efectúa a través de una ecuación de balance enla interfase. Se muestran resultados de una integración y sediscuten las caracteristicas del comportamientodel modelo.

6.5. Modelosnuméricos de la capa límite'atmosférica con clau­sura de orden superior '

Todos los planteos y consideraciones anteriores coneistían enel uso del cierre o clausura de primer orden. En los últimos a­ños han aparecido una cantidad de modelos denominados de ordensuperior. Los mismos son de evolución en espacios de dos y tresdimensiones.

Deardorff presenta, en la introducción de su tratamiento aceruca del modelado tridimensional (55), una discusión de los mode­los en tres dimensiones (3-D) y de los bidimensionales (2-D).Escribe: "El modelado numérico de la turbulencia en tres dimen­siones (3-D) esta comenzandoa ser competitivo con otros méto­dos, en la opinión del que escribe. Las computadoras digitalesmas avanzadas son ahora suficientemente rápidas comopara per­mitir tratamientos de escalas de turbulencia por debajo del5 % de la escala máximadel problema. Hasta ahora esto no eraposible y los modeladores numéricos se restringian a dos dimen­siones."

En su texto, analiza en detalle las ecuaciones de gobierno,las consideraciones de clausura y también hace referencia adistintos métodos de diferencias finitas, mencionandotambiénla posibilidad de uso del método de Galcrkin (56) y muestradistintos resultados obtenidos con modelostridimensionales.

Desarrollos de modelos de orden superior se encuentran en lostrabajos de Deardorff (57), Wyngaard y Coté (58) y Wyngaard(59). Los dos primeros son testeados usando el día 33 de laexperiencia de Wangara. Es posible encontrar en dichos trabajos,

4a

características, discusiones y referencias.Un excelente tratamiento sobre modelado con clausura de se­

gundo orden se encuentra en el trabajo de Walmsley (12)..DeMoory André (13) presentan un interesante enfoque sobre elmodeladode la turbulencia en la capa límite atnosférica ha­ciendo una comparaciónentre distintos cierres.

49

7. MODELO ESTACIONARIO BIDIMENSIONAL DESARROLLADO

7.1.Consideraciones previas

Tal comose señaló en el parágrafo 6.2., Estoque y Bhumral­kar (25) propusieron una metodología para resolver un sistemade ecuaciones de gobierno de la capa límite atmosférica en es­tado estacionario,

Dicha metodología_es aplicable a regiones de una, dos y tresdimensiones y las variables dependientes en cuestión pueden serobtenidas a partir de sus valores en los contornos inferior(superficie terrestre) y superior (tope de la capa limite at­mosférica).

Para los casos bi y tridimensionales el sistema de ecuacionesdiferenciales que utilizaron está formadopor las ecuacionesde conservación del momento, de masa, de energia y la de rela­ción de variables de estado. En el mencionado parágrafo se se­ñalaron las aproximaciones hechas y habiendo supuesto válido uncierre de primer orden se arribaba, para el caso bidimensional,al sistema de ecuaciones diferenciales no lineales en derivadasparciales [6.2.8] a[6.2.13]. _

En el trabajo aqui expuesto se introducen los términos advec­tivos en 1a ecuación de la velocidad vertical\N y se resuelve,ensayando el método propuesto por dichos investigadores, elsistema completo en aquellos casos en que la superficie terres­tre es inhomogénea,arribando a las soluciones, en la regiónbidimensional K2 de las componentes Ü ,C?y W de la velocidad,la presión atmosférica F , la temperatura potencial é y la hu­medadespecifica á .

En_el desarrollo que contiene este trabajo se expone inicial­mente una descripción general del modelo, mostrando el sistemade ecuaciones y el método de resolución que consiste en un es­quemaimplícito en diferencias finitas y el uso de un métodoiterativo que permite, a través de cuatro aproximaciones, laincorporación de los distintos efectos o mecanismosfisicos quedefinen al mismo. La convergencia del esquema determina la dis­tribución de las variables dependientes.

La primera aproximación consiste en resolver el problema uni­dimensional comouno de valores de contorno. Se señalan distin­tal alternativas y resultados de experimentaciones numéricas.

La segunda, tercera y cuarta aproximaciones introducen, res­pectivamente, los efectos de la advección según la componentede 1a velocidad, de la componentevertical ¡ly el efecto delcampo de presión.

Se discuten distintas alternativas para considerar la estabi­lidad de la capa límite atmosférica, los coeficientes de difu­sividad turbulenta y esquemasen diferencias finitas.

Se dan tres ejemplos de simulación numérica considerando:Caso 1) Un salto de rugosidad en superficie, para el que semuestran los efectos de la introducción de advección en la e­

50

cuación de la componentevertical WI.

.Caso 2) El efecto de una fuente de calor en superficie.Caso 3) Una situación nocturna sobre una ciudad, simulada porlas condiciones de contorno, comparandolos resultados obteni­dos con este métodoy el usado por otros investigadores.

En todos los casos se muestra el comportamiento de diversoscampos de variables dependientes y se señalan algunas de suscaracterísticas massalientes.

7.2. Sistema de ecuaciones

Con las consideraciones mencionadas, se tiene el siguientesistema de ecuaciones:Ecuaciones de movimiento para las componentesxjy v de la veloci­dad:

9 o _ 13? 9 DUT:+WTLÏZ_'3CV_ —S'O_x+5ï(l<mo—: [7'2'1]

3V Dv 1Q? D 0V ­UTXJ'WïzHCU' _3 39+ïo<m 92) [7'2'2]

Ecuación de energía termodinámica:39 36._' Ü 99UÑ+WBE_ [37.2.3]

Ecuación de la conservación de humedad:

aq 3q__ D 0gUlï+wïé_ [7.2.4]Ecuación de continuidad:

i [7.2.5]9X

2g+ oz O

Ecuación de movimiento para la componentev/de la velocidad:

UQLÏ+WO_V!= —.L'.‘)_P__DX 02 g DE

_c0nsidcrandoP=SRT

xy = fi.

T e(%)

51

se tiene: xSziL-Pm

entonces, _ R9' n5-2" R-eP 03+ Ñ‘L ‘52)

que puede escribirse como:

¿(LF ‘77;- (‘ï+°%—”ï<+wí—! [7.2.6]

Puede notarse que si no se consideran los términos advectivosla expresión resultante es la denominadaecuación hidrostática.

El sistema constituye uno de 6 ecuaciones con 6 variables de­pendientes de X,Z ,que sonu, v, w, P, e y q .

7.3. Descripción del métodoutilizado

Resolver el sistema completo de ecuaciones diferenciales enderivadas parciales E7.2.fl a [7.2.6] consiste en encontrar,bajo determinadas condiciones de contorno las distribuciones

u. , v , vu y P , e y’ q en la región de resolución.A1 constituir un sistema no lineal no existe para el mismo

una solución analítica y, por lo tanto, es necesario recurrira métodos numéricos, discretizando el sistema para encontrarla solución en un reticulo de la región, lo cual se logra me­diante la resolución de un problema algebraico.

Cabe señalar que en el enfoque aquí adoptado, se ensaya laresolución de un sistema que no contiene términos con variacio­nes temporales. Si se oOntemplaal sistema conteniendo dichostérminos, es sabido que a las ecuaciones Ü.2.l]a.Ü.2.4]se lasdenominade pronóstico y a las Ü.2.5]y Ü.2.Q de diagnóstico, yun métodopara llegar al estado estacionario consiste en inte­grar temporalmenteel sistema partiendo de ciertas condicionesiniciales y de contorno suponiendo un forzante nulo (60).

La metodologia aqui usada, que es la propuesta por Estoque yBhumralkar (25), consiste en un método iterativo haciendo usode un esquemaimplícito en diferencias finitas que permite con­verger a la solución del problema considerando, a través decuatro aproximaciones, los distintos mecanismosfisicos que camracterizan al sistema de ecuaciones diferenciales.

Las mismas son:Primera aproximación: Resolución del problema unidimensional.Esto es, en el caso en que las condiciones de contorno de lasuperficie terrestre correspondan al caso de homogeneidad. En­tonces, el sistema de ecuaciones a resolver se transforma en elque caracteriza a la capa límite planetaria ( B.3] a.@.12]delparágrafo 4)

52

Fijando las condiciones de contorno y tratando al problemacomouno de valores de contorno es posible encontrar las distri­buciones uequn,ea)yqlz). Comose supuso homogeneidad en la su­perficie terrestre según la dirección Xy se tomanconstanteslas condiciones del borde superior dichas distribuciones no va­rían sobre cualquier punto de la coordenada x , entonces paracualfiuiera de las variables dependientes 4%(con La =\J ,L(27_=v, ¡{5:9 , ¿:3 )vale:

Para todo x : (PcUSE) = (VL(xonz‘)

donde Xorepresenta el origen de coordenada x.Cuandola superficie terrestre presenta inhomogeneidadeso

discontinuidades lo anterior no es válido, es decir, las distri­buciones de las variables según Z varían sobre los distintospuntos de la coordenada x y entonces, en la región de resolucióndada por el plano bidimensional nz hay Queresolver el sistemaÜ.2.1]a.Ü.2.G] y se admite que la primera aproximación a la so­lución es, sobre cada punto discreto X(IL1asolución del proble­ma unidimensional, que queda determinada por los valores de con­tornolflüuhzgn, donde 20)representa la superficie terrestre.Las condiciones de contorno en el tope de la capa limite atmos­férica o condiciones sinópticas se consideran constantes, o sea(agaxiúü), donde ZOQrepresenta el tope, no Varian.'De ahora en mas, sobre cada punto 041%20))se define la "co­

lumnaI".

Segunda aproximación: Suponiendo qg=P, constante para todo punwto (X(1)IZ(J))e igual aP(X(I),z(N))y(Pésw , nulo para todo puntoqahaa» , se introduce el efecto de la advección según U avan­zando por columnas según la dirección del flujo.Tercera aproximación: Se introduce el efecto de NVhaciendo usode Ü.2.í]que permite calcular VV:=vv(u)Cuarta aproximación: Se introduce el efecto del campode presiónP haciendo.uso de Ü.2.6] calculando p:=P(L¿u¿e) ­

La dependencia puntual depende del esquemaen diferencias fini­tas.

En lo que sigue se explicitan estas aproximaciones.

53

8. PROBLEMA UNIDIMENSIONAL (PRIMERA APROXIMACION)

8.1. Sistema de ecuaciones e hipótesis de cierre

El sistema de ecuaciones es el obtenido.en el parágrafo 4.dado por las ecuaciones[4.9]a[4.12]. Se suponen iguales loscoeficientes de difusividad turbulenta (relación dada por5.2.51) y se adopta la relación B.16]corregida por una fun­

ción dependiente de 1a estabilidad atmosférica:

K=g2_\'%\_;|.sM [8.1.1]

¿011 SM= SM

8.2. Región de resolución y condiciones de contorno

Se considera la región OéEsEH , donde H es el tope de la ca­pa limite planetaria.

En dicha región se toma un reticulo no uniforme E@)conJ=1_“;N , definido en forma arbitraria.

Las condiciones de contorno son:En Z(1)=0 '

UU) = v(1)=oEn Z(N)=H

U(N3=Ug ¡ V(N)=Vg ¡ 9(N)=9H J' 90"): (314La Figura 8 muestra un esquema de la región y del reticulo re­

ferido. zon:Hn z(N-Un z (N—2)

J em: eo ¡ 90): 90

TOPE

-- ¿(3+04 ¡(JH/2)

-"Z(M¡(J-112)

-- 20-1)

n ¿(5)-- ¿(2)

íü)so SUPERHCEFigura 8: Esquemade 1a región y el reticulo en el problema

unidimensional.

54

8.3. Ecuaciones en diferencias finitas

Se usa un esquemaen diferencias_finitas centradas. En las e­cuaciones que conforman el sistema aparecen términos con deri­Vada de segundo orden (los de difusión) y a continuación semuestra la discretización, en el punto J del reticulo, del queaparece en la ecuación de la componente U .

“22' ‘K ¿ala-U.2. (Kg) = Oz 3+412 oz 2 :32 OE J zo+n-20—n’“—‘7ï—’_—“

K(J+1/¿) [uom- um] _ K(3-1/2) CU(J)-U(J—1)J[20+1)—Bcn] [zm-204)]z(:m)— aga-1)

2

DZ(J)=E.(J)- ¡(J-1)mazo)= zom- ¿(J-1)

.K 31Z (+lz)Da 9a J

- ———- — ¿qm J- - __ MMO-Dow) PP“) Um] oda-maipu “(31)1­

= 2_KP4R)_%}“_2¡KUMh) _k KÜJk)]Uw+1743.0929) LD2(7+1)-maca) DZ[J)-DDZ(J)

2. K (il-HI2) . up+0020+0-Dozo)

Entonces, para el puntoi), 1a expresión en diferencias fini­tas de la ecuación de movimiento para la componente U es:

.v _ .vg 210-412) _ [KW/2) xro-«¡2)<3- <)+————-UJ1)—2— .

f 3L Dam-Dogg) L D3(:I+1)-DD?(7)+DECO-D026!) [8.3.1]

2-K(3+‘_/2___). op“) I_ Dz (3+1) DDZ (:1)

En forma similar, se obtienen las discretizaciones de las de­mas ecuaciones. '

Ecuación de movimiento para V :_ ru __ .o: 2.K(7-4/2) _v:I-1 _ .WÜJ’VZ) ¡(CM/2) ' h

f 9- 3€ 0+ DECO-DDR?)( ) ZLDEC’“)'DDEÜ)Mmmm) [8'3'2]2.I<(J+4/z) _.VP) + Dz(:1+4)-DDE(J)VU“)

Ecuación de energia termodinámica:

UU) +

-__2'K(J’1’2) - i {kW/2) KU'VZ) . «(7-412) .e°'°Z@)-°DEU)°U')Z Dzáïwwwfivam-mo)60"”W) (“OFJ-3]

Ecuación de humedad:

-M - _ _ÍK(3“/2) ¡((3-1/2)_ z. ¡((1-4/2)o- NWDDEG).(Mi 1) 2 “¿WWW DW)_DDW)]3CJ)+W).3(J+1)[3, 3,4]

55

Ensayando el esquema anterior, RL, SM y K se deben tomar enlos puntos medios de reticulo, o sea:

z ‘Íz7‘ 1- 3 — Z

k(With MW“ {[UÜSQÜÏE))]+ [VÏQUÏÍÏ] {SM (JH/z) [8‘3°5]

8.4. Método de resolución

La parte dinámica del problema, dada por las ecuaciones endiferencias finitas para U y \/ ( B.3.fl y[B.3.a ) permite de­terminar un sistema de ecuaciones lineales de 20L23xz(N-aecua­ciones conZGWZ)incógnitas, que son U0)y v0)con 3:%3WH,N4

La ecuación para e (B.3.fl ) determina un sistema de(N4)x(N-Decuaciones con mhüincógnitas eb)con j=a1muN4.Identicamente su­cede con [8.3.4] para (¿(3).

En caso de conocer la expresión de K en todos los puntos me­dios del reticulo, la solución es directa, es decir, resolvien­do directamente las tres matrices definidas anteriormente seencuentran las distribuciones de las variables dependientes.

En el caso que se considera en este trabajo, donde K es de­pendiente de la solución de las variables U, V y e-, lo últimono es posible y se ensaya un método iterativo_que consiste en:1) Se cierran los sistemas suponiendo K constante y se obtiene:

4kL1) (4)

Uma) I v(‘)(::), e (J) y q (J)(4)

2) Se calcula ïZLconstante para(todo J como el promedio:RSL 9-, (mía) + ¡2L(N/Z4,1/2)1_ z

3) Se calcula Ssïusando:U) (1)

5M = SH (RL )

4) Haciendouso de la expresión[8.3.fl se calcula 1a distribu­ción

Ü)K (Luiz)

y se hace:K m (3+ 4/1)_ Í“ Ü)<3+‘/2>+K(J+vz>1

" 2(Ü

5) Con‘(UHh)seobtiene, resolviendo las matrices, las distribu­ciones de las variables dependientes para 1a iteración 2,obteniéndose:

L2) LP) CZ) (Z)u USJV (a),6 (:1) y 61(3)

'*=E1 superíndice indica el númerode iteración.

56

6) Se continúan las iteraciones hasta que:

Máx(“+1) (n) '

(“a “W e [8.4.1]

como se había expresado al comienzo, el-método expuesto esuno de valores de contorno y a continuación se hará una discu­sión mostrando distintos aspectos del mismo.

8.5. Características del métodode resolución

_En los parágrafos 8.1. a 8.4. se mostró la idea central delmétodo usado. El mismoestá sujeto a varios aspectos que deter­minan su solución.

Al pasar de un problema continuo a uno algebraico y al ensa­yar un esquemaimplícito es claro que el producto final es 1aresolución de tres matrices que deben resolverse en cada una delas iteraciones, entonces, obviamente, la convergencia a la so­lución del sistema depende de las características de dichas ma­trices. Si estas se caracterizan por sus coeficientes a“; y susterminos independientes 1} , entonces:

LPL= “PL (dthTt)

2(N»2 x2(N-2)32k e E. )

2(N—2)Tb ¿[2

Si ¿:1‘2

y se tiene que:

au; = a“: (Esquemaen diferencias finitas) K) .g)

7L:>11 (Esquemaen diferencias finitas¡k,f,uñjvg)

de donde puede apreciarse la dependencia de 1a solución.Esta matriz es banda, no tridiagonal por la aparición del

.parámetro de Coriolis f . Se usa para su inversión un métodopropuesto en Forsythe y Moler (61)

Si ¿:3 ó ¿:4' (N-2)x(N-L

ache R )

TJCe Rumi)

y se tiene:akt:a¿¿CEsquemaen diferencias finitasJ\<)

57

Ti :Tt (Esquemaen diferencias finitastleo (viajen (09.4))

Estas dos matrices son tridiagonales y se emplea un métodopropuesto también por los mismos autores.

En el tratamiento explicado, 1a convergencia se logra con elcriterio dado por 8.4.1 , un criterio o ley de convergenciadebería encontrarse mediante un estudio de las dependencias an­teriores. En todas las matrices hay una dependencia con el coe­ficiente de difusividad turbulenta y esto muestra el acople en­tre las distintas variables dependientes. I ,

De lo anterior surge claramente cuales son las dependenciasde la solución. El parámetro f , dependiente de la latitud te­rrestre, el viento geostrófico va y el parámetro de rugosidad2° determinan el conjunto de los denominados parámetros exter­

nos. La parametrización de K y la elección del esquema en dife­rencias finitas son dos factores de importancia que se discutena continuación.

8.6. Consideraciones acerca del coeficiente de difusividad tur­bulenta.

Varios fueron los estudios y consideraciones acerca de dichocoeficiente, que es de gran importancia en los mecanismosfisi­cos de los modelos como el aqui considerado.

Blackadar (26), enfocando el problema de resolver la parte di­námica de las ecuaciones de 1a capa límite planetaria se refie­re a_1as soluciones obtenidas cuando Kmes independiente de Zdeducidas independientemente por Ekman(ver el parágrafo 5.3.)y por Taylor (62). Hace referencia a suposiciones hechas porotros investigadores y menciona que una teoria completa acercade 1a distribución del viento oOn2 fue realizada por Rossby yMontgomery(las referencias se encuentran en el trabajo deBlackadar) haciendo uso del parámetro de rugosidad y del gra­diente de presión en superficie.Blackadar supone:

fla 4h

K""=E’° R [8.6.1]

y consideraZ

8.6.2]

Entonces:

Km: Hgm [8.6.3]

58

Esta fue la expresión usada por Prandtl para explicar la dis­tribución del viento cerca del.suelo.

Haciendo referencia a distintas consideraciones acerca de‘fl ,adopta '

1a: hz/msg) [8.6.4]

l es el valor al que tiende Í en la atmósfera libre y se tomade la forma:

X: C. IVqII; [8.6.5]

donde c es una constante que permite adoptar distintos A .Blackadar hace uso de:

X= 0,0002; lqu/jc

y adoptando qu=10mr2515etiene >—>235242m,sicQWentonces >s-a40,4o4mCon el uso de la relación 8.6.3, C es una constante "de a­

juste". ,Teniendo en cuenta la relación B.l.fl es necesario considerar

la forma que puede adoptar SM .Varias fueron las expresiones que explicitan la función5H(?Q,

las distintas consideraciones determinan otro ajuste del métodoy es importante señalar lo realizado por Tsaan-WangYu (ll),quien haciendo uso de un modelo unidimensional examina el com­portamiento de catorce formas distintas de parametrización deK , entre las que se ubica la alternativa usada en este traba­

jo. Las mismas corresponden a:l) Del tipo de Blackadar con corrección por 5M.2) Consideraciones de O'Brien (mas adelante se referencia su

uso). '3) Clausura con energia turbulenta.

Entre las correcciones por SMde interés para este desarrollose encuentran: '

(1+ 3 20-2 Pi >,oSH- g (1-3 ¡202 Rc<0 [8.6.6]

SH_ í (“+3m1 “3° [8.6.7](4-3 EL) El;¿o

_ .4h .

SM: {(1 3 RL) RL41 [8.6.8]0 Rc 21

59

Usó un modelo evolutivo y simuló el 5to Período de la expe­riencia de Great Plains integrando desde las 120° horas y duran­te 32 horas. También simuló el dia 32 de la experiencia de Wan­gara partiendo de las OOhóras e integrando a 24 horas. En susconclusiones se señalan los comportamientosde las distintasalternativas ensayadas.

8.7. Consideraciones sobre esquemasen diferencias finitas

Cuandose ensayan esquemas en diferencias'finitas en problemascomoel aqui tratado, se debe tener presente que las variablesdinámicas Uy v tienen muchavariación con 2 cerca de la super­ficie terrestre y poca variación en alturas mayores. Este he­cho condiciona la forma de considerar al esquema, pues si sebusca uno con error de truncado de segundo orden, las diferen­cias finitas para las derivada primera y segunda requieren elempleo de un reticulo con paso A2 constante. Entonces, si dichopaso es grande no se obtiene resolución cerca de la superficiey si es chico, logrando tener mucharesolución donde importa,aparece el inconveniente de tener también mucharesolución don­de no es necesaria y obviamente, con esquemas como el aqui usa­do las dimensiones de las matrices serian muygrandes (teneren cuenta que la longitud de la región es de aproximadamente1.000 m y la de mucha variación deL2y v es h 2 20-50 m)

Estos aspectos fueron estudiados por distintos investigadoresy en lo que sigue se señalan algunas conclusiones de interés:

Taylor y Delage (47) realizaron un excelente enfoque al pro­blema y luego de un análisis de lo realizado por los mismos seseñalan algunas conclusiones:

Hay dos alternativas que pueden ensayarse para tener una in­teresante y razonable resolución en toda la región de interés:1) Usar una "capa pared", que debe considerarse en la región deflujos constantes (ver parágrafo 5.1.). Dentro de la mismalassoluciones son semi-empíricas y no hay por supuesto, problemasde truncado. Por encima de la misma se pueden resolver lasecuaciones con truncado de segundo orden tomando paso constante.2) Usar un espacio transformado g=g@)yexpresar las discreti­zaciones en función de fi .

Tomandoel término de difusión (de segundo orden), se tiene,para la ecuación de U : '

En el espacio Z :

¿“94)- o_K_.9_v+ K. 92002 oz ’ 92 92 922

Definiendo fi(g), para una variable fi :¿”1-21.fipz“ og 9a

37'72 o (9%):9 (901 9á)_ o‘fl fi +9_°Í_._9í_í??? E 3€ 97% ozf' oz Ds, 922

Entonces: = 4% + €192­

%E(K%%)=g‘9912.g'29%+\<(g'99_25+g"20%=

= (¿32972.?{7 +K (z) 99’22+‘g" 99%)Luego, mediante la elección de una transformación convenien­

te, entre las que proponen:

€==fi1(É%;3) (logaritmica)o

á: Ao(A171‘+A2fin (logaritmica-lineal)

con A0,,A1y A2 constantes.

es posible discretizar las derivadas en el nuevo espacio ghaciendo

AÉ: á (30))1Lí (ECM)N-1

que constituye un paso constante en el espacio á .Kalnay de Rivas (63) realizó un estudio de errores de trunca­

do en esquemas no uniformes para flujos de capa límite, usandotambién un espacio transformado y resolvió con esta alternativala ecuación diferencial para la circulación forzada por el vien­to en un océano homogéneopropuesta por Stommel. Encontró resul­tados satisfactorios y demuestra comocierto tipo de transfor­maciones x(á)(transformó el espacio í en el x ) permiten obte­ner errores de truncedo de segundo orden.

Sundqvist y Veronis (64) dedujeron una forma interesante delograr errores de truncado de segundo orden sin hacer uso de unespacio transformado, resultado que logran definiendo el reti­culo no uniforme según lo que se expone a continuación:

Consideranuna función analítica-{6)en la región osxslïcon.fi=4(m), y desarrollandoch yfgq en series de Taylor alrededorde X¿ obtienen, haciendo h¿=:xL+1—xL

l - L 2 . _ ki 2 - .. I

h: 4L+1— {M- E“ ML _ LPM-1h;(4+ '6

L'-1

49- 44cm hï-1-h-1-<*+%-1)fc]_Lu—km 4“:L’ 3HL"kL-1(1+ ff?)

61

Si hp¡:k¿=laentonces:

{‘L ____{(+121-(b1'+

{t = _ííiL:jÉ;LÏ;ELL.+c>(ÜQh

o sea, ambas derivadas se definen con error de truncado de se­gundo orden.

Cuando ktqf kL el error de truncado en 4" es C>(külu4) yentonces la idea de dichos investigadores fue definir un retí­culo en el que: l

hr km = 0056-1)

y dan una alternativa mediante la elección:

R17.“ j k1:L,1(4+a(ïL‘i-)J......, hzbuq (“Mi [8.7.1]

siendo d una constante. 'También se refieren a la ecuación de Stommely en el interva­

lo (QTUcomparan resultados numéricos obtenidos con reticulosuniformes (<i=0) de distintos numéros de puntos, con 4:2 ylos comparancon la solución analítica.

Comoconsecuencia de errores que ocurren cerca de X=ï con d>opresentan otra alternativa

X' fiha= h¿_1[1+%(7:4) ha]

con d y fi constantes.Plantean la cuestión de que podrían elegirse otras formas div

ferentes de elección de k¿ . Las mismas deben ser elegidas paraproblemas especificos.

Es interesante señalar que trantándose de un problema comoelque se desarrolla en este trabajo de Tesis, en el queLq=Aooom,por ejemplo, la elecciónlb.7.l]no es posible, pues si para al­gún lu vale que M71entonces los que se definen a partir de és­te crecen muyrapidamente (cuadraticamente) y si vale han paratodo kc el reticulo no es utilizable para este problema.

Tal vez una alternativa sería tOmaresta elección en una capacerca de superficie y sobre la mismaconsiderar espaciado cons­tante. Es decir, se podria usar lo anterior en Oézélh y para

-lhézél4 ensayar uno o mas espaciados uniformes, los únicos pun­tos en los que no se tendría un oui)serían aquellos HLde cam­bio de paso.

Si bien la alternativa de usar una capa de superficie en laque se tomanlas soluciones semi-empíricas, resulta interesanteno hay que perder de vista que para hacerlo se deben considerardos niveles dentro de la capa de superficie, con lo cual el

62

problema deja de ser uno de valores de contorno, que constiturye el enfoque de este trabajo.

Los resultados que se mostrarán fueron logrados con un espa­ciado arbitrario, o sea, con errores de truncado o(ne) , cual­quiera de las otras alternativas podrían ser ensayadas. Comogeneralidades, es interesante señalar que en el caso de usar€Li)logarítmica, aparece una dependencia con ao y si se quiere

estudiar por ejemplo, un problema bidimensional con ¿ovariable,aparecen en las distintas columnas según X , distintos pasosAá.

65

9 . PROBLEMA BI DI MENSI ONAL

9.1. Ecuaciones en diferencias finitas

Se hacen las siguientes consideraciones}Se tomanlas diferencias finitas atrasa­Términos advectivos:

das flujo arriba, por ejemplo, para el término u %ï , se tie­ne:Si 030 w

9x (1,3) X(1)—X(_I—4)

Si U<O

UDL _ WI J). U(I+1,J)—U(I,J)9x (LJ) X(I+1%—X(1)

Definiendo A(LJ)y Sap) tal quesi uzo si U<o

)\(I,.7):1 ¿(19): o

5(;J):o Spp):1"Se tiene: i

ULL)=)\(I,J).u(1,3).“3+ s(I,J)_u(1,J).9X (1,3) xa)- X(I—1) “144140”

_en aquellos términos advectivos según\NUJ)se definentuap)yE(1,1)en forma similar a ¡(1505*S(I,J) respectivamente.

Tomandolas demás derivadas en la forma usual, teniendo encuenta lo expresado en el caso unidimensional para los términosde segundo orden y llamando DXUL:XD)—X(LA)setiene el sistemade ecuaciones Ü.2.1]a[7.2.@ disoretizado de la siguiente forma:

Ecuación para la componente u .

w(1.3)'_W(I,J) 2-T<”(1,J—1/2).13-1 migran Sung _[010) A+IWEONDEU)]tJ(' )+ Dxa) (')+wum) ug)

-__w(ïr°).<zu,a) + ¿(1.3)_CÚ(1,3) 2.T<(I.J+«/z)_ amy/2)] “(I‘m [9-1-1]DE“) D20“) ' DDZ(J).DZ(J+1) 0043020)]

:fiíï Wap láÉEfiÏÉLJJIJH _VIJ _ JUMUUUIq'+[°ZP+0 bozu)02U+n ( ' )+ f ( ') - DX(I)' (' > ( IJ)+

—_—S(I'J) .Ü(I'J).Ü(I+1J)+ L._____[F(Ï’J)“3(I_1'J)]DX(I+1) I g DX (I)

64

Ecuación para la componente V :

wSIJ) .W(1,J)+2'_WÏJ;VL)- . v(I,J-1)l+ “'MIJ).Ü(I,J)+ S(1-J)DEU) DXLI

l .Ü'(1,J)_- Dow). 02(9) ) pqu)

¿ÉL/¿(I‘m fi “(1.3 _ 2- K(I,J+1¡2)_ 2- É (19-112).v(1l:1) +pau) DEUH) Dow)-sz+1) boat!)-pao) 1 . 2]

—ELI.J) WN) 2. ÏUJ‘H/z) v 13+1) u 1:1 _ 45.7) U IJ V 1-13+[Dzu+1)'(' (' ‘í' H- Txa U“( ')*sap) .Ü I,J)_'\7 144,1 ‘ El 1;)Dxu+1) ( ( ) + ay ( ')

Ecuación de energía:

ng,J)_C'V IP) 2- ÉUJ‘UQ) . I _ -)‘(IIJ)_G 1.3 “1.3) IJ[01(3) ( 4' DDZ(J)'DZÜ) 9( ‘J 1)-+ DxLI) L .) Dxa+1) L)

4uFJlWFP)+EUJ)%FJ 2 Funw) 2-ï(L}%)]_ _ _ .eun ÉJHQD2(a) DECIH) DDZ(J)-D2(J+1) 9920)..» La) J

¿(1.3) G; u) Z'ÏUIJWZ) . I _ -/\(1.3),"u’IJ ,5 I-íJ[Dz(a+1)' (' + Draw-020+!) eu“) - DxLI) (I ) ( I ) +­

SÜP) _Ü(I,:I), gang)DX(I+1)

Ecuación de humedad:

¿vuln'ru ,1 2. ¡Zap-112) i I'M) —>\(1_J)_wU S(I.J) ’N

[Dam WP ) + DDZLJ)-DZ(J) fl + Dxu) UL' )+ DX(I+1) ULI'J)

_w51.3)m(1p) + ¿(1,3) “(13) 2.E(I,J+4/2) 2. '¡Z(1,3-1/2) _ ¿ul/J). Dun) pau“) ' 01m3)-DBLJH) mmozo) [9.1.4]

-E(I.J) mpg) + 2- WWW/2) , a (1,3“) z - >‘(Ï-ÏJ).Ü(I.3)_5(I—1IJ) +DIU-H) wap). De(1+4) Dx(I)

s (Ip)DX(I+1)

60,3).5 (1+1IJ)

Ecuación de continuidad:

{wujmywunfl_Dz(7+1) ’O [9'1’5]

i [Cu +1,3)—Ü(1,3)] [Ü(I+1,J+1)—"Ü(I,J+1)]

Ï DX(I-H) DX(1+1)

65

Ecuación para la componentexN:1 x

P (I.J)— P (1,34) _%7<1% i 4 1 N _

D?D) z R '_2[5(1,3)+ "¿ou-1)] ' ECS+ X(I,7—1).U(I,J 1).Ñu'J-Ú'MÏ'H'M - N - [‘Ï’(ï+1,tJ-4>—Vv(1,3—1)] - [9. l . 6]

.W)___j S(I,J1).U(I,J1).__W “¿41,3fl“(IW-[ïwh e(Ip-1).Mia-1).Dz(3-1) Dio)

Dadoel carácter iterativo del método, en estas ecuaciones elsímbolo«¡indica el valor de la variable en la última iteración.

Comoparticularidades se señalan:En la ecuación de continuidad[9.1.5]el término 2! se toma co­

mo el promedio en dos niveles (suavizado). ' 3xEn la ecuación de la presión [9.1.6] se toma 1/2[1/e(1,:)+1/s(I,3—1)_]

en vez de 1/9UJ) y el efecto es el siguiente:Si la estratificación es nuetra:

4 1 4

%[e(1.3) ‘L 9(I,3-13] = ¿(1,3)o sea, el efecto del uso de cualquiera de las dos formas es i­déntico.

Si la estratificación es estable:« 1 4 _L___E [Gun * ara-1)] > GLIJ)

y entonces, se obtienen valores mas altos de Puyfly en el casoestable dichos valores son menores.

9.2. Región de resolución y condiciones de contorno

La Figura 9 muestra un esquema de la región utilizada.Las condiciones de contorno son:

Superficie:u (In): v(1,1)=wul1)= o

60dl;q@flarbitrarias, hecho que permite simular distintas si­tuaciones.

P(%1) se calcula según el esquema.20(1) arbitrario, pudiendodefinirse entonces, superficies

con saltos de rugosidad.Tope:

U(1,N):Uq ¡ V(I'N) :Vgm/UN) se calcula según el eSquema.P(LN) arbitrario.

egy)qufl)arbitrarias.

“¿(3)

TOPE

N-1­ N-zwDzVARIABLE

J»IJ-H xIJMBORDE

322%“'k LATERALIZQUlERDo1-1,31.31+1;DERECHO_

J DXCONSTANTE

‘:I,J4/2 1I'J'1

3-­

COLUMNA1

'X(1’)

‘__

l1

ISUPEKHCÏE'M-ZM-1M

Figura.9:Regiónutilizadaenelproblemabidimensional

66

67

En particular, las condiciones sobre Oüniy GUN)sonlas quedeterminan el tipo de estabilidad en la simulación que se con­sidere.

Las condiciones de contorno en los bordes laterales dependende 1a dirección del flujo; tal comose consideró en este traba­jo, la mismaes hacia las x crecientes y entonces se tiene:Bordelateral iunierdo:ong), van), eup)y qUJ) son las soluciones de la primera aproxi­

mación (problema unidimensional).WGfl)y PUJ) se calculan con el esquema propuesto

mas adelante.Borde lateral derecho:

Es abierto, o sea, las variables (a menos de‘w(M¿U) son cal­culadas con el esquema del modelo. En el caso de‘w(NJ) se su­pone

- wwp): “¡QA-1,3)

9.3. Método de resolución

Comose expresó anteriormente (parágrafo 7.3.) el método con­siste_en cuatro aproximaciones, tal comose describe a conti­nuación: '

La primera se obtiene con la metodología del caso unidimensio­nal, usándola en cada columna de la región de resolución. Seobtiene pues, para todo punto del reticulo la distribución delas variables:

(¡(1,20)van), eLIp) ) agp), EL(1.3) y K(_I,J)

Las variables Múrñy'PUJ)se suponen iguales a sus valores enel tope de la región.

La segunda, tercera y cuarta aproximaciones se obtienen a»vanzando por columnas en el sentido de las X crecientes. En ca­da una de dichas columnas, se usa la misma idea que en el casounidimensional, pero las matrices que se forman, se obtienen apartir de las ecuaciones[9.1.l]y [9.1.2]para v y x/ , 9.1.3 pa­ra 9 y[9.l.4] para q .

Las dimensiones de dichas matrices son las mismas que en elcaso unidimensional pero están caracterizadas en forma distintapues incluyen el efecto del campode presión y los efectos de

'las advecciones según U y vv . Este hecho introduce nuevas de­pendencias en la solución de 4%(I=bw4J y una caracterizaciónde air y T} se modifica por lo anterior y por el nuevo esque­ma en diferencias finitas. Los métodos de solución de estas ma­trices son idénticos al del caso unidimensional pues aquellaque se usa para U,V es de estructura banda y la de 6 (0t1) estridiagonal.

68

Explicitando estas aproximaciones se tiene:Segunda aproximación:

1) Se comienza por la columna I = 2 y con la incorporación dela advección según uLLU). Con alguna alternativa de elección

de i< se itera hasta lograr la convergencia para la cota dada.Se considera wün)=oy'F(@1%=P@flÜ2) Se repite el mismo procedimiento para las columnas I:%QH3M

Tercera aproximación:Se repite el procedimiento seguido en la segunda aproximación

pero se incluye el efecto de la advección según vv . El campode w4L3)para la columna en cuestión se calcula en cada itera­ción usando los últimos valores de la distribución de ULLJ)y'se toman fijos los de la próxima columna ULIHfü. Esto se hacemediante el uso de la expresión en diferencias finitaslp.l.5],de la cual se deduce:

why”) = “41,3%? ïïg), [Ü(IHIJ)+Ü(I+1'J+1)—Ü(I.J)—Ü(Il'i+1)][9.3ol]

El campo dePUp)sigue sin modificarse.'Cuarta aproximación:Se introduce, mediante el mismoprocedimiento anterior, el

efecto del campode la presión, incorporando de esta formatodos los mecanismos que determinan al sistema de ecuacionesadoptado para este modelo.

En cada columna, el campo de presión se calcula haciendo usode 9.1.Q, de la cual se obtiene:'x x

PQFÚzíP(Lfl+fi.quHfl_é.&Ïfi+áfiïílíq+xu}flBag-42'.Í (Ip-1).Mía-1).CWN(I+11>:—¿;1W(I3-1)1¡-4/%[9. 3. 2]

+wuwwmngiaíaïñm_+¿quwuchwugïwgpqfizEn cada columnaI, el campode presión se obtiene a partir

del valor en el tope y es dependiente de la temperatura poten­cial en dicha columna y de los campos de u y v! (la dependen­cia puntual la determina el esquemaen diferencias finitas)que se incorporan a través de los términos advectivos. En elcaso de suponer válida la aproximación hidrostatica la depen»dencia del campo de P sólo esta dada en función de la tempera­tura potencial.

69

9.4. Características del métodode resolución

Varias son las características que condicionan la solucióndel modelo aqui propuesto.

Una es la forma de parametrizar el coeficiente de difusivi­dad turbulenta, o también los coeficientes de difusividad tur­bulenta de momento, calor y humedad si no se supone válida 1arelación[5.2.fl .

En los casos estudiados que se mostrarán se consideraron pa­rametrizaciones de K similares a aquellas del problema unidimen­sional.

Shir y Bornstein (65) en un trabajo donde tratan distintasmaneras de especificar los coeficientes de intercambio turbu­lento, estudian en particular los problemas de usar la teoriasobre terrenos inhomogéneosy señalan la alternativa

i 902 2 2 Dv2 2 T/Zw [2Ke)+2%>+<%w+(a)+(s+%>1El uso de ésta o alguna otra expresión que incorpore efectos

advectivos resultarian de interés en el modeloaquí propuesto.Acerca del esquemaen diferencias finitas, es interesante se­

ñalar que el error de truncado es del orden oomsóz) . Si sequiere lograr un error ocuíaf) habria que aplicar para la dis­cretización vertical alguna de las alternativas expuestas parael caso unidimensional referentes a la coordenada z y aunque elespaciado según X se toma uniforme (ver los reticulos en loscasos estudiados), 1a forma de discretizar el término de lapresión (derivada atrasada) y los términos advectivos (ver elparágrafo 9.1.) imponentruncados de primer orden, y es claroque para lograr segundo orden deberian tomarse diferencias cen­tradas, lo cual introduciria los inconvenientes de tratar solu­ciones de tipos computacionales además de la fisica.

También cabe señalar que 1a forma en que se aceleró la con­vergencia estuvo dada por el promedio del coeficiente de difu­sividad turbulenta entre dos iteraciones sucesivas. Estoque yBhumralkar promedian todas las variables (correspondencia per­sonal de Estoque), en este trabajo esto no se hizo.

Al no existir un criterio teórico de convergencia (planteadoen el parágrafo 8.5.), se adoptó el criterio usado por Estoquey Bhumralkar que consiste en reemplazar las soluciones en lasecuaciones de partida y determinar el residuo para cada una delas mismas comola diferencia entre el primer miembroy el se­gundo; la solución es mas exacta cuando dicha diferencia o re­siduo se aproxima mas a cero. Si el método converge, a mayornúmero de iteraciones dicho residuo se aproxima mas a cero. Entodos los casos se calcularon residuos para todas las ecuacio­nes del sistema y en todo punto de la región.

En un trabajo de Gutmany Torrance (66) se discuten algunascaracterísticas del métodoaquí utilizado (referidas al traba­

70

Jo de Estoque y Bhumralkar, donde se hace la suposición hidroe­tática) y una acotación de interés es la de que el tomar atra­sadas las diferencias finitas en el término 2%¿dela ecuación[9.3.1], permite una mas rápida y suave convergencia de las ite­racionee en una dada columna.

74

lO. CASOS ESTUDIADOS

Previamente se describirán una serie de resultados que son elproducto de experimentaciones numéricas con modelos unidimen­sionales, que obedecen a las formulaciones explicitadas en elparágrafo 8.

Unaalternativa interesante consiste en usar una capa de su­perficie, dentro de la cual se adoptan las soluciones semi-em­píricas de Monin-Obhukovy las expresiones resultantes de Paul­son. Las soluciones para las variables dependientesïua, 71a,3u)y QR) en el tope de dicha capa se toman como condiciones decontorno en el limite inferior de la capa de transición, para.la cual se resuelve el sistema completo de ecuaciones con losesquemasen diferencias finitas expuestos.

Tal comoestá formulado el modelo, su resolución hace necesa­ria fijar, ademásde las condiciones de contorno en la superfi­cie terrestre y en el tope de 1a capa límite planetaria, losvalores de U , v , e y q en algún nivel dentro de 1a capa de

' superficie. ,En un trabajo realizado por Aiello y Berri (8) se ensaya una

solución según dicha formulación tomando, dentro de la capa desuperficie los siguientes valoreszeütm),qaem)y las componen­tes Uy v en Eden). Estos valores corresponden a los nivelesen que se midieron dichas variables en la experiencia de GreatPlains. '

La solución del sistema completo de ecuaciones en la capa detransición es directa, pues se supuso válida la expresión deO'Brien (29), que permite conocer la distribución de los coe­ficientes de difusividad turbulenta, que en este caso no obe­decen a la relaciónlb.2.5]ya que se calculan independientemen­te. Dicha expresión es:

¡((2):K(H)+[(E-H)z/(H-h)2].¿“www (H) [Emi+ 2(K(h)-K(H)/(H—H)Zg

K(k)se obtiene a partir de la formulación usada en la capade superficie yldfl)se toma con un valor tendiendo a cero.

En dicho trabajo se muestran las particularidades del mé­todo y un ejemplo de integración con los resultados respec­tivos.

El autor, en un trabajo acerca de la resolución en el casounidimensional (14) realizó una experimentación numérica de

_simulación, tomandodistintas alternativas para la función deestabilidad atmosférica y en distintas condiciones de estabili­dad y de contorno obtuvo las respectivas soluciones. En dichotrabajo se explicita el cierre adoptado y las expresiones usa­das para SM. En un caso de inestabilidad se muestran las dis­tribuciones de las variables dependientes UG), VG), amy (¿(2) ,ydel coeficiente de difusividad turbulenta K.

72

En este tipo de modelos, es interesante enfatizar que fijadaslas condiciones de contorno para, 9 , que definen la estabili­dad del problema, la distribución dee@)resultante es constantesi 9°=9H (neutralidad) y monótonacreciente o-decreciente se­gún sea EngaH respectivamente (estabilidad o inestabilidad).Es decir, no se reproducen distintos tipos de estabilidades unavez fijadas las condiciones de contorno.

El método es adecuado para simular casos con distintas condi­ciones de estabilidad y de forzantes externos.

En los casos que se presentan a continuación, que correspon­den a problemas bidimensionales, dado que en el borde lateraliunierdo se resuelve el problemaunidimensional, las caracte­rísticas de las distribuciones de las variables quedandetermi­nadas comoun caso particular, modificándose cuando en la su­perficie terrestre aparece una inhomogeneidad.

Caso l) Consiste en la simulación de un salto de rugosidad ensuperficie.

Comoresultado de la experimentación numérica se infiere elefecto de incorporar, en el cálculo de la presión, los térmi­nos advectivos segun la componentevertical wz. '

Bara estudiar dicho efecto se comparanlos resultados que seobtienen cuando se incorpora en la cuarta aproximación, el e­fecto del campode presión hidrostático y no hisrostático (conefectos advectivos incorporados). La estructura del programaFORTRANIV DOSDIM(en el Anexo l se muestra su diagrama de flu­jo) permite realizar lo anterior.

La experimentación se realizó usando las caracteristicas ycondiciones de contorno que se muestran en la Tabla S.

La diferencia entre las distintas simulaciones estuvo dadapor la definición del reticulo horizontal X(I), el cual, sibien fue siempre considerado uniforme, adoptaba en cada casodistintos pasos.

Se obtuvieron resultados en siete simulaciOnes, para las cua­les se usaron, respectivamente, los siguientes pasos:

Simulación 1 2 3 4 - 5 6 7

ax (m) 400 300 275 250 225 200 100

Cuando AX) 275 m se obtuvo convergencia en ambos casos (o sea.según las versiones hidrostática y no hidrostática) y comparan­do ambas soluciones, se encontraron diferencias muypequeñas.

En la simulación conAx:=250 m, la versión hidrostática con­verge rápidamente en tanto que la no hidrostática lo hace maslentamente en la zona del salto de rugosidad. En la estructuradel-programa se permitió un número de lOO iteraciones por co­lumna, y en este último ejemplo, para la versión no hidrostáti­ca, al realizar las mismassobre el salto de rugosidad, se lo­gró una cota de convergencia entre KWy 104 . Se comprobó que

73

al aumentar el númerode iteraciones la cota disminuía, permi­tiendo lograr una convergencia mas fuerte (del orden de 1d‘con300 iteraciones).

En aquellos casos en que4eX4250 m se comprobó que la versiónhidrostática permitía la convergencia en tanto que la no hidroe­tática no permite soluciones cuando el esquema encuentra el sal­to de rugosidad. Esto puede deberse a que se introducen, al e­liminar el equilibrio hidrostático, soluciones tales comolasondas de sonido (16). De esta manera, comoel proceso iterativoconduce a una "seudo" evolución temporal (67) es posible que seviole la condición de estabilidad lineal, al reducir el paso delretieulo.

Para el ejemplo en queAx= 300.m se presentan los siguientesresultados en el caso no hidrostático:

El campode u está representado en la Figura lO. Las isoli­neas significan apartamientos para una mismaaltura respecto dela distribución del borde lateral izquierdo. Los rangos de di­chos apartamientos y la distribución del borde lateral izquierdo(caso homogéneó)están dadas en la parte lateral izquierda dela Figura. Las mismas representaciones valen para las demás va­riables.

En este caso el salto de rugosidad esüarqwmy'se-encuentra a1.500 m del borde lateral izquierdo (en I:=6 ). Se puede apre­ciar que el máximoapartamiento (en valores negativos) de use encuentra en el nivel aproximado de Z =2W1ya los 2.700 m( I =1O ) del borde lateral izquierdo representando una disminu­ción respecto del valor en dicho borde de aproximadamente un55 %, para el nivel de Z :150m dicha disminución ya se hace delorden del l fi y por encima de este nivel no se observan disminu­ciones, significando esto el hecho de que el flujo no es afecta­do por el salto de rugosidad en superficie. Estos valores que­dan determinados por el salto de rugosidad y por las condicionesde contorno adoptadas, debiendo simularse en cada caso particu­lar.

En el modelo de Estoque y Bhumralkar (25) (donde se hace lasuposición hidrostática) se adoptó un retículo de 15 puntos se­gún x con un espaciado uniforme de Ax =50m y 14 puntos según zcon espaciado no uniforme hasta una altura de Z =1C00rh , semuestran varios ejemplos de integración y en el relativo alcambio de rugosidad en superficie se toma un salto central y seaprecian una decelereción de la componenteu sobre la zona cen­tral y una aceleración de la misma luego de dicha ZOna, como esde esperar, dado que el flujo se encuentra con un aumento abrup­to de rugosidad y luego con una disminución de la misma. Lo quesucede en la simulaCIÓn aqui presentada es solamente el primerode dichos efectos y luego del salto de rugosidad hay una "aco­modación" del flujo que no es nuevamente perturbado.

La Figura ll muestra los apartamientos del campo de V dondees posible apreciar las mismasperturbaciones posicionales cua­

74

litativas debido a la presencia del efecto de Coriolis.La Figura 12 muestra el campo de Wdonde se ven los_ascensos

y descensos inducidos por el salto de rugosidad.Acerca de los apartamientos de la presión, los resultados de

la simulación quedan representados en la Figura 13 donde se ob­serva una sobrepresión a barlovento del salto de rugosidad y u­na depresión, algo mas débil, a sotavento del mismo.

Respecto del campode temperatura potencial se obtiene neu­tralidnd en toda la región. Los resultados numéricos muestranapartamientos del orden de 1o49 , de lo que se infiere que di­cho campo solo es afectado por "ruido numérico".

La Figura 14 indica los apartamientos del campo de humedadcuya distribución está fuertemente determinada por las condi­ciones de contorno.

La Figura 15 señala el comportamiento del coeficiente de di­fusividad turbulentafl<mostrando los apartamientos al caso homo­géneo. En el caso homogéneola solución presenta un máximocer­ca de los 300 m tal comolo predicen los tratamientos teóricosusuales (es decir, el máximoK a un tercio del tope de la capalímite). Si bien los apartamientos, luego del salto de rugosi­dad, son máximos a una altura de 150 m aproximadamente; elcampototal de K conserva su estructura inicial.

Caso 2) Consiste en la simulación de una fuente de calor en su­perficie, ubicada en la.parte central de la región en

estudio.La Tabla 6 muestra las condiciones de contorno y caracterís­

ticas adoptadas en este caso.Respecto del parámetro de rugosidad de superficie se lo supu­

so constante en la misma en un caso y también se admitió unsalto Aïo=Q4nicoincidente con la zona de discontinuidad de tem­peratura (indicado con x en la Tabla 6).

En el caso en que no hay salto de rugosidad en superficie lasFiguras 16 a 22, muestran respectivamente, los apartamientos delas variables U, v , VM, P ,e, q_y Fi respecto del borde late­ral izquierdo.

Esthue y Bhumralkar (25% empleando el reticulo y la geome­tría ya citadas en el Caso l, simulan el mismo fenómeno tomandoZ°=Q0mrn(constante en toda la superficie), e=BBWCen651510

y 303% en 15155 y 11élé15 y e(1,N):309°K.Puede apreciarse que las diferencias entre los dos modelos

están dadas por la distinta geometria según la coordenada x ylas distintas temperaturas en la parte central.

En la Figura 16, puede apreciarse que sobre la fuente de ca­lor simulada (aproximadamente a 5.600 m del borde lateral iz­quierdo) y en z entre 5 y KDmse encuentra el máximo aparta­miento de u con un valor aproximado de qo7mugï indicando elhecho de la aceleración inducida por la fuente de calor en su­perficie. En el trabajo de Estoque y Bhumralkar también se

75

aprecia el mismofenómeno(ver la Figura respectiva) detectan­dose dicho máximo (con un valor de qosnuwï) desplazado hacia 1aparte derecha de la fuente de calor y en Z=6n1. En ambos mode­los se encuentra el máximoapartamiento en valores negativosalrededor de ï=300n1y por encima de la parte derecha de lafuente de calor en superficie.

La Figura 17 muestra los apartamientos de V en donde seaprecia el máximoapartamiento sobre la parte derecha de lafuente de calor.

La Figura 18 señala un máximoascenso (VJ:QO3nueï) casi justosobre la fuente de calor y en aproximadamente Z=ïbnuy en eltrabajo de Estoque y Bhumralkar se observa un máximo ascenso 4sobre la fuente casi en el tope de la región con un valorWhQWMHy en Z=3Zm (también sobre la fuente) aparece un wzqmm-Seá11n_dicando un descenso en dicha región; en el modelo aquí presen­tado se observa una zona de descenso en la parte superior dere­cha de la región considerada (con valores máximosen valoresnegativos de W=Qozmm€).

Acerca del campo de presión, en la Figura 19 se aprecia unadisminución de la misma(respecto del borde lateral izquierdo)a sotavento de la fuente de calor.

La Figura 20 muestra el comportamiento de 6) y comparando losresultados de ambosmodelos se aprecia un idéntico comportamien­to cualitativo y el máximoapartamiento de 6 en el modelo aquípresentado es menor que el que obtienen Est0que y Bhumralkarpor las distintas condiciOnes de contorno consideradas. Los re­sultados del modeloexpuesto indican una estratificación esta­ble hasta la fuente de calor. La fuente provoca por sobre ellauna inestabilidad hasta una altura de 1:150n1y los efectos ad­vectivos producen una lengua caliente a sotavento de la fuentey centrada en una altura aproximada de 2:100n1.

El campo de humedad reproduce el comportamiento del campotérmico. Si se hubieran considerado cambios de fase, el efectoanterior se modificaría debido a los procesos termodinámicos a­sociados.

El efecto de la fuente de calor produce un considerable au­mento de la difusividad turbulenta por sobre ella.

Cuando se asoció a dicha fuente de calor un aumento de rugosi­dad los resultados de la Figura 23 (campo de L) ) muestran unadisminución de la componente u ; por lo tanto el efecto dece­lerante debido al aumento de rugosidad impuesto predomina porsobre los efectos de empujehidrostático debidos a la fuente decalor.

Caso 3) En este caso se simulan las condiciones nocturnas enla capa límite sobre una ciudad, adaptando las condi­

ciones de contorno y las dimensiones del retículo de manera quepermitan una comparación de resultados con los obtenidos por Yuy Wagner (54) (ver parágrafo 6.4.). Estos autores. mediante unmodelo no estacionario y bidimensional en una región que com­

76

prende la capa límite atmosférica y una capa de suelo, usandocomoforzante la resolución de la ecuación de balance en ellímite tierra-atmósfera, simulan el comportamientode la capalímite atmosférica sobre una ciudad de dimensión media especi­ficando una longitud de aspereza máxima de 1,50 m en el centrodel área urbana decreciendo hasta 0,05 m para las regiones ru­rales. '

El modeloelaborado por dichos investigadores utiliza un re­ticulo que contiene 24 puntos en dirección x, con un espaciadouniforme de szannwy 23 puntos en dirección z, con espaciado nouniforme.

Bajo condiciones iniciales que se especifican en dicho trabajoestudian la evolución de distintas Variables y caracteristicasde la capa límite atmosférica sobre una ciudad. Los resultadosque muestran corresponden al estado estacionario y a las 5 ho­ras de integración.

Con el modelo aquí propuesto se adoptan las condiciones decontorno obtenidas por dichos autores correspondientes a las 5horas de integración tomando una región bidimensional con unreticulo de 15 puntos según la dirección x y un espaciadoin=ünmy 14 puntos según z con espaciado no uniforme, de manera de si­mular una región de iguales dimensiones que la de dichos auto­res. En la Tabla 7 se muestran el reticulo utilizado y las con­diciones de contorno. l

A pesar de utilizar una resolución mas gruesa que el modelode los investigadores nombrados, se observa una buena concor­dancia en los camposde las variables consideradas.

Los apartamientos de las variables u y v obtenidos con estemodelo se muestran respectivamente en las Figuras 24 y 25.

Comoilustración se indican los valores máximosdel decreci­miento de la componente u(mseá3que se encuentran sobre 1a ciu­dad, obtenidos por este modelo y por el de dichos autores.

z (m) 2 ’ lO 150

‘YuJ‘Nagner 2,00 1 , 7o 0,40Modelopropuesto 1,60 1,40 0,50

Con los valores de contorno tomados se tiene en el nivel de2=2m un valor de Uzzaámmïen el borde lateral izquierdo y

a ese mismonivel sobre la ciudad (1:6 ) u=1J2rnqu represen­tando una disminución de un 57 %, a un nivel de ZflOnvapareceun valor de 33 fi y a ZACOni de 5 fi. Estos resultados son simi­lares a los descriptos por Yu y Wagner pues en 2:2w1 obtienendisminuciones de 61 %, en 2:Knn de 35 fi y por encima de L:mon1despreciables. Observaciones experimentales hechas por Landsberg(68) y Kratzer (69) dieron para la disminución del viento en elnivel anemométrico, a1 pasar de una zona rural a una ciudad,valores de 30 % comprobando que el valor de 33 % obtenido porel modelo es razonable.

77

Respecto de los apartamientos de V los resultados de estemodelo dan una disminución de Q75nm€en z:un sobre la ciudad yen el trabajo de Yu y Wagner dicho apartamiento es de QBSanajÏ

La distribución de VV obtenida con el modelo, mostrando losascensos y descensos se aprecia en la Figura 26.

El campode apartamiento térmico (Figura 27) reproduce lamismadistribución obtenida por los autores citados. Es intere­sante notar que, tal comoen el Caso 2 (fuente de calor), apa­rece, a sotavento de la ciudad una lengua térmica alrededorde los 50 m de altura. Este comportamiento coincide con obser­vaciones efectuadas en ciudades de Estados Unidos y Canadá (70).

PUNTO

RETICULO

‘COORDENADA

H0R¡EONTAL

345_e

q'8

X(I)(rn)

VEETICAL

600

9001.200

1.8002.100

2.400

2.100

3.000

3.300

3.600

3.900

4.200

zca)(m)

J0,50125

50

70

150

300

450

100

1.000

CONDICIONESOECONTORNo

CONToKNo

MIA

SUPERFIClE

CAEACTERlSTlCAS

TOPE

U(m-Sefig')

U(I’1):O

UCI”):10

v(m.reá')

v(I,1):o

V(IIN):9

w(m-reïg')

W(Ifl):0

Abier’m

5M:

P(mb)

Abierto

PGN)=900

'9(“<3

9(If!):

9(I,N)=303

1:1,5

qüdhd

Q(I'1):45'

I:6,159,(I,1):30

941M:12

I:1,5

zo(m)

20(1)=0,01

I:6,1520(1):1,0

í8-: —9,0000999P'ïy:C+e:-—

(1-3202

siRL>,o 6€

Neu+ra\¡'dad.-RL:o com/e

.-6

comDI:COMVEKGGNClA(e)=1o ITEEAClONESPor:COLUMNA==100

-z

(1+3RL)

Rc<0

«¿econ¡aco+eyconHeracione-s¿100Fans

+063Columna

Tabla5:

CaracterísticasycondicionesdecontornoenelCaso1.

78

PUNTO

RETlCULO

(OOEOENADA

HOE|10NTAL

4561810'1214

x(I)(m)

VEQTICAL.

¿4003.2004.0004.8005.600112008.0008.8009.60010.40011.100

aC3)(m)

30300450700

1.000

CONTORNO

VARIABL

CONDICIONESDECONTORNOCARACTERISTICAS

SUPERFIClE

TOPE

u(rn-sa?)

g:—o,000099 9 .__35m-foq

ULI‘1)=Ou(I,N)=1o

V(m-reï)

-6

COTA'DE.CONVEÍZGENCÍA=10

V(I,1)=Ov(:r,N)_—_o

w[rn-ref)

ITEEACIONESPor:COLUMNA=1OO

wa.”:0Abler’to

79

F(mb)

siRLzo

Abierto

Sí(«+3252M:

PL:,N)=900U'3RÚZs".2CCo

ePK)

2,-(I:3)=0,0413

114155e(1.1):303Rc1:8)=—o,1114

GELN):309

eé:4«oe(I,1)=309

q(TH?)

2g(1:12):o,0984

«¿1515q(I.1)=15 (¿(1N):12cow/crecePARALAcoTADADAycoN:TeeAcíoNes6¿Ig/.0q(1.1)=3O'

¿nooPARATODACOLUMNA‘

2oÜ")

SALTODEBoeos'IDADCENTEAL;AEO=O,4

151€;3,11514530:0,1

64190Eo=q5

Zoíïfl):0,5

Tabla.6:CaracterísticasycondicionesdecontornoenelCaso2.

RETICULo

COOEoENADA

PUNTO

7

89101112131415

HORlZONTAL

x(I)(m)°

VERTICAL

2.400

3.2004.0004.800

5.6006.400¿.200¿ooo3500950°40.400«.zoo

Z(3)

(m)°

0,25O50

3020150Boo450'q-oo1.000

CONTOENO

CONDICIONESDECONTORNO

CARACTERISTICAS

VAZnAaL:

SUPERFICIE

TOPE

U(m-seq'1)

“¿13:0

oct,N):10

v(rn-seg“)

V(I,1):0

VLIIN):O

w(mseé‘)

W(I_1):o

Abierlto h

P(mb)

Abierto

P(I,N):900

9PK)

45114.39(,1'n)=296'¡9(4,1):29'1‘,6¡96,1): =293,-9L6.1)=zsa,e¡em):2995,. etsn):299,.Mala):29;};9(1o,1):296,5¡901,1):295,2].durase(:,1)=294

-eu”):312

26(m3

2'0(_Ú':O'1'2

I

0G):O,1¡2:49:05,-20(4)=1

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{z-OIODOOQQ D3g:Ch:-fUq3COTA‘DECONVEQGCNCíALG):«o ITEEAC'IONESvotaCOLUMNA:100

Sí(“studu.RL¿o M'(«scan2siEL¿oR¿(I=3)=qozea

RL'_('I:6):*OIO31ZE¿LI:a)_—.—o,ooss2‘;{I:1Z\=0,1255_

ENLASCOLUMIHAS6’? EsLENTA,EN100IrezAcionas¡ac-10“"-,Loszesíwos SONACGPTA‘BLES

Tabla7:CaracterísticasycondicionesdecontornoenelCaso3.

80

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98

99

ll. CONCLUSIONES

Se ha mostrado la utilidad de los modelos numéricos comohe­rramienta válida para el conocimiento y la simulación de losprocesos que ocurren en la capa límite atmosférica, aún utili­zando un cierre de primer orden para la turbulencia.

Se comprobó en el caso unidimensional la posibilidad de simu­lar la capa límite planetaria en distintas condiciones de es­tratificación térmica y con distintos forzantes externos. Lascondiciones de contorno inferior y superior de la temperaturapotencial fijan el tipo de estabilidad en toda la capa límiteplanetaria y entonces no puedensimularse distintas estratifi­caciones dentro de la misma.

Acerca del modelo bidimensional, formulando la metodologíapropuesta por Estoque y Bhumralkar, se comprobó que la intro­ducción de la suposición no hidrostática (o sea, la retenciónde los términos advectivos en la ecuación de la componentede la velocidad),por debajo de un paso Ax dado (que depende deltipo de problema que se trate) no permite lograr la solucióndel sistema y para pasos mayores se logra la convergencia a u­na solución que difiere muypoco de aquella obtenida cuando sesupone válida la aproximación hidrostatica. Por lo tanto no selogran ventajas apreciables eliminandola restricción hidrostá­tica. .. i_."

Aúnusando alguna alternativa para lograr errores de truncadoOQï?) según la coordenada l, no es simple lograr, para el mo­

delo bidimensional, errores o@xïazzl dado que habría que to­mar centradas las diferencias finitas en los términos advecti«vos y en el de la presión, lo cual introduciría los inconve­nientes de tratar soluciones de tipo computacionales además dela física.

La metodología resulta de utilidad dado que permite el cono­cimiento de la estructura de la capa límite atmosférica, a par­tir de condiciones de contorno en la superficie terrestre yestimaciones sinópticas en el tope, tal comofue mostrado enlos casos correspondientes a un salto de rugosidad en superfi­cie, a una fuente de calor en superficie (con una fuente de hu­medadasociada) y a una ciudad. Por consiguiente el modelo pro­puesto puede utilizarse comointerpolador en situaciones reales.

Entre los ajustes que deberían contemplarse, se destaca aquelreferente a la parametrización de las difusividades turbulentasde momento,calor y humedad. En la formulación de este trabajose consideraron iguales; un mejoramiento Consistiría en no ha­cer ésta suposición y tomarlos individualmente (de acuerdo altipo de problema que se estudie) aprovechando las distintas in­vestigaciones realizadas a éste efecto. Con la parametrizaciónhecha en este trabajo, los "ajustes" estarían dados por 1a e­lección de R(X) , por la función de estabilidad SN1y por laincorporación de los efectos advectivos.

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106

ANEXO 1: DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA FORTRAN IV DOSDIM

COMIENZO

LECTURA EINICIALIZACION

Í- _ _ _ - _ _ _ —_ _ —_—"ll TRANSF ;

L_ Generación AD-HOC J

APROX.'4— l

' r

CALCULO DE LA APROX. PARA COLUMNA:1—o-M

LA COLUMNA, USANDO SUBRU­TINA MATRIZ '

iIMPRESION DE CUADROS

DE VARIABLESl

CALCULO DE LA APROX. PARA 1

LA COLUMNA, USANDO SUBRU- COLUMNA:TINA MATRIZ 2——a-M

VERS: | ­1———-#VERS.

(IMPRESION DE CUADROS)DE VARIABLES APROX,2

10?

<:CALCULO DE RESIDUOS >

IMPRESION DE CUADROSDE RESIDUOS

FIN

DETALLES GENERALES DEL DIAGRAMA DE FLUJO

LECTURA E INICIALIZACION:Definición de las constantes.Definición de la geometría del modelo:N y lectura del paso según x (uniforme).My uso de un subprograma Ad-Hoc para definir pasos según z.

'Definición de las condiciones de contorno.Definición de los parámetros de rugosidad de superficie.Definición de indicadores para distintas alternativas de e­lección del coeficiente de difusividad turbulenta.

SUBRUTINA MATRIZSe calculan las cuatro aproximaciónes del método usado, dis­tinguiendo para 1a cuarta entre hidrostática y no hidrostáti­ca.Se generan los coeficientes de las matrices.Se calculan las matricesSe calcula la distribución del coeficiente de difusividadturbulenta.

i IMPRESION DE CUADROS- Se utiliza la subrutina IMPREque permite la impresión de va­

riables y residuos.- Para la cuarta aproximación se hace uso de la subrutina MAPA

que grafica para cada variable, las curvas de nivel.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA1

CDs)0\\J1

k0

111213141516171819202122232425

27

Diagramaaltura (logaritmica)—estabilidad de lacapa límite, indicando varios fenómenosobserva­bles (2).Subdivisiones de la capa límite atmosférica.Comparaciónentre observaciones del perfil adi­mensional del viento con fórmulas de interpela­ción(4).Comparaciónentre observaciones del gradienteadimensional de temperatura con fórmulas deinterpolación(4).Balance de fuerzas en 1a capa de transición.Capas consideradas en el modelo de Estoque (42).Región bidimensional en el modelo de Estoque(52).BSquemade 1a región y el reticulo en el proble­ma unidimensional.Región utilizadaApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientosApartamientos

dede

en el problema bidimensional.U (rn-Secf’) ,V (Tn-MÍ.) 9

W (m'mq‘) 1P vq ÚÏJÉP)vK (ml'seq‘) oU Lm'seqq) 9v (mm-w,M/(mJaÏU,P (mb) ,e cm .9, (3'14?) 9K(m‘-seq‘) ,

U(m75eg") v

ULm-seq") vV(m‘aT)vw(m-req") ,e(°K) ,

CasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCasoCaso

1

uJbJuJuJNmwlvlvlvmnvHP‘HHifi

PAG.

2130

30

LISTA

TABLA1

2

410

DE TABLAS

Conjunto de ecuaciones de energia y conversionesen la capa limite atmosférica.Conjunto de ecuaciones de energia y conversionesen la capa límite planetaria.Valores de Cpobtenidos por distintos autores enel caso que se considere constante.Valores de Coobtenidos por distintos autores enel caso que se considera variando linealmentecon el viento.Características y condiciones de contorno en elCaso l.Caracteristicas y condiciones de contorno en elCaso 2.Características y condiciones de contorno en elCaso 3.

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