METODE NUMERIK (3 SKS)METODE NUMERIK (3 SKS)

STMIK CILEGONSTMIK CILEGON

PENGANTAR NUMERIKMasalah nyata

Modelmatematika

Rumusan masalah

Solusi Eksak

Pendekatan

Contoh kasus.

1. Pemakaian rumus ABC utuk menentukan akar dari persamaan kuadrat contoh f(x) = x2 + 1015x + 5 = 0

2. Menentukan determinan dari suatu matriksContoh.

25.03.03.05.0

41

31

31

21

Metode analitik vs Metode numerik

Metode analitik- menghasilkan solusi eksak (galat = 0)- menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika Metode numerik- menghasilkan solusi pendekatan- menghasilkan solusi dalam bentuk angka

Peranan komputer dalam MetNum Mempercepat perhitungan tanpa membuat

kesalahan Mencoba berbagai kemungkinan yang terjadi

akibat perubahan parameterContoh aplikasi : Mathlab, Mathcad, Mathematica dllMengapa perlu belajar Metnum1. Alat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan

secara analitik)2. Memudahkan dalam memahami aplikasi program3. Dapat membuat sendiri program komputer yang

tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasi4. Menyederhanakan matematika yang lebih tinggi

menjadi operasi matematika yang mendasar

Prinsip perhitungan dalam numerik

Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus“tidak ada algoritma untuk segalanya”

Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil

Penyajian bilanganBilangan ada 2:

1. Eksak2. Tidak eksak

Perhitungan matematika tidak eksak , e, Perhitungan desimal yang berulang

0.3333…. Hasil perhitungan deret tak hingga e Hasil pengukuran

Floating point

f.p x = a x bn

a = matise (0 ≤ a ≤ 1) b = basis n = eksponen (bilangan bulat)

Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10

Desimal dan angka signifikan Misal

x = 0.05 2 desimal 1 angka signifikanx = 0.30 2 desimal 2 angka signifikan

Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan

Aritmatika dalam floating point Penjumlahan /pengurangan

Ubah bilangan ke f.p Ubah eksponen mengikuti eksponen yang besar Jumlahkan/kurangkan Sesuaikan desimal/a.s yang dimintaContoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal)x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103

y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103

x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120

Perkalian/pembagian Ubah bilangan ke f.p Untuk perkalian : jumlahkan eksponen dan kalikan

matise Untuk pembagian : kurangkan eksponen dan

bagikan matise Tulis hasil dalam f.p sesuai dengan desimal yang

dimintaContoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal)x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103

y = 0.14 = 0. 14 x 100

x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103 = 0.02 x 103 = 20

• Alur perhitungan

Sumber-sumber galat :• Galat yang ada pada input :

– Chopping error– Rounding error– Bilangan yang dimasukkan bukan

bilangan eksak

Input Proses

Output

Galat yang ada pada proses : Rambatan galat Rumus/metode/algoritma tidak

tepat Kesalahan alat Human error

Galat pada output : Chopping error Rounding error

Misal x adalah nilai eksak dan x* adalah nilai pendekatan maka galat = x – x*

Galat absolut a = |x – x*| Galat absolut relatif

xxx

r*

Macam-macam galat

1. Chopping errorGalat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang dimintaContoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimalx* = 0.378x103

galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103|

= 0.000456x103 = 0.456

2. Round off errorGalat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilaiContoh. x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x – x*|

= |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

3. Truncation errorGalat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurinContoh.

...!7!5!3

sin753

xxxxx

!5!3sin

53 xxxx

Nested form Nested form menjadikan operasi

perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat

Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3

f(0.25) = 4.521875 Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-

4))) f(0.25)=3.896875 Galat yang terjadi 0.625

Hilangnya angka signifikan Hilangnya angka signifikan terjadi jika

dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik

Contoh. 13 = 13.0000 6 a.s

6 a.s 0.0385 3 a.s

9615.12168

Deret Taylor & Deret MacLaurin

Deret Taylor di titik a

Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin

...!3

)(.)(!2

)(.)(!1

)().()(''

3''

2'

afaxafaxafaxxf

...!3

)0(.!2

)0(.!1

)0(.)(''

3''

2'

fxfxfxxf

Contoh.

f(x) = sin xf’(x) = cos xf’’(x) = - sin xf’’’(x) = -cos xDst….

Deret MacLaurin

...!3

0cos.!2

0sin.!10cos.)( 32

xxxxf

...1206

)(53

xxxxf

• Deret Taylor dan deret MacLaurin dapat digunakan dalam perhitungan untuk mencegah hilangnya angka signifikan

• Contoh.

• Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 – 0.5 = 0.02057 (4 a.s)

• Diperoleh 0.02031 (4 a.s)

12061206sin

3353 xxxxxxxx

12061

1206

33 xxxxxx

Fungsi Pendekatan

Pendahuluan

Masalah yang sulit dievaluasiFungsi yang “rumit”

Fungsi pendekatan dengan menyederhanakan fungsi

Informasi tentang fungsi dalam bentuk tabel nilai (hanya sebagian informasi yang diketahui)

Fungsi pendekatan dengan pendekatan nilai dari data

Digunakan fungsi pendekatan berupa polinomial yang memenuhi fungsi pada sejumlah titik

Misalkan nilai fi = f(xi) diketahui i = 1,2,3,…,n

Dapat digunakan fungsi polinomial pn(x) dengan derajat ≤ n untuk menginterpolasi fungsi di (n + 1) titik xi, i = 1,2, 3,…,n

Polinomial interpolasi yang digunakan harus memenuhi nifxp iin ,...,2,1,0,)(

Bentuk Lagrange

Didefinisikan fungsi

niiiiii

xiiii xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxL n

............

11110

1110

n

ijj ji

ji xx

xxxL

,0

• Jika fi adalah nilai fungsi di titik xi maka jumlah dari perkalian fi dengan Li(x) adalah pn(x) = f1L1(x) + f2L2(x) + … + fnLn(x)

Bentuk di atas disebut bentuk Lagrange polinomial interpolasi

Contoh. Tentukan polinomial untuk menginterpolasi

fungsi di titik x = -1,0 dan 1

Jawab. Misal x0 = -1, x1 = 0 dan x2 = 1

1692 x

45

16911 2 f

43

16900 2 f

45

16911 2 f

Diperoleh polinomial interpolasi p2(x)=f0L0(x)+f1L1(x)+f2L2(x)

=

=

1

21

2010

210

xxxxxxxxxx

xL

11

2101

201

xxxxxxxxxx

xL

1

21

1202

102

xxxxxxxxxx

xL

121.

4511.

431

21.

45

xxxxxx

43

21

85

85

43

43

85

85 2222 xxxxxx

Formula Pembagian Selisih NewtonFormula Pembagian Selisih Newton

xi f(xi) f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]

02

1021210

,,,,

xxxxfxxf

xxxf

01

0110 ,

xxxfxf

xxf

12

1221 ,

xxxfxf

xxf

23

2332 ,

xxxfxf

xxf

34

3443 ,

xxxfxf

xxf

45

4554 ,

xxxfxf

xxf

13

2132321

,,,,

xxxxfxxf

xxxf

24

3243432

,,,,

xxxxfxxf

xxxf

35

4354543

,,,,

xxxxfxxf

xxxf

0x

1x

2x

3x

4x

5x

)( 0xf

)( 1xf

)( 2xf

)( 3xf

)( 4xf

)( 5xf

Dari langkah-langkah di atas diperoleh polinomial interpolasipn(x) = f(x0)+(x - x0)f[x0,x1]+(x - x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]+…+ (x - x0)…(x - xn-1)f[x0,x1,…,xn]

Contoh.Gunakan formula pembagian selisih Newton untuk menginterpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6

x

Jawab.xi f(xi)2 1.414214

0.002636

0.3178373 1.732051 -0.024944

0.2679494 2.000000 -0.014401

0.2247456 2.449490

Polinomial interpolasipn(x) = 1.414214 + (x – 2){0.317837 + (x – 3){-0.024944 + (x – 4)(0.002636)}}

Galat dari polinomial interpolasi

Misal polinom pn(x) dengan derajat ≤ n yang menginterpolasi fungsi f di xi [a,b], i = 0,1,2…, n

Jika derivatif fungsi ke - n+1 kontinu pada [a,b] maka galat

Dengan x berada dalam interval yang memuat x,x0,x1, … ,xn

!1

...)()(1

10

nf

xxxxxxxpxf xn

nn

Contoh.

Tentukan error di titik x = 5 dari polinomial interpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6

Jawab. x

236068.255)( fxxf

368575.2xpn13251.013251.0 error

PERSAMAAN PERSAMAAN NONLINIERNONLINIER

Persamaan nonlinierPada umumnya persamaan nonlinier f(x) = 0 tidak dapat mempunyai solusi eksakJika r suatu bilangan real sehingga f(r) = 0 maka r disebut sebagai akar dari persamaan nonlinier f(x)Solusi dari persamaan nonlinier dapat ditentukan dengan menggunakan metode iterasi

• Persamaan nonlinier f(x) = 0– Tidak mempunyai akar– Mempunyai beberapa akar– Mempunyai banyak akar

• Metode pencarian akar dari persamaan nonlinier– Metode biseksi (Bisection Method)– Iterasi titik tetap (Fixed Point Iteration)– Metode Newton (Newton Method)

Metode biseksiJika f(x) kontinu pada interval [a,b] dan f(a).f(b) < 0 maka terdapat minimal satu akar.Algoritma sederhana metode biseksi1. Mulai dengan interval [a,b] dan toleransi 2. Hitung f(b)3. Hitung c = (a - b)/2 dan f(c)4. Jika b – c ≤ maka STOP ( akar = c)5. Jika f(b).f(c) < 0 maka a = c jika tidak b = c

dan f(b) = f(c) 6. Ulangi langkah 3

Contoh.

Gunakan metode biseksi untuk mencari akar dari x – 1 = e-x pada interval [1,1.4] dengan toleransi = 0.02

Jawab.

a b c f(b) f(c) f(b).f(c) action error

1 1.4 1.2 0.15 -0.1 < 0 a = c 0.2

1.2 1.4 1.3 0.15 0.027 > 0 b = c 0.1

1.2 1.3 1.25 0.027 -0.037 < 0 a = c 0.05

1.25 1.3 1.275 0.027 -0.0044 < 0 a = c 0.025

1.275 1.3 1.2875 0.0125

Diperoleh akarnya adalah x 1.2875

Kekonvergenan metode biseksi

Menentukan banyaknya iterasi sehingga error maksimumnya ≤

Iterasi Lebar interval

0 B – a

1 (b – a)/2

2 (b – a)/4

. .

n (b – a)/2n

Error maksimum

Banyaknya iterasi

122.

21

nn

abab

11 2

2

nn

abab

2log1log2loglog 1

nabab n

12log

log1

2log

log

ab

nn

ab

12log

logab

n

Contoh.

Berapa iterasi yang diperlukan agar error maksimum pada metode biseksi lebih kecil dari 10-5 pada interval [0,1]?

Jawab.

166.1512log

10log2log

110

01log1

2log

log 55

ab

n

Iterasi titik tetap

Misal terdapat fungsi f(x) = 0Ditentukan fungsi baru dengan bentuk x = g(x)Kemungkinan dari penentuan fungsi x = g(x)

KonvergenDivergen

Digunakan untuk melakukan iterasi dengan inisialisasi x0

f(r) = 0 ↔ r = g(r) dan r disebut titik tetap

Contoh. Tentukan akar hampiran dari fungsi x3 – 2x + 1 = 0

dengan x0 = 2 Jawab.

Ditentukan fungsi baru 2x = x3 + 1x = ½ (x3 + 1) xn+1 = ½ (xn

3 + 1) dengan x0 = 2Dari tabel terlihat bahwa penentuan fungsi x = g(x) bersifat divergen

Iterasi xn xn+1

0 2 4.51 4.5 46…2 46….

Penentuan fungsi baru yang lainx3 – 2x + 1 = 0

Setelah 3 iterasi diperoleh akar hampiran x = 1.137

31

3 1212 xxx

31

31 1212 nnn xxx

Iterasi xn xn+1

0 2 1.4422

1 1.4422 1.225

2 1.225 1.137

Metode NewtonDalam metode ini, fungsi y = f(x) dianggap sebagai garis lurus yang melalui titik (a,f(a)), menyinggung kurva y = f(x) dan memotong sumbu X di titik (x,0)Gradien kurva m = f’(a)

Menyinggung kurva f = f(x) persamaan garis singgungnya adalah

y – f(a) = m (x – a)y – f(a) = f’(a)(x – a)

Karena memotong sumbu X di (x,0) maka 0 – f(a) = f’(a)(x – a)

afafax '

afafax '

Iterasi metode Newton

Algoritma Newton1. Inisialisasi x = x0, f’(x0) 02. Hitung

3. |f(xn+1)| STOP (xn+1 akar hampiran)4. Ulangi langkah 2

nn

nn xfxfxx '1

nn

nn xfxfxx '1

Contoh. Tentukan akar hampiran dari dari f(x) = x2 –

2x – 8 dengan x0 = 3 Jawab.

Setelah iterasi ke-3 diperoleh akar = 4.00

Iterasi x f(x) f’(x) = 2x - 2

0 3 -5 4

1 4.25 1.5625 6.5

2 4.009 0.054 6.018

3 4.00

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Pengantar Misalkan terdapat masalah nilai awal

(initial value problem/IVP)y’ = f(x,y) dengan y(a) =

Secara umum, masalah di atas dapat diselesaikan secara numerik

Contoh.y’ = y dengan y(0) = 2

Penyelesaian persamaan diferensial biasa

Diketahui IVP y’ = f(x,y) dengan y(a) = Misalkan penyelesaian IVP di atas pada interval [a.b], ambil titik dengan jarak yang samaxn = a + nh , n = 0,1,2,…,N dengan h = (b – a)/NUntuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa dapat dilakukan dengan :

Metode EulerMetode TaylorMetode Runge Kutta

Metode Euler

Merupakan metode yang paling sederhana dalam menyelesaikan IVP

Diferensial tingkat pertama sebagai kemiringan (slope) dari kurva fungsi

hyy

xxyy

yxf 01

01

0100 ,

0001 , yxhfyy

Dalam menentukan penyelesaian dilakukan dengan iterasi

xn = a + nh

nnnn yxhfyy ,1

Contoh.

Tentukan penyelesaian daridi x = 2 dengan h = 0.5

Jawab. Diketahui x0 = 1 dan y0 = 4 berada di

interval [1,2] dengan h = 0.5 diperoleh N = 2 (yang berarti ada 2 iterasi)

4)1(,'

yxyyy

Untuk iterasi awal n = 0

xyyyxf

,

nnnn yxhfyy ,1

nn

nnn xy

yhyy 1

00

001 xy

yhyy

666667.414

45.041

y

5.15.0101 hxx

Iterasi kedua

Di titik x = 2 diperoleh y(2) = 5.403509

11

112 xy

yhyy

403509.55.1666667.4

666667.45.066667.42

y

25.05.112 hxx

Metode Taylor Perhatikan deret Taylor di titik x = a berikut.

Dari deret Taylor di atas dapat digunakan untuk menghitung IVP.

Metode Taylor orde 2

...!3

)(.)(!2

)(.)(!1

)().()(''

3''

2'

afaxafaxafaxxf

nnnn xyhxhyxyxy "2

'1 2

Contoh.Gunakan metode Taylor orde 2 untuk menghitung nilai y(2) dengan h = 0.5 dari

Jawab.

4)1(,'

yxyyy

4)1(,'

yxyyy

2

'

2

'" 1'

xyxyy

xyyyyxyy

nn

nn xy

yy

'

2

'"

nn

nnnn xy

yxyy

• Dari soal diketahui h = 0.5, x0= 1 dan y0= 4333333.1

144'

00

00

xyy

y

296296.0

14333333.1.14

2200

'000"

0

xyyxy

y

703704.4296296.025.033333.1.5.04

2.

2

0"

2

0'

01 xyhxyhxyxy

5.15.0101 hxx

468208.15.1703704.4

703704.4'11

11

xyy

y

243712.0

5.1703704.4468208.1.5.1703704.4

2211

'111"

1

xyyxy

y

468272.5243712.025.0468208.1.5.04703704

2.

2

1"

2

1'

12 xyhxyhxyxy

25.05.112 hxx

Di titik x = 2 diperoleh y(2) = 5.468272

Metode Runge Kutta Pada metode ini, tidak perlu evaluasi

derivatif orde tinggi Bentuk umum

Atau

Dengan

nnnnnnnn yxhfyhxfyxfhyy ,,,21

211 2kkhyy nn

nn yxfk ,1

12 , hkyhxfk nn

Contoh. Gunakan metode Runge Kutta untuk menghitung

nilai y(2) dengan h = 0.5 dari

Jawab. Dari soal diketahui h = 0.5, x0= 1 dan y0= 4

Iterasi awal n = 0

4)1(,'

yxyyy

2101 2kkhyy

Iterasi kedua n = 1

473684.15.1666667.4

666667.4666667.4,5.1, 1002

fhkyhxfk

333333.114

4, 001

yxfk

701754.4473684.1333333.125.04

2 2101 kkhyy

5.15.0101 hxx

468493.15.1701754.4

701754.4, 111

yxfk

582072.12436001.5

436001.5436001.5,2, 1112

fhkyhxfk

464395.5582072.1468493.125.0701754.4

2 2112 kkhyy

25.05.112 hxx

Di titik x = 2 diperoleh y(2) = 5.464395