1. Navedi i kratko objasni vrste gresaka koje se javljaju kod numerickih simulacija?

Greške u numeričkoj analizi

- Po načunu računanja: apsolutne i relativne

- Po uzroku:

- Greška modeliranja, potiče od nepotpunog ili netačnog matematičkog opisa realnog fizičkog sistema. Stvarni (fizički) sistem je kompleksan i izložen dejstvu brojnih uticajnih veličina od koje su neke nepoznate ili slučajno promjenljive. Takođe, uticaj pojedinih veličina se može i zanemariti.

- Greška ulaznih podataka (mjerenih parametara) nastaje zbog nemogućnosti tačnog mjerenja parametara

- Greška zaokruživanja (numerička greška) nastaju kad se beskonačno zamjenjuje nečim konačnim

- Greške diskretizacije koje nastaju zamjenom kontinuuma konačnim diskretnim skupom tačaka, ili kada “beskonačno” malu veličinu h zamijenjujemo nekom konačnom veličinom. (MKE, numerička integracija...)

- Greške odbacivanja koje nastaju zamjenom beskonačnog niza ili reda na konačni niz ili sumu, tj. kada se odbacuje ostatak niza ili reda. (sin(x), numeričko rješenje nelinearnih jednačina...).

- Greška odsijecanja (numerička greška, greška algoritma) Ove greške nastaju kada se neki proces prekine prije nego se dobije neka granična vrijednost.

2. Navedi direktne metode za sisteme linearnih jednacina i objasni Gauss-Jordan-ovu metodu?

Direktne metode larakterišu rješenje u jednom koraku, puno operacija, gomilanje greške, mali sistemi. Osnovne direktne metode su: Kramerovo pravilo, Gausova eliminacija, Gaus-Jordanov postupak (varijanta Gausove eliminacije)

Gauss-Jordanov postupak se sastoji od:

1. augmentacija matrice, normalizacija prvog pivot člana,

2. eliminacija u datoj (prvoj) koloni svih preostalih (ispod)

3. normalizacija novog pivot člana u drugoj (narednoj) koloni

4. eliminacija preostalih i iznad i ispod

5. (3) ponovo, do poslednje kolone

Manje je efikasan od standardnog Gauss-ovog postupka.

3. Objasni pojam pivotiranje kod sistema linearnih jednacina?

PIVOTIRANJE - povećanje tačnosti i stabilnosti, moze biti potpuno ili parcijalno. Pivot je stožerni, glavni, vodeći element - član (dijagonalni) pomoću kojeg se eliminišu svi ispod.

Kod parcijalnog pivotiranja, zamjenom redova bira se najveći od preostalih dijagonalnih članova (abs) za eliminaciju u koloni ispod. Time se povećava tačnost i izbjegava dijeljenje sa "0".

4. Objasni Jacobi-jevu metodu(metoda proste iteracije)?

1. Reformulacija sistema jednačina, 2. usvajanje početne i 3. računanje nove vrijednosti

Ponoviti ovo za svaku nepoznatu. Izabrati početno rješenje (obično x 1=x2=...=xn=0) a zatim se u iterativnom postupku računaju unaprijeđena rješenja. Nakon svakog novog rješenja provjerava se kriterij za prekid i prekidaju ili nastavljaju iteracije.Jacobi-eva metoda zahtijeva dvostruki memorijski prostor za vektor rešenja jer koristi sve komponen te rješenja iz prethodne iteracije i one se moraju memorisati. Metoda ne konvergira u svim slučajevima ali je konvergencija zagarantovana za slučajeve koji se najčešće javljaju u praksi. Brzina konvergencije je obično relativno spora.Izbor inicijalnog rješenja bližeg stvarnom smanjuje broj iteracija...

Ako je bilo koja od kanoničkih normi matrice B manja od 1, Jakobijev postupak konvergira tačnom rješenju za proizvoljno x0.

5. Navedi osnovne metode za nelinearne jednacine i objasni metodu fiksne tacke.Navedi sta je uslov za konvergenciju postupka?

Osnovne metode na nelinearne jednacine su:

Metoda proste iteracije Njutnova metoda (Newton-Raphson) Linearna interpolacija Metod sekante Metoda polovljenja interval (Bisekcija)

Metoda proste iteracije: FIKSNA TAČKA - definicija: Ako je g(x) preslikavanja g(x): [a,b] →[a,b], tada je tačka „x“ za koju je g(x)=x, fiksna tačka preslikavanja.

Teorema: (Shauder): Neka je g(x): [a,b] →[a,b] i neka je g (x) neprekidno preslikavanje. Tada g ima bar jednu fiksnu tačku. Fiksna tačka zadate funkcije f(x) je vrijednost x za koju važi f(x)=g(x)-x=0 (re - formulacija problema)

Ovakva šema naziva se iteracija fiksne tačke ili funkcionalna iteracija . Za zadatu nelinearnu jednačinu može da postoji beskonačno mnogo ekvivalentnih problema fiksne tačke.

6. Objasni i graficki prikazi metodu sekante?

U slučajevima kada je nemoguće analitički odrediti prvi izvod neke funkcije, metoda sekante predstavlja alternativu Newtonovoj metodi.

Vrijednost prvog izvoda je dat sa:

pri čemu je

S obzirom da je sječica prava linija koja prolazi kroz dvije tačke krive f (x), za iniciranje metode neophodne su prve dvije aproksimacije, x0 i x1. Pri tome se između njih može ali i ne mora nalaziti korijen jednačine f (x) = 0.

Grafički prikaz metode sekante

7. Navedi direktne metode za sistema linearnih jednacina i objasni Gauss-ovu metodu eliminacije?

Direktne metode karakterišu rješenje u jednom koraku, puno operacija, gomilanje greške, mali sistemi. Osnovne direktne metode su: Kramerovo pravilo, Gausova eliminacija, Gaus-Jordanov postupak (varijanta Gausove eliminacije)

Gausov metod:

Osnovna ideja je zamijeniti dati sistem linearnih jednacija jednostavnijim sistemom koji ima isto rješenje. Do jednostavnijeg sistema se dolazi primjenom ekvivalentnih transformacija na matrici sistema i vektoru slobodnih članova

Osnovne transformacije sistema linearnih jednacina:

1. Međusobna zamjena mjesta bilo koje dvije jednačine (vrste)

2. Množenje bilo koje jednačine brojem različitim od nule

3. Dodavanje jedne jednačine, pomnožene brojem različitim od nule, bilo kojoj drugoj jednačini

Elementarnim transformacijama se sistem oblika Ax=b svodi na sistem Rx=y koji ima isti vektor rješenja x. Nova matrica sistema (R) je trougla matrica, gornja ili donja. Postupkom povratne supstitucije (zamjene) dolazi se do rješenja. Postoje mogućnosti unapređenja algoritma za simetrične, trakaste ili rijetko popunjene matrice što je posebno važno kod velikih sistema

8. Navedi prednosti iterativnih metoda za SLJ i objasni Gauss-Seidel-ovu metodu?

Od iterativnih metoda najčešće se koriste:

Jacobi (prosta iteracija), Gauss-Seidel, SOR, Krylov subspace metod, Multigrid metod, ADI

- Najnoviji iterativni algoritmi se po tačnosti i stabilnosti približavaju standardnim direktnim solverima.

- Iterativne metode su jednostavnije za programiranje i pogodnije za paralelnu obradu (multiprocesorske mašine).

-Iterativne metode se zasnivaju na računanju niza vektora rješenja koji konvergira tačnom rješenju X*

-Rješavanje započinje izborom početnog rješenja (X0) i ono se sukcesivno poboljšava primjenom iterativne formule.

-Teorijski, potreban je beskonačan broj iteracija da bi se postiglo tačno rješenje, praktično iterativni postupak se završava kada vrednost reziduala ili neke druge mjere greške postane manja od unaprijed usvojene tolerancije.

Gauss-Seidel-ova metoda:

U odnosu na Jacobi-jevu, metoda Gaus-Seidel-a ima bržu konvergenciju jer koristi poslednji izračunati član rješenja za računanje nove vrijednosti prvog slijedećeg člana. Nije potreban dvostruki kapacitet za memorisanje vektora rješenja, jer nova vrijednost komponente može da prepiše onu iz prethodne iteracije. Računanje nepoznatih mora se izvoditi sukcesivno za razliku od metode Jacobi - ja kod koje se vrijednosti nepoznatih mogu računati proizvoljnim redoslijedom ili čak simultano. Gauss - Seidel - ova metoda ne konvergira uvijek ali konvergira za uslove koji su nešto slabiji od uslova za metodu Jacobi-ja. Ova metoda se dopunski može ubrzati (SOR).

9. Objasni uslov za kovergenciju iterativnog postupka za SLJ?

10. Objasni i graficki prikazi Newton-ovu metodu (metoda tangente)?

Newtonova metoda je jedna od najpoznatijih i najefikasnijih procedura u cijeloj numeričkoj analizi. Metoda uvijek konvergira ako je početna aproksimacija dovoljno blizu rješenju. Konvergencija Newtonove metode je kvadratna.

Grafički prikaz Netwon-ove metode

11. Objasni i graficki prikazi metodu bisekcije (polovljenje interval)?

Metoda polovljenja intervala ili bisekcije (eng. interval halving, bisection ) je jedna od najjednostavnijih metoda za traženje korijena nelinearnih jednačina.

Metoda polovljenja intervala je iterativna metoda, sa sljedećim algoritmom:

c =a + b/2

Ako je: f (a) X f (c) < 0 → a = a, b = c

Ako je f (c) X f (b) < 0 → a = c, b = b

Ako je f (a) X f (c) = 0 : dobiva se rješenje ξ= c

Iterativni postupak se nastavlja sve dok se ne postigne željena tačnost.

Korijen jednačine se nalazi unutar granica nekog intervala, tako da je konvergencija zagarantovana.

Osnovni nedostatak ove metode je spora konvergencija, odnosno veliki broj iteracija radi postizanja željene tačnosti.