Numeri Complessi

1. Numeri complessi

Vincenzo RecuperoDipartimento di Scienze Matematiche, Politecnico di Torino

Versione: 7 marzo 2013

Revisione: 11 marzo 2015

Metodi Matematici per l’Ingegneria05BQXNZ, 05BQXOA, 05BQXPC

(Suddivisione alfabetica H-Z)

Dispense di Analisi

1 Numeri complessi

1.1 Definizione

La notazione complessa per la rappresentazione dei vettori del piano R2 consiste nelporre

1 := e1 = (1, 0),

i := e2 = (0, 1),

ex := (x, 0), x ∈ R,

cioe si identifica R con l’asse delle ascisse e si denota con i il vettore (0, 1). In questomodo ogni vettore u = (x, y) ∈ R2 puo essere scritto nella forma (vedi Figura 1)

u = (x, y) = xe1 + ye2 = x(1, 0) + y(0, 1) = (x, 0) + y(0, 1) = x+ yi,

dove y(0, 1) = yi e la moltiplicazione dello scalare y ∈ R per il vettore i = (0, 1). Siusa anche scrivere iy piuttosto che yi.

Quindi da un punto di vista insiemistico l’insieme dei numeri complessi e esat-tamente il piano R2. Questi due insiemi differiscono pero dal punto di vista algebri-co, perche tra i numeri complessi si definisce un nuova operazione di prodotto chevediamo nella seguente definizione formale.

1

1.1 Definizione

Figura 1: Notazione complessa nel piano

Definizione 1.1. Poniamo

x := (x, 0) ∈ R2, x ∈ R (1.1)

(in particolare 1 = (1, 0), 0 = (0, 0)) e

i := (0, 1) ∈ R2, (1.2)

la cosiddetta unita immaginaria. Definiamo C come l’insieme R2

C := R2 ={z = (x, y) = x+ yi : x, y ∈ R

}(1.3)

dotato delle seguenti operazioni di somma e prodotto: se z1, z2 ∈ C,

z1 = (x1, y1) = x1 + y1i, z2 = (x2, y2) = x2 + y2i,

si definisce

z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i, (1.4)

z1z2 := (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i. (1.5)

Gli elementi di C sono chiamati numeri complessi.

Osserviamo che la somma di vettori (1.4) non e altro che la somma di vettori,ottenuta per mezzo della legge del parallelogramma. L’unico concetto nuovo e ilprodotto, ma non e necessario memorizzare la complicata formula (1.5), perche,come vedremo tra poco, c’e un modo semplice di ricordarla.

Se un numero complesso z e del tipo z = (x, 0), allora si usa dire che e reale (oche ha parte immaginaria nulla), in accordo con l’identificazione (1.1).

Osservazione 1.1. Prima di proseguire andrebbe verificato che nella formula (1.5),se z1 = (x1, 0) = x1, allora la formula z1z2 = x1z2 non e altro che il prodotto tra loscalare x1 ∈ R ed il vettore z2, in modo che non ci sia possibilita di confondersi. E

2

1.1 Definizione

cosı: infatti se z1 = (x1, 0) e z2 = (x2, y2) allora

z1z2 = (x1x2 − 0y2, x1y2 + 0x2) = (x1x2, x1y2) = x1(x2, y2) = λz2.

In particolare se anche z2 e reale, cioe z2 = (x2, 0) = x2, otteniamo

z1z2 = (x1x2 − 0, x10− x20) = (x1x2, 0) = x1x2

per cui il prodotto tra due numeri complessi che stanno sull’asse x (identificato conR), coincide col prodotto di numeri reali.

La somma ed il prodotto di numeri complessi soddisfano le solite proprietacommutativa, associativa e distributiva. Verificarlo e facile, ma noioso, per cui cilimitiamo ad enuciarle in modo preciso: se zk = (xk, yk), k = 1, 2, 3, si ha

z1 + z2 = z2 + z1 la somma e commutativa (1.6)

z1z2 = z2z1 il prodotto e commutativo (1.7)

z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 la somma e associativa (1.8)

z1(z2z3) = (z1z2)z3 il prodotto e associativo (1.9)

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 proprieta distributiva (1.10)

Notiamo che 1 = (1, 0) e l’elemento neutro per il prodotto, mentre 0 = (0, 0) el’elemento neutro per la somma, questo vuol dire che:

1z = z1 = z ∀z ∈ C, 0 + z = z + 0 = z ∀z ∈ C (1.11)

ed e possibile verificare che 1 e 0 sono gli unici numeri con tali proprieta.. La formula

z = x+ yi = x+ iy ∀x, y ∈ R.

puo ora essere giustificata dalla commutativita del prodotto. Al solito le potenzeintere positive si definiscono in modo induttivo ponendo

z0 := 1, z ∈ C, (1.12)

zn := zz · · · z︸︷︷︸n volte

, z ∈ C, n ∈ N, n > 1. (1.13)

Storicamente i numeri complessi sono stati introdotti per trovare radici di ogni po-linomio non costante. Infatti proveremo il Teorema fondamentale dell’algebra, cheafferma che ogni polinomio non costante ha almeno una radice complessa. Al mo-mento possiamo solo verificare che il semplice polinomio z2 +1 ha una radice, infattisi ha la seguente

Proposizione 1.1. i2 = −1.

Dimostrazione. Grazie alla formula (1.5) si ha i2 = ii = −1 + i0 = −1.

3

1.2 Parti reale ed immaginaria (coordinate)

Per esercizio si verifichi che anche −i e una radice di z2 + 1, cioe (−i)2 = 1.Possiamo ora vedere come ricordare la formula (1.5) usando la scrittura

z = x+ iy, x, y ∈ R,

solitamente detta forma algebrica del numero complesso z = (x, y) (cioe la sommadei vettori x e yi). Infatti grazie alle proprieta algebriche ed alla Proposizione 1.1possiamo scrivere

(x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + iiy1y2

= x1x2 + i(x1y2 + y1x2)− y1y2= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2). (1.14)

Lo stesso si puo ovviamente fare per la somma

(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

In altre parole e lecito fare i conti in C scrivendo prima i numeri complessi in formaalgebrica, usando quindi le solite regole algebriche (come in R), e tenendo conto chei2 = ii = −1.

1.2 Parti reale ed immaginaria (coordinate)

La prima e la seconda componente di un numero complesso z = (x, y) = x+ iy sonochiamate rispettivamente parte reale di z e parte immaginaria di z:{

Re z := x

Im z := y, z = x+ iy, x, y ∈ R.

Coerentemente l’asse delle ascisse viene chiamato asse reale e l’asse delle ordinate edetto asse immaginario. I punti dell’asse immaginario sono detti numeri immaginaripuri. Il fatto seguente e banale ma fondamentale:

z = x+ iy = 0, x, y ∈ R ⇐⇒ Re z = x = 0 e Im z = y = 0.

Quiil termine “e” va intesa nel senso matematico di intersezione: x e y devono essereentrambi nulli.

1.3 Opposto e inverso

Definiamo per ogni z = x+ iy

−z := (−1)z = −x− iy

(come si fa in R). Al solito si pone z1 − z2 := z1 + (−z2). Quindi abbiamo che

z − z := z + (−z) = 0

cioe −z e l’opposto di z. I punti z e −z sono simmetrici rispetto all’origine. Si haanche

nz = z + · · ·+ z︸︷︷︸n volte

∀z ∈ C, ∀n ∈ N.

4

1.3 Opposto e inverso

Ora, se z = x+ iy 6= 0, x, y ∈ R, definiamo l’inverso di z (e lo denotiamo con z−1 o1/z) ponendo

z−1 :=1

z:=

x

x2 + y2− i y

x2 + y2. (1.15)

Questa definizione e motivata dall’identita

zz−1 = z−1z = 1, (1.16)

che si puo verificare con un conto diretto (si osservi che prima di introdurre (1.15)a priori ancora non sapevamo dell’esistenza di un numero z−1 per cui vale effettiva-mente (1.16)). E possibile verificare che l’opposto e l’inverso sono unici. Vedremodopo che esiste una maniera semplice di ricordare la definizione (1.15) di z−1. Oraosserviamo che dall’identita i2 = ii = −1 si ricava subito che −i e l’inverso di i:

1

i= i−1 = −i.

Al solito si usa scrivere

z

w:= z

1

wz,w ∈ C, w 6= 0,

e, come per i numeri reali, si puo controllare che se z1, z2, w1, w2 ∈ C e w1, w2 6= 0allora

z1w1

+z2w2

=z1w2 + z2w1

w1w2.

E possibile ora definire le potenze intere negative di z ponendo

zm :=1

z−m, z 6= 0, m ∈ Z, m < 0. (1.17)

Si osservi che le proprieta (1.6)-(1.10) implicano che valgono in C le solite regoleper calcolare somme e prodotti che si hanno in R. Richiamiamone due.

Proposizione 1.2. Se z, w ∈ C e n ∈ N allora

(a) (z + w)n =∑n

k=0

(nk

)zkwn−k dove

(nk

):= n!

k!(n−k)! (formula del binomio).

(b) zn − wn = (z − w)(zn−1 + zn−2w + · · ·+ zwn−2 + wn−1).

Dimostrazione. Come in R.

Se nella proposizione precedente si prende ad esempio n = 2, si trovano le formule(z + w)2 = z2 + 2zw + w2, z2 − w2 = (z − w)(z + w), valide per ogni z, w ∈ C.

Un’altra consequenza delle proprieta fin ora viste e la ben nota equivalenza validaper ogni z, w ∈ C:

zw = 0 ⇐⇒[z = 0 oppure w = 0

]cioe il prodotto di z e w e uguale a zero se e solo se almeno uno dei numeri z e we zero: il termine “oppure” va intesa nel senso matematico di unione: potrebberoessere zero entrambi o uno solo sei due.

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1.4 Modulo (distanza dall’origine)

Osservazione 1.2. Non ha senso considerare disuguaglianze tra numeri complessi,infatti supponiamo per assurdo che sia possibile definire in C una relazione d’ordinetra tutti i numeri che sia coerente con l’operazione di prodotto: cio significa chevogliamo valga l’implicazione [ a, b > 0 =⇒ ab > 0 ]. Allora ci sarebberodue possibilita: o i e positivo, o −i e positivo; nel primo caso si avrebbe allora−1 = i2 = ii > 0, mentre nel secondo −1 = i2 = ii = (−i)(−i) > 0. Per cuiin entrambi i casi risulta −1 > 0 che come sappiamo e una contraddizione (infatti1 = 11 = (−1)(−1) > 0). ♦


Dato un numero complesso z = x+ iy, x, y ∈ R, possiamo calcolare la sua distanzadall’origine. La chiamiamo modulo di z e la denotiamo con

|z| :=√x2 + y2, z = x+ iy, x, y ∈ R.

Figura 2: Modulo

Percio se z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 troviamo

|z1 − z2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

che rappresenta la distanza tra z1 e z2.Le formule seguenti valgono per ogni z, w ∈ C, λ ∈ R:

|z + w| 6 |z|+ |w| (disuguaglianza triangolare), (1.18)

|λz| = |λ||z|, (1.19)

z = x+ iy, x, y ∈ R =⇒

{|x| = |Re z| 6 |z||y| = | Im z| 6 |z|

. (1.20)

Queste proprieta sono geometricamente chiare: la disuguaglianza triangolaresignifica che il vettore z +w e piu corto della somma delle lunghezze dei vettori z ew (Figura 3); la formula (1.19) dice come varia la lunghezza di un vettore quando

6


Figura 3: Disuguaglianza triangolare

viene moltiplicato per uno scalare; L’ultima proprieta (1.20) significa che l’ipotenusadi un triangolo rettangolo e piu lungo dei cateti.

Queste tre formule si potrebbero anche provare analiticamente nel modo seguen-te: la disuguaglianza triangolare si puo verificare prendendo i quadrati di entrambii membri e svolgendo i calcoli. La formula (1.19) si puo invece controllare condei semplici conti. L’ultima proprieta (1.20) segue analiticamente dal fatto che|x| =

√x2 6

√x2 + y2. La formula (1.19) vale anche se λ e complesso e si potrebbe

verificare svolgendo i calcoli, ma lo vedremo in seguito in modo diverso.Osserviamo che (1.18) si puo anche scrivere come

|z − w| 6 |z|+ |w| (1.21)

infatti |z−w| = |z+(−w)| 6 |z|+|−w| = |z|+|w| (anche qui il significato geometricoe evidente: fare un disegno). Infine abbiamo la seguente importante disuguaglianza∣∣|z| − |w|∣∣ 6 |z − w| ∀z, w ∈ C (1.22)

che puo essere verificata prendendo il quadrato di ambo i membri (e lecito perchesono numeri reali positivi). Lasciamo questo conto come esercizio e proponiamo unaprocedura differente che ha il vantaggio di poter essere usata anche in contesti piugenerali:

||z| − |w|| 6 |z − w| ⇐⇒ −|z − w| 6 |z| − |w| 6 |z − w|

⇐⇒

{−|z − w| 6 |z| − |w||z| − |w| 6 |z − w|

⇐⇒

{|w| 6 |z|+ |z − w||z| 6 |z − w|+ |w|

⇐⇒

{|w − z + z| 6 |z|+ |z − w||z − w + w| 6 |z − w|+ |w|

e le ultime due disuguaglianze sono vere grazie alla disuguaglianza triangolare. Sipuo quindi tornare indietro con le equivalenze.

7

1.5 Coniugazione (riflessione rispetto all’asse reale)

1.5 Coniugazione (riflessione rispetto all’asse reale)

Se riflettiamo un punto z = x+ iy rispetto all’asse reale, otteniamo il punto x− iy(vedi Figura 4), che chiamiamo coniugato di z e denotiamo con

z := x− iy, z = x+ iy, x, y ∈ R.

Naturalmente vale l’dentita

Figura 4: Coniugazione

z = z.

e tramite un calcolo diretto si puo verificare che

z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1 z2,

z1 − z2 = z1 − z2, z1/z2 = z1/z2.

Valgono le seguenti formule il cui significato geometrico e illustrato in Figura 5:

Re z = x =z + z

2, Im z = y =

z − z2i

. (1.23)

Figura 5: Re z = z+z2 , Im z = z−z

2i

8

2 Forma polare od esponenziale

Esempio 1.1. Scrivere la formula x2 + xyi come una funzione di z e z.Sostituiamo le formule (1.23) in x2 + xyi ed otteniamo

x2 + xyi = x(x+ iy) =z + z

2z =

z2

2+zz

2.

♥

La seguente formula e utilissima

|z|2 = x2 + y2 = zz (1.24)

e permette di scrivere il quoziente di due numeri complessi in forma algebrica, infattise z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 6= 0, si ha

z1z2

=z1z2z2z2

=z1z2|z2|2

=(x1 + iy1)(x2 − iy2)

|z2|2=x1x2 + y1y2x22 + y22

+ iy1x2 − x1y2x22 + y22

.

In particolare, se z = x+ iy, x, y ∈ R,

1

z=

z

zz=

z

|z|2=

x− iyx2 + y2

=x

x2 + y2− i y

x2 + y2=

x

x2 + y2+ i

(− y

x2 + y2

).

Naturalmente non bisogna memorizzare tali formule, ma solo capire la procedurache si e usata, come mostrato nel seguente esempio.

Esempio 1.2. Scrivere in forma algebrica il numero z =3 + 2i

1− 2i.

La procedura vista prima consiste nel moltiplicare e dividere per il coniugato del denominatore,quindi

z =3 + 2i

1− 2i=

(3 + 2i)(1 + 2i)

(1− 2i)(1 + 2i)=−1 + i4

|1 + 2i|2 = −1

5+ i

8

5.

♥


Se z ∈ C e z 6= 0 allora z = |z| z|z|

, ez

|z|ha modulo 1, quindi esiste θ ∈ R per cui

z = |z|(cos θ + i sin θ),

infatti cos2 θ+sin2 θ = 1 (vedi Figura 6). Si dice che il numero reale θ e un argomentodi z e l’insieme di tutti i possibili argomenti di z si denota con arg(z):

arg(z) :={θ ∈ R : z = |z|(cos θ + i sin θ)

}(z 6= 0).

D’altra parte si dice argomento principale di z l’unico argomento di z appartenentea ]−π, π] e viene denotato con Arg(z). Poniamo

eiθ := cos θ + i sin θ, θ ∈ R. (2.1)

Allora se |z| = r si scrive

z = |z|eiθ = reiθ = r(cos θ + i sin θ)

che e anche chiamata forma polare (o esponenziale) di z.

9


Figura 6: Forma polare (o esponenziale)

Esempio 2.1. Scrivere z = i√

3− 1 in forma polare.Il modulo di z e |z| =

√4 = 2, quindi

z = −1 + i√

3 = 2

(−1

2+

√3

2

)= 2

(cos

2π

3+ i sin

2π

3

)= 2e

2πi3

♥

Proposizione 2.1. Per ogni θ, η ∈ R si ha

(a) |eiθ| = 1

(b) eiθ = eiη ⇐⇒ θ = η + 2kπ, k ∈ Z

(c) eiθeiη = ei(θ+η)

(d) eiθ = e−iθ = (eiθ)−1

(e) (eiθ)n = einθ per ogni n ∈ Z.

Dimostrazione.

(a) |eiθ| = cos2 θ + sin2 θ = 1.

(b) E una consequenza diretta della periodicita delle funzioni seno e coseno.

(c) Grazie alle formule di addizione si trova

eiθeiη = (cos θ + i sin θ)(cos η + i sin η)

= (cos θ cos η − sin θ sin η) + i(sin θ cos η + sin η cos θ)

= cos(θ + η) + i sin(θ + η) = ei(θ+η).

(d) Poiche il coseno e pari ed il seno e dispari, si trova eiθ = cos θ − i sin θ = cos(−θ) +i sin(−θ) = e−iθ. Inoltre, grazie a (c) ad esempio, si ha eiθe−iθ = 1, quindi (eiθ)−1 =e−iθ.

(e) Se n > 0 e sufficiente applicare n volte la formula (c) con η = θ. Questo, assieme a(d), fornisce il risultato per n < 0.

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La proposizione precedente ha molte consequenze utili, vediamole. Se

z1 = r1eiθ1 = r1(cos θ1 + i sin θ1), z2 = r2e

iθ2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)

allora da (c) si ottiene che z1z2 = r1r2eiθ1eiθ2 = r1r2e

i(θ1+θ2), cioe

z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2) = r1r2

[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)

],

in altri termini

il prodotto di due numeri complessi si ottiene

moltiplicando i moduli e sommando gli argomenti.

In particolare

|z1z2| = |z1||z2| ∀z1, z2 ∈ C,

Utilizzando (d), per z2 6= 0, otteniamo anche che

z1z2

=r1r2ei(θ1−θ2) =

r1r2

[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)

],

cosı ∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ =|z1||z2|

∀z1, z2 ∈ C, z2 6= 0.

Infine, se n ∈ Z, dalla formula (e) deduciamo le formule di De Moivre:

z = reiθ = r(cos θ + i sin θ) =⇒ zn = rneinθ = rn(cos(nθ) + i sin(nθ)).

Questo fatto fornisce un metodo semplice per trovare le radici n-esime complesse diun numero complesso, illustrato nella prossima

Proposizione 2.2. Siano dati w ∈ C, w 6= 0, ed n ∈ N, n > 0. Esistonoesattamente n soluzioni dell’equazione (nell’incognita z):

zn = w.

Se w = reiφ, r > 0, φ ∈ R, queste soluzioni sono

zk = n√r ei

φ+2kπn , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1. (2.2)

I numeri z0, . . . , zn−1 vengono chiamato radici n-esime (complesse) di w e geo-metricamente rappresentano i vertici di un poligono regolare con n lati inscrittonella circonferenza di centro 0 e raggio n

√r = n

√|w|.

Dimostrazione. Scriviamo z e w in forma esponenziale:

z = ρeiθ, w = reiφ,

11


dove ρ, r > 0 e θ, φ ∈ R. Allora

zn = w ⇐⇒ ρneinθ = reiφ ⇐⇒

{ρn = r,

nθ = φ+ 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒

{ρ = n

√r,

nθ = φ+ 2kπ, k = 0, 1, . . . , n− 1

⇐⇒

{ρ = n

√r,

θ = φ+2kπn , k = 0, 1, . . . , n− 1

⇐⇒ zk = n√r ei

φ+2kπn , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

Piuttosto che ricordare la formula (2.2), e utile capire il metodo usato per la suadimostrazione ed il significato geometrico delle n radici. Vediamo un esempio.

Esempio 2.2. Trovare le radici quarte complesse di 4, in altre parole trovare le soluzioni complessedell’equazione z4 = 4.Scriviamo z e 4 in forma polare:

z = ρeiθ, ρ > 0, θ ∈ R, 4 = 4ei0.

Quindi si ha

z4 = 4 ⇐⇒ ρ4ei4θ = 4ei0 ⇐⇒

{ρ4 = 4,

4θ = 0 + 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒

{ρ = 4√

4,

4θ = 0 + 2kπ, k = 0, 1, 2, 3⇐⇒

ρ =√

2,

θ =k

2π, k = 0, 1, 2, 3

⇐⇒

ρ =√

2,

θ = 0,π

2, π,

3

2π

⇐⇒ z =√

2, z = i√

2, z = −√

2, z = −i√

2

Si noti che, in questo caso particolare, la radice reale z =√

2 e evidente, quindi le altre tre radicisi possono dedurre senza effettuare conti, ricordando che devono costituire con

√2 i vertici di un

quadrato inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio√

2 (vedi Figura 7). ♥

Figura 7: Radici quarte di 4

12

3 Funzioni elementari complesse

Siamo ora in grado di trovare le radici complesse di ogni polinomio di grado 2.

Proposizione 2.3. Siano a, b, c ∈ C, a 6= 0, tali che b2 − 4ac 6= 0. Alloral’equazione (nell’incognita z ∈ C)

az2 + bz + c = 0

ha due soluzioni date dalla formula

z1,2 =−b±R

2adove R ∈ C e tale che R2 = b2 − 4ac

cioe R e una delle due radici complesse del numero b2 − 4ac.

Dimostrazione. Completando i quadrati otteniamo

az2 + bz + c = a

(z2 +

b

az +

c

a

)= a

[(z +

b

2a

)2

− b2

4a2+c

a

]

= a

[(z +

b

2a

)2

− b2 − 4ac

(2a)2

]

quindi, se R ∈ C e tale che R2 = b2 − 4ac, deduciamo che

az2 + bz + c = 0 ⇐⇒(z +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

(2a)2

⇐⇒ z +b

2a= ± R

2a⇐⇒ z =

−b±R2a

.

La notazione z1,2 = −b±√b2−4ac2a e anche frequente, ma va usata con cautela

perche il simbolo√b2 − 4ac e per noi privo di significato in C, e andrebbe inteso

come l’insieme delle due radici complesse di b2 − 4ac, un significato diverso dallaradice

√aritmetica usata nel corso di Analisi 1. In queste note non useremo questo

simbolo con questo significato “complesso”, ma se r > 0, con√r continueremo ad

intendere l’unico numero reale positivo x tale che x2 = r, cioe l’unica soluzione realepositiva dell’equazione x2 = r.

Esempio 2.3. Trovare le radici del polinomio 4z2 + 4z + 1− i.Applichiamo la formula risolutiva precedente con a = 4, b = 4, c = 1 − i. Si ha b2 − 4ac =16 − 16(1 − i) = 16i 6= 0. Per esercizio si trovi che le radici quadrate complesse di 16i sono2√

2(1 + i) e −2√

2(1 + i) (una l’opposto dell’altra). Quindi le due radici del trinomio di secondogrado assegnato sono

z1,2 =−4± 2

√2(1 + i)

8=−2±

√2(1 + i)

4

cioe z1 =−2 +

√2

4+ i

√2

4, z2 =

−2−√

2

4− i√

2

4. ♥

3 Funzioni elementari complesse

In questo paragrafo definiamo le principali funzioni elementari f : C −→ C usatein ambito complesso. Ricordiamo che se A e B sono due insiemi, una funzione (o

13

3.1 Esponenziale complesso

un’applicazione) f : A −→ B (con dominio A e codominio B) e una “regola” (o“legge”) che ad ogni elemento a ∈ A associa un unico elemento b ∈ B. Ricordiamoanche che in generale il codominio e diverso dall’immagine di f , che e l’insiemef(A) := {f(a) : a ∈ A} ⊆ B dei valori assunti da f . Il codominio viene stabilito apriori e fa parte della definizione di f .

3.1 Esponenziale complesso

La funzione esponenziale e definita come

ez := ex+iy := exeiy = ex(cos y + i sin y), z = x+ iy, x, y ∈ R,

dove ex e l’esponenziale reale (x ∈ R), cioe l’esponenziale dell’Analisi 1, mentreeiy := cos y + i sin y e stato definito nel paragrafo precedente nella formula (2.1).Un’altra notazione che si usa e exp(z). La funzione exp : C −→ C e forse la piuimportante tra quelle studiate in questo corso.

La seguente proposizione si deduce facilmente dalla Proposizione 2.1:

Proposizione 3.1. Valgono le seguenti proprieta.

(a) |ez| = eRe z per ogni z ∈ C,

(b) ez 6= 0 per ogni z ∈ C

(c) ez1+z2 = ez1ez2 per ogni z1, z2 ∈ C,

(d) ez = ez

(e) e−z = (ez)−1

(f) (ez)n = enz per ogni z ∈ C ed n ∈ Z.

Dimostrazione.

(a) |ez| = |exeiy| = |ex||eiy| = ex|eiy| = ex1 = ex.

(b) Segue da (a).

(c) Se zk = xk + iyk, xk, yk ∈ R, allora

ez1ez2 = ex1eiy1ex2eiy1 = ex1ex2eiy1eiy1

= ex1+x2ei(y1+y2) = ez1+z2 .

(d) ez = exeiy = exeiy = exe−iy = ez.

(e) Da (c) segue che eze−z = ez−z = e0 = 1, quindi e−z = (ez)−1.

(f) Segue da (c) e (d).

Esempio 3.1. Risolvere l’equazione complessa ez = 1.

14

3.2 Funzioni trigonometriche ed iperboliche complesse

Se z = x+ iy, x, y ∈ R, allora

ez = 1 ⇐⇒ exeiy = 1ei0 ⇐⇒

{ex = 1,

y = 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒

{x = 0,

y = 2kπ, k ∈ Z⇐⇒ z = 2kπi, k ∈ Z.

Percioez = 1 ⇐⇒ z = 2kπi, k ∈ Z.

♥

Utlizzando lo stesso metodo dell’esempio precedente, possiamo mostrare la se-guente proprieta, che e anche chiamata periodicita dell’esponenziale complesso (diperiodo 2πi)

Proposizione 3.2. Se z1, z2 ∈ C, allora

ez1 = ez2 ⇐⇒ z1 = z2 + 2kπi, k ∈ Z.

Dimostrazione. Se zk = xk + iyk, xk, yk ∈ R, allora

ez1 = ez2 ⇐⇒ ex1eiy1 = ex2eiy2 ⇐⇒

{ex1 = ex2 ,

y1 = y2 + 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒

{x1 = x2,

y1 = y2 + 2kπ, k ∈ Z⇐⇒ x1 + iy2 = x2 + i(y2 + 2kπ), k ∈ Z,

che e cio che volevamo verificare.

3.2 Funzioni trigonometriche ed iperboliche complesse

Prendiamo un numero reale x ∈ R e consideriamo le identita

eix = cosx+ i sinx, e−ix = cosx− i sinx.

Sommando e sottraendo queste uguaglianze troviamo le cosiddette formule di Eulero:

cosx =eix + e−ix

2, sinx =

eix − e−ix

2i, x ∈ R. (3.1)

Motivati da queste formule definiamo le funzioni coseno complesso e seno complesso:

cos z :=eiz + e−iz

2, sin z :=

eiz − e−iz

2i, z ∈ C. (3.2)

Esempio 3.2. Trovare gli zeri delle funzioni cos z e sin z.Si ha

cos z = 0 ⇐⇒ eiz + e−iz = 0 ⇐⇒ eiz = −e−iz

⇐⇒ eiz = −eiπe−iz ⇐⇒ eiz = eiπ−iz.

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4 Esercizi

Ora possiamo quindi utilizzare la Proposizione 3.2 oppure possiamo procedere direttamente ponendoz = x+ iy, x, y ∈ R, e scrivendo

eiz = eiπ−iz ⇐⇒ ei(x+iy) = eiπ−i(x+iy) ⇐⇒ e−y+ix = ei(π−x)+y

⇐⇒ e−yeix = eye−i(π−x) ⇐⇒

{e−y = ey

x = (π − x) + 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒

{e2y = 1

2x = π + 2kπ, k ∈ Z⇐⇒

{y = 0

x = π2

+ kπ, k ∈ Z

quindi

cos z = 0 ⇐⇒ z =π

2+ kπ, k ∈ Z

In modo completamente analogo si trova che

sin z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z

Si osservi che gli zeri delle funzioni complesse sin z e cos z sono esattamente gli stessi delle analoghefunzioni reali. Questa non e una regola generale, infatti, ad esempio, nell’esempio 3.1 con l’equazioneez − 1 = 0 le cose sono completamente differenti: risolvere l’analoga equazione reale ex − 1 = 0 efare un confronto col caso complesso. ♥

Esempio 3.3. Verificare checos2 z + sin2 z = 1 ∀z ∈ C. (3.3)

Possiamo scrivere

cos2 z + sin2 z =

(eiz + e−iz

2

)2

+

(eiz − e−iz

2i

)2

=e2iz + 2 + e−2iz

4− e2iz − 2 + e−2iz

4=

1

2+

1

2= 1.

♥

Le funzioni iperboliche complesse sono definite sostituendo x con z nella defini-zione delle funzioni iperboliche reali coshx e sinhx:

cosh z :=ez + e−z

2, sinh z :=

ez − e−z

2, z ∈ C. (3.4)

La verifica delle seguenti affermazioni e un esercizio molto utile:

cosh2 z − sinh2 z = 1, (3.5)

cosh z = 0 ⇐⇒ z =πi

2+ kπi, k ∈ Z, (3.6)

sinh z = 0 ⇐⇒ z = kπi. (3.7)

4 Esercizi

Esercizi (tratti dagli dispense di Analisi Complessa (vecchio ordinamento)).

1. Scrivere i seguenti numeri complessi in forma algebrica.

a) (2− 3i)(−2 + i)

b) (3 + i)(3− i)(15 + 110 i)

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4 Esercizi

c)1 + 2i

3− 4i+

2− i5i

d)5

(1− i)(2− i)(3− i)

2. Scrivere i seguenti numeri complessi in forma polare.

a) i

b) −1

c) 1 + i

d) i(1 + i)

e)1 + i

1− if) sinα+ i cosα

3. Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi

a)1

1− i+

2i

i− 1

b) 1 + i− i

1− 2i

4. Verificare che se |z| = 1 allora∣∣∣3z−i3+zi

∣∣∣ = 1

5. Risolvere le seguenti equazioni complesse.

a) z2 − 2z + 2 = 0

b) z2 + 3iz + 1 = 0

c) z|z| − 2z + i = 0

d) |z|2z2 = i

e) z2 + iz = 1

f) z3 = |z|4

6. Verificare che 1 + i e una radice di z4 − 5z3 + 10z2 − 10z + 4 e trovare tutte lealtre radici (Suggerimento: usare (e provare) il fatto che se z e una radice diun polinomio con coefficienti reali, allora anche z ne e una radice).

7. Calcolare z2, z9, z20 per i seguenti numeri complessi z

a)1− ii

b)2√

3− i+

1

i

8. a) Trovare le radici terze complesse di −ib) Trovare le radici quinte complesse di 1

c) Trovare le radici quadrate complesse di 2− 2i

9. Trovare u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z) nei casi seguenti

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4 Esercizi

a) f(z) = z3 + z + 1

b) f(z) =3z

z − z

c) f(z) =1

|z|2 + 3

10. Scrivere f(x, y) = x2 − y2 − 2y + 2ix(1− y) come una funzione di z = x+ iy.

Risposte

1. a) −1 + 8i

b) 2 + i

c) −2/5

d) i/2

2. a) eiπ/2

b) eiπ

c)√

2eiπ/4

d)√

2e3iπ/4

e) eiπ/2

f) cos(π/2− α) + i sin(π/2− α)

3. a)√

5/2

b)√

13/5

4. Scrivere z = x+ iy, x, y ∈ R, sostituirla nell’espressione, e calcolare il moduloricordando l’ipotesi x2 + y2 = 1.

5. a) z = 1± ib) z = i(−3±

√13)/2

c) z = i e z = i(−1−√

2)

d) ±√

2(1 + i)/2

e)√

7/2− i/2, −√

7/2− i/2,

f) z = 0, z = 1, z = −1/2±√

3i/2

6. 1 + i, 1− i, 1, 2

7. a) z2 = 2i, z9 = −16(1 + i), z20 = −210

b) z2 = (1− i√

3)/2, z9 = i, z20 = −1/2 + i√

3/2

8. a) (√

3− i)/2, i, −(√

3 + i)/2

b) 1, e2πi/5, e4πi/5, e−4πi/5, e−2πi/5

c) 4√

8e−πi/8, 4√

8e7πi/8

9. a) u(x, y) = x3 − 3xy2 + x+ 1, v(x, y) = 3x2y − y3 + y

b) u(x, y) = 3/2, v(x, y) = −3x/2y

c) u(x, y) = 1/(x2 + y2 + 3), v(x, y) = 0

10. f(z) = z2 + 2iz.

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4 Esercizi

Modifiche dalla revisione del 4 marzo 2015 alla revisione dell’11 marzo2015:

1. pag. 6 riga -2: “lungo” “corto”

2. pag. 18, risposte agli esercizi 7-a), 7-b).

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