Apostila de Mtodos Numricos1

Creto A. Vidal2

cvidal@lia.ufc.br

22 de abril de 2010Verso 9.0

1Editado por Jivago J. Alves - GREat (jivago@great.ufc.br)2Departamento de Computao - UFC

Abstract

XXXXXXXXThese class notes were organized as a supporting material for the coursesof Numerical Methods I and II of Federal University of Cear. They are based on thebook, Numerical Methods in C by Shoichiro Nakamura.

Resumo

Estas notas de aula foram elaboradas para servir de apoio aos cursos de Mtodos Nu-mricos I e II da Universidade Federal do Cear. Elas so baseadas no livro, AppliedNumerical Mehtods in C by Shoichiro Nakamura.

Sumrio

1 Clculo do Zeros de Funes No-Lineares 71.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Mtodo da Bisseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Mtodos da Posio Falsa e da Posio Falsa Modificado . . . . . . . . . 11

1.3.1 Mtodo da Posio Falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Mtodo da Posio Falsa Modificado . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Mtodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Descrio do Mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Mtodo da Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2 Descrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Mtodo das Substituies Sucessivas (Iterao de Ponto Fixo) . . . . . . 181.6.1 Descrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.2 Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.3 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.4 Forma sistemtica de encontrar f (x) . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Mtodo de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.1 Caractersticas do mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.2 Descrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.3 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Integrao Numrica 262.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Regra do Trapzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Erro da Regra do Trapzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Mltiplos Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Regra 13 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Erros das Regras de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Integrao de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Frmulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Quadraturas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1 Quadraturas de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6.2 Outras Quadraturas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Roteiro da Aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

2.8 Integrao de Funes com Limites Infinitos ou Singularidades (IntegraisImprprias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8.1 Tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8.2 Tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.9 Integrao Numrica em um Domnio Bidimensional . . . . . . . . . . . 462.10 Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Diferenciao Numrica 493.1 Expanso de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Diferenas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Mtodo da Diferenciao dos Polinmios de Interpolao de Newton . . . 543.4 Aproximao de Derivadas Parciais por Diferenas Finitas . . . . . . . . 57

3.4.1 Soluo do Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Soluo de Sistemas de Equaes Algbricas Lineares 604.1 Mtodos de Eliminao de Gauss e Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . 604.2 Mtodo de Eliminao de Gauss Padro com Pivotao . . . . . . . . . . 604.3 Problemas no resolvveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Matrizes, Vetores e Inverso de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.1 Matriz Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.2 Matriz Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.3 Matriz Transposta de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.4 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.5 Matriz Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.6 Vetor Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.7 Vetor Unitrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.8 Vetor Transposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.9 Inverso de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5 Decomposio LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6 Clculo de Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6.1 Propriedades dos Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.6.2 Clculo Numrico do Determinante de [A]nn . . . . . . . . . . . 69

4.7 Problemas Mal Condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.8 Solues de Sistemas de Equaes com M equaes e N incgnitas . . . . 71

5 Autovetores e Autovalores 735.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 Propriedades dos Auto-Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2 Mtodo de Interpolao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Mtodo de Householder para Matrizes Simtricas . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1 Autovalores de uma Matriz Tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . 835.4 Mtodo da Potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.1 Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4.2 Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4.3 Deslocado (Shifted) ou Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.5 Mtodo da Iterao QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5.1 Mtodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2

5.5.2 Mtodo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 Soluo de Problemas de Valores Iniciais de Equaes Diferenciais Ordin-rias 936.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1.1 Problema da Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.2 Problema da Queda Livre com Resistncia do Ar . . . . . . . . . 946.1.3 Mtodos Numricos para Problemas de Valor-Inicial . . . . . . . 96

6.2 Mtodos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2.1 Forward Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2.2 Backward Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.3 Mtodo de Euler Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3 Mtodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.3.2 Runge-Kutta de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3.3 Runge-Kutta de Terceira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3.4 Runge-Kutta de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.4 Mtodos Preditores-Corretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.2 Mtodo Preditor-Corretor de Adams de Terceira Ordem . . . . . 1036.4.3 Mtodo Preditor-Corretor de Adams de Quarta Ordem . . . . . . 1056.4.4 Vantagens e Desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.5 Equaes Diferenciais Ordinrias Rgidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5.1 Mtodos Implcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.5.2 Mtodo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5.3 Mtodo de Ajuste Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.6 Condies de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7 Soluo de Problemas de Valores de Contorno de Equaes Diferenciais Or-dinrias 1137.1 Problemas de Valores de Contorno para Barras e Placas . . . . . . . . . . 1137.2 Algoritmo de Soluo para Sistemas Tridiagonais . . . . . . . . . . . . . 114

3

Lista de Figuras

1.1 Funo f (x) com isolamento [a,c]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Funo f (x) com nmero de razes mpar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Funo f (x) com um par de razes duplas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Funo f (x) onde pode haver confuso entre ponto de singularidade com

uma raiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Mtodo da Posio Falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 A seqncia de aproximaes converge para b por um nico lado. . . . . 121.7 Eliminando o problema do ponto de estagnao. . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Ilustrao para o mtodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9 Ilustrao para o mtodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Descrio do mtodo da secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11 Descrio do mtodo das substituies sucessivas. . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 rea sob a curva representando a integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Volume sob a superfcie representando a integral . . . . . . . . . . . . . 262.3 rea sob a reta representando a integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 rea sob a reta representando a integral com intervalos . . . . . . . . . . 292.5 Volume de superfcie curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Exemplo para N = 1 (trapzio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Outro exemplo para N = 1 (trapzio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8 Parametrizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.9 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.10 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.11 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.12 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.13 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.14 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.15 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.16 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.17 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.18 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.19 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.20 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.21 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.22 Integrao Numrica em um Domnio Bidimensional . . . . . . . . . . . 462.23 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4

3.2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1 Problema de queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Problema de queda livre com resistncia do ar . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Regra de 1/3 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4 Regra de 3/8 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.6 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.7 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.8 Parametrizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.9 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1 Problemas de Valores de Contorno para Barras e Placas . . . . . . . . . . 1137.2 Discretizao do domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5

Lista de Tabelas

1.1 Exemplo de iteraes do mtodo da bisseo . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Exemplo de iteraes do mtodo da posio falsa modificado. . . . . . . 131.3 Exemplo de iteraes do mtodo de Newton para x0 = 5. . . . . . . . . . 151.4 Exemplo de iteraes do mtodo de Newton para x0 = 10. . . . . . . . . 151.5 Iteraes do mtodo de Newton para x0 = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Iteraes do mtodo de Newton para x0 = 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Exemplo de iteraes do Mtodo das Substituies Sucessivas. . . . . . . 201.8 Exemplo de Forma sistemtica de encontrar f (x). . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Frmulas abertas de Newton-Cotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Coeficientes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6

Captulo 1

Clculo do Zeros de FunesNo-Lineares

1.1 Introduo Raiz de funo no linear

encontrar x tal que f (x) = 0.

Exemplos: 3x4 + 3x3 16x2 + 4x + 1 = 0. tan(x) = tanh(x).

Motivao para solues numricas: poucas equaes no-lineares apresentam solues analticas

Mtodos numricos iterativos Todo mtodo tem limitaes

1.2 Mtodo da Bisseo Caractersticas do mtodo

necessita o intervalo que contm a raiz no necessita continuidade da derivada de f (x) aplica-se a qualquer tipo de equao, inclusive funes no analticas baseado no fato de que quando a raiz de f (x) est em [a,c] os sinais nas duas

extremidades mudam: f (a) f (c) 0 (ver figura 1.1).

7

Algoritmo 1 Mtodo da Bisseohtbp

Inicializao: i = 0, a0 = a, c0 = cIterao i:

1. tamanho do intervalo, si = ci ai = s02(i)

2. Sesi2 tol

xi =(ai + ci)

2

erri =si2

=s02

(i+1)

sai

Sesi2> tol, v para 3.

3. Calcule

bi =(ai + ci)

2f (ai) f (bi)f (bi) f (ci)

4. Se f (ai) f (bi) 0, (raiz em [ai, bi])faa i = i + 1, ci = bi1, v para 1.

Se f (bi) f (ci) 0, (raiz em [bi, ci]),faa i = i + 1, ai = bi1, v para 1.

8

Figura 1.1: Funo f (x) com isolamento [a,c].

c0 a02n+1

tol

c0 a0tol

2(n+1)

n + 1 log2(c0 a0

tol

)=

ln(

c0a0tol

)ln(2)

n ln(c0 a0ln(2)

1)

Observaes:

aps n iteraes o tamanho do intervalo (c a)02n

o erro mximo na n-sima iterao errn = sn2 =s0

2(n+1)

Se tol dada, o nmero de iteraes necessrias dado porc0 a02(n+1)

< tol

ou

n ln

(c0a0tol

)ln(2) 1

Exemplo 1.1

c0 a0 = 1 e tol = 0.0001

n ln( 10.0001 )ln(2) 1 = 13.28 1 = 12.28 n = 13 ( 14a iterao )

9

Iterao a b c f(a) f(b) f(c) Erro mximo0 0 1 2 -1 0.7182 5.3890 11 0 0.5 1 -1 -0.3512 0.7182 0.52 0.5 0.75 1 -0.3512 0.1170 0.7182 0.253 0.5 0.625 0.75 -0.3512 -0.1317 0.1170 0.1254 0.625 0.6875 0.75 -0.1317 -0.0112 0.1170 0.06255 0.6875 0.7187 0.75 -0.0112 0.0518 0.1170 0.031256 0.6875 0.7031 0.7187 -0.0112 0.0200 0.0518 0.0156257 0.6875 0.6953 0.7031 -0.0112 0.0043 0.0200 0.0078125

Tabela 1.1: A oitava aproximao da raiz x = 0.6953 o mximo erro possvel 0.0078 j

ai j =i1k=1

lik uk j + lii ui j ui j = ai j i1k=1

lik uk j

ai j =j1k=1

lik uk j + li j u j j li j =ai j

j1k=1

lik uk j

u j j

Resumo:

i). Qualquer matriz no singular pode ser decomposta na forma A = L U.

ii). Se um sistema de equaes lineares tiver de ser resolvido repetidamente para ml-tiplos lados ?direitos?, a decomposio L U recomendada.

iii). A matriz U idntica a obtida no processo de eliminao de Gauss.

iv). L U til no clculo do determinante.

66

4.6 Clculo de DeterminanteA toda matriz quadrada A = [ai j] de ordem n cujos elementos so nmeros complexos,

associa-se um nico nmero denominado determinante de A.

det A ou |A|Se E for o conjunto de matrizes quadradas de ordem n e C for o conjunto dos nmeros

complexos, podemos construir f : E C de modo que1. Se n = 1, A = [a11] e det A = a11

2. Se n 2, det A =n

i=1

(1)i+1 ai1 Di1onde Di1 o menor complementar do elemento ai1 de A (determinante da matrizobtida eliminando-se a linha i e a coluna 1 de A)

Chamando-se Ai j = (1)i+ j Di j de cofator do elemento ai j, podemos escrever

det A =n

i=1

ai1 Ai1

O teorema de Laplace generaliza esta definio para

det A =n

i=1

ai j Ai j fixando-se j, 1 j n

ou

det A =n

j=1

ai j Ai j fixando-se i, 1 i n

4.6.1 Propriedades dos DeterminantesP1: det MT = det M.

P2: Se os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz quadrada M = [ai j], deordem n, forem todos iguais a zero, ento det M = 0.

P3: Multiplicando-se uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada M = [ai j] porum nmero k, o determinante da nova matriz N = [bi j] que se obtm ser:

det N = k det M

P4: Se a coluna q de uma matriz quadrada M = [ai j] de ordem n puder ser escritacomo:

aiq = biq + ciq

67

ento det M = det M + det M onde M igual a M trocando-se a coluna q por biq eM a matriz obtida procurando-se a coluna q de M por ciq.

P5: Se [N]nm obtida de [M]nm trocando-se duas linhas (ou colunas) ento:

det N = det MP6: Se duas linhas ou colunas de M forem iguais, ento:

det N = 0

P7: (Teorema de Cauchy) O produto escalar de uma linha (ou coluna) pelo vetor decofatores de uma outra linha (ou coluna) zero.

P8: Se duas linhas (ou colunas) de [M]nn forem proporcionais, ento:

det M = 0

P9: Se a matriz quadrada [M]nn tem uma linha (ou coluna) que combinao lineardas outras linhas (ou colunas), ento:

det M = 0

P10: Se adicionarmos a uma linha (ou coluna) de [M]nn uma combinao linear dasoutras formando uma matriz [N]nn, ento:

det N = det M

P11: Se [M]nn for triangular, det M o produto dos elementos da diagonal:

detM = a11 a22 a33 . . . ann

P12: Se [M]nn for triangular com relao diagonal secundria, ento:

det M = (1)n (n 1)

2 (Produto dos termos da diagonal secundria)

P13: Se [N]nn = k [M]nn ento:

det [N] = kn (det [M])

P14: (Teorema de Binet) Se [C]nn = [A]nn [B]nn, ento

det [C] = (det [A]) (det [B])

68

4.6.2 Clculo Numrico do Determinante de [A]nn

[A] = [A] [U]

Por P14 det [A] = det[L] det [U]

Por P11 det [L] = 1 e det [U] =n

i=1

uii

OBS: Como [U] pode ser obtida por eliminao de Gauss padro podemos utilizarforward ? ?

4.7 Problemas Mal CondicionadosSo problemas resolvveis cujas solues podem ser bastante imprecisas devido a er-

ros de arredondamento.Por exemplo, {

0.12065 x + 0.98775 y = 2.01045 (A)0.12032 x + 0.98755 y = 2.00555 (B)

OBS: (A) e (B) so bem parecidas

x1 = 14.7403y1 = 0.23942

Simulando um erro nos coeficientes da equao (A)

2.01045 2.01045 + 0.001 = 2.01145{

0.12065 x + 0.98775 y = 2.01045 (A)0.12032 x + 0.98755 y = 2.00555 (B)

x2 = 17.9756y2 = 0.15928

OBS:

Pequenas mudanas em outros coeficientes causam mesmo tipo de comportamento. Erros de arredondamento nos coeficientes podem ocorrer durante o prprio pro-

cesso de soluo.

Notas:

1. A matriz dos coeficientes de um problema mal condicionado apresenta os seguintessintomas:

69

Figura 4.4: ?

(a) ai j + PEQUENO xk + GRANDE(b) aii < ak j, k , j (geralmente)(c) det[A] det[A]1 , 1 (1 )(d) [A1]1 , A(e) A A1 , I(f) A1 (A1)1 mais diferente de I do que A A1

2. Pivotao melhora a preciso se o problema for moderadamente mal condicio-nado.

3. O melhor procedimento tentar aumentar ao mximo a preciso (double)

Cray Preciso simples 8 bytes (64 bits) Preciso dupla 16 bytes (128 bits)

OBS: Singular Value Decomposition of a Matrix

[Amn] = [Umn] [Wnn] [Vnn]T

U e V so matrizes cujas colunas so ortonormais:m

i=1

Uik Ui j = k j

{1 k n1 j n

ni=1

Vik Vi j = k j

{1 k n1? j?n

[Ann]1 = [V]. . .

1/w. . .

[U]T

c = condition number =Max(wi)Min(wi)

Se c for infinito A singular. Se c muito grande A mal condicionada.

muito grande 1c

{106 Preciso simples1012 Preciso dupla

70

4.8 Solues de Sistemas de Equaes com M equaes eN incgnitas

Seja

A x = y

Se det A = 0, a soluo do sistema no nica.Por exemplo, [

1 10 0

] [xy

]=

[10

](A)(B)

Soluo de (B): S B = { (x, y) | (x, y) 2 }Soluo de (A): S A = { (x, y) 2 | y = 1 x }

S B S A = S AS A = reta (y = 1 x)

Figura 4.5: ?

Por exemplo,1 u + 2 v + 2 w + x 2 y = 2

3 u 6 v w + 5 x 4 y = 12 u 4 v 1.5 w + 2 x y = 0.5

u v w x y l.d.1 2 2 1 2 2

3 6 1 5 4 12 4 1.5 2 1 0.5

i) Pivotao 3 6 1 5 4 11 2 2 1 2 2 L2 = L2 + 13 L1

2 4 1.5 2 1 0.5 L3 = L3 23 L13(PIV) 6 1 5 4 10 0 5/3(PIV) 8/3 10/3 7/30 0 5/6 4/3 5/3 7/6 L3 = L3 12 L2

71

3 6 1 5 4 10 0 5/3 8/3 10/3 7/30 0 0 0 0 0[3 10 5/3

] [uw

]=

[u = 0.8 +2 v 2.2 x +2 yw = 1.4 1.6 x +2 y

]Exemplo 2: Gauss-Jordan

u v w x y l.d.2 3 1 4 1 62 3 1 1 1 14 6 1 1 2 5

i) Pivotao 4 6 1 1 2 5 (: 4)2 3 1 1 1 1 L2 = L2 2 L12 3 1 4 1 6 L3 = L3 2 L11 1.5 0.25 0.25 0.5 1.25 L1 = L1 + 0.25 L20 0 1.5 0.5 2 1.5 (: 1.5)0 0 1.5 3.5 0 3.5 L3 = L3 1.5 L21 1.5 0 0.3333 0.1667 10 0 1 0.3333 1.3333 10 0 0 3 2 5 (: 3)1 1.5 0 1/3 1/6 1 L1 = L1 13 L30 0 1 1/3 4/3 1 L2 = L2 13 L30 0 0 1 2/3 5/3

OBS: As variveis bsicas so aquelas cujos coeficientes so unitrios e os nicos nonulos na coluna.

u =49 3

2v +

118

y

w = 149

+149

y

x =53

+23

y

72

Captulo 5

Autovetores e Autovalores

5.1 IntroduoConsidere a matriz

A =

16 24 183 2 09 18 17 (5.1)

Em geral, para vetores {x} 3

[A] {x} = {y} (5.2)onde {y} , {x} e {y} 3.De todos os vetores {x} 3 existem vetores {x} tal que

[A] {x} = {x} (5.3)ou seja, {y} proporcional a {x}.Definio 5.1: Os vetores {x} que satisfazem 5.3 so chamadas auto-vetores de

[A].

Definio 5.2: As constantes de proporcionalidade, , so chamdas de auto-valores.

Por exemplo, 16 24 183 2 09 18 17

210

= 4

210

(5.4)OBS: Para que {x} e {y} pertenam ao mesmo espao vetorial, a matriz A tem que ser

quadrada. Assim, s matrizes quadradas possuem auto-valores e auto-vetores.Como encontrar os auto-valores e auto-vetores de A?

A x = x A x = I x [A I] {x} = {0} (Sist. de Eq. Homogneos)

(5.5)

73

onde [A I] a matriz caracterstica. 16 24 183 2 09 18 17 x

x1x2x3

=

000

(5.6)Se det [A I] , 0 a soluo do sistema {x} = {0}. Para que {x} , {0}, ento:

det [A I] = 0 (5.7)Para a matriz [A I] na equao 5.6, det [A I] = 0 leva

3 + 3 2 36 + 32 = 0m

( 4) ( 1) ( + 8) = 0Assim,

= 4 = 1 = 8

so auto-valores de [A].Forma geral para matrizes de ordem n:

(A I) q = 0det (A I) = 0 n + cn1 n1 + . . . + c1 + c0 = 0

5.1.1 Propriedades dos Auto-Valoresi). a equao caracterstica pode ser fatorada na forma

( 1) ( 2) . . . ( n) = 0

Assim, uma matriz de ordem n tem n auto-valores no necessariamente distintos.

ii). A soma dos termos da diagonal de A chamada de trao de A. Assim,

tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann = cn1 = 1 + 2 + ... + n

iii). det (A) = (1)n c0 = 1 2 . . . nAssim uma matriz singular deve ter pelo menos um auto-valor nulo.

iv). Sabendo- se que det A = det AT , ento os auto-valores de A e de AT so idnticos.

v). A equao caracterstica com coeficientes reais deve ter auto-valores reais ou umpar de auto-valores conjugados complexos. (a b i)

vi). Os auto-valores de uma matriz simtrica com coeficientes reais so reais.

74

vii). Se A for triangular

det (A I) = (a11 ) (a22 ) . . . (ann ) = 0

Assim, os termos da diagonal so auto-valores.

viii). Trocas de linhas e colunas correspondentes no afetam os auto-valores da matriz.

ix). Se a linha i de A multiplicada por f e a coluna i de A dividida por f , os auto-valores no mudam.

5.2 Mtodo de Interpolao1. Transforma o polinmio caracterstico em um polinmio de interpolao forward

de Newton.

2. Converte o polinmio forward de Newton em uma srie de potncias.

3. Calcula as razes da funo pelo mtodo de Bairstow.

Matriz de ordem N polinmio caracterstico de grau N. Se construirmos uma tabela f () para n + 1 valores uniformemente espaados

de , ento f () pode ser expresso por um polinmio de interpolao forward deNewton.

f () = g(s) =N

n=0

( sn

)n f0

com

fi = f (i), i = 0, 1, 2, . . . ,N

s = 0

i = i1 +

Como so calculados os fis ?

fi = f (i) = det (A i I)

75

Como escolhemos 0 e N ?Teorema de Gerschgorin (discos de Gerschgorin)Considere que os autovetores esto normalizados de forma que o maior ele-mento fique igual a 1. Assim, se o maior elemento do autovetor q o k-simo,

akk =j,k

ak j q j

como

| q j | 1 | akk | j,k

| ak j |

Antes de calcularmos os autovetores, no podemos saber qual a linha k dotermo mximo. Assim, os autovalores esto na unio dos discos centradosem cada um dos termos akk da matriz A com raio igual a

j,k

| ak j |

Por exemplo, o determinante de 0 e N para a matriz 3 1 51 3 55 5 1 r = 1 + 5 = 6 r = 1 + 5 = 6 r = 5 + 5 = 10

Figura 5.1: ?

0 = 11 e N = 9

Como transformar g(s) =N

n=0

( sn

)n f0 em g(s) = f0 +

Ni=1

bi s

( sn

)=

s (s 1) (s 2) . . . (s n + 1)n!

=

ni=1

cn,i si n 1

g(s) = f0 +N

n=1

ni=1

cn,i si n f0 = f0 +N

i=1

Nn=1

cn,i n f0

si= f0 +

Ni=1

bi si

76

onde

bi =N

n=i

cn,i n f0

cn,i =(1)n+i

n

(n1)!

(i1)! (ni)!k=1

1k

onde k so as combinaes (i 1) a (i 1) dos (n 1) primeiros nmerosnaturais.

Coeficientes de Markov, cn,i

n \ i 1 2 3 4 5 61 12 1/2 1/23 1/3 1/2 1/64 1/4 11/24 1/4 0.041675 1/5 5/12 0.29167 0.08333 0.008336 1/6 137/360 0.31250 0.11806 0.02083 0.0??39

Tabela 5.1: Coeficientes de Markov.

Nn=1

ni=1

cn,i si n f0

Figura 5.2: ?

Ni=1

Nn=i

cn,i n f0

si

c6,5 =(1)6+5

6

(61)!

(51)! (65)!k=1

1k

= 16

5!4! 1!k=1

1k

= 165

k=1

1k

77

{1 2 3 4 5} (n 1) primeiros nmeros naturais

Combinaes 4 a 4

1 2 3 4 1 2 3 4 = 24 = 11 2 3 5 1 2 3 5 = 30 = 22 3 4 5 2 3 4 5 = 120 = 31 3 4 5 1 3 4 5 = 60 = 41 2 4 5 1 2 4 5 = 40 = 5

c6,5 =16

[1

24+

130

+1

40+

160

+1

120

]= 1

48= 0.02083

Exemplo 5.18

Encontre a srie de potncias da equao caracterstica

f () = det

3 4 23 1 12 0 5

Soluo: g() = 71 + + 7 2 3

(3 ) (1 ) (5 ) + 8 (2) (2) (1 ) 12 (5 )= (3 2 + 2) (5 ) + 8 + 4 (1 ) 60 + 12 = 15 10 + 5 2 + 3 + 2 2 3 + 8 4 4 60 + 12

g() = 71 + + 7 2 3

Figura 5.3: ?

78

f (0) = det

3 4 23 1 12 0 5 = 15 + 8 4 60 = 71

f (3) = det

0 4 23 4 12 0 2 = 8 16 24 = 32

f (6) = det

3 4 23 7 12 0 1 = 21 + 8 28 + 12 = 29

f (9) = det

6 4 23 10 12 0 4 = 240 + 8 40 + 48 = 224

g(s) = f (?) + b1 s + b2 s2 + b3 s3

b1 = c1,1 1 f0 + c2,1 2 f0 + c3,1 3 f0 = 1 (32 + 71) 12 (b2 = c2,2 2 f0 + c3,2 3 f0b3 = c3,3 3 f0

5.3 Mtodo de Householder para Matrizes SimtricasConsidere o operador de Householder dado por:

[P] = [I] 2 {e} {e}T (5.8)onde {e} um vetor unitrio, isto , {e} {e} = 1.Considere o produto [P][P]T = [M]. Assim,

Mi j = Pik PTk j = Pik P jk = (Iik 2 ei ek) (I jk 2 e j ek) (5.9)

OBS: Assumimos que ndices repetidos no monmio implicamn1

.

Mi j = Iik I jk 2 Iik e j ek 2 ei ek I jk + 4 ei e j ek ek1

= Ii j 2 e j ei 2 ei e j + 4 ei e j= i j 4 ei e j + 4 ei e j = Ii j

[M] = [I] [P] [P]T = [I] (5.10)Logo [P]T = [P]1 [P] ortogonal (ortonormal).[P] simtrica?

Pi j = i j 2 ei e j = ji 2 e j ei = P ji (5.11)Assim, [P] = [P]T [P] simtrica.

79

Considere a transformao de um vetor {a} pelo operador de Householder:

[P] {a} = {b} (5.12)Vamos criar o vetor {e} em 5.8 a partir do vetor {a} como se segue:

i). Defina s como o comprimento de {a}. Assim,

s ={a} {a} =

{a}T {a} (5.13)

ii). Defina um vetor {c} tal que

{c} = {a1 + s(sinal de a1), a2, a3, . . . , an} (5.14)iii). Defina {e} como o vetor unitrio na direo de {c}:

{e} = {c}{c}T {c} = {c}|{c}| (5.15)Verifiquemos o que ocorre com a transformao 5.12:

[P] {a} =[I 2 c c

T

cT c

]{a} = {a} 2 {c} ({c}

T {a}){c}T {c} (5.16)

Mas

cT a = [a1 + s(S a1)] a1 +n

j=2 a2j =

nj=1 a

2j + a1 s(S

a1)= s2 + a1 s(S a1)

(5.17)

cT c = (a1 + s(S a1))2 +n

j=2 a2j =

nj=1 a

2j + s

2 + 2 a1 s(S a1)= 2 (s2 + a1 s(S a1))

(5.18)

Substituindo-se 5.17 e 5.18 em , obtemos:

[P] {a} = {a} 2 {c} (s2 + a1 s(S a1))

2 (s2 + a1 s(S a1))= {a} {c} (5.19)

{b} =

a1a2...

an

a1 + s(S a1)a2...

an

=s(S a1)

0...0

(5.20)Se quisermos zerar os ltimos (n 2) termos da primeira coluna de [A]nn, podemos

construir um operador de Householder do seguinte modo:

i). Defina s como o comprimento do vetor {a}n1 formado pelos ltimos (n 1) termosda coluna 1 de [A]:

s1 =

nj=2

A2j1 (5.21)

80

ii). Defina um vetor {c}1 tal que:

{c}1 = {0, A21 + s(S A21), A31, . . . , An1 (5.22)iii). Defina

{e}1 = {c}1{c} ={c}1{c}T1 {c}1

(5.23)

iv).P1 = I 2 e1 e

T1 (5.24)

P1 A1 =

x x x . . . xs1 x x . . . x0 x x . . . x0 x x . . . x...

......

. . ....

0 x x . . . x

(5.25)

Se multiplicarmos [P1 A1] por [P1]T teremos:

A2 = P1 A1 PT1 =

x s1 0 0 . . . 0s1 x x x . . . x0 x x x . . . x0 x x x . . . x...

......

.... . .

...0 x x x . . . x

(5.26)

Se a matriz P1 do primeiro passo zera os ltimos [n (1 + 1)] termos da coluna 1 eda linha 1 da matriz A1 = A gerando a matriz A2, a matriz P2 do segundo passo zera osltimos [n (2 + 1)] termos das colunas 2 e da linha 2 da matriz A2, gerando a matriz A3.Assim, no passo k a matriz Pk zera os ltimos [n (k + 1)] termos da coluna k e da linhak da matriz Ak, gerando a matriz Ak+1.

Aps n 2 passos de Householder, chegamos a uma matriz tridiagonal T .

[T ] = [H]T [A] [H] (5.27)

onde a matriz de Householder H :

[H] = PT1 PT2 . . . P

Tn2 (5.28)

As equaes 5.27 e 5.28 necessitam de2 n3

3multiplicaes, aproximadamente.

Mostraremos que as transformaes de Householder no afetam os auto-valores doproblema original.

81

det (A1 I) (5.29)

det (P1 A1 PT1 I) = det (A2 I) (5.30)De 5.30 e 5.10 temos

det (P1 A PT1 P1 PT1 )= det (P1 A PT1 P1 I PT1 )= det (P1 A PT1 P1 I PT1 )= det [P1 (A I) PT1 ]= det P1 det (A I) det PT1 ]= det P1 det P11 det (A I)= det (A I)

Assim, o polinmio caracterstico 5.29 idntico ao polinmio caracterstico 5.30.

Exemplo 5.19

Tridiagonalize a matriz simtrica:

A =

1.36 0.48 1.00 0.000.48 1.64 0.00 0.001.00 0.00 1.36 0.48

0.00 0.00 0.48 1.64

Soluo:

Passo 1:

i). s1 =4

j=2 A2j1 =

(0.48)2 + (1.00)2 + 02 = 1.109

s21 = 1.230

ii). c1 = {0, 0.48 1.109, 1, 0} = {0, 1.589, 1.0, 0}

iii). e1 =c1

1.878= {0(Z), 0.8464(X), 0.5326(Y), 0(W)}

iv). P1 = I 2 e1 eT1 =

1 0 0 00 0.4327 0.9015 00 0.9015 0.4327 00 0 0 1

v). A2 = P1 A1 P

T1 =

1.360 1.109 0 01.109 1.412 0.1092 0.4327

0 0.1092 1.588 0.20770 0.4327 0.2077 1.640

82

Passo 2:

i). s2 =

4j=3

A2j2 =

(0.1092)2 + (0.4327)2 = 0.4463

s22 = 0.1992

ii).c2 = {0, 0, 0.1092 + 0.4463, 0.4327}

= {0, 0, 0.5555, 0.4327}iii). e2 = {0, 0, 0.7889, 0.6145}

iv). P2 = I 2 e2 eT2 =

1 0 0 00 1 0 00 0 0.2447 0.96960 0 0.9696 0.2447

v). A3 = P2 A2 P

T2 =

1.360 1.109 0 01.109 1.412 0.4463 0

0 0.44630 1.538 0.19530 0 0.1953 1.689

OBS: Esta matriz poderia ter sido obtida por

T = A3 = HT A H

onde

H = PT1 PT2 =

1 0 0 00 0.4327 0.2206 0.87410 0.9015 0.1059 0.41960 0 0.9696 0.2447

5.3.1 Autovalores de uma Matriz Tridiagonal

Como calcularemos os autovalores de uma matriz tridiagonal?

T =

a1 b1 0 0 0 . . . 0 0 0 0b1 a2 b2 0 0 . . . 0 0 0 00 b2 a3 b3 0 . . . 0 0 0 00 0 b3 a4 b4 . . . 0 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 0 . . . bn4 0 00 0 0 0 0 . . . an3 bn3 0 00 0 0 0 0 . . . bn3 an2 bn2 00 0 0 0 0 . . . 0 bn2 an1 bn10 0 0 0 0 . . . 0 0 bn1 an

83

Chamemos Tn T I. Assim, o polinmio caracterstico de T pode ser escritocomo:

det (Tn) = det (T I) (5.31)Como calcularemos det (Tn)?

det (Tn) = [an ] . det (Tn1) bn1 . Dn,(n1) (5.32)onde Tn1 a matriz obtida eliminando-se a linha e a coluna n da matriz Tn e Dn, (n1) omenor complementar do elemento Tn,(n1) da matriz Tn, ou seja, o determinante da matrizobtida aps a eliminao da linha n e da coluna (n 1) (vide figura abaixo).

T =

a1 b1 0 0 0 . . . 0 0 0 0b1 a2 b2 0 0 . . . 0 0 0 00 b2 a3 b3 0 . . . 0 0 0 00 0 b3 a4 b4 . . . 0 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 0 . . . bn4 0 00 0 0 0 0 . . . an3 bn3 0 00 0 0 0 0 . . . bn3 an2 bn2 00 0 0 0 0 . . . 0 bn2 an1 bn10 0 0 0 0 . . . 0 0 bn1 an

Dn, (n1) =

a1 b1 0 0 0 . . . 0 0 0b1 a2 b2 0 0 . . . 0 0 00 b2 a3 b3 0 . . . 0 0 00 0 b3 a4 b4 . . . 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 0 . . . bn4 00 0 0 0 0 . . . an3 bn3 00 0 0 0 0 . . . bn3 an2 00 0 0 0 0 . . . 0 bn2 bn1

O determinante Dn, (n1) pode ser determinado por

Dn, (n1) = bn1 . det (Tn2) (5.33)

Substituindo-se 5.33 em 5.32, obtemos

det (Tn) = [an ] . det (Tn1) [bn1]2 . det (Tn2) (5.34)Chamando-se pi = det (Ti) o polinmio caracterstico associado a sub-matriz Ti for-

mada pelas i primeiras linhas e colunas da matriz Tn e em vista da expresso 5.34 podemosescrever

84

pi() = [ai ] . pi1() [bi1]2 . pi2() (5.35)Observe que a equao caracterstica, para a qual desejamos obter as razes,

pn() = [an ] . pn1() [bn1]2 . pn2() = 0 (5.36)que recorre a polinmios caractersticos das submatrizes principais de ordens 1 a n 1recursivamente. Assim, pn() pode ser calculado pela seguinte seqncia de Sturn

p0() = 1p1() = [a1 ] . p0()p2() = [a2 ] . p1() [b1]2 . p0()p3() = [a3 ] . p2() [b2]2 . p1()

.

.

.pi() = [ai ] . pi1() [bi1]2 . pi2()

.

.

.pn() = [an ] . pn1() [bn1]2 . pn2() = 0

(5.37)

Obs: A seqncia de Sturm tem a seguinte propriedade: cada raiz de um polinmio pi()fica entre duas razes consecutivas do polinmio de ordem inferior pi1(), exceto a pri-meira e a ltima raiz de pi(). Assim, podemos utilizar o mtodo da bisseo para calcu-larmos os autovalores da matriz tridiagonalizada.

Figura 5.4: ?

5.4 Mtodo da PotnciaTrs verses:

i). Regular calcula o maior autovalor.ii). Inverso calcula o menor autovalor.

iii). Deslocado (shifted) calcula qualquer autovalor.

85

5.4.1 RegularSuponha que A NN diagonalizvel, isto ,

X1 A X = diag (1, . . . , n) =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . n

(5.38)onde

X = [ x1 , x2 , . . . , xn ] (5.39)xi o i-simo autovetor.

|1| > |2| |3| . . . |n| (5.40)Dada a norma Euclideana e um vetor q(0) N , o mtodo da potncia produz uma

sequncia de vetores q(k) como se segue (assume-se 1 ):

f or k = 1, 2, . . .

Z(k) = A q(k1) (5.41)

q(k) = Z(k) / || Z

(k) ||2 (5.42)

(k) = [ q(k) ]H A q

(k) (5.43)

endonde

|| Z(k) ||2 = [(Z(k)1 )

2 + (Z(k)2 )2 + . . . + (Z(k)n )

2]1/2 (5.44)

[ q(k) ]H Transposta Hermitiana de q(k) (5.45)

Convergncia do MtodoSe

q(0) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn (5.46)e a1 , 0, ento

A q(0) = a1 A x1 + a2 A x2 + . . . + an A xn =

= a1 1 x1 + a2 2 x2 + . . . + an n xn(5.47)

A2 q(0) = a1

21 x1 + a2

22 x2 + . . . + an

2n xn (5.48)

86

Ak q(0) = a1 k1 x1 + a2 k2 x2 + . . . + an kn xn =

= a1 k1

x1 + nj=2

a ja1

( j

1

)kx j

(5.49)Mas

q(k) =1

k1i=0

|| A q(i) ||

Ak q(0)

(6)=

(12)

a1 k1k1i=0

|(?)|

x1 + nj=2

a ja1

( j

1

)???

(5.50)

Assim, medida que k , (k) se aproxima de x1 e a cada iterao a diferenaentre q(k) e x1 da ordem de

21k.

Quando a ordem 5.40 ocorre, dizemos que 1 o autovalor dominante.OBS: O mtodo da potncia converge se 1 dominante e se q(0) tiver uma compo-

nente na direo de x1 (autovetor dominante).

5.4.2 InversoConsidere o problema de auto-valores

A x = x (5.51)Assim, pre-multiplicando 5.51 por A1 e dividindo por

1

A1 A x = A1 x A

1 x =

1

x (5.52)Equao 5.52 o problema de autovalores

A1 x = (5.53)onde

=1

(5.54)

Observa-se que os autovalores do problema 5.53 so recprocos dos autovalores doproblema 5.51. Se aplicarmos o mtodo regular ao problema 5.53 encontraremos o auto-valor dominante de A1 que corresponde a 1/n.

Dada a norma Euclideana e um vetor q(0) N , o mtodo da potncia produz umasequncia de vetores q(k) como se segue:

f or k = 1, 2, . . .

Z(k) = A1 q

(k1) ou resolva o sitema A Z

(k) = q

(k1) (5.55)

87

q(k) = Z(k) /|| Z

(k) ||2 (5.56)

(k) = [ q(k) ]H A1 q

(k) ou

1(k)

= [ q(k) ]H A q

(k)

(k)N = [ q(k) ]

H A q(k) (5.57)

end

5.4.3 Deslocado (Shifted) ou WielandtEncontra qualquer autovalor desde que seja real e separado.Considere

A qi = i qi (5.58)subtraindo-se I qi dos dois lados de 5.58, temos

( A I ) qi = (i ) qi (5.59)chamando-se A = A I, a equao 5.59 fica

A qi = i qi (5.60)onde

i = i (5.61)Considere agora o mtodo inverso aplicado sobre o problema 5.60

A1 qi =iqi

(5.62)

onde

i =1i

=1

i (5.63)

O problema 5.62 encontrar o autovalor dominante de A1 (ou o n de A, em 5.60).Se escolhermos prximo a i e tal que i > 0, ento i =

1i ser o autovalor

dominante de A1 e i = i ser o menor autovalor de A. Assim

i = i + (5.64)

88

5.5 Mtodo da Iterao QR um mtodo de transformao. Os mtodos de transformao utilizam as propriedades bsicas dos autovalores na

matriz

X = [ x1 x2 . . . xn ] (5.65)

cujas colunas so os N autovetores da matriz A do problema de autovalores

A xi = i xi (5.66)

A matriz X diagonaliza a matriz A , ou seja,

XT A X = (5.67)onde

= diag (1, 2, . . . , n) (5.68)

O princpio bsico dos mtodos de transformao construir X de forma iterativaaplicando transformaes de similaridade com o objetivo de diagonalizar A .

A1 = AA2 = P

T1 A1 P1

A3 = PT2 A2 P2 = P

T2 P

T1 A1 P1 P2

...Ak+1 = P

Tk Ak Pk = P

Tk P

Tk1 . . . P

T2 P

T1 A P1 P2 . . . Pk1 Pk

(5.69)Quando k ,

Ak+1 (5.70)

5.5.1 Mtodo de Jacobi

Ak+1 = PTk Ak Pk (5.71)

onde Pk uma matriz ortonormal

PTk Pk = I (5.72)No mtodo de Jacobi a matriz Pk uma matriz de rotao selecionada de forma a

zerar um elemento fora da diagonal de Ak .Para zerar o elemento (i, j).

89

Pk =

1. . .

1cos sen

1. . .

1sen cos

1. . .

1

i

j

i j

(5.73)

onde o ngulo tal quetan (2 ) =

2 a(k)i ja(k)ii a(k)j j

p/ a(k)ii , a(k)j j

=pi

4, p/ a(k)ii = a

(k)j j

(5.74)

Varreduras por linha ou por coluna n (n 1) matrizes P . Elementos que foram zerados podem deixar de ser zero durante o processo. Vrias varreduras so necessrias.

Ai j = A ji = 0 = PTik Akl Pl j = P ji Akl Pl j 0 =

nl=1

nk=1

Pki Akl

Pl j = nl=1

[Pii Ail + P ji A jl

]Pl j =

= Pii Aii Pi j + Pii Ai j P j j + P ji A ji Pi j + P ji A j j P j j

= cos Aii (sen ) + cos Ai j cos + sen A ji (sen ) + sen A j j cos = sen cos (Aii A j j) + (cos2 sen2 ) Ai j sen cos (Aii A j j) = (cos2 sen2 ) Ai jsen 2 cos 2

=2 Ai j

Aii A j j

tan (2 ) =2 Ai j

Aii A j j

A multiplicao em 5.71 afeta apenas os termos da matriz Ak nas linhas i e j e nascolunas i e j. Assim,

90

Figura 5.5: ?

(Aii)k+1 = (Aii cos2 + 2 Ai j cos sen + A j j sen2 )k(A j j)k+1 = (Aii sen2 2 Ai j cos sen + A j j cos2 )k(Ai j)k+1 = (A ji)k+1 = 0(Ali)k+1 = (Ail)k+1 = (Ali cos + Al j sen )k(Al j)k+1 = (A jl)k+1 = (Ali sen + Al j cos )k

(5.75)

5.5.2 Mtodo QRO passo bsico do mtodo decompor a matriz A na forma

A = Q R (5.76)onde Q uma matriz ortogonal e R uma matriz triangular superior.

Depois, formamos a matriz R QR Q = Q

T A Q (5.77)

A = Q R QT A Q = Q

T Q

I

R Q = R Q

OBS: O produto R Q corresponde a uma transformao de similaridade em A .

Como obtemos a decomposio Q R ?Aplicamos matrizes de rotao de Jacobi para transformar A em R . Assim

PTn, n1 . . . PT3,1 P

T2,1

QT

A = R (5.78)

Processo iterativo A1 = A(5.78)

Ak = Qk Rk(5.79)

Ak+1 = R? Q? (5.80)

91

Ak+1 Q1 . . . Qk1 Qk X

}k

Se aplicarmos matrizes de rotao de Jacobi para transformar A em R (triangular su-perior).

Com i > j :

Ri j = 0 = PTik Ak j = Pki Ak j= P ji A j j + Pii Ai j

= sen A j j + cos Ai j tan = Ai jA j j

ou

sen A j j = cos Ai j sen2 A2ji cos2 A2i j = 0 sen2 A2j j (1 sen2 ) A2i j = 0

sen2 (A2j j + A2i j) = A2i j sen =Ai j

A2i j + A2j j

cos =A j j

A2i j + A2j j

92

Captulo 6

Soluo de Problemas de ValoresIniciais de Equaes DiferenciaisOrdinrias

6.1 Introduo

6.1.1 Problema da Queda Livre

Figura 6.1: Problema de queda livre

Segunda Lei de Newton

m g = m d2y

dt2 d

2ydt2

= g (6.1)

Chamando-se v =dydt

reescrevemos 6.1 como

dvdt

= g (6.2)Integrando-se 6.2, obtemos

v =

g dt = g t + c1 v = g t + c1 (6.3)Assim

dydt

= g t + c1 (6.4)

93

Integrando-se 6.4, obtemos

y (t) = 12

g t2 + c1 t + c2 (6.5)

Para determinarmos c1 e c2, precisamos de duas condies iniciais. Em

t = 0{

v = v0 (a)y = y0 (b)

(6.6)

De 6.6.a e 6.3 temos

v0 = g 0 + c1 c1 = v0 (6.7)De 6.7, 6.6.b e 6.5 temos

y0 = 12 g 02 + v0 0 + c2 c2 = y0 (6.8)

Assim, substituindo-se 6.7 e 6.8 em 6.5, temos

y (t) = y0 + v0 t 12 g t2 (6.9)

v (t) = v0 g t (6.10)Suponha que o corpo solto da altura H, isto , as condies iniciais do problema so

v0 = 0 (a)y0 = H (b)

(6.11)

Assim a soluo do problemad2ydt2

= g

y (t) = H 12

g t2 (a)

v (t) = g t (b)(6.12)

6.1.2 Problema da Queda Livre com Resistncia do Ar

Figura 6.2: Problema de queda livre com resistncia do ar

Segunda Lei de Newton

c v m g = m d2y

dt2(6.13)

94

d2ydt2 c

mdydt

+ g = 0 (6.14)

ou

dvdt c

mv + g = 0 (6.15)

ou dvdt

= f (v, t)

com v (0) = v0(6.16)

Estudaremos problemas do tipo 6.16 onde f (v, t) pode, inclusive, ser uma funono-linear de v .

Como resolver o problema 6.15 ?Mtodo analtico {

v a v = b (a)v (0) = v0 (b)

(6.17)

Multiplicando-se 6.17.a por ea t temos

ea t (v a v) = ea t b (6.18)Mas

ddt

(v ea t) = v ea t a v ea t = ea t (v a v) (6.19)Assim 6.18 fica

ddt

(v ea t) = ea t b (6.20)

Integrando-se 6.20, temos

ea t = ba

ea t + c1 (6.21)

Aplicando-se a condio inicial 6.17.b a 6.21, temos

?e0 v0 = ba e0 + c1 c1 = v0 + ba? (6.22)

Substituindo-se 6.23 em 6.21 e multiplicando-se por ea t , temos

v (t) = v0 ea t +ba

(ea t 1) (6.23)

OBS: Exemplos de equaes diferenciais ordinrias:

1a ordem: v a v = f (t)2a ordem: v + p v + q v = f (t)

95

6.1.3 Mtodos Numricos para Problemas de Valor-InicialA soluo exata do problema{

u = f (t, u) E.D.Ou (0) = u0 I.C.

contnua no tempo. Nos mtodos numricos tentamos acompanhar a soluo deforma discreta do tempo. Assim, comeando de u (0) = u0 , damos um passo finito t decada vez e esperamos que depois de n passos a soluo numrica un u (n t) .

Devemos nos preocupar com:

1. Preciso: o erro u (n t) un tem a seguinte forma E = C (t)p . Para reduzir oerro podemos aumentar a ordem de preciso, p , ou diminuir t .

2. Simplicidade: o passo de un para un+1 pode ser rpido ou vagaroso, dependendoda quantidade de vezes que calculamos f (t, u) .

3. Estabilidade: em cada passo, pequenos erros so introduzidos. Se o erro acumu-lado crescer de forma descontrolada o resultado intil.

Procedimento numrico (mtodo da varivel discreta): constri valores aproximados

u0, u1, u2, . . . , un, . . .

da soluo exata nos tempos

t0, t1, t2, . . . , tn, . . .

dada por

u (t0), u (t1), u (t2), . . . , u (tn), . . .

Como determinar u1 a partir de u0 e f (t0, u0) ?

Mtodos

One-step (passo-simples) Stepwise (passo-a-passo) Starting methods (de inicializao)

Precisam do conhecimento de un para determinar un+1 .

Mtodos

Multistep (passo-mltiplo) Continuing Methods (de continuao)

96

Precisam do conhecimento de un, un1, . . . para determinar un+1

OBS: Todo mtodo de passo-mltiplo precisa de um mtodo de inicializao (passo-simples) para obter os valores iniciais do mtodo.

Qual a sensibilidade da soluo com relao s condies iniciais ou a outros parme-tros do problema?

Convergncia: t 0 yi u (ti) ?Erros:

Frmula (ou truncamento, ou discretizao) Erro de arredondamento

6.2 Mtodos de Euler

6.2.1 Forward EulerDado o problema {

u = f (u, t)u(?) = u0

(6.24)

Substituindo-se a derivada u pelo operador diferencial

dudt un+1 un

t(6.25)

Assim

un+1 unt

= f (un, tn)

un+1 = un + t f (un, tn) (6.26)Comeando da condio inicial temos

u1 = u0 + t f (u0, t0)u2 = u1 + t f (u1, t1)...

...un+1 = un + t f (un, tn)

(6.27)

OBS:

1. Preciso aumenta para t pequeno mas no pode usar t muito pequeno por causado erro de arredondamento. Erros de truncamento tambm ocorrem.

2. O mtodo simples e explcito, isto , calcula un+1 diretamente a partir dos valoresem tn .

3. Instabilidade pode ocorrer.

97

6.2.2 Backward Euler

Substituimos u em 6.24 por5u5t

un+1 un+1 untn+1 tn =

un+1 unt

(6.28)

Assim

un+1 unt

= f (un+1, tn+1)

un+1 = un + t f (un+1, tn+1) (6.29)

OBS:

1. Preciso a mesma do Forward Euler.

2. Mtodo implcito, isto , un+1 no calculado diretamente a partir dos valores notempo tn .

3. Mais estvel.

6.2.3 Mtodo de Euler ModificadoDados

u = f (u, t)un, f (un, tn), t

escrevemos

un+1 = un + tn+1

tnu dt = un +

tn+1tn

f (u, t) dt (6.30)

Aplicando regra do trapzio para integrao, temos

un+1 = un +t2

[ f (un+1, tn+1) + f (un, tn)] (6.31)

6.3 Mtodos de Runge-Kutta

6.3.1 IntroduoProblema

u = f (u, t)u (0) = u0

(6.32)

no intervalo [tn, tn+1]

un+1 = un + tn+1

tnf (v, t) dt (6.33)

98

Os mtodos de Runge-Kutta so derivados aplicando-se integrao numrica paraaproximar a integral em 6.33.

I = tn+1

tnf (v, t) dt (6.34)

Regra do Trapzio (t = h)

I h2

[ f (vn, tn) + f (vn+1, tn+1)] (6.35)

Regra 1/3 de Simpson (h = h/2)

Figura 6.3: Regra de 1/3 de Simpson

I h3

h/6

[ f (vn, tn) + 4 f (vn+ 12 , tn+ 12 ) + f (vn+1, tn+1)] (6.36)

Regra 3/8 de Simpson (h = h/3)

Figura 6.4: Regra de 3/8 de Simpson

I 3h8

h/9

[ f (vn, tn) + 3 f (vn+ 13 , tn+ 13 ) + 3 f (vn+ 23 , tn+ 23 ) + f (vn+1, tn+1)] (6.37)

Para obtermos os valores de f (v, t) nos pontos intermedirios do intervalo basta ob-termos os valores de v e t nos pontos intermedirios. Isto feito obtendo-se uma esti-mativa aplicando-se Forward Euler.

Assim,

99

vn+ 12 = vn +h2

f (vn, tn) (6.38)

vn+ 13 = vn +h3

f (vn, tn) (6.39)

vn+ 23 = vn +2 h3

f (vn, tn) (6.40)

vn+1 = vn + h f (vn, tn) (6.41)

6.3.2 Runge-Kutta de Segunda OrdemBaseado na Regra do Trapzio

vn+1 = vn +h2

[ f (vn, tn) + f (vn+1, tn+1)] (6.42)

onde vn+1 = vn + h f (vn, tn)chamando-se

k1 = h f (vn, tn) (6.43)vn+1 = vn + k1 (6.44)k2 = h f (vn + k1, tn+1) (6.45)

temos

vn+1 = vn + 12 [k1 + k2] (6.46)

6.3.3 Runge-Kutta de Terceira OrdemBaseado na Regra 1/3 de Simpson

vn+1 = vn +h6

[ f (vn, tn) + 4 f (vn+ 12 , tn+ 12 ) + f (vn+1, tn+1)] (6.47)

vn+ 12 = vn +h2

f (vn, tn) (6.48)

Figura 6.5: ?

A estimativa vn+1 pode ser obtida de vrias maneiras

100

i).vn+1 = vn + h f (vn, tn) (6.49)

ii).vn+1 = vn + h f (vn+ 12 , tn+ 12 ) (6.50)

iii). Combinao linear de i) e ii)

vn+1 = vn + h [ f (vn, tn) + (1 ) f (vn+ 12 , tn+ 12 )] (6.51)O valor timo de = 1 . Assim

vn+1 = vn + h [ f (vn, tn) + 2 f (vn+ 12 , tn+ 12 )] (6.52)

Chamando-se

k1 = h f (vn, tn) (6.53)

vn+ 12 = vn +12

k1 (6.54)

k2 = h f (vn +12

k1, tn +h2

) (6.55)

k3 = h f (vn k1 + 2 k2, tn + h) (6.56)

vn+1 = vn +16

(k1 + 4 k2 + k3) (6.57)

6.3.4 Runge-Kutta de Quarta OrdemBaseado na Regra 3/8 de Simpson

vn+1 = vn +h8

[ f (vn, tn) + 3 f (vn+ 13 , tn+ 13 ) + 3 f (vn+ 23 , tn+ 23 ) + f (vn+1, tn+1)]

Chamando-se

k1 = h f (vn, tn)

k2 = h f(vn +

13

k1, tn +h3

)vn+ 13 = vn +

13

k1

vn+ 23 = vn+ 13 +h3

f (vn+ 13 , tn+ 13 )

101

= vn +13

k1 +13

k2

k3 = h f(vn +

k13

+k23, tn +

2 h3

)vn+1 = vn + h f (vn) h f (vn+ 13 ) + h f (vn+ 23 )

k4 = h f (vn + k1 k2 + k3, tn + h)

vn+1 = vn +18

[k1 + 3 k2 + 3 k3 + k4]

Derivem em casa a eq. 9.3.17 da pgina 330.

6.4 Mtodos Preditores-CorretoresConsistem de dois passos:

1. Preditor: estima a soluo para um novo ponto.

2. Corretor: melhora a preciso da estimativa.

6.4.1 Introduo

Figura 6.6: ?

= t tn (6.58)Problema: {

u = f (u, t)u (0) = u0

(6.59)

un+1 = un + h

0u () d (6.60)

Idia do mtodo:

102

desenvolver uma funo de interpolao para u () baseada em valores de ui ,em pontos ti, i n , conhecidos.

integrar 6.60 analiticamente, obtendo uma extrapolao para un+1 (preditor). calcular un+1 = f (un+1, tn+1) desenvolver uma nova funo de interpolao para u () baseada em ui, i n e

un+1

??? analiticamente obtendo un+1 (corretor).

6.4.2 Mtodo Preditor-Corretor de Adams de Terceira Ordemi). Clculo da funo de extrapolao u () baseada nos pontos tn2, tn1 e tn

u () =( n2) ( n1)

(n n2) (n n1) un

+( n) ( n2)

(n1 n) (n1 n2) un1

+( n1) ( n)

(n2 n1) (n2 n) un2 =

=[ (2 h)] [ (h)][0 (2 h)] [0 (h)] u

n

+[ 0] [ (2 h)]

[h 0] [h (2 h)] un1

+[ (h)] [ 0]

[2 h (h)] [2 h 0] un2

u () =1

2 h2[( + 2 h) ( + h) un 2 ( + 2 h) un1 + ( + h) () un2

]+ E ()

(6.61)

O erro da interpolao de Lagrange

E (x) (x x0) (x x1) . . . (x xn)(n + 1)!

f (N+1) (xm) (6.62)

onde, N + 1 o nmero de pontos de interpolao e xm o ponto mdio dointervalo de interpolao. Assim

E () ( 0) ( + h) ( + 2 h)3!

d3(u)dt3

() =16 ( + h) ( + 2 h) u iv ()

???(6.63)

103

ii). Clculo da integral em 6.60

I = h

0u () d

=1

2 h2

[ h0

(2 + 3 h + 2 h2) un d h

0(2 2 + 4 h ) d un1 +

h0

(2 + h ) d un2

]+ O (h4)

=h

12(23 un 16 un1 + 5 un2) + O (h4) (6.64)

iii). Frmula preditora de terceira ordem de Adams-Bashforth

un+1 = un +h

12(23 un 16 un1 + 5 un2) + O (h4) (6.65)

onde O (h4) = 38 h4 u iv () e tn2 < < tn+1 obtido integrando-se a equao

6.63.

iv). Clculo de un+1

un+1 = f (un+1, tn+1) (6.66)

v). Clculo da funo de interpolao u () baseada nos valores un+1, un, u

n1

u () =1

2 h2[ ( + h) un+1 2 ( h) ( + h) un + ( h) un1

]+ E () (6.67)

E () =1?

( h) ( + h) uiv () , tn1 < < tn+1 (6.68)

vi). Clculo da frmula corretora de terceira ordem de Adams-Moulton.

Integrando-se 6.67 e substituindo-se o resultado em 6.60, temos

un+1 = un +h

12(5 un+1 + 8 u

n un1) + O (h4) (6.69)

onde

O (h4) = 124

h4 uiv () , tn1 < < tn+1 (6.70)

As expresses 6.65, 6.66 e 6.69 constituem o mtodo preditor-corretor de ter-ceira ordem de Adams.

vii). Como iniciamos o mtodo?

104

userPencil

userCalloutNo tem linha

Para iniciarmos o mtodo, precisamos de valores conhecidos em t0, t1, et2 . Em t0 temos a condio inicial do problema. Em t1 e t2 podemos estimar os valores pelo mtodo de Runge-Kutta ou

algum outro mtodo.

6.4.3 Mtodo Preditor-Corretor de Adams de Quarta Ordemi). Clculo da funo de extrapolao u () baseada nos pontos tn3 , tn2 , tn1

e tnUtilizando a interpolao de Lagrange, temos

u () =1

6 h3[3 + 6 h 2 + 11 h2 + 6 h3

]un

12 h3

[3 + 5 h 2 + 6 h2

]un1

+1

2 h3[3 + 4 h 2 + 3 h2

]un2

16 h3

[3 + 3 h 2 + 2 h2

]un3 + E () (6.71)

onde

E () =( 0) ( + h) ( + 2 h) ( + 3 h)

4!d4 (u)

dt4()

=1

24( + h) ( + 2 h) ( + 3 h) uv () (6.72)

tn3 < < tn+1

ii). Frmula preditora de quarta ordem

Integrando-se 6.71 e substituindo-se em 6.60, temos

un+1 = un +h

24(55 un 59 un1 + 37 un2 9 un3) + O (h5) (6.73)

onde

O (h5) =251720

h5 uvi () , tn3 < < tn+1 (6.74)

obtida integrando-se a equao 6.72.

iii). Clculo de un+1

un+1 = f (un+1, tn+1) (6.75)

105

iv). Clculos da frmula corretora de quarta ordem de Adams-Moulton

Determina-se a funo de interpolao u () baseada nos valores un+1 , un, un1 , u

n+2 .

Integra-se h0

u () analiticamente e substitui-se na equao 6.60, obtendo-se

un+1 = un +h

24(9 un+1 + 19 u

n 5 un1 + un2

)+ O (h5) (6.76)

onde

O (h5) = 19720

h5 uv () , tn2 < < tn+1 (6.77)

As expresses 6.73, 6.75 e 6.76 constituem o mtodo preditor-corretor de quartaordem de Adams.

6.4.4 Vantagens e Desvantagens Vantagens

Eficiente: necessita calcular f (u, t) apenas duas vezes em cada passo. Omtodo de Runge-Kutta de quarta ordem calcula f (u, t) quatro vezes emcada passo.

Erro local pode ser estimado em cada passo.

Desvantagens Precisa de outro mtodo para iniciar o processo, obtendo valores em t1 , t2

e t3 , alm da condio inicial em t0 .

No fcil mudar o tamanho de h durante o processo. No pode ser utilizado se u se tornar descontnua no meio do intervalo.

Exemplo 6.20

Resolva o problema

d2xdt2

+ t2dxdt

+ 3 x = t

x (0) = 1

dxdt

(0) = 2

Utilize

1. Forward Euler: un+1 = un + h f (un, tn)

106

2. Backward Euler: un+1 = un + h f (un+1, tn+1)

3. Mtodo de Euler modificado: un+1 = un +h2

[ f (un+1, tn+1) + f (un, tn)]

4. Runge-Kutta de terceira ordem:

k1 = h f (un, tn)

k2 = h f (un +12

k1, tn +h2

)

k3 = h f (un k1 2 k2, tn + h)un+1 = un +

16

(k1 + 4 k2 + k3)

5. Preditor-corretor de Adams de terceira ordem

un+1 = un +h

12(23 un 16 un1 + 5 un2)

un+1 = f (un+1, tn+1)

un+1 = un +h

12(5 un+1 + 8 u

n un1)

Use h = 0.1 s

6.5 Equaes Diferenciais Ordinrias RgidasDefinio: Equaes Diferenciais Ordinrias so ditas rgidas quando a soluo

uma funo suave, mas requer um t muito pequeno no mtodo numrico para manterestabilidade.

Por exemplo, {y = y + s (t)y (0) = y0

(6.78)

1|| denominada constante de tempo.

Soluo exata de 6.78 :

Ses (t) = 0 ty (t) = y0 e t (6.79)

Ses (t) , 0

y (t) = y0 e t + e t t

0s () e d (6.80)

107

OBS: A soluo de problemas de E.D.O. rgidas pelos mtodos de Runge-Kutta ouPreditor-Corretor so difceis ou, s vezes, impossvel.

Se aplicarmos o mtodo de Runge-Kutta de quarta-ordem ao problema 6.78 a soluo

se torna instvel para h > 2.7851|| . Assim, quando

1|| 0 o mtodo tem de utilizar

h 0 para manter a estabilidade. Por exemplo, para

= 100000 h < 2.785100000

= 0.000002785 10

s para manter a estabilidade.

Figura 6.7: ?

OBS: Se em um sistema de E.D.O.s uma E.D.O. rgida, t tem de ser pequenopara manter estabilidade da soluo do sistema.

y = 1 y + 1 z + 3z = 107 z + 1 y 1|| =

1107

(muito pequeno) (6.81)

Alguns mtodos para soluo de E.D.O.s rgidas utilizando t grande, foram pro-postos.

6.5.1 Mtodos Implcitos

{y = f (y, z, t)z = g (y, z, t) com

{y (0) = y0z (0) = z0

(6.82)

Usando Backward Euler{yn+1 yn = h f (yn+1, zn+1, tn+1) h fn+1zn+1 zn = h g (yn+1, zn+1, tn+1) h gn+1 (6.83)

Se f e g forem funes no-lineares, 6.83 no pode ser resolvida de forma fe-chada (exata) e mtodos iterativos, tais como o das substituies sucessivas, podem serusados mas no so eficientes. Uma opo mais eficiente linearizar as equaes 6.83por expanso de Taylor.

fn+1 = fn + fy

y + fz

z + ft

t

gn+1 = gn +gy

y +gz

z +gt

th

(6.84)

108

6.84 6.83[

1 00 1

] h

fy

fz

gy

gz

[

yz

]=

h fn + h2

ft

h gn + h2gt

(resolve por eliminao de Gauss)

(6.85)

ou

(I h J) y = Lado direito (resolve por eliminao de Gauss)

(6.86)

onde

I = Identidade J = Matriz Jacobiana

y ={

yz

}OBS: Incondicionalmente estvel.

6.5.2 Mtodo ExponencialIdias Bsicas

Suponha

y = f (y, t) (6.87)

onde f (y, t) no inclui t explicitamente. Adicionando-se c y aos dois lados de6.87, temos:

y + c y = f (y, t) + c y (6.88)

onde c constante.Multiplicando-se 6.88 por ec t , temos

y ec t + c y ec t = [ f (y, t) + c y] ec t (6.89)

ddt

(y ec t) = [ f (y, t) + c y] ec t (6.90)

tn+1tn

[dd

(y ec )]

d = tn+1

tn

[f (y, ) + c y

]ec d (6.91)

y (tn+1) e c tn+1 y (tn) e c tn = h

0[ f (y (tn + ), tn + ) + c y (tn + )] e c (tn+) d (6.92)

109

Figura 6.8: Parametrizao

multiplicando-se por ec tn+1 , temos

y (tn+1) = y (tn) ec (tn+1tn) +

+

h0

[ f (y (tn + ), tn + ) + c y (tn + )] e c ((tn+1tn)) d (6.93)

y (tn+1) = y (tn) ec h + h

0[ f (y (tn + ), tn + ) + c y (tn + )] e c (h) d (6.94)

Vrios mtodos podem ser deduzidos utilizando-se aproximaes para f + c y nointegrando de 6.94. No entanto, a preciso da aproximao vai depender do valor de c .

Uma aproximao de c comumente utilizada

c = fy

(tn) = ( fy

)n

(6.95)

OBS: Quando f (y, t) no tem dependncia explcita de

fy

=f

f

( ft

? fy

yt

= fy

f)

(6.96)

Assim

c = (

f

f

)n

(6.97)

6.5.3 Mtodo de Ajuste ExponencialAproximao:

[ f (y, tn + ) + c y (tn + )] fn + c yn (6.98)Equao 6.94 reduz-se a

yn+1 = yn + h fn Forward Euler

[1 ec h

c h

](6.99)

OBS: O mtodo 6.99 incondicionalmente estvel

Se h 0 yn+1 yn, pois 1 ec h 0Se h

[1 1

e c h

] 1

Modificao do mtodo 6.99 para melhorar a soluo

110

1. Utilizar 6.99 como um preditor

yn+1 = yn + fn

[1 ec h

c

](6.100)

ou no intervalo tn < t < tn+1

= t tn

y (t) = yn +[1 ec

c

]fn (6.101)

2. Reescrevemos 6.94 como corretor

yn+1 = yn+1 + h

0[ f (y (tn + ), tn + ) fn + c y (tn + ) c yn] e c(? (6.102)

A integral pode ser resolvida

(a) Analiticamente (se f for simples)

(b) Interpolao linear de [ ]

(c) Regra do Trapzio

interpolao linear

[ f (y (tn + )) fn + c y (tn + ) c yn] B (6.103)onde

B =fn+1 fn + c (yn+1 yn)

h(6.104)

b)

yn+1 = yn+1 +B h2

c h

(1 ec hc h 1

)(6.105)

c)

yn+1 = yn+1 +B h2

2(6.106)

111

6.6 Condies de ContornoEm

x = 0 u (0) = 0

c c essencialc c cinemticac c Dirichlet

(6.107)

Em

x = L F (L) = c L dudx

(L) = 0

c c naturalc c dinmicac c de Neuman

(6.108)

Problemas de Sturm-Liouville

ddx

(c

dudx

)+ q u = f (6.109)

Exemplo 6.21

Suponha a equao: 2 y(x) + y (x) = e0.2 xB.c.

y (0) = 1y(10) = y (10)

(6.110)

Resolva por diferenas finitas

Figura 6.9: ?

Em

x = xi 2[yi1 2 yi + yi+1

h2

]+ yi = e0.2 xi

h = 1 2 yi1 + 4 yi 2 yi+1 + yi = e0.2 xi 2

i1 +5

i

2i+1

Aplique nos pontos 1, 2, . . . , 9

Em x = 1 2 y0 +5 y1 2 y2 = e0.2Em x = 2 2 y1 +5 y2 2 y3 = e0.4

......

Em x = 9 2 y8 +5 y9 2 y10 = e1.8

112

Captulo 7

Soluo de Problemas de Valores deContorno de Equaes DiferenciaisOrdinrias

7.1 Problemas de Valores de Contorno para Barras e Pla-cas

Suponha uma barra presa a uma extremidade sujeita atrao gravitacional.

Figura 7.1: Problemas de Valores de Contorno para Barras e Placas

Alongamento = =dudx

dx

F proporcional aux

(x) F (x) = c dudx

(x)x

F (x + dx) = cdudx

x+dx

(c

dudx

)x+x

(c

dudx

)x

+ G = 0

limx0

(c

dudx

)x+x

(c

dudx

)x

x= A g

113

ddx

(c

dudx

)= A g

ddx

(c

dudx

)= A g (7.1)

Se c for constante, a integrao fcil. Se c =? (u (x)) , a integrao no trivial.

7.2 Algoritmo de Soluo para Sistemas Tridiagonais

B1 C1A2 B2 C2

A3 B3 C3...

. . .

Ai Bi Ci. . .

An Bn

x1x2x3...xi...

xn

=

D1D2D3...

Di...

Dn

(a) B1 = B1

D1 = D1(b) R = Ai / Bi1

Bi = Bi R Ci1Di = Di R Di1

para i = 2, . . . , n(c) xn = Dn / B

n

(d) xi = (Di Ci xi+1) / Bi i = n 1, . . . , 1

Em x = 10

y (10) = y10

y (10) =y (10) y (9.5)

0.5(Backward Difference)

y (9.5) =y (10) y (9)

1

y (10) =1

0.5[y10 y10 + y9] (7.2)

Assim

114

2 10.5

[y10 y10 + y9] + y10 = e2

2 y9 + 4.5 y10 = 0.5 e2 (7.3)Assim

5 2 0 0 0 0 0 0 0 02 5 2 0 0 0 0 0 0 00 2 5 2 0 0 0 0 0 00 0 2 5 2 0 0 0 0 00 0 0 2 5 2 0 0 0 00 0 0 0 2 5 2 0 0 00 0 0 0 0 2 5 2 0 00 0 0 0 0 0 2 5 2 00 0 0 0 0 0 0 2 5 20 0 0 0 0 0 0 0 2 4.5

y1y2y3y4y5y6y7y8y9y10

=

e0.2 + 2e0.4

e0.6

e0.8

e1.0

e1.2

e1.4

e1.6

e1.8

e2.0 0.5

Exemplo 7.22

Soluo pelo mtodo dos elementos finitos.

1. Descrio do problema de valor de contorno: Encontrar y (x) tal que a E.D.O.abaixo seja satisfeita em todos os pontos do domnio D = { x R | 0 x 10 }

2 y (x) + y (x) = e0.2 xCondies de contorno

y (0) = 1y (10) = y (10)

2. Discretizao do domnio: 10 elementos conectados aos 11 ns

Figura 7.2: Discretizao do domnio

3. Resduo:

R (x) = 2 y (x) + y (x) e0.2 x = 0

4. Formulao Fraca e o Mtodo de GalerkinEncontrar y (x) tal que

Dv (x) R (x) dx = 0, v (x) (7.4)

115

Figura 7.3: ?

Considerar v(x) no espao de funes com assentamento local

Assim, y (x) no intervalo [1, 2] escrito como uma combinao linear dev1 (x) e v2 (x) ou das restries N1 (x) e N2 (x) de v1 (x) e v21 (x) ,respectivamente, no domnio do elemento 2 .

y (x) = N1 (x) y1 + N2 (x) y2

Tambm as funes v (x) no intervalo podem ser escritas como

v (x) = N1 (x) v1 + N2 (x) v2

Substituindo-se o resduo R (x) no integrando da equao 7.4, temosD

v (x) [2 y (x) + y (x) e0.2 x] dx = 0, v (x)

2

Dv (x) y (x) dx +

D

v (x) y (x) dx

Dv (x) e0.2 x dx = 0, v (x)

Integrando-se a primeira integral por partes, temos

2[v (x) y (x)|x=10x=0

D

v (x) y (x) dx]+

D

v (x) y (x) dx

Dv (x) e0.2 x dx = 0, v (x)

Utilizando-se a condio de contorno y (10) = y (10) e restringindo o espaode funes v (x) de forma que v (0) = 0 , temos

2[v10 y10

D

v (x) y (x) dx]+

D

v (x) y (x) dx

Dv (x) e0.2 x dx = 0, v (x)

Podemos discretizar o domnio D em 10 elementos e as integrais podem serescritas como

Dg (x) dx =

100

g (x) dx = 1

0g (x) dx +

21

g (x) dx + . . . + 10

9g (x) dx

Para calcularmos as trs integrais restantes, precisamos definir as Ni (x) e N f (x)e calcularmos as derivadas de v (x) e y (x) . Assim, com uma parametrizaolocal para cada elemento temos

116

Ni () =1

h

N f () =

h

x = xi +

= x xi

y (x) = [Ni N f ]{

yiy f

}

v (x) = [Ni N f ]{

viv f

}

y (x) = [1h

1h

]{

yiy f

}

v (x) = [1h

1h

]{

viv f

}Calculando-se as trs integrais elemento a elemento, temos

x fxi

v (x) y (x) dx = h

0v () y () d = [vi v f ]

h0

1h2 1

h2

1h2

1h2

d{

yiy f

}

x fxi

v (x) y (x) dx = h

0v () y () d = [vi v f ]

h0

[N2i Ni N fN f Ni N2f

]d

{yiy f

} x f

xiv (x) e0.2 x dx = [vi v f ]

h0

[Ni e0.2 (xi+)

N f e0.2 (xi+)

]d

117

Clculo do Zeros de Funes No-LinearesIntroduoMtodo da BisseoMtodos da Posio Falsa e da Posio Falsa ModificadoMtodo da Posio FalsaMtodo da Posio Falsa Modificado

Mtodo de NewtonCaractersticasDescrio do Mtodo

Mtodo da SecanteCaractersticasDescrio

Mtodo das Substituies Sucessivas (Iterao de Ponto Fixo)DescrioCaractersticasNotasForma sistemtica de encontrar f'(x)

Mtodo de BairstowCaractersticas do mtodoDescrioNotas

Integrao NumricaIntroduoRegra do TrapzioErro da Regra do TrapzioMltiplos Intervalos

Regra 13 de SimpsonErros das Regras de Simpson

Integrao de RombergFrmulas de Newton-CotesQuadraturas de GaussQuadraturas de Gauss-LegendreOutras Quadraturas de Gauss

Roteiro da AulaIntegrao de Funes com Limites Infinitos ou Singularidades (Integrais Imprprias)Tipo 1Tipo 2

Integrao Numrica em um Domnio BidimensionalIntegrao

Diferenciao NumricaExpanso de TaylorDiferenas FinitasMtodo da Diferenciao dos Polinmios de Interpolao de NewtonAproximao de Derivadas Parciais por Diferenas FinitasSoluo do Problema de Dirichlet

Soluo de Sistemas de Equaes Algbricas LinearesMtodos de Eliminao de Gauss e Gauss-JordanMtodo de Eliminao de Gauss Padro com PivotaoProblemas no resolvveisMatrizes, Vetores e Inverso de MatrizesMatriz NulaMatriz IdentidadeMatriz Transposta de AMatriz InversaMatriz OrtogonalVetor NuloVetor UnitrioVetor TranspostoInverso de uma Matriz

Decomposio LUClculo de DeterminantePropriedades dos DeterminantesClculo Numrico do Determinante de [A]n n

Problemas Mal CondicionadosSolues de Sistemas de Equaes com M equaes e N incgnitas

Autovetores e AutovaloresIntroduoPropriedades dos Auto-Valores

Mtodo de InterpolaoMtodo de Householder para Matrizes SimtricasAutovalores de uma Matriz Tridiagonal

Mtodo da PotnciaRegularInversoDeslocado (Shifted) ou Wielandt

Mtodo da Iterao QRMtodo de JacobiMtodo QR

Soluo de Problemas de Valores Iniciais de Equaes Diferenciais OrdinriasIntroduoProblema da Queda LivreProblema da Queda Livre com Resistncia do ArMtodos Numricos para Problemas de Valor-Inicial

Mtodos de EulerForward EulerBackward EulerMtodo de Euler Modificado

Mtodos de Runge-KuttaIntroduoRunge-Kutta de Segunda OrdemRunge-Kutta de Terceira OrdemRunge-Kutta de Quarta Ordem

Mtodos Preditores-CorretoresIntroduoMtodo Preditor-Corretor de Adams de Terceira OrdemMtodo Preditor-Corretor de Adams de Quarta OrdemVantagens e Desvantagens

Equaes Diferenciais Ordinrias RgidasMtodos ImplcitosMtodo ExponencialMtodo de Ajuste Exponencial

Condies de Contorno

Soluo de Problemas de Valores de Contorno de Equaes Diferenciais OrdinriasProblemas de Valores de Contorno para Barras e PlacasAlgoritmo de Soluo para Sistemas Tridiagonais