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Numerical Relativity is still Relativity
ERE Salamanca 2008 Palma Group
Alic, Dana · Bona, Carles · Bona-Casas, Carles
• Long term evolutions:– Harmonic (4D spacetime, excision, harmonic gauge source
functions)– BSSN (3+1 decomposition, punctures/excision, 1+log and
gamma freezing)
• Isn’t the gauge choice too limited? Shouldn’t numerical relativity be relativity?
Most recent successful stories in BH simulations
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y de
un descompresor .
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Do we have any choice?
• Reported experiences:– No long term simulations with normal coordinates
(zero shift).– Generalised harmonic slicing but strictly harmonic
shift.– BSSN normal coordinates (zero shift) and 1+log
slicing crashes at 30-40M (gr-qc/0206072).– Gaugewave test: gauge imposed is harmonic, so
harmonic code succeeds, but BSSN crashes.Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y de
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Looking for a gauge polyvalent code
• Z4 formalism
• MoL with 3rd order SSP Runge-Kutta.• Powerful 3rd order FD algorithm (submitted to
JCP). See a variant in http://arxiv.org/abs/0711.4685 (ERE 2007)
• Scalar field stuffing.• Cactus. Single grid calculation. Logarithmic grid
for long runs.
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Gaugewave Test
• Minkowski spacetime:
• Harmonic coordinates x,y,z,t.
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t=1000; Amplitude 0.1
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BSSN Comparison
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t=1000
t=30
t=1000; Amplitude 0.5
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Single BH Test
• Singularity avoidant conditions (Bona-Massó)
Q = f (trK-2)
• 1+log (f=2/) slicing with normal coordinates (zero shift) up to 1000M and more! Never done before (BSSN reported to crash at 30-40M without shift).
• Unigrid simulation. Logcoords =1.5.
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€
R = λ sinh r /λ( )
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Lapse function at t=1000M
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R/M=20r/M=463000
More gauges (zero shift)
• Isotropic coords. Boundaries at 20M.
• Logcoords f=1/ 150M.
Slicing (f) 2/ 1+1/ 1/2+1/ 1/ 1/4+3/4 1/2+1/2
Vol. Elem. left
37% 25% 20% 14% 10% 6%
Time lasting (0.2 / 0.1 resol)
50M
/
50M
50M
/
50M
50M
/
50M
6M
/
50M
6M
/
20M
5M/12M
€
2
fα∂tα =∂t ln γ( )
Shift
• 1st order conditions.
• Vectorial.– Harmonic? xi = 0.
€
1
α γ∂0
γ
αβ i
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥−
1
α γ∂k
γ
αβ iβ k
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= −
1
α γ∂k α γ γ ki[ ]
€
∂0
β i
α
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥−β k∂k
β i
α
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= trK β i −α A i −Di + 2V i
( )1st order version
Advection terms
• Lie derivative “advection/damping”
• Covariant advection term
€
1
γ(∂0 − Lβ )
γ
αβ i
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥=
1
α∂tβ
i + (Q− trK)β i
€
(∂0 −β k∇ k )β i
α
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥=∂tβ
i −β kBki − Γ jk
i β jβ k +α Qβ i
1st order vector ingredients
• Time-independent coordinate transformations.
€
Ai =∂i lnα
€
Di −Di t= 0=∂i ln γ /γ 0
€
E i − E i t= 0= D ji
j −D jij
0
€
M
€
Zi
€
∂tβi =
3
4α 2 (E − E0)i −
(D−D0)i
3+ Z i
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
+β kBki + Γ jk
i β jβ k −α Qβ i
€
∂tβi =
3
4α 2 (E − E0)i − (D−D0)i + Z i( )
+β kBki + Γ jk
i β jβ k −α Qβ i
€
∂tβi =
1
2α 2A i + β kBk
i + Γ jki β jβ k −α Qβ i
€
∂tβi =
1
2α 2A i −α (Q− (trK − 2θ))β i