Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Numericke metody
Uvod
Uvod
Co je obsahem numerickych metod?
Numericke metody slouzı k pribliznemu vypoctu vecı, ktere sepresne vypocıtat bud’ nedajı vubec, nebo by byl vypocet neumernepracny.
Obsahem naseho kurzu bude:
I Resenı soustav linearnıch rovnic
I Resenı nelinearnıch rovnic: x + ex = 2 ⇒ x = ?
I Aproximace funkcı:f (1) = 1,234, f (1,1) = 1,345 ⇒ f (1,07) = ?
I Vypocet derivace a integralu:∫ π
0 sin(x2)dx = ?
I Resenı diferencialnıch rovnic:y ′ = x2 + y 2, y(0) = 1 ⇒ y(0,1) = ?
Chyby
Chyby
Zdroje a typy chyb
I Chyby matematickeho modelu
I Chyby vstupnıch dat
I Chyby numericke metody
I Zaokrouhlovacı chyby
Chyby
Absolutnı a relativnı chyba
Je-li x presne cıslo a x jeho priblizna hodnota, pak
I absolutnı chyba je
E (x) = x − x ,
tj. presna hodnota = priblizna hodnota + chyba,
I relativnı chyba je
RE (x) =E (x)
x.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Resenı soustav linearnıch rovnic
Pripomenutı – co je to soustava linearnıch rovnic
Prıklad
2x − 3y + z = 5−3x + 5y + 2z = −4
x + 2y − z = 1
Soustava linearnıch rovnic obecne
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2...
...an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
Maticovy tvar:Ax = b.
Resenı soustav linearnıch rovnic
V praxi se vyskytujı velmi velke soustavy rovnic, casto s tzv. rıdkoumaticı (v kazdem radku je jen nekolik nenulovych prvku).
Metody resenı soustav linearnıch rovnic
I Prıme– po konecnem poctu matematickych operacı dojdeme prımok
”presnemu“ resenı. (Resenı ve skutecnosti kvuli
zaokrouhlovacım chybam presne byt nemusı.)
I Iteracnı– zvolıme pocatecnı aproximaci resenı a postupne jizlepsujeme. K presnemu resenı bychom se obecne dostali azv limite (tj. nekonecnym poctem kroku).
Resenı soustav linearnıch rovnic
Prıme metody
I Cramerovo pravidlo
I Gaussova eliminacnı metoda
I . . . (existujı i dalsı metody)
Resenı soustav linearnıch rovnic
Cramerovo pravidlo
Je-li matice soustavy A regularnı, tj. jejı determinant je nenulovy,pak resenı soustavy lze vypocıtat jako
x1 =D1
D, x2 =
D2
D, . . . , xn =
Dn
D
kde D je determinant matice soustavy A a Dk , k = 1, . . . , n, jsoudeterminanty matic, ktere vzniknou tak, ze v A nahradıme k-tysloupec vektorem pravych stran b.
Cramerovo pravidlo je vhodne jen pro velmi male soustavy.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Gaussova eliminacnı metodaSoustavu pomocı elementarnıch uprav prevedeme na trojuhelnıkovytvar, ze ktereho se resenı snadno spocıta pomocı tzv. zpetnehochodu.Puvodnı soustava:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2...
...an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
Upravena soustava:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a22 x2 + · · · + a2n xn = b2...
ann xn = bn
Resenı soustav linearnıch rovnic
PrıkladGaussovou eliminacnı metodou najdete resenı soustavy
2x − 3y + z = 5−3x + 5y + 2z = −4
x + 2y − z = 1
Resenı soustav linearnıch rovnic
2 −3 1 5−3 5 2 −4
1 2 −1 1
/· 32 /·(−1
2
)∼
2 −3 1 50 0,5 3,5 3,50 3,5 −1,5 −1,5
�
�
2 −3 1 50 0,5 3,5 3,50 3,5 −1,5 −1,5
/·(−3,5
0,5
)∼
2 −3 1 50 0,5 3,5 3,50 0 −26 −26
�
2x − 3y + z = 50,5y + 3,5z = 3,5
− 26z = −26
⇒ x = 2⇒ y = 0
⇒ z = 1
Resenı soustav linearnıch rovnic
Nevyhody Gaussovy eliminacnı metody
I Vypocet je casove narocny, potrebnych aritmetickych operacıje radove n3/3.
I Pri vypoctu se mohou hromadit zaokrouhlovacı chyby.
Resenı soustav linearnıch rovnic
PrıkladGaussovou eliminacnı metodou najdete resenı soustavy
0,0001x + y = 1x + y = 2.
Pri vypoctu zaokrouhlujte na 3 platne cıslice.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Eliminace s castecnym vyberem hlavnıho prvku
Slouzı k minimalizaci zaokrouhlovacıch chyb.
Pro eliminaci prvku v k-tem sloupci pouzıvame nasobky toho radku(vybırame z k-teho az n-teho radku), ve kterem ma cıslo v k-temsloupci nejvetsı absolutnı hodnotu. Toto cıslo s nejvetsı absolutnıhodnotou nazyvame hlavnı prvek nebo tez pivot.
Resenı soustav linearnıch rovnic
PrıkladPomocı eliminace s castecnym vyberem hlavnıho prvku najdeteresenı soustavy
−x + 7,5y = 162x − 2y + 2z = −4
−10x − 5y − 8z = −8
Resenı soustav linearnıch rovnic
−1 7,5 0 162 −2 2 −4
−10 −5 −8 −8
∼
−10 −5 −8 −82 −2 2 −4−1 7,5 0 16
/· 210 /·
(− 1
10
)∼
�
�
�
�
−10 −5 −8 −80 −3 0,4 −5,60 8 0,8 16,8
∼
−10 −5 −8 −80 8 0,8 16,80 −3 0,4 −5,6
/· 38 ∼�
� �
−10 −5 −8 −80 8 0,8 16,80 0 0,7 0,7
−10x − 5y − 8z = −8
8y + 0,8z = 16,80,7z = 0,7
⇒ x = −1⇒ y = 2
⇒ z = 1
Resenı soustav linearnıch rovnic
Iteracnı metody
I Jacobiho metoda
I Gauss-Seidelova metoda
I . . . (existujı i dalsı metody)
Resenı soustav linearnıch rovnic
Jacobiho metodaZ 1. rovnice vyjadrıme 1. neznamou, z 2. rovnice 2. neznamou atd.
Zvolıme pocatecnı aproximaci resenı x(0) = (x(0)1 , x
(0)2 , . . . , x
(0)n )T ,
dosadıme – vypocteme x(1), opet dosadıme atd.:
x(k+1)1 =
1
a11
(b1 − a12 x
(k)2 − a13 x
(k)3 − · · · − a1n x
(k)n
)x
(k+1)2 =
1
a22
(b2 − a21 x
(k)1 − a23 x
(k)3 − · · · − a2n x
(k)n
)...
x(k+1)n =
1
ann
(bn − an1 x
(k)1 − an2 x
(k)2 − · · · − an n−1 x
(k)n−1
),
Pokracujeme, dokud se vsechny slozky resenı neustalı, tj. dokudneplatı
|x (k+1)i − x
(k)i | < ε pro vsechna i = 1, . . . , n.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Konvergence a divergence metody
Resenı pomocı Jacobiho metody nemusıme najıt vzdy.
Jestlize se postupne aproximace k resenı blızı, rekneme, ze metodakonverguje.
Jestlize resenı nenajdeme, rekneme, ze metoda diverguje.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Podmınky konvergence pro Jacobiho metodu
Diagonalne dominantnı matice
Matice A se nazyva radkove ostre diagonalne dominantnı,jestlize je v kazdem radku absolutnı hodnota prvku na diagonalevetsı nez soucet absolutnıch hodnot vsech ostatnıch prvku v onomradku neboli jestlize
| aii | >n∑
j=1,j 6=i
| aij | pro i = 1, . . . , n
Podobne definujeme sloupcove ostre diagonalne dominantnımatici:
| ajj | >n∑
i=1,i 6=j
| aij | pro j = 1, . . . , n.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Podmınky konvergence pro Jacobiho metodu
Je-li matice A ostre radkove nebo sloupcove diagonalnedominantnı, pak Jacobiho metoda konverguje pro libovolnoupocatecnı aproximaci x(0).
Jestlize matice nenı diagonalne dominantnı, Jacobiho metodakonvergovat muze a nemusı.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Gauss-Seidelova metodaPocıtame podobne jako u Jacobiho metody, ale v kazdem krokupouzijeme nejnovejsı hodnoty neznamych:
x(k+1)1 =
1
a11
(b1 − a12 x
(k)2 − a13 x
(k)3 − · · · − a1n x
(k)n
)x
(k+1)2 =
1
a22
(b2 − a21 x
(k+1)1 − a23 x
(k)3 − · · · − a2n x
(k)n
)x
(k+1)3 =
1
a33
(b3 − a31 x
(k+1)1 − a32 x
(k+1)2 − · · · − a3n x
(k)n
)...
x(k+1)n =
1
ann
(bn − an1 x
(k+1)1 − an2 x
(k+1)2 − · · · − an n−1 x
(k+1)n−1
)
Resenı soustav linearnıch rovnic
Podmınky konvergence pro Gauss-Seidelovu metodu
Pozitivne definitnı maticeSymetricka matice A se nazyva pozitivne definitnı, jestlize prokazdy nenulovy sloupcovy vektor x = (x1, . . . , xn)T platı
xTA x > 0
Jestlize libovolnou regularnı matici A vynasobıme maticı k nıtransponovanou, dostaneme matici, ktera je symetricka a pozitivnedefinitnı.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Podmınky konvergence pro Gauss-Seidelovu metodu
Je-li matice A ostre radkove nebo sloupcove diagonalnedominantnı, pak Gauss-Seidelova metoda konverguje prolibovolnou pocatecnı aproximaci x(0).
Je-li matice A symetricka pozitivne definitnı, pak Gauss-Seidelovametoda konverguje pro libovolnou pocatecnı aproximaci x(0).
Jestlize matice nema zadnou z uvedenych vlastnostı,Gauss-Seidelova metoda konvergovat muze a nemusı.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Jak zarucit konvergenci Gauss-Seidelovy metody
Vynasobıme-li puvodnı soustavu
Ax = b
maticı k A transponovanou:
ATAx = ATb,
dostaneme soustavu s pozitivne definitnı maticı, pro kterou jekonvergence zarucena (muze byt ovsem dosti pomala).
Resenı soustav linearnıch rovnic
Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda se nejlepe hodı pro velkesoustavy rovnic s rıdkou maticı.
Resenı soustav linearnıch rovnic
Dalsı pouzıvane metody
I Metoda LU rozkladu
I Choleskeho rozklad
I Metoda sdruzenych gradientu
I . . .