Upload
truongduong
View
236
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi
Gradimir V. Milovanovic
—————
MI, Beograd, 14. maj 2013.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 1/74
Sistem linearnih jednacina
121734x1 + 169217x2 + 176624x3 + 166662x4 = 634237
169217x1 + 235222x2 + 245505x3 + 231653x4 = 881597
176624x1 + 245505x2 + 256423x3 + 242029x4 = 920581
166662x1 + 231653x2 + 242029x3 + 228474x4 = 868818
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 2/74
Sistem linearnih jednacina
121734x1 + 169217x2 + 176624x3 + 166662x4 = 634237
169217x1 + 235222x2 + 245505x3 + 231653x4 = 881597
176624x1 + 245505x2 + 256423x3 + 242029x4 = 920581
166662x1 + 231653x2 + 242029x3 + 228474x4 = 868818
Rešenje: x1 = x2 = x3 = x4 = 1
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 2/74
Sistem linearnih jednacina
121734x1 + 169217x2 + 176624x3 + 166662x4 = 634238
169217x1 + 235222x2 + 245505x3 + 231653x4 = 881596
176624x1 + 245505x2 + 256423x3 + 242029x4 = 920580
166662x1 + 231653x2 + 242029x3 + 228474x4 = 868819
Rešenje: x1 = x2 = x3 = x4 = 1
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 2/74
Sistem linearnih jednacina
121734x1 + 169217x2 + 176624x3 + 166662x4 = 634238
169217x1 + 235222x2 + 245505x3 + 231653x4 = 881596
176624x1 + 245505x2 + 256423x3 + 242029x4 = 920580
166662x1 + 231653x2 + 242029x3 + 228474x4 = 868819
Rešenje: x1 = x2 = x3 = x4 = 1
Novo rešenje: x1 = 130214370, x2 = 78645876,x3 = −32701403, x4 = 19395881.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 2/74
Sistem linearnih jednacina
121734x1 + 169217x2 + 176624x3 + 166662x4 = 634238
169217x1 + 235222x2 + 245505x3 + 231653x4 = 881596
176624x1 + 245505x2 + 256423x3 + 242029x4 = 920580
166662x1 + 231653x2 + 242029x3 + 228474x4 = 868819
Rešenje: x1 = x2 = x3 = x4 = 1
Novo rešenje: x1 = 130214370, x2 = 78645876,x3 = −32701403, x4 = 19395881.
‖b‖∞=max1≤i≤4
|bi|=920581, ‖∆b‖∞=max1≤i≤4
|∆bi|=1,
tj. ‖∆b‖∞/‖b‖∞ ∼= 1.1× 10−6.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 2/74
◮ Odgovarajuca promena u rešenju:
‖x‖∞=max1≤i≤4
|xi|=1, ‖∆x‖∞=max1≤i≤4
|x∗i−xi|=130214369,
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 3/74
◮ Odgovarajuca promena u rešenju:
‖x‖∞=max1≤i≤4
|xi|=1, ‖∆x‖∞=max1≤i≤4
|x∗i−xi|=130214369,
◮ ‖∆x‖∞/‖x‖∞ ∼= 1.3× 108.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 3/74
◮ Odgovarajuca promena u rešenju:
‖x‖∞=max1≤i≤4
|xi|=1, ‖∆x‖∞=max1≤i≤4
|x∗i−xi|=130214369,
◮ ‖∆x‖∞/‖x‖∞ ∼= 1.3× 108.
◮ Dakle, relativna promena od samo 10−6 uslobodnom clanu izaziva ogromnu promenu urešenju (reda 108), što znaci
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 3/74
◮ Odgovarajuca promena u rešenju:
‖x‖∞=max1≤i≤4
|xi|=1, ‖∆x‖∞=max1≤i≤4
|x∗i−xi|=130214369,
◮ ‖∆x‖∞/‖x‖∞ ∼= 1.3× 108.
◮ Dakle, relativna promena od samo 10−6 uslobodnom clanu izaziva ogromnu promenu urešenju (reda 108), što znaci
k(A) ≥ ‖∆x‖∞/‖x‖∞‖∆b‖∞/‖b‖∞
∼= 1.3× 108
1.1× 10−6∼= 1.18× 1014.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 3/74
◮ Odgovarajuca promena u rešenju:
‖x‖∞=max1≤i≤4
|xi|=1, ‖∆x‖∞=max1≤i≤4
|x∗i−xi|=130214369,
◮ ‖∆x‖∞/‖x‖∞ ∼= 1.3× 108.
◮ Dakle, relativna promena od samo 10−6 uslobodnom clanu izaziva ogromnu promenu urešenju (reda 108), što znaci
k(A) ≥ ‖∆x‖∞/‖x‖∞‖∆b‖∞/‖b‖∞
∼= 1.3× 108
1.1× 10−6∼= 1.18× 1014.
◮ Tipican slabo-uslovljeni sistem jednacina!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 3/74
◮ Odgovarajuca promena u rešenju:
‖x‖∞=max1≤i≤4
|xi|=1, ‖∆x‖∞=max1≤i≤4
|x∗i−xi|=130214369,
◮ ‖∆x‖∞/‖x‖∞ ∼= 1.3× 108.
◮ Dakle, relativna promena od samo 10−6 uslobodnom clanu izaziva ogromnu promenu urešenju (reda 108), što znaci
k(A) ≥ ‖∆x‖∞/‖x‖∞‖∆b‖∞/‖b‖∞
∼= 1.3× 108
1.1× 10−6∼= 1.18× 1014.
◮ Tipican slabo-uslovljeni sistem jednacina!
Petar B. Madic (1922–2009)
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 3/74
◮ Kako je
A−1=
64975255 −39243257 −16317569 9678288
−39243257 23701842 9855360 −5845418
−16317569 9855360 4097916 −2430559
9678288 −5845418 −2430559 1441615
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 4/74
◮ Kako je
A−1=
64975255 −39243257 −16317569 9678288
−39243257 23701842 9855360 −5845418
−16317569 9855360 4097916 −2430559
9678288 −5845418 −2430559 1441615
možemo izracunati faktor uslovljenosti k(A) = condA:
‖A‖∞=maxi
( 4∑
j=1
|aij|)
=920581, ‖A−1‖∞=130214369,
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 4/74
◮ Kako je
A−1=
64975255 −39243257 −16317569 9678288
−39243257 23701842 9855360 −5845418
−16317569 9855360 4097916 −2430559
9678288 −5845418 −2430559 1441615
možemo izracunati faktor uslovljenosti k(A) = condA:
‖A‖∞=maxi
( 4∑
j=1
|aij|)
=920581, ‖A−1‖∞=130214369,
◮ k(A) = ‖A‖∞‖A−1‖∞ ∼= 1.20× 1014.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 4/74
Zašto je važan faktor uslovljenosti?
◮ Prethodna izracunavanja su izvedena potpunotacno na skupu svih racionalnih brojeva!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 5/74
Zašto je važan faktor uslovljenosti?
◮ Prethodna izracunavanja su izvedena potpunotacno na skupu svih racionalnih brojeva!
◮ To je ekvivalentno korišcenju aritmetikebeskonacne dužine.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 5/74
Zašto je važan faktor uslovljenosti?
◮ Prethodna izracunavanja su izvedena potpunotacno na skupu svih racionalnih brojeva!
◮ To je ekvivalentno korišcenju aritmetikebeskonacne dužine.
◮ Kod korišcenja aritmetike konacne dužine (IEEEstandard kod racunara iz 1985.), visok faktoruslovljenosti “jede” cifre u rezultatu!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 5/74
Zašto je važan faktor uslovljenosti?
◮ Prethodna izracunavanja su izvedena potpunotacno na skupu svih racionalnih brojeva!
◮ To je ekvivalentno korišcenju aritmetikebeskonacne dužine.
◮ Kod korišcenja aritmetike konacne dužine (IEEEstandard kod racunara iz 1985.), visok faktoruslovljenosti “jede” cifre u rezultatu!
◮ Faktor 10m “jede” oko m cifara!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 5/74
Zašto je važan faktor uslovljenosti?
◮ Prethodna izracunavanja su izvedena potpunotacno na skupu svih racionalnih brojeva!
◮ To je ekvivalentno korišcenju aritmetikebeskonacne dužine.
◮ Kod korišcenja aritmetike konacne dužine (IEEEstandard kod racunara iz 1985.), visok faktoruslovljenosti “jede” cifre u rezultatu!
◮ Faktor 10m “jede” oko m cifara!
◮ Dakle, ako želimo rezultat sa relativnom greškommanjom od 10−d, tj. sa d korektnih znacajnihcifara u mantisi, neophodno je koristiti aritmetikusa dužinom najmanje d+m.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 5/74
Još jednostavniji primer:
2x+ 6y = 8,
2x+ 6.0001y = 8.0001
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 6/74
Još jednostavniji primer:
2x+ 6y = 8,
2x+ 6.0001y = 8.0001
◮ Rešenja su: x = 1, y = 1.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 6/74
Još jednostavniji primer:
2x+ 6y = 8,
2x+ 6.0001y = 8.0001
◮ Rešenja su: x = 1, y = 1.
◮ Ako se koeficijenti druge jednacine neznatnopromene, na primer,
2x+ 5.99999y = 8.00002
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 6/74
Još jednostavniji primer:
2x+ 6y = 8,
2x+ 6.0001y = 8.0001
◮ Rešenja su: x = 1, y = 1.
◮ Ako se koeficijenti druge jednacine neznatnopromene, na primer,
2x+ 5.99999y = 8.00002
◮ Rešenja su: x = 10, y = −2.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 6/74
Razvoj novih naucnih disciplina
Poslednjih decenija velika ekspanzija numerickematematike i teorije aproksimacija, uz buranrazvoj racunarskih arhitektura, dovela je do novihdisciplina:
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 8/74
Razvoj novih naucnih disciplina
Poslednjih decenija velika ekspanzija numerickematematike i teorije aproksimacija, uz buranrazvoj racunarskih arhitektura, dovela je do novihdisciplina:
◮ Naucna izracunavanja (specijalne funkcije savisokom tacnošcu, generisanje slucajnih brojeva,algoritmi u teoriji brojeva, brze transformacije,FFT, talasici, fraktali, . . .)
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 8/74
Razvoj novih naucnih disciplina
Poslednjih decenija velika ekspanzija numerickematematike i teorije aproksimacija, uz buranrazvoj racunarskih arhitektura, dovela je do novihdisciplina:
◮ Naucna izracunavanja (specijalne funkcije savisokom tacnošcu, generisanje slucajnih brojeva,algoritmi u teoriji brojeva, brze transformacije,FFT, talasici, fraktali, . . .)
◮ Obrada signala (analogna i digitalna obrada svihvrsta signala koji se pojavljuju u realnom svetu,ukljucujuci sintezu signala, detekciju,modeliranje, korelaciju i spektralnu analizusignala, konstrukciju i primenu odgovarajucihfiltara, kompresija signala, . . .)
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 8/74
◮ Teorija kompleksnosti obezbeduje okvir zarazumevanje cene rešavanja problema, merenezahtevima za resursima (vreme i memorijskiprostor). Ova teorija grupiše probleme u tzv.klase kompleksnosti i razmatra njihov odnos.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 9/74
◮ Teorija kompleksnosti obezbeduje okvir zarazumevanje cene rešavanja problema, merenezahtevima za resursima (vreme i memorijskiprostor). Ova teorija grupiše probleme u tzv.klase kompleksnosti i razmatra njihov odnos.
◮ Geometrijsko modeliranje (CAGD) proucavametode konstruisanja geometrijskih i prirodnihformi sredstvima racunarske grafike. U pozadinisloženih grafickih algoritama stoje sofisticiraninumericki pristupi, neophodni u procesuoptimizacije algoritamskih tokova i izboranajboljih modela. Vodic i inspiracija su priroda injene tvorevine. Bilo da su žive ili neživestrukture one fasciniraju svojom racionalnomgeometrijom kojoj u osnovi stoji hijerarhijasamoslicnosti i veoma složeni iterativni procesi.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 9/74
◮ S. WOLFRAM, The Future of Computation, TheMathematica Journal 10 (2) (2006), 329–362.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 10/74
◮ Paralelna izracunavanja se bave konstrukcijomalgoritama koji su mogu implementirati navišeprocesorskim sistemima, koji se, s drugestrane, sve više razvijaju i usavršavaju.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 11/74
◮ Paralelna izracunavanja se bave konstrukcijomalgoritama koji su mogu implementirati navišeprocesorskim sistemima, koji se, s drugestrane, sve više razvijaju i usavršavaju.
◮ Simbolicka izracunavanja se danas, takode,mogu izdvojiti u posebnu disciplinu. Ona se cestonazivaju i kompjuterska algebra, algebarskaizracunavanja, simbolicka matematika, itd.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 11/74
◮ Paralelna izracunavanja se bave konstrukcijomalgoritama koji su mogu implementirati navišeprocesorskim sistemima, koji se, s drugestrane, sve više razvijaju i usavršavaju.
◮ Simbolicka izracunavanja se danas, takode,mogu izdvojiti u posebnu disciplinu. Ona se cestonazivaju i kompjuterska algebra, algebarskaizracunavanja, simbolicka matematika, itd.
Za razliku od numerickih izracunavanja koja seuglavnom realizuju u aritmetici konacne duzine,simbolicka izracunavanja se izvode sa brojevima,simbolima, izrazima i formulama na egzaktannacin.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 11/74
Ona su nastala kao rezultat težnje da se sanumerickih izracunavanja krene ka apstraktimizracunavanjima, što je omoguceno razvojem tzv.vestacke inteligencije i novih programskih jezika,poput jezika LISP i njegovih usavršenihnaslednika.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 12/74
Ona su nastala kao rezultat težnje da se sanumerickih izracunavanja krene ka apstraktimizracunavanjima, što je omoguceno razvojem tzv.vestacke inteligencije i novih programskih jezika,poput jezika LISP i njegovih usavršenihnaslednika.
Najpopularniji interaktivni paketi za simbolickaizracunavanja su:
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 12/74
Ona su nastala kao rezultat težnje da se sanumerickih izracunavanja krene ka apstraktimizracunavanjima, što je omoguceno razvojem tzv.vestacke inteligencije i novih programskih jezika,poput jezika LISP i njegovih usavršenihnaslednika.
Najpopularniji interaktivni paketi za simbolickaizracunavanja su:
◮ MAPLE, MACSYMA, MATLAB iMATHEMATICA
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 12/74
Ona su nastala kao rezultat težnje da se sanumerickih izracunavanja krene ka apstraktimizracunavanjima, što je omoguceno razvojem tzv.vestacke inteligencije i novih programskih jezika,poput jezika LISP i njegovih usavršenihnaslednika.
Najpopularniji interaktivni paketi za simbolickaizracunavanja su:
◮ MAPLE, MACSYMA, MATLAB iMATHEMATICA
◮ Mogu se koristiti i za numericka izracunavanja,kao i za graficke prezentacije.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 12/74
◮ U casopisu Quarterly J. Pure & Appl. Math. 45(1913/14), str. 350, cuveni indijski matematicarSrinivasa Ramanujan (1887–1920) je postaviohipotezu da je eπ
√163 ceo broj, pri cemu je, radeci
“rucno”, našao da je
eπ√163 ≈ 262 53741 26407 68743.99999 99999 99.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 13/74
◮ U casopisu Quarterly J. Pure & Appl. Math. 45(1913/14), str. 350, cuveni indijski matematicarSrinivasa Ramanujan (1887–1920) je postaviohipotezu da je eπ
√163 ceo broj, pri cemu je, radeci
“rucno”, našao da je
eπ√163 ≈ 262 53741 26407 68743.99999 99999 99.
◮ Njegov metod nije omogucavao dobijanje sledecedecimale, i on je pretpostavio da se cifra 9 stalnoponavlja, pa da je onda zakljucio:
eπ√163 = 262 53741 26407 68744.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 13/74
◮ U casopisu Quarterly J. Pure & Appl. Math. 45(1913/14), str. 350, cuveni indijski matematicarSrinivasa Ramanujan (1887–1920) je postaviohipotezu da je eπ
√163 ceo broj, pri cemu je, radeci
“rucno”, našao da je
eπ√163 ≈ 262 53741 26407 68743.99999 99999 99.
◮ Njegov metod nije omogucavao dobijanje sledecedecimale, i on je pretpostavio da se cifra 9 stalnoponavlja, pa da je onda zakljucio:
eπ√163 = 262 53741 26407 68744.
◮ MATHEMATICA jednostavno daje
eπ√163=262537412640768743.999999999999250072597...
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 13/74
Pojam velikih sistema jednacina
◮ U matricnom racunu pojam “veliki sistemjednacina” (VSJ) istorijski se znacajno menjao.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 14/74
Pojam velikih sistema jednacina
◮ U matricnom racunu pojam “veliki sistemjednacina” (VSJ) istorijski se znacajno menjao.
◮ Na svakih petnaestak godina dimenzija VSJ seuvecavala 10 puta, pocev od pedesetih godinaprethodnog veka (Wilkinsonov period) . Svakisistem sa dimenzijom vecom od n = 20 je VSJ.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 14/74
Pojam velikih sistema jednacina
◮ U matricnom racunu pojam “veliki sistemjednacina” (VSJ) istorijski se znacajno menjao.
◮ Na svakih petnaestak godina dimenzija VSJ seuvecavala 10 puta, pocev od pedesetih godinaprethodnog veka (Wilkinsonov period) . Svakisistem sa dimenzijom vecom od n = 20 je VSJ.
◮ James Hardy Wilkinson (1919–1986), cuveniengleski naucnik u oblasti numericke analize ikompjuterskih nauka. Postoji JHW-nagrada zadostignuca u oblasti numerickog softvera, koja sesvake cetvrte godine (od 1991.) dodeljuje odstrane Argonne National Laboratory (SAD),National Physical Laboratory (GB) i softverskekompanije Numerical Algorithms Group (NAG).
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 14/74
◮ U “Forsythe–Moler-ovoj eri” (pojava njihoveknjige) ta granica se pomera na n = 200
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 15/74
◮ U “Forsythe–Moler-ovoj eri” (pojava njihoveknjige) ta granica se pomera na n = 200
G. Forsythe, C. B. Moler, Computer solution oflinear algebraic systems, Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey, 1967.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 15/74
◮ U “Forsythe–Moler-ovoj eri” (pojava njihoveknjige) ta granica se pomera na n = 200
G. Forsythe, C. B. Moler, Computer solution oflinear algebraic systems, Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey, 1967.
◮ George E. Forsythe (1917–1972), poznatiamericki naucnik u oblasti kompjuterskih nauka.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 15/74
◮ U “Forsythe–Moler-ovoj eri” (pojava njihoveknjige) ta granica se pomera na n = 200
G. Forsythe, C. B. Moler, Computer solution oflinear algebraic systems, Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey, 1967.
◮ George E. Forsythe (1917–1972), poznatiamericki naucnik u oblasti kompjuterskih nauka.
◮ Cleve Barry Moler (1939 – ), poznati americkimatematicar, programer i ekspert u numerickojanalizi. Jedan je od autora u razvoju FORTRANprogramskih paketa za linearnu algebruLINPACK and EISPACK, kreator programskogsistema MATLAB i jedan od osnivaca kompanijeMathWorks za razvoj i komercijalizaciju ovogsistema.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 15/74
◮ Osamdesetih godina, sa pojavom paketaLINPACK, dimenzija se povecava na n = 2000.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 16/74
◮ Osamdesetih godina, sa pojavom paketaLINPACK, dimenzija se povecava na n = 2000.
◮ Paket LAPACK (Linear Algebra PACKage) jenastao iz paketa LINPACK i EISPACK (zaprobleme sopstvenih vrednosti) i on obezbedujerutine za rešavanje sistema linearnih jednacina,problema sopstvenih vredosti i faktorizacijuproizvoljnih realnih ili kompleksnih matrica,poput SVD (Singular Value Decomposition).
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 16/74
◮ Osamdesetih godina, sa pojavom paketaLINPACK, dimenzija se povecava na n = 2000.
◮ Paket LAPACK (Linear Algebra PACKage) jenastao iz paketa LINPACK i EISPACK (zaprobleme sopstvenih vrednosti) i on obezbedujerutine za rešavanje sistema linearnih jednacina,problema sopstvenih vredosti i faktorizacijuproizvoljnih realnih ili kompleksnih matrica,poput SVD (Singular Value Decomposition).
◮ LAPACK, pisan orginalno na jeziku FORTRAN77, pojavio se sredinom devedesetih pomerio jegranicu “velikih sistema” na n = 20000.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 16/74
◮ Dakle, za nepunih pedeset godina dimenzijematrica sa kojima možemo jednostavno operisatipovecale su se za faktor 103 (od 20 na 20000).
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 17/74
◮ Dakle, za nepunih pedeset godina dimenzijematrica sa kojima možemo jednostavno operisatipovecale su se za faktor 103 (od 20 na 20000).
◮ Impresivni progres je, medutim, u velikoj meriuzrokovan mnogo vecim progresom u tomperiodu u racunarskom hardveru, podizanjembrzine sa faktorom od 109 (od sekunde do nanosekunde po operaciji).
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 17/74
◮ Dakle, za nepunih pedeset godina dimenzijematrica sa kojima možemo jednostavno operisatipovecale su se za faktor 103 (od 20 na 20000).
◮ Impresivni progres je, medutim, u velikoj meriuzrokovan mnogo vecim progresom u tomperiodu u racunarskom hardveru, podizanjembrzine sa faktorom od 109 (od sekunde do nanosekunde po operaciji).
◮ Broj operacija O(n3) velika prepreka!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 17/74
◮ Dakle, za nepunih pedeset godina dimenzijematrica sa kojima možemo jednostavno operisatipovecale su se za faktor 103 (od 20 na 20000).
◮ Impresivni progres je, medutim, u velikoj meriuzrokovan mnogo vecim progresom u tomperiodu u racunarskom hardveru, podizanjembrzine sa faktorom od 109 (od sekunde do nanosekunde po operaciji).
◮ Broj operacija O(n3) velika prepreka!
◮ Metodi sa O(np) operacija, p < 3, mogu seprimeniti na matrice znatno vece dimenzije!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 17/74
◮ Dakle, za nepunih pedeset godina dimenzijematrica sa kojima možemo jednostavno operisatipovecale su se za faktor 103 (od 20 na 20000).
◮ Impresivni progres je, medutim, u velikoj meriuzrokovan mnogo vecim progresom u tomperiodu u racunarskom hardveru, podizanjembrzine sa faktorom od 109 (od sekunde do nanosekunde po operaciji).
◮ Broj operacija O(n3) velika prepreka!
◮ Metodi sa O(np) operacija, p < 3, mogu seprimeniti na matrice znatno vece dimenzije!
◮ Za neke klase matrica O(n2) je postignuto saiterativnim metodima.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 17/74
◮ Dakle, za nepunih pedeset godina dimenzijematrica sa kojima možemo jednostavno operisatipovecale su se za faktor 103 (od 20 na 20000).
◮ Impresivni progres je, medutim, u velikoj meriuzrokovan mnogo vecim progresom u tomperiodu u racunarskom hardveru, podizanjembrzine sa faktorom od 109 (od sekunde do nanosekunde po operaciji).
◮ Broj operacija O(n3) velika prepreka!
◮ Metodi sa O(np) operacija, p < 3, mogu seprimeniti na matrice znatno vece dimenzije!
◮ Za neke klase matrica O(n2) je postignuto saiterativnim metodima.
◮ LAPACK (Ver. 3.2) [2008 (FORTRAN 90)].
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 17/74
Theodorus-ova konstanta◮ Pojavljuje se u teoriji spirala.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 18/74
Theodorus-ova konstanta◮ Pojavljuje se u teoriji spirala.
P.J. Davis, Spirals: from Theodorus to Chaos,A.K. Peters, Wellaesley, MA, 1993.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 18/74
Theodorus-ova konstanta◮ Pojavljuje se u teoriji spirala.
P.J. Davis, Spirals: from Theodorus to Chaos,A.K. Peters, Wellaesley, MA, 1993.
◮ Teodorus-ova konstanta:
T1 =+∞∑
k=1
1√k(k + 1)
= 1.86 . . .
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 18/74
Theodorus-ova konstanta◮ Pojavljuje se u teoriji spirala.
P.J. Davis, Spirals: from Theodorus to Chaos,A.K. Peters, Wellaesley, MA, 1993.
◮ Teodorus-ova konstanta:
T1 =+∞∑
k=1
1√k(k + 1)
= 1.86 . . .
◮ Prvih milion clanova reda daje tri tacne cifre!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 18/74
Theodorus-ova konstanta◮ Pojavljuje se u teoriji spirala.
P.J. Davis, Spirals: from Theodorus to Chaos,A.K. Peters, Wellaesley, MA, 1993.
◮ Teodorus-ova konstanta:
T1 =+∞∑
k=1
1√k(k + 1)
= 1.86 . . .
◮ Prvih milion clanova reda daje tri tacne cifre!
◮ Problem: Sumiranje sporokonvergentnih redova
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 18/74
Theodorus-ova konstanta◮ Pojavljuje se u teoriji spirala.
P.J. Davis, Spirals: from Theodorus to Chaos,A.K. Peters, Wellaesley, MA, 1993.
◮ Teodorus-ova konstanta:
T1 =+∞∑
k=1
1√k(k + 1)
= 1.86 . . .
◮ Prvih milion clanova reda daje tri tacne cifre!
◮ Problem: Sumiranje sporokonvergentnih redova
◮ Redukcija sumacionog u kvadraturni proces!
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 18/74
◮ Osnovna ideja je u zameni sume reda konacnomkvadraturnom sumom
+∞∑
k=1
(±1)kf(k) ≈N∑
ν=1
Aνg(xν),
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 19/74
◮ Osnovna ideja je u zameni sume reda konacnomkvadraturnom sumom
+∞∑
k=1
(±1)kf(k) ≈N∑
ν=1
Aνg(xν),
gde je funkcija g povezana sa f na neki nacin,
Aν ≡ A(n)ν , xν ≡ x
(n)ν , ν = 1, . . . , N , parametri
kvadrature.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 19/74
◮ Osnovna ideja je u zameni sume reda konacnomkvadraturnom sumom
+∞∑
k=1
(±1)kf(k) ≈N∑
ν=1
Aνg(xν),
gde je funkcija g povezana sa f na neki nacin,
Aν ≡ A(n)ν , xν ≡ x
(n)ν , ν = 1, . . . , N , parametri
kvadrature.
◮ Kvadratura je najcešce Gauss-ovog tipa.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 19/74
◮ Metod integralnih transformacija
(a) Metod Laplaceove transformacije
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 20/74
◮ Metod integralnih transformacija
(a) Metod Laplaceove transformacije
[Gautschi & Milovanovic, Math. Comp. (1985)]
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 20/74
◮ Metod integralnih transformacija
(a) Metod Laplaceove transformacije
[Gautschi & Milovanovic, Math. Comp. (1985)]
(b) Metod konturne integracije
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 20/74
◮ Metod integralnih transformacija
(a) Metod Laplaceove transformacije
[Gautschi & Milovanovic, Math. Comp. (1985)]
(b) Metod konturne integracije
[Milovanovic (1993, 2011)]
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 20/74
◮ Metod integralnih transformacija
(a) Metod Laplaceove transformacije
[Gautschi & Milovanovic, Math. Comp. (1985)]
(b) Metod konturne integracije
[Milovanovic (1993, 2011)]
◮ Naš postupak samo sa N = 25 clanova (cvorovau kvadraturi) daje 30 tacnih decimala
T1 = 1.86002507922119030718069591572 . . .
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 20/74
◮ Metod integralnih transformacija
(a) Metod Laplaceove transformacije
[Gautschi & Milovanovic, Math. Comp. (1985)]
(b) Metod konturne integracije
[Milovanovic (1993, 2011)]
◮ Naš postupak samo sa N = 25 clanova (cvorovau kvadraturi) daje 30 tacnih decimala
T1 = 1.86002507922119030718069591572 . . .
◮ Direktni metodi (g ≡ f )
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 20/74
Aproksimacija polinomima
◮ Dve osobine polinoma su esencijalne u teorijiaproksimacija:
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 21/74
Aproksimacija polinomima
◮ Dve osobine polinoma su esencijalne u teorijiaproksimacija:
1◦ Svaka realna neprekidna funkcija f na konacnomintervalu [a, b] može se uniformno aproksimiratialgebarskim (trigonometrijskim) polinomima.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 21/74
Aproksimacija polinomima
◮ Dve osobine polinoma su esencijalne u teorijiaproksimacija:
1◦ Svaka realna neprekidna funkcija f na konacnomintervalu [a, b] može se uniformno aproksimiratialgebarskim (trigonometrijskim) polinomima.
2◦ Svaki polinom pn ∈ Pn (tn ∈ Tn) može sejedinstveno interpolirati u n+ 1 (2n+ 1) tacaka.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 21/74
Aproksimacija polinomima
◮ Dve osobine polinoma su esencijalne u teorijiaproksimacija:
1◦ Svaka realna neprekidna funkcija f na konacnomintervalu [a, b] može se uniformno aproksimiratialgebarskim (trigonometrijskim) polinomima.
2◦ Svaki polinom pn ∈ Pn (tn ∈ Tn) može sejedinstveno interpolirati u n+ 1 (2n+ 1) tacaka.
◮ Weierstrass (1885):
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 21/74
Aproksimacija polinomima
◮ Dve osobine polinoma su esencijalne u teorijiaproksimacija:
1◦ Svaka realna neprekidna funkcija f na konacnomintervalu [a, b] može se uniformno aproksimiratialgebarskim (trigonometrijskim) polinomima.
2◦ Svaki polinom pn ∈ Pn (tn ∈ Tn) može sejedinstveno interpolirati u n+ 1 (2n+ 1) tacaka.
◮ Weierstrass (1885):
Teorema. Za svako f ∈ C[a, b] i svako ε > 0postoji algebarski polinom p takav da da je
|f(t)− p(t)| < ε (a ≤ t ≤ b).
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 21/74
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
f(t), f(x)− ε, f(x) + ε
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 23/74
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
f(t), f(x)− ε, f(x) + ε, p1(t)
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 24/74
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
f(t), f(x)− ε, f(x) + ε, p2(t)
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 25/74
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
f(t), f(x)− ε, f(x) + ε, p1(t), p2(t)
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 26/74
◮ Weierstrassova teorema u terminima “najboljeaproksimacije u uniformnoj normi”
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 27/74
◮ Weierstrassova teorema u terminima “najboljeaproksimacije u uniformnoj normi”
Neka je
En(f) = minp∈Pn
‖f − p‖[a,b].
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 27/74
◮ Weierstrassova teorema u terminima “najboljeaproksimacije u uniformnoj normi”
Neka je
En(f) = minp∈Pn
‖f − p‖[a,b].
Tada je
limn→∞
En(f) = 0, f ∈ C[a, b].
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 27/74
◮ Weierstrassova teorema u terminima “najboljeaproksimacije u uniformnoj normi”
Neka je
En(f) = minp∈Pn
‖f − p‖[a,b].
Tada je
limn→∞
En(f) = 0, f ∈ C[a, b].
◮ Skup polinoma je svuda gust u C[a, b].
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 27/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
– algebarski polinomi
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
– algebarski polinomi
– trigonometrijski polinomi
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
– algebarski polinomi
– trigonometrijski polinomi
– Müntzovi polinomi
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
– algebarski polinomi
– trigonometrijski polinomi
– Müntzovi polinomi
– splajnovi
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
– algebarski polinomi
– trigonometrijski polinomi
– Müntzovi polinomi
– splajnovi
– talasici (wavelets)
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
– algebarski polinomi
– trigonometrijski polinomi
– Müntzovi polinomi
– splajnovi
– talasici (wavelets)
– racionalne funkcije
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija?
– Konstrukcija novih podataka u opsegu datihpodataka
– citanje izmedu redova
– Analiticki izraz – konstruktivni elementi
– algebarski polinomi
– trigonometrijski polinomi
– Müntzovi polinomi
– splajnovi
– talasici (wavelets)
– racionalne funkcije
– eksponencijalne funkcije
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 28/74
Interpolacija (Rungeov primer)
f(x) = 11 + (x/a)2
, x ∈ [−1, 1], a = 2/11
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 34/74
Interpolacija (Rungeov primer)
f(x) = 11 + (x/a)2
, x ∈ [−1, 1], a = 2/11
◮ Interpolacioni cvorovi: xk, k = 1, 2, . . . , n
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 34/74
Interpolacija (Rungeov primer)
f(x) = 11 + (x/a)2
, x ∈ [−1, 1], a = 2/11
◮ Interpolacioni cvorovi: xk, k = 1, 2, . . . , n
◮ Ekvidistantni cvorovi: xk = −1 +2(k − 1)n− 1
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 34/74
Interpolacija (Rungeov primer)
f(x) = 11 + (x/a)2
, x ∈ [−1, 1], a = 2/11
◮ Interpolacioni cvorovi: xk, k = 1, 2, . . . , n
◮ Ekvidistantni cvorovi: xk = −1 +2(k − 1)n− 1
◮ Cebisevljevi cvorovi: xk = − cos(2k − 1)π
2n
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 34/74
Interpolacija (Rungeov primer)
f(x) = 11 + (x/a)2
, x ∈ [−1, 1], a = 2/11
◮ Interpolacioni cvorovi: xk, k = 1, 2, . . . , n
◮ Ekvidistantni cvorovi: xk = −1 +2(k − 1)n− 1
◮ Cebisevljevi cvorovi: xk = − cos(2k − 1)π
2n
Nule Cebiševljevih polinoma
Tn(x) = cos(n arccos x), −1 ≤ x ≤ 1
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 34/74
Interpolacija (Runge-ov primer)
y = f(x)
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 35/74
◮ n = 3 xk = −1 + 2(k−1)n−1
æ
æ
æ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 36/74
◮ n = 5 xk = −1 + 2(k−1)n−1
æ
æ
æ
æ
æ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 37/74
◮ n = 9 xk = −1 + 2(k−1)n−1
ææ
æ
æ
æ
æ
æ
ææ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 38/74
◮ n = 17 xk = −1 + 2(k−1)n−1
æ æ æææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æææ æ æ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 39/74
◮ n = 33 xk = −1 + 2(k−1)n−1
æ æ æ ææ ææ ææææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
ææææ æ æ æ æ æ æ æ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 40/74
◮ n = 65 xk = −1 + 2(k−1)n−1
ææææææææææææææææææææææææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
ææææææææææææææææææææææææ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 41/74
◮ n = 129 xk = −1 + 2(k−1)n−1
ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æææææææææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 42/74
◮ y = f(x)
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 43/74
◮ y = f(x)
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
◮ Interpolacioni polinom za n = 3, 5, 9, 17
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 43/74
◮ n = 17
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
divergencija konvergencija divergencija
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 47/74
◮ y = f(x)
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 48/74
◮ n = 3 xk = − cos (2k−1)π2n
æ
æ
æ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 49/74
◮ n = 5 xk = − cos (2k−1)π2n
æ
æ
æ
æ
æ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 50/74
◮ n = 9 xk = − cos (2k−1)π2n
æ ææ
æ
æ
æ
ææ æ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 51/74
◮ n = 17 xk = − cos (2k−1)π2n
ææ æ ææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æææ æ ææ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 52/74
◮ n = 33 xk = − cos (2k−1)π2n
ææææææææ æ
æææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æææ æ ææææææææ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 53/74
◮ n = 65 xk = − cos (2k−1)π2n
ææææææææææææææææææ
ææææææææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
ææææææææææææææææææææææææææ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 54/74
◮ n = 129 xk = − cos (2k−1)π2n
æææææææææææææææææææææææææææææææææææ
ææææææææææææææææææææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æææ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 55/74
◮ n = 3
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 56/74
◮ n = 5
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 57/74
◮ n = 9
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 58/74
◮ n = 17
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 59/74
◮ n = 33
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 60/74
◮ n = 33
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 61/74
◮ n = 33
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Konvergencija za svako x ∈ [−1, 1]
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 61/74
Standardan i težinski Lagrange-ov polinom zaf(x) = sgn(x− 1/4) na [−1, 1] i n = 50 cvorova
-1 -0.5 0.5 1
-0.5
0.5
1
w(x) = 1√1−x2
-1 -0.5 0.5 1
-0.5
0.5
1
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 62/74
◮ n = 10, 50, 100; w(x) = (1− x2)−1/2
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 63/74
Primer funkcije sa singularitetom u (−1, 1):
f(x) =1
√
| sin(x− 12)|
log1
1− x2
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 64/74
Primer funkcije sa singularitetom u (−1, 1):
f(x) =1
√
| sin(x− 12)|
log1
1− x2
limx→±1
f(x) = +∞, limx→±1/2
f(x) = +∞.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 64/74
Primer funkcije sa singularitetom u (−1, 1):
f(x) =1
√
| sin(x− 12)|
log1
1− x2
limx→±1
f(x) = +∞, limx→±1/2
f(x) = +∞.
◮ Težinska interpolacija sa
u(x) = (1− x2)3/2|x− 1/2|5/2.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 64/74
Težinski Lagrange-ov polinom (n = 50, 100)
-1 -0.5 0.5 1
2
4
6
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 65/74
Težinski Lagrange-ov polinom (n = 50, 100)
-1 -0.5 0.5 1
2
4
6
-1 -0.5 0.5 1
2
4
6
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 65/74
Na istom grafiku (n = 50, 100)
-1 -0.5 0.5 1
2
4
6
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 66/74
Na istom grafiku (n = 50, 100)
-1 -0.5 0.5 1
2
4
6
0.45 0.5 0.55 0.6
2
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 66/74
Primer funkcije na (0,+∞) sa (unutrašnjim)singularitetom
f(x) =ex/2√xsgn(x− 10).
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 67/74
Primer funkcije na (0,+∞) sa (unutrašnjim)singularitetom
f(x) =ex/2√xsgn(x− 10).
v(x) = x3/2e−x/2|x− 10|2, w5/2(x) = x5/2e−x.
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 67/74
Primer funkcije na (0,+∞) sa (unutrašnjim)singularitetom
f(x) =ex/2√xsgn(x− 10).
v(x) = x3/2e−x/2|x− 10|2, w5/2(x) = x5/2e−x.
◮ Težinski interpolacioni polinom Ln+1(w5/2;x) jeprikazan za n = 50, 100, 200, 300
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 67/74
Primer funkcije na (0,+∞) sa (unutrašnjim)singularitetom
f(x) =ex/2√xsgn(x− 10).
v(x) = x3/2e−x/2|x− 10|2, w5/2(x) = x5/2e−x.
◮ Težinski interpolacioni polinom Ln+1(w5/2;x) jeprikazan za n = 50, 100, 200, 300
na segmentima (a) [6, 5] i (b) [20, 40].
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 67/74
0 5 10 15 20
-20
-10
0
10
20
30
0 10 20 30 40
-60
-40
-20
0
20
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 68/74
25 30 35 40
1000
2000
3000
25 30 35 40
1000
2000
3000
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 71/74
n = 50, n = 100, n = 200, and n = 300
25 30 35 40
1000
2000
3000
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 72/74
n = 50, n = 100, n = 200, and n = 300
25 30 35 40
1000
2000
3000
25 30 35 40
1000
2000
3000
NUMERICKA ANALIZANovi pravci i izazovi – p. 72/74