Numericko Resavanje Obicnih Digerencijalnih Jednacina

NUMERIČKO REŠAVANJE OBIČNIH

DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

NUMERIČKA MATEMATIKA

SADRŽAJ

Postavka problema

Egzistencija rešenja

Eulerov metod

Metodi Runge-Kutta

2 13.01.2011.

NUMERIČKA MATEMATIKA

POSTAVKA PROBLEMA

3 13.01.2011.

Pod diferencijalnom jednačinom se podrazumeva jednačina u

kojoj se pored nepoznate funkcije i njenog argumenta pojavljuje i

jedan ili više njenih izvoda.

Rešenje ili integral diferencijalne jednačine je funkcija koja

zadovoljava tu jednačinu.

Primer: ako je y= y(x) nepoznata funkcija argumenta x, imamo:

Diferencijalne jednačine Rešenje

y’ – y = ex y(x) =xex + Cex

y’’ + 9y = 0 y(x) =C1sin3x + C2cos3x

y’ + 1/2y = 0 y(x) =√C-x

C- proizvoljna brojna konstanta

NUMERIČKA MATEMATIKA 4 13.01.2011.

POSTAVKA PROBLEMA

Za diferencijalne jednačine prvog reda zadaju se takozvani početni

uslovi:

y’ = f ( x,y ), y( x0 )= y0, (1)

Uslov y( x0 )= y0 se naziva početni uslov i u praksi obično proizilazi

iz prirode problema, koji se opisuje jednačinom y’ = f(x,y) .

Ovo je poznato kao Cauchyev problem.

Primer:

y’= y+1, y(0)= 0 rešenje: y= ex -1

y’=6x-1, y(1)= 6 rešenje: y=3x2-x+4

y’=x/y+1, y(0)= 0 rešenje: y=√x2+1 -1.


EGZISTENCIJA REŠENJA

Prilikom rešavanja diferencijalnih jednačina u praktičnim primenama

vrlo često nailazimo na slučajeve, koje ne možemo elementarno rešiti

ili bi elementarno rešenje bilo previše složeno.

Tada možemo pristupiti numeričkom određivanju približnog rešenja.

Numeričko rešenje je poželjno čak i u slučajevima kada postoji

rešenje u konačnom obliku, ali je vrlo komplikovano.

Numeričko rešenje diferencijalne jednačine često je zadato u obliku

tabele tako da analitički izraz za funkciju ostaje i dalje nepoznat.

Činjenica da diferencijalna jednačina ne poseduje eksplicitno

rešenje ne znači da to rešenje ne postoji u matematičkom smislu.

Sledeća teorema utvrđuje egzistenciju rešenja diferencijalne

jednačine.



TEOREMA 1. Neka je dat Cauchyev problem y’ = f( x,y ), y( x0 )= y0,

i neka je neprekidna u oblasti ,

gde su a, b > 0. Dalje, neka su ispunjeni uslovi:

a)

b)

Tada postoji jedinstveno rešenje y=y(x) Cauchyevog problema

y’ = f(x,y ), y( x0 )= y0, definisano i neprekidno za sve vrednosti x iz

intervala I = [ x0 - h, x0 +h ], gde je h = min { a, b/M }.

| f ( x, y1 ) - f ( x, y2 ) | ≤ L | y1 - y2 | - Lipschitzov uslov

L - Lipschitzova konstanta funkcije f.

RR 2:f byyaxxyx 00 ,),( 2RD

,),( ),),(()0( MyxfyxM D

212121 ),(),(),),(),,(()0( yyLyxfyxfyxyxL D



Primer 1. Pokazati da je Cauchyev problem

y’ =( x+sin y)2, y(0)= 3

Ima rešenje za xє [ -1,1].

Rešenje: Kako je f( x,y )=(x+sin y)2 i ( x0,y0)=(0,3), posmatramo oblast

D = {{x, y) | |x| ≤ 1, |y - 3| ≤ b}, b є R.

Funkcija f je ograničena na D pomoću konstante M koja mora da

ispunjava uslov: |f (x,y)| ≤ (1 + 1)2 ≡ M. Sledi da je M = 4.

Da bismo pokazali da rešenje postoji na intervalu [-1,1], treba da

pokažemo da je h = min {1,b/M} ≥1, što znači da je uslov ispunjen za

b ≥ 4. Dakle, prema teoremi 1 sledi da postoji rešenje datog

Cauhyevog problema za |x| ≤ h ≤ 1.

byyaxxyx 00 ,),( 2RD


EULEROV METOD

Euler metoda, nazvana po Leonard Euleru, je prvog reda numerički

postupak za rešavanje običnih diferencijalnih jednačina, za date

početne vrednosti.

Eulerov metod ne spada u analitičke metode. Aproksimacija

funkcije rešenja ne dobija se u obliku izraza, već u obliku tabele

približnih vrednosti.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Euler_method.png


EULEROV METOD

Neka je dat Cauchyjev problem na intervalu [a, b]

y’ = f( x,y ), y( x0 )= y0,

čije rešenje se traži. Interval [a, b] podelićemo na n podintervala

pomoću tačaka

gde je


EULEROV METOD

Pretpostavimo da je funkcija y neprekidna zajedno sa svojim

izvodima y' i y". Tada na osnovu Taylorove formule postoji tačka c1

između X0 i x (x є ( X0, X1 )) takva da je:

Kako je odavde sledi da za x = x1 dobijamo:

Ako je korak h dovoljno mali, zanemarićemo poslednji član na

desnoj strani i za aproksimaciju tačne vrednosti y(x1) uzeti:


EULEROV METOD

Aproksimacija tačne vrednosti y(x2) na intervalu [x1, x2]:

Opšti oblik pojedinačnog koraka Eulerovog metoda:

Ovako se dobijaju niz tačaka (xk, yk), k= 0, ..., n, čijim spajanjem

nastaje poligonalna linija koja se zove Eulerov poligon. Ova

poligonalna linija aproksimira grafik tražene funkcije y=y(x) (sl.1).

)1...,,1,0(),,(1 nkyxhfyy kkkk


Sl.1 Eulerov poligon

EULEROV METOD


EULEROV METOD

Eulerov metod očigledno nije mnogo precizan i u zavisnosti je od

broja koraka n tj. od veličine koraka h. Sa slika se vidi da će

akumulirana greška Eulerovog metoda biti značajna.

Na celom intervalu [a, b] posle n koraka greška iznosi:

Sl.2 Geometrijska interpretacija Eulerove metode

0x1x 2x 3x x

0y

1y

2y

3y

y

)( 0xy

)( 1xy

)( 2xy

)( 3xy

)(xyy


EULEROV METOD- Primer

Primer: Rešiti diferencijalnu jednačinu

y' = 2xy, x0 = 0 i y0 = 1

na intervalu [0,1] za h = 0.1.

Rešenje:

U tabeli 1. je dat rezultat dobijen Eulerovom metodom i vrednost

analitičkog rešenja ( ). Na osnovu podataka u tabeli vidi se

da je kvalitet rešenja dobijenog Ojlerovom metodom vrlo nizak.

(Tabela 1.)

k

kkkk yhxyy 21


METOD RUNGE-KUTTA

Carl Runge (1895) i Wilhelm Kutta (1901) razvili su metode koje se

zasnivaju na primeni Taylorovog reda, ali izbegavaju izračunavanje

izvoda date diferencijalne jednačine.

Najpre su izvedeni metodi nižeg reda, kao što su Runge-Kutta reda

dva i Euler-Cauchyev metod. Ovi metodi imaju malu preciznost, a

metod koji je u mnogo široj upotrebi je metod Runge-Kutta reda četiri.

Karl David Tolme Runge Martin Wilhelm Kutta

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0:CarleRunge.jpg


METODI RUNGE-KUTTA

Ideja ovih metoda je da se u Taylorovoj metodi izraz zameni

jednostavnijim tj. vrednost se izračunava na sledeći način:

pri čemu je:

),( nnp yxhT

1ny

,)(

1

1

n

i

r

i

inn Kyy

(1)

riKbyhaxhfK

KbyhaxhfK

yxhfK

n

j

i

j

ijnin

n

i

n

nn

n

nn

n

,...,2,1),,(

),,(

),(

)(1

1

)(

)(

1212

)(

2

)(

1

Neodređeni koeficijenti se određuju iz jednakosti ijii ba ,,

)(

1

),( n

i

r

i

innp KyxhT

(2)

tj. iz jednačina koji se dobija izjednačavanjem koeficijenata uz iste

stepene h na levoj i desnoj strani.

Izborom p odnosno r dobijaju se metode Runge – Kuta različitog

reda.


METODI RUNGE-KUTTA 2. REDA

Dobija se za p=2 i r=2. Prema (1) je

pri čemu je:

Razvijanjem K2(n) primenom Tejlorove formule dobija se:

tj.

Iz prethodne relacije i (2) izjednačavanjem odgovarajućih

koeficijenata uz hk, dobija se sistem jednačina

)(

22

)(

111

nn

nn KKyy

).,(),,( 1212

)(

2

)(

1 KbyhaxhfKyxhfK nn

n

nn

n

3

212

2)(

2 ,,,, hOyxfyxfbyxfahyxhfK nnnnynnxnn

n

nnnnynnxnnnn yxfyxfbyxfahyxfhyy ,,,, 2122

2

211

5.0

5.0

1

212

22

21

b

a

(3)



Sistem (3) sastoji se iz tri jednačine sa četiri nepoznate, tako da ima

beskonačno rešenja. Neka od njih su:

a)

Tada (1) ima oblik

Ova metoda je poznata kao modifikovana Eulerova metoda.

b)

Tada (1) ima oblik

Ova metoda je poznata kao Heuna metod.

Greška na jednom koraku kod ovih metoda je .

5.0,1,0 21221 ba

,...2,1,0)),,(2

,2

(1 nyxfh

yh

xhfyy nnnnnn

1,5.0 21221 ba

,...2,1,0))),,(,(),((2

1 nyxhfyhxfyxfh

yy nnnnnnnn

)O(hE 3



Dobija se za p=4 i r=4 tako da je

pri čemu je

Slično kao kod metode 2. reda dobija se sistem jednačina, po

neodređenim koeficijentima, koji ima beskonačno mnogo rešenja.

)(

44

)(

33

)(

22

)(

111

nnnn

nn KKKKyy

),(

),,(

),,(

),,(

)(

343

)(

242

)(

1414

)(

4

)(

232

)(

1313

)(

3

)(

1212

)(

2

)(

1

nnn

nn

n

nn

nn

n

n

nn

n

nn

n

KbKbKbyhaxhfK

KbKbyhaxhfK

KbyhaxhfK

yxhfK



Standardna metoda Runge – Kuta 4. reda dobija se za

pa je

pri čemu je

Greška metode na svakom koraku je

1,0,2

1,1,

2

1,

3

1,

6

14342413132214323241 bbbbbbaaa

,...1,0,226

1 )(

4

)(

3

)(

2

)(

11 nKKKKyy nnnn

nn

),(

),2

,2

(

),2

,2

(

),,(

)(

3

)(

4

)(

2)(

3

)(

1)(

2

)(

1

n

nn

n

n

nn

n

n

nn

n

nn

n

KyhxhfK

Ky

hxhfK

Ky

hxhfK

yxhfK

)O(hE 5



xi xi + h/2 xi + h

f1

f2

f3

f4

4321 226

1fffff

f

Graphical Representation of the 4rth order method:


METODI RUNGE-KUTTA - Primer

Primer: Rešiti diferencijalnu jednačinu

y' = 2xy, x0 = 0 i y0 = 1

na intervalu [0,1] za h = 0.1.

Rešenje:

U tabeli je dat rezultat dobijen Runge-Kutta metodom četvrtog reda i

vrednost analitičkog rešenja dobijen korišćenjem ugrađenih

matematičkih funkcija u Turbo Pascal-u.

na intervalu [0, 1] uporedićemo efikasnost Eulerove i RK metode.

xk y(xk)

0.0 1,000000000 1,000000000

0.1 1,010050167 1,010050167

0.2 1,040810770 1,040810774

0.3 1,094174265 1,094174284

0.4 1,173510814 1,173510871

0.5 1,284025256 1,284025417

0.6 1,433328995 1,433329415

0.7 1,632315187 1,632316220

0.8 1,896478467 1,896480879

0.9 2,247902590 2,247907987

1.0 2,718270175 2,718281828



k xk y(xk)

0.0 1,000000000 1,000000000

0.1 1,010050167 1,010050167

0.2 1,040810770 1,040810774

0.3 1,094174265 1,094174284

0.4 1,173510814 1,173510871

0.5 1,284025256 1,284025417

0.6 1,433328995 1,433329415

0.7 1,632315187 1,632316220

0.8 1,896478467 1,896480879

0.9 2,247902590 2,247907987

1.0 2,718270175 2,718281828

Eulerov vs RK metod

Iz primera se vidi da je slaganje sa analitičkim rešenjem daleko veće

kod rezultata Runge-Kutta metode nego kod rezultata Ojlerove metode.



Primer : Neka je data diferencijalna jednačina

Rešenje:



Rezultati izračunavanja prikazani su u Tabeli 3 zajedno sa

vrednostima tačnog rešenja i greškom.

Tabela 3.


LITERATURA

1. LJILJANA PETKOVIĆ- Numerička analiza , Mašinski fakultet, Niš,

2003.

2. RUDOLF SCITOVSKI- Numerička matematika, II izdanje, Odjel za

matematiku, Osijek, 2004.

3. ZLATKO DRMAČ, VJERAN HARI, MILJENKO MARUŠIĆ, MLADEN ROGINA,

SANJA SINGER, SAŠA SINGER- Numerička analiza, Sveučilište u

Zagrebu, matematički odjel, Zagreb, 2003.

4. ALEKSANDAR IVIĆ - Numerička analiza

5. GRADIMIR V. MILOVANOVIĆ, MILAN A. KOVAČEVIĆ, MIODRAG M.

SPALEVIĆ- Numerička matematika, Zbirka rešenih problema,

Niš/Kragujevac 2002.


HVALA NA PAŽNJI!!!

Documents

Numericko Resavanje Obicnih Digerencijalnih Jednacina