El n´ umero Pi-Segundo metodo Octavio del ´ AngelG´omez 04 de Agosto de 2015 1. Introducci´ on Antes que nada debe considerarse que las ra´ ıces de sin x x son ±nπ , donde n =1, 2, 3, ... entonces, se puede expresar el seno como un producto infinito de factores lineales de sus ra´ ıces: sin x x = k(1 - x π )(1 + x π )(1 - x 2π )(1 + x 2π )(1 - x 3π )(1 + x 3π ) · ·· (1) donde k es una constante. Para encontrar la constante k, se toma el l´ ımite en ambos lados: l´ ım x→0 sin x x = l´ ım x→0 (k(1 - x π )(1 + x π )(1 - x 2π )(1 + x 2π )(1 - x 3π )(1 + x 3π ) · ··)= k (2) de donde se observa que k = 1, de esta manera se obtiene sin x x = (1 - x 2 π 2 ) · (1 - x 2 4π 2 ) · (1 - x 2 9π 2 ) · ·· (3) Lo anterior puede escribirse como un producto infinito sin x x = ∞ Y n=1 (1 - x 2 π 2 n 2 ) (4) Tomando x = π 3 (5) Obtenemos π 3 = √ 3 2 · 3 2 2 · 4 · 6 2 5 · 7 · 9 2 8 · 10 · 12 2 11 · 13 · ·· (6) 1
método para obtener a Pi usando el método de Wallis
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El numero Pi-Segundo metodo
Octavio del Angel Gomez
04 de Agosto de 2015
1. Introduccion
Antes que nada debe considerarse que las races de sin xx son npi
, donde n = 1, 2, 3, ... entonces, se puedeexpresar el seno como un
producto infinito de factores lineales de sus races:
sinx
x= k(1 x
pi)(1 +
x
pi)(1 x
2pi)(1 +
x
2pi)(1 x
3pi)(1 +
x
3pi) (1)
donde k es una constante. Para encontrar la constante k, se toma
el lmite en ambos lados:
lmx0
sinx
x= lm
x0(k(1 x
pi)(1 +
x
pi)(1 x
2pi)(1 +
x
2pi)(1 x
3pi)(1 +
x
3pi) ) = k (2)
de donde se observa que k = 1, de esta manera se obtiene
sinx
x= (1 x
2
pi2) (1 x
2
4pi2) (1 x
2
9pi2) (3)
Lo anterior puede escribirse como un producto infinito
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