Número transfinito 1

Número transfinitoEn teoría de conjuntos, número transfinito es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujopara referirse a los ordinales infinitos, esto es, mayor que cualquier número natural o finito, para diferenciarlos delinfinito real o absoluto. En la terminología moderna, al referirse a ordinales o cardinales, «transfinito» e «infinito»son sinónimos.[1]

Primeros números transfinitosAl igual que con los números naturales, puede pensarse en los números transfinitos como cardinales u ordinales:• ω (omega): es el menor ordinal transfinito. Sus elementos son los números naturales, tal y como son construidos

en teoría de conjuntos, y representa el tipo de orden de estos.• ℵ0, alef-0: es el primer número alef, y el primer cardinal transfinito (asumiendo el axioma de elección). Es

conjuntísticamente idéntico a ω, pero se utilizan notaciones diferentes para resaltar el aspecto ordinal o cardinalde los conjuntos numerables.

• ℵ1, alef-1: es el segundo número alef, y el cardinal siguiente a ℵ0 (asumiendo el axioma de elección).• c = 2ℵ0: es el cardinal del continuo, el número cardinal de los puntos de una recta o de los números reales.Asumiendo el axioma de elección, todo lo que puede demostrarse con los axiomas de Zermelo-Fraenkel es:

La hipótesis del continuo afirma que de hecho c = ℵ1. Sin embargo, el trabajo de Gödel y Paul Cohen demuestra quela hipótesis es independiente de dichos axiomas: no puede ser refutada o demostrada a partir de ellos. Es decir,usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen

. La hipótesis del continuo afirma que de hecho . Gödel probó en 1938 que esta hipótesis esconsistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sinembargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con losaxiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, puedenconstruirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" (en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta),como "teorías de conjuntos no cantorianas" (en las que la hipótesis del continuo sea falsa). Esta situación es similar ala de las geometrías no euclidianas.

Aritmética de cardinales transfinitosPara los números transfinitos se pueden extender sin ambigüedad la suma, la multiplicación y la potenciación. Seanpor ejemplo dos conjuntos disjuntos y , la suma y la multiplicación puedeconstruirse a partir del cardinal de la unión y del producto cartesiano de estos dos conjuntos:

Es sencillo comprobar que estas operaciones están bien definidas ya que:

Aunque la suma y la multiplicación no presentan problemas, la resta y la división no están definidas. A diferencia delo que sucede con los cardinales finitos no pueden definirse sin ambigüedad operaciones equivalentes a la resta o ladivisión. La resta y la división pueden introducirse entre los cardinales finitos gracias a que a partir del conjunto delos cardinales finitos, que coinciden con los números naturales , pueden construirse el conjunto de los enteros yde los racionales. La construcción de los enteros y los racionales es posible debido a que todo cardinal finito esregular respecto a la suma, es decir, para cualesquiera cardinales a, b y c > 0, finitos se cumple:

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Esas dos últimas propiedades de hecho no se cumplen nunca cuando uno de los cardinales es transfinito, sitenemos la siguientes igualdades:

Los cardinales transfinitos dotados de la suma o la multiplicación constityen un monoide conmutativo. Debido a lafalta de regularidad de los cardinales transfinitos no es aplicable el teorema de simetrización de un monoide quepermitiría definir la resta y la división. La potenciación requiere construir un conjunto más complicado, pero resultaigualmente bien definida. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y y se puededefinir la exponenciación como el cardinal del conjunto de funciones de B en A:

Un caso particular interesante se da cuando a = 2, en este caso podemos por ejemplo A = {0,1}, y el conjunto AB sepuede identificar naturalmente con el conjunto de partes de B o conjunto potencia.

La potenciación también tiene propiedades de saturación curiosas, así para cardinales de tipo alef se tiene:

Historia y desarrolloCantor se percató de que era posible hablar de la cantidad de elementos de un conjunto infinito tal y como se hablade la cantidad de elementos de un conjunto finito. Es decir, encontró que era posible “medir” el tamaño de unconjunto infinito y, de hecho, comparar el tamaño de dos conjuntos infinitos para encontrar que el de uno era“mayor” que el del otro, y elaboró una teoría hasta cierto punto rigurosa respecto de estas ideas: la teoría de númerostransfinitos.Cantor argumentaba que el desprecio de los matemáticos por el infinito y su naturaleza se debía a un abuso de esteconcepto. Lo que Cantor quería decir era que el término infinito se aplicaba sin distinción a cualesquiera conjuntosno finitos, siendo que, de entre ellos, era posible tomar algunos que son, de alguna manera, medibles y de tamañoscomparables. Las reflexiones y posterior estudio de Cantor acerca de todo esto comenzaron cuando, intuyendo éstealgún resultado no trivial, se preguntó si era posible poner en correspondencia uno a uno el conjunto de los númerosnaturales con el conjunto de los números reales. Pronto pudo Cantor demostrar que no existía tal correspondencia,revelando así una diferencia entre la infinitud de dos conjuntos infinitos, lo que constituyó, en definitiva, unresultado de mucho interés. Cantor probó también que, contrario a lo que pudiera pensarse, el conjunto de losnúmeros racionales, que tiene propiedad de densidad, se corresponde uno a uno con el conjunto de los númerosnaturales.Es fácil dar un ejemplo de dos conjuntos que, uno teniendo todos los elementos del otro y más, se corresponden unoa uno. Tomemos, por ejemplo, a los números naturales:

y tomemos ahora solo aquellos números que son el cuadrado de algún número natural (claramente no todos losnúmeros naturales cumplen con esta característica, por lo que se descartan muchos de ellos):

Apenas es necesario explicar más para percatarse de que existe una correspondencia uno a uno entre y susubconjunto

.

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Además, Cantor encontró que la medición de un conjunto (ya sea finito o infinito), puede realizarse de dos maneras:una de ellas no considera nada más que la cantidad de elementos de un conjunto, mientras que la otra toma en cuentael orden de los elementos de un conjunto. De esta distinción surgen los números cardinales y los números ordinales,los cuales pueden ser también transfinitos. Para conjuntos finitos, estos dos conceptos son equivalentes. Sinembargo, los dos conceptos difieren en el momento de aplicarse a conjuntos infinitos.

Referencias[1] Aunque algunos autores, como utilizan «transfinito» para distinguir entre «infinito» y «Dedekind-infinito».

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http:/ / www. uv. es/ ivorra/ Libros/ Logica. pdf), consultado el22-04-2011.

• Suppes, Patrick (1960). Axiomatic Set Theory (en inglés). D. Van Nostrand Company. LCCN 60010291.

Enlaces externos• Esta obra deriva de la traducción de Transfinite number de la Wikipedia en inglés, publicada por sus editores

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Fuentes y contribuyentes del artículo 4

Fuentes y contribuyentes del artículoNúmero transfinito  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=71763092  Contribuyentes: Alephcero, Ascánder, Baiget, Banfield, Davius, Etox, Gengiskanhg, GermanX, Gsrdzl,Gustronico, Hprmedina, Jkbw, Joseaperez, José., Kismalac, Mister, Pabloallo, Pólux, 25 ediciones anónimas

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