LISTA DE COMPLEXOS MULTIPLICAO, DIVISO E POTENCIAO NA FORMA TRIGONOMTRICA - GABARITO1. Sejam z1 e z2 os nmeros complexos z1 = 3.(cos30 + isen30) e z2 = 5.(cos45 + isen45). Que nmero complexo representa o produto de z1 por z2?Soluo. Utilizando a expresso para o produto na forma trigonomtrica, temos que se os complexos so: ,ento . Logo, o produto pedido ser:

2. Sejam os complexos z1 = 4.(cos 60 + i sen 60) e z2 = (cos 90 + i sen 90). Qual a forma algbrica do complexo z = z1.z2?Soluo. O produto : Como 30 = (180 - 150) temos que sen150 = sen30 e cos150 = - cos30, pois 150 ( 2 Quadrante. Substituindo, vem:

3. Dados z1 = 10.(cos 90 + i sen 90) e z2 = 2.(cos 30 + i sen 30), que nmero complexo representa z1z2?Soluo. Utilizando a expresso para o quociente na forma trigonomtrica, temos que se os complexos so: ,ento . Logo, o quociente pedido ser:

4. Qual o produto dos trs nmeros complexos z1 = 2.(cos 40 + i sen 40) ; z2 = 3.(cos 135 + i sen 135) e z3 = (cos 125 + i sen 125)?Soluo.

O produto : Como 60 = (360 - 300) temos que sen300 = - sen60 e cos300 = cos60, pois 300 ( 4 Quadrante. Substituindo, vem:

5. Calcule o mdulo do nmero complexo (1 + 3i)4.Soluo. O desenvolvimento binomial da potncia possvel, mas a escrita do complexo na forma trigonomtrica simplifica os clculos. Calculando o mdulo, vem:i) ii)

6. Dado o nmero complexo z = cos + i sen , qual o valor de z12?Soluo. Lembrando que , temos:

7. Quando z1 = 2. (cos + i sen )e z2 = 2 . (cos + i sen ), calcule os valores de z1 + z2 e z1.z2, respectivamente.Soluo. O produto ser calculado na forma trigonomtrica. A soma ser realizada na forma algbrica por motivos de simplificao dos clculos:i)

ii)

8. Se um nmero complexo z tem mdulo igual a e argumento igual a , expresse a parte real e a parte imaginaria de z7. Soluo. A forma trigonomtrica do complexo indicado : Logo, a potncia ser:

i) Re(z) = 8

ii) Im(z) = - 89. Calcule o valor de (1 + i)4.Soluo. O desenvolvimento binomial da potncia possvel, mas a escrita do complexo na forma trigonomtrica simplifica os clculos. Calculando o mdulo e argumento, vem:

i)

ii)

10. Um nmero complexo z tal que o seu mdulo e se argumento principal 15. Escreva a forma algbrica de z3.Soluo. A forma trigonomtrica do complexo indicado : Logo, a potncia ser:

11. Qual o valor do complexo ?Soluo. Se z = 1 i ento calculamos o mdulo e argumento escrevendo a forma trigonomtrica. Depois, basta aplicar a potncia negativa (- 12):

i) . Logo, temos:

ii)

12. Calcule o valor da expresso, onde i a unidade imaginria dos complexos.Soluo. Escrevendo na forma trigonomtrica observando o mdulo 1 e os respectivos cosseno e seno, temos: . Elevando a potncia indicada, temos: . Calculando observamos que o termo 26( indica 13 voltas completas. Calculamos apenas o cosseno e seno de . Logo o valor da potncia ser:

13. Calcule o valor de (1 + i)10 + (1 - i)10, onde i a unidade imaginria.Soluo. Escrevendo (1 + i) e (1 i) nas formas trigonomtricas e nas potncias, temos:

i)

i)

Logo, a soma ser: (32) + (- 32) = 0.14. Calcular z5 , sendo . Soluo. Se ento calculamos o mdulo e argumento escrevendo a forma trigonomtrica. Depois, basta aplicar a potncia (5):

i) . Logo,

ii)

EMBED PBrushCOLGIO PEDRO II UNIDADE ESCOLAR SO CRISTVO III

3a SRIE - MATEMTICA I

COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

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