o cálculo de volume de sólidos por seções transversais e o uso de

O CÁLCULO DE VOLUME DE SÓLIDOS POR SEÇÕES

TRANSVERSAIS E O USO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS

Graça Luzia Dominguez Universidade Federal da Bahia, Brasil

[email protected] Jamille Vilas Boas

Instituto Federal da Bahia, Brasil [email protected]

Jonei Cerqueira Barbosa Universidade Federal da Bahia, Brasil

[email protected]

RESUMO

Neste artigo, buscamos analisar como os alunos resolvem tarefas de cálculo

do volume de sólidos usando o método das seções transversais mediados por

materiais manipuláveis, à luz da perspectiva sociocultural da ação mediada

tal como formulada James Wertsch. Para tanto, utilizamos dados

qualitativos de um experimento de ensino. A análise dos dados da pesquisa

sugere que os materiais manipuláveis podem servir como um tipo de

representação matemática aos alunos, a qual denominamos de representação

manipulável. Ela permite a construção de “pontes” entre as representações

verbais e algébricas, enriquecendo os repertórios dos alunos. Porém, os

dados sugerem que os alunos podem não fazer uso dos materiais

manipuláveis tal como esperado, sendo necessário que o professor legitime

tais ações.

Palavras-chave: Materiais Manipuláveis; Ensino de Cálculo; Mediação.

ABSTRACT

In this paper, we try to analyze how students solve tasks about calculating

the volume of solids using the method of cross sections mediated by

manipulative materials, in light of the sociocultural perspective of mediated

action such as formulated by James Wertsch. For this, we used qualitative

V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil

data from a teaching experiment. The findings suggest that manipulatives

play a role as a sort of mathematical representation for students, which we

named manipulative representation. This does not work singly at the

teacher-student interactions; rather, it allows them to build “bridges”

between verbal and algebraic representations so at last enriching students’

repertories. However, students might refuse using manipulatives in their

argumentations, so teachers should make them legitimate in classroom.

Keywords: Manipulatives; Teaching Calculus; Mediation

1 Introdução

Os altos índices de reprovação e evasão nos cursos de Cálculo Diferencial e

Integral (CDI), oferecidos nos primeiros anos dos cursos de graduação na área de

Ciências Exatas, bem como em alguns cursos da área de Humanas, por exemplo,

Administração e Economia, tem sido bem documentados em pesquisas brasileiras

(BARUFI, 1999; MOMETTI, 2007; BELTRÃO, 2009).

De acordo com Barufi (1999), as taxas de reprovação em Cálculo Diferencial e

Integral no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, no

período de 1990 a 1995, foram, em média, de aproximadamente 45%. Situação mais

grave foi indicada com os dados coletados por Rezende (2003) na Universidade Federal

Fluminense (UFF), no período de 2000 a 2002, para o curso de Matemática, em que o

índice de reprovação é superior a 65%.

Este quadro, no entanto, não é prerrogativa das universidades brasileiras. Nos

Estados Unidos, por exemplo, o índice de reprovação situava-se historicamente em

torno de 50%, o que deu origem, na década de 80, ao movimento denominado de

Reforma do Cálculo (FERRINI; GRAHAM, 1991, apud MURPHY 2006).

O modelo de ensino ainda presente na maioria dos cursos de Cálculo é o chamado

ensino tradicional, que prioriza aulas expositivas, centradas no professor e que segue a

seguinte sequência: apresentação de definições, propriedades, teoremas e exemplos,

acompanhadas de resolução de um grande número de exercícios semelhantes. Esse

modelo tem sido apontado como a principal razão pela falta de sucesso acadêmico dos

estudantes nos cursos de CDI (CABRAL, CATAPANI, 2003; MELO, 2002;

VILLAREAL, 1999; CAMPOS, 2007; DALL´ANESE, 2000).

O movimento de Reforma de Cálculo também surgiu da insatisfação de alguns


matemáticos e educadores com o ensino tradicional de Cálculo argumentando a

necessidade da sua reestruturação, pois não era mais um meio eficaz de instrução

(MURPHY, 2006).

Buscando alternativas que possam modificar esse panorama, professores e

pesquisadores propõem outras abordagens pedagógicas que possam contribuir para a

aprendizagem de CDI. Essas estratégias envolvem, por exemplo, a utilização de história

do Cálculo, da modelagem matemática, da resolução de problemas e de computadores

(VILLAREAL, 2003; MELO 2002; KEIBER, RENS, 2008; BELTRÃO, 2009).

Outra proposta de mudança, já documentada na literatura da Educação Matemática,

é o uso de materiais manipuláveis. Consideraremos materiais manipuláveis tal como

definido por Reys (apud Serrazina e Matos, 1996, p. 193) que considera materiais

manipuláveis, que frequentemente nos referiremos apenas como manipuláveis ou

materiais, como “objetos ou coisas que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e

movimentar”. Em outras palavras, são objetos que podem ser sentidos pelo tato e que,

neste caso, estão sendo empregados para fins pedagógicos. Os manipuláveis podem bem

servir ao propósito de visualização, o que, como argumenta Passos (2009), está

relacionado à possibilidade de oferecer aos alunos distintas representações, conforme

afirma a autora, “entende-se que a representação pode ser gráfica, como um desenho

em um papel ou como modelos manipuláveis, ou mesmo por meio de linguagens e de gestos, considerados instrumentos importantes para expressar conhecimentos e ideias dos indivíduos” (p. 82).

Considerando a necessidade de se abordar diferentes formas de representação

aos alunos, uma das possibilidades que se apresenta ao ensino de CDI, em particular, no

cálculo de volume de sólidos, é o uso de materiais manipuláveis. Seguindo uma tradição

de estudos nesta área, buscamos aqui analisar como os alunos resolvem tarefas para

determinar o volume de sólidos através do método das seções transversais mediados por

materiais manipuláveis. O termo “mediação” é um conceito central neste estudo e será

discutido adiante.

Nas próximas seções, circunstanciamos o presente estudo na literatura,

delineamos os procedimentos metodológicos e apresentamos dados que nos serviram de

subsídios para formular uma compreensão para o propósito da investigação.


2 O Cálculo Diferencial e Integral, os materiais manipuláveis e a ação mediada.

É possível ainda encontrar na disciplina Cálculo Diferencial e Integral uma

supervalorização da representação algébrica em detrimento, por exemplo, da

representação geométrica. Segundo Weber (2004) e Alock e Simpson (2005), essa

ênfase nas representações algébricas pode implicar em dificuldades para os alunos, pois

enfatiza apenas uma forma de “visualização”. Portanto, usar várias representações

permite um entendimento mais rico e profundo do conceito (DUVAL, 2006;

TRIPATHI, 2008 apud HENRIQUES, 2010).

Assim, a utilização de manipuláveis pode servir ao propósito de enriquecer os

repertórios dos alunos, já que podem viabilizar outras representações além das

algébricas (VILAS BOAS, 2011).

Turrioni e Perez (2009) afirmam que “o tato (pegar) e a visão (ver) são

primordiais no início da aprendizagem, mesmo para adultos, até chegar à verbalização,

ao registro (sem rigor) e ao objetivo final, a abstração” (p. 70). Ao utilizar os

manipuláveis no ensino superior, além de uma argumentação baseada nos

procedimentos algébricos, como indica Alock e Simpson (2005), os alunos podem

subsidiar suas afirmações baseadas nas ações e observações feitas no manipulável

(VILAS BOAS, 2011). Em outros termos, os alunos podem resolver tarefas

matemáticas pela mediação de manipuláveis.

Tomemos a expressão “tarefas matemáticas” como qualquer situação em que se

requer uma solução matemática. Uma tarefa é composta de um texto no qual se

circunstancia uma pergunta, algo que se quer saber, para ação dos alunos. Por

decorrência, resolver uma tarefa matemática refere-se ao processo de gerar uma

resposta. Neste trabalho, estamos focando nossa análise nas ações dos alunos na

resolução de tarefas relacionadas a conteúdos de Cálculo Diferencial e Integral, no caso

a determinação do volume de sólidos usando o método das seções transversais,

mediadas por manipuláveis.

A noção de ação mediada, utilizada neste trabalho, sugere uma unidade entre o

sujeito, a ação e os meios que a medeiam (ferramentas e linguagem) (WERTSCH,

1991). Podemos afirmar, assim, que o modo como os alunos resolvem tarefas de CDI ao

utilizar materiais manipuláveis é diferente da resolução destas tarefas quando eles não

os utilizam (ou mesmo utilizam outros meios de mediação). O manipulável é uma


ferramenta de mediação e, portanto, de ação (já que, desse ponto de vista, a ação é

sempre mediada). Esta característica leva Wertsch (1991) a apontar uma tensão

irredutível entre o agente e os meios de mediação. Com isto, o teórico conceitualiza a

natureza ativa dos agentes e também dos meios de mediação. Portanto, a inserção, na

sala de aula, de um meio de mediação, como os manipuláveis, representa uma nova

configuração nas ações dos sujeitos, seja aluno ou professor.

Passos (2009) possui um entendimento convergente ao assinalar que os

manipuláveis servem como ferramenta de mediação na tríade professor-aluno-

conhecimento. Diz a autora, que isto se confirma desde que “ocorra uma verdadeira

ação por parte dos alunos e não uma mera reprodução do que foi dito e feito pelo

professor” (p. 83). E completa, afirmando que a partir dos significados que dão às suas

ações, as inferências que enunciam e as constatações que realizam, os alunos podem

formar suas compreensões. Desse modo, a ferramenta, no caso, o manipulável,

introduzida na aula de matemática, estabelece uma relação fundamental, possibilitando

a construção de formas diferentes de agir dos alunos, subsidiando a sua compreensão

matemática de forma particular.

Segue, nesse sentido, que a unidade de nossa análise é a interação entre os

sujeitos e os meios que medeiam à ação. Mais especificamente, focaremos nos sujeitos

resolvendo uma tarefa de CDI mediados por manipuláveis. A seguir, apresentaremos o

método e o contexto deste estudo.

3 O Método e o Contexto

Neste artigo, relatamos resultados de um estudo piloto que teve por objetivo

analisar como os alunos resolvem tarefas de Cálculo Diferencial e Integral mediados por

materiais manipuláveis. Dado este propósito, o estudo classifica-se como sendo de

natureza qualitativa. Segundo Denzin e Lincoln (2005), a pesquisa qualitativa é

caracterizada pela tentativa de dar sentido ou interpretar os fenômenos em termos dos

significados que as pessoas trazem para eles, no caso do presente estudo, alunos

estudando Cálculo Diferencial e Integral.

Para gerar tal entendimento, foi realizado um experimento de ensino. No

experimento de ensino, o pesquisador atua como professor e geralmente interage com os

alunos individualmente ou com pequenos grupos (COBB, 2000). Neste, a primeira

autora, atuou como professora e teve quatro alunos como participantes da pesquisa.

Esses alunos estavam matriculados na disciplina denominada Cálculo B de uma


universidade pública no estado da Bahia, sendo que dois cursavam Engenharia Elétrica

e outros dois eram estudantes dos Bacharelados em Química e Física. Usaremos

pseudônimos para nomeá-los: Edgard, Fernanda, Rita e Tiago.

A escolha desses alunos foi feita pela primeira autora, que lecionou nas turmas

em que os estudantes estavam matriculados, e se deu a partir do critério de maior

engajamento e interesse desses alunos nas suas aulas. Por julgarmos que alunos com

estas características poderiam, no experimento de ensino, serem mais falantes e, assim,

produzirem mais dados para os fins da pesquisa.

Os alunos já conheciam o tema do experimento - o cálculo do volume de sólidos

por seções transversais paralelas - pois tinham assistido às aulas em que a professora

expôs os fundamentos teóricos do assunto e mostrou os manipuláveis que

representavam os sólidos, usando-os na resolução de exercícios. No entanto, eles

participavam das aulas apenas observando os manipuláveis, tendo em vista que o

número de alunos nas salas é maior que cinquenta.

O experimento de ensino se mostrou adequado para o objetivo deste estudo, pois

possibilitava uma nova configuração: os alunos trabalhando em pequenos grupos e o

professor (e pesquisador) acompanhando cada etapa no desenvolvimento da tarefa

(STEFFE, THOMPSON, 2000). Assim, foi possível observar os alunos manuseando os

manipuláveis, levantando conjecturas sobre o cálculo do volume dos sólidos, com o

professor acompanhando e interagindo mais frequentemente.

No que se refere à coleta de dados, a opção pela observação como instrumento

deveu-se à natureza do problema proposto. Segundo Alvez-Mazzotti e Gewandsznajder

(1999), a observação possibilita identificar e registrar as ações dos participantes da

pesquisa, o que nos permitiu investigar como os alunos resolviam as tarefas propostas

com o uso dos manipuláveis. O registro das observações foi realizado através da

gravação em vídeo, que se mostrou a mais indicada, pois permitiu o registro das ações

dos alunos (falas e movimentações dos manipuláveis, por exemplo), que em seguida

foram transcritas e analisadas.

O processo de análise dos dados foi inspirado em procedimentos delineados por

Miles e Hubermam (1994). Os vídeos produzidos foram assistidos pelos autores

algumas vezes, reduzindo-os a trechos de interesse para o propósito do estudo, os quais

foram posteriormente transcritos. Para cada trecho, fizemos uma leitura linha-a-linha,

fazendo anotações e tentando produzir um sentido geral para cada um deles. Após isto,

foi possível organizar, identificar padrões e categorizar os dados, como aqueles que


selecionamos para a seção que segue. Os trechos transcritos aqui são representativos de

cada categoria. Cada turno está numerado, no artigo, de acordo com a ordem de

apresentação neste texto.

4 Apresentação dos dados

No experimento de ensino focalizado neste estudo, foi realizada uma tarefa, que

foi dividida em quatro partes. A tarefa consistia em determinar a expressão da integral

simples que permitisse calcular o volume de quatro sólidos representados por

manipuláveis, usando o método das seções transversais.

Ao iniciar, a professora entregou a tarefa (Anexo I) por escrito aos alunos e um

manipulável que representava o primeiro sólido (Figura 1), solicitando que os alunos

reconhecessem a região da base e as seções (seção ou seção transversal de um sólido é a

região plana obtida quando o intersectamos com um plano) perpendiculares à base.

Figura 1. Manipulável representando metade de um elipsoide de revolução (S1)

Vencida essa etapa, foi apresentado o manipulável que representa o primeiro

sólido agora com as seções destacadas (Figura 2).

Para resolução da tarefa, era necessário reconhecer quais eram a região da base e

as seções transversais do sólido representado, e, assim, determinar a expressão da

integral simples que permite o cálculo do volume do sólido.

À medida que os alunos determinavam a expressão da integral solicitada para

cada sólido, a professora entregava outro manipulável e repetia o processo. Isso foi feito

com mais três manipuláveis (Figura 3).

Figura 2. Manipulável representando o sólido S1 com as seções destacadas


Manipulável representando o sólido com seções planas

retangulares e base um disco (S2)


triangulares e base um disco (S3)


triangulares e base uma região limitada um arco de parábola e

segmentos de reta (S4)

Figura 3- Manipuláveis representando os sólidos usados nas tarefas 2, 3 e 4

respectivamente.

A partir da análise dos dados, foi possível destacar três categorias, as quais

nomeamos como se segue: i) reconhecimento de ideias matemáticas nos manipuláveis,

ii) as relações entre o manipulável e as representações algébricas, iii) a justificação

mediada pelos manipuláveis. Para este artigo, escolhemos trechos dos dados relativos à

segunda parte da tarefa (manipulável S2), que serão apresentados em ordem temporal.

Esses trechos foram escolhidos por oferecerem elementos suficientes que caracterizam e

representam as categorias citadas.

4.1 Reconhecimento de ideias matemáticas

Durante a resolução da tarefa, os materiais manipuláveis eram apresentados aos

alunos. Alguns desses materiais eram totalmente desconhecidos, mas indicados pela

professora como “sólidos”, conforme podemos observar nas falas a seguir:

Participante O que foi dito Outras ações

1 Professora Observe o sólido e tente reconhecer qual a região da base e quais são as seções transversais perpendiculares à base.

Mostra o material manipulável que representa o sólido.

2 Edgard A base é um círculo e as seções são...

Olhando o manipulável em diferentes perspectivas.


Participante O que foi dito Outras ações

3 Rita É uma sela.

4 Tiago

Com o manipulável, faz gestos o com a mão como se estivesse seccionado o manipulável em posições diferentes.

5 Edgard É parábola.

6 Tiago e Rita São retângulos. Tiago continua fazendo gestos com a mão, como se tivesse seccionado o manipulável em posições diferentes.

7 Edgard É mesmo. A gente olha assim.

Manuseia o manipulável.

8 Professora Todos concluíram?

9 Alunos Retângulos

Na fala 1, a professora refere-se ao material manipulável que representa o sólido

apenas como “sólido”, pois a identificação entre o sólido e o material manipulável que o

representa já havia sido legitimada pela professora e pelos alunos em uma aula anterior

a este experimento de ensino. Nesta aula, acerca do cálculo de volume, a professora

apresentava os manipuláveis e reportava-se a eles como sólidos geométricos; o que

também era feito pelos alunos. O mesmo ocorreu quando os alunos referiram-se ao

círculo, na fala 2, e a retângulos, falas 6 e 9.

Nas falas e outras ações 2, 4, 6, 7 e 9, os alunos usam o material para reconhecer a

base e as seções paralelas do sólido. Na ação 4, por exemplo, Tiago, de posse do

manipulável, faz gestos com o dedo indicador como se o estivesse usando para “cortar”

o manipulável. Este gesto funciona como se ele estivesse simulando interseção do


manipulável com planos. Baseando-se nessa ação, Tiago e Rita reconhecem e concluem

(fala/ação 6) que as seções perpendiculares à região circular da base são retângulos. Na

fala/ação 7, Edgard pega o manipulável para confirmar a conclusão de Tiago e Rita.

Este trecho é ilustrativo de como o manipulável serviu ao propósito de

visualização do seccionamento do sólido. Observemos que, neste caso, os alunos

recorreram ao manipulável para reconhecimento das formas geométricas da base e das

secções transversais do sólido, o que podemos observar pelos gestos e falas que

associaram ao manuseio do manipulável. No caso, eles puderam reconhecer uma ideia

central utilizada no cálculo de volumes de sólidos por meio de seções transversais, ou

seja, a visualização e o reconhecimento das seções transversais do sólido.

4.2 Relações entre os manipuláveis e as representações algébricas

Depois de reconhecerem que a base do sólido é uma região circular, as seções

paralelas perpendiculares à base são retângulos e de posse da informação, dada pela

tarefa, de que o círculo que limita a base do sólido tem raio r, os alunos deixaram de

lado o manipulável e começaram a representar no papel a base do sólido. Eles tinham

como objetivo determinar a área da seção transversal e assim obter a expressão que

permite calcular o volume do sólido.

14 Alunos Tentam determinar a área da seção transversal, sem usar os manipuláveis

15 Rita 2r é igual a y. [onde r é raio e

y é a medida da base do retângulo]

16 Fernanda É que na verdade r varia do centro até a extremidade e não assim. [Ela estava querendo dizer que o raio não varia na horizontal e sim na vertical]

Faz gestos com a mão no ar na vertical.

17 Edgard r é uma constante.

18 Fernanda r é daqui até aqui. Mostrando nos apontamentos de Edgard. [mesma afirmação da fala 16]


Os alunos reconhecem no manipulável a base do sólido, mas, ao partirem para os

cálculos algébricos, ficam em dúvida se as bases das seções (retângulos) estão variando

ou não. Confundem o raio do círculo com as bases dos retângulos, como pode ser

constatado nas falas 15, 16 e 17. Apesar dessas dificuldades, eles não recorrem

espontaneamente aos manipuláveis, como ilustrado na ação 14.

A professora percebendo que os alunos estavam com dificuldades para entender

que as bases das seções não estão fixas, e que não encontravam a solução, interveio

sugerindo que eles retornem ao manipulável de forma a obter os elementos necessários

a dirimir as dúvidas.

20 Professora Use o sólido.

21 Rita

Pega o manipulável e faz gestos com a caneta sobre o manipulável, como se a caneta representasse a base do retângulo.

22 Professora Olhe o modelo, se você

olhar aqui, a base do retângulo não é sempre a mesmo, não é? São cordas, não é?

Mostra o manipulável, para destacar que as bases dos retângulos são cordas da circunferência que limita a região circular da base.

24 Edgard É são cordas, e não o raio. Os outros alunos concordam.

Os alunos voltam-se novamente para os cálculos, mas Tiago ainda está com

dúvidas e pega mais uma vez o manipulável, enquanto Fernanda e Edgard continuam

trabalhando nos procedimentos algébricos.


25 Tiago Não seria duas vezes a integral, de 0 até a, de r vezes 2r. No caso, a base é o diâmetro, logo vai ser duas vezes o raio. [ainda confunde o raio de círculo com a medida da base do retângulo]

Com o manipulável na mão conversando com Rita.

Mais uma vez, a professora interveio formulando algumas perguntas, para que o

aluno pudesse realizar a tarefa, como podemos perceber nos trechos a seguir. Durante

essa assistência, Tiago está com o manipulável nas mãos.

Nas falas de 25 a 38, apesar de estar com o manipulável nas mãos, Tiago não

consegue estabelecer sozinho as relações entre a sua observação do manipulável

(reconhecimento da base e seções transversais paralelas do sólido) com os

procedimentos algébricos necessários à resolução da tarefa. Com a intervenção da

professora, o aluno finalmente consegue perceber a relação entre a base do retângulo e o

raio do círculo que limita a base do sólido.

26 Professora Quais são as seções transversais?

27 Tiago e Rita São retângulos. Olhando o manipulável.

28 Professora A base do retângulo está sobre quem?

29 Tiago Círculo. Mostrando o manipulável.

30 Professora Esse círculo tem raio r, certo?

31 Tiago e Rita Certo.

32 Professora Qual é a área do retângulo?

33 Rita Base vezes altura.

34 Professora A base está fixa?

35 Rita Fixa como?

36 Tiago Está.

37 Professora Não, a base está variando.

38 Tiago Ah, é! Olha para o manipulável e depois da conclusão, deixa-o sobre a mesa.


Nesse momento, Edgard apresenta uma nova dúvida sem, no entanto, recorrer ao

manipulável para tentar solucioná-la.

A informação solicitada por Edgard (fala 39), sobre qual era altura da seção não

constava na tarefa. A professora tinha o propósito que esse dado fosse obtido através do

manipulável. Como ele não tinha percebido que esta informação poderia ser inferida do

manipulável, a professora sugere que ele examine o manipulável.

Para realização da tarefa, a professora precisou intervir, sugerindo, nas falas e

ações 20 e 40 e também indicando na fala 22, a utilização do manipulável para

estabelecer conexões entre os dados obtidos pela visualização e os procedimentos

algébricos necessários à resolução da tarefa.

É possível perceber, nestes trechos, que os alunos não recorrem ao manipulável tal

como esperado pela professora. Para utilizá-los na resolução da tarefa, a professora

necessitou recomendar explicitamente o seu uso. A conexão entre o que é visualizado

no manipulável e a representação algébrica parece não se estabelecer de forma

espontânea. Mesmo nesta aula, em que os alunos já haviam reconhecido as formas

geométricas da base e das secções paralelas do sólido nos materiais, houve uma

dificuldade de estabelecer a relação entre o manipulável e a representação algébrica.

Para que houvesse essa conexão, a mediação explícita da professora foi fundamental.

4.3 Justificação mediada pelos manipuláveis

No decorrer da tarefa, há momentos em que os alunos percebem que poderiam

recorrer ao manipulável para apoiar a resolução, como é possível depreender nos

trechos subsequentes:

39 Edgard Professora, nós vamos considerar a altura constante?

40 Professora Olhe o modelo. Mostra o manipulável com as seções paralelas destacadas que representam o sólido.


No item 41, Fernanda começa a estabelecer a relação entre a altura e a base do

retângulo, que poderia ser visualizada usando o manipulável. Mais uma vez, a

professora faz uma intervenção (fala 42) para que eles concluam essa relação. Quando

Fernanda e Edgard concluem que a medida da altura é metade da base do retângulo, a

professora solicita a Edgard (fala 46) que apresente para os outros colegas a conclusão

obtida e, nesse momento, ele recorre ao manipulável para justificar seus argumentos

(fala/ação 47). Este trecho é ilustrativo do papel que os materiais manipuláveis pode

exercer para sustentar argumentos dos alunos. Podemos notar que os manipuláveis

foram úteis, aos alunos, para levantar certa conclusão, bem como para comunicá-la aos

colegas.

41 Fernanda Vai variar numa proporção, na verdade são dois quadrados. [referindo-se a seção transversal, com o objetivo de obter a altura]

Olhando manipulável que se encontra nas mãos de Érico.

42 Professora Isso quer dizer o que, então?

43 Edgard e Fernanda

A altura é metade do lado, do l.

44 Professora Isso!

45 Edgard Ah sim. Deixa o manipulável sobre a mesa e volta para o registro na folha de resposta.

46 Professora Viram aí, Tiago e Rita, a conclusão de Edgard.

47 Edgard A conclusão é que cada retângulo, cada seção pode ser dividido em dois quadrados. Está dividindo exatamente o lado do retângulo em dois, portanto l vai ser igual, na verdade a altura vai ser l sobre dois.

Usa a caneta apontada para o manipulável para mostrar aos colegas a que conclusão chegou.


5 Discussão

Este artigo buscou compreender, através dos recortes de dados das interações

orais e gestuais, coletadas e registradas em vídeo, as ações dos alunos na resolução de

tarefas relacionadas a conteúdos de Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista

teórico que tomamos, as ações desenvolvidas pelos alunos neste contexto estão

diretamente condicionadas pelos meios mediação que eles utilizam. Neste caso

particular, colocamos lentes na unidade alunos-agindo-com-materiais-manipuláveis. A

partir da análise dos dados, foi possível destacar três categorias: i) o reconhecimento de

ideias matemáticas nos manipuláveis, ii) a relação entre os manipuláveis e iii) as

representações algébricas e a justificação mediada pelos manipuláveis.

Tradicionalmente nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral, as representações

de objetos matemáticos podem ser verbais (palavras), algébricas (símbolos

matemáticos) e pictóricas (diagramas, gráficos e tabelas). No experimento de ensino em

análise, porém o modo como os alunos utilizam os manipuláveis, reconhecendo as

ideias matemáticas que eles expressão e fazendo justificações mediadas pelos

manipuláveis, nos permite afirmar que os manipuláveis também podem servir como um

tipo de representação matemática, que denominaremos aqui de representação

manipulável. Seguindo Sfard (2008), podemos ver a representação manipulável na aula

de matemática como um mediador na comunicação da aula de matemática que tem

como característica a possibilidade de ser palpável.

Como foi discutida, a irredutível tensão entre o agente e os meios que medeiam a

ação (WERTSCH, 1991) nos permite afirmar que a inserção do manipulável na

resolução de uma tarefa de matemática gera modificações nas ações e,

consequentemente, este pode ser utilizado como uma representação manipulável. Nos

dados apresentados, é possível observar, através das ações dos alunos mediadas pelos

manipuláveis, que eles reconhecem os elementos geométricos nos materiais, a saber, a

base e seções transversais paralelas do sólido, e verbalizam esse reconhecimento (falas

2 e 6), estabelecendo assim, pontes entre as representações, a que denominamos de

manipulável, e as representações verbais desses objetos matemáticos. As representações

manipuláveis vão além da visualização de sólidos geométricos. Elas medeiam as ações

dos alunos e possibilitam estabelecer conexões entre as representações manipuláveis, as

representações algébricas e as representações verbais. A identificação, a possibilidade

de transitar e estabelecer relações entre tipos diferentes de representação forneceram


subsídios para estabelecer novas formas de analisar e resolver as tarefas.

Porém, há momentos em que os alunos deixam o material de lado, dedicam-se à

resolução algébrica da tarefa e apresentam dificuldades em estabelecer interlocuções e

em construir e elucidar as conexões entre a observação das representações manipuláveis

e os procedimentos algébricos (ações 21, de 25 a 48). Não há, muitas vezes, uma busca

voluntária em relacionar as representações manipuláveis com as representações

algébricas, tal como era esperado pela professora.

Uma hipótese possível, para esses aspectos, é que os manipuláveis – a ferramenta

de mediação – não tenham feito parte das experiências anteriores dos alunos com a

matemática escolar e, em particular, das aulas de CDI. De acordo com Clementes

(1999), embora os manipuláveis desempenhem um papel importante na aprendizagem,

sua fisicalidade não transporta o significado da ideia matemática, e os alunos devem

refletir sobre suas ações com os manipuláveis legitimados pelo professor. Em outras

palavras, os alunos precisam reconhecer que utilizá-los como parte de suas

argumentações será aceito na prática pedagógica.

O ensino de Cálculo, como destacamos anteriormente, é tradicionalmente

orientado pela supervalorização da representação algébrica, o que nos permite inferir

que os alunos não apenas estão mais familiarizados com esse tipo de representação, mas

podem considerá-la como sendo a mais legítima no contexto do nível superior, levando-

os a utilizá-la com primazia. Esse entendimento conflui com o entendimento de Wertsch

(1991) de que as ferramentas culturais são proporcionadas por um cenário sociocultural

particular e a ação humana é de natureza inseparável do contexto cultural, histórico e

institucional, ou seja, a ação mediada não é uma unidade isolada de análise, pois ela

ocorre em contexto que lhe dá significado.

Somente após a mediação da professora sugerindo e indicando o uso dos

manipuláveis na relação com as representações algébricas e pictóricas, os alunos

perceberam que poderiam empregá-los. É o que chamaremos aqui de legitimação. Isto

possibilitou, assim, que os alunos não apenas estabelecessem pontes entre

representações distintas, mas também utilizassem as representações manipuláveis para

sustentar e justificar (fala/ação 47) afirmações.

Nesse sentido, a introdução de um tipo de representação, mais especificamente, da

representação manipulável na sala de aula de matemática, não é isolada em relação a

outras representações. Pode permitir a construção de pontes entre os diferentes tipos de

representação, como a representação verbal e a algébrica, enriquecendo os repertórios


dos alunos na sala de aula de matemática, porém sendo necessário que sua legitimação

seja clara aos alunos.

6 Considerações Finais.

Ao analisar um experimento de ensino, focando nosso estudo na unidade alunos-

agindo-com-materiais-manipuláveis, buscamos compreender como os alunos resolvem

tarefas de Cálculo Diferencial e Integral mediados por manipuláveis. Observamos que

os alunos reconhecem ideias matemáticas e fazem justificações usando os manipuláveis.

Esses atributos nos permitiu instaurar um tipo de representação matemática, que

nomeamos de representação manipulável. Essa representação está inter-relacionada com

outras representações, no caso, representações verbais e algébricas, possibilitando que

se construam pontes entre as diferentes representações. A habilidade e a capacidade de

estabelecer e transitar por essas pontes, ou seja, entre representações distintas pode

potencializar a compreensão dos alunos da matemática.

No entanto, a utilização pelos alunos dos materiais manipuláveis como

representação manipulável não é necessariamente voluntária. Para que isso ocorra, a

mediação do professor parece fundamental, visto que é a partir dessa mediação que o

significado e uso dos materiais passam a ser compartilhados e legitimados no contexto

escolar. Além disso, as tarefas propostas devem oferecer oportunidades para que os

alunos atuem com os materiais, contribuindo para o desenvolvimento de habilidades

que surgem com a experiência.

Uma implicação direta dos resultados deste estudo é que a introdução de

manipuláveis em aulas de Cálculo parece não instaurar diretamente seu uso pelos

alunos. Parece ser necessário que o professor deixe visível aos alunos a legitimidade do

uso direto da sua utilização em suas argumentações.

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Anexo I – Tarefa: Expressão para o volume de sólido

Manipulável S1

1) Observe o sólido. Qual a região da base? Quais são as seções perpendiculares a

base?

2) Observe o sólido com as seções paralelas. Confirma a observação obtida no item 1)?

3) Dados: a base do sólido é limitada pela elipse de equação 12

2

2

2

by

ax

4) Determine a expressão, através de integral simples, que permite calcular o volume do sólido.

Para os outros manipuláveis os itens 1, 2 e 4 eram iguais, apenas o item 3) era diferente.

Manipulável S2

3) Dados: a base do sólido é limitada por uma circunferência de raio r.

Manipulável S3

3) Dados: a base do sólido é limitada por uma circunferência de raio r.

Manipulável S4

3) Dados: base sólido é limitada por: 9x = 2y2, x = 8 e y = 0, no primeiro quadrante.

Documents

o cálculo de volume de sólidos por seções transversais e o uso de