7/25/2019 O Papel Da Intuio Na Fundamentao Da Aritmtica No Pensamento Tardio de Frege

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O papel da Intuio na fundamentao da aritmtica

no pensamento tardio de Frege

Por Luciano Carvalho Cardoso

Doutorando em Filosofia da Linguagem

Unifesp, 2015

Resumo

A intuio foi um dos pontos elementares da construo do

conhecimento na filosofia de Immanuel Kant, fundamento de todoconhecimento sinttico a priori. Precisamente por esse motivo,

Gottlob Frege rejeita a justificativa de Kant em definir a aritmtica

como fundamentada em verdades ou conhecimentos sintticos a

priori. Dessa recusa, Frege estabelece, em Os Fundamentos da

Aritmtica (1884), as bases do logicismo, tentativa de Frege de

estabelecer a Aritmtica como assentada sobre conhecimentos

analticos. Entretanto, a partir de 1923, Frege elabora um conjunto de

escritos que prope uma reviso dos fundamentos da aritmtica,

reconhecendo as bases sinttico a priori, bem como a necessidade de

recorrer intuio, afirmando que esse movimento devolve a unidade

matemtica, unidade encontrada nos princpios geomtricos. Nosso

objetivo consiste em traar o caminho percorrido por Frege e buscar

compreender como essa passagem se deu e em que ela se alicera.

Tambm buscamos estender algumas hipteses sobre quais os

possveis impactos que essa mudana de paradigma causaria na

estrutura dopensamento, tal como Frege o concebe.

Introduo

Em 1884, Gottlob Frege publicou Os Fundamentos da Aritmtica, obra

em que define os principais elementos que passam a compor o

logicismo. As principais definies de Frege nessa obra podem ser

expressas, em linhas gerais, como se segue:

1. Nmeros e noes aritmticas podem ser definidos pela lgica

formal;

2. Proposies numricas podem ser derivadas a partir dosaxiomas da lgica;

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3. Verdades derivadas da aritmtica so analticas;

4. Geometria no pode ser reduzida lgica, pois suas verdades

so sintticas a priori;

5. Noo de que os nmeros so extenses de conceitos apenas;

6. Adoo do conceito de conjunto de Cantor;

7. Estrutura de equivalncia de conceitos pela extensionalidade

8. Um conceito equivalente a outro se os nmeros que

caem sob ele so os mesmos para o outro conceito, ou seja, se

um conceito for equinumrico a outro;

9. Sugesto do princpio de contexto;

10. Distino entre conceito e objeto;

11. Distino dos campos subjetivo, objetivo sensvel e

objetivo no-efetivo (campo da objetividade lgica).

Esses onze elementos centrais dos Fundamentos perfazem o

ncleo do Projeto Logicista de Frege. Nenhum desses elementos

gratuito em seu sistema lgico, e todos eles tem por finalidade

fundamentar a aritmtica nas leis da lgica, leis analticas e que,

em contrapartida, so tambm as leis do pensamento. De acordocom Frege:

As verdades aritmticas governam o domnio do enumervel.

Este o mais inclusivo; pois no lhe pertence apenas o

efetivamente real, no apenas o intuvel, mas todo o

pensvel. No deveriam, portanto, as leis dos nmeros

manter com as do pensamento a mais ntima das conexes?

(FREGE, G. Os Fundamentos da Aritmtica, 14, pg. 217).

Essa conexo, ademais, consiste no ponto de permeabilidade

entre matemtica e linguagem, entre os nmeros e o pensamento.Mas que leis seriam essas? Estabelecer quais seriam as leis que

governam os nmeros equivale a definir as leis que governam o

pensamento e, indiretamente, a linguagem pela qual o

pensamento se expressa.

O ponto principal de Frege, em Os Fundamentos, consiste em

estabelecer esses parmetros, e ele o faz de forma a se contrapor

com alguns dos pressupostos tcitos da lgica clssica.

Primeiramente, Frege recusa (j desde a Conceitografia), a

estrutura bsica do silogismo fundamentado nas relaes entresujeito e predicado. Essa estrutura, baseada na linguagem, abre

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reconsiderar a natureza da aritmtica, e a defini-la como sinttica

a priori. Para sermos mais exatos, em seus textos, o que fica ainda

mais explcito o reconhecimento da necessidade de recorrermos

intuio para fundamentarmos a aritmtica. Considerando que

Frege, em todos os trabalhos posteriores aos Fundamentos,

equipara a fundamentao da aritmtica fundamentao do

pensamento, uma vez que ambos compartilhariam das mesmas

leis lgicas, convm determo-nos nessas passagens e buscarmos

uma melhor compreenso do significado das recusas de Frege em

1884 e quais os contextos que conduziriam Frege a reconsiderar

sua posio. Tambm empreenderemos algumas consideraes

sobre os possveis impactos para o logicismo nas reflexes tardias

de Frege, registradas nos escritos pstumos a partir de 1920.

1 - A alternativa da fundamentao analtica paraa aritmtica

O posicionamento de Frege a respeito da analiticidade da

aritmtica posta no debate fundacional do projeto logicista em

1884, na redao dos Fundamentos da Aritmtica. Essa obra de

Frege apresenta um forte intento de combater as principais

correntes filosficas vigentes no perodo. Combate o empirismo e o

mtodo mecanicista e agregacionista. Ataca o psicologismo e o

subjetivismo. Mas, sobretudo, ela estruturalmente se coloca contraa corrente kantiana. Na verdade, resolver o problema colocado

pela necessidade de estabelecer os fundamentos da aritmtica

implica em posicionar Kant em um piv condicional a respeito das

verdades analticas ou sintticas a priori encontradas na aritmtica.

Como Frege o expressa:

Se de outros pontos de vista e de maneira

fundamentada concluirmos que os princpios da

aritmtica so analticos, isso testemunhar

tambm em favor de sua demonstrabilidade e da

definibilidade do conceito de nmero. As razes em

favor do carter a posteriori destas verdades tero

um efeito contrrio. (FREGE, G. Os Fundamentos

da Aritmtica, pg. 95)

Essa passagem estabelece as condies iniciais de partida do autor

na busca da demonstrabilidade da definio do conceito de nmero.

Essa necessidade de definibilidade o motor condicional da

investigao. A demonstrao, a exemplo de Euclides, evidencia,

para Frege, o arcabouo lgico oculto sob as tentativas de explicar

os nmeros empiricamente ou gramaticalmente. O erro doempirismo consiste em acreditar que os nmeros se definem por

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seu carter abstrato de representar a agregao mecnica de

objetos concretos. Carter de abstrao, no entanto, que torna

indemonstrvel o conceito de nmero, sempre condicionado s

condies concretas e arbitrrias da experincia ou mesmo das

condies psicolgicas que influenciariam essa representao. J o

erro da linguagem seria tomar o nmero como propriedade dos

sujeitos, representando-os como predicados que atribuem uma

quantidade ao sujeito de um enunciado qualquer. Essa atribuio,

todavia, no escapa do contexto da representao entre linguagem

e mundo, e alterna-se entre as condies psicolgicas.

Portanto, atender ao critrio de demonstrabilidade do conceito de

nmero implica na excluso de quaisquer consideraesa posteriori

como forma de conhecimento ou demonstrao do conceito de

nmero. A questo epistemolgica envolvida nessa investigao,por si s, justifica a adoo dos conceitos kantianos de a priori, a

posteriori, analtico e sinttico, pois elas adentram a questo do

juzo e das condies de aferio de verdade:

As distines entre a priori e a posteriori, sinttico

e analtico, concernem, a meu ver, no ao

contedo do juzo, mas justificao da emisso

do juzo. Pois onde no h esta justificao,

desaparece tambm a possibilidade daquela

diviso. Um erro a priori neste caso algo to

absurdo quanto, digamos, um conceito azul. Se

uma proposio , em meu sentido, chamada de a

posteriori, ou de analtica, esto em julgamento

no as condies psicolgicas, fisiolgicas e fsicas

que tornam possvel formar na conscincia o

conceito do juzo, nem tampouco a maneira como

algum mais, talvez erroneamente, chegou a

tom-la por verdadeira, mas sim aquilo sobre o que

se assenta mais fundamentamente a justificao

de ser ela tomada como verdadeira. (FREGE, G. FA,

pg. 94.

A justificativa dos referidos juzos evidencia o nvel de validade do

juzo, na medida em que sinaliza para o tipo de verdade a ser

asserida. Se a justificativa for enraizada nas leis lgicas gerais e

definies, a demonstrao seguir pela via dos conhecimentos

analticos. Se a demonstrao necessitar de conhecimentos e

verdades fora do campo da lgica geral, evidenciar um juzo

sinttico. E, por fim, se a justificativa necessitar recorrer a questes

de fato, suas verdades so indemonstrveis, recorrendo a objetos

determinados.

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A indemonstrabilidade das verdades referentes s questes de fato,

caso nos quais se enquadram o empirismo, o mecanicismo, e o

psicologismo, esto no campo a posteriori de juzos. Explicar o

conceito de nmero por essa via torna impossvel a demonstrao

dos juzos, da justificao dos juzos e das supostas verdades da

aritmtica. Por esse motivo, Frege a recusa, reconhecendo que, no

limite, resultaria em uma questo de pontos de vista e relativismo.

Mas por que contradizer Kant, em sua afirmao de que o

fundamento da aritmtica, assim como a geometria, seria sinttico

a priori?