REVISTA MEXICANA DE FISICA -Itl StJl'tE:\IE!'lTO 2. 5-l-:iK ;'\OVIE\lRRE 20(X)

Medición de la fase o frente de nnda cnn un bancn nndal

Pascual Alonso t\.lagaña, Fermín S. Granados Agustín y Alcjandro Cornejo RodríguczInS1;lItto Nac;ol/al de AstroF<¡;c(l (j/H;C(l y Elec1rúnicaAI)(/rtado po,\'1a/ 51)' 2/ó, 72()()() P//(,/J!a, Pu('. /\1ex;('()

e.IIl(l;': fe r11l;,,@itwO('J'."H

Recihido el 27 de ahril de 2(X)(); aceptado el 5 de junio de XXX)

En ('~l(' lrahajo se mlle~tra ('luso de la ecuación de transporte de irratliancia (ETI). para determinar el frente dc onda de una lente. ya partirde él su c;,lidad óptica: empleando para ello un naneo flodal modifkado. CC\n ('stl' inslnllllclllo se reali/an las medidas de la irradiancia. en

dos plano~ ('l'rcanos. nCl.:csarias en el método Ichikawa para resolver la ETI.

Ikscril'torn: Ecuación de transporte de irradiancia: banco Ilodal

'rll(' purpus(' nf this work is lo use the irradiallcc transport equation (rrm. in nrder to nnd out lile wí\\'cfrollt of a len s and conscqucntly lesting

ils qualil)'. Fnr this pourpos('. a modifieJ llodal hcnch was tlscd rnr Illcasuring the irradiann' n..'quircd in lhe Ichikav,,'as mcthod ror solving the

ITE.

I":('.rll'/mls: Irradiance transp<lrt equation: lH)dal hcnch

PACS: 42, 15.Dp: 42,X7.t1

CO:lsidcralldo soluciones para csla ecuación con la amplitudnOl"llIalilada. 1:1\\olllciones de la El.'. (-l) se puedcn cscrihircorno

A partir dc esl:i lí1tima ecuación, y cOllsiderando funciollesllL'l tipo dc las intcgrales tlL'difracción de Fresnel. se IIcgaal1m:, a la ecuación parahúlica.

hajo prueha: se procede a estudiar el caso dc ondas mono-crolll:íticas (dependiendo de una sola longilud de onda). sinvariaciún tcmp()]";¡l.(lhICniént!ose como resullado la l'onocidaecuación dc Helmholtl.lS],

(lara una onda viajer:l en la dircn:iún -::de la forma ~/) -==/1(.l'. !J . .:- )eik:, y s~lponiendo que 11(,l'. y . .::) varía lentamen.tl.'L'I1'::.pero atlL'm:h se cumple que D"!.u/D::.'!. ~ O, entonces•.•.: ohtil.'nc la ccuacit'ln paraxial [D. lO]

(-1)

(2)

(3)

['\' + k'] lI(.r . .'l.:) = O.

[., . O]'\;-2/kO

: 1I(.".y.,)=().

['\' iJ ]_1 -k-i- II¡-(.I'.!I.':-)=()''21.. D.::

Tradicionalmcntc sc l'onocían y se aplicahan dos métodosprincipales. con mlu..:hasvariantes, para las pruchas y medi-ciones de componentes y sistcmas ópticos. Un método estábasado en la intcrferometría para medir la forma del frente deonda 111, como son los casos de los intcrferómetros de Ne\\'-ton. Burch, Filcau. y Twyman-GrcC'n [2J, elc.; la otra línea deIrahajo es la mcdición de las pendientes de las normales a losfrelltl'" de onda. como son los métodos de Foucault, Ronchiy Hartmann 131. Sin emhargo, recientcmente se derivó, dcs-pués de un periodo largo de trabajos. lo quc se conoce comola ecuación dc transferencia de la irradiancia [4,5]; cuyo re-•.•ultado, aplicado al área de nuestro interés, permite conocer¡¡ partir de la medición dc la irradiancia en dos planos la for-ma dd fn:nle de onda hajo cstudio. Comhinando e•.•te líltimométodo dl.' la medición de irradiancia con el an<ílisis tlL'1:1ill-form:\L'i{'11lusando el método tic la Iransformada de Fouriero dl.'Takcda [G]. Sl.'ha dl'sarrollado un método no\'edoso pa-ra l.'lllpkar un instrumcllto clásico como es el hanco nmb!.ahora útil para medir la fase dc los frentes dc onda y cono-n:r as] la cl1idau. l.'n términos dc aherr:lCiolles, de ulla lente osisll.'11Ia()ptico li].

1. Introducción

2. Tenría de la ecuaciún de transferenciade irradiancia [ '\' ) 1-/' -l. - i~) [J(.,..y. ')1'/','0["".'1 = ().

'2 .. ( :: J(-la)

donde \ l' cs el frente de onda por dl.'lerlllinar, lo quc Pl'r-llIitir:í L'OIl\lL'l.'rla calidad de la supcrlicie o sistema úptico

Partiendo de la forma ~elll.'ral de la L'cuación de onda 1~1

[1)' ]'\' - -C;.':-)' 11"(.1" . .'1.'.1) = O.

('- ( f-(1 )

¡:j~ulllll.'lltc. la ecuaci6n tlL'ri\'ada por Te:lgue. cuyo nOI11-bn: cO:lOcido es la l'l'llaciún tlL' transferencia tiL' la irradi •.m.cia (I:TI). pucdc ser obtenida .•.i el miemhro i/qlliertlo dc laEl'. (-t) se multiplica primero por [/(.r.!J,.:-)]I/'!.(,i ••~(.l.Y,'::) y.posll.'rionnclItl'. la misma El'. (-1) sc Illultiplica por el COl11-plejo conjugado dc este tlllil1ltl factor. De las dos ecuaciones

MEDICIÓN LJELA FASE O FRENTE DE ONDA CON UN BANCO NODAL 55

Si el mismo método de Ichikawa [7] expuesto, se aplica ahoraa [(.1', y. O), se ohtiene finalmente

Siguiendo el método expuesto por Takeda, se calcula la trans-formada de Fourier de la Ec. (9), se aplica después un filtradoTI (fJ' f y) al resultado. para después nuevamente aplicar unatransformada inversa de Fourier, dando como resultado la si-guiente expresión matemática:

ohtcnida~, se restan una de otra. y se obtiene

D IDol(.r.1/.:) + I:v,1( .•..1/.:). v,.1( .•..1/.:)

l(.,.1/':)'72'<1(' -) = O (5)+ k "'T'Y .l.y._ .

donde J es la irradiancia y Ó es la fase del frente de on-da en cuestión. Si se desea expresar la ETI en función delfrente de onda 1J', basta únicamente recordar la relación0(.1'.1/.0) = (2;r/")1F(.r.!J.:) = klF( .•.•!J.:) [11J. enton-ces la Ec. (5) puede reescrihirse como

OOol(".!I.O) + v,IF(".!J.:)' v.,.l( .•.. !J.:)

+ l(''',!J.z)' v~IFC •.•!J.z) = O. (6)

con

[,. DIF('''.!I.0) 2"( )] e(j¡(.r.y)= 27ílllfo D.l' +vTH' x,y,O l. (1 1)

Una conclusión importante, con diversas aplicaciones [12],tle estas últimas ecuaciones, es que si se conocen las varia-ciones de 1 en diferentes planos, entonces es posihle conocerel f•.ente ue onu a IF.

Otra forma tic escrihir la Ec. (6) es la siguiente:

v,' (lv,lF) = -.!!.-l.D: (7)

(12)

COl11hinandolos resultados de las Ecs. (11) Y(12), finalmentesc ohtienen las ecuaciones a emplear en nuestro experimento.y ellas son

DlI'~:y. O) = (27T!a)-llm [P(x, y)J,

v~lI'('''.!J.O) = nell'(x.y)J (13)

yen esta forllla encontrar la solución a la ETI de la El'. (6).Por lo tanto. sustituyendo la El'. (8) en la El'. (6) se obtiene

3. Método de la transformada de Fourier pararesolver la ETI

con Re e 1m indicando las "partes real e imaginaria".

4. Método experimcntal y programa dcCOlllllUtadora

ti) En primer lugar se mide [(x, y, O) ajustando el enfo-que de la dmar¡¡ CCD sob •.e la rejilla ue Ronchi. Enbs Figs. 3a y 3h se Illuestran las imágenes de la rejilladi: ROllchi y la irradinllcia a lo largo de una sola línea.respectivamente. Cabe ~clarar que la irradiancia se mi.de en todo el plano y se almacena en una computadorapara su posterior procesamiento.

En la Fig. I se muestra el diagrama del arreglo experimentalen el caso de empIcar C0l110 instrumento hase el haneo notlal.El ohjetivo principal de usar este instrumento clásico es cm.picarlo no s610 para su uso tradicional de medición de distan.cias focales y análisis cualitati\'os de la calidad del sistema olente hajo prueha 13]. sino usarlo tamhién como método mo-derno y cuantitativo par::ll11cdirla calidad de las componenteshajo prueha, a Iravés del conocimiento del frente de onda, l t".pro\'cnic!1te de dichos e1emcntos o sistemas ópticos, emple-ando los resultados de Teague e Ichikawa el nI.

En la Fig. 2 se mucstra ulla fotografía del arreglo expl~-r¡mental con el cual se siguieron los pasos siguientes paraconocer la cé'llidadde la lente bajo prueba:

donde

(X)

(9)'7211'( e))} 2rri"10"C'+ ".,. .r,Y. e '//1'

~ {,).! DlI'(.T.Y.O)L _'Tri 110--0-.,-,--Il=-CX!

Para resolver la Ee. (7) en términos de JI', conociendo lasvariaciones tic J en dos planos, se han desarrollado diferen-tes métodos dependiendo de la aplicación específica [12]. Ennucstro caso, se adaptó el método de la transformada dc Pou-rier, desarrollado por Takeda e1 al., que se expiica en losp,írrafos siguientes. La razón para considerar esta solucióna la ETI. de la EL. (7). es la posihilidad de medir las vlIriacio-!les de J en dos planos muy cercanos, situación que se adaptaIllUY hien para un instrul11ento como lo es el banco noda!, da-da su estructura.

Para el ani:Ílisis de inler!"erogramas, Takeda [GI desarroll6un método conocido como el de la transformada de Fourier.una de cuyas caracleríslic(l'\ es tener un s610 interfcrogram<1experimental y a partir de ahí conocer la forma del frente dconda. Ahora hien. para el caso de resol\'er b ETI, con dichométodo de Takeda. khikawiJ e1 (/1. [i] empIcaron una rejillahinaria de intensidad (rejilla de Ronchi), en .: = O, para i1sípoder representar a la irradiancia como

- (~~) ,~O

Nev. Ale.r. Fú. 46 S2 (1000) 54-5S

PASCUAL ALONSO MAGAÑA, FERMíN S, GRANADOS AGUSTíN Y ALEJANDRO CORNEJO RODRíGUEZ

PIGURA l. Esquema del arreglo expcrimclllal para la prucha dcsistemas óplicos usando clmétooo de Ichikawa.

h) Como segundo paso, la e<Ímara CCD se enfoca a unsegundo plano, a una distancia 6..: 3:' 0.5 mm; para deesta forma poder conocer (D I / D=) ,=0 "" [1 (x, y. oz)-1(.1', y. O)JlD;. Estos nuevos valores de 1(.1', y, .<'>:) seprocesan <.:onlo ya alma<.:cnatlodel inciso a), y de estaforma se conocen tanto 1(.1',y, O) como (D I / D:) ,=0.

c) Una vez conocidas I(J', y, O) Y (DI/3=),=0. en formabidimensional. se procede a seguir el método dc Takc-da empicando la transformada de Fourier. En la Fig, 4se muestra la transformada de Fourier para los valoresde la irradiancia de la Fig. 3h, La frecuencia de la rejilladc Ronchi empleada es de 100 Iíneas/mlll.

ti) Dentro del mismo programa de computadora que se de-sarrolló en forma propia, se eligió un liltro TI (Ix, fy)dc antemano; aspecto que el1 el trabajo original de Ta-keda no puede hacerse. Oc esta forma se tiene los re-sullados para la función p de la Ec. ( 13).

l(x,V,O)

j

(a) (1))

FIGURA 2. (<i) Fotografía del haneo nodal. donde se muestra el colimador y la lente bajo prueba; (h) Fotografía dondc se mucstra la cámaraCCD la cual sc dcsplaza a lo largo del ejc 6ptico.

~ 2lXl~•~H!l(]•~1fl)..: UD:1~1~ 11)),~ &J

~~

(o) (1))

FIGURA J. a) Imagen de la rejilla dc ROlll'hi a la salida de b lente hajo pruCh;I, (,lplurat1a (011 L'ICCD; b) Gr:ílica de la irradiancia a la salidade la kn((' hajo prucha, a lo largo de una línca del CCD.

RCI., Me.\". 1",:". 46 S2 (::!OOO) 5-l---5X

MEDICiÓN DE LA FASE O FRENTE DE ONDA CON UN BANCO NODAL 57

FIGURA 4. Transformada de Fourier de una línea de irradiancia.

i 2S'1C'

1,,Il 15~,~,>

00

~OJ

~a2

"O

.,

.3

'5

,..(a)

"" "O '"núm •••.Cloep'''''''

". •..número de pille'

0.01

o-0.0'

.(J.02

.(J03>:Xl

e) Con la función p(x, y) conocida se calculan el valorde aWfDx. tanto en forma lineal como bídimensional.En la Fig. 5a se muestran los resultados a lo largode una línea y en la Fig. 5b se muestra en formabídimcnsional.

l) A pan ir del conocimiento de DWfDx, se procede a unaintegración numérica para determinar la forma real delfrente de onda (W) que es la que nos permite cono-cer la calidad de la lente o sistema bajo prueba. En laFig. 6a se muestra la forma del frente de onda en for-ma unidimensional y en la Fig. 6b de forma bidimen-sional, con lo cual se conoce en forma cuantitativa, através de la forma del frente de onda, la calidad de laóptica bajo prueba. Los parámetros en particular de lalente probada son diámetro = 50 mm y distancia focalf = 150 mm.

(b)

FIGURA 5. a) Gráfica de la derivada del frente de onda para la línea de irradiancia analizada; b) Gr:ífica bidimensional de la derivada delfrente de onda .

.!JJo 5(] 100 ""

(a) (b)

FIGURA 6. a) Gráfica del frente de onda en forma unidimensional; b) Gráfica bidimensional del frente de onda de la lente bajo prueba.

Rev. Mex. Fú. 4652 (2000) 54-58

PASCUAL ALONSO MAGAÑA. FERi\1íN S, GRANADOS A(iUSTÍN y ALEJANt )KO COKNEJO RODRÍGUEZ

Es conveniente asentar que los pasos explicados en losincisos a) y h) proporcionan las dos mediciones de irradiall-cia necesarias para conocer el frente de onda de la lente osistema bajo prueba. Los pasos del inciso e) al inciso l) serealizan con el programa para computadora desarrollado poruno de los autores (Pascual Alonso !v1agaña), obteniéndose10:-; resullados finales en forma gráfka y numérica. como yase mostr6.

5. Conc!nsioncs

A partir de ulla de las soluciones que se dieron a la ETI, pro-puesta por Ichikawa ellll .• se obtuvieron resultados positivospara la evaluaci6n de lentes ópticas empleando un hanco no-dal; logr.índosc con esle hecho poder medir frentes de ondacon Ull inslrumento cl~ísico como lo es el hanco nodal. oh-teniéndose como resullado nuevas perspectivas de uso para

1. \V.H. Sled. IntC'ljaollll'tr...... (Cambridge University Press.1(67).

2. D. .\blacara (Ed.). Oplicaf SII01' Testiflg. (John Wiley & Sonso11l(, 1992).

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-1. .\1,R. Teague. 1. 0pl. Soc. Am. 7~'(1983) 1434.:). ~1.R. Tcaguc. 1. Opl. Soc. Am. 72 (1982) 1199.G. .\1.Takcda.II.lna. anJ S. Kohayashi. 1. 0,,1. SocoAm. 72(1982)

156.

dicho equipo. Es importante reconocer que antes dcl empleodel hanco lIodal. el trahajo desarrollado se hizo en condicio.nes tk laboratorio. lo que permitió conocer a fondo el métodoy. desarrollar todo.' los paquctcs de programación de compu-tadora tan necesarios en la aplicación del método propues-to. Corno trahajo a futuTOse están realizando mediciones adiferentes longitudes de onda. usando filtros; y a diferentes.íngulos. con respecto al eje (lptico. del frente de onda provc-nientes dc la lente.

Agradccimicntos

Se agradece el apoyo del CONACyT a través del proyecto2X510E. así como las interesantes pláticas con los doctoresAlherto .laramillo y Francisco Renero. y del técnico de la-horatorio Pedro Tecuatl. Uno de los autores. Pascual Alonso~1ag¡¡ña. tenía heca de doctorado del CONACyT.

7. K. Ichikawa. A.\\'. Lohmann. anJ ~1. Takeda. A1'pl. Opl. 27119KK) 3433

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Rev. Mex. Fú. 4(, S2 (1000) 54-5S