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O Sistema do Kaon NeutroViolação CP
Teoria de Mistura de SaborOscilações de Neutrinos
Luiz Fernando Mackedanz†
Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Brazil
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.1
MotivaçãoKaons - Mésons pseudoescalares - Autoestados do Hamiltoniano da interação forte:
K+ = (su) K0 = (sd)
K− = (us) K0 = (sd))
Conjugados partícula-antipartícula - K+/K− (cargas opostas) e K0/K0 (neutros!)
Cargas com sinal igual, porém demais números quânticos com sinais distintosT T3 S
K0 12
− 12
+1
K0 12
+ 12
−1
T T3 B
n 12
− 12
+1
n 12
+ 12
−1
Número bariônico é quantidade conservada absolutamente ⇔ estranheza não éconservada em interações fracas
n→ n impossível ⇔ K0 → K0 possível via interação fraca
decaimento via estado de dois pions
K0 K0
π−
π+
s
u
d
d
u
s
W−
W+
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.2
interpretação FS → antipartícula = partícula com sentido do tempo invertido
Teorema CPT ⇒ CP T |Ψ〉 = |Ψ〉Podemos usar a operação CP no lugar da operação T
Probabilidade de transição
〈π+π−|S|K0〉 = 〈π+π−|CPS(CP )−1|K0〉P |π±〉 = −|π±〉 P |K0〉 = −|K0〉
Premissa: o sistema do kaon é invariante sob reversão temporal
〈K0|S|K0〉 ≈ 〈K0|S|K0〉
⇓
〈π+π−|S|K0〉 ≈ −〈π+π−|S|K0〉
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.3
Novos estados de kaons
Como vimos, os kaons neutros são autoestados do Hamiltoniano da interação forte -que conservam Estranheza;
Porém, vimos também que o decaimento dos kaons neutros se dá via interação fraca -que nao conserva Estranheza;
Logo, o sistema do kaon neutro não pode representar autoestados do Hamiltonianoda interação fraca;
Novos autoestados devem ser construídos !!!
Assumindo invariância sob a operação CP , os novos estados são
|K0L〉 =
1√2
�
|K0〉 + |K0〉
�
,
|K0S〉 =
1√2
�
|K0〉 − |K0〉
�
.
Um estado produzido como K0 ou K0 pode ser expresso como uma combinação deK0
L e K0S .
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.4
Evolução Temporal do kaonEvolução de um méson K0 → |ψ(t)〉 = U(t, 0)|ψ(0)〉U(t, 0) = exp(−iHt) ⇒ H = H0 + Hw
Operador atua no espaço de Hilbert definido pelos autoestados
|K0〉 =
��
1
0
�� |K0〉 =
��
0
1�
�
Hamiltoniano efetivo
H =
��
H11 H12
H21 H22
�� = M − ı
2Γ
H geralmente não é Hermitiano, já que os kaons podem decair em outros estadosque não estão neste subespaço
M e Γ, porém, são Hermitianas
Usando a equação de Schrödinger
ıd
dt|Ψ〉 = H|Ψ〉
obtemos como solução
|Ψα(t)〉 = e−ı(Mα− ı
2Γα)t|Ψα〉
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.5
Mα,Γα são autovalores reais dos autoestados |Ψα〉.Probabilidade de encontrar um estado inicial no tempo t
Pα = |〈Ψα(0)|Ψα(t)〉|2 = e−Γαt
Utilizando simetrias
Invariância CPT (mesmo comportamento de partículas e antipartículas) ⇒EXATA !
M11 = M22 = M0
Γ11 = Γ22 = Γ0
Invariância sob reversão temporal ⇒ Invariância CP (limite)
M12 = M22 = M
Γ12 = Γ21 = Γ
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.6
Construindo a matrizConsiderando um estado geral
|ψ〉 = c|K0〉 + c′|K0〉 =
��
c
c′
��
com c e c′ coeficientes independentes, obtemos, usando a equação de Schrödinger
ıd
dt
��
c
c′
�� =
��
M0 − ı2Γ0 M − ı
2Γ
M − ı2Γ M0 − ı
2Γ0
��
��
c
c′
��
Definimos então as combinações lineares de coeficientes
cL =1√2(c+ c′) , cS =
1√2(c− c′)
Desta forma, nosso estado geral pode ser escrito usando os autoestados doHamiltoniano da interação fraca
|ψ〉 = cL|K0L〉 + cS |K0
S〉
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.7
A equação de Schrödinger tem a forma
ıd
dt
��
cL
cS
�� =
��
(M0 + M) − ı2(Γ0 − Γ) 0
0 (M0 − M) − ı2(Γ0 − Γ)
��
��
cL
cS
��
Levando em conta a solução geral apresentada anteriormente, vemos que os doisestados podem decair com probabilidades
|K0L〉 ⇒ P ∝ exp(−(Γ0 + Γ)t)
|K0S〉 ⇒ P ∝ exp(−(Γ0 − Γ)t)
Γ < 0
⇒ ΓS = Γ0 − Γ > ΓL = Γ0 + Γ
⇓τi = (Γi)
−1
|K0S〉 tem um tempo de vida mais curto que |K0
L〉
Além disso, Γ ∼ −Γ0 ⇒ ΓL ≈ 0 ⇒ |K0L〉 é quase estável
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.8
Decaimento do K0
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.9
RegeneraçãoFeixe inicial composto por partículas |K0
L〉 passando através de matéria
As componentes |K0〉 e |K0〉 tem propriedades totalmente diferentes, uma vez queos espalhamentos são efeitos de interação forte.
|K0〉 só pode ser espalhado elasticamente ⇒ conserva S
K0 +
��
n
p
�� → K0 +
��
n
p
�� , K0 + p→ K+ + n
|K0〉 também pode ser espalhado inelasticamente ⇒ produz Λ
K0 +
��
n
p
�� → K0 +
��
n
p
�� , K0 + n→ K− + p , K0 +
��
n
p
�� → Λ +
��
π0
π+
��
Diferentes amplitudes de espalhamento→ Pelo teorema óptico, relaciona-se com a seção de choque⇒ Maior seção de choque para o K0
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.10
Após atravessar a matéria, o feixe de K0L passa a ser composto por
|ψ〉 =1√2(a|K0〉 + b|K0〉 =
1
2
a− b√2
|K0S〉 +
1
2
a+ b√2
|K0L〉 , |a| > |b|.
Este comportamento permite medir a diferença de massa ∆m entre os estados K0L e
K0S , relacionada com a parte real M do elemento fora da diagonal do Hamiltoniano
∆m = mK0L
−mK0S
= −2M ≈ 3.5 × 10−6eV.
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.11
Dois kaons muito diferentesK0 e K0 são estados conjugados de carga → K0
L e K0S não o são, possuindo
diferentes tempos de vida (como vimos) e modos de decaimento
Investigando a operação CP
em relação aos kaons → devido a paridade intrínseca destes, o estado K0L tem
autovalor −1, enquanto que o estado K0S tem autovalor +1;
em relação aos pions → paridade intrínseca destes também é negativa, logo oestado final com 2π tem autovalor +1, enquanto que o com 3π tem autovalor −1.
m3π ≈ mK → diferentes espaços de fase disponíveis para cada decaimento⇒ levam a diferentes tempos de vida para cada tipo de kaon.
1964 → decaimento K0L →
��
π+π−
π0π0�
� a
Possibilidades de explicação
violação da paridade por pions → kaon é um estado de spin-0, logo os 2 pions sópodem ser emitidos num estado s→ paridade definida como positiva
violação da simetria CP → devido ao teorema CPT, também viola simetria sobreversão temporal. Isto é
〈K0|S|K0〉 6= 〈K0|S|K0〉a
J. H. Christensen, J. W. Cronin, V. L. Fitch, R. Turlay : Phys. Rev. Lett 13, 138 (1964).L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.12
Violação da simetria CPElementos fora da diagonal no Hamiltoniano não são mais reais, e passam a ter umafase.
H =
��
H11 H12(1 + 2ε)
H12(1 − 2ε) H11
��
H12 contém apenas as partes reais de M12 e Γ12
O fator ε contém as fases destas quantidades
ε =1
2
12ImΓ12 + ıImM12
ReM12 − ı2ReΓ12
Se M12 e Γ12 são reais, ε = 0 e os estados são iguais aos anteriores
Caso contrário, os estados não são mais ortogonais
〈KL|KS〉 ∝ 2Re(ε).
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.13
O parâmetro δ
Pequena violação CP → ε pequeno → desprezando termos O(ε2)
Autovalores desta matriz seguem iguais aos anterioresHS,L = H11 ±H12
Autoestados são alterados em O(ε)
|KS,L〉 =1√2((1 + ε)|K0〉 ∓ (1 − ε)|K0〉)
O parâmetro ε não pode ser tomado como uma medida física da violação CP, poisdepende da fase relativa entre os estados K0 e K0.
A parte real de ε é usada na determinação do parâmetro
δ ≡ Γ[KL → π−`+νL] − Γ[KL → π+`−νL]
Γ[KL → π−`+νL] + Γ[KL → π+`−νL]=
2Re(ε)
(1 + ε2)
δ mede a diferença entre as fases de Γ12 e M12.
δ deve possuir medidas iguais para os diferentes tipos de léptons
Simetria CP conservada → δ = 0.
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.14
Demais parâmetros da violação CP
Razão das amplitudes de transição
η+− ≡ A(K0L → π+π−)
A(K0S → π+π−)
η00 ≡ A(K0L → π0π0)
A(K0S → π0π0)
kaons (I = 1/2) → apenas I = 0 ou 2 contribuem para sistema de dois pions⇒ η+− = η00 na ausência de transições ∆I = 3/2.
Fases relativas
η+− = |η+−|e−iΦ+−
η00 = |η00|e−iΦ00
Valores Experimentais
δ ∼= 3.3 × 10−3
|η+−| = |η00| ∼= 2.3 × 10−3
Φ+− = Φ00∼= 44◦
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.15
Origem da violação CPDiagrama completo para transição K0 → K0
su
c
td
du
c
ts
W−
W+
Quarks s e d físicos são misturas de três estados: d′, s′ e b′.
Estados intermediários podem apresentar u(u), c(c) e t(t).
Mistura de quarks definida por
����
�
d
s
b�
���
�
= U†
����
�
d′
s′
b′
����
�
,
����
�
d
s
b
����
�
= U†
����
�
d′
s′
b′
����
�
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.16
A matriz de mistura de sabor
Lembrando: no modelo GSW, os léptons são divididos de acordo com a quiralidade
��
νe
e−L
�� ,
��
νµ
µ−L
�� ,
��
ντ
τ−L
�� , e−R , µ−R , τ−R
Em primeira análise, devemos tratar os quarks de forma semelhante
��
uL
dL
�� ,
��
cL
sL
�� ,
��
tL
bL�
� , uR dR cR sR tR bR
Porém, existem decaimentos onde a interação fraca troca a famíılia de quarks
Σ− → n+ e− + νe ⇒ (sdd) → (udd) + e− + νe
K− → µ− + νµ
Nos dois casos, um quark s se transformou em u !!!
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.17
Para manter o esquema usado nos léptons, modificamos a componente inferior dosdupletos de quarks left-handed
��
uL
αdL + βsL
��
d e s tem os mesmos números quânticos Q, T3 e Y .
Formamos novos dupletos left-handed
Lu =1 − γ5
2
��
u
d′
�� , Lc =
1 − γ5
2�
�
c
s′
�� , Lt =
1 − γ5
2
��
t
b′
��
Por conservação de probabilidade, a conexão entre estes estados e os autoestadosde massa conhecidos da interação forte deve ser feita por uma matriz unitária U
����
�
d′
s′
b′
����
�
m = U
����
�
d
s
b
����
�
, U†U = 1
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.18
A matriz de transformação CKM1973 → proposta por Cabibbo a, Kobayashi e Maskawa b
U =
���
�
cos θ1 sin θ1 cos θ3 sin θ1 cos θ3
− sin θ1 cos θ2 cos θ1 cos θ2 cos θ3 + sin θ2 sin θ3eıδ cos θ1 cos θ2 sin θ3 − sin θ2 cos θ3eıδ
− sin θ1 cos θ2 cos θ1 sin θ2 cos θ3 − cos θ2 sin θ3Eıδ cos θ1 sin θ2 sin θ3 + cos θ2 cos θ3Eıδ
���
�
θ1, θ2 e θ3 → ângulos de Euler para rotação tridimensional
δ → fase de acoplamento do espaço entre quarks s e b.
parametrização atual c
���
�
1 − λ2
2λ λ3A(ρ− ıη)
−λ 1 − λ2
2λ2A
λ3A(1 − ρ− ıη) −λ2A 1
���
�
λ = sin θC , A, ρ e η → parâmetros determinados pelos experimentos
θC ≡ θ1 ⇒ ângulo de Cabibbo
aN. Cabibbo; Phys. Rev. Lett. 10, 531 (1963).
bM. Kobayashi, K. Maskawa; Prog. Theor. Phys. 49, 652 (1973)
cL. Wolfstein; Phys. Rev. Lett. 51, 1945 (1983)
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.19
Valores experimentais
λ = sin θC = 0.221 ± 0.002;
A = 0.839 ± 0.041 ± 0.082;
ρ e η não são tão bem definidos
�
ρ2 + η2 = 0.36 ± 0.14ρη
= arctan(Vub) = ? com Vub = U13
A violação CP observada em decaimentos de kaons é consistente com arepresentação CKM, mas é o único teste experimental para a teoria;
Este mesmo mecanismo leva à predição de grandes assimetrias no decaimento demésons B.
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.20
A teoria de Cabibbo para mistura de saborLagrangeano de interação
Lquarkint =
i=u,c
�
g√2Liγ
µTLi · Aµ +1
2g′
�
1
3Liγ
µLi +4
3R
(+)i γµR
(+)i − 2
3R
(−)i γµR
(−)i
�
Bµ
�
R(+) → componente superior do dubleto right-handed de isospin
R(−) → componente inferior do dubleto right-handed de isospin
coeficientes dos acoplamentos ao campo isosingleto Bµ determinados a partir da
carga dos quarks
↪→ Trocas: A3µ → Zµ, Bµ → Aµ
Hamiltoniano de interação do setor de quarks
Hint =i=u,c
{ g√2Liγ
µ(T−W(−)µ + T+W
(+)µ )Li
+
�
g cos θLiγµT3Li −
1
3g′ sin θ
�
1
2Liγ
µLi + 2R(+)i γµR
(+)i − R
(−)i γµR
(−)i
��
Zµ
+
�
1
3g′ cos θ
�1
2Liγ
µLi + 2R(+)i γµR
(+)i − R
(−)i γµR
(−)i
�
+ g sin θLiγµT3Li
�
Aµ}
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.21
Corrente Carregada
J−µ = 2
i=u,c
LiγµT−Li = ψd′γµ(1 − γ5)ψu + ψs′γµ(1 − γ5)ψc
= cos θC ψdγµ(1 − γ5)ψu + sin θC ψsγµ(1 − γ5)ψu
− sin θC ψdγµ(1 − γ5)ψc + cos θC ψsγµ(1 − γ5)ψc,
J+µ = (J−
µ )†
Decaimento beta nuclear (usando interação pontual)
Hint =G√2
d3x�
J(L)†µ (x)Jµ
(N)(x) + h.c.
�
Jµ
(N)(x) = ψp(x)γµ(CV + CAγ5)ψn(x)
Aplicando a corrente de quarks d→ u, obtemos por comparação
CV = cos θC(1 + εrad)
valor experimental: cos θC = 0.9751 ± 0.0003 =⇒ θC = 12.8◦ ± 0.1◦
εrad ' 0.012 −→ correções radiativas e.m.
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.22
Razão entre decaimento do kaon (s→ u) e do pion (d→ u)
fK
fπ= tan θC (1 + εrad)
sin θC = 0.2655 ± 0.0006
sin θC ≈ 15% maior do que valor medido no decaimento de bárions estranhos !!!
Bárions ⇒ propriedades em baixa energia explicadas com sucesso pelo modelo dequarks e pela simetria SU(3)
=⇒ Pequena mistura de pares qq provenientes do mar (∼ 5%)
Mésons (como o pion) ⇒ mistura dos quarks de valência com os pares qq virtuais do
mar compõe uma fração considerável da função de onda do méson
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.23
Corrente Neutra
J(0)µ =
i=u,c
�
g cos θLiγµT3Li −
1
3g′ sin θ
�
1
2Liγ
µLi + 2R(+)i γµR
(+)i − R
(−)i γµR
(−)i
��
=g
4 cos θ[−ψd′γµ
�
1 − 4
3sin2 θ − γ5
�
ψd′ − ψs′γµ
�
1 − 4
3sin2 θ − γ5
�
ψs′
+ ψuγµ
�
1 − 8
3sin2 θ − γ5
�
ψu + ψcγµ
�
1 − 8
3sin2 θ − γ5
�
ψc]
=g
4 cos θ[−ψdγµ
�
1 − 4
3sin2 θ − γ5
�
ψd − ψsγµ
�
1 − 4
3sin2 θ − γ5
�
ψs
+ ψuγµ
�
1 − 8
3sin2 θ − γ5
�
ψu + ψcγµ�
1 − 8
3sin2 θ − γ5
�
ψc]
corrente neutra só contém termos diagonais nos sabores de quarks
Na corrente neutra não há troca de Estranheza → ∆S = ∆Q = 0
⇒ Esta premissa levou a predição (puramente teórica) a do quark c
Mudança de números quânticos de sabor sempre envolve troca de carga.
aS. L. Glashow, J. C. Iliopoulos, L. Maiani; Phys. Rev. D2, 1285 (1970)
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.24
Corrente Eletromagnética
J(em)µ =
i=u,c
�
g sin θLiγµT3Li +
1
3g′ cos θ
�
1
2Liγ
µLi + 2R(+)i γµR
(+)i − R
(−)i γµR
(−)i
��
=2
3e(ψuγµψu + ψcγµψc) −
1
3e(ψd′γµψd′ + ψs′γµψs′ )
=2
3e(ψuγµψu + ψcγµψc) −
1
3e(ψdγµψd + ψsγµψs)
Corrente e.m. não contém termos mistos em d e s
Fatores escolhidos para reproduzir corrente da teoria eletromagnética
Assim, não existem fatores livres para a corrente neutra fraca J (0)µ
Sua forma exata deve ser considerada uma predição definida da teoria GWS
Verificação experimental → SLAC → espalhamento de elétrons polarizados pordeuterons → verificação do grau de violação da paridade
Resultado experimental : sin2 θ = 0.230 ± 0.005
Valor teórico : sin2 θ = 0.224 ± 0.020
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.25
Oscilações de neutrinosPremissa: número leptônico é apenas aproximadamente conservado
Neutrino do elétron deixa de ser um autoestado do Hamiltoniano.
Oscilações de neutrinos fornecem uma explicação para o problema do neutrino solarνe → νµ(τ)
Vamos deixar o ντ fora desta discussão
��
ν1
ν2
�� =
��
cos θ − sin θ
sin θ cos θ�
�
��
νe
νµ
��
νe produzido no ponto (x,p) do espaço de fase em t = 0
Evolução do estado na representação de energia
��
ν1(x, t)
ν2(x, t)
�� =
��
ν1(0)e−ıE1t
ν2(0)e−ıE2t
�� eıp·x =
��
e−ıE1t 0
0 e−ıE2t
��
��
ν1(0)
ν2(0)
�� eıp·x
E1 = p2 +m21 , E2 = p2 +m2
2
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.26
Oscilações de neutrinos
��
νe(x, t)
νµ(x, t)
�� =
��
cos2 θe−ıE1t + sin2 θe−ıE2t sin θ cos2 θ(e−ıE2t − e−ıE1t)
sin θ cos2 θ(e−ıE2t − e−ıE1t) cos2 θe−ıE2t + sin2 θe−ıE1t
��
��
νe(0)
νµ(0)
�� eıp·x
Porém, no estado inicial temos um νe, logo νe(0) = 1 , νµ(0) = 0
Probabilidade de observarmos um νµ no instante t
|νµ(x, t)|2 = | sin θ cos2 θ(e−ıE2t − e−ıE1t)|2
=1
4sin2(2θ)|(e−ı(E2−E1)t − 1)|2 =
1
2sin2(2θ)[1 − cos((E2 − E1)t)]
= sin2(2θ) sin2 (E2 − E1)t
2.
Assumindo:
m1,m2 � p⇒ E2 − E1 ' m22−m2
1
2p
v−e ≈ c⇒ t = x
∆m2 = m22 −m2
1 , ` = 4πp
∆m2
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.27
Oscilações de neutrinos
|νµ(x, t)|2 = sin2(2θ) sin2 πx
`
` é o comprimento de oscilação
Para ∆m2 ' 1(eV )2
E ∼ 4MeV → ` ∼ 10m (νe típico produzido em reator nuclear)
Em um acelerador com Ebeam = 2.5GeV , ` ∼ 1km (νµ produzido emaceleradores por decaimento de mésons K ou π).
νµ’s são produzidos com alta energia, e são mais facilmente detectados
Detectores procuram encontrar νe a uma distância de alguns quilômetros do centro dofeixe
Estas oscilações continuam sendo estudadas experimentalmente pelas colaboraçõesatuais
L. F. Mackedanz - Teoria Unificada - Fev 05 – p.28