Ç;Ç; òó=ásèó>t >P s èsZè Tèáóté Ç

Ç;ÇåjcyN;EbNc2 dsòÉ |á>|sésèó>t

Pëàà2 NEEE 4óè

t_9†o ^â z; z; 4†A

zvëõ9†¢ Ç; Ts4|kÉ dsòÉ |á>=kÉ4T

è_ f†oô¢A^† ë õ¢_^à†U Aí Uë9v†Uë9Aôëà 9†¢Uo2 _í† Uwo9 UëI† wo† _m 9v† ^ëoAô àëÄo

9vë9 8_B†¢í 9v† †à†U†í9o _m 9v† õ¢_^à†U; óí ô_í9AíwwU U†ôvëíAôo2 9v†o† 뢆 9v† ô_ío†¢q

Bë9A_í àëÄo m_¢ Uëoo ëíf U_U†í9wU; óí ëffA9A_í2 †UõA¢Aôëà ô_ío9A9w9AB† àëÄo 뢆 _m9†í

톆f†f 9_ ¢†àë9† ô†¢9ëAí wíIí_Äí Bë¢Aë^à†o< †JëUõà†o 뢆 †gwë9A_ío _m o9ë9†2 Y__I†Wo

àëÄ ^†9Ɔí o9¢†oo ëíf o9¢ëAí2 †9ô;

è_ f†¢AB† 9v† ô_ío†¢Bë9A_í àëÄ _í† Uëâ ô_íoAf†¢ ëí AíÜíA9†oAUëà †à†U†í9 ïë àAí†

o†8U†í92 뢆ë _¢ B_àwU† †à†U†í9a2 âA†àfAí8 ë fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_í fA¢†ô9àâ; sà9†¢íë9†àâ2

_í† Uëâ ô_íoAf†¢ ë ô_í9¢_à B_àwU† ï_¢ 뢆ë2 _¢ àAí† o†8U†í9a _m ë¢^A9¢ë¢â oAV† Aí 9v†

U†fAwU _m Aí9†¢†o9; èv† àëÄ Ao Ü¢o9 _^9ëAí†f Aí Aí9†8¢ëà m_¢U< ë fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_í Ao

9v†í f†¢AB†f ^â woAí8 9v† ë¢^A9¢ë¢Aí†oo _m 9v† ô_í9¢_à B_àwU†; èv† 9Ä_ ëõõ¢_ëôv†o 뢆

ô_Uõà†9†àâ †gwABëà†í9;

k†9 wo Ü¢o9 f†U_ío9¢ë9† 9v† fAff†¢†í9Aëà ëõõ¢_ëôv;

N è¢ëíoB†¢o† BA^¢ë9A_í _m ë 9ëw9 o9¢Aí8

á†m†¢¢Aí8 9_ PA8w¢† Ç2 ô_íoAf†¢ ë 9ëw9 o9¢Aí8 o9¢†9ôv†f ^†9Ɔí 9Ä_ ÜJ†f õ_Aí9o ë9 \ F E

ëíf \ F r; k†9 9v† ô¢_ooqo†ô9A_íëà 뢆ë ^† `; óm 9v†¢† Ao ëí AíA9Aëà o9¢†9ôvAí8 _m ∆r2 9v†

AíA9Aëà 9†íoA_í ñ Uwo9 ^† ∆r

ñ F ç` r

^â Y__I†Wo àëÄ2 Äv†¢† ç Ao l_wí8Wo U_fwàwo;

t_Ä o9wfâ 9v† àë9†¢ëà fAoõàëô†U†í9 _m 9v† o9¢Aí8 m¢_U 9v† AíA9Aëà õ_oA9A_í; =â 9v† àëÄ

_m ô_ío†¢Bë9A_í _m 9¢ëíoB†¢o† U_U†í9wU2 9v† 9_9ëà àë9†¢ëà m_¢ô† _í 9v† o9¢Aí8 †à†U†í9

Uwo9 ^† ^ëàëíô†f ^â A9o A톢9Aë; k†9 9v† àë9†¢ëà fAoõàëô†U†í9 ^† ú ï\I Ma ëíf ô_íoAf†¢ ë

fAff†¢†í9Aëà †à†U†í9 ^†9Ɔí \ ëíf \in\; èv† í†9 9¢ëíoB†¢o† m_¢ô† fw† 9_ 9v† fAff†¢†íô†

_m 9†íoA_í ë9 ^_9v †ífo _m 9v† †à†U†í9 Ao

ïñ oAí αa\in\ − ïñ oAí αa I\

Ç;Ç; òó=ásèó>t >P s èsZè Tèáóté N

α

V ( Tsin α )x+dx p(x,t)

dV

x x+dx- (Tsin α) x0 Lx

PA8w¢† Çr G†m_¢Uë9A_í _m ë 9ëw9 o9¢Aí8

Äv†¢† ∂únú

oAí α F √ F 2 ∂\ P n\N i nú N Ç i ï∂ú aN

∂\

d† ovëàà ëoowU† 9v† fAoõàëô†U†í9 9_ ^† oUëàà †B†¢âÄv†¢† o_ 9vë9 9v† oà_õ† Ao ëào_ oUëààr ∂ú r Ç; èv† à_ôëà Bëàw† _m oAí α ôëí 9v†í ^† ëõõ¢_JAUë9†f ^â ∂\ u úå

∂ú ∂ú i R I

∂\ ∂\

Äv†¢† 9v† †Jõ¢†ooA_í Rïδa o9ëífo m_¢ _m 9v† _¢f†¢ _m δ; P_¢ ëíâ oU__9v mwíô9A_í t 2

èëâà_¢ †JõëíoA_í 8AB†o u ú ∂t

t ï\ i n\a − t ï\a F n\ i R ïn\a N I ∂\

Äv†¢† 9v† f†¢ABë9AB† Ao †Bëàwë9†f ë9 \; Y†íô† 9v† í†9 9†íoA_í Ao u ú ∂ ∂ú NPñ n\ i Rïn\a ∂\ ∂\

èv† Aío9ëí9ëí†_wo à†í89v Ñï\I Ma _m 9v† o9¢Aí8 m¢_U E 9_ \ Ao u úN ÇÄN u úNU \ ∂ú ∂úÑ ï\I Ma F n\ Ç i F \ Ç i R P

E ∂\ ∂\

ó9 m_àà_Äo 9vë9 u úNÑ − \ ∂ú

F R m_¢ ëàà E Å \ Å rI \ ∂\

ÄvAôv Ao _m o†ô_ífq_¢f†¢ oUëààí†oo; èv† o9¢Aí8 à†í89v2 v†íô† 9v† 9†íoA_í2 Ao †oo†í9Aëààâ

wíôvëí8†f ÄA9v ëí †¢¢_¢ _m R ï∂ú Ä∂\a N2 A;†;2 ñ ôëí ^† 9ëI†í ëo ô_ío9ëí9 ÄA9v ë oAUAàë¢àâ

Ç;Ç; òó=ásèó>t >P s èsZè Tèáóté å

oUëàà †¢¢_¢; èvwo 9v† í†9 9†íoA_í Aí 9v† o9¢Aí8 †à†U†í9 Ao Ćàà ¢†õ¢†o†í9†f ^â

∂Nú ñ n\P ∂\N

óm 9v† Uëoo õ†¢ wíA9 à†í89v _m 9v† o9¢Aí8 Ao ρ2 9v† A톢9Aë _m 9v† †à†U†í9 Ao ρï∂NúÄ∂MNan\;

k†9 9v† ëõõàA†f à_ëf õ†¢ wíA9 à†í89v ^† ûï\I Ma; 4_U†í9wU ô_ío†¢Bë9A_í ¢†gwA¢†o 9vë9

∂Nú ∂Nú Nρn\ F ñ n\ i ûn\ i R ïn\a P ∂MN ∂\N

ÉàAUAíë9Aí8 n\ ëíf 9ëIAí8 9v† àAUA9 _m n\ → E2 Ć 8†9

ρ ∂Nú ∂Nú û − F P ïN;Çañ ∂MN ∂\N ñ

èvAo †gwë9A_í2 ôëàà†f 9v† ÄëB† †gwë9A_í2 Ao ë õë¢9Aëà fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_í _m 9v† o†ô_íf

_¢f†¢; ó9 Ao àAí†ë¢ Aí 9v† wíIí_Äí ú ëíf Aív_U_8†í†_wo ^†ôëwo† _m 9v† m_¢ôAí8 9†¢U _í

9v† ¢A8v9qvëíf oAf†;

óo 9v† à_í8A9wfAíëà fAoõàëô†U†í9 g AUõ_¢9ëí9 Aí 9vAo õ¢_^à†UO z_ío†¢Bë9A_í _m

U_U†í9wU Aí 9v† \ fA¢†ô9A_í ¢†gwA¢†o 9vë9

∂Ngρn\ F ïñ ô_o αa\in\ − ïñ ô_o αa\ P ∂MN

TAíô† u úNn\ Ç ∂ú∼ô_o α F 2 F R F Ç i R Ié nN ∂\ïn\aN i ïnú aN ∂úÇ i

∂\

9v† ëôô†à†¢ë9A_í Ao _m o†ô_ífq_¢f†¢ oUëààí†oo u úN uu ú ú ρ ∂Ng ∂ ∂ú ∂ú ρ ∂Nú F RF R P ñ ∂MN ∂\ ∂\ ∂\ ñ ∂MN

é n Y†íô† g F R ∂

∂ú\ ú ^â 9ÄAô† Aí9†8¢ë9A_í ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ M2 ëíf 9v† à_í8A9wfAíëà fAoq

õàëô†U†í9 ôëí ^† A8í_¢†f;

èv† fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_í ïN;Ça AíB_àB†o o†ô_ífq_¢f†¢ f†¢ABë9AB†o ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ ^_9v

\ ëíf M; èÄ_ ëwJAààAë¢â ô_ífA9A_ío 뢆 톆f†f m_¢ †ëôv Bë¢Aë^à†; P_¢ †JëUõà†2 ë9 9v†

AíA9Aëà Aío9ëí92 Ć Uëâ õ¢†oô¢A^† ^_9v 9v† fAoõàëô†U†í9 ëíf 9v† B†à_ôA9âr

ú ï\I Ea F tï\a ïN;Na

X Ç;N; òó=ásèó>t >P st ÉksTèóz á>G

ëíf ∂ú ï\I Ea F Lï\aP ïN;åa

∂M

èv†o† o9ë9†U†í9o 뢆 ôëàà†f 9v† AíA9Aëà ô_ífA9A_ío; óí ëffA9A_í Ć Uwo9 ëào_ oõ†ôAmâ 9v†

^_wífë¢â ô_ífA9A_ío ë9 9v† †ífo; P_¢ ë o9¢Aí8 o9¢†9ôv†f ^†9Ɔí 9Ä_ ÜJ†f †ífo2 Ć

¢†gwA¢†

ú ïEI Ma F E ëíf ú ïrI Ma F EP ïN;Xa

è_8†9v†¢ ÄA9v 9v† õë¢9Aëà fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_í2 9v†o† ëwJAààAë¢â ô_ífA9A_ío f†Üí† 9v†

AíA9Aëàq^_wífë¢âqBëàw† õ¢_^à†U; P¢_U 9v† Uë9v†Uë9Aôëà õ_Aí9 _m BA†Ä2 A9 Ao AUõ_¢9ëí9

9_ †o9ë^àAov Äv†9v†¢ owôv ë õ¢_^à†U Ao Ćàà õ_o†f; èvAo gw†o9A_í AíB_àB†o 9v† õ¢__m m_¢

9v† †JAo9†íô†2 wíAgw†í†oo ëíf o9ë^AàA9â _m 9v† o_àw9A_í;

so o††í Aí 9vAo †JëUõà†2 èëâà_¢ †JõëíoA_í Ao wo†f ë9 ëàU_o9 †B†¢â o9†õ _m 9v† f†¢ABëq

9A_í; óíf††f2 A9 Ao AífAoõ†íoë^à† í_9 _íàâ Aí f†¢ABAí8 8_B†¢íAí8 †gwë9A_ío2 ^w9 ëào_ Aí

_^9ëAíAí8 ëõõ¢_JAUë9† o_àw9A_ío _m 9v† †gwë9A_ío2 ëíf Aí ëíëàâVAí8 9v† õvâoAôëà ô_í9†í9

_m 9v† o_àw9A_í;

t_9† 9vë9 9v† fAU†íoA_í _m 9v† ô_†ffiôA†í9 ñÄρ Ao { ¢ ñ JrÄMN ï

r tN NF F F [B†à_ôA9âe P ρ JÄr M 2

t_Ä Aí9¢_fwô† 9v† í_9ë9A_í ù F ñÄρ 2 ÄvAôv Ao ë ôvë¢ëô9†¢Ao9Aô B†à_ôA9â _m 9v† õvâoAôëà

õ¢_^à†U; Égwë9A_í ïN;Ça ôëí 9v†í ^† Ä¢A99†í

Ç ùN

∂Nú ∂MN

− ∂Nú ∂\N

F û ñ I ïN;ña

ÄvAôv Ao ôëàà†f 9v† ÄëB† †gwë9A_í ë¢AoAí8 Aí íwU†¢_wo ô_í9†J9o;

å k_í8A9wfAíëà BA^¢ë9A_í _m ëí †àëo9Aô ¢_f

z_íoAf†¢ ëí †àëo9Aô ¢_f ÄA9v 9v† ô¢_ooqo†ô9A_íëà 뢆ë `ï\a ëíf l_wí8Wo U_fwàwo ç2 ëo

ov_Äí Aí PA8w¢† ïNa; k†9 9v† à_í8A9wfAíëà fAoõàëô†U†í9 m¢_U †gwAàA^¢AwU ^† gï\I Ma;

èv† o9¢ëAí ë9 o9ë9A_í \ Ao ∆g ∂g

àAU F P ∆\→E ∆\ ∂\

Ç;N; òó=ásèó>t >P st ÉksTèóz á>G ñ

U U+dU

0 L

x S

x x+dx

PA8w¢† Nr k_í8A9wfAíëà f†m_¢Uë9A_í _m ëí †àëo9Aô ¢_f

=â Y__I†Wo àëÄ2 9v† 9†íoA_í ë9 \ Ao ∂g

ç` P ∂\

t_Ä 9v† í†9 9†íoA_í _í ë ¢_f †à†U†í9 m¢_U \ 9_ \ i n\ Ao u ú u ú u ú ∂g ∂g ∂ ∂g

ç` − ç` F n\ ç` i R ïn\a N P ∂\ ∂\ ∂\ ∂\

\in\ \

k†9 9v† †J9†¢íëààâ ëõõàA†f à_í8A9wfAíëà m_¢ô† ^† tï\I Ma õ†¢ wíA9 à†í89v; 4_U†í9wU

ô_ío†¢Bë9A_í ¢†gwA¢†o 9vë9 u ú ∂Ng ∂ ∂g NPρ` n\ F ç` n\ i tn\ i Rïn\a ∂MN ∂\ ∂\

óí 9v† àAUA9 _m BëíAovAí8 n\2 Ć 8†9 9v† fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_ír u ú ∂Ng ∂ ∂g

ρ` F ç` i tP ïå;Ça∂MN ∂\ ∂\

óí 9v† oõ†ôAëà ôëo† _m wíAm_¢U ô¢_oo o†ô9A_í2 ` F ô_ío9ëí92 ëíf V†¢_ †J9†¢íëà m_¢ô†2

9v†í g oë9Ao܆o 9v† Aív_U_8†í†_wo ÄëB† †gwë9A_í

Ç ùN

∂Ng ∂MN

F ∂Ng ∂\N

i t ç`

I ïå;Na

2 Äv†¢† ù F çÄρ vëo 9v† fAU†íoA_í _m B†à_ôA9â;

èv† oAUõà†o9 ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío 뢆 m_¢ ÜJ†f _¢ m¢†† †ífo; óm ^_9v †ífo 뢆 ÜJ†f2

9v†í2

gïEI Ma F E ëíf gïrI Ma F EP ïå;åa

Ç;å; èásPPóz Pk>d >t s PáÉÉdsl b

óm 9v† à†m9 †íf Ao ÜJ†f ^w9 9v† ¢A8v9 †íf Ao m¢††2 9v†í

∂g gïEI Ma F E ëíf ïrI Ma F EI ïå;Xa

∂\

oAíô† 9v† o9¢†oo Ao õ¢_õ_¢9A_íëà 9_ 9v† o9¢ëAí; s8ëAí2 9v† U_o9 íë9w¢ëà AíA9Aëà ô_ífA9A_ío

뢆 ∂g

gï\I Ea F tï\aI ëíf ï\I Ea F Lï\aI ïå;ña∂M

Äv†¢† t ëíf L 뢆 õ¢†oô¢A^†f mwíô9A_ío _m \ m_¢ E Å \ Å r;

k†9 wo ôvëí8† 9_ 9v† Aí9†8¢ëà ëõõ¢_ëôv Aí 9v† í†J9 †JëUõà†;

X è¢ëffiô Q_Ä _í ë m¢††Äëâ

>í† _m 9v† Uë9v†Uë9Aôëà U_f†ào _m 9¢ëffiô Q_Ä Ao 9v† vâf¢_fâíëUAôëà 9v†_¢â _m kA8v9vAàà

ëíf dvA9vëU ïÇ3ñja; ó9 Ao ë oAUõà† 9v†_¢â ôëõë^à† _m f†oô¢A^Aí8 Uëíâ ¢†ëàqàAm† m†ë9w¢†o _m

vA8vÄëâ 9¢ëffiô ÄA9v ¢†Uë¢Ië^à† mëA9vmwàí†oo; z_íoAf†¢ ëíâ o†ô9A_í _m ë o9¢ëA8v9 m¢††Äëâ

m¢_U \ F ó 9_ \ F h2 PA8w¢† å; soowU† m_¢ oAUõàAôA9â 9vë9 9v†¢† 뢆 í_ †JA9o _¢ †í9¢ëíô†o2

ëíf ëàà B†vAôà†o 뢆 _í 9v† 8_; k†9 9v† f†íoA9â _m ôë¢o ïíwU^†¢ _m ôë¢o õ†¢ wíA9 à†í89v _m

vA8vÄëâa ë9 \ ëíf M ^† ρï\I Ma2 ëíf 9v† QwJ _m ôë¢o ïíwU^†¢ _m ôë¢o ô¢_ooAí8 9v† õ_Aí9

\ õ†¢ wíA9 9AU†a ^† oï\I Ma; =â ¢†gwA¢Aí8 9vë9 9v† íwU^†¢ _m ôë¢o ÄA9vAí ëí ë¢^A9¢ë¢â

o†ô9A_í m¢_U ó 9_ h ^† ô_ío†¢B†f2 Ć vëB† U h∂k − ρ ï\I Ma n\ F o ïhI Ma − o ïóI Ma P ∂M ó

á†Ä¢A9Aí8 9v† ¢A8v9qvëíf oAf† U h ∂o o ïhI Ma − o ïóI Ma F n\ I

ó ∂\

Ć 8†9 U h u ú ∂ρ ∂o i n\ F E P ïX;Ça

ó ∂M ∂\

TAíô† 9v† ô_í9¢_à Aí9†¢Bëà ïóI ha Ao ë¢^A9¢ë¢â2 9v† Aí9†8¢ëíf Uwo9 BëíAov2

∂ρ ∂o i F EP ïX;Na

∂M ∂\

èvAo ¢†owà9 ôëí ^† ë¢8w†f ^â ô_í9¢ëfAô9A_í2 ÄvAôv Ao ë 9âõAôëà ¢†ëo_íAí8 톆f†f 9_ ôvëí8†

ëí Aí9†8¢ëà àëÄ 9_ ë fAff†¢†í9Aëà àëÄ; Twõõ_o† 9vë9 9v† Aí9†8¢ëíf Ao õ_oA9AB† o_U†Äv†¢†

Ç;X; dsòÉT ót sáèÉáóÉT ù

ÄA9vAí ïóI ha2 oëâ2 Aí 9v† ¢ëí8† ïófI hfa ∈ ïóI ha2 ëíf V†¢_ †ào†Äv†¢† Aí ïóI ha2 9v†í 9v†

Aí9†8¢ëà Aí ïÇ;å;Ça Uwo9 ^† õ_oA9AB†; =w9 9vAo Ao ë ô_í9¢ëfAô9A_í; èv† ëoowUõ9A_í 9vë9

9v† Aí9†8¢ëíf Ao õ_oA9AB† o_U†Äv†¢† Ao 9v†¢†m_¢† Ä¢_í8; =â ë oAUAàë¢ ë¢8wU†í92 9v†

Aí9†8¢ëíf ôëíí_9 ^† í†8ë9AB† ëíâÄv†¢†2 ëíf v†íô† Uwo9 ^† V†¢_ †B†¢âÄv†¢† Aí ïóI ha;

(a) (b)q

ρOx a b

PA8w¢† år ïëa; s o†ô9A_í _m 9v† m¢††Äëâ; ï^a; èv† ¢†àë9A_í ^†9Ɔí 9¢ëffiô QwJ ¢ë9† ëíf

9¢ëffiô f†íoA9â;

Égwë9A_í ïÇ;å;Na Ao 9v† àëÄ _m ô_ío†¢Bë9A_í _m ôë¢o; YëBAí8 9Ä_ wíIí_Äío o ëíf ρ2 ë

ô_ío9A9w9AB† ¢†àë9A_í ^†9Ɔí ρ ëíf o Ao 톆f†f ëíf Uwo9 ^† m_wíf ^â ܆àf U†ëow¢†U†í9o;

Y†w¢Ao9Aôëààâ2 o Uwo9 ^† V†¢_ Äv†í 9v†¢† Ao í_ ôë¢ _í 9v† ¢_ëf2 ëíf V†¢_ ë8ëAí Äv†í 9v†

f†íoA9â ë99ëAío ë UëJAUwU ï^wUõ†¢q9_q^wUõ†¢ 9¢ëffiôa2 v†íô† 9v† ¢†àë9A_í ^†9Ɔí o

ëíf ρ Uwo9 ^† í_íàAí†ë¢

o F o ïρa ïX;åa

ëo oI†9ôv†f Aí PA8w¢† Ç;X;^; dA9v 9vAo ¢†àë9A_í2 ïÇ;å;Na ^†ô_U†o u ú ∂ρ no ∂ρ ∂M i

nρ ∂\ F EP ïX;Xa

èvAo ¢†owà9 Ao ë Ü¢o9q_¢f†¢ í_íàAí†ë¢ õë¢9Aëà fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_í ëíf ÄAàà ^† wo†f 9_

f†fwô† ë Bë¢A†9â _m Aí9†¢†o9Aí8 õv†í_U†íë _m 9¢ëffiô Q_Ä;

óí ëàà 9v† †JëUõà†o o9wfA†f o_ më¢ 9v† Üíëà 8_B†¢íAí8 †gwë9A_í AíB_àB†o _íàâ _í†

wíIí_Äí; t_Ä Ä† ÄAàà †JëUAí† ë õ¢_^à†U ÄA9v o†B†¢ëà wíIí_Äío;

Ç;X; dsòÉT ót sáèÉáóÉT j

ñ dëB† õ¢_õë8ë9A_í Aí ë¢9†¢A†o

d† ovëàà †JëUAí† 9v† õwàoë9Aí8 Q_Ä _m ^à__f Aí ëí ë¢9†¢â Äv_o† Äëàà Ao 9vAí ëíf †àëo9Aô;

so ë Ü¢o9 †J†¢ôAo† à†9 wo ëoowU† 9vë9 9v†¢† Ao _íàâ õwàoë9A_í ^w9 í_ í†9 QwJ; =†ôëwo† _m

9v† õ¢†oow¢† 8¢ëfA†í9 Aí 9v† ^à__f2 9v† ë¢9†¢â Äëàà Uwo9 f†m_¢U; èv† †àëo9Aô ¢†o9_¢Aí8

m_¢ô† Aí 9v† Äëàà UëI†o A9 õ_ooA^à† m_¢ ÄëB†o 9_ õ¢_õë8ë9†;

èv† ë¢9†¢â ¢ëfAwo óï\I Ma Bë¢A†o m¢_U 9v† ô_ío9ëí9 U†ëí ói Aí 9AU† ëíf ëà_í8 9v†

ë¢9†¢â ïAí \a; k†9 9v† à_ôëà ô¢_oo o†ô9A_íëà 뢆ë ^† ` F πóN2 ëíf 9v† ëB†¢ë8†f B†à_ôA9â

^† }ï\I Ma; z_íoAf†¢ ë ÜJ†f 8†_U†9¢Aôëà B_àwU† ^†9Ɔí \ ëíf \ i n\2 9v¢_w8v ÄvAôv

QwAf U_B†o Aí ëíf _w9; z_ío†¢Bë9A_í _m Uëoo ¢†gwA¢†o

∂` ∂ï}`a i F EI ïñ;Ça

∂M ∂\

t†J9 9v† U_U†í9wU ^ëàëíô†; èv† 9AU† ¢ë9† _m U_U†í9wU ôvëí8† Aí 9v† B_àwU† Uwo9

^† ^ëàëíô†f ^â 9v† í†9 AíQwJ _m U_U†í9wU 9v¢_w8v 9v† 9Ä_ †ífo ëíf 9v† õ¢†oow¢† m_¢ô†

ëô9Aí8 _í ëàà oAf†o; èv† ¢ë9† _m U_U†9wU ôvëí8† Ao

∂ïρ}`a ïñ;Na

∂M

èv† í†9 ¢ë9† _m U_U†í9wU AíQwJ Ao

∂ïρ}N`a ∂}` ∂}− n\ F −ρ} − ρ}` ïñ;åa∂\ ∂\ ∂\

èv†¢ í†9 õ¢†oow¢† m_¢ô† ë9 9v† 9Ä_ †ífo Ao

∂ïû`a ∂û ∂` − F −` − û ∂\ ∂\ ∂\

ÄvAà† 9vë9 _í 9v† oà_õAí8 Äëàà Ao

∂ó ∂` Nπó û F û

∂\ ∂\

èv† owU _m ëàà õ¢†oow¢† m_¢ô†o Ao ∂û −` ïñ;Xa∂\

=ëàëíôAí8 9v† U_U†í9wU ^â †gwë9Aí8 ïñ;Na 9_ 9v† owU _m ëïñ;åa ëíf ïñ;Xa Ć 8†92 ëm9†¢

UëIAí8 wo† _m Uëoo ô_ío†¢Bë9A_í ïñ;Ça2 u ú ∂} ∂} ∂û

ρ i } F − ïñ;ña∂M ∂\ ∂\

Ç;X; dsòÉT ót sáèÉáóÉT 3

PA8w¢† Xr P_¢ô†o _í 9v† ë¢9†¢â Äëàà;

k†9 9v† õ¢†oow¢† _w9oAf† 9v† ë¢9†¢â ^† ô_ío9ëí92 oëâ V†¢_; èv† ôvëí8† Aí 9v† 9w^†

¢ëfAwo Uwo9 ^† ôëwo†f ^â 9v† ôvëí8† Aí ^à__f õ¢†oow¢†; á†m†¢Aí8 9_ Ü8w¢† OO2 9v† †àëo9Aô

o9¢ëAí fw† 9_ 9v† à†í89v†íAí8 _m 9v† ôA¢ôwUm†¢†íô† Ao NπnóÄNπó F nóÄó; k†9 | ^† 9v†

ë¢9†¢â Äëàà 9vAôIí†oo2 ëoowU†f 9_ ^† Uwo9 oUëàà†¢ 9vëí ó2 ëíf l_wí8Wo U_fwàwo ç; èv†

ôvëí8† Aí †àëo9Aô m_¢ô† Ao Nç|nóÄó ÄvAôv Uwo9 ^† ^ëàëíô†f ^â 9v† ôvëí8Aí8 Aí õ¢†oow¢†

m_¢ô† Nó nû 2 A;†;2 Nç| nó

F Nó nûI ó

ÄvAôv AUõàA†o √ nû nó F ç| óN

_¢ nû n`

F πç| `åÄN

ïñ;ba

|¢†oow¢† Aíô¢†ëo†o ÄA9v 9v† 9w^† ¢ëfAwo2 ^w9 9v† ¢ë9† _m Aíô¢†ëo† Ao oUëàà†¢ m_¢ àë¢8†¢

¢ëfAwo; Zõ_í Aí9†8¢ë9A_í Ć 8†9 9v† †gwë9A_í _m o9ë9†

√ √ û − ûi F −çï|Äóa F − πç|Ä ` ïñ;ùa

Ég ïñ;ña Uëâ í_Ä ^† ¢†Ä¢A99†í ëo u ú

` ∂} ∂M i }

∂} ∂\

F − ` ρ ∂û ∂\ F −ÖN ∂`

∂\ ïñ;ja

Ç;X; dsòÉT ót sáèÉáóÉT ÇE

Äv†¢† Ö Ao f†Üí†f ^â 7 7 ` nû ç|

Ö F F ïñ;3aρ n` Nρó

ëíf vëo 9v† fAU†íoA_í _m B†à_ôA9â; óí BA†Ä _m ïñ;ba2 †gwë9A_ío ïñ;Ça ëíf ïñ;ja 뢆 ë õëA¢

_m í_íàAí†ë¢ †gwë9A_ío m_¢ 9v† 9Ä_ wíIí_Äío } ëíf `;

P_¢ AíÜíA9†oAUëà ëUõàA9wf†o Ć ôëí àAí†ë¢AV† 9v†o† †gwë9A_ío; k†9 ó F ói i óf ÄA9v

óf r ói 9v†í 9v† ïñ;Ça ^†ô_U†o2 9_ 9v† à†ëfAí8 _¢f†¢2

∂óf ói ∂}i F E ïñ;ÇEa

∂M N ∂\

èv† àAí†ë¢AV†f U_U†í9wU †gwë9A_í Ao

∂} ∂û ρi F − ïñ;ÇÇa ∂M ∂\

èv† àAí†ë¢AV†f m_¢U _m ïñ;ba Ao Nç|

nû F nóf ïñ;ÇNa óN i

ÄvAôv ôëí ^† wo†f Aí ïñ;ÇÇa 9_ 8†9

∂} ç| ∂óf ρ F − ïñ;Çåa ∂M óN

i ∂\

PAíëààâ ïñ;Na ëíf ïñ;ja ôëí ^† ô_U^Aí†f 9_ 8AB† 9v† ÄëB† †gwë9A_ír

∂Nóf ∂Nóf F ùN

i ïñ;ÇXa ∂MN ∂\N

Äv†¢† 7 ç|

ùi F ïñ;Çña Nρói

sà9†¢íë9†àâ _í† ôëí †àAUAíë9† ó 9_ 8†9 ëí †gwë9A_í m_¢ }

∂N} ∂N}F ùN

i ïñ;Çba ∂MN ∂\N

=†ôëwo† _m ïñ;ÇNa2 9v† fâíëUAô õ¢†oow¢† Ao 8_B†¢í†f ëào_ ^â

∂Nû ∂Nû F ùN

i ïñ;Çùa ∂MN ∂\N

sàà wíIí_Äío 뢆 8_B†¢í†f ^â 9v† oëU† †gwë9A_í fw† 9_ àAí†ë¢A9â ëíf 9v† mëô9 9vë9 ëàà

ô_†ffiôA†í9o 뢆 ô_ío9ëí9o;

z_UU†í9o _í àAí†ë¢AVë9A_ír

Ç;b; TYskk>d dsèÉá dsòÉT ÇÇ

è_ Üíf _w9 9v† ëôôw¢ëôâ _m àAí†ë¢AVë9A_í2 A9 Ao wo†mwà 9_ †o9AUë9† Ü¢o9 9v† oôëà†o _m

U_9A_í; k†9 yI ñI rI g ëíf Ü f†í_9† 9v† oôëà†o _m ófI MI \I } ëíf ûf ¢†oõ†ô9AB†àâ; ó9 Ao

íë9w¢ëà 9_ 9ëI† r F ùiñ ; P¢_U ïñ;Ça ïñ;ña ëíf ïñ;ba Ć 8†9 9v† ¢†àë9A_ío ëU_í8 9v†

oôëà†o _m fâíëUAôëà gwëí9A9A†o

óiy góN i y r

F I v†íô† g F ñ r ói ñ

ç|y Ü F

óN i

g Ç Ü Ç Ç ç|y F F

ñ ρ r ρ rÄñ óN i

ó9 m_àà_Äo 9vë9 y r Ç Ç ç|y

F ói ñ ρ rÄñ óN

i

v†íô†2 rN ç|F F ùN

ñ N iρói

dA9v 9v†o† oôëà†o 9v† ¢ë9A_ _m ë 9âõAôëà í_íàAí†ë¢ 9†¢U 9_ ë àAí†ë¢ 9†¢U Ao

}∂} ∂\ gNÄr g y∼ F F∂∂}M

gÄñ rÄñ ói

Y†íô† 9v† ô_ífA9A_í m_¢ àAí†ë¢AVë9A_í Ao 9vë9

y r Çói

b Tvëàà_Ä Äë9†¢ ÄëB†o ëíf àAí†ë¢AVë9A_í

b;Ç t_íàAí†ë¢ 8_B†¢íAí8 †gwë9A_ío

óm Äë9†¢ Aí ë àëI† _¢ ëà_í8 9v† o†ë ô_ëo9 Ao fAo9w¢^†f2 ÄëB†o ôëí ^† ô¢†ë9†f _í 9v† ow¢mëô†2

fw† 9_ 9v† ¢†o9_¢Aí8 m_¢ô† _m 8¢ëBA9â; z_íoAf†¢ 9v† ^ëoAô àëÄo 8_B†¢íAí8 9v† U_9A_í _m à_í8

ÄëB†o Aí ovëàà_Ä Äë9†¢ _m ô_ío9ëí9 f†íoA9â ëíf í†8àA8A^à† BAoô_oA9â; á†m†¢¢Aí8 9_ PA8w¢†

ñ2 à†9 9v† c ëJAo ^† fA¢†ô9†f B†¢9Aôëààâ wõÄë¢f ëíf 9v† \I ê õàëí† àA† Aí 9v† AíA9Aëààâ ôëàU

Äë9†¢ ow¢mëô†2 |ï\I êa f†í_9† 9v† f†õ9v ^†à_Ä 9v† o9Aàà o†ë à†B†à2 ëíf ζï\I êI Ma 9v† B†¢9Aôëà

fAoõàëô†U†í9 _m 9v† m¢†† ow¢mëô†; èëI† 9v† fAff†¢†í9Aëà ëõõ¢_ëôv ë8ëAí ëíf ô_íoAf†¢ 9v†

QwAf Q_Ä 9v¢_w8v ë B†¢9Aôëà ô_àwUí ÄA9v 9v† ^ëo† n\nê;

Ç;b; TYskk>d dsèÉá dsòÉT ÇN

O

z=

z

x

ζ

z=-h

ζ

dy dx

PA8w¢† ñr s ô_àwUí †à†U†í9 _m QwAf Aí ë ovëàà_Ä o†ë

PA¢o92 9v† àëÄ _m Uëoo ô_ío†¢Bë9A_í; èv† ¢ë9† _m B_àwU† Aíô¢†ëo† Aí 9v† ô_àwUí

∂ζ n\nê

∂M

Uwo9 ^† ^ëàëíô†f ^â 9v† í†9 B_àwU† QwJ Aí9_ 9v† ô_àwUí m¢_U ëàà m_w¢ B†¢9Aôëà oAf†o; óí

ovëàà_Ä Äë9†¢2 9v† v_¢AV_í9ëà à†í89v oôëà†2 ôvë¢ëô9†¢AV†f ^â 9v† ÄëB†à†í89v λ2 Ao Uwôv

8¢†ë9†¢ 9vë9 9v† B†¢9Aôëà à†í89v |; dë9†¢ Q_Äo UëAíàâ Aí 9v† v_¢AV_í9ëà õàëí†o ÄA9v

9v† B†à_ôA9â wï\I êI MaI ÄvAôv Ao †oo†í9Aëààâ ô_ío9ëí9 Aí f†õ9v; èv¢_w8v 9v† B†¢9Aôëà oAf†o

í_¢Uëà 9_ 9v† \ ëJAo2 9v† fAff†¢†íô† ^†9Ɔí AíQwJ 9v¢_w8v 9v† à†m9 ëíf _w9QwJ 9v¢_w8v

9v† ¢A8v9 Ao ä j∂ − [} ïζ i |a L\in\ − } ïζ i |a L\e nê F − [} ïζ i |ae i Rïn\a n\nêP ∂\

TAUAàë¢àâ2 9v¢_w8v 9v† B†¢9Aôëà oAf†o í_¢Uëà 9_ 9v† ê ëJAo2 9v† fAff†¢†íô† ^†9Ɔí AíQwJ

9v¢_w8v 9v† m¢_í9 ëíf _w9QwJ 9v¢_w8v 9v† ^ëôI Ao ä j∂ − [U ïζ i |a Lêinê − U ïζ i |a Lêe n\ F − [U ïζ i |ae i Rïnêa nên\P ∂ê

Ç;b; TYskk>d dsèÉá dsòÉT Çå

>UA99Aí8 9†¢Uo _m vA8v†¢ _¢f†¢ Aí n\I nê2 Ć AíB_I† Uëoo ô_ío†¢Bë9A_í 9_ 8†9 ä j∂ζ ∂ ∂ n\nê F − [} ïζ i |ae i [U ïζ i |ae i Rïn\I nêa n\nêP

∂M ∂\ ∂ê

óí 9v† àAUA9 _m BëíAovAí8 n\I nê2 Ć vëB†2 Aí B†ô9_¢ m_¢U2

∂ζ i ∇ k [wïζ i |ae F EP ïb;Ça

∂M

èvAo †gwë9A_í Ao í_íàAí†ë¢ ^†ôëwo† _m 9v† gwëf¢ë9Aô õ¢_fwô9 _m 9v† wíIí_Äío w ëíf ζ;

t_Ä 9v† àëÄ _m ô_ío†¢Bë9A_í _m U_U†í9wU; óí ovëàà_Ä Äë9†¢ 9v† B†¢9Aôëà U_U†í9wU

^ëàëíô† Ao f_UAíë9†f ^â õ¢†oow¢† 8¢ëfA†í9 ëíf 8¢ëBA9â2 ÄvAôv U†ëío 9vë9 9v† fAo9¢A^w9A_í

_m õ¢†oow¢† Ao vâf¢_o9ë9Aôr

û F ρL ïζ − ca I ïb;Na

Äv†¢† 9v† ë9U_oõv†¢Aô õ¢†oow¢† _í 9v† m¢†† ow¢mëô† Ao A8í_¢†f; z_íoAf†¢ í_Ä U_U†í9wU

^ëàëíô† Aí 9v† \ fA¢†ô9A_í; èv† í†9 õ¢†oow¢† m_¢ô† _í 9Ä_ B†¢9Aôëà oAf†o í_¢Uëà 9_ 9v† \

fA¢†ô9A_í Ao U ζ U ζ∂ ∂ n\nê û nc F −n\nê ρLïζ − ca nc

∂\ −| ∂\ −|

∂ïζ i |a F −ρLïζ i |a n\nêP

∂\

èv† vâf¢_fâíëUAô ¢†ëô9A_í m¢_U 9v† oà_õAí8 ^_99_U 9_ 9v† QwAf Ao

∂| ∂|−û n\nê F ρLïζ i |a n\nêP ∂\ ∂\

èv† ôvëí8† _m QwAf U_U†í9wU ô_íoAo9o _m 9Ä_ õë¢9o; >í† õë¢9 Ao fw† 9_ 9v† 9AU† ¢ë9†

_m U_U†í9wU ôvëí8† Aí 9v† Äë9†¢ ô_àwUí ä j∂ [ρ}ïζ i |ae n\nêI

∂M

ëíf 9v† _9v†¢ Ao fw† 9_ 9v† í†9 QwJ _m U_U†í9wU 9v¢_w8v m_w¢ B†¢9Aôëà oAf†or

∂ [ρ}Nïζ i |aen\nê i

∂ [ρ}Uïζ i |aenên\P

∂\ ∂ê

Égwë9Aí8 9v† 9_9ëà ¢ë9† _m U_U†í9wU ôvëí8† 9_ 9v† í†9 õ¢†oow¢† m_¢ô† _í 9v† oAf†o ëíf

_í 9v† ^_99_U2 Ć 8†9

∂ ∂ ∂ [ρ}ïζ i |ae i [ρ}Nïζ i |ae i [ρ}Uïζ i |ae

∂M ∂\ ∂ê ∂ïζ i |a ∂|

F −Lïζ i |a i Lïζ i |a P ∂\ ∂\

Ç;b; TYskk>d dsèÉá dsòÉT ÇX

èv† à†m9qvëíf oAf† ôëí ^† oAUõàA܆f 9_ u ú ä j∂} ∂} ∂} ∂ζ ∂ ∂ i } i U ïζ i |a i } i [}ïζ i |ae i [Uïζ i |ae

∂M ∂\ ∂ê ∂M ∂\ ∂ê ∂ζ ∂} ∂}

F i } i U ∂M ∂\ ∂ê

^â AíB_IAí8 ô_í9AíwA9â ïÇ;b;Ça; Y†íô† 9v† \ U_U†í9wU †gwë9A_í ¢†fwô†o 9_

∂} ∂} ∂} ∂ζ i } i U F −L P ïb;åa

∂M ∂\ ∂ê ∂\

TAUAàë¢àâ2 U_U†í9wU ^ëàëíô† Aí 9v† ê fA¢†ô9A_í ¢†gwA¢†o

∂U ∂U ∂U ∂ζ i } i U F −L P ïb;Xa

∂M ∂\ ∂ê ∂ê

èv†o† 9Ä_ †gwë9A_ío ôëí ^† owUUë¢AV†f Aí 9v† B†ô9_¢ m_¢Ur

∂w i w k ∇w F −L∇ζ P ïb;ña

∂M

Égwë9A_ío ïb;Ça ëíf ïb;ña 뢆 ô_wõà†f í_íàAí†ë¢ õë¢9Aëà fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_ío m_¢ 9v¢††

oôëàë¢ wíIí_Äío w ëíf ζ;

t_Ä 9v† ^_wífë¢â ëíf AíA9Aëà ô_ífA9A_ío; >í ë ov_¢†àAí† `2 9v†¢† ôëí ̂ † í_ í_¢Uëà

QwJ2 9v†¢†m_¢†2

|w k í F E _í `I ïb;ba

Äv†¢† í f†í_9†o 9v† wíA9 í_¢Uëà B†ô9_¢ õ_Aí9Aí8 v_¢AV_í9ëààâ Aí9_ 9v† ov_¢†; èvAo

ô_ífA9A_í Ao ëõõàAôë^à† í_9 _íàâ ëà_í8 ë ôàAff ov_¢† Äv†¢† | Ao ÜíA9†2 ^w9 ëào_ _í ë

ov_¢†àAí† Äv†¢† | F E2 ëo à_í8 ëo 9v† ÄëB†o 뢆 8†í9à† †í_w8v í_9 9_ ^¢†ëI; óí 9v† àë99†¢

ôëo† 9v† Äv†¢†ë^_w9 _m 9v† ov_¢†àAí† Ao wíIí_Äí ë õ¢A_¢A ëíf Uwo9 ^† m_wíf ëo ë õë¢9

_m 9v† o_àw9A_í;

s9 9v† AíA9Aëà Aío9ëí92 _í† Uëâ ëoowU† 9vë9 9v† fAoõàëô†U†í9 ζï\I êI Ea ëíf 9v† B†¢q

9Aôëà B†à_ôA9â _m 9v† †í9A¢† m¢†† ow¢mëô† ∂∂ M ζï\I êI Ea Ao Ií_Äí; èv†o† ô_ífA9A_ío ô_Uõà†9†

9v† m_¢Uwàë9A_í _m 9v† í_íàAí†ë¢ ovëàà_Ä Äë9†¢ ÄëB† õ¢_^à†U;

b;N kAí†ë¢AVë9A_í m_¢ oUëàà ëUõàA9wf†

P_¢ oUëàà ëUõàA9wf† ÄëB†o ζ y∼ r ÇI ïb;ùa| |

Ç;b; TYskk>d dsèÉá dsòÉT Çñ

Äv†¢† y Ao 9v† ôvë¢ëô9†¢Ao9Aô ëUõàA9wf†; Égwë9A_í ïÇ;b;Ça Uëâ ^† oAUõàA܆f ^â í†8à†ô9Aí8

9v† gwëf¢ë9Aô 9†¢U ∂ζ i ∇ k |w F EP ïb;ja

∂M

G†í_9Aí8 9v† 9AU† oôëà† ^â 9v† ÄëB† õ†¢A_f ñ ëíf 9v† v_¢AV_í9ëà à†í89v oôëà† ^â 9v†

ÄëB†à†í89v λ2 Ć †gwë9† 9v† _¢f†¢ _m Uë8íA9wf†o _m 9v† ¢†UëAíAí8 9Ä_ 9†¢Uo ë^_B† 9_

8†9 y }| y }ñ∼ I AUõàâAí8 ∼ r ÇP ñ λ | λ

t_Ä à†9 wo †o9AUë9† 9v† AUõ_¢9ëíô† _m 9v† gwëf¢ë9Aô 9†¢U w k ∇w Aí 9v† U_U†í9wU

†gwë9A_í ^â ëoo†ooAí8 9v† ¢ë9A_

w k ∇w ï }ñ t

∂w F R r ÇP λ

∂M

zà†ë¢àâ 9v† gwëf¢ë9Aô 9†¢U ¢†õ¢†o†í9Aí8 ô_íB†ô9AB† A톢9Aë ôëí ëào_ ^† A8í_¢†f Aí 9v†

Ü¢o9 ëõõ¢_JAUë9A_í2 ëíf 9v† U_U†í9wU †gwë9A_í ^†ô_U†o

∂w F −L∇ζP ïb;3a

∂M

=_9v 9v† ô_í9AíwA9â ïÇ;b;ja ëíf U_U†í9wU ïÇ;b;3a †gwë9A_ío 뢆 í_Ä àAí†ë¢AV†f;

óí BA†Ä _m ïÇ;b;3a 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9A_í _í 9v† ov_¢†àAí† ïÇ;b;ba ôëí ^† †Jõ¢†oo†f2

Aío9†ëf2 ëo ∂ζ | F E _í `P ïb;ÇEa ∂ò

z_íoAo9†í9 ÄA9v 9v† àAí†ë¢AV†f ëõõ¢_JAUë9A_í2 9v† ov_¢†àAí† õ_oA9A_í ôëí ^† õ¢†oô¢A^†f

ë õ¢A_¢A;

Égwë9A_ío ïb;ja ëíf ïb;3a ôëí ^† ô_U^Aí†f ^â 9v† õ¢_ô†oo _m ô¢_oo fAff†¢†í9Aë9A_í;

PA¢o9 fAff†¢†í9Aë9† ïb;ja ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ M2 ä j∂ ∂ζ

i ∇ k ïw|a F EI ∂M ∂M

9v†í 9ëI† 9v† fAB†¢8†íô† _m 9v† õ¢_fwô9 _m ïb;3a ëíf |2 ä j∂w ∇ k | F −∇ïL|∇ζaP ∂M

èv† fAff†¢†íô† _m 9v†o† 9Ä_ †gwë9A_ío 8AB†o

∂Nζ F ∇ k ïL|∇ζaP ïb;ÇÇa

∂MN

Ç;b; TYskk>d dsèÉá dsòÉT Çb

P_¢ ë v_¢AV_í9ëà ^_99_U | F ô_ío9ëí92

Ç ∂Nζ F ∇NζI ïb;ÇNa

ùN ∂MN

√ Äv†¢† ù F L| F RïλÄñ a Ao 9v† ôvë¢ëô9†¢Ao9Aô B†à_ôA9â _m AíÜíA9†oAUëà ÄëB† U_9A_í;

Égwë9A_í ïÇ;b;ÇNa Ao 9v† 9Ä_qfAU†íoA_íëà †J9†íoA_í _m 9v† ÄëB† †gwë9A_í; óm2 mw¢9v†¢U_¢†2

ëàà ô_ífA9A_ío 뢆 wíAm_¢U Aí 9v† ê fA¢†ô9A_í2 ∂Ä∂ê F E2 ïb;ÇNa ¢†fwô†o 9_ 9v† mëUAàAë¢

m_¢U Ç ∂Nζ ∂Nζ

F P ïb;ÇåaùN ∂MN ∂\N

ù T_wíf Aí QwAfo

èv† ^ëoAô †gwë9A_ío 8_B†¢íAí8 ëí AíBAoôAf ëíf ô_Uõ¢†ooA^à† QwAf 뢆 ëo m_àà_Äo; 4ëoo

ô_ío†¢Bë9A_ír ∂ρ i ∇ k ïρwa F E ïù;ÇXa

∂M

4_U†í9wU ô_ío†¢Bë9A_ír u ú ∂w

ρ i w k ∇w F −∇û ïù;Çña∂M

d† Uwo9 ëff ëí †gwë9A_í _m o9ë9†

û F ûïρI `a ïù;Çba

Äv†¢† ` f†í_9†o 9v† †í9¢_õâ; dv†í í_ 9†Uõ†¢ë9w¢† 8¢ëfA†í9 Ao AUõ_o†f †J9†¢íëààâ ëíf

9v† 8¢ëfA†í9 _m 9v† Q_Ä Ao í_9 9__ àë¢8†2 _í† ôëí A8í_¢† 9v†¢Uëà fAffwoA_í; èv† QwAf

U_9A_í Ao 9v†í ëfAë^ë9Aô< †í9¢_õâ Ao ô_ío9ëí9; so ë ¢†owà9 û F ûïρI `ia f†õ†ífo _íàâ _í

9v† f†íoA9â; Ég; ïù;ÇX a ôëí ^† Ä¢A99†í ëo u ú u ú ∂w ∂û

ρ i w k ∇w F − ∇ρ ïù;Çùa∂M ∂ρ

`

d† ovëàà f†í_9† [u ú;; ∂ûÖ F W ïù;Çja

∂ρ `

o_ 9vë9 u ú

ρ∂w

i w k ∇w F −ÖN∇ρ ïù;Ç3a∂M

Ç;b; TYskk>d dsèÉá dsòÉT Çù

ó9 Ao †ëoâ 9_ ôv†ôI 9vë9 Ö vëo 9v† fAU†íoA_í _m B†à_ôA9â;

P¢_U 9v†¢U_fâíëUAôo Ć ëào_ vëB† u ú u ú ∂û ∂û ∂ρ

`

F γ ∂ρ

ñ

ïù;NEa

Äv†¢† ñ Ao 9v† 9†Uõ†¢ë9w¢† ëíf γ F ùûÄùU F ¢ë9A_ _m oõ†ôAÜô v†ë9o;

P_¢ ë õ†¢m†ô9 8ëo 9v† †gwë9A_í _m o9ë9† Ao

û F ρéñ ïù;NÇa

Äv†¢† é Ao 9v† 8ëo ô_ío9ëí9; Y†íô† m_¢ ë õ†¢m†ô9 8ëo u ú ∂û

F γéñ ïù;NNa ∂ρ

`

kAgwAfo 뢆 Uwôv à†oo ô_Uõ¢†ooA^à†; >í† wowëààâ Ä¢A9†o 9v† †gwë9A_í _m o9ë9† ëo u ú u ú ∂ρ ∂ρ

nρ F nû i nñ ïù;Nåa ∂û ∂ñ

ñ û

G†í_9Aí8 u ú Ç ∂ρ

β F − ïù;NXa ρ ∂ñ

û

ëo 9v† ô_†ffiôA†í9 _m 9v†¢Uëà †JõëíoA_í ëíf u ú Ç ∂ρ

κ F ïù;Nña ρ ∂û

ñ

ëo 9v† ô_†ffiôA†í9 _m Ao_9v†¢Uëà ô_Uõ¢†ooA^AàA9â; Zowëààâ β Ao oUëàà ëíf κ Uwôv oUëàà†¢;

Zíf†¢ Ao_9v†¢Uëà ô_ífA9A_ío A9 Ao κ 9vë9 ô_wí9o;

èv† oAUõà†o9 àAUA9 Ao 9v† ôëo† Äv†¢† 9v† ^ëôI8¢_wíf f†íoA9â ρi ëíf õ¢†oow¢† ∂i 뢆

wíAm_¢U2 9v† QwAf Ao ë9 ¢†o9 ëíf 9v† fâíëUAô õ†¢9w¢^ë9A_ío 뢆 AíÜíA9†oAUëààâ oUëàà; d†

ôëí Ä¢A9†

û F ûi i ûfI ρ F ρi i ρf ïù;Nba

ÄA9v ρf r ρi ëíf ûf r ûi2 ëíf àAí†ë¢AV† 9v† †gwë9A_ío 9_

∂ρf

∂M i ρi∇ k w F E ïù;Nùa

ëíf ∂w Ç

F − ∇ûf ïù;Nja ∂M ρi

Ç;3; PkÉüZásk dsòÉT ót s =És4 Çj

èëIAí8 9v† ôw¢à _m 9v† o†ô_íf2 Ć 8†9

∂ ∇ * w F E ïù;N3a ∂M

9vwo 9v† B†à_ôA9â ܆àf Ao A¢¢_9ë9A_íëà Am A9 Ao o_ AíA9Aëààâ; d† ôëí Aí9¢_fwô† ë õ_9†í9Aëà φ

^â

w F ∇φ ïù;åEa

ó9 m_àà_Äo m¢_U 9v† U_U†í9wU †gwë9A_í

ûf F −ρi ∂φ

ïù;åÇa ∂M

ZoAí8 9v†o† Ć 8†9 9v† ÄëB† †gwë9A_í;

∂Nφ F ùN∇Nφ ïù;åNa

∂MN i

Äv†¢† u ú ∂ûi

ùN i F ïù;ååa

∂ρi `

j Pà†Jw¢ëà ÄëB†o Aí ë ^†ëU _í ëí †àëo9Aô m_wífë9A_í

á†m†¢¢Aí8 9_ PA8w¢† ïja2 Ć Ü¢o9 f†oô¢A^† 9v† U_U†í9wU ô_ío†¢Bë9A_í _m ë 9vAí ^†ëU;

soowU† 9v† ^†ëU 9_ vëB† ë v_¢AV_í9ëà ëJAo Äv†í A9 Ao í_9 à_ëf†f ëíf 9_ vëB† wíAm_¢U

z δV δx

z

U

U

PA8w¢† br G†Q†ô9A_í _m ë ^†ëU

Uë9†¢Aëà õ¢_õ†¢9A†o; k†9 ú ï\a f†í_9† 9v† wõÄë¢f f†Q†ô9A_í _m 9v† ^†ëU ëJAo; óm 9v†

9vAôIí†oo Ao oUëàà ô_Uõ뢆f 9_ 9v† à†í89v ëíf 9v† f†Q†ô9A_í oUëàà ô_Uõ뢆f 9_ 9v†

Ç;3; PkÉüZásk dsòÉT ót s =És4 Ç3

p dx

δ δS+ Sdx M+ Mdx M δ xS δx

k V dy

PA8w¢† ùr P_¢ô†o ëíf U_U†í9o _í ë ^†ëU o†8U†í9 m¢_U \ 9_ \ i n\;

9vAôIí†oo2 ë õàëí† ô¢_oo o†ô9A_í ¢†UëAío ëõõ¢_JAUë9†àâ õàëí† ëm9†¢ f†m_¢Uë9A_í; Y†íô†2

9v† à_í8A9wfAíëà fAoõàëô†U†í9 g ë9 o†ô9A_í \ ëíf v†A8v9 c ë^_B† 9v† ëJAo Ao õ¢_õ_¢9A_íëà

9_ c ëíf 9_ 9v† 9Aà9 ëí8à† ∂ú Ä∂\ ∂ú∼g F −c P ∂\

z_ío†gw†í9àâ2 9v† o9¢ëAí Ao ∂g ∂Nú

ε\ F F −c ∂\ ∂\N

ëíf 9v† à_í8A9wfAíëà o9¢†oo Ao

∂g ∂Nú σ\ F ç F −çc I ï3;Ça

∂\ ∂\N

Äv†¢† ç Ao l_wí8Wo U_fwàwo; èv† 9_9ëà U_U†í9 ë^_w9 9v† UAfqo†ô9A_í c F E fw† 9_

9v† o9¢†oo fAo9¢A^w9A_í ëô¢_oo 9v† o†ô9A_í Ao U |ÄN ∂Nú U |ÄN ∂Nú J F − σ\cnc F ç c N nc F çô I ï3;Na

−|ÄN ∂\N −|ÄN ∂\N

Äv†¢† U |ÄN Nô F c nc

−|ÄN

Ao 9v† U_U†í9 _m A톢9Aë _m 9v† ô¢_oo o†ô9A_í ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ A9o UAfqo†ô9A_í c F E;

z_íoAf†¢ ë à†í89v †à†U†í9 _m 9v† ^†ëU m¢_U \ 9_ \ i n\2 ëo oI†9ôv†f Aí PA8; ïùa; èv†

^ëàëíô† _m ëí8wàë¢ U_U†í9wU ë^_w9 9v† ô†í9†¢ _m 9v† †à†U†í9 ¢†gwA¢†o 9vë9 u ú ∂J ∂` n\ n\ ∂åú

J i n\ − J i ` i n\ i ` F ρln\ I ∂\ ∂\ N N ∂\∂MN

Ç;3; PkÉüZásk dsòÉT ót s =És4 NE

Äv†¢† ρ Ao 9v† Uëoo ëíf ρl Ao 9v† ¢_9ë9_¢â U_U†í9 _m A톢9Aë õ†¢ wíA9 à†í89v _m 9v†

^†ëU; P_¢ ë ^†ëU ÄA9v ¢†ô9ëí8wàë¢ ô¢_oo o†ô9A_í2 l F |NÄÇN2 Äv†¢† | Ao 9v† v†A8v9 _m

9v† ^†ëU; èvwo2

∂J ∂åú ∂åú ∂åú ` F − i ρl F −çô i ρl P ï3;åa

∂\ ∂\∂MN ∂\å ∂\∂MN

>í 9v† _9v†¢ vëíf2 ^ëàëíô† _m B†¢9Aôëà m_¢ô†o ¢†gwA¢†o 9vë9

∂` ∂Nú ` i n\ − ` F û n\ i [ú n\ i ρ I

∂\ ∂MN

Äv†¢† [ Ao 9v† †àëo9Aô ô_ío9ëí9 _m 9v† àë9†¢ëà owõõ_¢92 ëíf ûï\I Ma Ao 9v† fAo9¢A^w9†f à_ëf;

4ëIAí8 wo† _m ïb;ñ;åa2 Ć 8†9 u ∂N

ú ∂Nú ∂Xú

ρ Ç − l ∂\N ∂MN

i çô ∂\X

i [ú F −ûï\I MaI ï3;Xa

ÄvAôv Ao ë m_w¢9vq_¢f†¢ õë¢9Aëà fAff†¢†í9Aëà †gwë9A_í2 f†¢AB†f Ü¢o9 ^â k_¢f áëâà†A8v; óm 9v†

ÄëB†à†í89v r Ao Uwôv 8¢†ë9†¢ 9vëí 9v† ^†ëU v†A8v9 |Äk̀r Ç2 9v†í 9v† 9†¢U ¢†õ¢†o†í9Aí8

¢_9ë9_¢â A톢9Aë Ao í†8àA8A^à† ëíf ïb;ñ;Xa Uëâ ^† oAUõàA܆f 9_

∂Nú ∂Xú ρ i çô i [ú F −ûï\I MaP ï3;ña∂MN ∂\X

t_Ä 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío; P_¢ ë ^†ëU _m ÜíA9† à†í89v2 †ëôv †íf ôëí ^† m¢††2 ôàëUõ†f2

_¢ owõõ_¢9†f _í ë vAí8†; s9 ë m¢†† †íf2 9v†¢† Ao í†A9v†¢ 9_¢gw† í_¢ ov†ë¢

∂Nú ∂åú F EI F EP ï3;ba

∂\N ∂\å

s9 ë ôàëUõ†f †íf2 9v† f†Q†ô9A_í ëíf oà_õ† Uwo9 BëíAov

∂ú ú F EI F EP ï3;ùa

∂\

s9 ë vAí8†f †íf ^_9v 9v† f†Q†ô9A_í ëíf 9v† 9_¢gw† 뢆 V†¢_

∂Nú ú F EI F EP ï3;ja

∂\N

P_¢ ëí AíÜíA9†àâ à_í8 ^†ëU2 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9A_ío ë9 AíÜíA9â f†õ†íf _í 9v† à_ëfAí8;

P_¢ ë 9¢ëíoA†í9 à_ëfAí8 ÄA9v ÜíA9† fw¢ë9A_í2 ú ov_wàf BëíAov ë9 AíÜíA9A†o; P_¢ 9AU†q

vë¢U_íAô à_ëfAí8o2 9v† fAo9w¢^ëíô† ov_wàf ë9 U_o9 ^† _w98_Aí8 ÄëB†o;

Ç;3; PkÉüZásk dsòÉT ót s =És4 NÇ

ÇE Y_U†Ä_¢I t_;Ç

Ç; s U†U^¢ëí† Ao I†õ9 9ëw9 _B†¢ ëí 뢆ë ̀ ; èv† U†U^¢ëí† vëo ë ô_ío9ëí9 f†íoA9â ρ õ†¢

wíA9 뢆ë ëíf Ao wíf†¢ wíAm_¢U 9†íoA_í Aí ëàà fA¢†ô9A_ío; G†¢AB† 9v† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_í

m_¢ 9v† àë9†¢ëà fAoõàëôU†í9 }ï\I êI Ma _m 9v† U†U^¢ëí† BA^¢ë9Aí8 wíf†¢ fAo9¢A^w9†f à_ëfAí8

_m ûï\I Ma õ†¢ wíA9 뢆ë;

N; z_íoAf†¢ 9v† à_í8A9wfAíëà BA^¢ë9A_í _m ë ôâàAíf¢Aôëà ¢_f ÄA9v _í† †íf ë9 \ F E

ÜJ†f ëíf 9v† _9v†¢ †íf ë9 \ F r ë99ëôv†f 9_ ë Uëoo J ; =†m_¢† M F E 9v† ¢_f Ao

ô_Uõ¢†oo†f ^â 9v† à†í89v Sr ÄA9v S r Ç; s9 M F E 9v† ô_Uõ¢†ooA_í Ao ¢†à†ëo†f; T9ë9†

9v† 8_B†¢AíAí8 †gwë9A_í ëíf ëàà ^_wífë¢â ëíf AíA9Aëà ô_ífA9A_ío;

å; z_ífoAf†¢ 9v† 9_¢oA_íëà BA^¢ë9A_í _m ë ôâàAíf¢Aôëà ¢_f _m ôA¢ôwàë¢ ô¢_oo o†ô9A_í _m

¢ëfAwo ó; k†9 θï\I Ma F ëí8wàë¢ fAoõàëô†U†í9 _m 9v† ô¢_oo o†ô9A_í ë9 \2 nσ F ë¢†ë †à†U†í9

Aí 9v† ô¢_oo o†ô9A_í ëíf à_ôë9†f ë 9v† fAo9ëíô† ¢ m¢_U 9v† ëJAo2 o†† Ü8w¢† j; k†9 τ ^†

9v† ov†ë¢ o9¢†oo2 í 9v† ov†ë¢ U_fwàwo _m †àëo9AôA9â 2 ëíf φ 9v† ëí8wàë¢ fAoõàëôU†í9 _m ë

àAí† _¢8Aíëààâ õë¢ëàà†à 9_ 9v† ëJAo; Tv_Ä 9vë9

∂θ φ F ¢ ïÇE;Ça

∂\

óíB_I† Y__I†Wo àëÄ τ F íφ ëíf ov_Ä 9vë9 9v† 9_9ëà 9_¢gw¢† ëõàA†f 9_ 9v† ô¢_oo o†ô9A_í

ë9 \ Ao UU

J F í ∂θ ∂\ `

¢N nσ F íl ∂θ ∂\

ïÇE;Na

Äv†¢† UU

l F ¢N nσ ïÇE;åa `

Ao 9v† õ_àë¢ U_U†í9 _m A톢9Aë _m 9v† ô¢_oo o†ô9A_í; k†9 ô ^† 9v† U_U†í9 _m A톢9Aë õ†¢

wíA9 à†í89v _m 9v† ¢_f; Tv_Ä 9vë9

∂Nθ íl ∂Nθ F ïÇE;Xa

∂MN ô ∂\N

X; Gw¢Aí8 ëí †ë¢9vgwëI†2 Äë9†¢ Aí ë ¢†o†¢B_A¢ †J†¢9o vâf¢_fâíëUAô õ¢†oow¢† _í ë

fëU 9vë9 Uëâ mëAà; P_¢Uwàë9† 9v† fëUq¢†o†¢B_A¢ Aí9†¢ëô9A_í õ¢_^à†U wíf†¢ 9v† m_àà_ÄAí8

Af†ëàAVë9A_ío; èv† ¢†o†¢B_A¢ Ao AíÜíA9†àâ à_í8 ëíf vëo ë wíAm_¢U ¢†ô9ëí8wàë¢ ô¢_oo o†ô9A_í;

Ç;3; PkÉüZásk dsòÉT ót s =És4 NN

z dσ

A A’r

d θ O

A’ A

φ a

x y

PA8w¢† jr è_¢oA_í _m ë ôA¢ôwàë¢ ôâàAíf†¢

dë9†¢ Ao õ¢†o†í9 _íàâ _í _í† oAf† _m 9v† fëU ï\ â Ea ëíf vëo 9v† ô_ío9ëí9 f†õ9v |;

=†m_¢† M F E2 ëàà Ao ôëàU; sm9†¢ M F E 9v† fëU Ao m_¢ô†f 9_ BA^¢ë9† v_¢AV_í9ëààâ o_ 9vë9

}ïEI êI cI Ma F

}iïêI cI Ma F õ¢†oô¢A^†fI E Å M Å ñI

EI M â ñP ïÇE;ña

èv† m¢†† ow¢mëô† Ao †Jõ_o†f 9_ ô_ío9ëí9 ë9U_oõv†¢Aô õ¢†oow¢†; èv† ¢†o†¢B_A¢ ^_99_U Ao

¢A8Af ëíf f_†o í_9 BA^¢ë9† B†¢9Aôëààâ ï:::a; t†8à†ô9 8¢ëBA9â ^w9 ô_íoAf†¢ ô_Uõ¢†ooA^AàA9â

_m Äë9†¢ ^†ôëwo† _m 9v† vA8v m¢†gw†íôâ ï∼ RïÇEEaYVa; ÉJõ¢†oo ëàà 8_B†¢íAí8 †gwëq

9A_ío AíôàwfAí8 9v† ^_wífë¢â ô_ífA9_ío Aí 9†¢Uo _m 9v† B†à_ôA9â õ_9†í9Aëà φ f†Üí†f ^â

ï}I UI àa F ∇φ;

MIT OpenCourseWare https://ocw.mit.edu

2.062J / 1.138J / 18.376J Wave Propagation Spring 2017

For information about citing these materials or our Terms of Use, visit: https://ocw.mit.edu/terms.