Obrada rezultata merenja

Milan Bjelica

Decembar 2012.

Dakle,. . .

I Naucili smo kako se koriste instrumenti,

I Izvršili smo merenja,

I Ostaje još da obradimo rezultate i izradimo izveštaj.

Cemu služi izveštaj?

I Opisuje metodologiju merenja

I Pregledno daje rezultate merenja

I Na osnovu njih daje zakljucak

I Ima pravnu snagu

Šta radimo s rezultatima?

I Prikažemo ih tabelarno i graficki

I Podvrgnemo statistickoj obradi

I Uporedimo saglasnost s normama

Statisticka obrada

skup rezultata = uzorak

obim uzorka = broj merenja

Na uzorku nalazimo min i max vrednost - ocigledno kako;

ocenjujemo matematicko ocekivanje, varijansu,standardnu devijaciju, kvantile, koeficijent korelacije. . .

izvršavamo statisticke testove

Mini podsetnik: V & S

I statisticki eksperiment

I slucajna promenljiva

I histogram

I funkcija gustine verovatnoce

I funkcija raspodele

Histogram

500

020-2

1000

4

PDF

0.2

0.1

0321

0.4

0.3

0-1-2

CDF

0.6

0.4

0.2

032

1

0.8

10-1-2

OK, nazad na merenja

Ocena matematickog ocekivanja:

µ =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Ocena varijanse

kad matematicko ocekivanje nije poznato:

s2 =1

n − 1

n∑k=1

(Xk − µ)2 =1

n − 1

n∑k=1

X 2k −

nn − 1

µ2

kad je poznato matematicko ocekivanje:

s20 =

1n

n∑k=1

(Xk − µ)2

Intervali poverenja

Def: Dvostrani IP za parametar θ s nivoom poverenja1− α je interval [Y1,Y2], za koji važi

P (θ ∈ [Y1,Y2]) = 1− α.

Konkretno,. . .

P(µ ∈

[µ− ε1−α/2

σ√n, µ+ ε1−α/2

σ√n

])= 1− α

Pretp:(1) poznata varijansa,(2) rezultati merenja cine nezavisan uzorak iz normalneraspodele

Za n > 30, dobra aproksimacija i za raspodele koje nisunormalne

Šta kad σ2 nije poznato?

I umesto tacne vrednosti σ, treba staviti ocenu sI εu je kvantil reda u iz Studentove raspodele sa n − 1

stepenom slobode, t(n − 1) (za n > 30, svodi se nanormalnu)

Dvostrani IP za varijansu

P(σ2 ∈

[(n − 1)s2

ε1−α/2,(n − 1)s2

εα/2

])= 1− α,

Pretp: rezultati merenja cine nezavisan uzorak iznormalne raspodele

εu – kvantil reda u raspodele χ2(n − 1)

Šta dalje?

Završili smo deskriptivnu statistiku, sad cemotestirati hipoteze

Radimo testove???

Dokazivanje u statistici nije egzaktno, vec se izvoditestiranjem hipoteza.

Suprotno tvrdenje (ili neutralno ili postojece stanje)uzimamo za nultu hipotezu, H0, dok samo tvrdenje kojedokazujemo uzimamo za hipotezu H1.

Cilj testa: ispitati ima li dokaza protiv H0, u korist H1.

Treba definisati statistiku testa, X i skup njenih vrednostiza koje se odbacuje nulta hipoteza.

Moguca su dva ishoda. . .

(a) vrednost statistike testa unutar oblasti odbacivanja→odbacujemo H0, a prihvatamo H1

(b) vrednost statistike testa van oblasti odbacivanja→nema dokaza protiv H0

. . . i dve vrste greške:

(1) greška prve vrste: odbaci se H0, iako je tacna

(2) greška druge vrste: H0 se ne odbaci, iako je tacna H1

Još malo definicija

Maksimalna vrednost greške prve vrste naziva se nivoomznacajnosti testa (najcešce 0,1; 0,05; 0,025 ili 0,01)

Što je manji nz, utoliko je za isti obim uzorka i za istustatistiku testa teže odbaciti H0.

Smanjivanjem nz, povecava se verovatnoca greške drugevrste.

Pearsonov (χ2) test

I najcešce korišcen statisticki test

I svodi se na poredenje empirijskog histograma spretpostavljenim

Testiranje hipoteza o raspodeli

Cilj: utvrditi da li se empirijska funkcija raspodele uzorka,F , podudara s nekom zadatom funkcijom raspodele, F0.

A1 A2 A3 ArAr–1a1 a2 a3 ar–1ar–2 ar = +∞a0 = – ∞

Kako radi ovaj test?

A1 A2 A3 ArAr–1a1 a2 a3 ar–1ar–2 ar = +∞a0 = – ∞

Verovatnoca da se i-ti element uzorka nalazi u intervaluAj :

pj = P (Xi ∈ Aj) = F (aj)− F (aj−1)

Kada bi važila pretpostavljena raspodela, ovaverovatnoca bi bila

pj0 = F0(aj)− F0(aj−1)

Hipoteze

H0 : p1 = p10,p2 = p20, . . . ,pr = pr0

H1 : (p1,p2, . . . ,pr ) 6= (p10,p20, . . . ,pr0)

Statistika testa

χ2 =r∑

j=1

(Nj − npj0)2

npj0=∑ (stvarno− ocekivano)2

ocekivano

n – obim uzorka

Nj – broj elemenata uzorka koji se nalaze u j-tom intervalu

Odlucivanje

Nulta hipoteza se odbacuje s nivoom znacajnosti α ako isamo ako je

χ2 > ε1−α

ε1−α – kvantil reda 1− α raspodele χ2(r − 1)

Testiranje nezavisnosti

Npr: Neka se u svakom od n eksperimenata istovremenorealizuju dva ishoda. Da li su oni nezavisni?

Tablica kontingencije

B1 B2 · · · Bk ukupnoA1 f11 f12 · · · f1k a1

A2 f21 f22 · · · f2k a2...

...... . . . ...

...Av fv1 fv2 · · · fvk av

ukupno b1 b2 · · · bk n

Statistika testa

χ2 =v∑

i=1

k∑j=1

(nfij − aibj)2

naibj

Odlucivanje

Nulta hipoteza (o nezavisnosti dogadaja) se odbacuje snivoom znacajnosti α ako i samo ako je statistika testaveca od kvantila reda 1− α raspodele χ2((v − 1)(k − 1)).

Test Kolmogorova i Smirnova

Dok hi kvadrat test poredi histograme, K-S poredi funkcijeraspodele.

Hipoteze

H0 : F = F0

H1 : F 6= F0

Statistika testa

λ =√

n supx∈R|Fn(x)− F0(x)|

Odlucivanje

Nulta hipoteza se odbacuje s nivoom znacajnosti α ako isamo ako je

λ > c

c – kvantil reda 1− α K -raspodele Kolmogorova

OK, dosta je bilo racunanja

Kako predstaviti rezultate merenja?

I samo tabelarno (gde?)

I samo graficki (kako i gde?)

I na oba nacina

Anscombe

x y10 8,048 6,95

13 7,589 8,81

11 8,3314 9,966 7,244 4,26

12 10,847 4,825 5,68

x y10 9,148 8,14

13 8,749 8,77

11 9,2614 8,106 6,134 3,10

12 9,137 7,265 4,74

x y10 7,468 6,77

13 12,749 7,11

11 7,8114 8,846 6,084 5,39

12 8,157 6,425 5,73

x y8 6,588 5,768 7,718 8,848 8,478 7,048 5,25

19 12,508 5,568 7,918 6,89

Skoro identicne statistike

Ocekivanje x : 9

Varijansa x : 11

Ocekivanje y : 7,50

Varijansa y : 4,122 ili 4,127

Koeficijent korelacije x i y : 0,816

Regresiona prava: y = 3,00 + 0,500x

Kada nacrtamo

Primeri grafika: histogram

10

0321

5

0

X

-1-2-3

Histogram

Primeri grafika: empirijska CDF

0.5

0420

X

-2

1

-4

Empirijska funkcija raspodele

Primeri grafika: boks-dijagram

2

1

0

-1

-2

2-3

3

1.510.50

Boks-dijagram

Primeri grafika: rezultati i model

Klasican primer: Charles Joseph Minard (1)

Klasican primer: Charles Joseph Minard (2)

Klasican primer: Dr. Snow

Manipulisanje graficima (1)

Manipulisanje graficima (2)

Manipulisanje graficima (3)

Na kraju: propisi

Nejonizujuca zracenja: ispod 12,4 eV

Granica NF/VF: 10 kHz; 35 kV

VF: merenja na 2 godine

NF: merenja na 4 godine

Ko može da meri (pred zakonom)?

I pravno lice sa sedištem u RS

I 2 zaposlena VSS - MS, ili BS + 3 god

I akreditacija

Šta treba da sadrži izveštaj?

I opšte podatke

I opšte podatke o licima

I podatke o opremi

I podatke o merenjima

I podatke o izveštavanju