1

Obwody elektryczne

2

Obwód elektryczny

Q1

2

12

u

i

Obwód elektryczny

Zespół elementów przewodzących prąd, zawierający przynajmniej jedną drogę zamkniętą dla przepływu prądu

1Q2 Prąd elektryczny płynie w

obwodzie zamkniętym

źródło energii

3

Elementy obwodu elektrycznegoŹródła energii - elementy czynne (idealne)

R L C

Riu dt

diLu

dt

dQi Gui

R

1G

Źródło prądu i iŹródło napięcia u u

Odbiorniki energii - elementy bierne (idealne)

0R wewn wewnR

dt

)Cu(d

dt

duC

rezystancja indukcyjność pojemność

2

4

Elementy obwodu elektrycznego

Każdy element obwodu elektrycznego charakteryzuje się:– rezystancją,– indukcyjnością,– pojemnością elektryczną,

Elementy bierne (rzeczywiste)rezystor kondensatorcewka indukcyjna

RL

C

RL

C

RL

C

schematy zastępcze

5

Elementy obwodu elektrycznego

węzeł

gałąź

oczko

Obwód elektryczny

Graf obwodu

6Rodzaje napięć i prądówi

tstały

i

t

zmienny

i

tT 2Tokresowy

Tti)t(i

i

tT

przemienny

T

0

0dt)t(i

i

t

sinusoidalny

)tsin(I)t(i m

3

7

Praca i moc prądu elektrycznego

1 2 u

dQudW

Praca:

dtidQ

dtuidW

t

0

uidtW

Dla u=U=const, i=I=const :

tIUW

Moc:dt

dWp ui UIP

dQ 2

12

u

i

1

8

Praca i moc prądu elektrycznego

Moc w rezystancjiR

Riu

R

ui

Energia w rezystancji

t

0

2t

0

2 dtiRdtRiE

Dla u=U=const, i=I=const :

2RIP

R

UP

2

2Rip

uip

R

up

2

tRIE 2 - prawo Joule’a

9

Prawa Kirchhoffa

0in

1kk

I prawo Kirchhoffa

Wersja 1Suma prądów w węźle jest równa zeru

0iiiii 54321 Wersja 2Suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających

53421 iiiii 0iiiii 54321

4

10

II prawo Kirchhoffa

Prawa Kirchhoffa

0Un

1kk

Suma napięć w oczku jest równa zeru

0uuuu 4321

3214 uuuu

11

12

Rezystancja zastępcza1) połączenie szeregowe

Ogólnie dla połączenia szeregowego n rezystancji

Uz

U1

U2

U3

0UUUU 321z

0IRIRIRU z3z2z1z

321

zz RRR

UI

zast

z

R

U

321zast RRRR

n

1kkzast RR

R1

R2

R3

Iz

5

13

Rezystancja zastępcza2) połączenie równoległe

Ogólnie dla połączenia równoległego n rezystancji

Uz

0IIII 321z

0R

U

R

U

R

UI

3

z

2

z

1

zz

321zz R

1

R

1

R

1UI

zast

z

R

U

n

1k kzast R

1

R

1

I1 I2 I3

Iz

R1 R2 R3

321zast R

1

R

1

R

1

R

1

1n

1k kzast R

1R

14

Rezystancja zastępcza2) połączenie równoległe

Uz

Iz

R1 R2

12

1k kzast R

1R

21 R1

R1

1

21

21zast RR

RRR

15

Dzielnik napięcia

U

U2

I

U1R1

R2

0IRIRU 21

21 RR

UI

21222 RR

URIRU

21

22 RR

RUU

21

11 RR

RUU

2

1

2

1

R

R

U

U

6

16

Dzielnik prądu

U

I

R1 R2

I1 I2 zastRIU

11 R

UI

21

21 RR

RII

21

12 RR

RII

2

1

1

2

R

R

I

I

21

21

1 RR

RRI

R

1

21

21

RR

RRI

17

Przekształcenie gwiazda-trójkąt

3

212112 R

RRRRR

1

323223 R

RRRRR

2

131331 R

RRRRR

18

Przekształcenie trójkąt-gwiazda

312312

31121 RRR

RRR

312312

12232 RRR

RRR

312312

23313 RRR

RRR

7

19

Przyrządy pomiarowe1) Pomiar napięcia

0IV

VnUU

Vp R)1n(R

pV

VV RR

RUU

VR UU

VWoltomierz idealny

VWoltomierz rzeczywisty

RVRwewn→ ∞U

R1

R2

I1

VI2

UVUR

Rozszerzanie zakresu pomiarowego

U

Rp

V UVRV

20

Przyrządy pomiarowe2) Pomiar prądu

0UA

AnII

)1n(

RR A

b

Ab

bA RR

RII

AR II

AAmperomierz idealny

AAmperomierz rzeczywisty

RARwewn= 0

Rozszerzanie zakresu pomiarowego

R2

AIA

R1

I1

IR

Rb

I

A RA

IA

21

Przyrządy pomiarowe3) Pomiar mocy

RW PP

Watomierz idealny

PW=U·I

RU→ ∞

W*

* UI

RI= 0

U R

*IW W

UW

*

8

22

Zasada superpozycji

Rozpływ prądów w obwodzie, w którym działa n źródeł, jest sumą n rozpływów wymuszonych przez każde ze źródeł z osobna.

„Usuwanie” źródeł

Rwewn

iu

23

Twierdzenie TheveninaDwójnik:

Tw. Thevenina (o zastępczym źródle napięcia)

Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić źródłem napięcia z rezystancją wewnętrzną

– część obwodu elektrycznego z wyróżnionymi dwoma punktami

Dwójnik pozbawiony źródeł

Dwójnik zawierający źródła

dwójnik pasywny

dwójnik aktywny

Dwójnik aktywny

Dowolnie złożona sieć elektryczna

A

BUT

RT A

B

24

Twierdzenie TheveninaOkreślanie parametrów źródła zastępczego

T ABT

AB

U UR

I

Dwójnik aktywny

Dwójnik pasywny

Dwójnik aktywny

1) napięcie UT 2) rezystancja RT

A

B

UT

A

B

RT

A

B

Dwójnik aktywny

A

B

z

TT I

UR Iz

IAB

UAB

UT

RT A

B

9

25

Model źródła rzeczywistegoŹródło idealne Źródło rzeczywiste (np. akumulator)

ww

z

UR

I

w Vw

A

U UR

I

Parametry źródła rzeczywistego – z tw. Thevenina

źródło małej mocy

źródło dużej mocy

Uw RU

I

I

UUw

U=UwU

+R

I

UUw

Uw

+V U≈0

+A

UV

+

A

VR

I

I≈0 Iz

IA

26

Model źródła rzeczywistego

w wU U R I 0

I 0

U 0 w

w

UI

R

wU U

Charakterystyka zewnętrzna źródła rzeczywistego

Uw wU U R I

U

I

Uw

zwI

Izw

UwR

Rw

I

27

Model źródła rzeczywistego

w wU U R I 0 U

I

w

w w

U UI

R R

I

U

Iw

Uw

U

ww

w

UI

R

RwIw

Charakterystyka zewnętrzna rzeczywistego źródła prądowego

≡

ww

1G

R

UwR

Rw

RRww

w

UR

Uw

Rw

Równoważność źródeł

w

UR I

10

28

Metoda superpozycji

1 11 12 13I I I I 2 21 22 23I I I I

3 31 32 33I I I I

U2

R2

U1

R1

I0

R0

I3I2I4

R2 R1

I0

R0

I11 I31I21 I41

R2

U1

R1

R0

I32I22

I42=I32

I12

R2

U1

R1

R0

I33I23I43=I33

I13

4 41 42 43I I I I

I1

29

Metoda praw KirchhoffaI3

I2 I4 321 III

453 III

432531 IIIIII +

4251 IIII

równania liniowo zależne

U2

U1

U3

U4

U5

U6

U7

321 UUU

543 UUU

675 UUU

654327531 UUUUUUUUU

64271 UUUUU

+

równania liniowo zależne

I1 I5

X XX X

X X

30

Metoda praw Kirchhoffa

LG gałęzi

LW węzłów,

Razem: LN

= LN niewiadomych prądów

LW 1 równań z I p. Kirchhoffa

Należy sformułować

LN LW 1 równań z II p. Kirchhoffa+

LN równań,

Obwód zawiera:

LW 1 = LWN - liczba węzłów niezależnych

LG LWN = LG LW 1=LON- liczba oczek niezależnych

w tym:

11

31

Metoda praw KirchhoffaLG=4 gałęzieLW =2 węzły,

1 równanie z I p. Kirchhoffa

3 równania z II p. Kirchhoffa

4321 IIII

0RIRIUU 223332

0RIRIUU 112221

LWN=LW 1=1

LON=LG LWN=3

0RIRIU 33443

0IIII 4321

232233 UURIRI

121122 UURIRI

33344 URIRI

Przykład 1:

U1

R1

U2

R2

U3

R3 R4

I1 I3I2 I4

LN=4 nieznane prądy

32

Metoda praw Kirchhoffa

LN=5 nieznanych prądów

LW=4 węzły,

3 równania z I p. Kirchhoffa

2 równania z II p. Kirchhoffa

0III 421

1332211 URIRIRI 054 III

LWN=LW 1=3

LN LWN=2

0RIRIRIRI 55443322

Przykład 2:

U0

R1

R2 I0

R3

R4

R5UI

LG=6 gałęzi

032 III

I5

I4

I1

I3

I2

33

Metoda potencjałów węzłowych

21 VVIR

R

VVI 21

21z VVUIR

R

VVUI 21z

R

VVII 21

z

LW węzłówObwód zawiera LW 1 niewiadomych potencjałów węzłowych

LW1 równań z I p. Kirchhoffa Należy sformułować:

Założenie: Vk=0 (1k LW)

LWN

12

34

Metoda potencjałów węzłowych0IIII 4321

1

121z1 R

VVUI

0V1

2

122z2 R

VVUI

3

123z3 R

VVUI

0R

V

R

VU

R

VU

R

VU

4

2

3

23z

2

22z

1

21z

4321

3

3z

2

2z

1

1z

2

R1

R1

R1

R1

R

U

R

U

R

U

V

4321

33z22z11z

GGGG

GUGUGU

4

124 R

VVI

Przykład:

35

Metoda potencjałów węzłowych

0IR

VVU

R

VVI

R

VV2z

3

14z

2

311z

1

12

3

z2z1z

3

4

2

3

1

2

3211 R

UII

R

V

R

V

R

V

R

1

R

1

R

1V

3

z2z1z3423123211 R

UIIGVGVGVGGGV

Konduktancje własne węzła

Konduktancje wzajemne węzłów

Prądy źródeł prądowych

Prąd zastępczy źródła napięciowego

V1

V2

V3

V4

V5

0IIIII 2z321z1

Dla węzła o potencjale V1:V6

Uz

R1 Iz1

R2

R3

Iz2

I1

I3

I2

36

Metoda potencjałów węzłowych

zIVG

Obwód o LW węzłach opisuje równanie:

G - macierz konduktancji; kwadratowa o wymiarze (LW -1)(LW -1)

V - wektor potencjałów węzłowych; (LW -1) - elementowy

Iz - wektor prądów źródłowych; (LW -1) - elementowy

1L,1L2,1L1,1L

1L,22,21,2

1L,12,11,1

WWWW

W

W

GGG

GGG

GGG

G

Gk,k – suma konduktancji własnych węzła k

Gk,m – suma konduktancji wzajemnych węzłów k i m; Gk,m=Gm,k ;Gk,m=0 gdy węzły k oraz m nie są połączone gałęzią

13

37

Metoda potencjałów węzłowych

W

1

2

L 1

V

V

V

V Izm – suma prądów źródłowych dopływających do węzła m

W

z1

z2z

z L 1

I

I

I

I

Dla gałęzi ze źródłem napięciowym:

k

zkzk R

UI

Io2Io1

38

Metoda prądów oczkowych

Uz R2

R1

Iz

I1 I2

LN =2 nieznane prądy

LW =2 węzły,

LON= LGLWN=2

LG =3 gałęzie

I1=Io1 I2=Io1–Io2 Io2= –Iz

0RIRIU 2211z

0RIIRIU 22o1o11oz

21

22oz1o RR

RIUI

21

2zz

RR

RIU

39

Metoda prądów oczkowych

Io1

Io2

Io3

Io4

Io5

Io6

Io7

U1R2

R1

R3

U2

I2

I1I4

I3

Dla oczka z prądem Io1:

0RIRIURIU 33222111

2o1o1 III

3o1o2 III

4o1o3 III

0RIIRIIURIIU 34o1o23o1o212o1o1

2134o23o12o3211o UURIRIRIRRRI

Rezystancje własne oczka Rezystancje wzajemne oczek

14

40

Metoda prądów oczkowych

UIR o Obwód o LON oczkach niezależnych opisuje równanie:

R - macierz rezystancji; kwadratowa o wymiarze LON LON

Io- wektor prądów oczkowych; LON - elementowy

U - wektor napięć źródłowych; LON - elementowy

ONONONON

ON

ON

L,L2,L1,L

L,22,21,2

L,12,11,1

RRR

RRR

RRR

R

Rkk – suma rezystancji własnych oczka k

Rkm – rezystancji wzajemnych oczek k i m; Rkm=Rmk ;Rkm=0 gdy oczka k oraz m nie mają wpólnej rezystancji

41

Metoda prądów oczkowych

ONoL

2o

1o

I

I

I

oI

ONzL

2z

1z

U

U

U

U Uzm – suma napięć źródeł napięciowych zawartych w gałęziach oczka m

Dla gałęzi ze źródłem prądowym:

RkIzk

Uk

Rk

kkk zIRU

42

Bilans mocy obwodu

Pźródeł =Podbiorników

U

I

IUPZ

U

I

IUPZ

R

I

0RIP 2O

332211Z IUIUIUP 4

243

232

221

21O RIRIRIRIP

OZ PP

Przykład:

15

43

Dopasowanie mocowe

R0

PR0R0=? PR0= Pmax

UT R0UT

RT

I0

020R RIP

0

0T

T0 RR

UI

020T

2T

R RRR

UP

0

Tw. Thevenina

0

R

dR

dP0

40T

0T02

0T2T

RR

RR2RRRU

40T

20

2T2

TRR

RRU

0

44

Dopasowanie mocowe

R0

PR0

UT R0UT

RT

I0

Tw. Thevenina

0RR 20

2T

T0 RR T0 RR

T2TT

2T

max RRR

UP

T

2T

R4

U

0T

2T

020T

2T

RRU

RRR

U

0TZ IUP 0T

TT RR

UU

moc źródła:

0T

2T

RR

U

sprawność:Z

R

P

P0

0T

0

RR

R

45

Dopasowanie mocowe

0T

0

RR

R

T

0

T

0

R

R1

R

R

1

max

R

P

P0

T

2T

20T

02T

R4

U

RR

RU

20T

0T

RR

RR4

21

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

1

T

0

R

R

T0 RR