OC Applications des maths - RPN

Jean-Marc Ledermann, 2003

OC Applications des maths Courbes avec Mathematica

1. Introduction à Mathematica

Mathematica est un programme de mathématique, il effectue des calculs sym-boliques et numériques et permet de tracer des graphes et de dessiner d'autres objets géométriques. Au démarrage, Mathematica affiche un cahier vide qui s'utilise de façon sem-blable à un éditeur de textes. Pour effectuer un calcul ou faire tracer un graphe, il faut taper la commandes Mathematica correspondante dans le cahier, puis tapez Shift + Return . Ma-thematica fait alors précéder la commande de In[…]:= puis calcule et affi-che la réponse précédée de Out[n] =.

Exemple

Option complémentaire applications des maths Courbes avec Mathematica page 2

2 Résolution d'équations avec Mathematica

En Mathematica, le symbole d'égalité s'écrit à l'aide d'un signe égal répété.

Exemple x^3 – 3x + 2 = = 0 , Sin[x] = = x/2 , 1000*r^24 – 460*(r^n – 1)/(r – 1) = =0 sont considérées comme des équations par Mathematica. Pour résoudre une équation, Mathematica offre diverses possibilités.

• Pour trouver les valeurs exactes des solutions d'une équation pour laquelle il existe une formule algébrique de résolution (équations polynomiales de degré inférieur à 5 par exemple), il faut utiliser la commande Solve.

Exemples • Solve[x^2 – 3 x + 2 = = 0, x ] • Solve[a*x^2 + b*x + c = = 0, x ] • Solve[a*x^2 + b*x + c = = 0, a ] • Solve[Sin[z] = = Cos[z], z ]

• Pour trouver des valeurs approchées des solutions d'une équation polyno-miale, on peut utiliser la commande NSolve.

Exemples • NSolve[x^2 – 3x + 2 = = 0, x ] • NSolve[x^7 - 3.123 x + 1 = = 0, x ]

• Pour trouver une valeur approchée (proche d'un nombre donné) d'une so-lution d'une équation quelconque, on peut utiliser la commande Fin-dRoot.

Exemples • FindRoot[x^2 – 3x + 2 = = 0, {x , 1}] • FindRoot[x^7 –3.123 x + 1 = = 0, {x , 3}] • FindRoot[Sin[z] = = z/4 , {z ,1}]

1. a) L'aire d'un triangle rectangle vaut 12 cm2. La hauteur issue de l'angle

droit partage l'hypoténuse en deux parties de longueurs respectives 2 cm et x cm. Déterminer x.

b) Un stère de bois (cube de 1 m de côté) est entassé contre une maison. A quelle distance d de la maison faut-il poser le pied d'une échelle de 10 m pour qu'elle s'appuie tant contre la façade que contre l'angle du stère ?


2. Quelle somme un particulier pourrait-il emprunter sur une durée de 15 ans sachant que sa capacité de remboursement annuel est de 60'000 francs et que le taux proposé par son banquier est de 5% ?

Pour calculer le taux annuel T d'un emprunt dont on connaît le montant D, la valeur a et le nombre n des anuités à payer pour son remboursement, il

faut résoudre l'équation 1 01n

n rD r a r−⋅ − =−

où r = 1 + T

3. Une cuve à mazout a deux mètres de long

et un mètre de diamètre, Elle peut donc, au maximum, contenir 1'570,8 litres.

h On désire graduer cette cuve pour 500,

1000 et 1500 litres. Trouver les hauteurs h de ces graduations.

3 Fonctions

Graphe d'une fonction

En Mathematica, la commande Plot permet de tracer le graphe d'une fonc-tion.

Exemples • Plot[x^3 – x^2 , {x , –1 , 2}] trace le graphe de la fonction f(x) = x3 – x2

pour des valeurs de x comprises entre –2 et 2.

• Plot[x^3 – x^2 , {x , –1 , 2} , PlotRange -> {-2 , 2}] trace le graphe de la fonction f(x) = x3 – x2 pour des valeurs de x compri-ses entre –2 et 2 et des valeurs de y comprises entre –2 et 2.


• Plot[{x^3 – x^2 , x^2 – 1}, {x , –2 , 2} , PlotRange -> {-2 , 8}] trace, dans le même système d'axes, les graphes des fonctions f(x) = x3 – x2 et g(x) = x2– 1 pour des valeurs de x comprises entre –2 et 2 et des valeurs de y comprises entre –2 et 8.

• D'autres options peuvent être précisée Plot[x^3 – x^2 , {x , –1 , 2} , PlotRange -> {-2 , 2}] , AspectRatio->4/3, GridLines->Automatic] trace le graphe dans une fenêtre d'affichage de format 4/3 (hauteur / lar-geur) et dessine un quadrillage.

• Il est possible de définir des constantes; par exemple t1 = 1.03 permet d'utiliser, par la suite, la constante t1 au lieu de 1.03.

• Il est possible de définir des fonctions; par exemple f[x_] :=x^3–x^2 permet d'utiliser, par la suite, la fonction f[x] au lieu de x^3 – x^2.

Remarques Le symbole " = " est le symbole l'affectation.

La commande s = Sin[π /3] met dans la variable s la valeur sin(π/3). La commande q = s met dans la variable q le contenu de la variable s

Le symbole " := " est le symbole l'affectation différé. L'expression de droite est évaluée chaque fois que la variable est utilisée. La commande s := Sin[π /3] attribue à variable s l'expression sin(π/3).

La commande Clear[s] vide la variable s.

Exemple Les commandes suivantes permettent de constater la différence entre les

assignations " = " et " := " : x = π /6 affiche π6

y1 = Sin[x] affiche 12

y2 := Sin[x] n'affiche rien y2 affiche 1

2

x = π /2 affiche π2

y1 affiche 12 ( la valeur de sin( π6 ) )

y2 affiche 1 ( la valeur de sin( π2 ) )

Dans la définition d'une fonction f[x_]:= , le symbole x_ indique que l'on peut remplacer x par n'importe quoi.


4. Définissez une fonction de trois variables a, b et c qui calcule le discrimi-nant d'un polynôme du deuxième degré ax2 + bx + c en fonction de ses coefficients. Utilisez cette fonction pour construire une autre fonction qui donne une des deux solutions de l'équation ax2 + bx + c = 0.

5. Dessiner les graphes des fonctions f et g puis déterminer les coordonnées

des points d’intersection de ces deux courbes.

a) f(x) = sin(x) et g(x) = 14 x2

b) f(x) = x6 – 3x4 + 2x2 et g(x) = x2 – 2

6. Déterminer l’ensemble de définition et tous les zéros de la fonction 4( ) ln(4 3 1) 10

xf x x x= + + − .

Indications • ln(x) = loge(x) où e ≅ 2,718281828 et s’écrit Log[x] pour Mathematica

• ln(x) n’est défini que si x > 0

-1 -0.5 0.5 1

-1 -0.5

0.5 1

7. a) Faire tracer un cercle centré à l’origine et de rayon r = 1 à l’aide des graphes de deux fonctions f et g à trouver.

b) Reproduire le dessin ci-contre Indication Le graphe de f(x) = a·sin(b·x) est une fonction

périodique de période 2πT b= et d'amplitude a.

8. a) Tracer les graphes des fonctions 1( ) sin( )f x x=

21( ) sin( ) sin(3 )3f x x= + x

31 1( ) sin( ) sin(3 ) sin(5 )3 5f x x x= + + x

101 1 1( ) sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin(19 )3 5 19f x x x x= + + + +… x

Indications La commande Mathematica Sum permet de construire une somme


Exemples La commande Mathematica

f[x_]:=Sum[(2k + 1) x^k , {k , 0 , 5 }] construit la fonction f(x) = 1 +3 x + 5 x2 + 7 x3 + 9 x4 + 11 x5.

La commande Mathematica s=Sum[1/k^2 , {k , 1 , infinity }]

calcule la somme 1 1 1 11 4 9 16 25+ + + + +

Fonctions définies par morceaux

La fonction définie par morceaux { ( ) si( ) ( ) sig x x xof x h x x xo

<= ≥ s'écrit

f[x_ ] := If[x<xo , g[x] , h[x]] en Mathematica.

Exemple

9. a) Tracer le graphe de la fonction 2( ) 2f x x x= − −

b) Tracer le graphe de la fonction 2

2

( 1) si 1( ) 1 si [ 1;1]

1 si 1

x xf x x x

x x

⎧ + < −⎪= + ∈ −⎨⎪ + >⎩

c) Ecrire la fonction 2( ) 3 2f x x x= − + sans utiliser de valeurs abso-lues puis tracer son graphe.


10. On a mesuré la température à différents moments de la journée, et reporté ces valeurs dans le tableau ci-dessous.

heure du relevé 8h00 10h00 12h00 14h00 16h00 18h00 20h00température 11 14 16 17 19 15 12

a) Créer une fonction f(t) qui donne une interpolation de la température pour [8.00;20.00]t∈

Remarque t est donné en heures et non pas en heures et minute. t vaudra donc 10.5 à 10 heure et demi et 12.33333 à midi vingt. b) Représenter f graphiquement. c) Quelle est la température à 10h45 et à 19h20 que l’on peut déduire de

ce tableau?

Animation de graphiques

La commande Mathematica Do[ … , {a,a1,a2}] a pour effet de répéter (ité-rer) quelque chose ( … ) plusieurs fois. Cette commande Do permet de créer plusieurs graphiques, puis de les animer.

Exemple Do[Plot[a x^2,{x,–3,3},PlotRange->{–3,3}, AspectRatio->1], {a,0.1,2,0.1}] créée 20 graphiques de la fonction f(x) = a x2 pour des valeurs de a variant de 0.1 à 2 par pas de 0.1.

Un double-clic sur un des graphiques permet d'afficher une animation.


11. Créer l’animation définie par la suite de fonction π 2π 3π

12 12 12sin( ), sin( ), sin( ), sin( ), , sin( 2π)y x y x y x y x y x= = + = + = + = +

12. Reprendre l’exercice 7 et créer l’animation illustrée ci-dessous.

13. Créer une animation qui donne l’illusion que le graphe de la fonction y = sin(x) se dessine pour [ 2π;2π]x∈ −

4 Systèmes d’équations

Résolution d'un système

Les commandes Mathematica permettant de résoudre des équations permet-tent également de résoudre des systèmes d'équations.

Exemple • Solve[{x + y + z – 6 == 0, x – 2 y + z == 0, x + y == 3}, {x, y, z}] • NSolve[{x^4 – y x == 0, x^3 – x^2 - y + 1 == 0}, {x, y}] • FindRoot[{Sin[2 t] – u == 0, t/Pi + 2 u == 0}, {t, 1}, {u, 1}]

14. Trouver les solutions du système de 4 équations à 4 inconnues

1

2 02 0

2 3

x y z tx y t

x tx y z

+ + + =⎧⎪ − + =⎨ − =⎪ + + =⎩

15. Trouver un polynôme de degré 3, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dont le graphe passe par les points A(–2 ; –10), B(–1 ; –6), C(1 ; 2) et D(2 ; 18) puis tra-cer le graphe de la fonction f.


16. Trouver des valeurs de a, b et c de sorte que le graphe de la fonction

f(x) = a sin(x) + b sin(c x) passe par les points π( ;1)4A , π( ;1)2B et

3π( ;14C ) , puis tracer le graphe de f.

17. L'équation générale d'une conique (parabole, hyperbole ou ellipse) s'écrit . (Remarque : on peut poser a = 1) 2 2 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + =

a) Trouver les coefficients a1, b1, c1, d1, e1 et f1 de la conique donnée par les points A(0;0),

B(0;–

2 21 1 1 1 1 1 1: 0k a x b xy c y d x e y f+ + + + + =

12 ), C(2;0), D(1;1) et E(3;1).

b) Trouver les coefficients a2, b2, c2, d2, e2 et f2 de la conique 2 2

2 2 2 2 2 2 2: 0k a x b xy c y d x e y f+ + + + + = donnée par les points G(0;2), H(0;–2), I(1;0), J(–4;0) et K(1;2).

c) Trouver les coordonnées des points d'intersection des deux coniques k1 et k2 en résolvant le système

⎧⎨

2 21 1 1 1 1 1

2 22 2 2 2 2 2

00

a x b xy c y d x e y fa x b xy c y d x e y f

+ + + + + =+ + + + + =⎩

5 Équations cartésiennes

Une courbe donnée par une équation cartésienne (ou équation implicite) est formée de l'ensemble des points qui satisfont une équation du type f(x ; y) = 0 .

( ; )P x y

Exemple Le cercle de centre O(0;0) et de rayon 2 peut être donné par l'équation carté-sienne x2 + y2 – 4 = 0. On remarque que les points (2;0), (–2;0), (0;2), (0;–2), (1; 3 ), (–1; 3 ), … sont tous solution de l'équation x2 + y2 – 4 = 0. Pour dessiner des points d'une courbe donnée par une équation cartésienne, on peut se donner des valeurs pour y et calculer, pour chaque y donné, la ou les valeurs possibles pour x.

Exemple Dessin de la courbe donnée pas l'équation cartésienne x2 – 4y2 – 4 = 0. Dans le tableau ci-dessous, des valeurs de y comprises entre –1 et 1 sont don-nées. Les valeurs de x sont alors calculer en resolvant l'équation x2 – 4y2 – 4 = 0.


y x2 +4y2 – 4 = 0 x1 x2 –1,0 x2 = 0 0,00 –0,8 x2 – 1,44 = 0 –1,20 1,20 –0,6 x2 – 2,56 = 0 –1,60 1,60 –0,4 x2 – 3,36 = 0 –1,83 1,83 –0,2 x2 – 3,84 = 0 –1,96 1,96 0,0 x2 – 4 = 0 –2,00 2,00 0,2 x2 – 3,84 = 0 –1,96 1,96 0,4 x2 – 3,36 = 0 –1,83 1,83 0,6 x2 – 2,56 = 0 –1,60 1,60 0,8 x2 – 1,44 = 0 –1,20 1,20 1,0 x2 = 0 0,00

On obtient la courbe en dessinant les points de coordonnées x et y obtenues dans le tableau et en les reliant.

18. Dessiner une courbes parmi celles données par les équations cartésiennes ci dessous :

a) x3 + y3 = 7xy avec x ∈ [–4 ; 4] et y ∈ [–4 ; 4] b) (x2 + y2)2 = 4 (x2 – y2) avec x ∈ [–2 ; 2] et y∈[–2 ; 2] c) (x2 + y2 – 4)3 = 108 y2 avec x ∈ [–3 ; 3] et y ∈ [–3 ; 3] d) (x2 + y2 – 4)3 = 108 x2 y2 avec x ∈ [–5 ; 5] et y ∈ [–5 ; 5] e) (x2 + y2) (x cos(x) + y cos(y)) = 2 y2 avec x ∈ [–5 ; 5] et y ∈ [–1 ; 10]

Dessins d'une courbe donnée par une équation cartésienne avec Ma-thematica

La commande Mathematica ImplicitPlot[{f[x,y] == 0}, {x , x1 , x2}, {y , y1 , y2}] Trace, automatiquement la courbe d'équation f(x ; y) = 0 pour x compris entre x1 et x2 et y compris entre y1 et y2.


Exemple Les deux coniques de l'exercice 17 sont dessinées ci-dessous.

Remarque La commande ImplicitPlot[ …] qui permet de tracer une courbe donnée par une équation cartésienne n’étant pas dans la version standard de Mathematica, il est nécessaire de charger préalablement un "Package" supplémentaire. La commande <<Graphics`ImplicitPlot` effectue ce chargement. ( les ` ` sont produit en pressant sur les touches Maj + ^ puis sur la touche Espace )

L’option PlotPoints -> … permet de déterminer le nombre de points qui sont calculés et dessinés.

19. a) Tracer, avec Mathematica, la courbe coisie à l'exercice 18. b) Tracer le bifolium donnée par l’équation (x2 + y2)2 = 4x2y

20. On appelle Ovale de Cassini, la courbe formée de l'ensemble des points

P(x;y) dont le produit des distances à deux points F1 et F2 (les foyers) est une constante k2

Trouver l'équation cartésienne des ovales de Cassini de foyers F1(–1,0) et F2(1;0).

Tracer quelques ovales de Cassini avec k compris entre 0.5 et 1.5.

21. Représenter graphiquement les courbes d’équation cartésienne c1 : x2 + y2 = 3 et c1 : x + y2 = 2 puis trouver les points d’intersection de ces deux courbes.


6 Équations paramétriques

Une courbe paramétrée est formée par l'ensemble des points P x y( ; ) qui sa-

tisfont une équation du type { ( ) avec ( )x g t t Iy h t= ∈= .

Le point P parcours une trajectoire, sa position dépend du temps t.

Exemple

d :{ est l'équation paramétrique de la droite d passant

par

1 1

2 2 oùx a d t t IRy a d t

= + ∈= +

1 2( ; )A a a et parallèle au vecteur 1

2

dd d→ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 22. a) Donner l'équation paramétrique d'un cercle de centre C(1;1) et de

rayon r = 5.

b) On donne la coube c par son léquation paramétrique

2

31 avec 4

x t t IRy t t⎧ = − ∈⎨ = −⎩

• Donner le points de c pour lequel t = 0 • Donner les points d'intersection de c avec l'axe Ox • Donner les points d'intersection de c avec l'axe Oy • Tracer c après avoir déterminer quelques points supplémentaires.

Dessin d'une courbe donnée par des équations paramétriques.

La commande Mathematica ParametricPlot[f[t], g[t]},{t , t1 , t2}] trace la

courbe d'équation paramétrique { ( ) pour [ 1; 2]( )x g t t t ty h t= ∈= .

-4 -2 2 4 6

-2 -1

1 2 3 4

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Exemples 1. ParametricPlot[1+t, 2–t},{t , -4 , 4} , AspectRatio -> Automatic] trace le segment de droite d'équation paramétrique

d :{ . 1 où [ 4;4]2x t ty t= + ∈ −= −

2. Équation paramétrique d'une courbe de Lissajous

{ sin(7 ): où [0;2 ]cos(3 )x tc ty t π= ∈=

ParametricPlot[{Sin[7t] , Cos[3t]},{t , 0 , 2Pi} , AspectRatio -> Automatic]


23. Tracer les courbes données par les équations paramétriques suivantes.

a) néphroïde n : { 33 cos( ) cos(3 )4sin ( )

x t ty t= ⋅ −=

b) Cardioïde { (1 cos( )) cos( ): (1 cos( )) sin( )x t tc y t= + ⋅= + ⋅ t

ù [0;1]

24. On considère la courbe . 2

1 1 12

2 2 2: o x a t b t cc ty a t b t c⎧ = + + ∈⎨ = + +⎩

Trouver a1, a2, b1, b2, c1, c2, sachant que c passe par les points (0;0)A , (2;1)B et C . (0; 2)−

25. Trouver une fonction r(t) de sorte que la courbe { ( ) cos( )( ) sin( )

x r t ty r t t= ⋅= ⋅ corres-

ponde au tracé donné ci-dessous.

a)

1

1

b)

1

1

c)

1.5

0.5

26. Créer une animation présentant une spirale tournante.

Remarque L'option "Axes None" permet de ne pas dessiner les axes.

27. Trouver une équation paramétrique d'une Stropoïde droite, courbe formée de l'ensemble des orthocentres des triangles OAB où O est l'origine. A le point A(1,0) et B un point variable du cercle de rayon 1 centré à l'origine.

Indication déterminer l'intersection, en fonction de t, entre

la verticale passant par B et la perpendiculaire à OB passant pas A.

O A(1;0

B(cos(t;sin(t

P(x;y) 2


28. a) Trouver l’équation paramétrique d’une cy-cloïde, trajectoire que parcourt un point fixe d’un cercle lorsque celui-ci roule.

b) Animer la cycloïde.

c) Trouver l'équation paramétrique d'une hy-pocycloïde allongée, trajectoire que par-cours un point fixe d'un rayon allongé (de longueur 2) d'un cercle (de rayon 1) roulant à l'intérieur d'un autre cercle (de rayon 7).

29. Trouver une équation paramétrique d'une courbe qui passe successive-

ment par les points A(0;0), B(0;1), C(1;0), D(0,–1), E(–1;0) et A(0;0) puis tracer cette courbe et déterminer ses points d'intersection avec les axes.

p

M

P(x;

Choisir des polynômes du 5me degré pour x et y.

Marche à suivre Choisir que la courbe passe par A en t = 0, par B en t = 1, par C en

t = 2, … puis résoudre les systèmes avec Mathematica, tracer la courbe pour puis résoudre des équations pour trouver les points d'inter-section avec les axes.

[ 1;6]t∈ −

7 Dérivées

Les commandes Mathematica D[ f[x] , x ] et f'[x] permettent de calculer la dérivée d'une fonction f.

Exemple


30. Tracer le graphe de f(x) = x5 + 2x4 – 3x3 –4x2+5x , puis trouver les coor-données des points à tangente horizontale de f.

31. a) Tracer le graphe de la fonction f(x) = 3x – x3

puis calculer l'équation de la tangente au graphe de f au point T(2 ; ?).

b) Créer la fonction Mathematica t[a_][x_] := … qui définit la tangente au graphe de f au point T(a ; ?). Tracer le graphe de f avec ses tangentes en quel-ques points.

c) Créer une animation qui simule le déplacement de la tangente au graphe de f le long de la courbe.

d) Créer une animation qui simule le déplacement de la tangente au graphe de f(x) = sin(x) le long de la courbe en dessinant un petit cercle au point de contact.

32. a) Dessiner le graphe de la fonction 2

( ) xf x e−= (pour Mathematica, la fonction ex s'écrit Exp[x] ).

b) Déterminer la distance d(x) d'un point P(x ; f(x)) du graphe de f à l'ori-gine O(0 ; 0) puis créer une fonction Mathematica d[x] , qui définit cette distance et dessiner, dans un même système d'axes les graphes des fonctions f et d.

c) Quel est le point du graphe de f situé le plus proche de l'origine ?

33. a) Quelle est l'aire maximale d'un triangle isocèle dont les deux côtés égaux mesurent 10 cm ?

b) Quelle est la distance (la plus courte) entre le graphe de y = sin(x) et le point P(1;0) ?

34. Trouver un polynôme du 4me degré dont le graphe passe par les

A(–1;2) et B(2;1), admet en A une tangente de pente –5 et en B ugente horizontale et dont la deuxième dérivée s'annule en B.

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

11

Tracer le graphe de cette fonction.

Option complémentaire applications des maths Courbes avec Ma

0

points ne tan-

x

thematica page

0

16

8 Vecteurs vitesses d'une courbe paramétrée

Une courbe paramétrée est formée de l'ensemble des points qui satis-

font une équation du type {( ; )P x y

( ) avec ( )x g t t Iy h t= ∈= .

Le point P parcours une trajectoire, sa position dépend d'un paramètre t.

Le vecteur vitesse à une courbe paramétrée en un point où 0 0( ; )P x y

{ 0

0 0

( )( )

0x g ty h t== est le vecteur 0

0

'( )'( )

g tv h t⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

La vitesse v au temps t est égale à la norme du vecteur vitesse, donc

( ) ( )2 2( ) '( ) '( )v t g t h t= +

Exemples

Le dessin de la courbe

est donnée ci-contre ainsi que le vecteur vitesse en pour quelques valeurs de t

(t = 0, t = π/2, t = π et t = 3π/2).

{ sin(2 ): [ π]cos( )x tc ty t= ∈= 0;2

t

)

0 (sin(2 ),cos( ))P t

1 2 3 4 5 6t

0.5 1

1.5 2

2.5 3 v

La vitesse ( ) (2 2( ) 2cos(2 ) sin( )v t t t= + en dépend de t, le graphe de v(t) est

donné ci-contre. 0 0(sin(2 ),cos( ))P t t0

35. Trouver l'équation paramétrique d'une courbe dont les 2 fonctions coordonnées sont des cubiques, qui débute au point O(0 ; 0) au temps t = 0 avec le vecteur

vitesse et qui se termine, au

temps t = 1,au point O(0 ;0) également

mais avec le vecteur vitesse.v .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22

0v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22

1

a) Déterminer l'intersection de cette courbe avec l'axe Ox. b) Déterminer les points de cette courbe pour lesquels le vecteur vitesse

est horizontal. c) Tracer le graphe de la vitesse v(t) et trouver les coordonnées des

points à vitesse minimale. d) Quels est le point de cette courbes les plus proche du point (0;1) ?


Dessin de flèches dans Mathematica

La commande Mathematica Arrow[ {x0,y0}, {x1,y1} ] permet de tracer une flèche d'origine (x0;y0) et d'extrémité (x1;y1).

Remarque 1 L’instruction Arrow[ …] n’étant pas dans la version standard de Mathemati-ca, il est nécessaire de charger préalablement un "Package" supplémentaire. La commande <<Graphics`Arrow` effectue ce chargement.

Remarque 2 L'option Epilog permet d'ajouter un graphique (lignes, cercles, disques, flè-ches) au dessin du graphe d'une fonction ou d'une courbe paramétrée.

Exemples

-3 -2 -1 1 2 3

-2 -1.5 -1

-0.5

0.5 1

1.5 2

Le dessin ci-contre est obtenu par la com-mande Mathematica :

Plot[Sin[x] , {x, –Pi, 2Pi}, PlotRange {–2, 2} AspectRatio Automatic Epilog {Disk[{–Pi/2, 1}, 0.2], Circle[{Pi/2, 1}, 0.2], Arrow[{0,0}, {–1,1}], Arrow[{Pi/2,1}, {Pi/2,0}], Line[{{0,0},{Pi/2,1}}] } ]

Remarque 3 L’instruction Arrow[ {x0,y0}, {x1,y1} ] défini une flèche donnée par son ori-gine (x0;y0) et son extrémité (x1;y1). Pour dessiner, à l'emplacement (x0;y0) un vecteur de composantes dx et dy, il faut donc écrire

Arrow[ {x0 , y0}, {x0 + dx , yo + dy} ] La commande Mathematica

vecteur[x_, y_, dx_, dy_] := Arrow[{x, y}, {x + dx, y + dy}] définit une nouvelle instruction vecteur[x,y,dx,dy] qui permet de tracer un vecteur donné par ses composantes dx et dy et par l'emplacement (x,y) de son l'origine.

vecp[x_,y_, dx_, dy_]:={Disk[{x,y},0.1],]Arrow[{x, y}, {x + dx, y + dy}]}

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1

-0.5

0.5 1

1.5 2

crée une instruction vecp[x,y,dx,dy] qui permet de tracer un point et un vec-teur.

Exemples Le dessin ci-contre est obtenu par les com-mandes Mathematica :

ParametricPlot[{Sin[t] , Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}, PlotRange {{2, 2},{–2, 2}}, AspectRatio Automatic, Epilog {vecp[1,0,0,1], vecp[0,1,–1,0] } ]


36. Étudier la néphroïde n : { 33 cos( ) cos(3 ) [0;2π]4sin ( )

x t t ty t= ⋅ − ∈=

Graphe avec quelques vecteurs tangents, intersections avec les axes, points à vecteur tangent horizontal et vertical, points à vitesse maximale et minimale.

37. Trouver les coordonnées des points d'intersection entre le cercle unité et la

courbe c d'équation paramétrique { cos( ) 0.5 [0;2π]sin( ) cos( )x t ty t t= + ∈= ⋅ .

Tracer ces deux courbes ainsi que les vecteurs vitesses en leurs points d'intersection.

Quel angle forment les vecteurs vitesses en leurs points d'intersection ?

38. a) Tracer la courbe d'équation paramétrique

ainsi que quelques vecteurs vitesses. { cos( ) cos(2 ): π]cos( ) sin(2 )x t tc ty t t= ⋅ ∈= ⋅ [0;2

b) Créer une animation qui présente le déplacement du vecteur vitesse le long de la courbe c.

-2 -1 1 2

-2 -1

1 2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

-2 -1 1 2

-2 -1

1 2

39. On considère deux mobiles M1 et M2 qui se déplacent dans le plan en fonction du temps t selon les équations ci-dessous.

et {12cos( ): sin( ) cos( )

x tm y t t== ⋅ 2

cos(2 )π: [ π]sin(2 )π

tx tm tty t

⎧ =⎪ ∈⎨=⎪⎩

0;2

a) Tracer les courbes que suivent ces deux mobiles. b) Simuler le déplacement des mobiles par une animation, chaque mobile

étant représenté par un petit cercle parcourant sa trajectoire. c) Définir la fonction d(t) qui donne la distance entre les deux mobiles en

fonction du temps et représenter graphiquement cette fonction. d) Les mobiles se rencontrent-ils sachant qu'ils ont un rayon de 2 cm et

que l'unité est le mètre.? Option complémentaire applications des maths Courbes avec Mathematica page 19

9 Méthode de Newton

La méthode de Newton (Isaac Newton, 1642 – 1727) permet, à partir d'une première approximation d'un zéro d'une fonction, de trouver une meilleure approximation de ce zéro.

Description de la méthode de Newton y

1. partir d'une première approximation x0 2. déterminer la tangente au graphe de f au

point d'abscisse x0 3. déterminer l'abscisse x1 du point d'intersec-

tion de cette tangente avec l'axe Ox x4. recommencer avec x1 et obtient une nouvelle

approximation x2 xox2 x1

5. recommencer avec x2 … f

40. Utiliser la méthode de Newton pour trouver, avec une calculette et en n'utilisant que les quatre opérations, une bonne approximation de la valeur de 2 , donc du zéro positif de la fonction f(x) = x2 – 2.

41. a) Étant données une fonction f et une valeur a, trouver la valeur N(a) de

l'abscisse du point d'intersection de la tangente au graphe de f au point T(a ; f(a)) avec l'axe Ox. Créer ensuite une fonction Mathematica newt[a] qui corresponde à cette fonction N.

b) Utiliser cette fonction newt [a] pour déterminer une approximation de la valeur de 2 .

Remarque La commande Mathematica

-1 1 2

1

Nest[f,x,n] calcule f(f(…f(x)…))) (n fois)

La commande Mathematica NestList[f,x,n] crée la liste {f(x) , f(f(x) , f(f(f(x))) , … }

42. Illustrer la méthode de Newton pour un

zéro de f(x) = x3 – x2 + x – 1 avec Ma-thematica et en utilisant les fonctions créées aux exercices 30 et 40.


10 Listes en Mathematica

Une liste est un ensemble d'éléments. En Mathematica on écrit les éléments formant une liste entre accolades et séparés par des virgules

Exemples { 2 , 3 , 4 ,5 } { a , b , c , d , e , f } { { 1 } , { 1 , 2 } , { 1 , 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 , 4 } } sont des listes, la troisième est une liste dont les éléments sont des listes. Les listes sont fréquemment utilisées en Mathematica, par exemple la com-mande

Plot[ { Sin[x] , Cos[x] }, {x , 0 , 2Pi}] comporte deux listes. • Il est possible d'effectuer des opérations sur des listes Exemples { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } + 2 crée la liste { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ^ 2 crée la liste { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 } { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } + { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } crée la liste { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } • La commande Range permet de fabriquer des listes de nombres consécu-

tifs. Exemples Range[2,5,1/2] crée la liste { 2 , 5/2 , 3 , 7/2 , 4 , 9/2, 5 } • La commande Table permet de fabriquer des listes quelconques. Exemples Table[ i^2 , {i , 2 , 4 , 1/2 } ] crée la liste { 4 , 25/4 , 9 , 49/4 , 16 } Table[ { x , Sin[x]}, {x , 0,Pi , Pi/4 } ] crée la liste

{{0,0},{π/4,1/ 2 },{π/2,1},{3π/4,1/ 2 },{π,0}} • La commande Part permet d'extraire un élément d'une liste. Exemple l = { a ,b , c , d , e } assigne la variable l à la liste { a ,b , c , d , e } Part[l,3] extrait le 3me élément de la liste l l[[3]] est équivalent à Part[l,3] • La commande Count permet de compter le nombre d'éléments d'une liste

identique à un élément donné. Exemple l = { a ,b , c , c , d } assigne la liste { a ,b , c , d , e } à la variable l. n = Count[l,c] assigne le nombre 2 à la variable c.


43. a) Construire à l'aide de la commande Table, une liste contenant les ré-sultat de la simulation de 1000 lancés d'un dé.

Indication : La fonction Mathematica Random[ ] fourni un nombre aléatoire

compris entre 0 et 1. Consulter l'aide de Mathematica pour avoir des nombres aléatoires entiers et compris entre 0 et 6.

b) Construire la liste contenant le nombre de lancés par face de la simula-tion précédente. Cette liste aura donc 6 éléments et sera de la forme : {nombre de 1, nombre de 2, nombre de 3, … , nombre de 6}.

c) Afficher un histogramme qui représente cette distribution

Indications : ListPlot[liste] affiche graphiquement une liste (voir l'aide de Ma-

thematica pour les détails) BarChart[liste] affiche une liste sous forme d'histogramme L’instruction BarChart[ …] n’étant pas dans la version standard de

Mathematica, il est nécessaire de charger préalablement un "Package" supplémentaire. La commande <<Graphics`Graphics` effectue ce chargement.

44. a) Construire, à l'aide de la commande Table, la liste des 1000 premiers nombres premiers {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}.

Indication : La commande Mathematica Prime[n] permet de trouver le nième nombre premier.

b) Construire une liste {2,1},{3,2},{5,3},{7,4},…} contenant des cou-ples de la forme {a , b} où b indique le nombre de nombres premier inférieur au nombre premier a, puis représenter graphiquement le gra-phe correspondant.

45. a) Construire, à l'aide de la commande RealDigits[ ] (voir l'aide de Ma-

thematica) la liste {3 , 1 , 4 , 1 , 5, …} des 10000 premières décima-les de π et représenter graphiquement la distribution des dix chiffres.

46. Dessiner, dans un même système d'axe, les graphes des fonctions

, sin( )y x= 1sin( ) sin(3 )3y x x= + , 1 1sin( ) sin(3 ) sin(5 )3 5y x x x= + + , … ,

1 1 1sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin(19 )3 5 19y x x x= + + + + x

Indications • créer une liste qui contient ces 10 fonctions • la commande Plot[Evaluate[f],{x,x1,x2}] trace les fonctions

contenues dans la liste f.


11 Interpolations

Étant donnés des points du plan, il s’agit de trouver une courbe, généralement polynomiale, soit qui passe par ces points, soit qui passe près de ces points avec, éventuellement, des conditions supplémentaires (par exemple sur la pente).

Exemple A partir de quelques points du plan (fig. 1) on peut les relier par une interpola-tion linéaire (fig. 2) ou polynomiale (fig. 3) ou encore construire une courbe qui approche ces points (fig. 4).

1 2 3 4 5

1

2

3

fig. 1

1 2 3 4 5

1

2

3

fig. 2

1 2 3 4 5

1

2

3

fig. 4

1 2 3 4 5

1

2

3

fig. 3

Interpolation linéaire

Les points sont reliés par des segments de droites.

En Mathematica, pour représenter le graphe d'une interpolation linéaire don-née par quelques points, on peut : • utiliser une fonction définie par morceaux : f[x_ ] := If[x<… , … , …]

(voir exercice 10) ou • utiliser la commande Mathematica

Interpolation[{{x1,y1},{x2,y2}, … {xn,yn}} , InterpolationOrder -> 1] qui crée une fonction d'interpolation linéaire passant par les points définie

dans la liste {{x1,y1},{x2,y2}, … {xn,yn}}. Chaque élément de cette liste est un point {x,y} défini par ses coordon-

nées.


Exemple Les commandes Mathematica

listepoints = Table[{x, Sin[x]}, {x, 0,Pi, Pi/4}] Interpolation[listepoints , InterpolationOrder -> 1][2]

fourni la valeur en x = 2 de l'interpolation linéaire définie par les quatre points donnés dans la liste listepoints

La commande Mathematica Plot[Interpolation[listepoints , InterpolationOrder -> 1][x],{x,0,Pi}]

trace le graphe

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

47. L’extrait ci dessous est tiré d’un décret français du 3 janvier 1989 concer-nant la teneur maximale de fluor dans l’eau destinée à la consommation humaine.

Pour les eaux destinées à la consommation humaine, la teneur en fluor doit être inférieure à 1’500 microgrammes par litres pour une température moyenne de l'aire géographique considérée comprise entre 8 degrés C et 12 degrés C et à 700 microgrammes par litres pour une température moyenne de l'aire géographique considérée comprise entre 25 et 30 degrés C. Pour les températures moyennes comprises entre 12 et 25 degrés C, la teneur limite en fluor est calculée par interpolation linéaire.

a) Quelle est cette teneur maximale tolérée pour une région pour laquelle la température moyenne est de 17 degrés C ?

b) Quelle est la température moyenne d’une commune française pour la-quelle la teneur maximale tolérée de fluor est de 1'200 microgrammes par litre d’eau potable ?

c) Représenter graphiquement la teneur maximale de fluor tolérée dans l'eau potable en fonction de la température moyenne d'une région.


48. Le graphe de la fonction f(x) = sin(x) pour [ π;π]x∈ − et donnée ci-dessous.

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

a) Sur ce graphe, après avoir placé les points A(–π ; 0), B(– π2 ; –1), C(0 ; 0),

D( π2 ; 1) et E(π ; 0), relier ces points par des segments de droite puis don-

ner la fonction correspondante g. Quelle est la valeur de l'erreur e1(x) = f(x) – g(x) en x = π

4 ?

b) Sur ce même graphe, dessiner l’arc de parabole qui passe par les points A, B et C ainsi que dessiner l’arc de parabole qui passe par les points C, D et E puis donner la fonction correspondante h définie par intervalles. Quelle est la valeur de l'erreur e1(x) = f(x) – h(x) en x = π

4 ? Quelle particularité présente le graphe de h à l’origine ?

c) Trouver une fonction k du 3me degré telle que k(x) = f(x) pour x = –π, x = 0, x = π2 et x = π. Dessiner le graphe de k. Quelle est la valeur de l'erreur e3(x) = f(x) – k(x) en x = π

2− , x = π4 et

x = 3π4 ?

49. Donner des points par l'intermédiaire de la souris, faire relier ces points

par une interpolation linéaire puis créer une animation qui présente le dé-placement d'un petit cercle suivant l'interpolation.

Indications Pour poser des points avec la souris, il faut

dessiner un système de coordonnée vide Plot[0,{–4,4},PlotRange->{–4,4}], puis, en pressant sur la touche Ctrl , cliquer aux emplacements des points. Ctrl + c permet d'enregistrer les coordon-nées des points et Ctrl + v affiche les coor-données des points sous forme de liste.

-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


Méthode des "moindres carrés"

Étant donné une liste de points du plan P1(x1;y1), P2(x2;y2), P3(x3;y3), …, Pn(xn;yn), on cherche une droite d'équation y = ax + b qui approche (au mieux) ces n points.

La méthode des moindres carrés consiste à choisir la droite dont la somme des carrés des écarts (pris verticalement) entre les points donnés et la droite soit aussi petite que possible.

Il s'agit donc de choisir les coefficients a et b de façon à minimiser l'expres-sion

2 2 2 21 2

1 1

( ( )n n

n k k kk k

2)E d d d d y ax b= =

= + + + = = − +∑ ∑

On peut considérer E comme une fonction dont la variable est b :

2

1

( ) ( ( ))n

k kk

f b y ax b=

= − +∑

Cette fonction est un polynôme de 2me degrés, elle admet un minimum pour la valeur de b qui annule la dérivée f '(b)

1 1 1 1

2

'( ) 2( ( )) 2 ( ) 2 2 2 2n n n n

k k k k k kk k k k

nb

1

n

kf b y ax b y ax b y a x b

= = = =

= − + = − − = − +∑ ∑ ∑ ∑=∑

En posant f '(b) = 0, on obtient l'équation

1 1 1 1

1 10n n n n

k k k kk k k k

y a x nb b y a x y an n= = = =

− − = ⇒ = − = −∑ ∑ ∑ ∑ x

où x est la moyenne des xk et y la moyenne des yk On peut également considérer E comme une fonction dont la variable est a :

2

1

( ) ( ( ))n

k kk

g a y ax b=

= − +∑

Cette fonction admet un minimum pour la valeur de a qui annule la dérivée g'(a)

2

1 1

'( ) 2( )( ) 2 ( )n n

k k k k k kk k

g a y ax b x y x ax bx= =

= − − − = − − −∑ ∑ k


En posant g'(a)=0, on obtient l'équation 2 2

1 1 1 1

2

1 1 1 1 1

( ) 0 0

1 1( )

n n n n

k k k k k k k kk k k k

n n n n n

k k k k k kk k k k k

y x ax bx y x a x b x

y x a x y a x xn n

= = = =

= = = = =

− − = ⇔ − − =

⇔ − − − ⋅

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 0=

De cette équation, on tire la valeur de a

1

2

1

( )

( )

n

k kk

n

kk

x x ya

x x

=

=

− ⋅=

−

∑

∑

Conclusion Étant donné n points du plan P1(x1;y1), P2(x2;y2), P3(x3;y3), …, Pn(xn;yn), l'équation de la droite des moindres carrés est : y = ax + b

où 1

2

1

( )

( )

n

k kk

n

kk

x x ya et

x x

=

=

− ⋅=

−

∑

∑ 1

n

kk

b x y ax=

= = −∑ avec 1

1 n

kk

x xn =

= ∑ et 1

1 n

kk

y yn =

= ∑

50. Tracer la droite des moindres carrés pour des points donnés avec la souris ainsi que la parabole des moindres carrés pour ces mêmes points.

Indication • La commande Mathematica

Fit[liste , {1,x}, x } trouve la droite des moindres carrés d'une liste de points.

• La commande Mathematica Plot[Evaluate[Fit[liste , {1,x}, x }]], {x,x1,x2}] trace cette droite.

• La commande Mathematica Show[Plot[Evaluate[Fit[liste,{1,x},x]],{x,x1,x2}],ListPlot[liste]] trace la droite des moindre carré et dessine les points.

• La commande Mathematica Fit[liste , {1,x,x^2,}, x } trouve la parabole des moindres carrés d'une liste de points.

• La commande Mathematica ReplaceAll[Fit[liste,{1,x},x],x->10}

calcule la valeur en x = 10 de l'interpolation par la méthode des moin-dres carrés.


51. On donne les valeurs ci-contre : x 1 3 4 6 8 9 10 11 14 y 1 2 4 4 5 7 z 8 9

Déterminer la valeur de z obtenue par une interpolation par la droite des moindres carrés lorsque l'on considère

a) y comme fonction linéaire de x b) x comme fonction linéaire de y. 52. L'évolution de l'espérance de vie à la naissance pour les femmes est don-

née par le tableau suivant :

Année 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Esp. vie 48.5 52.3 54.5 62.1 67 70.6 74.1 76.6 79.1 80.7

a) Calculer la droite de régression (droite obtenue par la méthode des moindres carrés) de l'espé-rance de vie par rapport au temps et déterminer quelle serait l'espérance de vie des femmes en l'an 2000 selon cette estimation. 1920 1940 1960 1980 2000

20

40

60

80

100

1920 1940 1960 1980 2000

20

40

60

80

100

b) Calculer la parabole de régression de l'espé-rance de vie par rapport au temps et déterminer quelle serait l'espérance de vie des femmes en l'an 2000 selon cette estimation.

c) Comparer les résultat avec ceux de l'office fédéral de la statistique (http://www.statistik.admin.ch)

53. Le nombre de bactéries y par unité de volume présent dans un bouillon de

culture après x heures est donné par le tableau ci-contre :

Dessiner les points et constater que la régression n'est pas linéaire. Effectuer le changement de variable z = ln(y) puis dessiner le nuage de

points. Constatation ? Calculer la droite de régression de z sur x : z = cx + d.

Trouver puis tracer la courbe de régression de y sur x sachant qu'elle est de la forme y = a.bx.

54. Étant donné n points du plan, déterminer le rayon du cercle

centré à l'origine qui approche le mieux ces points (au sens des moindres carrés).


http://www.statistik.admin.ch

Polynômes d'interpolation de Lagrange

Pour trouver un polynôme de degré n – 1 dont le graphe passe par n points du plan donnés, il est possible de résoudre un système de n équations à n incon-nues. La méthode d'interpolation de Lagrange permet de fabriquer directement un tel polynôme P(x) à partir des n points et sans résoudre de système.

Si on note (x1;y1), (x2;y2), …, (xn;yn) ces n points, alors ce polynôme P de Lagrange s'écrit :

1 1 2 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

k k nk

P x L x y L x y L x y L x y=

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + +∑ n⋅

avec

1

1 2 1 1

1 2 1 1

( )

( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ni

k i k ii k

k k

k k k k k k k n

x xL x x x

)nx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x

π=≠

− +

− +

−=

−

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −=

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

Lk(x) est un polynôme qui prend la valeur 1 pour x = xk et qui s'annule pour x = xi, i = 1, …n et i ≠ k Lk(x)·yk prend donc la valeur yk pour x = xk et s'annule pour x = xi, i = 1, …n et i ≠ k P(x) est un donc un polynôme qui prend la valeur yk pour x = xk , k = 1, …n

Exemple Construction du polynôme de Lagrange dont le graphe passe par les 3 points (1;1), (3;5) et (4;10).

21

( 3) ( 4) 1( ) ( 7 12)(1 3) (1 4) 6x xL x x x− ⋅ −= = ⋅ −− ⋅ −

+ ,

22

( 1) ( 4) 1( ) ( 5 4)(3 1) (3 4) 2x xL x x x− ⋅ −= = − ⋅ −− ⋅ −

+ ,

23

( 1) ( 3) 1( ) ( 4 3)(4 1) (4 3) 3x xL x x x− ⋅ −= = ⋅ −− ⋅ −

+

2 2 2

2

2

1 1 1( ) ( 7 12) 1 ( 5 4) 5 ( 4 3) 106 2 31 5 10 7 25 40 12 20 30( ) ( ) ( )6 2 3 6 2 3 6 2 3

2 2

P x x x x x x x

x x

x x

= ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅

= − + + − + − + − +

= − +

55. a) En suivant la méthode de Lagrange, donner une expression du poly-

nôme P(x) dont le graphe est la cubique passant par les quatre points P0(O; yo). P1(1; y1), P2(2; y2) et P3(3; y3)

b) Comment faut-il choisir y4 pour que le point P4(4; y4) soit sur la cubi-que?


56. On se propose d'estimer par un polynôme de Lagrange P(x) de degré 2 la fonction exponentielle : 2xf x , en tenant compte de trois valeurs: f(–l), f(1) et f(3).

a) Chercher les coefficients du polynôme P(x) en résolvant un système de trois équations à trois inconnues.

b) Utiliser la méthode de Lagrange pour déterminer le polynôme P(x) et ses coefficients.

c) Calculer exactement l'erreur d'interpolation f(x) – P(x) en x = O et en x = 2.

d) Vérifier que sur l'intervalle [1 ; 3] , le polynôme de Lagrange donne une estimation par excès de la fonction. Estimer, dans cet intervalle, le maximum de la différence P(x) – f(x).

57. a) Tracer le graphe d'un polynôme de Lagrange passant par des points

désignés à l'aide de la souris. b) Créer une animation qui présente le déplacement d'un petit cercle sui-

vant le graphe du polynôme de Lagrange.

58. La masse volumique ρ de l’eau est donnée en fonction de la température par le tableau ci-dessous.

θ (oC) 0 5 10 20 30

ρ (kg·m-3) 999.84 999.97 999.70 998.20 995.64

a) Trouver, en utilisant la méthode de Lagrange avec les valeurs du ta-bleau, un polynôme d’interpolation puis le représenter graphiquement en utilisant Mathematica.

b) Trouver la masse volumique de l’eau à 4oC en utilisant une interpola-tion de Lagrange.

c) Trouver la masse volumique de l’eau à 4oC en utilisant une interpola-tion linéaire.

d) Pour quelle température la masse de l’eau est-elle de 999 kg·m-3 ? 1. Par interpolation linéaire. 2. Par interpolation de Lagrange avec les valeurs pour 0oC, 10oC,

20oC et 30oC données dans le tableau.


12 Solution des exercices

Le fichier Mathematica, solution des exercices peut-être téléchargée sur Inter-net à l'adresse : http://www.rpn.ch/lddr/adm/jml/Courbes.nb


http://www.rpn.ch/lddr/adm/jml/Courbes.nb

Documents

OC Applications des maths - RPN