Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 1

Određivanje ubrzanja

slobodnog padanja (2)

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 2

• Ubrzanje slobodnog padanja se definiše kao ubrzanje koje ima telo

kada na njega deluje samo sila zemljine teže.

• Zavisi od više faktora – nadmorske visine, geografske širine, lokalne

geološke strukture...

• Fizička jedinica je m/s2.

• Metoda za određivanje ubrzanja slobodnog padanja u okviru

laboratorijske vežbe:

– matematičko klatno (specijalni slučaj fizičkog klatna).

Ubrzanje slobodnog padanja

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 3

• Fizičko klatno - telo koje osciluje u gravitacionom polju oko vertikalne

ose/tačke oslonca.

• Gravitaciona sila u težištu tela stvara moment koji teži da vrati telo u

ravnotežni položaj. Drugi Njutnov zakon za rotaciono kretanje:

𝐼𝑑2𝜃

𝑑𝑡2= −𝑚𝑔𝑠 sin 𝜃

– 𝐼 je moment inercije fizičkog klatna u odnosu na tačku oslonca,

– 𝑠 je rastojanje između tačke oslonca (O) i centra mase (C).

• Za male ugaone pomeraje sin 𝜃 ≈ 𝜃 pa:

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+𝑚𝑔𝑠

𝐼 𝜃 = 0

• Rešenje jednačine su harmonijske oscilacije: 𝜃 𝑡 = 𝜃0sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)

• Kružna učestanost i period oscilacija iznose:

𝜔 =𝑚𝑔𝑠

𝐼, 𝑇 =

2𝜋

𝜔= 2𝜋

𝐼

𝑚𝑔𝑠

Fizičko klatno

𝑠

𝜃

O

C

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 4

• Matematičko klatno - najjednostavniji oblik fizičkog klatna. Predstavlja

ga mala kuglica obešena o tanak dugačak neistegljiv i elastičan konac.

Poluprečnik kuglice 𝑟 trebalo bi da bude zanemarljiv u odnosu na

dužinu klatna.

• Moment inercije kuglice u odnosu na tačku oslonca je:

𝐼 = 𝑚𝑙2 +2

5𝑚𝑟2 ≈ 𝑚𝑙2

• Ubrzanje slobodnog padanja nalazi se kao:

𝑇 = 2𝜋𝐼

𝑚𝑔𝑠= 2𝜋

𝑚𝑙2

𝑚𝑔𝑙= 2𝜋

𝑙

𝑔 𝑔 =

4𝜋2𝑙

𝑇2

Matematičko klatno

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 5

Slučajna greška

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 6

• Aritmetička sredina skupa od 𝑛 ponovljenih merenja:

• Srednje kvadratno odstupanje jednog u nizu merenja:

– 𝑒𝑖 su prividne apsolutne greške

• Kriterijum Šovenea služi za odbacivanje grubih grešaka kada broj

merenja nije veliki:

– za svako u nizu merenja definiše se parametar Šovenea:

– odbacuje se ono merenje za koje je parametar Šovenea najveći ako je veći od

granične vrednosti za posmatrani broj merenja:

– za merenja koja ostanu nakon odbacivanja ponovo se određuju artimetička sredina,

prividne greške, srednje kvadratno odstupanje i parametri Šovenea i primenjuje

kriterijum za odbacivanje,...

– procedura se završava kad više nema merenja koje treba odbaciti.

Kriterijum Šovenea

n

iiT

nT

1

1

2

1

1,

1

n

i i ii

e e T Tn

/ii eq

ni qq g

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 7

• Primer: merenje periode oscilovanja matematičkog klatna

• 1. korak:

• 2. korak:

Primena kriterijuma Šovenea

04,2

s0,049828

s445,1

12g

q

T

n N i Ti ei qi

1 20 28.57 1.4285 0.016708 0.335323

2 20 29.98 1.499 0.053792 1.079555

3 20 31 1.55 0.104792 2.103083

4 20 28.77 1.4385 0.006708 0.134631

5 20 28.43 1.4215 0.023708 0.475807

6 20 28.52 1.426 0.019208 0.385496

7 20 29.02 1.451 0.005792 0.116234

8 20 28.88 1.444 0.001208 0.02425

9 20 26.72 1.336 0.109208 2.191722

10 20 29.13 1.4565 0.011292 0.226615

11 20 29.05 1.4525 0.007292 0.146338

12 20 28.78 1.439 0.006208 0.124596

n N i Ti ei qi

1 20 28.57 1.4285 0.026636 0.704379

2 20 29.98 1.499 0.043864 1.159941

3 20 31 1.55 0.094864 2.508598

4 20 28.77 1.4385 0.016636 0.439936

5 20 28.43 1.4215 0.033636 0.889488

6 20 28.52 1.426 0.029136 0.770489

7 20 29.02 1.451 0.004136 0.109383

8 20 28.88 1.444 0.011136 0.294493

9 20 29.13 1.4565 0.001364 0.03606

10 20 29.05 1.4525 0.002636 0.069717

11 20 28.78 1.439 0.016136 0.426714

00,2

s0,037815

s455,1

11g

q

T

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 8

• 3. korak:

• Nakon trećeg koraka uočava se da nema više rezultata koje bi trebalo

odbaciti i procedura se završava.

Primena kriterijuma Šovenea (2)

96,1

s0,024269

s44565,1

10g

q

T

n N i Ti ei qi

1 20 28.57 1.4285 0.026636 0.704379

2 20 29.98 1.499 0.043864 1.159941

3 20 28.77 1.4385 0.016636 0.439936

4 20 28.43 1.4215 0.033636 0.889488

5 20 28.52 1.426 0.029136 0.770489

6 20 29.02 1.451 0.004136 0.109383

7 20 28.88 1.444 0.011136 0.294493

8 20 29.13 1.4565 0.001364 0.03606

9 20 29.05 1.4525 0.002636 0.069717

10 20 28.78 1.439 0.016136 0.426714

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 9

• Greške preostalih rezultata mogu se modelovati pomoću Gausove

(𝑛 10) ili Studentove (𝑛 < 10) raspodele.

• Primer Gausove raspodele:

• Sa verovatnoćom pouzdanosti može se reći da će greška rezultata

biti manja od , gde predstavlja parametar raspodele.

– npr. kod Gausove raspodele, sa verovatnoćom pouzdanosti P(1)=0,68 može se reći

da je očekivana greška , a sa verovatnoćom pouzdanosti P(3)=0,997 može se reći

da je očekivana greška 3

Raspodela grešaka

t

t

t tetP0

2/ d2

2)(

2

)(tPt

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 10

• Srednja vrednost za niz ponovljenih merenja prati takođe Gausovu ili

Studentovu raspodelu, s tim što se za srednje kvadratno odstupanje

srednje vrednosti uzima:

• Granična slučajna greška se može sa odgovarajućom verovatnoćom

pouzdanosti kvantifikovati kao:

Kvantifikacija slučajne greške

nT

/

TTte

)g,sl(

)(tP

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 11

Određivanje Jungovog modula

elastičnosti (3)

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 12

• Prilikom delovanja spoljnih sila, telo menja dimenzije – dominantno u

pravcu sile, a nekad i oblik. Promena dimenzija naziva se

deformacijom. Makro-promene posledica su mikro-promena u

međusobnom položaju čestica tela (atomi, molekuli, joni, itd.).

• Deformacija može biti:

– elastična – pri prestanku delovanja sile, telo se vraća u prvobitno stanje,

– plastična – trajna deformacija.

• U slučaju elastične deformacije međumolekularne sile odupiru se

delovanju spoljnih sila.

• Kada je spoljna sila dovoljno veća od mogućnosti odupiranja, nastaje

plastična deformacija (u krajnjem ishodu moguć je i lom).

• Kod metala, elastična deformacija predstavlja udaljavanje molekula

unutar kristalne rešetke (u malim granicama), a plastična deformacija

predstavlja dislokaciju molekula unutar kristalne rešetke.

Deformacije

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 13

• Aksijalna deformacija predstavlja deformaciju u pravcu napadne linije

sile. Karakteristična je za tela u obliku štapa/žice (jedna dimenzija

izraženija od drugih). Posmatramo normalni napon 𝜎,Pa – intezitet sile

po jediničnoj površini poprečnog preseka (𝜎 = 𝐹/𝑆n).

• Hukov zakon: (relativna) deformacija 𝛿 (𝛿 = ∆𝑙/𝑙0≈ ∆𝑙/𝑙) proporcionalna je normalnom naponu (𝜎), a koeficijent proporcije je

koeficijent elastičnosti 𝑒, odnosno 𝛿 = 𝑒𝜎. Hukov zakon važi za

elastične deformacije.

• Jungov modul elastičnosti obrnuto je proporcionalan koeficijentu

elastičnosti 𝐸𝑦 = 1 𝑒 = 𝜎 𝛿 . Predstavlja svojstvo materijala. Jedinica je

Pa, a red veličine G ≡ 109.

• Ako je uzorak žica prečnika 𝑑:

𝐸𝑦 =𝐹 𝑆

∆𝑙 𝑙 =𝐹𝑙

𝑆∆𝑙=4𝐹𝑙

𝜋𝑑2∆𝑙

Hukov zakon

𝑙0 ∆𝑙

𝐹

𝑙

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 14

Torziona konstanta, modul

torzije i aksijalni moment

inercije (4)

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 15

• Uvijanje je deformacija tela učvršćenog na jednom kraju pod dejstvom

momenta sile. Pri uvijanju dolazi do ugaonog pomeranja slojeva tela

koji su paralelni ravni u kojoj deluju sile, odnosno do smicanja.

• Posmatrajmo slučaj kada uvijanje vrše dve sile (𝐹) istog inteziteta koje

deluju na podjednakom rastojanju (𝑅) od ose tela, u suprotnom smeru

jedna u odnosu na drugu, na drugom kraju tela koji nije učvršćen.

• Intenzitet momenta sprega sila jednak je: 𝑀 = 2𝑅 ∙ 𝐹, gde je 𝑅

rastojanje sile od ose tela.

• Ako je ugao uvijanja obeležen sa 𝜃, tada je prema Hukovom zakonu

𝜃 = 𝑘𝑀, gde je 𝑘 konstanta koja izražava torziona svojstva tela.

• Torziona konstanta je recipročna vrednost konstante 𝑘:

𝑐 =𝑀

𝜃=𝐷 ∙ 𝑚𝑔

𝜃

– 𝐷 je prečnik cilindra preko koga se vrši uvijanje, 𝑚 masa upotrebljenih tegova (sa

jedne strane),

– predstavlja moment sprega spoljašnjih sila koji telo uvije za 1 rad,

– jedinica je N ∙m/rad,

– zavisi od dimenzija tela i materijala od koga je načinjeno telo.

Torziona konstanta

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 16

• Torziona konstanta je torziono svojstvo posmatranog tela, dok su

torziona svojstva supstancije od koje je telo izrađeno izražena

modulom smicanja/torzije 𝐸𝑠 ≡ 𝐺.

• Jedinica za modul torzije je Pa, a red veličine G ≡ 109. Nalazi se (bez

izvođenja) da je modul torzije žice moguće odrediti kao:

𝐸𝑠 =2𝑙𝑐

𝜋𝑟4=32𝑙𝑐

𝜋𝑑4

– 𝑟 је poluprečnik, 𝑑 prečnik žice koja se uvija, 𝑙 je dužina žice, a 𝑐 torziona konstanta.

Modul smicanja

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 17

• Torziono klatno – telo okačeno (u centru mase) o vertikalnu žicu čiji je

jedan kraj fiksiran. Prilikom rotiranja tela u horizontalnoj ravni, uvija se

žica. Posledično, javlja se povratni moment proporcionalan uglu

uvijanja.

• Drugi Njutnov zakon za rotaciono kretanje torzionog klatna:

𝐼𝑑2𝜃

𝑑𝑡2= −𝑐𝜃

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+𝑐

𝐼𝜃 = 0

• Ova jednačina ima za rešenje funkciju: 𝜃 𝑡 = 𝜃0sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)

• Kružna učestanost i period oscilacija iznose:

𝜔 =𝑐

𝐼 𝑇 = 2𝜋

𝐼

𝑐

• Aksijalni moment inercije tela može se odatle naći kao:

𝐼 =𝑐𝑇2

4𝜋2

– moment inercije odgovara vertikalnoj osi koja prolazi kroz centar mase,

– jedinica za moment inercije je kgm2,

– zavisi od dimenzija tela i materijala od koga je telo načinjeno.

Torziono klatno