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제 2 장 1자유도계의 자유진동
2-1. 비감쇠 병진계의 자유진동
2-1-1. Newton의 운동 제 2법칙을 이용한 운동 방정식
- 비감쇠 질량-스프링 진동 시스템
- 정적 평형방정식
- 동적 평형방정식 (Newton 제2법칙)
- 운동방정식
(1)
여기서, ( 고유진동수)
2-1-2. 에너지 보존의 법칙을 이용한 운동 방정식
운동에너지를 T, 위치에너지를 U라 할 때, 에너지보존의 법칙은 다음과 같다.
또는
그런데 ,
이므로
2-1-3. 해
운동방정식 (1)을 풀기위하여 를 가정하여 식 (1)을 대입하면
인데 는 0이 될 수 없으므로
이 되고, 따라서
±
±
± : 고유진동수
이 된다. 즉 식 (1)의 해는
(2)
이 된다. 이는 다시
(3)
로 표현할 수 있다. t=0에서 초기 속도 과 초기변위 을 대입하면
2-1-4. 조화운동
해 (3)의 형태는 다음과 같이 표현 할 수 있다.
(4)
: 진폭
: 위상각
2-2. 비감쇠 비틀림계의 자유진동
질량 -----> 극질량 관성모멘트
변위 -----> 각변위
스프링 -----> 비틀림 스프링
2-3. 안정 조건
계의 운동방정식의 해가 시간이 증가함에 따라 변위나 각속도가 무한값으로 수
렴하는 경우는 불안정하므로 안정적으로 진동이나 운동하는 조건을 의미한다. 즉
안정조건을 위배하면 기계시스템은 문제가 있다. 그러나 이를 판별하는 것은 간단
한 시스템을 제외하고 복잡하므로 이론적 설명은 생략한다.
2-4. Rayleigh 에너지법
계가 조화운동을 하는 경우 비감쇠 진동은 에너지법으로부터 바로 고유진동수가
구해진다.
2-5. 점성 감쇠 자유진동(viscously damped free vibration)
(1) 점성 감쇠력
: 감쇠계수
(2) 운동방정식
(3) 자유 감쇠 진동 (free-damped vibration)
(5)
(4) Homogeneous Solution
를 운동방정식 (5)에 대입하면 특성방정식(characteristic equation)
(ms2+ cs + k)e
st = 0
s 2 + cms +
km
= 0
으로부터 일반해
를 얻는다 여기서,
s 1 = -c2m
+ ( c2m )2
-km
s 2 = -c2m
- ( c2m )2
-km
(5) 임계감쇠상수 및 감쇠비
- Critical damping, c c
- Damping ratio, ζ
- Characteristic roots
- 감쇠 고유진동수 :
▸ 경우 1 : underdamped case,
▸ 경우 3 : critical damped case,
임계 감쇠계와 과 감쇠계는 진동없이 →∞ 이면 → 임을 명심하라.
(6) 대수적 감소율(Logarithmic decrement)
한주기당 두 진폭이 감소하는 빠르기를 나타내는 자연대수값
▸ 감쇠진동에 대한 일반해
▸ 대수적 감쇠율
(
)
≈ 2πζ ( ζ = small, 1-ζ 2 ≈ 1 )
x
k
m
W W
N N
kx kxv v
μNμN
(a)
(b) (c)
m m
(7) 점성 감쇠의 소산에너지
점성 감쇠기와 스프링이 병렬로 연결되어 있을 때 운동에 저항하는 전체힘은
이다. 이때 의 단순 조화운동으로 가정하여 한사이클당 방출하는 에너
지는
2.6 쿨롱 감쇠(Coulomb damping)
- 두 개의 표면이 미끌어지면서 발생하는 감쇠
- 감쇠력은 법선력과 마찰계수 μ 의 곱으로 표시
- 속도에 무관
- 감쇠력의 방향이 속도의 방향에 반대임
- 마찰력 F=μN
경우 1) 질량이 왼쪽에서 오른쪽으로 운동
Homogeneous Sol.
(
)
Nonhomogeneous Sol.
(Undeterminated Coefficient Method)
이므로
경우 2) 질량이 오른쪽에서 왼쪽으로 운동
설명)
1) 운동은 왼쪽에서 오른쪽으로 진행
운동이 멈출때 까지 경과한 반 사이클 수가 r 일 때,
진폭은
스프링 힘은
따라서
≦
≧
쿨롱 감쇠의 특징
1) 연속하는 두 사이클 끝에서의 진폭사이의 관계식은
2) 감소하는 직선의 기울기는
3) 고유 진동수는 변하지 않는다.
4) 일정시간이 경과하면 운동이 멈춘다. 그때까지의
반 사이클 수( r)는
≧
2.7 이력 감쇠 자유진동
재료가 변형할 때 미끄러지는 내부 평면 사이의 마찰로 발생하는 감쇠
▸ 진동수 와 진폭 로 운동하는 점성 감쇠의 한주기마다 방출되는 에너지