Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 11
ΠΠΜΠΠΜ 220: 220: ΣτατικήΣτατική ΑνάλυσηΑνάλυση τωντων ΚατασκευώνΚατασκευών ΙΙ
∆ιαλέξεις 24-27
ΑρχήΑρχή ∆υνατών∆υνατών ΈργωνΈργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))
ΤρίτηΤρίτη, , 22, , ΤετάρτηΤετάρτη, , 33,, ΠαρασκευήΠαρασκευή 55καικαι ΤρίτηΤρίτη, , 9 9 ΝοεµβρίουΝοεµβρίου , 2004, 2004
ΠέτροςΠέτρος ΚωµοδρόµοςΚωµοδρόµος[email protected]@ucy.ac.cy
http://www.ucy.ac.cy/~petroskhttp://www.ucy.ac.cy/~petrosk
22
ΘέµαταΘέµατα
ΕισαγωγήΕισαγωγή στηνστην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργωνΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών έργωνέργων
ΕξωτερικόΕξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργοΕσωτερικόΕσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο ((ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια ))
αξονικέςαξονικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςκαµπτικέςκαµπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςδιατµητικέςδιατµητικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςστρεπτικέςστρεπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςσυνολικήσυνολική ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια
ΥπολογισµόςΥπολογισµός µετακινήσεωνµετακινήσεων µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆ΕΥπολογισµόςΥπολογισµός ορισµένωνορισµένων ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφήςΜηΜη πρισµατικάπρισµατικά µέληµέληΠαραµορφώσειςΠαραµορφώσεις απόαπό άλλαάλλα, , εκτόςεκτός φορτίωνφορτίων, , αίτιααίτια
ΘερµοκρασιακέςΘερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολέςΚατασκευαστικέςΚατασκευαστικές ατέλειεςατέλειες καικαι σφάλµατασφάλµατα∆ιαφορικές∆ιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 33
ΧρησιµότηταΧρησιµότητα υπολογισµούυπολογισµού παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων
ΈλεγχοιΈλεγχοι
ασφάλειαςασφάλειαςεντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών σεσε σχέσησχέση µεµε τιςτις επιτρεπόµενεςεπιτρεπόµενες αντοχέςαντοχές
λειτουργικότηταςλειτουργικότηταςδιασφαλίζονταιδιασφαλίζονται λειτουργικέςλειτουργικές ανάγκεςανάγκες µιαςµιας κατασκευήςκατασκευής
((ππ.x. .x. έλεγχοςέλεγχος παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων))
αναγκαίοςαναγκαίος οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων ενόςενόςφορέαφορέα κάτωκάτω απόαπό τηντην επίδρασηεπίδραση κάποιωνκάποιων συγκεκριµένωνσυγκεκριµένων δράσεωνδράσεων ήήσυνδυασµώνσυνδυασµών δράσεωνδράσεων γιαγια σκοπούςσκοπούς ελέγχουελέγχου λειτουργικότηταςλειτουργικότητας
ΕπίσηςΕπίσης, , απαραίτητοςαπαραίτητος είναιείναι οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων κατάκατά τηντηνεπίλυσηεπίλυση υπερστατικώνυπερστατικών φορέωνφορέων γιαγια τηντην οποίαοποία δενδεν αρκούναρκούν οιοι εξισώσειςεξισώσειςισορροπίαςισορροπίας
οοιι επιπλέονεπιπλέον εξισώσειςεξισώσεις προκύπτουνπροκύπτουν απόαπό τηντην διατύπωσηδιατύπωση τηςτηςσυµβιβαστότηταςσυµβιβαστότητας τωντων παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων τουτου φορέαφορέα
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 44
ΣυνήθηςΣυνήθης παραδοχέςπαραδοχέςµικρέςµικρές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι µετακινήσειςµετακινήσεις σεσε σχέσησχέση µεµε τιςτις διαστάσειςδιαστάσειςχρήσηχρήση αρχικήςαρχικής απαραµόρφωτηςαπαραµόρφωτης γεωµετρίαγεωµετρία καικαι µορφήςµορφής τουτου φορέαφορέα
γραµµικήγραµµική--ελαστικήελαστική συµπεριφοράσυµπεριφορά τουτου υλικούυλικούγραµµικήγραµµική συµπεριφοράσυµπεριφορά: : οιοι τάσειςτάσεις είναιείναι ανάλογεςανάλογες τωντων παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων
ελαστικήελαστική συµπεριφοράσυµπεριφορά: : αναν αφαιρεθούναφαιρεθούν όλαόλα τατα φορτίαφορτία απόαπό τοντον φορέαφορέα τότετότεαυτόςαυτός θαθα επιστρέψειεπιστρέψει στηνστην αρχικήαρχική αφόρτιστηαφόρτιστη θέσηθέση καικαι γεωµετρίαγεωµετρία τουτου χωρίςχωρίςπαραµένουσεςπαραµένουσες παραµορφώσειςπαραµορφώσεις
αρχήαρχή τηςτης επαλληλίαςεπαλληλίας..
αρχήαρχή τηςτης επιπεδότηταςεπιπεδότητας τωντων διατοµώνδιατοµών (Bernoulli)(Bernoulli)ΓιαΓια γραµµικάγραµµικά µέληµέλη υπόυπό καµπτικέςκαµπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις θεωρείταιθεωρείται ότιότι επίπεδεςεπίπεδεςδιατοµέςδιατοµές πουπου είναιείναι κάθετεςκάθετες στονστον άξοναάξονα ενόςενός µέλουςµέλους παραµένουνπαραµένουν επίπεδεςεπίπεδεςκαικαι κάθετεςκάθετες στονστον παραµορφωµένοπαραµορφωµένο άξοναάξονα ενόςενός µέλουςµέλους µετάµετά τηντηνπαραµόρφωσηπαραµόρφωση
έτσιέτσι, , έχονταςέχοντας γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό,, υπάρχειυπάρχει µιαµια γραµµικήγραµµική µεταβολήµεταβολή τωντωνορθώνορθών τάσεωντάσεων µεταξύµεταξύ τωντων ακραίωνακραίων ινώνινών σταστα πέλµαταπέλµατα ενόςενός µέλουςµέλους
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 55
ΓεωµετρικέςΓεωµετρικές µέθοδοιµέθοδοι υπολογισµούυπολογισµού µετακινήσεωνµετακινήσεων
γεωµετρικέςγεωµετρικές µέθοδοιµέθοδοι::
βασίζονταιβασίζονται, , είτεείτε άµεσαάµεσα είτεείτε έµµεσαέµµεσα, , στηνστην διαφορικήδιαφορική εξίσώσηεξίσώση ((∆Ε∆Ε) ) πουπουσυνδέεισυνδέει τηντην καµπτικήκαµπτική ροπήροπή µεµε τηντην καµπυλότητακαµπυλότητα
χρησιµοποιούνταιχρησιµοποιούνται γιαγια τοντον υπολογισµόυπολογισµό βυθίσεωνβυθίσεων καικαι στροφώνστροφών απλώναπλώνφορέωνφορέων λαµβάνονταςλαµβάνοντας υπόψηυπόψη µόνοµόνο τιςτις καµπτικέςκαµπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις
κύριεςκύριες γεωµετρικέςγεωµετρικές µέθοδοιµέθοδοι::µέθοδοςµέθοδος διπλήςδιπλής ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης ((double integration methoddouble integration method) )
µέθοδοςµέθοδος ροπώνροπών ((momentmoment--area methodarea method) )
µέθοδοςµέθοδος οµόλογηςοµόλογης δοκούδοκού ((conjugate beam methodconjugate beam method) )
παρουσιάζουνπαρουσιάζουν σηµαντικάσηµαντικά µειονεκτήµαταµειονεκτήµατα ειδικάειδικά γιαγια τηντην συστηµατικήσυστηµατικήγενικήγενική ανάλυσηανάλυση πολύπλοκωνπολύπλοκων φορέωνφορέων. .
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 66
ΕνεργειακέςΕνεργειακές µέθοδοιµέθοδοι υπολογισµούυπολογισµού µετακινήσεωνµετακινήσεων
βασίζονταιβασίζονται στοστο ισοζύγιοισοζύγιο εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού έργουέργου
εξωτερικόεξωτερικό έργοέργο (external work)(external work):: τοτο έργοέργο πουπου παράγεταιπαράγεται απόαπό τατα εξωτερικάεξωτερικά φορτίαφορτίακατάκατά τητη µετακίνησηµετακίνηση τουςτους λόγωλόγω παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων τουτου φορέαφορέα
εσωτερικόεσωτερικό έργοέργο (internal work)(internal work) ήή αλλιώςαλλιώς ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια (elastic strain energy)(elastic strain energy):: ηηενέργειαενέργεια, , ήή τοτο εσωτερικόεσωτερικό έργοέργο, , ηη οποίαοποία αποθηκεύεταιαποθηκεύεται στοστο υλικόυλικό λόγωλόγω τάσεωντάσεων καικαιπαραµορφώσεωνπαραµορφώσεων
κύριεςκύριες ενεργειακέςενεργειακές µέθοδοιµέθοδοι::
αρχήαρχή διατήρησηςδιατήρησης τηςτης ενέργειαςενέργειας ((πραγµατικόπραγµατικό έργοέργο))µίαµία άγνωστηάγνωστη µετακίνησηµετακίνηση µόνοµόνο µπορείµπορεί νανα υπολογιστείυπολογιστεί αφούαφού µόνοµόνο µιαµια εξίσωσηεξίσωση υπάρχειυπάρχει γιαγιατοτο ισοζύγιοισοζύγιο εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού έργουέργουµόνοµόνο µετακινήσειςµετακινήσεις στοστο σηµείοσηµείο καικαι διεύθυνσηδιεύθυνση ενόςενός συγκεντρωµένουσυγκεντρωµένου φορτίουφορτίου µπορούνµπορούν ναναυπολογιστούνυπολογιστούν
θεωρήµαταθεωρήµατα CastiglianoCastiglianoµόνοµόνο µετακινήσειςµετακινήσεις στοστο σηµείοσηµείο καικαι διεύθυνσηδιεύθυνση ενόςενός συγκεντρωµένουσυγκεντρωµένου φορτίουφορτίουµπορούνµπορούν νανα υπολογιστούνυπολογιστούν, , αφούαφού προσδιοριστούνπροσδιοριστούν οιοι αντίστοιχεςαντίστοιχες µερικέςµερικέςπαράγωγοιπαράγωγοι ωςως προςπρος τατα αντίστοιχααντίστοιχα συγκεντρωµένασυγκεντρωµένα φορτίαφορτία
αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 77
ΕισαγωγήΕισαγωγή στηνστην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))
αποτελείαποτελεί τητη βάσηβάση γιαγια τοντον υπολογισµόυπολογισµό τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων καικαι τητησυστηµατικήσυστηµατική ανάλυσηανάλυση οποιασδήποτεοποιασδήποτε κατασκευήςκατασκευής
ηη πιοπιο σηµαντικήσηµαντική διαδικασίαδιαδικασία υπολογισµούυπολογισµού τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεωνενόςενός συγκεκριµένουσυγκεκριµένου σηµείουσηµείου ενόςενός φορέαφορέα αφούαφού::
είναιείναι εφαρµόσιµηεφαρµόσιµη σεσε διαφορετικάδιαφορετικά είδηείδη κατασκευώνκατασκευών
έχειέχει δυνατότητεςδυνατότητες συµπερίληψηςσυµπερίληψης, , πέραπέρα απόαπό τατα συνήθησυνήθη φορτίαφορτία, , άλλωνάλλων δράσεωνδράσεων, , όπωςόπως υποχωρήσειςυποχωρήσεις στηρίξεωνστηρίξεων, , θερµοκρασιακέςθερµοκρασιακέςµεταβολέςµεταβολές καικαι κατασκευαστικάκατασκευαστικά ατέλειεςατέλειες
βασίζεταιβασίζεται στοστο ισοζύγιοισοζύγιο τουτου εξωτερικούεξωτερικού δυνατούδυνατού έργουέργου µεµε τοτοεσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο, , δηλαδήδηλαδή τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 88
ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))
εάνεάν µίαµία κατασκευήκατασκευή, , ηη οποίαοποία βρίσκεταιβρίσκεται σεσε µιαµια συγκεκριµένησυγκεκριµένηεντατικήεντατική καικαι παραµορφωσιακήπαραµορφωσιακή κατάστασηκατάσταση, , υποβληθείυποβληθεί σεσε µιαµιαεπιπλέονεπιπλέον νοητήνοητή ((δυνατήδυνατή)) φόρτισηφόρτιση, , ήή µετακίνησηµετακίνηση, , θαθααναπτυχθούναναπτυχθούν επιπλέονεπιπλέον εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη καικαι τάσειςτάσεις καθώςκαθώςκαικαι θαθα προκύψουνπροκύψουν επιπλέονεπιπλέον παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαιµετακινήσειςµετακινήσεις
σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Ε::
τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο καικαι τοτο εσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργοπρέπειπρέπει νανα είναιείναι ίσαίσα ώστεώστε νανα διατηρείταιδιατηρείται ηη συνολικήσυνολικήενέργειαενέργεια τουτου συστήµατοςσυστήµατος
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 99
ΕναλλακτικέςΕναλλακτικές διατυπώσειςδιατυπώσεις τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε
•• αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων::
προκύπτειπροκύπτει απόαπό εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων καικαι τοτο ισοζύγιοισοζύγιοτουτου εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού δυνατούδυνατού έργουέργου. .
µέθοδοιµέθοδοι τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων
•• αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων::
προκύπτειπροκύπτει απόαπό εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων καικαι τοτο ισοζύγιοισοζύγιο τουτουεξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού συµπληρωµατικούσυµπληρωµατικού δυνατούδυνατού έργουέργου. .
µέθοδοιµέθοδοι τωντων δυνάµεωνδυνάµεων
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1010
ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων-- ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων
•• εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων καικαι παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων
•• εφαρµογήεφαρµογή σεσε έναένα φορέαφορέα, , οο οποίοςοποίος ισορροπείισορροπεί κάτωκάτω απόαπό εξωτερικάεξωτερικάεπιβαλλόµενεςεπιβαλλόµενες ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) φορτίσειςφορτίσεις, , δυνατώνδυνατών ((’’φανταστικώνφανταστικών’’))µετακινήσεωνµετακινήσεων, , οιοι οποίεςοποίες είναιείναι συµβατέςσυµβατές µεµε τιςτις συνθήκεςσυνθήκες στήριξηςστήριξης καικαιεσωτερικέςεσωτερικές συνδέσειςσυνδέσεις τουτου φορέαφορέα
•• ισοζύγιοισοζύγιο τουτου εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού δυνατούδυνατού έργουέργου: :
•• τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο, , απόαπό τηντην δυνατήδυνατή µετακίνησηµετακίνηση τωντωνπραγµατικώνπραγµατικών φορτίσεωνφορτίσεων, , πρέπειπρέπει νανα ισούταιισούται µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατήενέργειαενέργεια, , τηντην οποίαοποία πραγµατοποιούνπραγµατοποιούν οιοι τάσειςτάσεις, , οιοι οποίεςοποίες αντιστοιχούναντιστοιχούνσταστα προκαλούµεναπροκαλούµενα απόαπό τατα πραγµατικάπραγµατικά φορτίαφορτία εσωτερικάεσωτερικά εντατικάεντατικάµεγέθηµεγέθη, , κατάκατά τιςτις δυνατέςδυνατές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις..
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1111
ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών έργωνέργων-- ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων
•• εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων καικαι ροπώνροπών•• εφαρµόζουµεεφαρµόζουµε σεσε έναένα φορέαφορέα, , οο οποίοςοποίος ισορροπείισορροπεί κάτωκάτω απόαπό εξωτερικάεξωτερικά
επιβαλλόµενεςεπιβαλλόµενες φορτίσειςφορτίσεις, , µιαµια δυνατήδυνατή εξωτερικήεξωτερική φόρτισηφόρτιση καικαι τατααντίστοιχααντίστοιχα δυνατάδυνατά εσωτερικάεσωτερικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη
•• ισοζύγιοισοζύγιο τουτου εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικούσυµπληρωµατικούσυµπληρωµατικού δυνατούδυνατού έργουέργου: :
•• τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό έργοέργο, , απόαπό τηντην µετακίνησηµετακίνηση τωντωνδυνατώνδυνατών φορτίσεωνφορτίσεων κατάκατά τιςτις πραγµατικέςπραγµατικές µετακινήσειςµετακινήσεις, , πρέπειπρέπει ναναισούταιισούται µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή συµπληρωµατικήσυµπληρωµατική ενέργειαενέργεια, , τηντην οποίαοποίαπραγµατοποιούνπραγµατοποιούν οιοι τάσειςτάσεις, , οιοι οποίεςοποίες αντιστοιχούναντιστοιχούν σταστα προκαλούµεναπροκαλούµενααπόαπό τατα δυνατάδυνατά φορτίαφορτία εσωτερικάεσωτερικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη, , κατάκατά τιςτις πραγµατικέςπραγµατικέςπαραµορφώσειςπαραµορφώσεις..
µπορούµεµπορούµε νανα υπολογίσοµευπολογίσοµε µίαµία άγνωστηάγνωστη µετακίνησηµετακίνηση εφαρµόζονταςεφαρµόζονταςµιαµια δυνατήδυνατή φανταστικήφανταστική δύναµηδύναµη, , ήή ροπήροπή, , όπουόπου ζητείταιζητείται οουπολογισµόςυπολογισµός τηςτης..
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1212
ΕξωτερικόΕξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο δδWWEE
επιβάλλονταςεπιβάλλοντας σεσε έναένα φορέαφορέα, , οο οποίοςοποίος ισορροπείισορροπεί κάτωκάτω απόαπό τηντηνεφαρµογήεφαρµογή εξωτερικώνεξωτερικών φορτίωνφορτίων, , µιαµια δυνατήδυνατή µετακίνησηµετακίνηση, , ηη οποίαοποία δενδενπαραβιάζειπαραβιάζει τιςτις συνθήκεςσυνθήκες στήριξηςστήριξης ήή εσωτερικώνεσωτερικών συνδέσεωνσυνδέσεων::
τατα επιβαλλόµεναεπιβαλλόµενα φορτίαφορτία εκτελούνεκτελούν εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο
τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο δδWWEE ισούταιισούται µεµε τοτο γινόµενογινόµενο πραγµατικώνπραγµατικώνδυνάµεωνδυνάµεων ήή ροπώνροπών επίεπί τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχες δυνατέςδυνατές ((νοητέςνοητές) ) µετακινήσειςµετακινήσεις τουτουσηµείουσηµείου εφαρµογήςεφαρµογής. .
θετικόθετικό είναιείναι τοτο δυνατόδυνατό έργοέργο ότανόταν ηη δύναµηδύναµη ήή ροπήροπή καικαι ηη δυνατήδυνατή µετάθεσηµετάθεσηήή στροφήστροφή, , αντίστοιχααντίστοιχα, , είναιείναι στηνστην ίδιαίδια διεύθυνσηδιεύθυνση. . ΑλλιώςΑλλιώς, , αναν είναιείναιαντίθετηςαντίθετης φοράςφοράς, , είναιείναι αρνητικόαρνητικό τοτο έργοέργο..
τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο εξωτερικώνεξωτερικών φορτίωνφορτίων απόαπό τηντην επιβολήεπιβολήαντίστοιχωναντίστοιχων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων ισούταιισούται µεµε::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1313
ΕσωτερικόΕσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο((ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια παραµόρφωσηςπαραµόρφωσης))
ενέργειαενέργεια λόγωλόγω τωντων τάσεωντάσεων κατάκατά τιςτιςαντίστοιχεςαντίστοιχες δυνατέςδυνατές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις
γενικήγενική περίπτωσηπερίπτωση τρισδιάστατουτρισδιάστατου σώµατοςσώµατος
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1414
ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια γραµµικώνγραµµικών δοµικώνδοµικών στοιχείωνστοιχείων
εκφράζονταςεκφράζοντας τιςτις τάσειςτάσεις καικαι παραµορφώσειςπαραµορφώσεις, , κατάκατά τοντον υπολογισµόυπολογισµό τηςτηςελαστικήςελαστικής δυνατήςδυνατής ενέργειαςενέργειας, , συναρτήσεισυναρτήσει τωντων εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών
µπορούµεµπορούµε νανα διατυπώσοµεδιατυπώσοµε τιςτις επιπλέονεπιπλέον εξισώσειςεξισώσεις πουπουαπαιτούνταιαπαιτούνται γιαγια τηντην επίλυσηεπίλυση υπερστατικώνυπερστατικών φορέωνφορέων
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1515
ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω αξονικώναξονικών δυνάµεωνδυνάµεωνπραγµατικέςπραγµατικές ορθέςορθές τάσειςτάσεις λόγωλόγω αξονικώναξονικών δυνάµεωνδυνάµεων
επιβολήεπιβολή δυνατώνδυνατών αξονικώναξονικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων
νόµοςνόµος τουτου HookeHooke
ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια θεωρώνταςθεωρώντας γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1616
ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια καµπτικώνκαµπτικών ροπώνροπών ΜΜzz ήή ΜΜyy
ορθέςορθές τάσειςτάσεις::
γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1717
ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια τεµνουσώντεµνουσών δυνάµεωνδυνάµεων VVyy ήή VVzz
διατµητικέςδιατµητικές τάσειςτάσεις::
γραµµικάγραµµικάελαστικόελαστικό υλικόυλικό::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1818
ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω ροπώνροπών στρέψηςστρέψης ΜΜxx
διατµητικέςδιατµητικές τάσειςτάσεις::((λόγωλόγω ροπήςροπής στρέψηςστρέψης))
γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό ((HookeHooke’’s law):s law):
πολικήπολική ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας::
r r : : απόστασηαπόσταση απόαπό τοτοκέντροκέντρο τηςτης διατοµήςδιατοµής
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1919
∆υνατή∆υνατή ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια ((δυνατόδυνατό εσωτερικόεσωτερικό έργοέργο))ΈχονταςΈχοντας περισσότερεςπερισσότερες απόαπό µιαµια µορφέςµορφές δυνατώνδυνατών µορφώνµορφών παραµόρφωσηςπαραµόρφωσης, , ηησυνολικήσυνολική ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια ισούταιισούται µεµε τοτο άθροισµαάθροισµα τωντων επιµέρουςεπιµέρουςελαστικώνελαστικών δυνατώνδυνατών ενεργειώνενεργειών γιαγια κάθεκάθε διαφορετικόδιαφορετικό είδοςείδος παραµόρφωσηςπαραµόρφωσης. .
συνολικάσυνολικά ηη ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια, , στηστη γενικήγενική περίπτωσηπερίπτωση γραµµικώνγραµµικών((ραβδωτώνραβδωτών) ) µελώνµελών, , δίνεταιδίνεται απόαπό τηντην πιοπιο κάτωκάτω γενικήγενική εξίσωσηεξίσωση, , ηη οποίαοποίααντιστοιχείαντιστοιχεί στηστη µέθοδοµέθοδο τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων::
εναλλάσσονταςεναλλάσσοντας, , τατα πραγµατικάπραγµατικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη µεµε τατα δυνατάδυνατά εντατικάεντατικάµεγέθηµεγέθη ηη διατύπωσηδιατύπωση πουπου αντιστοιχείαντιστοιχεί στηστη µέθοδοµέθοδο τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων: :
2020
ΥπολογισµόςΥπολογισµός µετακινήσεωνµετακινήσεων µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Εφορτίζονταςφορτίζοντας τοντον φορέαφορέα µεµε µοναδιαίοµοναδιαίο δυνατόδυνατό ((φανταστικόφανταστικό) ) φορτίοφορτίο στοστοσηµείοσηµείο καικαι διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ζητούµενηςζητούµενης άγνωστηςάγνωστης ((πραγµατικήςπραγµατικής) ) µετακίνησηςµετακίνησης, , επιλύουµεεπιλύουµε τοντον φορέαφορέα γιαγια αυτόαυτό τοτο µοναδιαίοµοναδιαίο φορτίοφορτίο
ακολούθωςακολούθως, , εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας τηντην πραγµατικήπραγµατική φόρτισηφόρτιση ήή δράσειςδράσειςυπολογίζουµευπολογίζουµε τιςτις ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσεις οιοι οποίεςοποίεςπροκαλούνταιπροκαλούνται απόαπό τατα αντίστοιχααντίστοιχα εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη..
σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Ε, , τοτο εξωτερικόεξωτερικό έργοέργο απόαπό τηντην ((πραγµατικήπραγµατική) ) µετακίνησηµετακίνηση τουτου σηµείουσηµείου εφαρµογήςεφαρµογής τουτου δυνατούδυνατού φορτίουφορτίου πρέπειπρέπει ναναισούταιισούται µεµε τηντην ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια ηη οποίαοποία αποθηκεύεταιαποθηκεύεται απόαπό ταταεντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη πουπου αντιστοιχούναντιστοιχούν στοστο µοναδιαίοµοναδιαίο φορτίοφορτίο λόγωλόγω τωντων((πραγµατικώνπραγµατικών) ) παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων. .
µέθοδοιµέθοδοι τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2121
ΜέθοδοιΜέθοδοι τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων
αφούαφού πρώταπρώτα επιβληθούνεπιβληθούν σεσε έναένα φορέαφορέα οιοι πραγµατικέςπραγµατικές φορτίσειςφορτίσεις
δυνατέςδυνατές ((δηλαδήδηλαδή νοητέςνοητές) ) µετακινήσειςµετακινήσεις επιβάλλονταιεπιβάλλονται σεσε αυτόναυτόνεπιτρέπονταςεπιτρέποντας ουσιαστικάουσιαστικά έναένα εναλλακτικόεναλλακτικό τρόποτρόπο διατύπωσηςδιατύπωσης τωντωνεξισώσεωνεξισώσεων ισορροπίαςισορροπίας. .
µέθοδοιµέθοδοι τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων
2222
ΠαράδειγµαΠαράδειγµα εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε
ΥπολογισµόςΥπολογισµός βύθισηςβύθισης καικαιστροφήςστροφής τουτου άκρουάκρουπροβόλουπροβόλου λόγωλόγω δύναµηςδύναµης P:P:
πρώταπρώτα, , πρέπειπρέπει νανα φορτίσουµεφορτίσουµε τητη δοκόδοκό στοστο σηµείοσηµείο καικαι τητη διεύθυνσηδιεύθυνσητηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησης µεµε µοναδιαίαµοναδιαία δύναµηδύναµη
ακολούθωςακολούθως, , φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό µεµε τοτο πραγµατικάπραγµατικά επιβαλλόµενοεπιβαλλόµενο φορτίοφορτίοP, P, τοτο οποίοοποίο προκαλείπροκαλεί εντατικήεντατική καικαι παραµορφωσιακήπαραµορφωσιακή κατάστασηκατάσταση ηη οποίαοποίαέχειέχει σανσαν αποτέλεσµααποτέλεσµα τιςτις ζητούµενεςζητούµενες µετακινήσειςµετακινήσεις
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2323
µεµε τηντην επιβολήεπιβολή τουτου φορτίουφορτίου καικαι τηντην παραµόρφωσηπαραµόρφωση τηςτης δοκούδοκού τοτο σηµείοσηµείοεφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίας δυνατήςδυνατής δύναµηςδύναµης µετακινείταιµετακινείται σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντηνπραγµατικήπραγµατική βύθισηβύθιση στοστο άκροάκρο τηςτης δοκούδοκού παράγονταςπαράγοντας εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργοεσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο προκύπτειπροκύπτει απόαπό τατα δυνατάδυνατάεντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη λόγωλόγω τωντων πραγµατικώνπραγµατικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων οιοι οποίεςοποίεςαντιστοιχούναντιστοιχούν σταστα πραγµατικάπραγµατικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη
σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών ((συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών) ) έργωνέργων::
παραλείπονταςπαραλείποντας τητη συνεισφοράσυνεισφορά τωντων διατµητικώνδιατµητικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2424
ΥπολογισµόςΥπολογισµός τηςτης στροφήςστροφής στοστο ελεύθεροελεύθερο άκροάκρο τουτου προβόλουπροβόλου
φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό στοστο σηµείοσηµείο καικαι τητη διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ζητούµενηςζητούµενης στροφήςστροφής µεµεµοναδιαίαµοναδιαία ροπήροπή, , ηη οποίαοποία προκαλείπροκαλεί τέµνουσεςτέµνουσες δυνάµειςδυνάµεις καικαι καµπτικέςκαµπτικές ροπέςροπές
ακολούθωςακολούθως, , φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό µεµε τοτο πραγµατικάπραγµατικά επιβαλλόµενοεπιβαλλόµενο φορτίοφορτίο τοτοοποίοοποίο προκαλείπροκαλεί τέµνουσεςτέµνουσες δυνάµειςδυνάµεις καικαι καµπτικέςκαµπτικές ροπέςροπές, , καικαι τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχεςπαραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι τιςτις ζητούµενεςζητούµενες µετακινήσειςµετακινήσεις
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2525
µεµε τηντην επιβολήεπιβολή τουτου φορτίουφορτίου καικαι τηντην παραµόρφωσηπαραµόρφωση τηςτης δοκούδοκού τοτο σηµείοσηµείοεφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίας δυνατήςδυνατής ροπήςροπής µετακινείταιµετακινείται σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντηνπραγµατικήπραγµατική στροφήστροφή στοστο άκροάκρο τηςτης δοκούδοκού παράγονταςπαράγοντας εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο
εσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο προκύπτειπροκύπτει τατα δυνατάδυνατά εντατικάεντατικάµεγέθηµεγέθη λόγωλόγω τωντων πραγµατικώνπραγµατικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων
σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών ((συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών) ) έργωνέργων::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2626
ΥπολογισµόςΥπολογισµός ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφής::
ολοκληρώνονταςολοκληρώνοντας τιςτις αναλυτικέςαναλυτικές εκφράσειςεκφράσεις γιαγια τιςτις συναρτήσειςσυναρτήσεις
οο γνωστόςγνωστός τρόποςτρόπος πουπου έχουµεέχουµε χρησιµοποιήσειχρησιµοποιήσει µέχριµέχρι τώρατώρα
συνήθωςσυνήθως δενδεν είναιείναι οο πιοπιο εύκολοςεύκολος
αναν καικαι οιοι δύοδύο συναρτήσειςσυναρτήσεις ΦΦ((x)x) καικαι ΨΨ(x)(x) µεταβάλλονταιµεταβάλλονται γραµµικάγραµµικά
2727
ΥπολογισµόςΥπολογισµός ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφής::
αναν ηη µίαµία απόαπό τιςτις δύοδύο συναρτήσειςσυναρτήσεις µεταβάλλεταιµεταβάλλεται γραµµικάγραµµικά σεσε όλοόλο τοτοµήκοςµήκος τηςτης ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης, , τότετότε τοτο ορισµένοορισµένο ολοκλήρωµαολοκλήρωµα ισούταιισούται µεµε τοτογινόµενογινόµενο τηςτης επιφάνειαςεπιφάνειας τηςτης άλληςάλλης συνάρτησηςσυνάρτησης επίεπί τηντην τιµήτιµή τηςτηςγραµµικάγραµµικά µεταβαλλόµενηςµεταβαλλόµενης συνάρτησηςσυνάρτησης στοστο σηµείοσηµείο κατάκατά µήκοςµήκος τουτουµέλουςµέλους, , τοτο οποίοοποίο αντιστοιχείαντιστοιχεί στοστο κέντροκέντρο βάρουςβάρους τηςτης επιφάνειαςεπιφάνειας τηςτηςάλληςάλλης συνάρτησηςσυνάρτησης
χρήσηχρήση πινάκωνπινάκων µεµε ορισµέναορισµένα ολοκληρώµαταολοκληρώµατα γιαγια κοινέςκοινές περιπτώσειςπεριπτώσειςγινοµένωνγινοµένων ΦΦ((x)x) καικαι ΨΨ(x)(x)
µπορούµεµπορούµε χρησιµοποιώνταςχρησιµοποιώντας τηντην αρχήαρχή τηςτης επαλληλίαςεπαλληλίας νανα σχηµατίσουµεσχηµατίσουµε τοτοσυγκεκριµένοσυγκεκριµένο διάγραµµαδιάγραµµα µεµε κατάλληληκατάλληλη άθροισηάθροιση ήή αφαίρεσηαφαίρεση γνωστώνγνωστώνεπιµέρουςεπιµέρους διαγραµµάτωνδιαγραµµάτων..
συνήθωςσυνήθως οο πιοπιο εύκολοςεύκολος τρόποςτρόπος
2828
ΠινάκεςΠινάκες ορισµένωνορισµένων ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφής::
2929
ΠαράδειγµαΠαράδειγµα εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε µεµε χρήσηχρήση πινάκωνπινάκων
ΥπολογισµόςΥπολογισµός βύθισηςβύθισης καικαιστροφήςστροφής τουτου άκρουάκρουπροβόλουπροβόλου λόγωλόγω δύναµηςδύναµης P:P:
πρώταπρώτα, , πρέπειπρέπει νανα φορτίσουµεφορτίσουµε τητη δοκόδοκό στοστο σηµείοσηµείο καικαι τητη διεύθυνσηδιεύθυνσητηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησης µεµε µοναδιαίαµοναδιαία δύναµηδύναµη
ακολούθωςακολούθως, , φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό µεµε τοτο πραγµατικάπραγµατικά επιβαλλόµενοεπιβαλλόµενο φορτίοφορτίοP, P, τοτο οποίοοποίο προκαλείπροκαλεί εντατικήεντατική καικαι παραµορφωσιακήπαραµορφωσιακή κατάστασηκατάσταση ηη οποίαοποίαέχειέχει σανσαν αποτέλεσµααποτέλεσµα τιςτις ζητούµενεςζητούµενες µετακινήσειςµετακινήσεις
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3030
σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών ((συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών) ) έργωνέργων::
ολοκληρώνονταςολοκληρώνοντας αναλυτικάαναλυτικά::
χρήσηχρήση τωντων διαγραµµάτωνδιαγραµµάτων τωντων εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών καικαι πινάκωνπινάκων ::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3131
ΜηΜη πρισµατικάπρισµατικά µέληµέληπρισµατικάπρισµατικά µέληµέλη:: τατα γραµµικάγραµµικά µέληµέλη ενόςενόςφορέαφορέα τατα οποίαοποία έχουνέχουν σταθερήσταθερήεγκάρσιαεγκάρσια διατοµήδιατοµή
µηµη πρισµατικάπρισµατικά µέληµέλη:: έχουνέχουνµεταβαλλόµεναµεταβαλλόµενα κατάκατά µήκοςµήκος τουτουάξοναάξονα τουςτους γεωµετρικάγεωµετρικάχαρακτηριστικάχαρακτηριστικά
τατα ολοκληρώµαταολοκληρώµατα γιαγια τηντην ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια µπορούνµπορούν νανα υπολογιστούνυπολογιστούν::
µεµε αναλυτικήαναλυτική ολοκλήρωσηολοκλήρωση ((ακριβήςακριβής λύσηλύση))
προσεγγιστικάπροσεγγιστικά, , αντικαθιστώνταςαντικαθιστώντας τοτο ολοκλήρωµαολοκλήρωµα απόαπό έναένα άθροισµαάθροισµαπεπερασµένουπεπερασµένου αριθµούαριθµού τµηµάτωντµηµάτων, , δηλαδήδηλαδή χωρίζονταςχωρίζοντας τοτο µέλοςµέλος σεσε έναένααριθµόαριθµό τµηµάτωντµηµάτων καικαι θεωρώνταςθεωρώντας γιαγια κάθεκάθε τµήµατµήµα µιαµια ισοδύναµηισοδύναµη πρισµατικήπρισµατικήδοκόδοκό µεµε σταθερέςσταθερές ιδιότητεςιδιότητες..
ππ..χχ. . ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια καµπτικώνκαµπτικώνπαραµορφώσεωνπαραµορφώσεων µεµεµεταβαλλόµενηµεταβαλλόµενη ροπήροπή αδράνειαςαδράνειαςΙΙyy κατάκατά µήκοςµήκος µίαςµίας δοκούδοκού::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3232
ΠαραµορφώσειςΠαραµορφώσεις απόαπό άλλαάλλα, , εκτόςεκτός φορτίωνφορτίων, , αίτιααίτια
ΘερµοκρασιακέςΘερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολές
οµοιόµορφηοµοιόµορφη καθκαθ’’ ύψοςύψος τηςτης διατοµήςδιατοµής::
µεταβολήµεταβολή τουτου µήκουςµήκους τουτου στοιχείουστοιχείου ((επιµήκυνσηεπιµήκυνση ήή βράχυνσηβράχυνση))
διαφορετικήδιαφορετική σταστα δύοδύο πέλµαταπέλµατα ενόςενός µέλουςµέλους
καµπτικήςκαµπτικής µορφήςµορφής παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι σχετικέςσχετικές στροφέςστροφές τωντων διατοµώνδιατοµών
ΚατασκευαστικέςΚατασκευαστικές ατέλειεςατέλειες καικαι σφάλµατασφάλµατα
∆ιαφορικές∆ιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3333
ΘερµοκρασιακέςΘερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολές
αύξησηαύξηση//µείωσηµείωση θερµοκρασίαςθερµοκρασίας ενόςενός µέλουςµέλους διαστολήδιαστολή//συστολήσυστολή
εάνεάν ηη µεταβολήµεταβολή τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας είναιείναι::
οµοιόµορφηοµοιόµορφη καθκαθ’’ ύψοςύψος τηςτης διατοµήςδιατοµής: : προκαλείπροκαλεί µεταβολήµεταβολή τουτου µήκουςµήκους L L τουτου στοιχείουστοιχείου ((επιµήκυνσηεπιµήκυνση ήή βράχυνσηβράχυνση
διαφορετικήδιαφορετική σταστα δύοδύο πέλµαταπέλµατα ενόςενός µέλουςµέλους:: θεωρώνταςθεωρώντας γραµµικήγραµµικήµεταβολήµεταβολή τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας ∆Τ∆Τ καθκαθ’’ ύψοςύψος hh τηςτης διατοµήςδιατοµής,,παρατηρείταιπαρατηρείται στροφήστροφή γειτονικώνγειτονικών διατοµώνδιατοµών, , προκαλώνταςπροκαλώντας καµπτικήςκαµπτικήςµορφήςµορφής παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι σχετικέςσχετικές στροφέςστροφές τωντων διατοµώνδιατοµών..
((αα: : συντελεστήςσυντελεστής θερµικήςθερµικής διαστολήςδιαστολής τουτου υλικούυλικού))
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3434
ΕφαρµογήΕφαρµογή τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε γιαγια θερµοκρασιακέςθερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολές
ΓιαΓια νανα υπολογιστούνυπολογιστούν οιοι µετακινήσειςµετακινήσεις ενόςενός σηµείουσηµείου λόγωλόγωθερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών µπορούµεµπορούµε νανα χρησιµοποιήσουµεχρησιµοποιήσουµε τηντην Α∆ΕΑ∆Εεφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίοµοναδιαίο δυνατόδυνατό φορτίοφορτίο στοστο σηµείοσηµείο καικαι τηντην διεύθυνσηδιεύθυνσητηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησης::
ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω οµοιόµορφηςοµοιόµορφης µεταβολήςµεταβολής τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας: :
ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω διαφορικήςδιαφορικής µεταβολήςµεταβολής τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας: :
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3535
ΠαράδειγµαΠαράδειγµα θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών
ΥπολογισµόςΥπολογισµός οριζόντιαςοριζόντιας καικαικάθετηςκάθετης µετακίνησηµετακίνηση τουτουκόµβουκόµβου 33 τουτου δικτυώµατοςδικτυώµατοςλόγωλόγω αύξησηςαύξησης θερµοκρασίαςθερµοκρασίαςτηςτης ράβδουράβδου 22 κατάκατά 20 20 οοCC
((αα = 10= 10--55//οοC)C)
επιµήκυνσηεπιµήκυνση ράβδουράβδου 22::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3636
ΠαράδειγµαΠαράδειγµα θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών ((συνσυν.).)
εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίαµοναδιαίαδύναµηδύναµη κατάκατά τητη ΧΧ µπορούµεµπορούµε µεµετηντην Α∆ΕΑ∆Ε νανα υπολογίσουµευπολογίσουµε τηντηναντίστοιχηαντίστοιχη άγνωστηάγνωστη µετακινήσηµετακινήση uu::
εξισώνονταςεξισώνοντας τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο, , απόαπό τητηδυνατήδυνατή µοναδιαίαµοναδιαία φόρτισηφόρτιση καικαι τηντην αντίστοιχηαντίστοιχη πραγµατικήπραγµατική µετακίνησηµετακίνηση, , µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ((συµπληρωµατικήσυµπληρωµατική) ) ενέργειαενέργεια, , απόαπό τιςτις δυνατέςδυνατέςαξονικέςαξονικές δυνάµειςδυνάµεις στιςστις ράβδουςράβδους λόγωλόγω τηςτης εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίαςδύναµηςδύναµης καικαι τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχες αξονικέςαξονικές ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσειςαπόαπό τητη θερµοκρασιακήθερµοκρασιακή µεταβολήµεταβολή::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3737
ΠαράδειγµαΠαράδειγµα θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών ((συνσυν.).)
εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίαµοναδιαίαδύναµηδύναµη κατάκατά τητη YY µπορούµεµπορούµε µεµετηντην Α∆ΕΑ∆Ε νανα υπολογίσουµευπολογίσουµε τηντηναντίστοιχηαντίστοιχη άγνωστηάγνωστη µετακινήσηµετακινήση vv::
εξισώνονταςεξισώνοντας τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο, , απόαπό τητηδυνατήδυνατή µοναδιαίαµοναδιαία φόρτισηφόρτιση καικαι τηντην αντίστοιχηαντίστοιχη πραγµατικήπραγµατική µετακίνησηµετακίνηση, , µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ((συµπληρωµατικήσυµπληρωµατική) ) ενέργειαενέργεια, , απόαπό τιςτις δυνατέςδυνατέςαξονικέςαξονικές δυνάµειςδυνάµεις στιςστις ράβδουςράβδους λόγωλόγω τηςτης εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίαςδύναµηςδύναµης καικαι τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχες αξονικέςαξονικές ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσειςαπόαπό τητη θερµοκρασιακήθερµοκρασιακή µεταβολήµεταβολή::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3838
ΚατασκευαστικέςΚατασκευαστικές ατέλειεςατέλειες καικαι σφάλµατασφάλµατα
ΣφάλµαταΣφάλµατα καικαι ατέλειεςατέλειες κατασκευήςκατασκευής διαφόρωνδιαφόρων δοµικώνδοµικών στοιχείωνστοιχείων ενόςενόςφορέαφορέα, , όπουόπου δενδεν ταιριάζουνταιριάζουν οιοι διαστάσειςδιαστάσεις µεµε τιςτις οποίεςοποίες σχεδιάστηκανσχεδιάστηκανµεµε αυτέςαυτές πουπου πραγµατικάπραγµατικά κατασκευάστηκανκατασκευάστηκαν
ισοστατικοίισοστατικοί φορείςφορείς
γενικάγενικά δενδεν προκαλούνπροκαλούν εντάσειςεντάσεις
υπερστατικοίυπερστατικοί φορείςφορείς
αυτεντατικήαυτεντατική κατάστασηκατάσταση: : ανάπτυξηανάπτυξη επιπλέονεπιπλέον εντατικήςεντατικής καικαιπαραµορφωσιακήςπαραµορφωσιακής κατάστασηςκατάστασης
οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων λόγωλόγω κατασκευαστικώνκατασκευαστικών ατελειώνατελειώνγίνεταιγίνεται όπωςόπως οιοι παραµορφώσειςπαραµορφώσεις λόγωλόγω θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών..
ότανόταν συνυπάρχουνσυνυπάρχουν παραµορφώσειςπαραµορφώσεις λόγωλόγω φορτίωνφορτίων, , θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακώνµεταβολώνµεταβολών καικαι κατασκευαστικώνκατασκευαστικών ατελειώνατελειών τιςτις συνυπολογίζουµεσυνυπολογίζουµεαθροίζονταςαθροίζοντας τιςτις συνέπειεςσυνέπειες τουςτους
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3939
∆ιαφορικές∆ιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις
οιοι κατασκευέςκατασκευές, , µεµε τοτο σχετικάσχετικά µεγάλοµεγάλο βάροςβάρος τουςτους, , δενδεν εδράζονταιεδράζονταιπάνωπάνω σεσε απολύτωςαπολύτως απαραµόρφωτηαπαραµόρφωτη βάσηβάση, , αλλάαλλά θεµελιώνονταιθεµελιώνονται σεσεπαραµορφώσιµοπαραµορφώσιµο έδαφοςέδαφος τοτο οποίοοποίο µπορείµπορεί νανα παρουσιάσειπαρουσιάσει καθιζήσειςκαθιζήσεις
εξωτερικοίεξωτερικοί καταναγκασµοίκαταναγκασµοί λόγωλόγω διαφορικώνδιαφορικών µετακινήσεωνµετακινήσεων((καθιζήσεωνκαθιζήσεων) ) τωντων στηρίξεωνστηρίξεων µιαςµιας κατασκευήςκατασκευής
ισοστατικοίισοστατικοί φορείςφορείςαναν καικαι οιοι διαφορικέςδιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις προκαλούνπροκαλούν µετακινήσειςµετακινήσεις καικαι στροφέςστροφές τωντωνµελώνµελών τηςτης κατασκευήςκατασκευής γενικάγενικά δενδεν προκαλούνπροκαλούν παραµορφώσειςπαραµορφώσεις ήή εντάσειςεντάσεις
οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων µπορείµπορεί νανα γίνειγίνει εύκολαεύκολα µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Εεφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίοµοναδιαίο φορτίοφορτίο στηνστην κατεύθυνσηκατεύθυνση τηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησηςωςως δυνατήδυνατή φόρτισηφόρτιση αφούαφού ηη ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια ισούταιισούται µεµε µηδένµηδέν εφόσονεφόσονδενδεν αναπτύσσονταιαναπτύσσονται ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσεις σεσε έναένα ισοστατικόισοστατικό φορέαφορέα
υπερστατικοίυπερστατικοί φορείςφορείςανάπτυξηανάπτυξη εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών καικαι παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων
τοτο µέγεθοςµέγεθος τωντων εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών εξαρτάταιεξαρτάται απόαπό τοτο µέγεθοςµέγεθος τωντων καθιζήσεωνκαθιζήσεωνκαικαι τητη δυσκαµψίαδυσκαµψία τηςτης κατασκευήςκατασκευής
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 4040
ΠαράδειγµαΠαράδειγµα διαφορικώνδιαφορικών καθιζήσεωνκαθιζήσεων
ΥπολογισµόςΥπολογισµός οριζόντιαςοριζόντιας µετακίνησηςµετακίνησηςτουτου κόµβουκόµβου ΓΓ λόγωλόγω υποχώρησεωνυποχώρησεωντηςτης στηρίξεωςστηρίξεως ΑΑ κατάκατά::
Α∆ΕΑ∆Ε:: εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας στοστο ΓΓ µιαµια οριζόντιαοριζόντια µοναδιαίαµοναδιαία δυνατήδυνατή δύναµηδύναµη
αντιδράσειςαντιδράσεις::
ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 4141
ΠαράδειγµαΠαράδειγµα διαφορικώνδιαφορικών καθιζήσεωνκαθιζήσεων ((συνσυν.).)
τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο ισούταιισούται µεµε::
τοτο εσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο ισούταιισούται µεµε::((αφούαφού δενδεν αναπτύσσονταιαναπτύσσονται παραµορφώσειςπαραµορφώσεις σεσε έναένα ισοστατικόισοστατικό
φορέαφορέα λόγωλόγω µετακινήσεωνµετακινήσεων τωντων στηρίξεωνστηρίξεων τουτου) )